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title: Aritmetica
tutors:
    - name: Alessio Sgubin
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          - type: email
            value: n.cognome@studenti.unipi.it
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            value: 'https://poisson.phc.dm.unipi.it/~sgubin'
    - name: Alessandro Fenu
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      contacts:
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            value: a.fenu3@studenti.unipi.it
          - type: website
            value: 'https://poisson.phc.dm.unipi.it/~afenu'
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<p>
La prima metà del tutorato si è conclusa.
Abbiamo deciso di organizzare una simulazione del secondo compitino.
<a href="/materiale/simulazione_secondo_compitino_aritmetica.pdf">Qui trovate il file con il Testo e le Soluzioni</a>.
</p>

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<h2> Esercizi Settimana del 16 dicembre </h2>

Per consegnarli potete usare
[questo Form](https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdRYHE4j_j28WXvL6kzqQ3LLuaiJl2QPg76fsS11Ucl871MLQ/viewform?usp=dialog).

## Esercizio 1

Sia $R$ un anello senza nilpotenti, ossia tale che se $x^n = 0$ per qualche $n$, allora
necessariamente $x = 0$. Sappiamo inoltre che, per ogni $a, b \in R$, vale $(ab)^2 = a^2 \cdot b^2$.
Dimostrare che $R$ è commutativo.

## Esercizio 2

Consideriamo l'anello $A$ delle funzioni continue $[0, 1] \to \mathbb{R}$, dove la struttura di
anello è data dalla somma puntuale e dal prodotto puntuale.

Siano adesso, per $n \geq 2$, $f_1, \dots, f_n$ delle date funzioni. Sappiamo che non si annullano
tutte contemporaneamente.

1. Mostrare che l'ideale da loro generato $(f_1, \dots, f_n)$ è tutto $A$.
2. Provare a capire chi sono gli ideali massimali $I \subset A$ e conseguentemente chi è il campo
   $A/I$.

## Esercizio 3

Definiamo _caratteristica_ di un anello $A$ in maniera grezza come "il minimo numero $n$ tale che
sommando $n$ volte consecutive il neutro della moltiplicazione, si arriva a $0$". Tale
caratteristica può essere $0$ quando $n$ è infinito (ossia non arrivo mai a $0$) oppure un numero
positivo.

Supponiamo adesso $A$ campo.

1. Che valori può avere $n$?
2. Esiste un campo con $n$ elementi? Se sì, quanti omomorfismi di anelli esistono
   $\mathbb{F}_n \to A$? Questi oggetti si chiamano "_oggetti iniziali_" (in un appropriato
   contesto).
3. Cosa abbiamo usato di $A$ campo? Verificare che tutto ciò che abbiamo detto funziona usando solo
   $A$ dominio.
4. Esiste un dominio con $15$ elementi? E con $64$?

## Esercizio 4

L'unità immaginaria $i$ è contenuta nell'estensione dei razionali $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{-2})$? E
$\sqrt{5}$ in $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$?

## Esercizio 5

Quanti polinomi irriducibili di grado $n$ esistono nell'anello $\mathbb{F}_p[x]$?

<hr />

## Soluzioni Esercizi del 16 dicembre

Qui le [soluzioni](/materiale/soluzioni_esercizi_16dicembre.pdf).

## Tutorato 8 gennaio.

**Es.1**

Sia $p$ primo. Preso $P(x)=(x-1)\cdot(x-2)\cdot\dots\cdot (x-(p-1))$ per quali primi $p$ vale
$a_1\equiv 0 \text{mod} p^2$?

**Es.2**

Calcolare il numero di elementi di ordine $12$ in $\mathbb{Z}_{56}$ e $\mathbb{Z}_{377}$.

**Es.3**

Per quali $n\in \mathbb{N}$ il polinomio $x^{2n}+x^n+1$ è divisibile per $x^2+x+1$ in
$\mathbb{Q}[x]$?

**Es.4**

Sia $\alpha=2+\sqrt{5+\sqrt{-5}}\in \mathbb{C}$. Determinare i gradi
$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ e $[\mathbb{Q}(\alpha^2):\mathbb{Q}]$.

