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title: Aritmetica
tutors:
- name: Alessio Sgubin
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    value: n.cognome@studenti.unipi.it
  - type: website
    value: 'https://poisson.phc.dm.unipi.it/~sgubin'
- name: Alessandro Fenu
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  contacts:
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    value: a.fenu3@studenti.unipi.it
  - type: website
    value: 'https://poisson.phc.dm.unipi.it/~afenu'

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<p>
La prima metà del tutorato si è conclusa.
Abbiamo deciso di organizzare una simulazione del secondo compitino.
<a href="/materiale/simulazione_secondo_compitino_aritmetica.pdf">Qui trovate il file con il Testo e le Soluzioni</a>.
</p>

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<h2> Esercizi Settimana del 16 dicembre </h2>

Per consegnarli potete usare [questo Form](https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdRYHE4j_j28WXvL6kzqQ3LLuaiJl2QPg76fsS11Ucl871MLQ/viewform?usp=dialog).

## Esercizio 1
Sia $R$ un anello senza nilpotenti, ossia tale che se $x^n = 0$ per qualche $n$, allora necessariamente $x = 0$. Sappiamo inoltre che, per ogni $a, b \in R$, vale $(ab)^2 = a^2 \cdot b^2$. Dimostrare che $R$ è commutativo.

## Esercizio 2
Consideriamo l'anello $A$ delle funzioni continue $[0, 1] \to \mathbb{R}$, dove la struttura di anello è data dalla somma puntuale e dal prodotto puntuale.

Siano adesso, per $n \geq 2$, $f_1, \dots, f_n$ delle date funzioni. Sappiamo che non si annullano tutte contemporaneamente.

1. Mostrare che l'ideale da loro generato $(f_1, \dots, f_n)$ è tutto $A$.
2. Provare a capire chi sono gli ideali massimali $I \subset A$ e conseguentemente chi è il campo $A/I$.

## Esercizio 3
Definiamo *caratteristica* di un anello $A$ in maniera grezza come "il minimo numero $n$ tale che sommando $n$ volte consecutive il neutro della moltiplicazione, si arriva a $0$". Tale caratteristica può essere $0$ quando $n$ è infinito (ossia non arrivo mai a $0$) oppure un numero positivo.

Supponiamo adesso $A$ campo.

1. Che valori può avere $n$?
2. Esiste un campo con $n$ elementi? Se sì, quanti omomorfismi di anelli esistono $\mathbb{F}_n \to A$? Questi oggetti si chiamano "*oggetti iniziali*" (in un appropriato contesto).
3. Cosa abbiamo usato di $A$ campo? Verificare che tutto ciò che abbiamo detto funziona usando solo $A$ dominio.
4. Esiste un dominio con $15$ elementi? E con $64$?

## Esercizio 4
L'unità immaginaria $i$ è contenuta nell'estensione dei razionali $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{-2})$? E $\sqrt{5}$ in $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$?

## Esercizio 5
Quanti polinomi irriducibili di grado $n$ esistono nell'anello $\mathbb{F}_p[x]$?

