diff --git a/out/presentation.pdf b/out/presentation.pdf
index c08d912..97afc7f 100644
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diff --git a/src/presentation.typ b/src/presentation.typ
index 1475d2c..5fa5158 100644
--- a/src/presentation.typ
+++ b/src/presentation.typ
@@ -40,8 +40,8 @@
 #show math.equation: set text(size: 19pt)
 #show strong: it => text(weight: 600, it.body)
 #set par(leading: 1em, spacing: 1em)
-#set list(indent: 0.25em, body-indent: 0.75em, spacing: 1em)
-#set enum(indent: 0.25em, body-indent: 0.75em, spacing: 1em, numbering: "i.1.a)")
+#set list(indent: 0.6em, body-indent: 0.75em, spacing: 1em)
+#set enum(indent: 0.6em, body-indent: 0.75em, spacing: 1em, numbering: "i.1.a)")
 
 #show figure.caption: caption => block(inset: (x: 2em), {
   set align(left)
@@ -64,13 +64,15 @@
 
 *Def.* $K subset bb(R)^3$ è un *nodo (tame)* se esiste $f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ embedding loc. piatto con $K = f(bb(S)^1)$.
 
-*Def.* Possiamo generalizzare i nodi $bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ a *link* sostituendo con $bb(S)^1 union.sq dots.c union.sq bb(S)^1 arrow bb(R)^3$.
-
-\
+*Def.* Nodi $bb(S)^1 arrow bb(R)^3 ~>$ *Link* $bb(S)^1 union.sq dots.c union.sq bb(S)^1 arrow bb(R)^3$.
 
 #pause
 
-*Def.* $K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* che porta uno nell'altro, ovvero esiste $H : bb(R)^3 times [0, 1] arrow bb(R)^3$ continua, tale che:
+// *Def.* $K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* che porta uno nell'altro, ovvero esiste  continua, tale che:
+
+#v(0.75em)
+
+*Def.* $K_0, K_1$ sono equivalenti se $exists H : bb(R)^3 times [0, 1] arrow bb(R)^3$ *isotopia ambiente*, ovvero tale che:
 
 - $forall t in [0, 1], H(dot, t)$ è un omeomorfismo
 
@@ -86,52 +88,62 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
 
 // *Fatto (Crowell).* Dato un nodo $K subset bb(R)^3$, $K$ è *nodo (tame)* $<=>$ $K$ è *poligonale*.
 
-== Proiezioni e Diagrammi
+#pause
 
-*Fatto.* Sia $L subset bb(R)^3$ link poligonale, allora esiste un aperto denso $U subset bb(S)^2$ tale che $forall v in U$ e detta $pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$ la proiezione sul piano $v^perp$ come in figura, abbiamo che:
+#v(0.75em)
 
-#grid(
-  columns: (auto, 1fr),
-  gutter: 1em,
-  figure(image("assets/projection-plane.png", height: 6cm)),
-  [
-    1. $L$ non ha segmenti paralleli a $v$.
+*Esistenza Proiezioni Regolari.* Sia $L subset bb(R)^3$ _link poligonale_, allora esiste un aperto denso $U$ tale che $forall v in U subset SS^2$, la proiezione sul piano $v^perp approx RR^2$ è regolare.
 
-    2. Se $x in pi_v (L)$ è tale che $abs(pi^(-1)(x)) > 1$, ovvero è un punto *singolare*, allora:
+- $x in pi_v (L) subset v^perp$ tale che $abs(pi^(-1)_v (x)) = 2$ sono detti *incroci*.
 
-      - $pi_v^(-1)(x)$ non contiene vertici di $L$
+// == Proiezioni e Diagrammi
 
-      - $abs(pi^(-1)(x)) = 2$ ovvero è un *punto doppio*, questi sono gli *incroci* della proiezione.
+// #grid(
+//   columns: (auto, 1fr),
+//   gutter: 1em,
+//   figure(image("assets/projection-plane.png", height: 6cm)),
+//   [
+//     1. $L$ non ha segmenti paralleli a $v$.
 
