@ -298,7 +298,7 @@ Questo sarà importante più avanti quando vedremo invarianti come il polinomio
#definition[
Sia $K$ un diagramma di un nodo, $cal(U)$ la sua ombra planare#footnote[Ovvero per $K subset bb(R)^3$ poniamo $cal(U) colon.eq pi(K) subset bb(R)^2$] e $p in cal(U)$ un punto di partenza direzionato in $cal(U)$.
Il suo *nodo banale standard* (o in _forma discendente_) associato a $K$ detto $hat(K)(cal(U), p)$ è definito come segue: si prende il punto di partenza direzionato e si inizia a percorrere l'ombra planare in quella direzione e si rende ogni incrocio un sopra-incrocio quando ci si passa sopra per la prima volta.
Il *nodo banale standard* (o in _forma discendente_) associato a $K$ detto $hat(K)(cal(U), p)$ è definito come segue: si prende il punto di partenza direzionato e si inizia a percorrere l'ombra planare in quella direzione e si rende ogni incrocio un sopra-incrocio quando ci si passa sopra per la prima volta.
Questa definizione si estende anche a diagrammi di link prendendo un insieme di punti base ordinati come mostrato in figura. In particolare questo induce un ordinamento dall'alto verso il basso delle componenti. #h(1fr)
*Def.* $X, Y$ spazi topologici, $f : X arrow Y$ continua è *embedding* se $X approx f(X) subset Y$.
#definition[
$X, Y$ spazi topologici, $f : X arrow Y$ continua è *embedding* se $X approx f(X) subset Y$
]
*Def.* $f : X arrow Y$ embedding, $p in X$ allora $f$ è *localmente piatto* in $p$ se esiste $U subset bb(R)^3$ intorno di $p$ tale che $U approx DD^2 times [0,1]$ e $U inter f(X) <-> {0} times [0, 1]$.
#definition[
$f : X arrow Y$ embedding, $p in X$ allora $f$ è *localmente piatto* in $p$ se esiste $U subset bb(R)^3$ intorno di $p$ tale che:
]
\
#{
set align(center)
*Def.* $K subset bb(R)^3$ è un *nodo (tame)* se esiste $f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ embedding loc. piatto con $K = f(bb(S)^1)$.
$K subset bb(R)^3$ è un *nodo tame* se esiste $f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ embedding localmente piatto con $K = f(bb(S)^1)$
]
#pause
#figure(image("assets/wild_knot.svg", height: 5cm), caption: [Esempio di nodo non tame])
]
*Def.* Possiamo generalizzare i nodi $bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ a *link* sostituendo con $bb(S)^1 union.sq dots.c union.sq bb(S)^1 arrow bb(R)^3$.
== Isotopia Ambiente
#slide[
#definition[
$K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* che porta uno nell'altro, ovvero esiste $H : bb(R)^3 times [0, 1] arrow bb(R)^3$ continua, tale che:
*Def.* $K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* che porta uno nell'altro, ovvero esiste $H : bb(R)^3 times [0, 1] arrow bb(R)^3$ continua, tale che:
- $forall t in [0, 1], H(dot, t)$ è un omeomorfismo
- $forall t in [0, 1], H(dot, t)$ è un omeomorfismo
e ponendo $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha
e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
- $H_0 = id_(bb(R)^3)$
- $H_0 = id_(bb(R)^3)$
- $H_1(K_0) = K_1$
]
]
- $H_1(K_0) = K_1$
#slide[
*Def.* Un *nodo poligonale* è un nodo equivalente ad un'unione finita di segmenti lineari.
// == Introduzione
*Fatto (Crowell).* Dato un nodo $K subset bb(R)^3$, $K$ è *tame* $<=>$ $K$ è *poligonale*.
// *Def.* Un *nodo poligonale* è un nodo equivalente ad un'unione finita di segmenti lineari.
\
*Def.* Possiamo generalizzare i nodi $bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ a *link* come $bb(S)^1 union.sq dots.c union.sq bb(S)^1 arrow bb(R)^3$.
]
// *Fatto (Crowell).* Dato un nodo $K subset bb(R)^3$, $K$ è *nodo (tame)* $<=>$ $K$ è *poligonale*.
