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Antonio De Lucreziis 12 months ago
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d="M 490.11123,945.51134 C 492.59796,947.42438 496.62337,945.46482 495.66637,942.74689"
style="fill:none;fill-rule:evenodd;stroke:#000000;stroke-width:0.15502729;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none;stroke-opacity:1"
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d="M 502.90688,941.06736 C 501.27219,939.43307 492.36494,942.75498 495.05064,944.67339"
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505
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@ -33,7 +33,7 @@
),
),
abstract: [
In questa tesi introdurremo la teoria dei nodi con alcuni risultati fondazionali. Parleremo brevemente delle relazione skein che ci serviranno per definire assiomaticamente il polinomio di Kauffman ed infine vedremo la sua buona definizione.
In questa tesi tratteremo del polinomio di Kauffman, un invariante di nodi e link a meno di isotopia regolare. Introdurremo dei risultati di fondazione della teoria dei nodi per definire l'isotopia regolare. Infine vedremo la dimostrazione della buona definizione del polinomio di Kauffman a partire dalla forma assiomatica. Inoltre per il progetto di Laboratorio Computazionale abbiamo implementato in Python questo polinomio e verificato tutti i valori presenti nel database di KnotInfo e trovato un errore nel nodo $10_125$.
],
bibliography: bibliography("refs.bib"),
)
@ -44,9 +44,11 @@
= Introduzione
In questa tesi studieremo un invariante di isotopia regolare chiamato polinomio di Kauffman @Kauffman1990-qe. Dato un nodo o link non orientato $K$, $kL_K (a, z)$ è definito in forma assiomatica attraverso le seguenti relazioni
In questa tesi studieremo un invariante di isotopia regolare chiamato polinomio di Kauffman @Kauffman1990-qe. Intuitivamente vedremo che se l'isotopia ambiente è l'equivalenza tra diagrammi generata dalle mosse I, II e III di Reidemeister, l'isotopia regolare è l'equivalenza generata solo dalle mosse II e III.
1. Se $K$ e $K'$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare, allora $kL_K (a,z) = kL_K' (a,z)$.
Dato un nodo o link non orientato $K$, possiamo definire in forma assiomatica il polinomio $kL_K (a, z) in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ attraverso le seguenti relazioni:
1. Se $K$, $K'$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare, allora $kL_K (a,z) = kL_K' (a,z)$.
2. Valgono le seguenti relazioni skein
@ -58,24 +60,52 @@ In questa tesi studieremo un invariante di isotopia regolare chiamato polinomio
- $kL(#skein.under-twist) = a^(-1) kL(#skein.strand)$
dove ogni simbolo indica che per un link fissato $K$ e per ogni suo crossing $i$, applichiamo le modifiche ad $i$ in modo da rendere quel crossing come indicato dal simbolo in figura. #margin-note[Spiegare meglio questa cosa o toglierla e basta]
Vedremo come $kL_K (a, z)$ è ben definito ed è un invariante di isotopia regolare e come può essere generalizzato a un invariante di isotopia ambiente.
== Introduzione alla Teoria dei Nodi
Ora introdurremo le definizioni di nodi e link ed alcuni risultati di fondazione della teoria dei nodi che ci servono per poter parlare ad esempio dei diagrammi planari e dell'isotopia regolare.
Ora introdurremo alcuni risultati fondamentali di teoria dei nodi tra cui le definizioni di nodo e link ed alcuni risultati di fondazione che ci serviranno per poter parlare ad esempio dei diagrammi planari e dell'isotopia regolare.
#definition[
Siano $X, Y$ due spazi topologici, allora un'applicazione continua $f : X arrow Y$ si dice *embedding* se $X$ è omeomorfo a $f(X) subset Y$ con la topologia di sottospazio indotta da $Y$.
Dati $X, Y$ spazi topologici, $f : X arrow Y$ continua si dice *embedding* se $X$ è omeomorfo a $f(X) subset Y$ con la topologia di sottospazio indotta da $Y$.
] <embedding>
#let embedding-def = ref-link(<embedding>)[embedding]
// #let embedding-def = ref-link(<embedding>)[embedding]
#fact[
Dati due spazi topologici $X$ compatto e $Y$ di Hausdorff e un'applicazione continua $f : X arrow Y$ allora $f$ è un #embedding-def $<=>$ è iniettiva.
Dati due spazi topologici con $X$ compatto, $Y$ di Hausdorff ed $f : X arrow Y$ continua allora $f$ è un embedding $<=>$ è iniettiva.
]
#definition[
Un #embedding-def $f : X arrow Y$ si dice *localmente piatto* in $p in X$ se $exists U subset bb(R)^3$ intorno di $p$, con
Dato un embedding $f : X arrow Y$, un punto $p in X$ allora $f$ si dice *localmente piatto* in $p$ se $exists U subset bb(R)^3$ intorno di $p$, tale che
#align(center, image("assets/locally-flat.jpg", width: 50%))
// #align(
// center,
// cetz.canvas(
// {
// import cetz.draw: *
// hobby((0, 1), (0.6, 0.6), (1, 0), omega: 2, name: "l")
// content((name: "l", anchor: 33%), box(fill: white, $x$))
// circle((name: "l", anchor: 33%), radius: (2em, 3em))
// // let angle = cetz-path-angle("l", 33%)
// let result = cetz.path-util.direction((line((0, 1), (0.6, 0.6), (1, 0)),), 33%)
// content((1, 1), [#result])
// },
// length: 33%,
// ),
// )
#{
set align(center)
@ -88,73 +118,92 @@ Ora introdurremo le definizioni di nodi e link ed alcuni risultati di fondazione
)
}
inoltre si dice *localmente piatto* (ovunque) se lo è in ogni punto di $X$.
inoltre $f$ si dice *localmente piatto* (ovunque) se lo è in ogni punto di $X$.
