@ -386,7 +386,7 @@ Un primo fatto generale che possiamo vedere è che, dato un invariante di isotop
= Il Polinomio di Kauffman
Ora introdurremo il polinomio di Kauffman @Kauffman1990-qe, che vedremo essere un invariante di isotopia regolare. Questo polinomio è definito in modo implicito da assiomi che utilizzano le relazioni skein, queste relazioni possono essere utilizzate direttamente per calcolare il polinomio di Kauffman per un certo diagramma sia in modo implicito che sfruttando una valutazione che porta man mano verso un nodo banale standard.
Ora introdurremo il polinomio di Kauffman @Kauffman1990-qe detto $L_K$, che vedremo essere un invariante di isotopia regolare. Questo polinomio è definito in modo implicito da assiomi che utilizzano le relazioni skein, queste relazioni possono essere utilizzate direttamente per calcolare il polinomio di Kauffman per un certo diagramma in modo implicito.
Vedremo come questi assiomi definiscono un unico invariante di isotopia regolare ben definito e come $kL_K (a, z)$ può essere generalizzato ad un invariante di isotopia ambiente $F_K (a, z)$.
@ -401,7 +401,7 @@ Vedremo come questi assiomi definiscono un unico invariante di isotopia regolare
1. Se $K$, $K'$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare, allora $L_K = L_K'$.
2. Valgono le seguenti relazioni skein per quaterne di diagrammi identici ovunque tranne che nei punti indicati
2. Valgono le seguenti relazioni skein per quaterne di diagrammi identici ovunque tranne nella parte evidenziata
// #set enum(numbering: n => [$K_#n$)])
#set enum(numbering: "a)")
@ -420,7 +420,7 @@ Vedremo come questi assiomi definiscono un unico invariante di isotopia regolare
Come già anticipato in precedenza, vedremo che questo è un invariante di isotopia regolare e può essere generalizzato ad invariante di isotopia ambiente come segue
#definition[
Definiamo $F_K in Z[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ per diagrammi orientati $K$ come
Definiamo $F_K in Z[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ per diagrammi di link orientati $K$ come
$
F_K colon.eq a^(-w(K)) kL_K
$
@ -464,7 +464,7 @@ Come già anticipato in precedenza, vedremo che questo è un invariante di isoto
=> kL[#skein.over] + kL[#skein.under] = z (kL[#skein.h] + kL[#skein.v])
$
quindi passare al mirror ha l'effetto di scambiare solamente $a$ con $1 slash a$ ma il resto della valutazione rimane identico.
quindi passare al mirror ha l'effetto di scambiare solamente $a$ con $1 slash a$ ma il resto della valutazione rimane identica.
Infine per $F_m(K)$ basta osservare che $w(m(K)) = -w(K)$ per una motivazione analoga.
]
@ -497,7 +497,9 @@ $
=> delta & = (a + a^(-1)) slash z - 1
$
Questo valore $delta = (a + 1 slash a) slash z - 1$ ricomparirà anche in seguito ed è il coefficiente che il polinomio di Kauffman introduce quando abbiamo più componenti disgiunte. Possiamo anche trovare il risultato per il link di Hopf come segue
Questo valore $delta = (a + 1 slash a) slash z - 1$ ricomparirà anche in seguito ed è il coefficiente che il polinomio di Kauffman introduce quando abbiamo più componenti disgiunte (ovvero $L[K_1 union.sq K_2] = delta L[K_1] L[K_2]$).
Possiamo anche trovare il valore per il link di Hopf come segue
// #figure(image("assets/implicit-calc-2.png"))
@ -524,7 +526,7 @@ $
- (a + a^(-1)) z^(-1) + 1 + (a + a^(-1)) z
$
E del nodo trifoglio
E ad esempio anche del nodo trifoglio:
// #figure(image("assets/implicit-calc-3.png"))
@ -552,7 +554,7 @@ $
$
#definition[
Diremo che un diagramma è _split_ se è l'unione disgiunta di due diagrammi separati, in questo caso scriviamo $K = K_1 union.sq K_2$ dove $K_1$ e $K_2$ sono le due componenti disgiunte.