-      - $x$ è un punto di intersezione trasversa
+//     2. Se $x in pi_v (L)$ è tale che $abs(pi^(-1)(x)) > 1$, ovvero è un punto *singolare*, allora:
 
-      Gli altri punti sono detti *regolari*.
-  ],
-)
+//       - $pi_v^(-1)(x)$ non contiene vertici di $L$
+
+//       - $abs(pi^(-1)(x)) = 2$ ovvero è un *punto doppio*, questi sono gli *incroci* della proiezione.
+
+//       - $x$ è un punto di intersezione trasversa
+
+//       Gli altri punti sono detti *regolari*.
+//   ],
+// )
 
 == Proiezioni e Diagrammi
 
 *Def.* Un *diagramma* $D subset bb(R)^2$ di un link $L subset bb(R)^3$ è l'immagine di $L$ attraverso una proiezione regolare decorata con l'informazione sopra/sotto ad ogni incrocio.
 
 #pad(
-  top: 1em,
+  top: 1.5em,
   grid(
     columns: (1fr, auto),
     gutter: 1em,
-    align: top,
+    align: horizon,
     [
       *Def.* Le mosse I, II, III in figura sono dette *mosse di Reidemeister*.
 
-      *Teorema (di Reidemeister).* Due diagrammi di link _equivalenti_ sono collegati da una _successione finita mosse di Reidemeister_ e isotopie planari.
+      \
+
+      *Teorema (di Reidemeister).* Due diagrammi di link _equivalenti_ sono collegati da una _successione finita di mosse di Reidemeister_ e isotopie planari.
     ],
-    figure(image("assets/reidemeister-moves.jpg", height: 6.75cm)),
+    figure(image("assets/reidemeister-moves.jpg", height: 6cm)),
   ),
 )
 
 == Isotopia Regolare
 
 
-*Def.* $D_1, D_2$ diagrammi di link si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se e solo se sono equivalenti a meno di isotopie planari e mosse II e III di Reidemeister.
+*Def.* $D_1 tilde D_2$ diagrammi di link si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se e solo se sono equivalenti a meno di isotopie planari e mosse II e III di Reidemeister.
+
+#v(1em)
 
 #figure(image("assets/ambient-regular-isotopy-difference.jpg", height: 7cm))
 
@@ -140,77 +152,77 @@ e posta $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha:
 
 *Osservazione.* Tutte le mosse di tipo I, quelle che introducono quelli che chiameremo *riccioli*, possono passare sopra o sotto altri fili senza problemi applicando le seguenti mosse
 
+#v(1em)
+
 #figure(image("assets/move-1-factorization.png", width: 75%))
 
 == Comportamento Isotopia Regolare
 
 *Osservazione.* Quando abbiamo una coppia di riccioli con segni opposti abbiamo la seguente proprietà di cancellazione detto _trucco di Whitney_.
 
+#v(1em)
+
 #figure(image("assets/whitney-trick.png", width: 100%))
 
-== Diagrammi in forma discendente
+// == Diagrammi in forma discendente
 
-#align(center)[
-  Dato $K$ il *nodo banale standard* (o in _forma discendente_) associato è $hat(K)(cal(U), p)$:
+// #align(center)[
+//   Dato $K$ il *nodo banale standard* (o in _forma discendente_) associato è $hat(K)(cal(U), p)$:
 
-  #v(1em)
+//   #v(1em)
 
-  #image("assets/standard-unlink-construction.png", height: 8cm)
-]
+//   #image("assets/standard-unlink-construction.png", height: 8cm)
+// ]
 
 
-== Comportamento Isotopia Regolare
+// == Comportamento Isotopia Regolare
 
 
-*Lemma.* Sia $K$ un diagramma di un nodo in _forma discendente_, allora o è composto interamente da riccioli o ammette una sequenza di mosse di tipo II e III che portano al diagramma di un nodo formato solo da riccioli.
+// *Lemma.* Sia $K$ un diagramma di un nodo in _forma discendente_, allora o è composto interamente da riccioli o ammette una sequenza di mosse di tipo II e III che portano al diagramma di un nodo formato solo da riccioli.
 
-Ovvero un nodo in forma discendente è _equivalente_ ad uno composto solo da riccioli.
+// Ovvero un nodo in forma discendente è _equivalente_ ad uno composto solo da riccioli.
 