] <locally-flat>
#let locally-flat-def = ref-link(<locally-flat>)[localmente piatto]
// #let locally-flat-def = ref-link(<locally-flat>)[localmente piatto]
#definition[
Un *nodo tame* è un sottoinsieme $K subset bb(R)^3$ tale che esiste un #embedding-def $f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ #locally-flat-def. In questo caso $f$ è anche detto *embedding tame*.
Un *nodo tame* è un sottoinsieme $K subset bb(R)^3$ per cui esiste un embedding $f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ localmente piatto con $K = f(bb(S)^1)$. In questo caso $f$ è anche detto *embedding tame*.
]
#todo[
Disegnino nodi non tame
]
Esistono anche nodi non tame come il seguente, ma d'ora in avanti considereremo solo nodi tame.#margin-note[aggiungere citazione a wikipedia per l'immagine sotto?]
#figure(
image("assets/wild_knot.svg", width: 75%),
caption: [
Un esempio di nodo non tame
],
)
// #todo[
// Disegno nodo non tame
// ]
#definition[
Due nodi $K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* $H$ che porta uno nell'altro, ovvero esiste un'applicazione continua $H : bb(R)^3 times [0, 1] arrow bb(R)^3$ tale che
Due nodi $K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* $H$ che porta uno nell'altro, ovvero esiste un'applicazione continua $H : bb(R)^3 times [0, 1] arrow bb(R)^3$, tale che
- $forall t in [0, 1], H(dot, t)$ è un omeomorfismo
e ponendo $H_t (x) colon.eq H(x, t)$:
- $H_0 = id_(bb(R)^3)$
- $H_1(K_0) = K_1$
]
Inoltre vale che se due nodi sono equivalenti allora abbiamo che $bb(R)^3 without K_0$ è omeomorfo a $bb(R)^3 without K_1$.
Inoltre se due nodi sono equivalenti allora vale che $bb(R)^3 without K_0 approx bb(R)^3 without K_1$.
Spesso serve fare manipolazioni direttamente sui nodi o sui diagrammi e lavorare con gli embedding $bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ non è molto comodo da un punto di vista pratico, per questo motivo introduciamo i _nodi poligonali_ che ci permettono di dare una formalizzazione alternativa dei nodi tame.
#definition[
Un *nodo poligonale* è un nodo equivalente ad un'unione finita di seguenti lineari.
Un *nodo poligonale* è un nodo equivalente ad un'unione finita di segmenti lineari.
]
#fact(name: [Cromwell])[
#fact(name: [Crowell @crowell1977introduction])[
Dato un nodo $K subset bb(R)^3$, $K$ è tame $<=>$ $K$ è poligonale.
]
// Dunque nella classe di isotopia di un nodo tame c'è sempre un nodo poligonale e possiamo restringerci a studiare questi ultimi.
#definition[
Il *nodo banale* è la classe di equivalenza del bordo di un triangolo equilatero piano.
Il *nodo banale* è la classe di equivalenza del bordo di un triangolo equilatero.
]
Possiamo generalizzare tutte le definizioni per i nodi a *link*, sostituendo $bb(S)^1$ con $bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1$ con le opportune modifiche.
Possiamo generalizzare tutte le definizioni che abbiamo appena dato da nodi a link, sostituendo $bb(S)^1$ con $bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1$ con le opportune modifiche, ad esempio la definizione di link è la seguente:
#definition[
Dato $L subset bb(R)^3$ è detto *link* se $exists$ #embedding-def $f : bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ #locally-flat-def tale che l'immagine sia $L$.
$L subset bb(R)^3$ è detto *link* se $exists$ embedding $f : bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ localmente piatto con immagine $L$.
]
Introduciamo ora il concetto di equivalenza combinatoria di link poligonali in $bb(R)^3$, questo è il primo passo che ci permette di descrivere l'equivalenza tra nodi attraverso sequenza finita di mosse.
#definition[
Due link $L_1, L_2$ sono *combinatorialmente equivalenti* se si ottengono uno dall'altro tramite un numero finito delle seguenti mosse:
1. Aggiunta/rimozione di vertici
#todo[disegnino 1]
#todo[disegno 1]
2. Dato $Delta subset bb(R)^3$ triangolo piano tale che $Delta inter L$ sia un lato di $Delta$ ed un segmento di $L$ allora una $Delta$-move è la seguente
2. Dato un triangolo piano $Delta subset bb(R)^3$ tale che $Delta inter L$ sia un lato di $Delta$ ed un segmento di $L$ allora una _$Delta$-move_ è la seguente
#todo[disegnino 2]
#todo[disegno 2]
]
#fact[
Due link poligonali $L_1, L_2 subset bb(R)^3$ sono equivalenti $<=>$ sono combinatorialmente equivalenti
Due link poligonali $L_1, L_2 subset bb(R)^3$ sono equivalenti $<=>$ sono combinatorialmente equivalenti.
