diff --git a/out/tesi-triennale.pdf b/out/tesi-triennale.pdf
index bba6c36..96466f4 100644
Binary files a/out/tesi-triennale.pdf and b/out/tesi-triennale.pdf differ
diff --git a/src/main.typ b/src/main.typ
index 3b7ff39..b33f027 100644
--- a/src/main.typ
+++ b/src/main.typ
@@ -1277,7 +1277,7 @@ Possiamo ora mostrare l'invarianza per scelta di punto base di $Omega_K (p)$.
     )
   }
 
-  - Se $i$ è un sotto-incrocio in $K(p)$ allora $i$ sarà il primo incrocio nella sequenza di scambi ed avremo $i = n$. La situazione sarà quindi la seguente:
+  - Se $i$ è un sotto-incrocio in $K(p)$, allora $i$ sarà il primo incrocio nella sequenza di scambi ed avremo $i = n$. La situazione sarà quindi la seguente:
 
     #{
       set align(center)
@@ -1476,7 +1476,7 @@ A questo punto possiamo vedere che $L_K$ verifica gli assiomi della @kauffman-po
 Come ultimo risultato vediamo che $L_K$ è un invariante di isotopia regolare.
 
 #lemma[
-  Siano $K, K'$ diagrammi di link equivalenti a meno di isotopia regolare allora $L_K (a, z) = L_(K') (a, z)$.
+  Siano $K, K'$ diagrammi di link equivalenti a meno di isotopia regolare, allora $L_K (a, z) = L_(K') (a, z)$.
 ]
 
 #proof[
@@ -1484,13 +1484,13 @@ Come ultimo risultato vediamo che $L_K$ è un invariante di isotopia regolare.
 
   - Mossa II: Ci sono vari casi in base a se la mossa II riguarda una o più componenti:
 
-    - Se la mossa è su una sola componente allora ci basta scegliere il punto base come segue
+    - Se la mossa è su una sola componente, allora ci basta scegliere il punto base come segue
 
       #figure(image("assets/move-2-base-points.jpg", width: 6cm))
 
       in questo modo i due incroci non compariranno nella sequenza di scambi. Tutti i termini di @kauffman-rec-single-component saranno invarianti per mosse di tipo II e lo sarà anche $L_K$.
 
-    - Se la mossa riguarda più componenti allora il caso peggiore è il seguente
+    - Se la mossa riguarda più componenti, allora il caso peggiore è il seguente
 
       #figure(image("assets/move-2-base-points-bad.png", width: 3cm))
 
@@ -1572,7 +1572,7 @@ Come ultimo risultato vediamo che $L_K$ è un invariante di isotopia regolare.
 
   - Mossa III:
 
-    - Se la mossa è su fili di una sola componente allora possiamo scegliere il punto base in modo che sia sul filo che passa sopra tra i tre, e saremo nella situazione seguente:
+    - Se la mossa è su fili di una sola componente, allora possiamo scegliere il punto base in modo che sia sul filo che passa sopra tra i tre, e saremo nella situazione seguente:
 
       $
         #image("assets/derived/atlas-move-3-0.png", height: 2.25cm)