**Es.5**

Sia $f(x)=x^4+3x^3+x+1$. Calcolare il grado del campo di spezzamento su $\mathbb{F}_{2^k}$ e
$\mathbb{F}_{3^k}$. Inoltre detta $\alpha\in\mathbb{C}$ una qualsiasi radice di $f(x)$, calcolare
$[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$.

## Tutorato 15 gennaio

**Es.1**

Dimostrare che $x^4+1$ è riducibile in $\mathbb{F}_p$ per ogni $p$ primo.

**Es.2**

Risolvere il sistema di congruenze

$$
\begin{cases}
    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{28}\\
    x^{22} +2x\equiv 30 \mod{22}.
\end{cases}
$$

**Es.3**

Dimostrare che $x^4+x^2-x+2$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$.

**Es.4**

Sia $G$ gruppo tale che tutti i suoi sottogruppi normali abbiano indice infinito. Sia ora $F$ un
sottogruppo **finito** normale di $G$. Dimostrare che $Z(G)$ sta nel centro.

**Es.5**

Esercizio popolare (per lavorare di più con i gruppi): sia $G$ un gruppo di cardinalità $p^n$ per
qualche $n$ ed $H$ un suo sottogruppo proprio. Dimostrare che il normalizzatore di $H$ contiene
strettamente $H$.

**Es.6**

Determinare quanti sono i sottogruppi di $S_4$, di $S_5$ e di $S_6$ di cardinalità $9$.

## Tutorato 29 gennaio

**Es.1**

Definiamo $\sigma(n)$ come la somma di tutti i divisori positivi di $n\in \mathbb{N}_{>0}$.
Determinare le soluzioni all'equazione $$\ 3\cdot \sigma(n)=4\cdot n -17.$$

**Es.2**

Determinare tutte le coppie $(n, h)\in \mathbb{N}^2$ tale che esistano omomorfismi **non banali** da
$S_n$ ad un gruppo di cardinalità $h$.

**Es.3**

Fattorizzare $x^3+2x+1$ nel campo di spezzamento di $x^4+4$ su $\mathbb{F}_3$.

**Es.4**

Descrivere il centralizzatore dell'elemento $(1234)(567)(89)$ in $S_9$. Dire la cardinalità del
normalizzatore di $\langle (1234)(567)(89) \rangle$ in $S_9$.

## Soluzioni primo scritto di Aritmetica

### Esercizio 1

Consideriamo la successione definita da $a_1=2, a_2=2$ e $a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ per ogni
$n\geq 3$.

-   **a.** Dimostrare che $a_n$ è un multiplo di $12$ per ogni $n\geq 4$.

-   **b.** Dimostrare che per ogni intero positivo $n$ vale $a_n\geq \sqrt{n!}$.

**Soluzione a.**

Procediamo per _induzione forte_ su $n$: assumendo che $a_k$ sia divisibile per $12$ per ogni
$4\leq k<n$ dimostriamo che $a_n$ è divisibile per $12$.

-   **Passo base:** verifichiamo che $a_4$ ed $a_5$ siano multipli di $12$. Per computazione
    diretta, $a_3=6, a_4=12, a_5=36$, da cui segue il passo base.

-   **Passo induttivo:** supponendo la tesi vera per ogni $4\leq k<n$ dimostriamola per $k=n$.
    Notiamo che il nostro passo base permette di fare l'assunzione $n>5$. Scrivendo la ricorsione
    $$
    a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}
    $$
    si nota che $a_{n-1}$ ed $a_{n-2}$ sono entrambi multipli di $12$ per ipotesi induttiva forte,
    in quanto $n-1, n-2$ sono entrambi maggiori o uguali a $4$ (ricordiamo $n>5$) e chiaramente
    strettamente minori di $n$. Allora $a_n$ è combinazione di due multipli di $12$ ed è multiplo di
    $12$.

Abbiamo concluso il passo induttivo e dunque dimostrato che $a_k$ è sempre multiplo di $12$ per ogni
$k\geq 4$.