]
== Proiezioni e Diagrammi
Dato $v in bb(S)^2 subset bb(R)^3$, possiamo definire la proiezione $pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$ sul piano ortogonale a $v$ come segue
Data una direzione $v in bb(S)^2 subset bb(R)^3$, possiamo definire $pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$ proiezione sul piano ortogonale a $v$ come segue
#todo[disegnino]
#todo[disegno]
#definition(name: [Punti regolare, singolare, doppio])[
Dato $L subset bb(R)^3$, $v in bb(S)^2$ e $pi = pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$, un punto $x in pi(L) subset v^perp$ è
Per formalizzare il concetto di diagramma di un nodo introdurremo il concetto di proiezione regolare, ovvero una proiezione in cui i punti di intersezione tra le immagini dei segmenti di $L$ sono solamente gli incroci del nodo (e senza segmenti paralleli alla direzione di proiezione).
#definition[
Sia $L subset bb(R)^3$ un link, $v in bb(S)^2$ una direzione e $pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$ la proiezione su $v^perp$ come in precedenza. Allora un punto $x in pi(L) subset v^perp$ si dice
- *regolare* se $abs(pi^(-1)(x)) = 1$
@ -164,14 +213,20 @@ Dato $v in bb(S)^2 subset bb(R)^3$, possiamo definire la proiezione $pi_v : bb(R
]
#fact[
Dato un link poligonale $L subset bb(R)^3$, esiste un aperto denso $U subset bb(S)^2$ tale che $forall v in U$, $pi_v(L)$ soddisfa
Dato un link poligonale $L subset bb(R)^3$, esiste un aperto denso $U subset bb(S)^2$ tale che $forall v in U$, $pi_v (L)$ soddisfa
- Non esistono segmenti di $L$ paralleli a $v$.
1. $L$ non ha segmenti paralleli a $v$.
- Se $x in pi_v(L)$ singolare allora $pi_v^(-1)(x)$ non contiene vertici, $x$ è un punto doppio ed è intersezione trasversa delle immagini di due segmenti.
2. Se $x in pi_v (L)$ è singolare allora
- $pi_v^(-1)(x)$ non contiene vertici di $L$
- $x$ è un punto doppio
- $x$ è di intersezione trasversa delle immagini di due segmenti
]
Dato $L subset bb(R)^3$ link poligonale, esiste una proiezione regolare $pi(L) subset bb(R)^2$, ovvero con un numero finito di punti singolari, ciascuno dei quali è un punto doppio e di intersezione trasversa e viene detto *incrocio*.
Quindi dato $L subset bb(R)^3$ link poligonale, esiste una proiezione regolare $pi(L) subset bb(R)^2$, ovvero una con un numero finito di punti singolari, ciascuno dei quali è un punto doppio e di intersezione trasversa. Ognuno di questi punti doppi viene detto *incrocio*.
#definition[
Un *diagramma* $D subset bb(R)^2$ di un link $L subset bb(R)^3$ è una proiezione regolare di $L$ decorata con l'informazione sopra/sotto ad ogni incrocio.
@ -181,23 +236,25 @@ Dato $L subset bb(R)^3$ link poligonale, esiste una proiezione regolare $pi(L) s
Due link con lo stesso diagramma sono equivalenti.
]
#todo[
Vari commenti
// #todo[
// Vari commenti
// ]
#definition[
L'insieme di isotopie planari e le mosse I, II, III (e loro inverse) sono le *mosse di Reidemeister*.
]
#theorem(name: [Reidemeister])[
Due diagrammi di link equivalenti sono collegati da una successione finita di isotopie planari e mosse di tipo R1, R2, R3 (e loro inverse).
Due diagrammi di link equivalenti sono collegati da una successione finita di isotopie planari e mosse di Reidemeister.
]
#definition[
L'insieme di isotopie planari e mosse R1, R2, R3 (e loro inverse) sono le *mosse di Reidemeister*.
]
#todo[Varie considerazioni sul teorema di Reidemeister]
#todo[Commenti sul teorema di Reidemeister, $phi$ invariante a meno di mosse di Reidemeister ci permette di dire che due link non sono equivalenti]
// #todo[Commenti su come si usa il teorema di Reidemeister ottenere un modo per capire se due nodi non sono equivalenti]
#fact[
Come abbiamo generalizzato nodi a link possiamo ripetere tutto anche aggiungendo un'orientazione e studiare *nodi e link orientati* ed esiste anche una versione orientata del teorema di Reidemeister.
]
// Se $phi$ è una funzione invariante a meno di mosse di Reidemeister, ci permette di dire verificare se due link non sono equivalenti
Come abbiamo generalizzato nodi a link possiamo ripetere tutto anche aggiungendo un'orientazione e studiare *nodi e link orientati* ed abbiamo anche una variante orientata del teorema di Reidemeister.
== Operazioni su Diagrammi
@ -206,7 +263,7 @@ Dato $L subset bb(R)^3$ link poligonale, esiste una proiezione regolare $pi(L) s
- Il *mirror* $m(L) colon.eq rho(L)$ dove $rho : bb(R)^3 arrow bb(R)^3$ è la riflessione rispetto al piano di proiezione. In particolare dato un diagramma è lo stesso diagramma con l'informazione sopra/sotto scambiata.
Se $L$ è anche _orientato_ allora possiamo definire
e se $L$ è anche _orientato_ allora possiamo definire
- Il *reverse* $r(L)$ che è lo stesso $L$ con l'orientazione opposta su ogni componente.
@ -217,26 +274,88 @@ Dato $L subset bb(R)^3$ link poligonale, esiste una proiezione regolare $pi(L) s
Se $K subset bb(R)^3$ e $K tilde.not m(K)$ allora diciamo che $K$ è *chirale*, altrimenti è detto *anfichirale*.
