diff --git a/out/tesi-triennale.pdf b/out/tesi-triennale.pdf
index e87e7e1..f861d94 100644
Binary files a/out/tesi-triennale.pdf and b/out/tesi-triennale.pdf differ
diff --git a/src/main.typ b/src/main.typ
index 64c1ec8..043bb77 100644
--- a/src/main.typ
+++ b/src/main.typ
@@ -860,7 +860,7 @@ Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul
   $
     sum_K (lambda) = sum_K (mu)
   $
-]
+] <lemma-sum-switches-rotation>
 
 #proof[
   Per prima cosa rinominiamo le etichette $lambda_n, dots, lambda_0$ come $n, dots, 0$ per semplificare la notazione dunque
@@ -914,16 +914,6 @@ Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul
     + (-1)^(n+1) (   & L[E_0 S_n dotss S_1 K] + L[e_0 S_n dotss S_1 K] )
   $
 
-  #let blank = {
-    $#h(0.125em) #{
-      rect(width: 0.8em * 1.41, height: 0.8em, stroke: 0.5pt, place(dx: -0.2em, dy: -0.55em, {
-        set text(size: 10pt)
-
-        $dots$
-      }))
-    } #h(0.125em)$
-  }
-
   Permutando i termini di tutte le righe tranne la prima e l'ultima possiamo riscriverli in modo da averli nella forma $L[#blank K] + L[#blank S_0 K]$:
 
   $
@@ -1055,7 +1045,7 @@ $
   1. $S_i hat(K) = hat(K)'$
 
   2. $L[hat(K)] + L[hat(K)'] = z (L[E_i hat(K)] + L[e_i hat(K)])$
-]
+] <lemma-slide-identities>
 
 #proof[
   1. Per definizione di nodo banale standard $hat(K)(cal(U), q) = S_i hat(K)(cal(U), p)$ poiché l'incrocio $i$ in $hat(K)(cal(U), p)$ compare come sopra-incrocio mentre in $hat(K)(cal(U), q)$ è l'ultimo incrocio visitato quindi è certamente la seconda occorrenza di $i$ quindi è un sotto-incrocio. Tutti gli altri incroci compaiono nello stesso ordine quindi restano invariati.
@@ -1076,7 +1066,7 @@ $
       L[hat(K)]     &= a^(w+1) \
       L[S_i hat(K)] &= a^(w-1) \
       L[e_i hat(K)] &= a^w \
-      L[E_i hat(K)] &= d a^(w_1) a^(w_2) = d a^(w_1 + w_2) = d a^w = (a^(w+1) + a^(w-1))/z - a^w
+      L[E_i hat(K)] &= d a^(w_1) a^(w_2) = d a^(w_1 + w_2) = d a^w = (a^(w+1) + a^(w-1)) slash z - a^w
     $
 
     che dunque verifica l'identità:
@@ -1093,6 +1083,145 @@ $
   Sia $K$ un diagramma di un nodo. Allora ii.b) non dipende dalla scelta di punto base e più precisamente vale
 
