diff --git a/out/tesi-triennale.pdf b/out/tesi-triennale.pdf
index a80b775..d5b098f 100644
Binary files a/out/tesi-triennale.pdf and b/out/tesi-triennale.pdf differ
diff --git a/src/main.typ b/src/main.typ
index 8200072..801db9b 100644
--- a/src/main.typ
+++ b/src/main.typ
@@ -1,6 +1,8 @@
 #import "theme.typ": *
+#import "prelude.typ": *
+
 #import "@preview/cetz:0.3.4"
-#import "skein.typ": skein
+#import "skein.typ": *
 #import "@preview/drafting:0.2.2": set-margin-note-defaults, inline-note, margin-note, set-page-properties
 #import "@preview/colorful-boxes:1.1.0": stickybox
 
@@ -8,7 +10,7 @@
   rect: (..kwargs, content) => rect(
     ..kwargs,
     {
-      set text(size: 9pt)
+      set text(size: 8pt, font: "Open Sans")
       set par(leading: 0.5em, justify: false)
       content
     },
@@ -16,12 +18,8 @@
   side: right,
 )
 
-
 // Prelude
 
-#let kL = $L$
-#let dotss = $space dots.c space$
-
 #show: ams-article.with(
   paper-size: "a4",
   title: [Il polinomio di Kauffman, \ un Invariante di Isotopia Regolare],
@@ -40,10 +38,8 @@
   bibliography: bibliography("refs.bib"),
 )
 
-
 #set-page-properties(margin-right: 4cm)
 
-
 // Content
 
 = Introduzione
@@ -66,6 +62,8 @@ In questa tesi studieremo un invariante di isotopia regolare chiamato polinomio
 
 == Introduzione alla Teoria dei Nodi
 
+Ora introdurremo le definizioni di nodi e link ed alcuni risultati di fondazione della teoria dei nodi che ci servono per poter parlare ad esempio dei diagrammi planari e dell'isotopia regolare.
+
 #definition[
   Siano $X, Y$ due spazi topologici, allora un'applicazione continua $f : X arrow Y$ si dice *embedding* se $X$ è omeomorfo a $f(X) subset Y$ con la topologia di sottospazio indotta da $Y$.
 ] <embedding>
@@ -89,12 +87,176 @@ In questa tesi studieremo un invariante di isotopia regolare chiamato polinomio
       $U inter K$, $<->$, ${ 0 } times [0, 1]$,
     )
   }
+
+  inoltre si dice *localmente piatto* (ovunque) se lo è in ogni punto di $X$.
 ] <locally-flat>
 
 #let locally-flat-def = ref-link(<locally-flat>)[localmente piatto]
 