]
// == Relazioni Skein
// // Note. Here and elsewhere in this paper, small diagrams stand for parts of larger
// // diagrams. A collection of small diagrams occuring in a single equation all share
// // the same larger diagram. (The large diagram is only changed as indicated by
// // the small diagrams.)
// Prima di passare alla definizione dell'isotopia regolare, introduciamo brevemente le relazioni skein. Sono uno strumento utile per definire molti invarianti costruiti su diagrammi. L'idea è di rappresentare relazioni tra più diagrammi indicando con dei diagrammi parziali solo le parti in cui questi differiscono.
// #definition[
// Diamo un nome alle segmenti porzioni di diagrammi
// ]
// #align(
// center,
// grid(
// columns: 4,
// column-gutter: 2em,
// row-gutter: 1em,
// skein-generic(kind: "over", arrows: (false, false)),
// skein-generic(kind: "under", arrows: (false, false)),
// skein.h,
// skein.v,
// $L_+$, $L_-$, $L_0$, $L_infinity$,
// ),
// )
// I primi due indicano uno stesso diagramma in cui abbiamo scambiato un incrocio, le seconde invece sono chiamate da Kauffman _splice_ e rappresentano un incrocio in cui abbiamo tagliato e rincollato i due fili. Queste ultime, in letteratura, sono anche chiamate spesso _smoothing_ o risoluzioni.#margin-note[come tradurre questi termini in italiano?]
// Fissato un anello $scr(R)$, un possibile modo di formalizzare le relazioni skein è di vederle come elementi dell'anello di polinomi $scr(R)[L_+, L_-, L_0, L_infinity]$, ad esempio preso un elemento $F in scr(R)[L_+, L_-, L_0, L_infinity]$, una relazione skein è un'espressione della forma
// $
// F(L_+, L_-, L_0, L_infinity) = 0
// $
// #definition[
// Fissato un diagramma $D$ ed un suo incrocio $c$ possiamo definire le seguenti operazioni sul diagramma
// - $S_c K$ è lo stesso diagramma $D$ con l'incrocio $c$ scambiato, ovvero con l'informazione sopra/sotto invertita.
// - $E_c K$ è il diagramma con l'incrocio $c$ sostituito con lo _splice_ orizzontale
// - $e_c K$ è il diagramma con l'incrocio $c$ sostituito con lo _splice_ verticale
// ]
// A priori non è ovvio che gli _splice_ siano ben definiti e potrebbero dipendere dall'orientazione del diagramma [...].
// // Però si può dimostrare che c'è un modo indipendente dall'orientazione del nodo di decidere come applicare i due tipi di splice in modo coerente.
// A questo punto possiamo introdurre un concetto di valutazione di queste relazioni skein, data una relazione $F(L_+, L_-, L_0, L_infinity) = 0$ possiamo introdurre la seguente valutazione. Fissato diagramma $D$ ed un suo incrocio positivo $c$ possiamo definire $F_D in scr(R)[scr(D)]$ come #margin-note[Trovare referenze per questa parte anche se probabilmente va trattata diversamente o tolta e basta forse]
// $
// F_D colon.eq F(space D , space S_c D , space E_c D , space e_c D space)
// $
// // Questo ci permette di valutare una relazione skein "vicino" ad un incrocio specifico.
= Isotopia Regolare
#todo[
Aggiungere più commenti
]
Il teorema di Reidemeister ci dice che se due nodi sono equivalenti per isotopia ambiente allora i loro diagrammi lo sono anche a meno di isotopie planari e mosse di Reidemeister R1, R2, R3. Possiamo studiare cosa succede se ci restringiamo solo alle isotopie planari e le ultime due mosse, questo ci dà una nuova equivalenza tra nodi più forte dell'isotopia ambiente.
Il teorema di Reidemeister ci dice che se due nodi sono equivalenti a meno di isotopia allora lo sono anche i loro diagrammi a meno di isotopie planari e delle mosse I, II e III.
Possiamo chiederci cosa succede se ci restringiamo all'equivalenza generata solo dalle isotopie planari e dalle mosse II e III, questo ci dà una nuova equivalenza tra nodi più forte dell'isotopia ambiente.
#definition[
Due nodi o link $K_1, K_2$ si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se due loro diagrammi sono equivalenti a meno di isotopie planari e solo mosse R2 ed R3.
Due nodi o link $K_1, K_2$ si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se due loro diagrammi sono equivalenti a meno di isotopie planari e mosse II e III di Reidemeister.
]
#todo[
Disegnino con le mosse
Disegno con le mosse
]
Una prima cosa che possiamo notare è che tutte le mosse R1 possono essere "fattorizzate" in modo da averle tutte raggruppate insieme. #margin-note[Magari dimostrare questa cosa]
Una prima cosa che possiamo notare è che tutte le mosse R1 possono essere "fattorizzate" in modo da averle tutte raggruppate insieme. #margin-note[Magari aggiungere la dimostrazione di questa cosa]
#todo[
Altro disegnino
Altro disegno
]
Questo ci suggerisce un primo invariante di isotopia regolare per link orientatati, per prima cosa introduciamo il segno di un incrocio.
@ -259,55 +378,273 @@ Questo ci suggerisce un primo invariante di isotopia regolare per link orientata
$
]
= Relazioni Skein
#proposition[
Il writhe non dipende dall'orientazione del link
]
#lorem(100)
#proposition[
Il writhe è un invariante di isotopia regolare, ovvero se $K_1, K_2$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare allora $w(K_1) = w(K_2)$.
]
#lorem(100)
#todo[
Esempi di calcolo del writhe
]
Un primo fatto generale che possiamo osservare è che dato un invariante di isotopia regolare con certe proprietà, possiamo costruire un invariante di isotopia ambiente aggiungendo un fattore di correzione dato dal writhe.
