diff --git a/out/presentation.pdf b/out/presentation.pdf
index 97afc7f..a7aff03 100644
Binary files a/out/presentation.pdf and b/out/presentation.pdf differ
diff --git a/src/assets/10_125.png b/src/assets/10_125.png
new file mode 100644
index 0000000..11a033c
Binary files /dev/null and b/src/assets/10_125.png differ
diff --git a/src/presentation.typ b/src/presentation.typ
index 5fa5158..f73d652 100644
--- a/src/presentation.typ
+++ b/src/presentation.typ
@@ -13,7 +13,7 @@
 
 #let fletcher-diagram = touying-reducer.with(reduce: fletcher.diagram, cover: fletcher.hide)
 
-#show: dm-unipi-theme.with(aspect-ratio: "16-9", config-info(
+#show: dm-unipi-theme.with(aspect-ratio: "4-3", config-info(
   title: [Il Polinomio di Kauffman: un invariante di isotopia regolare],
   subtitle: [Tesi di Laurea Triennale],
   // author: {
@@ -39,9 +39,13 @@
 #set text(font: "Open Sans", weight: 400, size: 16pt)
 #show math.equation: set text(size: 19pt)
 #show strong: it => text(weight: 600, it.body)
-#set par(leading: 1em, spacing: 1em)
-#set list(indent: 0.6em, body-indent: 0.75em, spacing: 1em)
-#set enum(indent: 0.6em, body-indent: 0.75em, spacing: 1em, numbering: "i.1.a)")
+// #set par(leading: 1em, spacing: 1em)
+// #set list(indent: 0.6em, body-indent: 0.75em, spacing: 1em)
+// #set enum(indent: 0.6em, body-indent: 0.75em, spacing: 1em, numbering: "i.1.a)")
+
+#set par(spacing: 1.5em)
+#set list(spacing: 1.5em)
+#set enum(numbering: "i.a)", spacing: 1.5em)
 
 #show figure.caption: caption => block(inset: (x: 2em), {
   set align(left)
@@ -70,7 +74,7 @@
 
 // *Def.* $K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* che porta uno nell'altro, ovvero esiste  continua, tale che:
 
-#v(0.75em)
+\
 
 *Def.* $K_0, K_1$ sono equivalenti se $exists H : bb(R)^3 times [0, 1] arrow bb(R)^3$ *isotopia ambiente*, ovvero tale che:
 
@@ -90,7 +94,7 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
 
 #pause
 
-#v(0.75em)
+\
 
 *Esistenza Proiezioni Regolari.* Sia $L subset bb(R)^3$ _link poligonale_, allora esiste un aperto denso $U$ tale che $forall v in U subset SS^2$, la proiezione sul piano $v^perp approx RR^2$ è regolare.
 
@@ -143,7 +147,7 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
 
 *Def.* $D_1 tilde D_2$ diagrammi di link si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se e solo se sono equivalenti a meno di isotopie planari e mosse II e III di Reidemeister.
 
-#v(1em)
+\
 
 #figure(image("assets/ambient-regular-isotopy-difference.jpg", height: 7cm))
 
@@ -152,7 +156,7 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
 
 *Osservazione.* Tutte le mosse di tipo I, quelle che introducono quelli che chiameremo *riccioli*, possono passare sopra o sotto altri fili senza problemi applicando le seguenti mosse
 
-#v(1em)
+\
 
 #figure(image("assets/move-1-factorization.png", width: 75%))
 
@@ -160,7 +164,7 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
 
 *Osservazione.* Quando abbiamo una coppia di riccioli con segni opposti abbiamo la seguente proprietà di cancellazione detto _trucco di Whitney_.
 
-#v(1em)
+\
 
 #figure(image("assets/whitney-trick.png", width: 100%))
 
@@ -244,16 +248,12 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
 
 *Def.* Per ogni diagramma di link _non orientato_ $K$, il polinomio $L_K in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ verifica i seguenti assiomi:
 
-#set par(spacing: 1em)
-#set list(spacing: 1em)
-#set enum(numbering: "i.a)", spacing: 1em)
+#set enum(numbering: "i.a)")
 
 1. $K tilde K' => L_K = L_K'$.
 
 2. Valgono le seguenti relazioni:
 
-  #set enum(numbering: "i.a)", spacing: 1.25em)
-
   1. $L[#skein.over-large] + L[#skein.under-large] = z (L[#skein.h-large] + L[#skein.v-large])$
 
   2. $L[#skein.unit-large] = 1$
@@ -264,7 +264,7 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
 
 #pause
 
-#v(0.25em)
+\
 
 *Osservazione.* A questo punto non sappiamo se $L_K$ _sia ben definito_.
 
@@ -274,21 +274,34 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
 
 #pause
 
-#v(0.75em)
+\
 
 *Prop.* $F_K$ invariante di isotopia ambiente.
 
