diff --git a/out/tesi-triennale.pdf b/out/tesi-triennale.pdf index d3597b0..f697c80 100644 Binary files a/out/tesi-triennale.pdf and b/out/tesi-triennale.pdf differ diff --git a/src/assets/old/writhe-examples-old.png b/src/assets/old/writhe-examples-old.png new file mode 100644 index 0000000..7825009 Binary files /dev/null and b/src/assets/old/writhe-examples-old.png differ diff --git a/src/assets/old/writhe-examples.png b/src/assets/old/writhe-examples.png new file mode 100644 index 0000000..c8c13cf Binary files /dev/null and b/src/assets/old/writhe-examples.png differ diff --git a/src/assets/writhe-examples.png b/src/assets/writhe-examples.png index 7825009..2a7e8be 100644 Binary files a/src/assets/writhe-examples.png and b/src/assets/writhe-examples.png differ diff --git a/src/main.typ b/src/main.typ index 847d51f..66fcc99 100644 --- a/src/main.typ +++ b/src/main.typ @@ -272,28 +272,40 @@ Possiamo chiederci cosa succede se ci restringiamo all'equivalenza generata solo Due nodi o link $K_1, K_2$ si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se e solo se due loro diagrammi sono equivalenti a meno di isotopie planari e mosse II e III di Reidemeister. ] -#figure(image("assets/ambient-regular-isotopy-difference.jpg", width: 13cm)) +#figure( + image( + "assets/ambient-regular-isotopy-difference.jpg", + width: 15cm, + ), +) -Una prima cosa che possiamo notare è che tutte le mosse di tipo I, quelle che introducono quelli che chiameremo *riccioli*, possono passare sopra o sotto altri fili senza problemi come mostra la seguente figura: +Una prima cosa che possiamo notare è che tutte le mosse di tipo I, quelle che introducono quelli che chiameremo *riccioli*, possono passare sopra o sotto altri fili senza problemi applicando le seguenti mosse -#figure(image("assets/move-1-factorization.png", width: 10cm)) +#figure( + image( + "assets/move-1-factorization.png", + width: 10cm, + ), +) -Quindi i riccioli possono essere spostati liberamente non ci impediscono di applicare mosse di tipo II o III. In particolare questo ci permette anche di "fattorizzare" tutti i riccioli di una componente in un link in modo che siano tutti vicini. +Quindi i riccioli possono essere spostati liberamente e non ci impediscono di applicare mosse di tipo II o III. In particolare questo ci permette anche di "fattorizzare" tutti i riccioli di una componente in modo che siano tutti vicini. Un'altra osservazione sul comportamento dell'isotopia regolare rispetto alle mosse di tipo I è la seguente. Quando abbiamo una coppia di riccioli con segni opposti e su lati opposti abbiamo la seguente proprietà di cancellazione detto _trucco di Whitney_. #figure(image("assets/whitney-trick.png", width: 16cm)) -C'è un'osservazione importante da fare quando parliamo di isotopia regolare. Quest'ultima è definita solo quando si parla di diagrammi, quando invece parliamo di isotopia ambiente ha senso parlare dei link sia come diagrammi che come $bb(S)^1$ embedded in $bb(R)^3$. +C'è un'osservazione importante da fare quando parliamo di isotopia regolare. Quest'ultima è definita solo quando si parla di diagrammi. Quando invece parliamo di isotopia ambiente ha senso parlare dei link sia come diagrammi che come embedding $bb(S)^1 -> bb(R)^3$. + +Questo sarà importante più avanti quando vedremo invarianti come il polinomio $F_K$ che risulteranno essere invarianti per isotopia ambiente. Nel caso del polinomio $F_K$, il calcolo va fatto fissando un particolare diagramma del link. È tutt'ora un problema aperto dare una definizione di $F_K$ che sia indipendente dalla scelta di un diagramma. -Questo sarà importante più avanti quando vedremo invarianti come il polinomio $F_K$ che risulteranno essere invarianti per isotopia ambiente. Questi, però, sono definiti attraverso l'isotopia regolare; in particolare il calcolo va fatto fissando un particolare diagramma del link. Ad esempio è tutt'ora un problema aperto dare una definizione di $F_K$ che sia indipendente dalla scelta di un diagramma. +// Questo sarà importante più avanti quando vedremo invarianti di isotopia ambiente definiti passando dall'isotopia regolare. Ad esempio, nel caso del polinomio $F_K$, la definizione si basa sul polinomio $L_K$ che è un invariante per isotopia regolare definito su diagrammi; quindi il calcolo di $F_K$ va fatto fissando un particolare diagramma del link. È tutt'ora un problema aperto dare una definizione di $F_K$ che sia indipendente dalla scelta di un diagramma. == Writhe -Vediamo ora un primo invariante di isotopia regolare per link orientatati, prima definiamo il segno di un incrocio. +Vediamo ora un primo invariante di isotopia regolare per link orientatati, per prima cosa definiamo il segno di un incrocio. #definition[ - Dato un incrocio di un link orientato ci possono essere due casi in base alla direzione in cui il filo sottostante si trova rispetto a quello sopra. Definiamo *il segno* di un incrocio in base a questi due casi: + Dato un incrocio di un link orientato ci possono essere due casi in base alla direzione in cui il filo sottostante si trova rispetto a quello sopra. Definiamo *il segno* di un incrocio in base a questi casi come segue $ epsilon(#skein-generic(direction: (+1, +1))) = +1 @@ -303,7 +315,7 @@ Vediamo ora un primo invariante di isotopia regolare per link orientatati, prima ] #definition[ - Dato $K$ link orientato, il *writhe* $w(K)$ (o numero di avvolgimento) è dato dalla somma dei segni dei suoi incroci + Dato $K$ link orientato, il *writhe* $w(K)$ o numero di avvolgimento è dato dalla somma dei segni dei suoi incroci $ w(K) colon.eq sum_c epsilon(c) @@ -348,7 +360,7 @@ Questo risultato può essere generalizzato a link con l'accortezza di invertire ] #figure( - image("assets/writhe-examples.png", width: 14cm), + image("assets/writhe-examples.png", width: 10cm), caption: [ Esempi di calcolo del writhe // per varie orientazioni del link di Hopf e del nodo trifoglio @@ -535,7 +547,7 @@ $ $ -Ed del nodo trifoglio +E del nodo trifoglio // #figure(image("assets/implicit-calc-3.png"))