#proposition[
Sia $R$ un anello, $a in R$ un elemento invertibile e $K$ un link orientato, allora se $L(K) in R$ è un invariante di isotopia regolare tale che
$
L(#skein.over-twist) = a L(#skein.strand)
#h(2em)
L(#skein.under-twist) = a^(-1) L(#skein.strand)
$
allora $F(K) colon.eq a^(-w(K)) L(K)$ è un invariante di isotopia ambiente.
] <prop-ext-ambient-isotopy-inv>
= Polinomio di Kauffman
#lorem(100)
== Definizione assiomatica
#lorem(100)
Vediamo ora la definizione del polinomio di Kauffman.
#definition(name: [Forma chiusa per $kL_K$])[
Qui di seguito la forma chiusa del polinomio $kL_(K)(a,z)$.
#definition[
Dato $K$ un link non orientato, $kL_K in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$, ovvero i polinomi di Laurent sugli interi nelle variabili $a$ e $z$, e verifica i seguenti assiomi:
1. Se $K = hat(K)$ è un _nodo banale standard_ allora $kL_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
1. Se $K$, $K'$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare, allora $kL_K = kL_K'$.
2. Se $K_1$ è _sopra_ $K_2$, sia $d colon.eq (a + a^(-1)) slash z - 1$ e allora
2. Valgono le seguenti relazioni skein per quaterne di diagrammi identici ovunque tranne che nei punti indicati
$
kL(K_1 union K_2) colon.eq d kL(K_1) kL(K_2)
$
- $kL(#skein.over) + kL(#skein.under) = z (kL(#skein.h) + kL(#skein.v))$
3. Se $K = K_1 union dotss union K_n$
- $kL(#skein.unit) = 1$
- Se un $K_i$ è _sopra_ un altro componente allora applica (ii).
- $kL(#skein.over-twist) = a kL(#skein.strand)$
- Se nessun $K_i$ è _sopra_ tutti gli altri, siano $p_1, ..., p_n$ dei _punti di partenza direzionati_ su $K_1, ..., K_n$ e sia $overline(p)_i$ lo stesso _punto di partenza direzionato_ con la direzione opposta di $p_i$ su $K_i$. Sia $lambda(p_i)$ la sequenza di scambi di incroci di $K_i$ con $K - K_i$ tale che $hat(K)(lambda(p_i)) = K_i union.sq (K - K_i)$ tale che $K_i$ sia _sopra_ il resto delle componenti. A questo punto possiamo definire $kL_K$ come
- $kL(#skein.under-twist) = a^(-1) kL(#skein.strand)$
]
#[
#set text(size: 11pt)
$
kL_K (a, z) colon.eq
1 / (2n) [
sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i) ((-1)^(|lambda(q)|+1) d kL_(K_i) kL_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
]
$
]
Come già anticipato in precedenza, vedremo che questo è un invariante di isotopia regolare e può essere generalizzato ad invariante di isotopia ambiente come segue
- Se $K$ è una singola componente allora sia $p$ un punto di partenza direzionato su $K$ e $overline(p)$ quello con direzione opposta. Sia $lambda(p)$ la sequenza di scambi di incroci che lo porta al nodo banale standard $hat(K)$ e definiamo
#definition[
Definiamo $F_K in Z[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ per diagrammi orientati $K$ come
$
F_K colon.eq a^(-w(K)) kL_K
$
dove $L_K$ di un diagramma orientato è definito dimenticando l'orientazione.
]
#[
#set text(size: 11pt)
#proposition[
Il polinomio $F_K (a, z)$ è un invariante di isotopia ambiente
]
$
kL_K (a, z) colon.eq
1 / 2 [
sum_(q = p, overline(p)) ((-1)^(|lambda(q)|+1) kL(hat(K)(lambda(q))) + z sum_K (lambda(q)))
]
$
]
#proof[
Segue dalla @prop-ext-ambient-isotopy-inv.
]
== Alcune proprietà del polinomio di Kauffman
#lemma[
Sia $K$ un link orientato e $m(K)$ il suo mirror. Allora abbiamo la seguente relazione per $L$
e $F$
$
L_(m(K)) (a, z) = L_K (1 slash a, z)
#h(2em)
F_(m(K)) (a, z) = F_K (1 slash a, z)
$
]
#proof[
$m(K)$ è ottenuto da $K$ scambiando tutti i suoi crossing quindi se analizziamo cosa succede nei vari assiomi solo vicino ad un certo incrocio otteniamo le seguenti relazioni
$
kL(m(#skein.unit)) = kL(#skein.unit) = 1 \
kL(m(#skein.over-twist)) = kL(#skein.under-twist) = a^(-1) kL(#skein.strand) \
kL(m(#skein.under-twist)) = kL(#skein.over-twist) = a kL(#skein.strand)
$
ed infine l'ultima relazione rimane invariata per la simmetria del polinomio di Kauffman
$
kL(m(#skein.over)) + kL(m(#skein.under)) = z (kL(m(#skein.h)) + kL(m(#skein.v))) \
=> kL(#skein.under) + kL(#skein.over) = z (kL(#skein.h) + kL(#skein.v)) \
=> kL(#skein.over) + kL(#skein.under) = z (kL(#skein.h) + kL(#skein.v))
$
quindi passare al mirror ha l'effetto di scambiare solamente $a$ con $a^(-1)$ ma il resto della valutazione rimane identico.