 #definition[
-  Un *nodo tame* è un sottoinsieme $K subset bb(R)^3$ tale che esiste un #embedding-def $f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ e $forall p in K, f$ è #locally-flat-def in $p$.
+  Un *nodo tame* è un sottoinsieme $K subset bb(R)^3$ tale che esiste un #embedding-def $f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ #locally-flat-def. In questo caso $f$ è anche detto *embedding tame*.
+]
+
+#todo[
+  Disegnino nodi non tame
+]
+
+#definition[
+  Due nodi $K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* $H$ che porta uno nell'altro, ovvero esiste un'applicazione continua $H : bb(R)^3 times [0, 1] arrow bb(R)^3$ tale che
+
+  - $forall t in [0, 1], H(dot, t)$ è un omeomorfismo
+
+  - $H_0 = id_(bb(R)^3)$
+
+  - $H_1(K_0) = K_1$
+]
+
+Inoltre vale che se due nodi sono equivalenti allora abbiamo che $bb(R)^3 without K_0$ è omeomorfo a $bb(R)^3 without K_1$.
+
+#definition[
+  Un *nodo poligonale* è un nodo equivalente ad un'unione finita di seguenti lineari.
+]
+
+#fact(name: [Cromwell])[
+  Dato un nodo $K subset bb(R)^3$, $K$ è tame $<=>$ $K$ è poligonale.
+]
+
+#definition[
+  Il *nodo banale* è la classe di equivalenza del bordo di un triangolo equilatero piano.
+]
+
+Possiamo generalizzare tutte le definizioni per i nodi a *link*, sostituendo $bb(S)^1$ con $bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1$ con le opportune modifiche.
+
+#definition[
+  Dato $L subset bb(R)^3$ è detto *link* se $exists$ #embedding-def $f : bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ #locally-flat-def tale che l'immagine sia $L$.
+]
+
+#definition[
+  Due link $L_1, L_2$ sono *combinatorialmente equivalenti* se si ottengono uno dall'altro tramite un numero finito delle seguenti mosse:
+
+  1. Aggiunta/rimozione di vertici
+
+    #todo[disegnino 1]
+
+  2. Dato $Delta subset bb(R)^3$ triangolo piano tale che $Delta inter L$ sia un lato di $Delta$ ed un segmento di $L$ allora una $Delta$-move è la seguente
+
+    #todo[disegnino 2]
+]
+
+#fact[
+  Due link poligonali $L_1, L_2 subset bb(R)^3$ sono equivalenti $<=>$ sono combinatorialmente equivalenti
+]
+
+== Proiezioni e Diagrammi
+
+Dato $v in bb(S)^2 subset bb(R)^3$, possiamo definire la proiezione $pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$ sul piano ortogonale a $v$ come segue
+
+#todo[disegnino]
+
+#definition(name: [Punti regolare, singolare, doppio])[
+  Dato $L subset bb(R)^3$, $v in bb(S)^2$ e $pi = pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$, un punto $x in pi(L) subset v^perp$ è
+
+  - *regolare* se $abs(pi^(-1)(x)) = 1$
+
+  - *singolare* se $abs(pi^(-1)(x)) > 1$
+
+  - *doppio* se $abs(pi^(-1)(x)) = 2$
+]
+
+#fact[
+  Dato un link poligonale $L subset bb(R)^3$, esiste un aperto denso $U subset bb(S)^2$ tale che $forall v in U$, $pi_v(L)$ soddisfa
+
+  - Non esistono segmenti di $L$ paralleli a $v$.
+
+  - Se $x in pi_v(L)$ singolare allora $pi_v^(-1)(x)$ non contiene vertici, $x$ è un punto doppio ed è intersezione trasversa delle immagini di due segmenti.
+]
+
