diff --git a/content/maths/domande_orale_g2.txt b/content/maths/domande_orale_g2.txt new file mode 100644 index 0000000..4c6b3f6 --- /dev/null +++ b/content/maths/domande_orale_g2.txt @@ -0,0 +1,207 @@ +R³ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il π_1? +Chi sono i biolomorfismi da C in C? + +Zeri di funzioni olomorfe e Teorema di Rouché. +Il gruppo G delle rotazioni generato da quella di angolo 2pi/7 che agisce su R_2. Calcolare il gruppo fondamentale di R_2/G e studiare il rivestimento dato dalla proiezione al quoziente di R_2\{0} su R_2\{0}/G. +Prodotto numerabile di metrizzabili è metrizzabile e controesempio quando il prodotto é più che numerabile + +Forme chiuse ed esatte, relazioni tra le due +Esempio di funzione armonica che non sia la parte reale di una funzione olomorfa +Riferimenti proiettivi e teorema fondamentale delle trasformazioni proiettive +Retratti, in generale sono chiusi/aperti/nessuno dei due? + +Parlare delle singolaritá, weierstrass-casorati +Teorema di brouwer, se levo il bordo a D2 è ancora vero il teorema? +Spazi separabili che implicazioni sai dirmi e dimostrazione + +Teorema di Liouville +In quale altro risultato che abbiamo visto si usano le stime di Cauchy sui coefficienti? (Voleva la caratterizzazione delle singolarità essenziali, io gli ho nominato il lemma di Schwarz e mi ha fatto fare la dimostrazione anche di quello) +Differenzia (nel senso di dimostra che uno dei due non implica l'altro) due assiomi di separazione a scelta +Cosa sai dire delle proprietà di separazione della topologia di Zariski? + +Un esempio di spazio T2 con un quoziente non T2 e un esempio in cui il quoziente è ottenuto per azioni di gruppo. +Funzioni armoniche e parti reali di funzioni olomorfe. +Proiettivo complesso è semplicemente connesso, e mappe dalla sfera complessa al proiettivo. Sono rivestimenti? + +Connesso non connesso per archi +Archi-> connesso +[0,1] connesso +Olomorfa ->analitica +Per quali d interi esiste un rivestimento connesso della superficie di seconda specie di grado d + +Sottospazio compatto=>chiuso. Quando e perché. Controesempio se X non è T2. +Metrico compatto => limitato. Controesempio a metrico completo limitato => compatto +Definizione funzione olomorfa. Se abbiamo una funzione olomorfa su un disco aperto senza il centro, quando si può estendere nel punto? +Il toro si retrae al toro senza un dischetto? + +Compattezza in spazi metrici. Compatto per successioni=>completo e totalmente limitato (Implicazione a scelta). +Ultima domanda dell'esame precedente: Il toro si retrae al toro senza un dischetto? +Definizione di funzione analitica e criteri per stabilire se è identicamente nulla su un aperto connesso. Derivate nulle in un punto => identicamente nulla nell'aperto connesso. + +Zeri di una funzione analitica, perché sono un insieme discreto. Come contarli con molteplicità? +Definizione di semilocalmente semplicemente connesso + esempio di spazio senza tale proprietà + +Invertibilità locale di olomorfe dove la derivata è non nulla. +Dove posso definire una funzione radice quadrata olomorfa? +Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi su R e su C + +Punti in posizione generale, trasformazioni proiettive, scelta del punto unità - definizioni +Teorema fondamentale trasformazioni proiettive +O-O è omotopicamente equivalente a OO ma non un suo retratto per deformazione + il loro pi_1 +Definizione funzione armonica + ogni armonica è parte reale di una funzione olomorfa su di un semplicemente connesso. + +Connessione, connessione per archi e relazione tra le due. +[0,1] è connesso +funzioni meromorfe, poli di funzioni olomorfe. Dimostrazione teorema di Weierstrass + +Esempio di un connesso non connesso per archi +Y connesso. Y ⊆ Z ⊆ \bar{Y} => Z connesso +Determinare chiusura dell'insieme {0} x [0,1] ∩ Q in R^2, e di {0} x ]0,1[ ∩ Q in R^2, chi sono i bordi in R^2 di questi insiemi? +Liouville + +Birapporto: definizione, cosa succede se scambio P1 e P2, comportamento con trasf. proiettive +Spazi contraibili: definizione, se x_0 ∈ X contraibile allora x_0 ne è retratto per deformazione? +Contraibile --> semplicemente connesso +Definizione indice di avvolgimento. + +Rivestimento di grado due del wedge di due cerchi e sottogruppo associato nel pi1 +Relazione tra sottogruppi del pi1, rivestimenti e rivestimento universale. +Quando ho un automorfismo di rivestimento che manda un punto di una fibra in un altro? +Dimostrazione preferita del Teorema Fondamentale dell'Algebra + +Definizione funzione olomorfa/analitica e relazione tra le due +Olomorfa --> Analitica +Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare. +Un biolomorfismo dal disco unitario in sé con f(0) = 0 + +Definizione di rivestimento regolare, esibire un rivestimento non regolare. +Principio del massimo modulo + +Caratterizzazione degli zeri delle funzioni olomorfe e come contarli con molteplicità +p1 : R^2 --> R è aperta/chiusa/propria? + +Caratterizzare le funzioni intere e bigettive +In R^n aperto connesso sse connesso per