Infine per $F_m(K)$ basta osservare che $w(m(K)) = -w(K)$ per una motivazione analoga.
]
Prima di passare alla dimostrazione della buona definizione vediamo alcuni esempi di calcolo di $L_K$ in modo "implicito", questo può essere fatto scegliendo accuratamente per quali diagrammi valutare le relazioni skein degli assiomi.
Ad esempio proviamo a ricavare il valore di $L(#skein.unit#skein.unit)$ #margin-note[Tutte le immagini qua sotto sono temporanee e devo rifarle]
#figure(image("assets/implicit-calc-1.png"))
Questo valore $delta = (a + 1 slash a) slash z - 1$ ricomparirà anche in seguito ed è il coefficiente che il polinomio di Kauffman introduce quando abbiamo un link con due componenti disgiunte. Possiamo anche trovare il valore del link di Hopf come segue
#figure(image("assets/implicit-calc-2.png"))
Ed del nodo trifoglio
#figure(image("assets/implicit-calc-3.png"))
#definition[
Diremo che un diagramma è _split_ se è l'unione disgiunta di due diagrammi separati, in questo caso scriviamo $K = K_1 union.sq K_2$ dove $K_1$ e $K_2$ sono le due componenti disgiunte.
]
#definition[
Un diagramma $K$ è una *somma connessa* se appare come due diagrammi disgiunti connessi da due archi paralleli (a meno di isotopie planari). Tagliando questi due archi e riunendo insieme le estremità dello stesso sotto-diagramma otteniamo un nuovo diagramma _split_ $tilde(K) = K_1 union.sq K_2$, in questo caso chiamiamo la somma connessa $K = K_1 hash K_2$.
]
#proposition[
Valgono le seguenti relazioni di $L$ ed $F$ per diagrammi split o in somma connessa
#{
set align(center)
grid(
rows: 2,
columns: 2,
column-gutter: 2em,
row-gutter: 1em,
$L(K_1 union.sq K_2) = delta L(K_1) L(K_2)$, $F(K_1 union.sq K_2) = delta F(K_1) F(K_2)$,
$L(K_1 hash K_2) = L(K_1) L(K_2)$, $F(K_1 hash K_2) = F(K_1) F(K_2)$,
)
}
dove $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$ ed è lo stesso coefficiente che abbiamo trovato nell'esempio precedente.
]
== Dimostrazione Forma Induttiva
Prima di passare a descrivere la definizione induttiva diamo alcune definizioni di manipolazioni di un diagramma.
#definition[
Sia $K$ un diagramma, $U$ la sua ombra planare#footnote[Ovvero per $K subset bb(R)^3$ poniamo $U colon.eq pi(K) subset bb(R)^2$] e $p in U$ un punto di partenza direzionato in $U$.
- Il suo *nodo banale standard* associato detto $hat(K)(U, p)$ è definito come segue:
#todo[Disegno standard unknot]
- #todo[Operazioni compatte $A_i^lambda$ e $B_i^lambda$]
- #todo[Operazione compatta $sum_K (lambda)$]
]
L'idea per la definizione induttiva è di considerare dato un nodo o un link $K$ il suo nodo o link discendente standard $hat(K)$. Questo induce una sequenza di indici $lambda$ che indichiamo con $0, dots, n$. Se la applichiamo incrementalmente a $K$ otteniamo le seguenti relazioni
$
L_K + L_(S_0 K) = z( L_(E_0 K) + L_(e_0 K) ) \
L_(S_0 K) + L_(S_1 S_0 K) = z( L_(E_0 S_0 K) + L_(e_0 S_0 K) ) \
dots.v \
L_(S_(n-1) dots S_0 K) + L_(hat(K)) = z (L_(E_n S_(n-1) dots S_0 K) + L_(e_n S_(n-1) dots S_0 K))
$
se ora sommiamo e sottraiamo membro a membro otteniamo la seguente identità
#context block(
width: page.width,
grid(
columns: 3,
column-gutter: 2em,
row-gutter: 1em,
$L_K + L_(S_0 K)$, [], $z( L_(E_0 K) + L_(e_0 K) )$,
$-(L_(S_0 K) + L_(S_1 S_0 K))$, [], $-z( L_(E_0 S_0 K) + L_(e_0 S_0 K) )$,
$dots.v$, $=$, $dots.v$,
$+(-1)^n (L_(S_(n-1) dots S_0 K) + L_(hat(K)))$,
[],
$+(-1)^n (z (L_(E_n S_(n-1) dots S_0 K) + L_(e_n S_(n-1) dots S_0 K)))$,
),
)
#context block(
width: page.width,
grid(
columns: 3,
column-gutter: 2em,
row-gutter: 1em,
$L_K + cancel(L_(S_0 K))$, [], $z( L_(E_0 K) + L_(e_0 K) )$,
$-(cancel(L_(S_0 K)) + cancel(L_(S_1 S_0 K)))$, [], $-z( L_(E_0 S_0 K) + L_(e_0 S_0 K) )$,
$dots.v$, $=$, $dots.v$,
$+(-1)^n (cancel(L_(S_(n-1) dots S_0 K)) + L_(hat(K)))$,
[],
$+(-1)^n (z (L_(E_n S_(n-1) dots S_0 K) + L_(e_n S_(n-1) dots S_0 K)))$,
),
)
Da cui otteniamo che
#align(
center,
block(
width: 15cm,
[
#set align(center)
$
=> L_K = (-1)^(n+1) L_(hat(K)) + z sum_(i=0)^n (-1)^i (
L_(E_n S_(n-1) dots S_0 K) + L_(e_n S_(n-1) dots S_0 K)
)
$ <kauffman-rec-inductive>
],
),
)
Questo ci dà un'idea su come sia possibile calcolare induttivamente $L_K$ in termini di $L_hat(K)$ e di altri diagrammi con meno incroci del diagramma di partenza.