**Soluzione b.**

Procediamo nuovamente per induzione forte su $n$. Notiamo preliminarmente che per ogni $n\geq 2$
vale la disuguaglianza $1+\sqrt{n-1}\geq \sqrt{n}$: elevando al quadrato è equivalente (per
positività di ambo i membri) a $n+2\sqrt{n-1}\geq n$ ossia a $2\sqrt{n-1}\geq 0$, chiaramente
verificata.

-   **Passo base:** dal testo $a_1\geq \sqrt{1}, a_2\geq \sqrt{2}$ seguono.

-   **Passo induttivo:** supponendo la tesi vera per ogni $1\leq k<n$ dimostriamola per $k=n$.
    Notiamo che il nostro passo base permette di fare l'assunzione $n>2$. Scrivendo la ricorsione

    $$
    a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}
    $$

    otteniamo immediatamente $a_n\geq \sqrt{(n-1)!}+(n-1)\sqrt{(n-2)!}$ (abbiamo sostituito
    l'ipotesi induttiva dato che $n-1, n-2$ sono entrambi $\geq 1$) che possiamo esprimere come
    $$a_n\geq\sqrt{(n-1)!}+(n-1)\sqrt{(n-2)!}=\sqrt{(n-1)!}\cdot(1+\sqrt{n-1}).$$

    Applicando l'osservazione iniziale, il membro di destra è maggiore o uguale a
    $\sqrt{(n-1)!}\cdot \sqrt{n}=\sqrt{n!}$ e dunque

    $$
    a_n\geq \sqrt{n!}
    $$

che conclude il passo induttivo e dimostra la tesi.

### Esercizio 2

Trovare tutte le soluzioni intere del sistema

$$
\begin{cases}
    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{28}\\
    x^{22}+2x\equiv 30 \mod{22}
\end{cases}
$$

**Soluzione.** Risolviamo entrambe le equazioni e poi mettiamo a sistema le soluzioni. La prima
equazione è equivalente al sistema

$$
\begin{cases}
    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{4}\\
    3^{x^2-1}\equiv -1 \mod{7}
\end{cases}
$$

Per la prima equazione, basta notare che le potenze di $3$ ciclano modulo $4$ ogni $2$:
$3^0\equiv 1, 3^1\equiv -1, 3^2\equiv 1,\dots$ come assicurato dal teorema di Eulero-Fermat.
L'equazione è verificata allora per tutti gli $x$ tali che $x^2-1$ sia dispari $\Rightarrow x$ pari.
Analogamente per la seconda equazione: il teorema di Eulero-Fermat ci garantisce che le potenze di
$3$ modulo $7$ si ripetano ogni $6$ pertanto basta calcolare
$3^0\equiv 1, 3^1\equiv 3, 3^2\equiv 2, 3^3\equiv -1, 3^4\equiv 4, 3^5\equiv -2, 3^5\equiv 1$. La
seconda equazione sarà allora soddisfatta per tutti e soli gli interi $x$ con
$x^2-1\equiv 3\mod{6}$, ossia (per verifica diretta <!-- footnote --> (Importante: una semplice applicazione del teorema di Eulero-Fermat non ci garantisce una corretta risoluzione dell'equazione. I (pochi) conti ci hanno assicurato che $3$ genera $(\mathbb{Z}_7)^*$)) $x\equiv 2, 4\mod{6}$. Intersecando le soluzioni trovate, otteniamo che $x\equiv 2, 4\mod{6}$ è la soluzione di questo primo sistema.

La seconda equazione del testo è equivalente al sistema

$$
\begin{cases}
    x^{22}+2x\equiv 8 \mod{2}\\
    x^{22}+2x\equiv 8 \mod{11}
\end{cases}
$$

Dalla prima, si ottiene $x$ pari (nuovamente), per la seconda possiamo usare il teorema di
Eulero-Fermat che ci garantisce $x^{11}\equiv x^1\mod{11}$ e sostituire $x^{22}$ con $x^2$. Abbiamo
ora $x^2+2x\equiv 8 \mod{11}$ e dunque
$(x-2)(x+4)\equiv 0 \mod{11}\Rightarrow x\equiv2, -4 \mod{11}$ dato che $\mathbb{Z}_{11}$ è un
campo.