-\
+// \
 
-#pause
+// #pause
 
-_Dim._ Consideriamo una successione di mosse $K = D_0 stretch(arrow) dots.c stretch(arrow) D_n = #skein.unit-large$. Modifichiamo le mosse nei seguenti casi:
+// _Dim._ Consideriamo una successione di mosse $K = D_0 stretch(arrow) dots.c stretch(arrow) D_n = #skein.unit-large$. Modifichiamo le mosse nei seguenti casi:
 
-- Mosse di tipo I che rimuovono un ricciolo
+// - Mosse di tipo I che rimuovono un ricciolo
 
-- Mosse di tipo I che aggiungono un ricciolo
+// - Mosse di tipo I che aggiungono un ricciolo
 
-- Mosse di tipo II, III
+// - Mosse di tipo II, III
 
-== Comportamento Isotopia Regolare
+// == Comportamento Isotopia Regolare
 
 
-#figure(image("assets/modified-curl-add-before.png", width: 7% * 6.5))
+// #figure(image("assets/modified-curl-add-before.png", width: 7% * 6.5))
 
-$ #rotate(90deg, $~>$) $
+// $ #rotate(90deg, $~>$) $
 
-#figure(image("assets/modified-curl-add-after.png", width: 7% * 13))
+// #figure(image("assets/modified-curl-add-after.png", width: 7% * 13))
 
-#align(center)[Mosse di tipo I che aggiungono un ricciolo]
+// #align(center)[Mosse di tipo I che aggiungono un ricciolo]
 
-== Comportamento Isotopia Regolare
+// == Comportamento Isotopia Regolare
 
-#v(2em)
+// #v(2em)
 
-#figure(image("assets/modified-r2-before.png", width: 8% * 6.5))
+// #figure(image("assets/modified-r2-before.png", width: 8% * 6.5))
 
-$ #rotate(90deg, $~>$) $
+// $ #rotate(90deg, $~>$) $
 
-#figure(image("assets/modified-r2-after.png", width: 8% * 8.5))
+// #figure(image("assets/modified-r2-after.png", width: 8% * 8.5))
 
-#align(center)[Mosse di tipo II, III]
+// #align(center)[Mosse di tipo II, III]
 
 == Writhe
 
 
-*Def.* Definiamo *il segno* di un incrocio di un diagramma come segue:
+*Def.* Il *segno* di un incrocio di un diagramma orientato è: $epsilon(#skein-generic(size-factor: 1.5, direction: (+1, +1))) = +1, epsilon(#skein-generic(size-factor: 1.5, direction: (+1, -1))) = -1$
 
-$
-  epsilon(#skein-generic(size-factor: 1.5, direction: (+1, +1))) = +1
-  #h(2em)
-  epsilon(#skein-generic(size-factor: 1.5, direction: (+1, -1))) = -1
-$
+\
 
 *Def.* $K$ link orientato, definiamo il *writhe* $display(w(K) colon.eq sum_(c "incrocio") epsilon(c))$.
 
@@ -218,25 +230,30 @@ $
 
 \
 
-*Prop.* Se $K$ è il diagramma di un nodo, il _writhe_ non dipende dall'orientazione.
+*Prop.* Se $K$ è il diagramma di un nodo, il _writhe_ *non dipende dall'orientazione*.
 
 #pause
 
-*Prop.* Il writhe è un invariante di isotopia regolare, ovvero $K_1 tilde K_2 => w(K_1) = w(K_2)$.
+\
+
+*Prop.* Il writhe è un *invariante di isotopia regolare*, ovvero $K_1 tilde K_2 => w(K_1) = w(K_2)$.
 
 = Polinomio di Kauffman
 
 == Assiomi
 
-*Def.* Sia $K$ un diagramma di un link _non orientato_, $L_K in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ e verifica:
+*Def.* Per ogni diagramma di link _non orientato_ $K$, il polinomio $L_K in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ verifica i seguenti assiomi:
 
-#set par(spacing: 1.5em)
-#set enum(numbering: "i.a)", spacing: 1.5em)
+#set par(spacing: 1em)
+#set list(spacing: 1em)
+#set enum(numbering: "i.a)", spacing: 1em)
 
 1. $K tilde K' => L_K = L_K'$.
 
