@ -498,19 +498,17 @@ Prima di passare alla dimostrazione della buona definizione vediamo alcuni esemp
Ad esempio proviamo a ricavare il valore di $delta colon.eq L(#skein.unit#skein.unit)$ #margin-note[Tutte le immagini qua sotto sono temporanee e devo rifarle]
Questo valore $delta = (a + 1 slash a) slash z - 1$ ricomparirà anche in seguito ed è il coefficiente che il polinomio di Kauffman introduce quando abbiamo un link con due componenti disgiunte. Possiamo anche trovare il valore del link di Hopf come segue
Questo valore $delta = (a + 1 slash a) slash z - 1$ ricomparirà anche in seguito ed è il coefficiente che il polinomio di Kauffman introduce quando abbiamo un link con due componenti disgiunte. Possiamo anche trovare il risultato per il link di Hopf come segue
// #figure(image("assets/implicit-calc-2.png"))
$
L( #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) )
+
L( #knot-picture("hopf-1.png", height: 1.75em) )
&=
z (
L( #knot-picture("hopf-2.png", height: 1.75em) )
+
L( #knot-picture("hopf-3.png", height: 1.75em) )
) \
=>
L( #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) )
+
delta
&=
z (
a
+
a^(-1)
) \
=>
L( #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) )
&=
- (a + a^(-1)) z^(-1) + 1 + (a + a^(-1)) z
$
#figure(image("assets/implicit-calc-2.png"))
Ed del nodo trifoglio
#figure(image("assets/implicit-calc-3.png"))
// #figure(image("assets/implicit-calc-3.png"))
$
L( #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) )
+
L( #knot-picture("trefoil-1.png", height: 2em) )
&=
z (
L( #knot-picture("trefoil-2.png", height: 2em) )
+
L( #knot-picture("trefoil-3.png", height: 2em) )
) \
=>
L( #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) )
+
a
&=
z (
L( #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) )
+
a^(-2)
) \
=>
L( #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) )
&=
-(2a + a^(-1)) + (1 + a^(-2)) z + (a + a^(-1)) z^2
$
#definition[
Diremo che un diagramma è _split_ se è l'unione disgiunta di due diagrammi separati, in questo caso scriviamo $K = K_1 union.sq K_2$ dove $K_1$ e $K_2$ sono le due componenti disgiunte.
]
#definition[
Un diagramma $K$ è una *somma connessa* se appare come due diagrammi disgiunti connessi da due archi paralleli (a meno di isotopie planari). Tagliando questi due archi e riunendo insieme le estremità dello stesso sotto-diagramma otteniamo un nuovo diagramma _split_ $tilde(K) = K_1 union.sq K_2$, in questo caso chiamiamo la somma connessa $K = K_1 hash K_2$.
Un diagramma $K$ è una *somma connessa* se appare come due diagrammi disgiunti connessi da due archi paralleli (a meno di isotopie planari). Tagliando questi due archi e riunendo insieme le estremità dello stesso sotto-diagramma otteniamo un nuovo diagramma split della forma $tilde(K) = K_1 union.sq K_2$, in questo caso chiamiamo la somma connessa $K = K_1 hash K_2$.
]
#proposition[
@ -602,6 +653,8 @@ se ora sommiamo e sottraiamo membro a membro otteniamo la seguente identità
),
)
notiamo che possiamo cancellare tutti i termini del membro di sinistra che compaiono due volte con segno opposto
#context block(
width: page.width,
grid(
@ -617,7 +670,7 @@ se ora sommiamo e sottraiamo membro a membro otteniamo la seguente identità
),
)
Da cui otteniamo che
Da cui otteniamo un'espressione per $L_K$, inoltre posto $lambda = (0, dots, n)$
#align(
center,
@ -627,17 +680,25 @@ Da cui otteniamo che
#set align(center)
$
=> L_K = (-1)^(n+1) L_(hat(K)) + z sum_(i=0)^n (-1)^i (
Questo ci dà un'idea su come sia possibile calcolare induttivamente $L_K$ in termini di $L_hat(K)$ e di altri diagrammi con meno incroci del diagramma di partenza.
Affinché sia sempre possibile raggiungere un nodo banale in forma standard serve aggiungere anche la seguente relazione quando abbiamo $K = K_1 union.sq K_2$ con $K_1$ che sovrasta $K_2$
Affinché sia sempre possibile raggiungere un nodo in forma di nodo banale standard serve aggiungere la seguente relazione quando $K = K_1 union.sq K_2$ con $K_1$ sovrastante $K_2$.
$
L_(K_1 union.sq K_2) = delta L_(K_1) L_(K_2)
@ -648,7 +709,7 @@ sempre con $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$.
// Closed form algorithm
#definition(name: [Forma chiusa per $kL_K$])[
Il polinomio $kL_(K)(a,z)$ è definito induttivamente con i seguenti casi
Il polinomio $kL_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue, abbiamo i seguenti casi:
]
// la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
