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title: "Domande orali Algebra 2"
math: true
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<!-- TODO: TeX this up -->

- $f:A^m\to A^n$ , cosa possiamo dire su m,n?
- Quando Supp(M) è vuoto? Uno tra Supp(M), Supp(N) vuoto implica Supp(M⊗N) vuoto.
- K[x2,x4,...]->K[x1,...,x_n], come trovo gli ideali contratti?
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- Impostare il discorso sul teorema di struttura sui PID, e unicità.
- Z/(2) come Z-modulo non è piatto. Nei PID piatto sse libero
- C'è unicità nella decomposizione in irriducibili?
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- Come sono gli ideali monomiali primari?
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- Relazioni fra dimensione di krull si A/I e di A/rad(I)
- Se A=K[x1,..., xn] che relazione c'è fra le loro dimensioni di spazi vettoriali?
- Decomposizione primaria
- Chi è il prodotto tensoriale di A/I e A/J
- Trovare un anello con esattamente n ideali, senza usare giochetti combinatorici (cioè ad esempio senza sapere la decomposizione in primi)
- Che relazioni ci sono fra Noetheriano e UFD?
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- Ideali di S^(-1)A, corrispondenze, e qualche relazione.
- Studiare un po’ Q[x] localizzato in S=1+J con J =(x^3-1).
- Teorema della base di Hilbert, dimostrazione che ogni base di Gröbner genera, e lemma di Dickson.
- Sia I ideale di K[x1...xn] e consideriamo l’insieme degli ideali Lm(I) al variare degli ordinamenti monomiali. Allora tale insieme è finito?
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- Esercizio 2.2 del compito
- Ideali monomiali: definizione, un polinomio gli appartiene se e solo se ogni suo termine gli appartiene, tappe per mostrare che ogni ideale monomiale è finitamente generato (senza dimostrazione)
- S = { p € K[x,y]/(x^2) : p = a(y)+b(y)x, a(y) =/= 0} è un insieme moltiplicativo? È il complementare di un ideale primo? Studia S^{-1}A, con A=K[x,y]/(x^2)
- Definizione sottomodulo di torsione
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- Prodotto tensoriale, definizione e costruzione
- Moduli proiettivi, definizioni equivalenti.
- Essere proiettivi è una proprietà locale?
- Dati A=C[x,y,z] e I=(x^2+y^2+z^2-1,xy,z^4), dire più proprietà interessanti possibili di A/I, anche passando per la varietà associata ad I. Trovare il radicale di I, parlare di dimensione di A/I e di A/sqrt(I), di come sarà la base di Grobner associata, poi un accenno alla decomposizione primaria. A/I è noetheriano o artiniano?
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- Omomorfismo canonico \sigma_S : A->S^{-1}A, quando è iniettivo, quando è nullo, quando è surgettivo; quando f:A->B si estende a un isomorfismo S^{-1}A->B.
- Dati A=Z/(60), p=(5), descrivere A_p. Se A è finito, mostrare che \sigma_S è surgettivo.
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- Anello artiniano, enunciare definizione e proprietà a piacimento. Esempi di anelli artianiani.
- Parlare di basi di Groebner, ideali monomiali e cose varie sui Leading Term Ideals.
- Relazione tra libero e proiettivo, con i casi particolari A PID e A locale.
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- Dati, A=Q[x,y,z], f€A, S=1+(f), studiare S^{-1}A.
- Estensione e contrazione di ideali rispetto la localizzazione.
- Decomposizione primaria: esistenza.
- Anello noetheriano non UFD. Relazioni fra noetheriano e UFD(1/2).
- Data f:CxC->C, f(x,y)=xy sull'anello A, sia f~ : C x_{R} C -> C; trovare ker(f) e im(f).
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- Nullstellensatz, enunciato e dimostrazione della forma debole.
- Ordinamenti monomiali, definizione ed esempi.
- Tutte le proprietà di Q come Z modulo.
- Un modulo su un PID è proiettivo se e solo è libero.
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- Chiarimento su esercizio 2.1 del compito, in particolare studiare (Z/(q^n))_{(p)}, con p,q primi.
- Elencare tutte le proprietà di Z/(p^n) come anello e come modulo, con p primo; dimostrare in modo diretto che non è piatto.
- Data l'immersione di K[x_1,x_3,x_5] in K[x_1,x_2,...,x_6], studiare gli ideali estesi e contratti, come calcolarli, quali proprietà si conservano.
- Dimostrare il teorema di eliminazione delle variabili.
- Relazione fra elementi/ideali primi ed irriducibili su anelli di polinomi.
- Data una base di Grobner ridotta composta da polinomi irriducibili, l'ideale associato è primo?