 2. Valgono le seguenti relazioni:
 
+  #set enum(numbering: "i.a)", spacing: 1.25em)
+
   1. $L[#skein.over-large] + L[#skein.under-large] = z (L[#skein.h-large] + L[#skein.v-large])$
 
   2. $L[#skein.unit-large] = 1$
@@ -247,9 +264,31 @@ $
 
 #pause
 
-#v(0.5em)
+#v(0.25em)
+
+*Osservazione.* A questo punto non sappiamo se $L_K$ _sia ben definito_.
+
+== Normalizzazione a $F_K$
+
+*Def.* $F_K(a, z) colon.eq a^(-w(K)) dot L_K (a, z)$
+
+#pause
+
+#v(0.75em)
+
+*Prop.* $F_K$ invariante di isotopia ambiente.
 
-*Osservazione.* A questo punto non sappiamo se $L_K$ sia ben definito.
+#v(0.75em)
+
+_Dim._
+
+$display(
+  F[ #skein.over-twist-large ]
+  = pause a^(-w(#skein.over-twist)) dot L[ #skein.over-twist-large ]
+  = pause a^(-(w(#skein.strand) + 1)) dot a L[ #skein.strand-large ]
+  = pause a^(-w(#skein.strand)) dot L[ #skein.strand-large ]
+  = pause F[ #skein.strand-large ]
+)$
 
 == Calcoli impliciti
 
@@ -257,7 +296,7 @@ $
 
 // #show image: it => rect(stroke: 1pt + red, inset: 0pt, it)
 
-#slide(repeat: 5, self => [
+#slide(repeat: 8, self => [
   #let (alternatives,) = utils.methods(self)
   #set align(center + top)
 
@@ -324,6 +363,135 @@ $
       align: center,
       [*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
       $
+        & L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ]
+          +
+          L[ #knot-picture("infinity-1.png", height: 2.25em) ] =
+          z (
+            L[ #knot-picture("infinity-2.png", height: 2.25em) ]
+            +
+            L[ #knot-picture("infinity-3.png", height: 2.25em) ]
+          ) \
+        & =>
+          a L[ #skein.unit-large ]
+          +
+          a^(-1) L[ #skein.unit-large ] =
+          z (
+            delta
+            +
+            L [ #skein.unit-large ]
+          )
+      $,
+    )
+  ][
+    #grid(
+      columns: 1,
+      row-gutter: 1.5em,
+      column-gutter: 3em,
+      align: center,
+      [*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
+      $
+        & L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ]
+          +
+          L[ #knot-picture("infinity-1.png", height: 2.25em) ] =
+          z (
+            L[ #knot-picture("infinity-2.png", height: 2.25em) ]
+            +
+            L[ #knot-picture("infinity-3.png", height: 2.25em) ]
+          )                               \
+        & =>
+          a L[ #skein.unit-large ]
+          +
+          a^(-1) L[ #skein.unit-large ] =
+          z (
+            delta
+            +
+            L [ #skein.unit-large ]
+          )                               \
+        & => a + a^(-1) = z ( delta + 1 )
+      $,
+    )
+  ][
+    #grid(
+      columns: 1,
+      row-gutter: 1.5em,
+      column-gutter: 3em,
+      align: center,
+      [*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
+      $
+        & L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ]
+          +
+          L[ #knot-picture("infinity-1.png", height: 2.25em) ] =
+          z (
+            L[ #knot-picture("infinity-2.png", height: 2.25em) ]
+            +
+            L[ #knot-picture("infinity-3.png", height: 2.25em) ]
+          )                                  \
+        & =>
+          a L[ #skein.unit-large ]
+          +
+          a^(-1) L[ #skein.unit-large ] =
+          z (
+            delta
+            +
+            L [ #skein.unit-large ]
+          )                                  \
+        & => a + a^(-1) = z ( delta + 1 )    \
+        & => delta = (a + 1 slash a) / z - 1
+      $,
+    )
+  ][
+    #grid(
+      columns: 1,
+      row-gutter: 1.5em,
+      column-gutter: 3em,
+      align: center,
+      [*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
+      {
+        $
+          & L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ]
+            +
+            L[ #knot-picture("infinity-1.png", height: 2.25em) ] =
+            z (
+              L[ #knot-picture("infinity-2.png", height: 2.25em) ]
+              +
+              L[ #knot-picture("infinity-3.png", height: 2.25em) ]
+            )                                  \
+          & =>
+            a L[ #skein.unit-large ]
+            +
+            a^(-1) L[ #skein.unit-large ] =
+            z (
+              delta
+              +
+              L [ #skein.unit-large ]
+            )                                  \
+          & => a + a^(-1) = z ( delta + 1 )    \
+          & => delta = (a + 1 slash a) / z - 1
+        $
+
+        $
+          ~> L[K_1 union.sq K_2] = delta L[K_1] L[K_2]
+        $
+      },
+    )
+  ][
+
+
+    #grid(
+      columns: 2,
+      gutter: 2em,
+
+      align: center + top,
+
+      {
+        grid(
+          columns: 1,
+          row-gutter: 1.5em,
+          column-gutter: 3em,
+          align: center,
+          [*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
+          {
+            $
               & L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ]
                 +
                 L[ #knot-picture("infinity-1.png", height: 2.25em) ] =
@@ -332,7 +500,7 @@ $
                   +
                   L[ #knot-picture("infinity-3.png", height: 2.25em) ]
                 )                                  \
-        pause & =>
+              & =>
                 a L[ #skein.unit-large ]
                 +
                 a^(-1) L[ #skein.unit-large ] =
@@ -343,107 +511,77 @@ $
                 )                                  \
               & => a + a^(-1) = z ( delta + 1 )    \
               & => delta = (a + 1 slash a) / z - 1
-      $,
-    )
-  ][
-    #grid(
-      columns: 1,
-      row-gutter: 1.5em,
-      column-gutter: 3em,
-      align: center,
-      [*Link $L[#skein.unit-large #skein.unit-large]$*],
-      {
-        $
-                 & L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ]
-                   +
-                   L[ #knot-picture("infinity-1.png", height: 2.25em) ] =
-                   z (
-                     L[ #knot-picture("infinity-2.png", height: 2.25em) ]
-                     +
-                     L[ #knot-picture("infinity-3.png", height: 2.25em) ]
-                   )                                  \
-          #pause & =>
-                   a L[ #skein.unit-large ]
-                   +
-                   a^(-1) L[ #skein.unit-large ] =
-                   z (
-                     delta
-                     +
-                     L [ #skein.unit-large ]
-                   )                                  \
-                 & => a + a^(-1) = z ( delta + 1 )    \
-                 & => delta = (a + 1 slash a) / z - 1
-        $
+            $
 