archi + +Trovare uno spazio connesso ma non connesso per archi. +Dimostrare che la chiusura di un connesso è connessa. +Definizione di parte interna, chiusura e bordo di un insieme. Queste definizioni dipendono dallo spazio ambiente? +Calcolare la chiusura di (0,1) e dei razionali in [0,1] immersi in IR e IR^2. +Enunciato e dimostrazione del teorema di Liouville. + +Calcolare n-proiettivo reale +Olomorfa sse analitica +Esercizio sul proiettivo del compito di luglio mi sembra + +31/05/21 +Palmieri: +- spazio delle matrici n x n reali quozientate per azione di coniugio di GL_n(R). Lo spazio ottenuto è T1, T2? +- curva affine in C^2: y²=x³-x. Qual è la sua chiusura proiettiva? Il supporto affine è denso nel supporto proiettivo? def. di asintoto, calcolo degli asintoti e punti singolari di questa curva. Stima brutale del numero di asintoti di una curva di grado d. + +Pitrone: +- f(z)dz chiusa <=> f olomorfa +- per quali "a" complessi esiste f:C*->C olomorfa non identicamente nulla con f'(z) = a*f(z)/z? +- R³ meno due rette. Nei tre casi in cui sono incidenti, parallele o sghembe, chi è il π_1? + +Boscardin: +- esempio di rivestimento non regolare +- per un rivestimento dallo spazio E connesso e localmente connesso per archi: gruppo degli automorfismi transitivo su una fibra <=> l'immersione del p_1(E) è normale +- trovare tutte le funzioni olomorfe su C per cui esistono k e d tali che |f(z)| e N() (con quest'ultimo si intende il sottogruppo normale generato da a) + +- Quand’è che una funzione propria è chiusa e dimostrazione (più come esercizio che come teoria) +- Gruppo fondamentale del toro +- Una funzione olomorfa si può scrivere come serie di potenze + +Elencare gli assiomi di separazione, dimostrare le varie implicazioni. Dare un controesempio a scelta delle implicazioni metrizzabile -> normale -> regolare -> T2 +Studiare f olomorfa tale che |f(z)| degenere con K = C. +• il toro è omeomorfo al toro meno un punto? +• Chi è il rivestimento universale del toro? + +Marzenta Giovanni: +Caratterizzazione dei rivestimenti regolari tramite il 1; un esempio di rivestimento regolare e uno di un rivestimento non regolare per il bouquet di due circonferenze. +Caratterizzare le funzioni olomorfe intere (da C in C) tali che |f(z)||z|d . + +• X = [0; 1), topologia di base: (a; b), con a > 0, e [0; a)U(b; 1), con 0 < a < b < 1. +E più o meno fine della topologia Euclidea? Assiomi di topologia? Connesso? ` E` +compatto? Conosci un compatto famoso che ne è omeomorfo? (S1) Un esempio di tale +omeomorfismo? (t -> e^2πit). +• Gruppo fondamentale degli spazi proiettivi complessi + +21/6/2022 + +Che relazione c'è tra connessione e connessione per archi? Connesso per archi => Connesso +(dimostrazione) e Connesso non implica Connesso per archi (dimostrazione). +• Data f : U \{z0} → C, punti di singolarità? A riguardo, cosa succede a lim z→z0 |f(z)|? +Esempio di funzione con singolarità`a essenziale? [f(z) = e^(1/z) ] +Dimostrazione del secondo enunciato di Riemann-Weierstrass +• X topologico e Y sottoinsieme, se Y e compatto e chiuso, che relazioni ci sono tra compattezza e chiusura? +• Come calcolare Zeri e Poli di una funzione, eventualmente con molteplicità? +• Consideriamo la striscia in R2 tra le rette x = 0 e x = 1 comprese e quozientiamolo con la +relazione (0; y) ∼ (1; -y) . Come ti immagini questo quoziente? E una varietà topologica? ` +Togliendo il segmento [0; 1], il quoziente è connesso per archi? Qual è il suo gruppo fondamentale? (Calcolarlo). +• Si può retrarre il nastro di Mobius sul suo bordo? +• Quanti punti di intersezione può avere al massimo una curva C = [F] in C con una retta? +• Come costruiresti uno spazio topologico con gruppo fondamentale Z/3? +• Prendiamo due triple di rette in P2(C), quando è possibile mandare le prime tre nelle seconde +tre? +• Definizione di Topologia Quoziente. Caratterizzazione degli aperti. Prendiamo X = R, x ∼ +y sse x - y \in Q: la topologia quoziente si può descrivere facilmente... Chi sono gli aperti di +questa topologia quoziente? (Topologia indiscreta). +• Definizione di Rivestimento. +Condizione su E affinché qualunque rivestimento sia di grado finito. +• Teorema fondamentale dell’Algebra. +• Una cubica C = [p], può avere una retta tangente in due punti? Se invece ha grado 4? +• Teorema di Riemann-Weierstrass. + +Quali sono le funzioni analitiche che sono in ogni punto è in modulo <= Kz^d con d fissato? (risposta ax^d con |a|<|k|). Se E->X rivestimento universale, è vero che p^-1(S) è un rivestimento di S \subseteq X? (risposta: sì). Quando p^(-1)(S) è connesso? (assumendo tutto quello che è ragionevole assumere? Risposta: i* suriettiva, dove i è la mappa di incliusione). + + + diff --git a/layouts/_default/baseof.html b/layouts/_default/baseof.html new file mode 100644 index 0000000..9d0509a --- /dev/null +++ b/layouts/_default/baseof.html @@ -0,0 +1 @@ + diff --git a/static/favicon.jpg b/static/favicon.jpg new file mode 100644 index 0000000..af30d55 Binary files /dev/null and b/static/favicon.jpg differ