+Dato $L subset bb(R)^3$ link poligonale, esiste una proiezione regolare $pi(L) subset bb(R)^2$, ovvero con un numero finito di punti singolari, ciascuno dei quali è un punto doppio e di intersezione trasversa e viene detto *incrocio*.
+
+#definition[
+  Un *diagramma* $D subset bb(R)^2$ di un link $L subset bb(R)^3$ è una proiezione regolare di $L$ decorata con l'informazione sopra/sotto ad ogni incrocio.
+]
+
+#fact[
+  Due link con lo stesso diagramma sono equivalenti.
+]
+
+#todo[
+  Vari commenti
+]
+
+#theorem(name: [Reidemeister])[
+  Due diagrammi di link equivalenti sono collegati da una successione finita di isotopie planari e mosse di tipo R1, R2, R3 (e loro inverse).
+]
+
+#definition[
+  L'insieme di isotopie planari e mosse R1, R2, R3 (e loro inverse) sono le *mosse di Reidemeister*.
+]
+
+#todo[Commenti sul teorema di Reidemeister, $phi$ invariante a meno di mosse di Reidemeister ci permette di dire che due link non sono equivalenti]
+
+#fact[
+  Come abbiamo generalizzato nodi a link possiamo ripetere tutto anche aggiungendo un'orientazione e studiare *nodi e link orientati* ed esiste anche una versione orientata del teorema di Reidemeister.
+]
+
+== Operazioni su Diagrammi
+
+#definition[
+  Dato un link $L subset bb(R)^3$ possiamo definire
+
+  - Il *mirror* $m(L) colon.eq rho(L)$ dove $rho : bb(R)^3 arrow bb(R)^3$ è la riflessione rispetto al piano di proiezione. In particolare dato un diagramma è lo stesso diagramma con l'informazione sopra/sotto scambiata.
+
+  Se $L$ è anche _orientato_ allora possiamo definire
+
+  - Il *reverse* $r(L)$ che è lo stesso $L$ con l'orientazione opposta su ogni componente.
+
+  - L'*inverso* $-L colon.eq m(r(L)) = r(m(L))$.
+]
+
+#definition[
+  Se $K subset bb(R)^3$ e $K tilde.not m(K)$ allora diciamo che $K$ è *chirale*, altrimenti è detto *anfichirale*.
+]
+
+= Isotopia Regolare
+
+#todo[
+  Aggiungere più commenti
+]
+
+Il teorema di Reidemeister ci dice che se due nodi sono equivalenti per isotopia ambiente allora i loro diagrammi lo sono anche a meno di isotopie planari e mosse di Reidemeister R1, R2, R3. Possiamo studiare cosa succede se ci restringiamo solo alle isotopie planari e le ultime due mosse, questo ci dà una nuova equivalenza tra nodi più forte dell'isotopia ambiente.
+
+#definition[
+  Due nodi o link $K_1, K_2$ si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se due loro diagrammi sono equivalenti a meno di isotopie planari e solo mosse R2 ed R3.
+]
+
+#todo[
+  Disegnino con le mosse
+]
+
+Una prima cosa che possiamo notare è che tutte le mosse R1 possono essere "fattorizzate" in modo da averle tutte raggruppate insieme. #margin-note[Magari dimostrare questa cosa]
+
+#todo[
+  Altro disegnino
+]
+
+Questo ci suggerisce un primo invariante di isotopia regolare per link orientatati, per prima cosa introduciamo il segno di un incrocio.
+
+#definition[
+  Dato un incrocio di un link orientato ci possono essere due casi
+
+  $
+    epsilon(#skein-generic(direction: (+1, +1))) = +1
+    #h(2em)
+    epsilon(#skein-generic(direction: (+1, -1))) = -1
+  $
+]
+
+#definition[
+  Dato $K$ link orientato, il *writhe* $w(K)$ (o numero di avvolgimento) è dato dalla somma dei segni dei suoi crossing
+
+  $
+    w(K) colon.eq sum_c epsilon(c)
+  $
 ]
 