   $
-    Omega_K(p) = (-1)^(abs(lambda(p)) + 1)
+    Omega_K(p) = (-1)^(abs(lambda(p)) + 1) L_hat(K)(p) + z sum_K (lambda(p))
   $
+]
+
+#proof[
+  Possiamo assumere che la sequenza di scambi determinata da $p$ sia etichetta $lambda = (n, dots, 0)$. Mostriamo l'indipendenza da punto base mostrando che possiamo scorrere $p$ nell'arco successivo al primo incrocio dopo $p$.
+
+  Sia $i$ l'etichetta del primo incrocio dopo $p$. In $hat(K)(p)$ questo incrocio sarà sicuramente un sopra-incrocio in quanto $i$ è visitato per la prima volta essendo il primo incrocio dopo $p$. Invece in $K(p)$ può essere sia un sopra-incrocio che un sotto-incrocio, abbiamo quindi due casi:
+
+  - Se $i$ è un sotto-incrocio in $K(p)$ allora $i$ sarà il primo incrocio nella sequenza di scambi ed avremo $i = n$
+
+    #todo[disegnino]
+
+    Consideriamo ora la situazione di $K(q)$
+
+    #todo[disegnino]
+
+    come già detto prima se l'ultimo incrocio è un sotto-incrocio allora è già in forma di nodo banale standard. Segue che $i$ non appartiene alla sequenza di scambi in questo caso ed avremo $(n-1, dots, 0)$ e $hat(K)(q) = S_(n-1) dotss S_0 K$. Vorremo vedere che $Omega_K (p) = Omega_K (q)$, ovvero:
+
+    $
+      Omega_K (p) &= (-1)^(n+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)) \
+      Omega_K (q) &= (-1)^((n-1)+1) L[hat(K)(q)] + z sum_K (lambda(q))
+    $
+
+    come in precedenza studiamo la differenza:
+
+    $
+      Omega_K (p) - Omega_K (q)
+      =& (-1)^(n+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)) \
+       &+ underbrace((-1)^(n+1), = -(-1)^n) L[hat(K)(q)] - z sum_K (lambda(q)) \
+      =& (-1)^(n+1) (L[hat(K)(p)] + L[hat(K)(q)]) \
+       &+ z (-1)^n (L[A_n^lambda K] + L[B_n^lambda K])
+    $
+
+    dove abbiamo usato il fatto che tutti i termini in $sum_K (lambda(p)) - sum_K (lambda(q))$ si cancellano tra loro tranne l'ultimo di $sum_K (lambda(p))$.
+
+    Ora notiamo che
+
+    $
+      A_n^lambda K &= E_n S_(n-1) dotss S_0 K = E_n hat(K)(p) \
+      B_n^lambda K &= e_n S_(n-1) dotss S_0 K = e_n hat(K)(p) \
+      hat(K)(p)    &= S_n space.med hat(K)(p)
+    $
+
+    inoltre per il @lemma-slide-identities abbiamo anche che
+
+    $
+      L[hat(K)(p)] + L[hat(K)(q)] = z (L[E_n hat(K)(p)] + L[e_n hat(K)(p)])
+    $
+
+    Per concludere questo caso basta sostituire in queste ultime identità
+
+    $
+      Omega_K (p) - Omega_K (q) =& (-1)^(n+1) (L[hat(K)(p)] + L[hat(K)(q)]) \
+                                 &+ z (-1)^n (L[A_n^lambda K] + L[B_n^lambda K]) \
+      =                          & cancel(z (-1)^(n+1) (L[E_n hat(K)(p)] + L[e_n hat(K)(p)])) \
+                                 &+ cancel(z (-1)^n (L[E_n hat(K)(p)] + L[e_n hat(K)(p)])) \
+      =                          & 0
+    $
+
+    e quindi $Omega_K (p) = Omega_K (q)$.
+
+  - Se $i$ è un sopra-incrocio in $K(p)$ siamo nella seguente situazione
+
+    #todo[disegnino]
+
+    In questo caso, $i$ non fa parte della sequenza di scambi per $K(q)$. Però dopo aver spostato il punto base avremo la seguente situazione
+
+    #todo[disegnino]
+
+    Questa volta $i$ fa parte della sequenza di scambi per $K(q)$ e quando compare come ultimo incrocio è un sotto-incrocio. Avremo quindi le seguenti sequenze di scambi
+
+    $
+      lambda(q) &= (n, n-1, dots, i, dots, 1, 0) \
+      lambda(p) &= (n, n-1, dots, i+1, i-1, dots, 1, 0)
+    $
+
+    a meno di riordinare gli scambi è facile vedere che $S_i hat(K)(q) = hat(K)(p)$, e che il @lemma-slide-identities si applica alla coppia $hat(K)(p), hat(K)(q)$ per l'indice $i$. Per il @lemma-sum-switches-rotation abbiamo anche che $sum_K (p), sum_K (q)$ sono invarianti a meno di permutazioni cicliche. Possiamo quindi sostituire $lambda(p)$ e $lambda(q)$ con le seguenti sequenze di scambi applicando le giuste rotazioni.