Diremo che un diagramma è *split* se è l'unione disgiunta di due diagrammi separati, in questo caso scriviamo $K = K_1 union.sq K_2$ dove $K_1$ e $K_2$ sono le due componenti disgiunte.
]
#definition[
@ -581,13 +583,13 @@ $
== Strumenti Forma Induttiva
Prima di passare a descrivere la definizione induttiva diamo alcune definizioni di manipolazioni di un diagramma.
Prima di descrivere la definizione induttiva diamo alcune definizioni per certe manipolazioni dei diagrammi di nodi e link.
#definition[
Sia $K$ un diagramma di un nodo, $cal(U)$ la sua ombra planare#footnote[Ovvero per $K subset bb(R)^3$ poniamo $U colon.eq pi(K) subset bb(R)^2$] e $p in cal(U)$ un punto di partenza direzionato in $cal(U)$.
Sia $K$ un diagramma di un nodo, $cal(U)$ la sua ombra planare#footnote[Ovvero per $K subset bb(R)^3$ poniamo $cal(U) colon.eq pi(K) subset bb(R)^2$] e $p in cal(U)$ un punto di partenza direzionato in $cal(U)$.
]
- Il suo *nodo banale standard* associato detto $hat(K)(cal(U), p)$ è definito come segue: si prende il primo punto di partenza direzionato e si inizia a percorrere l'ombra planare in quella direzione e si rende ogni incrocio un sopra-incrocio quando ci si passa sopra per la prima volta.
- Il suo *nodo banale standard* (o _in forma discendente_) associato a $K$ detto $hat(K)(cal(U), p)$ è definito come segue: si prende il primo punto di partenza direzionato e si inizia a percorrere l'ombra planare in quella direzione e si rende ogni incrocio un sopra-incrocio quando ci si passa sopra per la prima volta.
Questa definizione si estende anche a diagrammi di link prendendo un insieme di punti base ordinati come mostrato in figura.
@ -633,16 +635,14 @@ Prima di passare a descrivere la definizione induttiva diamo alcune definizioni
in questo caso $S_i K$ scambia l'informazione sopra/sotto dell'incrocio, mentre $E_i K$ e $e_i K$ applicano gli *splice* orizzontali e verticali a quell'incrocio.
#pagebreak()
Sia ora $lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ una sequenza di etichette di suoi incroci.
Sia $lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ una sequenza di etichette di suoi incroci.
- Definiamo le seguenti operazioni compatte per una sequenza di scambi seguita da uno splice finale
$
A_i^lambda = E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
A_i^lambda colon.eq E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
#h(2em)
B_i^lambda = e_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
B_i^lambda colon.eq e_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
$
notiamo che per $i=0$ abbiamo che $A_0^lambda K = E_lambda_0 K$ e $B_0^lambda K = e_lambda_0 K$ che è l'unico caso degenere per questa definizione.
@ -655,12 +655,14 @@ Sia ora $lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ una sequenza di etichette di suoi
*Osservazione.* Se consideriamo un diagramma di link $K$, $hat(K)(cal(U), p)$ ci induce una sequenza di scambi $lambda$ su $K$ tale che $hat(K)(cal(U), p) = S_lambda_n dots.c space S_lambda_0 K$.
*Osservazione.* Se abbiamo una sequenza di operazioni $S_i$, $E_i$, $e_i$ su incroci diversi queste operazioni commutano tra loro. Questo segue dal fatto che queste operazioni fanno solo modifiche locali al diagramma.
#definition[
Dati $K_1, K_2$ diagrammi di link, diciamo che $K_1$ *sovrasta* $K_2$ se per ogni incrocio tra $K_1$ e $K_2$ abbiamo che sono tutti sopra-incroci.
Dati $K_1, K_2$ diagrammi di link, diciamo che $K_1$ *sovrasta* $K_2$ se ogni incrocio tra $K_1$ e $K_2$ abbiamo che sono tutti sopra-incroci.