 = Relazioni Skein
diff --git a/src/prelude.typ b/src/prelude.typ
new file mode 100644
index 0000000..bd4131c
--- /dev/null
+++ b/src/prelude.typ
@@ -0,0 +1,139 @@
+#let kL = $L$
+#let dotss = $space dots.c space$
+
+#let statement-style = (name, numbered: false) => it => {
+  set align(start)
+  block({
+    strong({
+      it.supplement
+      if numbered and it.numbering != none {
+        [ ]
+        // current chapter and section
+
+        [#(
+            ..counter(heading).get().slice(0, 2).map(it => str(it)),
+            numbering(it.numbering, ..it.counter.at(it.location())),
+          ).join(".")]
+      }
+      if name != none {
+        [ (#name)]
+      }
+      [.]
+    })
+    [ ]
+    it.body
+  })
+}
+
+#let definition(body, name: none) = {
+  show figure: statement-style(name, numbered: false)
+  figure(
+    body,
+    kind: "definition",
+    supplement: [Definizione],
+  )
+}
+
+#let fact(body, name: none) = {
+  show figure: statement-style(name, numbered: false)
+  figure(
+    body,
+    kind: "fact",
+    supplement: [Fatto],
+  )
+}
+
+#let proposition(body, name: none, numbered: true) = {
+  show figure: statement-style(name, numbered: numbered)
+  figure(
+    body,
+    // kind: "proposition",
+    kind: "proposition",
+    supplement: [Proposizione],
+    numbering: if numbered { "1" },
+  )
+}
+
+#let lemma(body, name: none, numbered: true) = {
+  show figure: statement-style(name, numbered: numbered)
+  figure(
+    body,
+    // kind: "lemma",
+    kind: "proposition",
+    supplement: [Lemma],
+    numbering: if numbered { "1" },
+  )
+}
+
+#let theorem(body, name: none, numbered: true) = {
+  show figure: statement-style(name, numbered: numbered)
+  figure(
+    body,
+    kind: "theorem",
+    supplement: [Teorema],
+    numbering: if numbered { "1" },
+  )
+}
+
+#let proof(body) = block(
+  spacing: 11.5pt,
+  {
+    emph[Proof.]
+    [ ]
+    body
+    h(1fr)
+
+    // Add a word-joiner so that the proof square and the last word before the
+    // 1fr spacing are kept together.
+    sym.wj
+
+    // Add a non-breaking space to ensure a minimum amount of space between the
+    // text and the proof square.
+    sym.space.nobreak
+
+    $square$
+  },
+)
+
+#let ref-link(target, content) = {
+  show link: it => {
+    set text(luma(10%))
+
+    // remove underline for this
+    show underline: it => it.body
+
+    it
+  }
+
+  link(target, emph(content))
+}
+
+#let todo-color = color.mix((red, 10%), (yellow, 90%))
+#let todo(content) = block(
+  breakable: false,
+  grid(
+    rows: 2,
+    align: left,
+    block(
+      fill: todo-color.desaturate(20%),
+      inset: (x: 0.5em, y: 0.35em),
+      radius: (top: 0.25em),
+      {
+        set text(fill: black.transparentize(15%), size: 8pt, font: "Open Sans")
+        [*TODO*]
+      },
+    ),
+    block(
+      width: 100%,
+      fill: todo-color.desaturate(40%),
+      inset: (x: 0.5em, y: 0.5em),
+      radius: (bottom: 0.25em, top-right: 0.25em),
+      {
+        set text(fill: black.transparentize(15%), size: 9pt, font: "Open Sans")
+        content
+      },
+    ),
+  ),
+)
+
+
diff --git a/src/skein.typ b/src/skein.typ
index 43db1df..caa304b 100644
--- a/src/skein.typ
+++ b/src/skein.typ
@@ -90,3 +90,38 @@
     draw-strand({ hobby((1.5, +1), (1, +1), (-0.5, 0), (-0.1, -1), (0, -1)) })
   }),
 )
+
+
+#let skein-generic(
+  kind: "over",
+  direction: (+1, +1),
+  arrows: (true, true),
+  styles: ((:), (:)),
+) = {
+  skein-canvas({
+    import cetz.draw: *
+    if kind == "over" {
+      draw-strand({ line((-1, -1), (1, 1)) }, style: styles.at(1))
+      draw-strand({ line((-1, 1), (1, -1)) }, style: styles.at(0))
+    }
+    if kind == "under" {
+      draw-strand({ line((-1, 1), (1, -1)) }, style: styles.at(0))
+      draw-strand({ line((-1, -1), (1, 1)) }, style: styles.at(1))
+    }
+
+    if arrows.at(0) {
+      if direction.at(0) == +1 {
+        line((1 - arrow-size, -1), (1, -1), (1, -1 + arrow-size), ..styles.at(0))
+      } else {
+        line((-1, 1 - arrow-size), (-1, 1), (-1 + arrow-size, 1), ..styles.at(0))
+      }
+    }
+    if arrows.at(1) {
+      if direction.at(1) == +1 {
+        line((1 - arrow-size, 1), (1, 1), (1, 1 - arrow-size), ..styles.at(1))
+      } else {
+        line((-1, -1 + arrow-size), (-1, -1), (-1 + arrow-size, -1), ..styles.at(1))
+      }
+    }
+  })
+}
diff --git a/src/theme.typ b/src/theme.typ
index c412fcb..510b0b1 100644
--- a/src/theme.typ
+++ b/src/theme.typ
@@ -9,7 +9,10 @@
 
