- Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio di una componente con se stessa: in questo caso $i$ non compare in nessuna sequenza di rialzo in quanto le sequenze di rialzo scambiano solo incroci tra componenti diverse. Dunque possiamo applicare il caso @kauffman-rec-multi-component dell'induzione senza problemi.
- Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio di una componente con se stessa: in questo caso $i$ non compare in nessuna sequenza di rialzo in quanto le sequenze di rialzo scambiano solo incroci tra componenti diverse. Dunque possiamo applicare il caso @kauffman-rec-multi-component dell'ipotesi induttiva della @kauffman-inductive-hyp-def senza problemi.
- Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio tra due componenti diverse: possiamo considerare la @kauffman-rec-multi-component e mostrare che ogni addendo verifica l'identità, ricordiamo l'espressione in questione:
- Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio tra due componenti diverse: possiamo considerare la @kauffman-rec-multi-component della @kauffman-rec-inductive-def e mostrare che ogni addendo verifica l'identità i) della tesi, ricordiamo l'espressione in questione:
#{
set text(size: small-size)
@ -1590,7 +1590,7 @@ A questo punto possiamo vedere che $L_K$ verifica gli assiomi della @kauffman-po
$
}
Per quanto riguarda gli addendi che non intersecano nessuna delle due componenti interessate dall'incrocio scelto, non ci sono problemi e possiamo applicare l'induzione. Per le componenti che le intersecano ci basta scegliere come prima un punto base appropriato in modo che l'identità sia verificata e procedere come prima.
Per quanto riguarda gli addendi che non intersecano nessuna delle due componenti interessate dall'incrocio scelto, non ci sono problemi e possiamo applicare la definizione induttiva. Per la componente che passa sotto $i$, ci basta scegliere un punto base appropriato in modo che $i$ sia il primo incrocio scambiato. A questo punto l'identità segue sempre calcolando la differenza tra $Omega_K(overline(p))$ e $Omega_K(overline(q))$, tutti i termini si cancellano tranne quelli relativi a $i$ che ci danno la tesi.
// gli addendi che non intersecano nessuna delle due componenti possiamo procedere per induzione. Altrimenti possiamo scegliere un punto base appropriato e procedere per induzione.
@ -1694,7 +1694,7 @@ Come ultimo risultato vediamo che $L_K$ è un invariante di isotopia regolare.
=> L[K] = L[S_2 S_1 K]
$
A questo punto nel diagramma $S_2 S_1 K$, gli incroci della mossa II non compariranno nella sequenza di rialzo dunque l'invarianza segue per induzione come prima.
A questo punto nel diagramma $S_2 S_1 K$, gli incroci della mossa II non compariranno nella sequenza di rialzo dunque l'invarianza segue per induzione come il caso precedente.
2. Mossa III:
@ -1708,7 +1708,18 @@ Come ultimo risultato vediamo che $L_K$ è un invariante di isotopia regolare.
In questo modo due dei tre incroci non compariranno nella sequenza di scambi, per quanto riguarda l'incrocio rimanente $*$ o già non compariva nella sequenza di scambi o possiamo procedere per induzione. Nel caso di splice abbiamo i seguenti casi
In questo modo due dei tre incroci non compariranno nella sequenza di scambi, per quanto riguarda l'incrocio rimanente $*$, consideriamo la definizione @kauffman-rec-single-component:
$
L_K (a, z) &colon.eq 1 / 2
sum_(q = p, overline(p))
((-1)^(abs(lambda(q))+1) L_(hat(K)(lambda(q))) + z sum_K (lambda(q)))
$
l'incrocio $*$ può comparire o scambiato, in tal caso sicuramente comparirà dentro la somma $sum_K (lambda(q))$ dove ci sono già degli splice ovvero diagrammi con un incrocio in meno e possiamo applicare l'ipotesi induttiva. Altrimenti siamo nel caso di splice dell'incrocio $i$, ovvero siamo in uno dei seguenti casi:
// o già non compariva nella sequenza di scambi o possiamo spostare il punto base come nella seguente figura
// In quanto abbiamo una sola componente almeno una delle due configurazione non avrà nessuno dei tre incroci nella sequenza di scambi. Nel caso di splice
#{
set align(center)
@ -1722,11 +1733,13 @@ Come ultimo risultato vediamo che $L_K$ è un invariante di isotopia regolare.
)
}
Ma possiamo risolverli utilizzando equivalenze di diagrammi come le seguenti, in cui usiamo solo mosse di tipo II:
L'invarianza in questi casi può essere risolta attraverso equivalenze di diagrammi come le seguenti, in cui usiamo solo mosse di tipo II tutte per diagrammi con meno di $N$ incroci:
- Nel caso in cui la mossa riguardi fili appartenenti a più componenti possiamo utilizzare l'identità della mossa precedente $L[K] = L[S_2 S_1 K]$ per semplificare la situazione in modo che non ci siano due incroci consecutivi che appartengano ad una sequenza di rialzo, e procedere nuovamente per induzione.
- Nel caso in cui la mossa riguardi fili appartenenti a più componenti, il caso peggiore è quando abbiamo due di tre degli incroci che appartengono alla sequenza di rialzo.
In questo caso però possiamo applicare un'argomentazione simile a quella della mossa II, possiamo usare $L[K] = L[S_2 S_1 K]$ per semplificare la situazione in modo che non ci siano due incroci consecutivi che appartengano ad una sequenza di rialzo, ed ora procedere come nel caso precedente.
Abbiamo così mostrato che per ogni diagramma di nodi e link, il polinomio $L_K$ è invariante per mosse di tipo III e mosse di tipo II che riducono il numero di incroci. Dunque è anche invariante per mosse di tipo II in entrambe le direzioni e questo completa la dimostrazione.