-        $
-          ~> L[K_1 union.sq K_2] = delta L[K_1] L[K_2]
-        $
+            $
+              ~> L[K_1 union.sq K_2] = delta L[K_1] L[K_2]
+            $
+          },
+        )
+      },
+      {
+        set text(size: 11pt)
+        show math.equation: set text(size: 13pt)
+
+        grid(
+          columns: 1,
+          row-gutter: 1.5em,
+          align: center + horizon,
+
+          [ *Link di Hopf*],
+
+          $
+            & L[ #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) ]
+              +
+              L[ #knot-picture("hopf-1.png", height: 1.75em) ] =
+              z (
+                L[ #knot-picture("hopf-2.png", height: 1.75em) ]
+                +
+                L[ #knot-picture("hopf-3.png", height: 1.75em) ]
+              )                                          \
+            & =>
+              L[ #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) ]
+              +
+              delta =
+              z (
+                a
+                +
+                a^(-1)
+              )                                          \
+            & =>
+              L[ #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) ] =
+              - (a + a^(-1)) z^(-1) + 1 + (a + a^(-1)) z
+          $,
+
+          [ *Nodo trifoglio*],
+          $
+            & L[ #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) ]
+              +
+              L[ #knot-picture("trefoil-1.png", height: 2em) ] =
+              z (
+                L[ #knot-picture("trefoil-2.png", height: 2em) ]
+                +
+                L[ #knot-picture("trefoil-3.png", height: 2em) ]
+              )                                                  \
+            & =>
+              L[ #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) ]
+              +
+              a =
+              z (
+                L[ #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) ]
+                +
+                a^(-2)
+              )                                                  \
+            & =>
+              L[ #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) ] =
+              -(2a + a^(-1)) + (1 + a^(-2)) z + (a + a^(-1)) z^2
+          $,
+        )
       },
     )
   ]
 ])
 