+
+    $
+      lambda'(p) &= (i-1, dots, 1, 0, n, n-1, dots, i+1) \
+      lambda'(q) &= (i, i-1, dots, 1, 0, n, n-1, dots, i+1)
+    $
+
+    A questo punto possiamo applicare un argomento simile a quello del punto precedente.
+
+  E questo completa la dimostrazione dell'indipendenza di $Omega_K (p)$ dalla scelta di punto base.
+]
+
+#lemma[
+  Sia $i$ un incrocio di un diagramma di link $K$. Allora $L_K$ verifica le identità
+
+  1. $L[K] + L[S_i K] = z (L[E_i K] + L[e_i K])$
+
+  2. $L[#skein.over-twist-medium] = a L [#skein.strand-medium]$, $L[#skein.under-twist-medium] = a^(-1) L [#skein.strand-medium]$
+]
+
+#proof[
+  Mostriamo per induzione sul numero di incroci nel diagramma. Consideriamo i seguenti casi: #margin-note[ricontrollare tutta questa]
+
+  - Se $K$ ha una sola componente ed un incrocio $i$. Consideriamo $S_i K$, $E_i K$ e $e_i K$, scegliendo bene $p$ possiamo fare in modo che $i$ sia il primo incrocio nella sequenza di scambi. A questo punto otteniamo la tesi calcolando la differenza nelle espansioni di $Omega_K (p)$ e $Omega_(S_i K) (p)$.
+
+  - Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio di una componente con se stessa. In questo caso la tesi segue per dalla @kauffman-poly-def utilizzando per induzione il caso ii.a).
+
+  - Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio tra due componenti diverse allora per gli addendi che non intersecano nessuna delle due componenti possiamo procedere per induzione. Altrimenti possiamo scegliere un punto base appropriato e procedere per induzione.
+]
+
+#lemma[
+  Sia $K, K'$ diagrammi di link equivalenti a meno di isotopia regolare. Allora $L_K = L_(K')$, ovvero $L_K$ è un invariante di isotopia regolare.
+]
+
+#proof[
+  Procediamo sempre per induzione e mostriamo l'invarianza per mosse che non aumentano il numero di incroci.
+
+  - Mossa II: Ci sono più casi in base a se la mossa riguarda una o più componenti
+
+    - Se la mossa è su una sola componente allora ci basta scegliere il punto base come segue
+
+      #todo[disegnino]
+
+      in questo modo i due incroci non compariranno nella sequenza di scambi. Tutti i termini di ii.a) saranno invarianti per mosse di tipo II e lo sarà anche $L_K$.
+
+    - Se la mossa riguarda più componenti allora il caso peggiore è il seguente
+
+      #todo[disegnino]
+
+      Vediamo che $L[K] = L[S_2 S_1 K]$...
+
+  - Mossa III:
+
+    - Se la mossa è su fili di una sola componente allora allora possiamo scegliere il punto base sul filo che passa sopra, in questo modo avremo la situazione seguente:
+
+      #todo[disegnino]
+
+      In un caso possiamo procedere per induzione, se invece ci sono degli splice possiamo utilizzare le seguenti equivalenze di diagrammi e poi procedere per induzione
+
+      #todo[disegnino]
+
+    - Nel caso in cui la mossa riguardi fili di più componenti possiamo utilizzare l'identità della mossa precedente $L[K] = L[S_2 S_1 K]$ per semplificare la situazione e procedere per induzione.
+
+  Questo completa la dimostrazione.
 ]
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diff --git a/src/prelude.typ b/src/prelude.typ
index 260cfdf..fb94e0d 100644
--- a/src/prelude.typ
+++ b/src/prelude.typ
@@ -131,3 +131,13 @@
 ))
 
 #let scr(it) = text(features: ("ss01",), box($cal(it)$))
+
+#let blank = {
+  $#h(0.125em) #{
+    rect(width: 0.8em * 1.41, height: 0.8em, stroke: 0.5pt, place(dx: -0.2em, dy: -0.55em, {
+      set text(size: 10pt)
+
+      $dots$
+    }))
+  } #h(0.125em)$
+}
\ No newline at end of file