]
== Forma Induttiva
@ -668,31 +670,33 @@ Sia ora $lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ una sequenza di etichette di suoi
Per prima cosa enunciamo un lemma che utilizzeremo più volte in seguito.
#lemma[
Uno nodo banale standard o è composto interamente da riccioli o ammette una sequenza di mosse di tipo II e III che portano ad un nodo formato solo da riccioli.
Sia $K$ un diagramma di un nodo in forma discendente, allora o è composto interamente da riccioli o ammette una sequenza di mosse di tipo II e III che portano al diagramma di un nodo formato solo da riccioli.
] <std-unknot-to-curls>
#proof[
Per prima cosa osserviamo che il diagramma di un nodo non orientato $K$ allora, preso $p$ un qualsiasi punto di partenza direzionato, $hat(K)(cal(U), p)$ sarà un nodo banale. Esisterà quindi una sequenza di mosse di tipi I, II, III che ci porta al diagramma $#skein.unit$. Rimuovendo da questa successione tutte le mosse di tipo I e modificando le mosse II e III della successione in modo da far passare i riccioli attraverso i fili (come visto in precedenza si può fare usando alcune mosse II e III) otteniamo una successione composta solamente da mosse II e III che ci porta ad un diagramma composto solamente da riccioli.
Per prima cosa osserviamo che $K$ come nodo è equivalente ad un nodo banale . Esisterà quindi una sequenza di mosse di tipi I, II, III che porta il diagramma $K$ al diagramma $#skein.unit$. Rimuovendo una alla volta da questa successione tutte le mosse di tipo I e modificando man mano le mosse II e III della successione in modo da far passare i riccioli attraverso i fili (come visto in precedenza si può fare usando alcune mosse II e III) otteniamo una successione composta solamente da mosse II e III che ci porta ad un diagramma composto solamente da riccioli.
]
Vediamo ora l'idea che ci permette di trovare una formula chiusa per il polinomio $L_K$ che utilizzeremo nella dimostrazione della buona definizione.
=== Caso base: nodo banale standard
Utilizzando il lemma precedente possiamo mostrare che calcolare esplicitamente $L_(hat(K)(cal(U), p))$ che può essere risolto usando solo gli assiomi #link(<kauffman-poly-def>)[ii.b), ii.c), ii.d)] ovvero quelli per $#skein.over-twist-medium$, $#skein.under-twist-medium$, $#skein.unit-medium$. Segue facilmente per induzione che $L_hat(K) (a, z) = a^w(K)$.
Utilizzando il lemma precedente, possiamo calcolare esplicitamente $L_(hat(K)(cal(U), p))$ usando solo gli assiomi #link(<kauffman-poly-def>)[ii.b), ii.c), ii.d)] ovvero quelli per $#skein.over-twist-medium$, $#skein.under-twist-medium$ e $#skein.unit-medium$. Segue facilmente per induzione che $L_hat(K) (a, z) = a^w(K)$.
=== Caso ricorsivo
L'idea per la definizione induttiva è di considerare dato un nodo o un link $K$ il suo nodo o link discendente standard $hat(K)$. Questo induce una sequenza di indici $lambda$ che indichiamo con $0, dots, n$. Se applichiamo incrementalmente gli scambi a $K$, ovvero consideriamo $S_i dotss S_0 K$, ed applichiamo la relazione skein principale a questi diagrammi otteniamo le seguenti relazioni
Dato un diagramma di un nodo o link $K$, l'idea per la costruzione della definizione ricorsiva è di considerare il suo nodo o link discendente standard $hat(K)(cal(U),p )$ rispetto ad un punto base $p$.