-== Calcoli impliciti
-
-#slide({
-  set align(center)
-  show math.equation: set text(size: 15pt)
-
-  grid(
-    columns: 2,
-    row-gutter: 1.5em,
-    column-gutter: 3em,
-    align: center + top,
-
-    [*Link di Hopf*], [*Nodo trifoglio*],
-
-    $
-      & L[ #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) ]
-        +
-        L[ #knot-picture("hopf-1.png", height: 1.75em) ] =
-        z (
-          L[ #knot-picture("hopf-2.png", height: 1.75em) ]
-          +
-          L[ #knot-picture("hopf-3.png", height: 1.75em) ]
-        )                                          \
-      & =>
-        L[ #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) ]
-        +
-        delta =
-        z (
-          a
-          +
-          a^(-1)
-        )                                          \
-      & =>
-        L[ #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) ] =
-        - (a + a^(-1)) z^(-1) + 1 + (a + a^(-1)) z
-    $,
-    $
-      & L[ #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) ]
-        +
-        L[ #knot-picture("trefoil-1.png", height: 2em) ] =
-        z (
-          L[ #knot-picture("trefoil-2.png", height: 2em) ]
-          +
-          L[ #knot-picture("trefoil-3.png", height: 2em) ]
-        )                                                  \
-      & =>
-        L[ #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) ]
-        +
-        a =
-        z (
-          L[ #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) ]
-          +
-          a^(-2)
-        )                                                  \
-      & =>
-        L[ #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) ] =
-        -(2a + a^(-1)) + (1 + a^(-2)) z + (a + a^(-1)) z^2
-    $,
-  )
-})
-
 // == Invariante di isotopia ambiente associato
 
 // *Def.* Definiamo $F_K in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ per diagrammi di link orientati $K$ come
@@ -457,11 +595,21 @@ $
 
 == Considerazioni preliminari
 
-#slide({
-  [*Def.* Sia $K$ un diagramma di un nodo, $p in K$ un punto di partenza direzionato e sia $lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ una sequenza di etichette di incroci di $K$:]
+#align(center)[
+  Il *nodo banale standard* (o in _forma discendente_) associato $K$ è $hat(K)(cal(U), p)$:
+
+  #v(1em)
+
+  #image("assets/standard-unlink-construction.png", height: 8cm)
+]
+
+== Considerazioni preliminari
 
+#slide({
   set align(center)
 
+  [$K$ un diagramma di un nodo, $i$ etichetta di uno degli incroci]
+
   v(1em)
 
   grid(
@@ -503,22 +651,21 @@ $
 
   pause
 
+
+  [$lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ sequenza di etichette di incroci di $K$]
+
   v(1em)
 
+
   $
     A_i^lambda colon.eq E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
     #h(2em)
     B_i^lambda colon.eq e_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
   $
+})
 
-  pause
 
-  v(1em)
 
-  $
-    sum_K (lambda) colon.eq sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])
-  $
-})
 
 == Considerazioni preliminari
 
@@ -531,7 +678,7 @@ $
 
     set align(center)
     {
-      [Sia $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)$:]
+      [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
     }
 
     v(1em)
@@ -539,20 +686,20 @@ $
     only(
       "1-3",
       $
-        & L[K] + L[S_0 K] = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] )                                                              \
-        & pause L[S_0 K] + L[S_1 S_0 K] = z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] )                                        \
-        & space dots.v                                                                                            \
-        & pause L[S_(n-1) dotss S_0 K] + L [hat(K)] = z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
+        & L[K] + L[S_0 K] = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] )                                                                 \
+        & pause L[S_0 K] + L[S_1 S_0 K] = z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] )                                           \
+        & space dots.v                                                                                               \
+        & pause L[S_(n-1) dotss S_0 K] + L [hat(K)(p)] = z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
       $,
     )
 
     only(
       4,
       $
-                 & L[K] + L[S_0 K] = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] )                                                                \
-              -( & L[S_0 K] + L[S_1 S_0 K]) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] )                                              \
-                 & space dots.v                                                                                              \
-        (-1)^n ( & L[S_(n-1) dotss S_0 K] + L [hat(K)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
+                 & L[K] + L[S_0 K] = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] )                                                                   \
+              -( & L[S_0 K] + L[S_1 S_0 K]) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] )                                                 \
+                 & space dots.v                                                                                                 \
+        (-1)^n ( & L[S_(n-1) dotss S_0 K] + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
       $,
     )
 