Intersecando tutte le soluzioni ottenute abbiamo i $4$ sistemi

$$
\begin{cases}
    x\equiv 2, 4 \mod{6}\\
    x\equiv 2, -4 \mod{11}
\end{cases}
$$

Per il Teorema Cinese del Resto sappiamo che ognuno dei $4$ sistemi ammette una e una sola
soluzione, che possiamo trovare a mano aggiungendo $2$ e togliendo $4$ ai primi sei multipli di
$11$. Le soluzioni finali saranno $x\equiv 2, 40, 46, 62\mod{66}$.

### Esercizio 3

Dire se il polinomio $p(x)=x^4+ x^2 - x+2$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$.

**Soluzione.** Per il criterio della radice razionale, se questo polinomio fosse diviso da un
fattore di grado $1$ avrebbe una radice razionale con numeratore che divide $2$ e denominatore che
divide $1$ (il termine di testa). Per verifica diretta, $1, -1, 2, -2$ non sono radici pertanto il
nostro polinomio non è diviso da nessun fattore di grado $1$.

Rimangono due possibilità: o è un prodotto di due fattori di grado $2$ irriducibili oppure è
irriducibile.

Se fosse $p(x)=g(x)\cdot h(x)$ con $g$ ed $h$ di grado $2$, allora proiettando tutto tramite
$\mathbb{Z}[x]\rightarrow\mathbb{Z}_3 [x]$ otterremo una fattorizzazione di $p(x)$ in
$\mathbb{Z}_3[x]$ in fattori di grado al più $2$.

Questo è un assurdo: in $\mathbb{Z}_3[x]$ abbiamo $x^4+x^2-x+2=(x-1)(x^3+x^2+2x+1)$ e il fattore di
grado $3$ è irriducibile visto che non ha radici. Pertanto la fattorizzazione in $\mathbb{Z}[x]$ non
può avere fattori irriducibili di grado tutti minori di $3$.

L'unica possibilità rimasta è che $p(x)$ sia irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$ e abbiamo concluso.

**Conclusione alternativa.** Per escludere che $p(x)$ sia prodotto di due fattori irriducibili di
grado $2$ possiamo anche procedere diversamente. Una tale fattorizzazione sarebbe della forma
$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+x^2-x+2$ e svolgendo tutti i prodotti ed eguagliando i coefficienti
otteniamo un sistema che non ha soluzione in $\mathbb{Q}$.

### Esercizio 4

Sia $Y$ l'insieme costituito dai sottogruppi di $S_5$ che hanno $4$ elementi.

1. Quanti sottogruppi ciclici ci sono in $Y$?
2. Consideriamo $\sigma=(1, 2, 3, 4)$. Quanti elementi ha il centralizzatore $C(\sigma)$?
3. Quanti sottogruppi isomorfi a $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ ci sono in $Y$?
4. Per ogni $K\in Y$ consideriamo il suo normalizzatore $N(K)=\{g\in S_5 | gKg^{-1}=K\}$ (assumiamo
   noto il fatto che il normalizzatore sia a sua volta un sottogruppo di $S_5$). Dire se fra questi
   normalizzatori ce ne sono alcuni (e se ce ne sono specificare quanti sono) isomorfi a uno dei
   seguenti gruppi: $\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_2, D_4, A_4, S_4, A_5, S_5$.

**Soluzione (1).** Per contare sottogruppi ciclici di ordine $4$ possiamo contare gli elementi di
ordine $4$ e dividere per $\varphi(4)=2$ (il numero di generatori per ogni sottogruppo). Gli
elementi di ordine $4$ in $S_5$ sono tutti e soli i $4-$cicli: dalla teoria sappiamo che sono
${{5}\choose{4}}\cdot 3!$ e dunque la risposta è $15$.