Affinché sia sempre possibile raggiungere un nodo banale in forma standard serve aggiungere anche la seguente relazione quando abbiamo $K = K_1 union.sq K_2$ con $K_1$ che sovrasta $K_2$
$
L_(K_1 union.sq K_2) = delta L_(K_1) L_(K_2)
$ <kauffman-rec-overlies>
sempre con $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$.
// Closed form algorithm
#definition(name: [Forma chiusa per $kL_K$])[
Il polinomio $kL_(K)(a,z)$ è definito induttivamente con i seguenti casi
]
// la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
1. Se $K = hat(K)$ è un _nodo banale standard_ allora $kL_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
2. Se $K_1$ è _sovrastante_ $K_2$, sia $d colon.eq (a + a^(-1)) slash z - 1$ e allora
$
kL(K_1 union.sq K_2) colon.eq d kL(K_1) kL(K_2)
$
3. Se $K = K_1 union.sq dotss union.sq K_n$
- Se un $K_i$ è _sovrastante_ un'altra componente allora applica (ii).
- Se nessun $K_i$ è _sovrastante_ tutti gli altri, siano $p_1, ..., p_n$ dei punti di partenza direzionati su $K_1, ..., K_n$ e sia $overline(p)_i$ lo stesso punto di partenza direzionato con la direzione opposta di $p_i$ su $K_i$. Sia $lambda(p_i)$ la sequenza di scambi di incroci di $K_i$ con $K - K_i$ tale che $hat(K)(lambda(p_i)) = K_i union.sq (K - K_i)$ tale che $K_i$ sia _sovrastante_ il resto delle componenti. A questo punto possiamo definire $kL_K$ come
#[
#set text(size: 11pt)
$
kL_K (a, z) colon.eq
1 / (2n) [
sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i) ((-1)^(|lambda(q)|+1) d kL_(K_i) kL_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
]
$
]
- Se $K$ è una singola componente allora sia $p$ un punto di partenza direzionato su $K$ e $overline(p)$ quello con direzione opposta. Sia $lambda(p)$ la sequenza di scambi di incroci che lo porta al nodo banale standard $hat(K)$ e definiamo
#[
#set text(size: 11pt)
$
kL_K (a, z) colon.eq
1 / 2 [
sum_(q = p, overline(p)) ((-1)^(|lambda(q)|+1) kL(hat(K)(lambda(q))) + z sum_K (lambda(q)))
]
$
]

78
src/prelude.typ
Unescape Escape View File

@ -1,32 +1,32 @@
#let kL = $L$
#let dotss = $space dots.c space$
#let statement-style = (name, numbered: false) => it => {
set align(start)
block({
strong({
it.supplement
if numbered and it.numbering != none {
[ ]
// current chapter and section
[#(
..counter(heading).get().slice(0, 2).map(it => str(it)),
numbering(it.numbering, ..it.counter.at(it.location())),
).join(".")]
}
if name != none {
[ (#name)]
}
[.]
})
[ ]
it.body
})
}
// #let statement-style = (name, numbered: false) => it => {
// set align(start)
// block({
// strong({
// it.supplement
// if numbered and it.numbering != none {
// [ ]
// // current chapter and section
// [#(
// ..counter(heading).get().slice(0, 1).map(it => str(it)),
// numbering(it.numbering, ..it.counter.at(it.location())),
// ).join(".")]
// }
// if name != none {
// [ (#name)]
// }
// [.]
// })
// [ ]
// it.body
// })
// }
#let definition(body, name: none) = {
show figure: statement-style(name, numbered: false)
// show figure: statement-style(name, numbered: false)
figure(
body,
kind: "definition",
@ -35,17 +35,24 @@
}
#let fact(body, name: none) = {
show figure: statement-style(name, numbered: false)
// show figure: statement-style(name, numbered: false)
figure(
body,
kind: "fact",
supplement: [Fatto],
supplement: {
[Fatto]
if name != none {
[ -- ]
name
}
},
)
}
#let proposition(body, name: none, numbered: true) = {
show figure: statement-style(name, numbered: numbered)
figure(
// show figure: statement-style(name, numbered: numbered)
return figure(
body,
// kind: "proposition",
kind: "proposition",
@ -55,7 +62,7 @@
}
#let lemma(body, name: none, numbered: true) = {
show figure: statement-style(name, numbered: numbered)
// show figure: statement-style(name, numbered: numbered)
figure(
body,
// kind: "lemma",
@ -66,7 +73,7 @@
}
#let theorem(body, name: none, numbered: true) = {
show figure: statement-style(name, numbered: numbered)
// show figure: statement-style(name, numbered: numbered)
figure(
body,
kind: "theorem",
@ -78,7 +85,7 @@
#let proof(body) = block(
spacing: 11.5pt,
{
emph[Proof.]
emph[Dimostrazione.]