Questo induce una sequenza di indici $lambda$ che indichiamo con $lambda = (0, dots, n)$. Se applichiamo incrementalmente gli scambi a $K$, ovvero consideriamo $S_i dotss S_0 K$ al variare di $i$, ed applichiamo la relazione skein #link(<kauffman-poly-def>)[ii.a)] a questi diagrammi, otteniamo le seguenti relazioni:
per $K = K_1 union.sq K_2$ con $K_1$ sovrastante#footnote[Questo include anche il caso di componenti disgiunte in quanto sono sovrastanti tra loro a vuoto.] $K_2$.
per $K = K_1 union.sq K_2$ con $K_1$ sovrastante#footnote[Questo include anche il caso di componenti disgiunte in quanto sono sovrastanti a vuoto a vicenda.] $K_2$.
sempre con $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$.
@ -787,7 +791,7 @@ sempre con $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$.
kL_K (a, z) colon.eq a^w(K)
$
2. Se $K_1, K_2$ sono due diagrammi tali che $K_1 union K_2 subset.eq K$ ed abbiamo che $K_1$ _sovrasta_ $K_2$, allora poniamo
2. Se $K = K_1 union K_2$ con $K_1$ diagramma di un nodo e $K_2$ diagramma di link ed abbiamo che $K_1$ _sovrasta_ $K_2$, allora poniamo
$
kL(K_1 union K_2) colon.eq d kL(K_1) kL(K_2)
@ -795,14 +799,14 @@ sempre con $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$.
con $d colon.eq (a + a^(-1)) slash z - 1$.
3. Sia $K = K_1 union dotss union K_n$,se nessun $K_i$ sovrasta tutti gli altri#footnote[Questo sicuramente accade altrimenti potremmo usare il punto ii).] allora:
3. Sia $K = K_1 union dotss union K_n$ e nessun $K_i$ sovrasta tutti gli altri#footnote[Questo sicuramente accade altrimenti potremmo usare il punto ii).] allora:
Se $K$ è composto da più componenti allora siano $p_1, ..., p_n$ dei punti di partenza direzionati su $K_1, ..., K_n$ e $overline(p)_i$ lo stesso punto di partenza $p_i$ con la direzione opposta su $K_i$. Sia $lambda(p_i)$ la sequenza di scambi di incroci di $K_i$ con $K - K_i$ tale che $hat(K)(lambda(p_i)) = K_i union.sq (K - K_i)$ tale che $K_i$ sia _sovrastante_ il resto delle componenti. A questo punto possiamo definire $kL_K$ come
Se $K$ è composto da più componenti allora siano $p_1, ..., p_n$ dei punti di partenza direzionati su $K_1, ..., K_n$ e $overline(p)_i$ lo stesso punto di partenza $p_i$ con la direzione opposta su $K_i$. Sia $lambda(p_i)$ la sequenza di scambi di incroci di $K_i$ con $K - K_i$ tale che $hat(K)(lambda(p_i)) = K_i union.sq (K - K_i)$ tale che $K_i$ sia _sovrastante_ al resto delle componenti (chiameremo questa _sequenza di rialzo_). A questo punto possiamo definire $kL_K$ come
#[
#set text(size: 11pt)
@ -832,9 +836,11 @@ sempre con $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$.
== Dimostrazione buona definizione
Per prima cosa osserviamo che dato che in ogni termine della definizione induttiva per $L_K$, quando questa dipende dalla scelta di un punto base sono presenti i termini per entrambe le direzioni; quindi ci basta dimostrare induttivamente che le definizioni non dipendono dalla scelta di punto base.
// Per prima cosa osserviamo che, in quanto in ogni termine della definizione induttiva per $L_K$, quando questa dipende dalla scelta di un punto base sono presenti i termini per entrambe le direzioni; quindi ci basta dimostrare induttivamente che le definizioni non dipendono dalla scelta di punto base.
Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul numero di incroci dei diagrammi di link. Ometteremo i casi base ovvero i controlli per diagrammi con pochi vertici che fanno partire l'induzione in quanto sono tutti facili da controllare.
Per prima cosa osserviamo che in ogni termine della definizione induttiva per $L_K$, quando questa dipende dalla scelta di un punto base, compaiono i termini per entrambe le direzioni. Dunque ci basta dimostrare induttivamente che le definizioni non dipendono dalla scelta di punto base.
Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul numero di incroci dei diagrammi di link. Ometteremo i casi base, ovvero i controlli per diagrammi con pochi vertici che fanno partire l'induzione in quanto sono tutte semplici verifiche.
#definition(
name: [L'ipotesi induttiva],
@ -859,7 +865,7 @@ Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul
]
#lemma[
Sia $lambda = (lambda_n, dots, lambda_1, lambda_0)$ una scelta di etichette per un sottoinsieme di incroci di un diagramma di link $K$. Sia $mu = (lambda_0, lambda_n, dots, lambda_1)$ la stessa successione $lambda$ ruotata di $1$ in avanti. Allora
Sia $lambda = (lambda_n, dots, lambda_1, lambda_0)$ una scelta di etichette per un sottoinsieme di incroci di un diagramma di link $K$. Sia $mu = (lambda_0, lambda_n, dots, lambda_1)$ la stessa successione ma ruotata di $1$ in avanti. Allora
$
sum_K (lambda) = sum_K (mu)
@ -867,7 +873,7 @@ Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul
] <lemma-sum-switches-rotation>
#proof[
Per prima cosa rinominiamo le etichette $lambda_n, dots, lambda_0$ come $n, dots, 0$ per semplificare la notazione dunque
Per prima cosa rinominiamo le etichette $lambda_n, dots, lambda_0$ come $n, dots, 0$ per semplificare la notazione, dunque
$
lambda = (n, n-1, dots, 1, 0)
@ -879,20 +885,20 @@ Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul
Ora utilizziamo un'osservazione precedente riguardo l'ordine di applicazione delle operazioni $S_i$ quindi otteniamo $S_(n-1) dotss S_1 S_0 K = S_0 S_(n-1) dotss S_1 K$, dunque possiamo applicare l'induzione ovunque troviamo
Ora utilizziamo un'osservazione precedente riguardo l'ordine di applicazione delle operazioni da cui segue che $S_(n-1) dots.c space.med S_1 S_0 K = S_0 S_(n-1) dots.c space.med S_1 K$, dunque possiamo applicare l'induzione sostituendo:
Infine osserviamo che i termini in $z(#blank)$ sono proprio le somme incrementali sugli scambi per $E_0 K, e_0 K$ per gli indici in comune $(n, dots, 1)$, dunque possiamo riscrivere l'espressione precedente come
Infine osserviamo che i termini in $z(#blank)$ sono proprio le somme incrementali sugli scambi per i diagrammi $E_0 K$ e $e_0 K$ per le sequenze $(n, dots, 1)$, dunque possiamo riscrivere l'espressione precedente come
=> -Omega_K(gamma) &= (-1)^(n+1) L_(hat(K) (gamma)) - z sum_K (gamma)
$
infine sostituendo
@ -1012,9 +1021,9 @@ Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul
]
$
le espressioni che dipendono dai punti base sono $(-1)^(abs(lambda(q)) + 1)$ e le somme sugli scambi $sum_K (lambda(q))$. Se applichiamo una $1$-rotazione alle sequenze $lambda(q)$ le lunghezze non cambiano ed abbiamo appena mostrato che $sum_K (lambda(q)))$ è invariante per $1$-rotazioni.
le espressioni che dipendono dai punti base sono $(-1)^(abs(lambda(q)) + 1)$ e le somme sugli scambi $sum_K (lambda(q))$. Se applichiamo una $1$-rotazione alle sequenze di rialzo $lambda(q)$ le lunghezze non cambiano ed abbiamo appena mostrato che $sum_K (lambda(q)))$ è invariante per $1$-rotazioni.
A questo punto possiamo estendere l'invarianza per $1$-rotazioni a tutte le possibili permutazioni cicliche delle sequenze di scambi e questo ci dimostra che questo caso non dipende dalla scelta del punto base.
A questo punto possiamo estendere l'invarianza per $1$-rotazioni a tutte le possibili permutazioni cicliche e questo ci dimostra che questo caso non dipende dalla scelta del punto base.