 #let heading-level-size(level) = normal-size * calc.pow(heading-factor, 4 - level)
 
-#let fact-counter = counter("fact")
+// #let fact-counter = counter("fact")
+
+#let chapter-counter = counter("chapter")
+#let section-counter = counter("section")
 
 // This function gets your whole document as its `body` and formats
 // it as an article in the style of the American Mathematical Society.
@@ -131,8 +134,10 @@
         line(length: 100%),
       )
     } else {
-      number
-      it.body
+      block({
+        number
+        it.body
+      })
     }
 
     v(heading-size, weak: true)
@@ -216,7 +221,7 @@
     rows: 2,
     align: left,
     block(
-      fill: orange.transparentize(50%),
+      fill: red.mix((yellow, 33%)).desaturate(20%),
       inset: 0.5em,
       {
         set text(size: 9pt)
@@ -225,13 +230,12 @@
     ),
     block(
       width: 100%,
-      fill: orange.transparentize(75%),
+      fill: red.mix((yellow, 33%)).desaturate(40%),
       inset: (x: 0.25em, y: 0.5em),
       it,
     ),
   )
 
-
   // Display the title and authors.
   v(35pt, weak: true)
   align(
@@ -267,11 +271,10 @@
 
   // Display the bibliography, if any is given.
   if bibliography != none {
-    show std.bibliography: set text(footnote-size)
-    show std.bibliography: set block(above: 11pt)
+    pagebreak()
 
     {
-      colbreak()
+      // colbreak()
       show heading: it => {
         set text(size: heading-level-size(2))
         block(it.body)
@@ -283,95 +286,3 @@
   }
 }
 
-#let definition(body, name: none, numbered: true) = {
-  show figure: it => {
-    set align(start)
-    block({
-      strong({
-        it.supplement
-        if it.numbering != none {
-          [ ]
-          numbering(it.numbering, ..it.counter.at(it.location()))
-        }
-        if name != none {
-          [ (#name)]
-        }
-        [.]
-      })
-      [ ]
-      it.body
-    })
-  }
-
-  figure(
-    body,
-    kind: "fact",
-    supplement: [Definizione],
-    numbering: if numbered { "1" },
-  )
-}
-
-#let fact(body, numbered: true) = figure(
-  body,
-  // kind: "fact",
-  kind: "fact",
-  supplement: [Fatto],
-  numbering: if numbered { "1" },
-)
-
-#let proposition(body, numbered: true) = figure(
-  body,
-  // kind: "proposition",
-  kind: "fact",
-  supplement: [Proposizione],
-  numbering: if numbered { "1" },
-)
-
-#let lemma(body, numbered: true) = figure(
-  body,
-  // kind: "lemma",
-  kind: "fact",
-  supplement: [Lemma],
-  numbering: if numbered { "1" },
-)
-
-#let theorem(body, numbered: true) = figure(
-  body,
-  // kind: "theorem",
-  kind: "fact",
-  supplement: [Theorem],
-  numbering: if numbered { "1" },
-)
-
-#let proof(body) = block(
-  spacing: 11.5pt,
-  {
-    emph[Proof.]
-    [ ]
-    body
-    h(1fr)
-
-    // Add a word-joiner so that the proof square and the last word before the
-    // 1fr spacing are kept together.
-    sym.wj
-
-    // Add a non-breaking space to ensure a minimum amount of space between the
-    // text and the proof square.
-    sym.space.nobreak
-
-    $square$
-  },
-)
-
-#let ref-link(target, content) = {
-  show link: it => {
-    set text(luma(10%))
-
-    // remove underline for this
-    show underline: it => it.body
-
-    it
-  }
-
-  link(target, emph(content))
-}