-#v(0.75em)
+_Dimostrazione._
+
+#grid(
+  columns: (1fr, auto),
+  align: (left, left, right),
+  row-gutter: 1.75em,
+  // stroke: 1pt,
+
+  [
+    $F[ #skein.over-twist-large ] = pause a^(-w(#skein.over-twist)) dot L[ #skein.over-twist-large ]$
+  ],
+  {
+    show math.equation: set text(size: 15pt)
+    $pause L[#skein.over-twist] = a L[#skein.strand], quad w(#skein.over-twist) = w(#skein.strand) + 1$
+  },
 
-_Dim._
+  $pause = a^(-w(#skein.strand) - 1) dot a L[ #skein.strand-large ]$, [],
 
-$display(
-  F[ #skein.over-twist-large ]
-  = pause a^(-w(#skein.over-twist)) dot L[ #skein.over-twist-large ]
-  = pause a^(-(w(#skein.strand) + 1)) dot a L[ #skein.strand-large ]
-  = pause a^(-w(#skein.strand)) dot L[ #skein.strand-large ]
-  = pause F[ #skein.strand-large ]
-)$
+  $pause = a^(-w(#skein.strand)) cancel(stroke: #1pt, a^(-1)) dot cancel(stroke: #1pt, a) L[ #skein.strand-large ]$, [],
+
+  $pause = a^(-w(#skein.strand)) dot L[ #skein.strand-large ]$, [],
+
+  $pause = F[ #skein.strand-large ]$, [],
+)
 
 == Calcoli impliciti
 
@@ -300,7 +313,7 @@ $display(
   #let (alternatives,) = utils.methods(self)
   #set align(center + top)
 
-  #v(3em)
+  #v(7em)
 
   #alternatives(position: center + top)[
     #grid(
@@ -475,8 +488,6 @@ $display(
       },
     )
   ][
-
-
     #grid(
       columns: 2,
       gutter: 2em,
@@ -610,7 +621,7 @@ $display(
 
   [$K$ un diagramma di un nodo, $i$ etichetta di uno degli incroci]
 
-  v(1em)
+  v(1.5em)
 
   grid(
     columns: 4,
@@ -649,13 +660,16 @@ $display(
     $K$, $S_i K$, $E_i K$, $e_i K$,
   )
 
+
   pause
 
+  [\ ]
 
-  [$lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ sequenza di etichette di incroci di $K$]
+  [\ ]
 
-  v(1em)
+  [$lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ sequenza di etichette di incroci di $K$]
 
+  v(1.5em)
 
   $
     A_i^lambda colon.eq E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
@@ -676,11 +690,13 @@ $display(
   self => {
     let (only, uncover) = utils.methods(self)
 
-    set align(center)
     {
+      set align(center)
       [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
     }
 
+    show math.equation: set text(size: 18pt)
+
     v(1em)
 
     only(
@@ -730,7 +746,12 @@ $display(
 )
 
 #slide({
-  align(center, [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:])
+  {
+    set align(center)
+    [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
+  }
+
+  show math.equation: set text(size: 18pt)
 
   v(1em)
 
@@ -753,7 +774,12 @@ $display(
 })
 
 #slide({
-  align(center, [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:])
+  {
+    set align(center)
+    [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
+  }
+
+  show math.equation: set text(size: 18pt)
 
   v(1em)
 
@@ -776,7 +802,12 @@ $display(
 })
 
 #slide({
-  align(center, [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:])
+  {
+    set align(center)
+    [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
+  }
+
+  show math.equation: set text(size: 18pt)
 
   v(1em)
 
@@ -798,17 +829,15 @@ $display(
   )$
 })
 
-#slide[
-
-
-  #{
+#slide({
+  {
     set align(center)
-
     [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
   }
 
-  #v(1em)
+  show math.equation: set text(size: 18pt)
 
+  v(1em)
 
   $
     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
@@ -817,24 +846,30 @@ $display(
     (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
   $
 
-  #{
-    v(1.5em)
-
-    h(4.4em)
-    $display(
-      => L[K] = (-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(p)] +
-      z sum_K^text(fill: #white, n) (lambda)
-    )$
-    show math.equation: set text(size: 14pt)
-    h(1fr)
-    $display((sum_K (lambda) colon.eq sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])))$
-  }
-]
+  v(1.5em)
+
+  h(4.4em)
+  $display(
+    => L[K] = #rect(
+      fill: gray.mix(white),
+      outset: (top: 0.25em, bottom: 0.5em),
+      radius: 0.25em,
+      $display(
+        (-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(p)] +
+        z sum_K^text(fill: #gray.mix(white), n) (lambda)
+      )$,
+    )
+  )$
+
+  show math.equation: set text(size: 14pt)
+  h(1fr)
+  $display((sum_K (lambda) colon.eq sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])))$
+})
 