@@ -562,7 +709,7 @@ $
         & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
         -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
         & space dots.v \
-        (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
+        (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
       $,
     )
 
@@ -573,7 +720,7 @@ $
 
       h(4.4em)
       $display(
-        => L[K] + (-1)^n L[hat(K)] =
+        => L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
         z sum_(i=0)^n (-1)^i (
           L[E_i S_(i-1) dotss S_0 K] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 K]
         )
@@ -583,7 +730,7 @@ $
 )
 
 #slide({
-  align(center, [Sia $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)$:])
+  align(center, [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:])
 
   v(1em)
 
@@ -591,14 +738,14 @@ $
     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
     -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
     & space dots.v \
-    (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
+    (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
   $
 
   v(1.5em)
 
   h(4.4em)
   $display(
-    => L[K] + (-1)^n L[hat(K)] =
+    => L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
     z sum_(i=0)^n (-1)^i (
       L[E_i S_(i-1) dotss S_0 K] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 K]
     )
@@ -606,7 +753,7 @@ $
 })
 
 #slide({
-  align(center, [Sia $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)$:])
+  align(center, [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:])
 
   v(1em)
 
@@ -614,14 +761,14 @@ $
     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
     -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
     & space dots.v \
-    (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
+    (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
   $
 
   v(1.5em)
 
   h(4.4em)
   $display(
-    => L[K] + (-1)^n L[hat(K)] =
+    => L[K] + (-1)^n L[hat(K)(p)] =
     z sum_(i=0)^n (-1)^i (
       L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K]
     )
@@ -629,7 +776,7 @@ $
 })
 
 #slide({
-  align(center, [Sia $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)$:])
+  align(center, [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:])
 
   v(1em)
 
@@ -637,14 +784,14 @@ $
     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
     -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
     & space dots.v \
-    (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
+    (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
   $
 
   v(1.5em)
 
   h(4.4em)
   $display(
-    => L[K] = (-1)^(n+1) L[hat(K)] +
+    => L[K] = (-1)^(n+1) L[hat(K)(p)] +
     z sum_(i=0)^n (-1)^i (
       L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K]
     )
@@ -657,7 +804,7 @@ $
   #{
     set align(center)
 
-    [Sia $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)$:]
+    [$p$ punto base direzionato, $lambda$ una sequenza di scambi che porta $K$ a $hat(K)(p)$:]
   }
 
   #v(1em)
@@ -667,7 +814,7 @@ $
     & L[K] + cancel(L[S_0 K]) = z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \
     -(& cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K])) = -z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \
     & space dots.v \
-    (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
+    (-1)^n (& cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L [hat(K)(p)]) = (-1)^n z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K])
   $
 
   #{
@@ -675,41 +822,83 @@ $
 
     h(4.4em)
     $display(
-      => L[K] = (-1)^(n+1) L[hat(K)] +
+      => L[K] = (-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(p)] +
       z sum_K^text(fill: #white, n) (lambda)
     )$
+    show math.equation: set text(size: 14pt)
+    h(1fr)
+    $display((sum_K (lambda) colon.eq sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K])))$
   }
 ]
 
 == Definizione induttiva
 
-*Def (induttiva di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
+#slide(
+  repeat: 2,
+  self => [
+    #let (alternatives,) = utils.methods(self)
+
+    #alternatives[
 
-// la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
+      *Def (induttiva di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
 
-1. Se $K$ è in _forma discendente_: $L_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
+      // la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
 
-2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) (con $delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1$)
+      1. Se $K$ è in _forma discendente_: $L_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
 
-3. Altrimenti $K = K_1 union dotss union K_n$:
+      2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) (con $delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1$)
 
-  #v(0.75em)
+      3. Altrimenti $K = K_1 union dotss union K_n$:
 
-  a) #h(0.35em) Se $n > 1$: $display(
-    L_K (a, z) colon.eq
-    1 / (2n)
-    sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i)
-    ((-1)^(abs(lambda(q))+1) delta L_(K_i) L_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
-  )$
+        #v(0.75em)
 