**Soluzione (2).** Sappiamo che la cardinalità del centralizzatore di $\sigma$ in $S_5$ corrisponde
(per la formula Orbita-Stabilizzatore) a $|S_5|/|{\text{classe di coniugio di }\sigma}|$. Inoltre la
classe di coniugio di $\sigma$ è fatta da tutti e soli i $4$-cicli in $S_5$ che per il conto
precedente sono $30$. La risposta è allora $120/30=4$. Possiamo notare anche che
$1, \sigma, \sigma^2, \sigma^3$ ci appartengono e sono pertanto tutti e soli gli elementi del
centralizzatore.

**Soluzione (3).** Dato che $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ è generato da due qualsiasi dei suoi
elementi di grado $2$ (distinti), ci basta contare le coppie (ordinate) di elementi di grado $2$ che
commutano in $S_5$ e poi dividere per $6$ (il numero di modi di scegliere una coppia ordinata di
generatori in $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$).

Per fare il conto procediamo cosi: notiamo che gli elementi di ordine $2$ sono $2-$cicli e
$2+2-$cicli. Il centralizzatore di un $2$-ciclo contiene $6$ elementi di ordine $2$ distinti dal
$2-$ciclo di partenza (basta fare il conto con $(12)$) mentre un $2+2-$ciclo ne contiene altri $4$
(basta fare il conto con $(12)(34)$). Pertanto il numero di coppie ordinate di elementi di ordine
$2$ che commutano in $S_5$ è
$\text{numero di 2-cicli}\cdot 6 + \text{numero di 2+2-cicli}\cdot 4=120$. Dividendo per $6$
otteniamo $\boxed{20}$ che è la risposta corretta.

**Soluzione (4).** Cominciamo osservando che, per la formula orbita-stabilizzatore, il
normalizzatore di un $4$-ciclo (e dunque dello $\mathbb{Z}_4$ che genera) ha cardinalità
$5!/\{\text{suoi coniugati}\}$ ed i suoi coniugati sono tutti e soli gli elementi contati al punto
$(1)$. Il normalizzatore ha cardinalità $8$. Esibiamo due modi per capire chi è. Senza perdita di
generalità supponiamo che il gruppo sia $\langle (1234) \rangle$. Possiamo imporre
$g(1234)g^{-1}=(1234)^i$ per $i=0, 1, 2, 3$ e determinare a mano tutti gli $8$ elementi (in questa
maniera abbiamo mostrato un altro modo per capirne la cardinalità): otteniamo una copia di $D_4$ sui
vertici $\{1, 2, 3, 4\}$.

Alternativamente potevamo osservare che il $D_4\subset S_5$ sui vertici $\{1, 2, 3, 4\}$ di sicuro
normalizza $\langle (1234) \rangle$ in quanto esso genera un sottogruppo di indice $2$ dentro $D_4$.
D'altronde, per il conto iniziale il normalizzatore ha cardinalità proprio $8$ e dunque non contiene
nient'altro oltre a $D_4$. Con questo ragionamento abbiamo appena esibito $\boxed{15}$
normalizzatori isomorfi a $D_4$, uno per ogni <!-- footnote --> (Tutte queste copie sono distinte
dato che dentro un $D_4$ esiste un solo gruppo di ordine $4$) gruppo ciclico dentro $Y$.

Dobbiamo contare i normalizzatori dei rimanenti sottogruppi dentro $Y$, ossia le varie copie di
$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$.

Dal punto $(3)$ abbiamo scoperto che esistono due copie non coniugate di
$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ dentro $S_5$: i generati da due cicli disgiunti
$\langle e, (12), (34), (12)(34) \rangle$ che sono $15$ (tutti coniugati tra loro) e i generati da
due $2+2$-cicli $\langle e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \rangle$ che sono $5$ (tutti coniugati tra
loro). Per gli stessi conti di prima (entrambe le strade funzionano) abbiamo che il normalizzatore
di $\langle e, (12), (34), (12)(34) \rangle$ ha cardinalità $8$ ed è dunque un $D_4$, mentre il
normalizzatore di $\langle e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \rangle$ ha cardinalità $24$. Sarà
pertanto la copia di $S_4\subset S_5$ dato che ha la giusta cardinalità (è un fatto noto che $S_4$
normalizzi il _gruppo di Klein_). Di queste copie ne abbiamo $\boxed{5}$ distinte.

Abbiamo concluso.