diff --git a/out/tesi-triennale.pdf b/out/tesi-triennale.pdf
index ce85d21..0d63015 100644
Binary files a/out/tesi-triennale.pdf and b/out/tesi-triennale.pdf differ
diff --git a/src/main.typ b/src/main.typ
index 126fe92..364e14d 100644
--- a/src/main.typ
+++ b/src/main.typ
@@ -1156,29 +1156,41 @@ La dimostrazione procede sempre mostrando l'indipendenza dalla scelta di punto b
 // Questo segue semplicemente sommando le espressioni per $L[K]$ e $L[S_i K]$.
 
 #diff-add[
-  Dimostriamo ora il seguente lemma nel caso più semplice di aver definito $L_K$ rispetto ad una sola orientazione ovvero, dato $p$ punto base e $0$ indice del primo incrocio nella sequenza di scambi indotta da $p$:
+  Enunciamo ora il seguente enunciato nel caso di aver definito $L_K$ rispetto ad una sola orientazione ovvero, dato $p$ punto base e $i$ un indice nella sequenza di scambi indotta da $p$:
 
   $
     L_K (a, z) & colon.eq
     (-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(lambda(p))] + z sum_K (lambda(p)) \
-               & = z (L[E_0 K] + L[e_0 K]) - L[S_0 K]
+               & = z (L[E_i K] + L[e_i K]) - L[S_i K]
   $
 
-  l'ultima uguaglianza segue semplicemente considerando $L[K]$ e $L[S_0 K]$ e sottraendo membro a membro.
+  l'ultima uguaglianza segue considerando $L[K]$ e $L[S_i K]$ e sottraendo membro a membro.
 
-  #lemma[
+  #fact[
     Se $K$ è un diagramma di link e ammette una funzione di slacciamento allora $L_K = a^w(K)$.
   ]
 
-  #proof[
-    Se i punti a valle in $K$ precedono immediatamente i rispettivi punti base allora i diagrammi sono in forma discendente e possiamo utilizzare direttamente la @kauffman-rec-inductive-def di $L_K$ nel caso @kauffman-rec-i. Procediamo per sotto-induzione sul numero totale di incroci e sulla distanza dei punti a valle dai punti base.
+  Per una dimostrazione di questo fatto si rimanda a @lickorish1997introduction[pag. 175-176].
 
-    Per prima cosa osserviamo che possiamo ignorare gli incroci tra componenti diverse. L'esistenza di una funzione di slacciamento ci induce un ordinamento delle componenti e per il teorema della curva di Jordan tutti i segni degli incroci tra componenti diverse si cancellano.
+  // #proof[
+  //   Se i punti a valle in $K$ precedono immediatamente i rispettivi punti base allora i diagrammi sono in forma discendente e possiamo utilizzare direttamente la @kauffman-rec-inductive-def di $L_K$ nel caso @kauffman-rec-i. Procediamo per sotto-induzione sul numero totale di incroci e sulla distanza dei punti a valle dai punti base.
 
-    Consideriamo ora una singola componente, sia $i$ il primo incrocio dopo il punto a valle $b$.
+  //   Per prima cosa osserviamo che possiamo ignorare gli incroci tra componenti diverse. L'esistenza di una funzione di slacciamento ci induce un ordinamento delle componenti e per il teorema della curva di Jordan tutti i segni degli incroci tra componenti diverse si cancellano.
 
-    - Se partendo da $b$, l'incrocio $i$ è un sotto-incrocio, $h$ può essere modificata
-  ]
+  //   Consideriamo ora una singola componente, sia $i$ il primo incrocio dopo il punto a valle $b$, ci sono due casi in base a come appare partendo da $b$:
+
+  //   - Se è un sotto-incrocio, $h$ può essere modificata in modo da essere decrescente da $b$ fino a subito dopo $i$ in modo che sia ancora una funzione di slacciamento.
+
+  //     Dunque $L_K = a^w(K)$ per sotto-induzione in quanto $K$ con la nuova funzione di slacciamento ha il punto $b$ di un incrocio più vicino al punto di base.
+
+  //   - Se è un sopra-incrocio deve essere necessariamente un punto in cui una parte della componente in cui andiamo dal punto base verso $b$. Segue dalle proprietà di monotonicità di $h$.
+
+  //     In questo caso calcoliamo $L_K$ usando la proprietà $(*)$ applicata all'incrocio $i$.
+
+  //     - Scambiare l'incrocio dà un diagramma $K'$ in cui possiamo spostare il punto $b$ più vicino al punto base e dunque per induzione $L_K' = a^w(K')$.
+
+  //     - I diagrammi con i due tipi di splice hanno $n-1$ incroci ed ammettono delle funzioni di slacciamento, dunque anche loro sono noti per induzione
+  // ]
 
   #fact[
     L'enunciato precedente si generalizza anche con la nostra definizione di $L_K$ che prende in considerazione entrambe le direzioni. La dimostrazione è analoga ma serve tenere conto di come si presentano gli incroci in entrambe le direzioni.
@@ -1190,11 +1202,12 @@ La dimostrazione procede sempre mostrando l'indipendenza dalla scelta di punto b
 
   1. Ci sono due casi, in uno otteniamo _due nodi banali in forma standard_, nell'altro _un solo nodo banale_ (non necessariamente in forma discendente).
 
-  2. #diff-del[La proprietà del @std-unknot-to-curls, ovvero che i nodi banali standard sono equivalenti a meno di isotopia regolare a diagrammi di nodi formati solo da riccioli, si estende al diagramma del caso dello splice con una sola componente.]
-
-    #diff-add[
+  2. #diff-add[
       Il caso di splice con una sola componente ammette una funzione di slacciamento.
     ]
+
+  // #diff-del[La proprietà del @std-unknot-to-curls, ovvero che i nodi banali standard sono equivalenti a meno di isotopia regolare a diagrammi di nodi formati solo da riccioli, si estende al diagramma del caso dello splice con una sola componente.]
+
 ]
 
 #proof[
diff --git a/src/refs.bib b/src/refs.bib
index 95d9df8..6748c9e 100644
--- a/src/refs.bib
+++ b/src/refs.bib
@@ -44,3 +44,13 @@
   year      = {1977},
   publisher = {Springer New York}
 }
+
+@book{lickorish1997introduction,
+  title     = {An Introduction to Knot Theory},
+  author    = {Lickorish, W.B.R.},
+  isbn      = {9780387982540},
+  lccn      = {97016660},
+  series    = {Graduate Texts in Mathematics},
+  year      = {1997},
+  publisher = {Springer New York}
+}
\ No newline at end of file
diff --git a/src/theme.typ b/src/theme.typ
index c341392..91d8302 100644
--- a/src/theme.typ
+++ b/src/theme.typ
@@ -174,7 +174,7 @@
 
   show raw.where(block: true): it => block(outset: (x: 2pt, y: 3pt), fill: luma(92%), radius: 4pt, inset: 4pt, it)
 
-  set std.bibliography(style: "ieee", title: none)
+  set std.bibliography(style: "ieee", title: none, full: true)
 
   set figure(gap: 1em)
   show figure: set block(above: 1.5em, below: 1.5em)