 == Definizione induttiva
 
 #slide(
-  repeat: 2,
+  repeat: 3,
   self => [
     #let (alternatives,) = utils.methods(self)
 
@@ -863,7 +898,49 @@ $display(
 
         b) #h(0.35em) Se $n=1$: $display(
           L_K (a, z) colon.eq
-          (-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p))
+          #rect(
+            fill: gray.mix(white),
+            inset: (top: 0.65em),
+            outset: (top: 0.25em, bottom: 0.5em),
+            radius: 0.25em,
+            $display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)))$,
+          )
+           // display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)))
+        )$
+
+    ][
+
+      *Def (induttiva di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
+
+      // la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
+
+      1. Se $K$ è in _forma discendente_: $L_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
+
+      2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) (con $delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1$)
+
+      3. Altrimenti $K = K_1 union dotss union K_n$:
+
+        #v(0.75em)
+
+        a) #h(0.35em) Se $n > 1$: $display(
+          L_K (a, z) colon.eq
+          1 / n
+          sum_(i=1)^n
+          ((-1)^(abs(lambda(p_i))+1) delta L_(K_i) L_(K - K_i) + z sum_K (lambda(p_i)))
+        )$
+
+        #v(1.5em)
+
+        b) #h(0.35em) Se $n=1$: $display(
+          L_K (a, z) colon.eq
+          #rect(
+            fill: white,
+            inset: (top: 0.65em),
+            outset: (top: 0.25em, bottom: 0.5em),
+            radius: 0.25em,
+            $display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)))$,
+          )
+           // display((-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)))
         )$
 
     ][
@@ -955,6 +1032,10 @@ $display(
   4. Se $K$ ammette una _funzione di slacciamento_ allora $L_K = a^w(K)$
 ]
 
+== Dimostrazione buona definizione
+
+
+
 = Laboratorio Computazionale
 
 == Implementazione in Python
@@ -982,7 +1063,49 @@ Per il progetto di Lab. Comp. abbiamo scritto una *nuova implementazione* in _Py
 
 - Verifica di tutti i polinomi contenuti nel *database di KnotInfo*.
 
-- _Trovato un errore nel nodo_ $10_125$, c'è $L_m(K)$ invece di $L_K$.
+- _Trovato un errore nel nodo_ $10_125$, c'è $F[10_125]$ invece di $F[10_125]$ ovvero $F_(10_125)(1 slash a, z)$. #h(1fr)
+
+== Implementazione in Python
+
+#{
+  set align(center)
+  set text(15pt)
+  show math.equation: set text(size: 12pt)
+
+  grid(
+    columns: 2,
+    align: top,
+    gutter: 2em,
+
+    [*Polinomio corretto*],
+
+    [*Polinomio in KnotInfo*],
+
+    $
+      F[10_125] = & z^8 (1 / a^2 + 1) + z^7 (a + 2 / a + 1 / a^3) + z^6 (-6 - 6 / a^2) \
+                  & + space z^5 (-5 a - 11 / a - 6 / a^3)
+                    + z^4 (2 a^2 + 13 + 11 / a^2)                                      \
+                  & + space z^3 (a^3 + 8 a + 17 / a + 10 / a^3)
+                    + z^2 (a^4 - 6 a^2 - 15 - 8 / a^2)                                 \
+                  & + space z (a^5 - a^3 - 6 a - 8 / a - 4 / a^3)
+                    + 3 a^2 + 7 + 3 / a^2
+    $,
+
+    $
+      F[m(10_125)] = & z^8 (a^2 + 1) + z^7 (a^3 + 2 a + 1 / a) + z^6 (-6 a^2 - 6) \
+                     & + space z^5 (-6 a^3 - 11 a - 5 / a)
+                       + z^4 (11 a^2 + 13 + 2 / a^2)                              \
+                     & + space z^3 (10 a^3 + 17 a + 8 / a + 1 / a^3)
+                       + z^2 (-8 a^2 - 15 - 6 / a^2 + 1 / a^4)                    \
+                     & + space z (-4 a^3 - 8 a - 6 / a - 1 / a^3 + 1 / a^5)
+                       + 3 a^2 + 7 + 3 / a^2
+    $,
+
+    image("assets/10_125.png", height: 6cm),
+
+    scale(x: -100%, image("assets/10_125.png", height: 6cm)),
+  )
+}
 
 == Fine
 
@@ -990,5 +1113,9 @@ Per il progetto di Lab. Comp. abbiamo scritto una *nuova implementazione* in _Py
   #set align(center)
   #set text(size: 42pt)
 
-  Grazie per l'attenzione
+  *Grazie per l'attenzione*
 ]
+
+== Appendice
+
+