@ -785,32 +785,36 @@ sempre con $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$.
3. Sia $K = K_1 union dotss union K_n$, se nessun $K_i$ sovrasta tutti gli altri#footnote[Questo sicuramente accade altrimenti potremmo usare il punto ii).] allora:
- Se $K$ è composto da più componenti allora siano $p_1, ..., p_n$ dei punti di partenza direzionati su $K_1, ..., K_n$ e $overline(p)_i$ lo stesso punto di partenza $p_i$ con la direzione opposta su $K_i$. Sia $lambda(p_i)$ la sequenza di scambi di incroci di $K_i$ con $K - K_i$ tale che $hat(K)(lambda(p_i)) = K_i union.sq (K - K_i)$ tale che $K_i$ sia _sovrastante_ il resto delle componenti. A questo punto possiamo definire $kL_K$ come
#[
#set text(size: 11pt)
$
L_K (a, z) colon.eq
1 / (2n) [
sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i)
((-1)^(|lambda(q)|+1) d kL_(K_i) kL_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
]
$
]
- Se $K$ è una singola componente allora sia $p$ un punto di partenza direzionato su $K$ e $overline(p)$ quello con direzione opposta. Sia $lambda(p)$ la sequenza di scambi di incroci che lo porta al nodo banale standard $hat(K)$ e definiamo
#[
#set text(size: 11pt)
#[
#set enum(numbering: "a)")
$
kL_K (a, z) colon.eq
1 / 2 [
sum_(q = p, overline(p))
((-1)^(|lambda(q)|+1) kL(hat(K)(lambda(q))) + z sum_K (lambda(q)))
]
$
]
1. Se $K$ è composto da più componenti allora siano $p_1, ..., p_n$ dei punti di partenza direzionati su $K_1, ..., K_n$ e $overline(p)_i$ lo stesso punto di partenza $p_i$ con la direzione opposta su $K_i$. Sia $lambda(p_i)$ la sequenza di scambi di incroci di $K_i$ con $K - K_i$ tale che $hat(K)(lambda(p_i)) = K_i union.sq (K - K_i)$ tale che $K_i$ sia _sovrastante_ il resto delle componenti. A questo punto possiamo definire $kL_K$ come
#[
#set text(size: 11pt)
$
L_K (a, z) colon.eq
1 / (2n) [
sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i)
((-1)^(|lambda(q)|+1) d kL_(K_i) kL_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
]
$
]
2. Se $K$ è una singola componente allora sia $p$ un punto di partenza direzionato su $K$ e $overline(p)$ quello con direzione opposta. Sia $lambda(p)$ la sequenza di scambi di incroci che lo porta al nodo banale standard $hat(K)$ e definiamo
#[
#set text(size: 11pt)
$
kL_K (a, z) colon.eq
1 / 2 [
sum_(q = p, overline(p))
((-1)^(|lambda(q)|+1) kL(hat(K)(lambda(q))) + z sum_K (lambda(q)))
]
$
]
]
== Dimostrazione buona definizione
@ -932,13 +936,69 @@ Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul
riordiniamo le operazioni e portiamo $E_0$ e $e_0$ all'inizio delle successioni di operazioni
Infine osserviamo che i termini in "z ( #blank )" sono proprio le somme incrementali sugli scambi per $E_0 K$ e $e_0 K$, dunque possiamo riscrivere l'espressione precedente come
ora possiamo applicare l'ipotesi induttiva in quanto tutti i diagrammi hanno strettamente meno di $N$ incroci. Applicando l'ipotesi induttiva per $gamma = (n, dots, 1)$ e osservando che con la convenzione di Kauffman $abs(gamma) + 1 = (n - 1) + 1 = n$, otteniamo che
*Corollario.* Nella definizione della forma chiusa di $L_K$, il caso ii.a) non dipende dalla scelta del punto base.
#proof[
Rivediamo l'espressione in questione
$
L_K (a, z) colon.eq
1 / (2n) [
sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i)
((-1)^(abs(lambda(q))+1) d kL_(K_i) kL_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
]
$
se applichiamo una $1$-rotazione alle sequenze di scambi le lunghezze non cambiano ed abbiamo appena mostrato che $sum_K (lambda(q)))$ è invariante per $1$-rotazioni.
A questo punto possiamo estendere l'invarianza per $1$-rotazioni a tutte le possibili permutazioni cicliche delle sequenze di scambi e questo ci dimostra che questo caso non dipende dalla scelta del punto base.