== Proiezioni e Diagrammi
// Data $v in bb(S)^2 subset bb(R)^3$ direzione, $pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$ proiezione sul piano ortogonale a $v$ come nella seguente figura:
*Fatto.* Sia $L subset bb(R)^3$ link poligonale, allora esiste un aperto denso $U subset bb(S)^2$ tale che $forall v in U$ e detta $pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$ la proiezione sul piano $v^perp$ come in figura, abbiamo che:
2. Se $x in pi_v (L)$ è tale che $abs(pi^(-1)(x)) > 1$, ovvero è un punto *singolare*, allora:
@ -166,237 +110,582 @@
== Proiezioni e Diagrammi
// Sia $L subset bb(R)^3$ un link, $v in bb(S)^2$ una direzione e $pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$ la proiezione su $v^perp$:
*Def.* Un *diagramma* $D subset bb(R)^2$ di un link $L subset bb(R)^3$ è l'immagine di $L$ attraverso una proiezione regolare decorata con l'informazione sopra/sotto ad ogni incrocio.
// Quindi dato $L subset bb(R)^3$ link poligonale, esiste una proiezione regolare $pi(L) subset bb(R)^2$ con un numero finito di punti singolari, ciascuno dei quali è un punto doppio e di intersezione trasversa. Ognuno di questi punti doppi viene detto *incrocio*.
#pad(
top: 0.5em,
grid(
columns: (1fr, auto),
gutter: 1em,
align: top,
[
*Def.* Le mosse I, II, III in figura sono dette *mosse di Reidemeister*.
*Teorema (di Reidemeister).* Due diagrammi di link _equivalenti_ sono collegati da una _successione finita mosse di Reidemeister_ e isotopie planari.
*Def.* Un *diagramma* $D subset bb(R)^2$ di un link $L subset bb(R)^3$ è l'immagine di $L$ attraverso una proiezione regolare decorata con l'informazione sopra/sotto ad ogni incrocio.
== Isotopia Regolare
#grid(
columns: (1fr, auto),
gutter: 1em,
[
*Def.* Le mosse I, II, III sono dette *mosse di Reidemeister*.
*Teorema (di Reidemeister).* Due diagrammi di link equivalenti sono collegati da una successione finita di isotopie planari e mosse di Reidemeister.
*Def.* $D_1, D_2$ diagrammi di link si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se e solo se sono equivalenti a meno di isotopie planari e mosse II e III di Reidemeister.
*Osservazione.* Tutte le mosse di tipo I, quelle che introducono quelli che chiameremo *riccioli*, possono passare sopra o sotto altri fili senza problemi applicando le seguenti mosse
*Lemma.* Sia $K$ un diagramma di un nodo in _forma discendente_, allora o è composto interamente da riccioli o ammette una sequenza di mosse di tipo II e III che portano al diagramma di un nodo formato solo da riccioli.
Ovvero un nodo in forma discendente è _equivalente_ ad uno composto solo da riccioli.
\
#pause
_Dim._ Consideriamo una successione di mosse $K = D_0 stretch(arrow) dots.c stretch(arrow) D_n = #skein.unit-medium$.
*Def.* Sia $K$ un diagramma di un nodo, $p in K$ un punto di partenza direzionato e sia $lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ una sequenza di etichette di incroci di $K$:
#pause
#{
set align(center)
Questi calcoli suggeriscono che $L_K$ esiste, ma serve una dimostrazione rigorosa!
]
v(1em)
== La Sfida della Buona Definizione
grid(
columns: 4,
column-gutter: 2em,
row-gutter: 1em,
align: center,
{
skein.over-large
place(center + top, dy: -0.25em, {
show math.equation: set text(size: 15pt)
$i$
})
},
{
skein.under-large
place(center + top, dy: -0.25em, {
show math.equation: set text(size: 15pt)
$i$
})
},
skein.h-large,
skein.v-large,
#slide[
*Problema centrale:* Gli assiomi definiscono $L_K$ in modo unico?
$K$, $S_i K$, $E_i K$, $e_i K$,
)
#pause
v(1em)
*Sfide:*
1. Gli assiomi sono *impliciti* (relazioni, non formule)
2. Come garantire che esista una soluzione?
3. Come garantire l'unicità?
4. Come verificare l'indipendenza dalle scelte computazionali?
$
A_i^lambda colon.eq E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
#h(2em)
B_i^lambda colon.eq e_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
