
// == Relazioni Skein

// // Note. Here and elsewhere in this paper, small diagrams stand for parts of larger
// // diagrams. A collection of small diagrams occuring in a single equation all share
// // the same larger diagram. (The large diagram is only changed as indicated by
// // the small diagrams.)

// Prima di passare alla definizione dell'isotopia regolare, introduciamo brevemente le relazioni skein. Sono uno strumento utile per definire molti invarianti costruiti su diagrammi. L'idea è di rappresentare relazioni tra più diagrammi indicando con dei diagrammi parziali solo le parti in cui questi differiscono.


// #definition[
//   Diamo un nome alle segmenti porzioni di diagrammi
// ]

// #align(
//   center,
//   grid(
//     columns: 4,
//     column-gutter: 2em,
//     row-gutter: 1em,
//     skein-generic(kind: "over", arrows: (false, false)),
//     skein-generic(kind: "under", arrows: (false, false)),
//     skein.h,
//     skein.v,

//     $L_+$, $L_-$, $L_0$, $L_infinity$,
//   ),
// )

// I primi due indicano uno stesso diagramma in cui abbiamo scambiato un incrocio, le seconde invece sono chiamate da Kauffman _splice_ e rappresentano un incrocio in cui abbiamo tagliato e rincollato i due fili. Queste ultime, in letteratura, sono anche chiamate spesso _smoothing_ o risoluzioni.#margin-note[come tradurre questi termini in italiano?]

// Fissato un anello $scr(R)$, un possibile modo di formalizzare le relazioni skein è di vederle come elementi dell'anello di polinomi $scr(R)[L_+, L_-, L_0, L_infinity]$, ad esempio preso un elemento $F in scr(R)[L_+, L_-, L_0, L_infinity]$, una relazione skein è un'espressione della forma

// $
//   F(L_+, L_-, L_0, L_infinity) = 0
// $

// #definition[
//   Fissato un diagramma $D$ ed un suo incrocio $c$ possiamo definire le seguenti operazioni sul diagramma

//   - $S_c K$ è lo stesso diagramma $D$ con l'incrocio $c$ scambiato, ovvero con l'informazione sopra/sotto invertita.

//   - $E_c K$ è il diagramma con l'incrocio $c$ sostituito con lo _splice_ orizzontale

//   - $e_c K$ è il diagramma con l'incrocio $c$ sostituito con lo _splice_ verticale
// ]

// A priori non è ovvio che gli _splice_ siano ben definiti e potrebbero dipendere dall'orientazione del diagramma [...].

// // Però si può dimostrare che c'è un modo indipendente dall'orientazione del nodo di decidere come applicare i due tipi di splice in modo coerente.

// A questo punto possiamo introdurre un concetto di valutazione di queste relazioni skein, data una relazione $F(L_+, L_-, L_0, L_infinity) = 0$ possiamo introdurre la seguente valutazione. Fissato diagramma $D$ ed un suo incrocio positivo $c$ possiamo definire $F_D in scr(R)[scr(D)]$ come #margin-note[Trovare referenze per questa parte anche se probabilmente va trattata diversamente o tolta e basta forse]

// $
//   F_D colon.eq F(space D , space S_c D , space E_c D , space e_c D space)
// $

// // Questo ci permette di valutare una relazione skein "vicino" ad un incrocio specifico.