[ ]
body
h(1fr)
@ -115,7 +122,7 @@
rows: 2,
align: left,
block(
fill: todo-color.desaturate(20%),
fill: todo-color.desaturate(60%),
inset: (x: 0.5em, y: 0.35em),
radius: (top: 0.25em),
{
@ -125,7 +132,7 @@
),
block(
width: 100%,
fill: todo-color.desaturate(40%),
fill: todo-color.desaturate(75%),
inset: (x: 0.5em, y: 0.5em),
radius: (bottom: 0.25em, top-right: 0.25em),
{
@ -136,4 +143,7 @@
),
)
#let scr(it) = text(
features: ("ss01",),
box($cal(it)$),
)

11
src/refs.bib
Unescape Escape View File

@ -26,3 +26,14 @@
year = 1990,
language = {en}
}
@book{crowell1977introduction,
title = {Introduction to Knot Theory},
author = {Crowell, R.H. and Fox, R.H.},
isbn = {9783540902720},
lccn = {77022776},
series = {Ecological Studies},
url = {https://books.google.it/books?id=_1HvAAAAMAAJ},
year = {1977},
publisher = {Springer New York}
}

185
src/theme.typ
Unescape Escape View File

@ -5,7 +5,8 @@
#let normal-size = 12pt
#let large-size = 14pt
#let heading-factor = 1.41
// #let heading-factor = 1.41
#let heading-factor = 1.33
#let heading-level-size(level) = normal-size * calc.pow(heading-factor, 4 - level)
@ -144,7 +145,7 @@
}
// Configure paragraph properties.
set par(spacing: 1.5em, leading: 1em, justify: true)
set par(spacing: 1.5em, leading: 0.75em, justify: true)
// Custom Theme Settings
@ -155,7 +156,7 @@
// * EB Garamond + Asana Math
set text(font: "EB Garamond", size: normal-size)
show math.equation: set text(font: "Stix Two Math")
// show math.equation: set text(font: "Stix Two Math")
show raw: set text(font: "Iosevka")
// Configure lists
@ -163,14 +164,36 @@
set enum(spacing: 1.5em, indent: 0.5em, body-indent: 0.5em, numbering: "i.1.a)")
// Configure links
let link-color = color.mix((blue, 50%), (black, 50%))
show link: set text(link-color)
show link: it => underline(offset: 1pt, stroke: link-color, it)
// let link-color = color.mix((blue, 50%), (black, 50%))
// show link: set text(link-color)
// show link: it => underline(offset: 1pt, stroke: link-color, it)
// Configure equations.
show math.equation: set block(below: normal-size * 1.5, above: normal-size * 1.5)
show math.equation: set text(weight: 400)
set math.equation(
numbering: "(1)",
supplement: none,
)
show math.equation: it => {
if it.block and not it.has("label") [
#counter(math.equation).update(v => v - 1)
#math.equation(it.body, block: true, numbering: none)#label("")
] else {
it
}
}
show ref: it => {
if it.element != none and it.element.func() == math.equation {
link(it.target)[Eq.~(#it)]
} else {
it
}
}
show raw.where(block: false): it => {
set text(size: 7.25pt, fill: luma(7%))
@ -217,24 +240,138 @@
it
}
show figure.where(kind: "fact"): it => grid(
rows: 2,
align: left,
block(
fill: red.mix((yellow, 33%)).desaturate(20%),
inset: 0.5em,
{
set text(size: 9pt)
[*Work in Progress*]
},
),
block(
width: 100%,
fill: red.mix((yellow, 33%)).desaturate(40%),
inset: (x: 0.25em, y: 0.5em),
it,
),
)
// show figure.where(kind: "fact"): it => grid(
// rows: 2,
// align: left,
// block(
// fill: red.mix((yellow, 33%)).desaturate(20%),
// inset: 0.5em,
// {
// set text(size: 9pt)
// [*Work in Progress*]
// },
// ),
// block(
// width: 100%,
// fill: red.mix((yellow, 33%)).desaturate(40%),
// inset: (x: 0.25em, y: 0.5em),
// it,
// ),
// )
show figure.where(kind: "definition"): it => {
set align(start)
block({
strong({
it.supplement
[.]
})
[ ]
it.body
})
}
show figure.where(kind: "fact"): it => {
set align(start)
block({
strong({
it.supplement
[.]
})
it.body
})
}
show figure.where(kind: "proposition"): it => {
set align(start)
block({
strong({
it.supplement
if it.numbering != none {
[ ]
// current chapter and section
[#(
..counter(heading).get().slice(0, 1).map(it => str(it)),
numbering(it.numbering, ..it.counter.at(it.location())),
).join(".")]
}
[.]
})
[ ]
it.body
})
}
show figure.where(kind: "lemma"): it => {
set align(start)
block({
strong({
it.supplement
if it.numbering != none {
[ ]
// current chapter and section
[#(
..counter(heading).get().slice(0, 1).map(it => str(it)),
numbering(it.numbering, ..it.counter.at(it.location())),
).join(".")]
}
[.]
})
[ ]
it.body
})
}
show figure.where(kind: "theorem"): it => {
set align(start)
block({
strong({
it.supplement
if it.numbering != none {
[ ]
// current chapter and section
[#(
..counter(heading).get().slice(0, 1).map(it => str(it)),
numbering(it.numbering, ..it.counter.at(it.location())),
).join(".")]
}
[.]
})
[ ]
it.body
})
}
show ref: it => {
if it.element != none {
let el = it.element
if el == figure {
if el.kind == "proposition" or el.kind == "lemma" or el.kind == "theorem" {
link(
el.location(),
{
if it.supplement != auto { it.supplement } else { el.supplement }
[ ]
(
..counter(heading).at(el.location()).slice(0, 1).map(it => str(it)),
numbering(el.numbering, ..el.counter.at(el.location())),
).join(".")
},
)
}
} else {
it
}
}
if it.citation != none {
it
}
}
// Display the title and authors.
v(35pt, weak: true)

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