-  #v(1.5em)
+        a) #h(0.35em) Se $n > 1$: $display(
+          L_K (a, z) colon.eq
+          1 / n
+          sum_(i=1)^n
+          ((-1)^(abs(lambda(p_i))+1) delta L_(K_i) L_(K - K_i) + z sum_K (lambda(p_i)))
+        )$
 
-  b) #h(0.35em) Se $n=1$: $display(
-    L_K (a, z) colon.eq
-    1 / 2
-    sum_(q = p, overline(p))
-    ((-1)^(abs(lambda(q))+1) L_(hat(K)(q)) + z sum_K (lambda(q)))
-  )$
+        #v(1.5em)
+
+        b) #h(0.35em) Se $n=1$: $display(
+          L_K (a, z) colon.eq
+          (-1)^(abs(lambda(p))+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p))
+        )$
+
+    ][
+
+      *Def (induttiva di $L_K$).* Il polinomio $L_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue:
+
+      // la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
+
+      1. Se $K$ è in _forma discendente_: $L_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
+
+      2. Se $K = K_1 union K_2$: $L(K_1 union K_2) colon.eq delta L(K_1) L(K_2)$ #h(1fr) (con $delta colon.eq (a + 1 slash a) / z - 1$)
+
+      3. Altrimenti $K = K_1 union dotss union K_n$:
+
+        #v(0.75em)
+
+        a) #h(0.35em) Se $n > 1$: $display(
+          L_K (a, z) colon.eq
+          1 / (2n)
+          sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i)
+          ((-1)^(abs(lambda(q))+1) delta L_(K_i) L_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
+        )$
+
+        #v(1.5em)
+
+        b) #h(0.35em) Se $n=1$: $display(
+          L_K (a, z) colon.eq
+          1 / 2
+          sum_(q = p, overline(p))
+          ((-1)^(abs(lambda(q))+1) L_(hat(K)(q)) + z sum_K (lambda(q)))
+        )$
+
+    ]
+  ],
+)
 
 == Dimostrazione buona definizione
 
@@ -718,13 +907,12 @@ $
 
 #slide[
 
-  L'ipotesi induttiva che useremo nel corso della dimostrazione è la seguente:
 
   #set par(spacing: 1.5em)
   #set list(spacing: 1.5em)
   #set enum(numbering: "a)", spacing: 1.5em)
 
-  Per ogni diagramma di link $K$ con $< N$ incroci e per diagrammi contenenti $#skein.over-twist-large$ con $< N$ incroci:
+  *Def (Ipotesi induttiva).* Dimostreremo induttivamente le seguenti proprietà: per ogni diagramma di link $K$ con $< N$ incroci e per diagrammi contenenti $#skein.over-twist-large$ con $< N$ incroci:
 
   1. $L_K$ è ben definito (non dipende dalla scelta di punto base).
 
@@ -772,21 +960,21 @@ $
 == Implementazione in Python
 
 #show raw: set text(size: 15pt)
-#set par(spacing: 1.25em)
-#set list(spacing: 1.25em)
-#set enum(numbering: "a)", spacing: 1.25em)
+#set par(spacing: 1.5em)
+#set list(spacing: 1.5em)
+#set enum(numbering: "a)", spacing: 1.5em)
 
 Implementazioni esistenti:
 
-- *KnotScape*: scritto in C, degli anni '90.
+- *KnotScape*: scritto in C, degli anni \~1990.
 
-- *KnotTheory*: ultimo aggiornamento \~2011, per Mathematica.
+- *KnotTheory*: ultimo aggiornamento \~2010, per Mathematica.
 
 #pause
 
 Per il progetto di Lab. Comp. abbiamo scritto una *nuova implementazione* in _Python_ open source:
 
-- Rappresentazione di nodi attraverso codici *PD* e *SG*.
+- Rappresentazione di nodi attraverso *codici PD* e *SG*.
 
 - Algoritmo per il calcolo di $L_K$ e $F_K$.
 
@@ -798,4 +986,9 @@ Per il progetto di Lab. Comp. abbiamo scritto una *nuova implementazione* in _Py
 
 == Fine
 
-#" "
+#slide[
+  #set align(center)
+  #set text(size: 42pt)
+
+  Grazie per l'attenzione
+]