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title: "Domande orali Algebra 2"
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math: true
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<!-- TODO: TeX this up -->
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- $f:A^m\to A^n$ , cosa possiamo dire su m,n?
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- Quando Supp(M) è vuoto? Uno tra Supp(M), Supp(N) vuoto implica Supp(M⊗N) vuoto.
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- K[x2,x4,...]->K[x1,...,x_n], come trovo gli ideali contratti?
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- Impostare il discorso sul teorema di struttura sui PID, e unicità.
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- Z/(2) come Z-modulo non è piatto. Nei PID piatto sse libero
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- C'è unicità nella decomposizione in irriducibili?
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- Come sono gli ideali monomiali primari?
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- Relazioni fra dimensione di krull si A/I e di A/rad(I)
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- Se A=K[x1,..., xn] che relazione c'è fra le loro dimensioni di spazi vettoriali?
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- Decomposizione primaria
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- Chi è il prodotto tensoriale di A/I e A/J
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- Trovare un anello con esattamente n ideali, senza usare giochetti combinatorici (cioè ad esempio senza sapere la decomposizione in primi)
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- Che relazioni ci sono fra Noetheriano e UFD?
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- Ideali di S^(-1)A, corrispondenze, e qualche relazione.
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- Studiare un po’ Q[x] localizzato in S=1+J con J =(x^3-1).
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- Teorema della base di Hilbert, dimostrazione che ogni base di Gröbner genera, e lemma di Dickson.
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- Sia I ideale di K[x1...xn] e consideriamo l’insieme degli ideali Lm(I) al variare degli ordinamenti monomiali. Allora tale insieme è finito?
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- Esercizio 2.2 del compito
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- Ideali monomiali: definizione, un polinomio gli appartiene se e solo se ogni suo termine gli appartiene, tappe per mostrare che ogni ideale monomiale è finitamente generato (senza dimostrazione)
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- S = { p € K[x,y]/(x^2) : p = a(y)+b(y)x, a(y) =/= 0} è un insieme moltiplicativo? È il complementare di un ideale primo? Studia S^{-1}A, con A=K[x,y]/(x^2)
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- Definizione sottomodulo di torsione
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- Prodotto tensoriale, definizione e costruzione
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- Moduli proiettivi, definizioni equivalenti.
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- Essere proiettivi è una proprietà locale?
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- Dati A=C[x,y,z] e I=(x^2+y^2+z^2-1,xy,z^4), dire più proprietà interessanti possibili di A/I, anche passando per la varietà associata ad I. Trovare il radicale di I, parlare di dimensione di A/I e di A/sqrt(I), di come sarà la base di Grobner associata, poi un accenno alla decomposizione primaria. A/I è noetheriano o artiniano?
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- Omomorfismo canonico \sigma_S : A->S^{-1}A, quando è iniettivo, quando è nullo, quando è surgettivo; quando f:A->B si estende a un isomorfismo S^{-1}A->B.
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- Dati A=Z/(60), p=(5), descrivere A_p. Se A è finito, mostrare che \sigma_S è surgettivo.
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- Anello artiniano, enunciare definizione e proprietà a piacimento. Esempi di anelli artianiani.
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- Parlare di basi di Groebner, ideali monomiali e cose varie sui Leading Term Ideals.
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- Relazione tra libero e proiettivo, con i casi particolari A PID e A locale.
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- Dati, A=Q[x,y,z], f€A, S=1+(f), studiare S^{-1}A.
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- Estensione e contrazione di ideali rispetto la localizzazione.
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- Decomposizione primaria: esistenza.
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- Anello noetheriano non UFD. Relazioni fra noetheriano e UFD(1/2).
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- Data f:CxC->C, f(x,y)=xy sull'anello A, sia f~ : C x_{R} C -> C; trovare ker(f) e im(f).
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- Nullstellensatz, enunciato e dimostrazione della forma debole.
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- Ordinamenti monomiali, definizione ed esempi.
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- Tutte le proprietà di Q come Z modulo.
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- Un modulo su un PID è proiettivo se e solo è libero.
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- Chiarimento su esercizio 2.1 del compito, in particolare studiare (Z/(q^n))_{(p)}, con p,q primi.
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- Elencare tutte le proprietà di Z/(p^n) come anello e come modulo, con p primo; dimostrare in modo diretto che non è piatto.
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- Data l'immersione di K[x_1,x_3,x_5] in K[x_1,x_2,...,x_6], studiare gli ideali estesi e contratti, come calcolarli, quali proprietà si conservano.
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- Dimostrare il teorema di eliminazione delle variabili.
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- Relazione fra elementi/ideali primi ed irriducibili su anelli di polinomi.
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- Data una base di Grobner ridotta composta da polinomi irriducibili, l'ideale associato è primo?
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