@ -336,7 +336,7 @@ Questo risultato può essere generalizzato a link con l'accortezza di invertire
#proof[
Controlliamo cosa succede nel caso delle mosse di tipo II e III:
- Nel caso della mossa II si può vedere che indipendentemente dalle orientazioni sui due fili, quando portiamo uno sopra l'altro compaiono sempre due incroci con segni opposti quindi per additività del writhe la somma totale non cambia.
- Nel caso della mossa II si può vedere che indipendentemente dalle orientazioni dei due fili, quando portiamo uno sopra l'altro compaiono sempre due incroci con segni opposti quindi per additività del writhe la somma totale non cambia.
e segue anche analogamente per l'altro ricciolo che $F(#skein.under-twist) = F(#skein.strand)$.
e analogamente segue anche per l'altro ricciolo che $F(#skein.under-twist) = F(#skein.strand)$.
]
= Polinomio di Kauffman
Ora introdurremo il polinomio di Kauffman @Kauffman1990-qe che vedremo essere un invariante di isotopia regolare. Questo polinomio è definito in modo implicito da degli assiomi che utilizzano le relazioni skein, queste relazioni possono essere utilizzate direttamente per calcolare
Vedremo come questi assiomi definiscono un unico invariante di isotopia regolare ben definito e come $kL_K (a, z)$ può essere generalizzato a un invariante di isotopia ambiente $F_K (a, z)$ utilizzando il _writhe_ di un nodo.
== Definizione assiomatica
#definition[
Dato $K$ un link non orientato, $kL_K in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$, ovvero i polinomi di Laurent sugli interi nelle variabili $a$ e $z$, e verifica i seguenti assiomi:
1. Se $K$, $K'$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare, allora $kL_K = kL_K'$.
#todo[
work in progress
]
2. Valgono le seguenti relazioni skein per quaterne di diagrammi identici ovunque tranne che nei punti indicati
// Ora introdurremo il polinomio di Kauffman @Kauffman1990-qe che vedremo essere un invariante di isotopia regolare. Questo polinomio è definito in modo implicito da degli assiomi che utilizzano le relazioni skein, queste relazioni possono essere utilizzate direttamente per calcolare
- $kL(#skein.over) + kL(#skein.under) = z (kL(#skein.h) + kL(#skein.v))$
// Vedremo come questi assiomi definiscono un unico invariante di isotopia regolare ben definito e come $kL_K (a, z)$ può essere generalizzato a un invariante di isotopia ambiente $F_K (a, z)$ utilizzando il _writhe_ di un nodo.
Come già anticipato in precedenza, vedremo che questo è un invariante di isotopia regolare e può essere generalizzato ad invariante di isotopia ambiente come segue
// #definition[
// Dato $K$ un link non orientato, $kL_K in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$, ovvero i polinomi di Laurent sugli interi nelle variabili $a$ e $z$, e verifica i seguenti assiomi:
#definition[
Definiamo $F_K in Z[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ per diagrammi orientati $K$ come
$
F_K colon.eq a^(-w(K)) kL_K
$
dove $L_K$ di un diagramma orientato è definito dimenticando l'orientazione.
]
// 1. Se $K$, $K'$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare, allora $kL_K = kL_K'$.
#proposition[
Il polinomio $F_K (a, z)$ è un invariante di isotopia ambiente
]
// 2. Valgono le seguenti relazioni skein per quaterne di diagrammi identici ovunque tranne che nei punti indicati
#proof[
Segue dalla @prop-ext-ambient-isotopy-inv.
]
// - $kL(#skein.over) + kL(#skein.under) = z (kL(#skein.h) + kL(#skein.v))$
== Alcune proprietà del polinomio di Kauffman
// - $kL(#skein.unit) = 1$
#lemma[
Sia $K$ un link orientato e $m(K)$ il suo mirror. Allora abbiamo la seguente relazione per $L$
e $F$
// - $kL(#skein.over-twist) = a kL(#skein.strand)$
// Come già anticipato in precedenza, vedremo che questo è un invariante di isotopia regolare e può essere generalizzato ad invariante di isotopia ambiente come segue
#proof[
$m(K)$ è ottenuto da $K$ scambiando tutti i suoi incroci quindi se analizziamo cosa succede nei vari assiomi solo vicino ad un certo incrocio otteniamo le seguenti relazioni
kL(m(#skein.under-twist)) = kL(#skein.over-twist) = a kL(#skein.strand)
$
// #definition[
// Definiamo $F_K in Z[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ per diagrammi orientati $K$ come
// $
// F_K colon.eq a^(-w(K)) kL_K
// $
// dove $L_K$ di un diagramma orientato è definito dimenticando l'orientazione.
// ]
ed infine l'ultima relazione rimane invariata per la simmetria del polinomio di Kauffman
// #proposition[
// Il polinomio $F_K (a, z)$ è un invariante di isotopia ambiente
// ]
$
kL(m(#skein.over)) + kL(m(#skein.under)) = z (kL(m(#skein.h)) + kL(m(#skein.v))) \
=> kL(#skein.under) + kL(#skein.over) = z (kL(#skein.h) + kL(#skein.v)) \
=> kL(#skein.over) + kL(#skein.under) = z (kL(#skein.h) + kL(#skein.v))
$
quindi passare al mirror ha l'effetto di scambiare solamente $a$ con $a^(-1)$ ma il resto della valutazione rimane identico.
Infine per $F_m(K)$ basta osservare che $w(m(K)) = -w(K)$ per una motivazione analoga.
]
// #proof[
// Segue dalla @prop-ext-ambient-isotopy-inv.
// ]
Prima di passare alla dimostrazione della buona definizione vediamo alcuni esempi di calcolo di $L_K$ in modo "implicito", questo può essere fatto scegliendo accuratamente per quali diagrammi valutare le relazioni skein degli assiomi.
Ad esempio proviamo a ricavare il valore di $delta colon.eq L(#skein.unit#skein.unit)$ #margin-note[Tutte le immagini qua sotto sono temporanee e devo rifarle]
Questo valore $delta = (a + 1 slash a) slash z - 1$ ricomparirà anche in seguito ed è il coefficiente che il polinomio di Kauffman introduce quando abbiamo un link con due componenti disgiunte. Possiamo anche trovare il risultato per il link di Hopf come segue
-(2a + a^(-1)) + (1 + a^(-2)) z + (a + a^(-1)) z^2
$
#definition[
Diremo che un diagramma è _split_ se è l'unione disgiunta di due diagrammi separati, in questo caso scriviamo $K = K_1 union.sq K_2$ dove $K_1$ e $K_2$ sono le due componenti disgiunte.
]
#definition[
Un diagramma $K$ è una *somma connessa* se appare come due diagrammi disgiunti connessi da due archi paralleli (a meno di isotopie planari). Tagliando questi due archi e riunendo insieme le estremità dello stesso sotto-diagramma otteniamo un nuovo diagramma split della forma $tilde(K) = K_1 union.sq K_2$, in questo caso chiamiamo la somma connessa $K = K_1 hash K_2$.
]
== Alcune proprietà del polinomio di Kauffman
#proposition[
Valgono le seguenti relazioni di $L$ ed $F$ per diagrammi split o in somma connessa
dove $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$ ed è lo stesso coefficiente che abbiamo trovato nell'esempio precedente.
]
#todo[
work in progress
]
// #lemma[
// Sia $K$ un link orientato e $m(K)$ il suo mirror. Allora abbiamo la seguente relazione per $L$
// e $F$
// $
// L_(m(K)) (a, z) = L_K (1 slash a, z)
// #h(2em)
// F_(m(K)) (a, z) = F_K (1 slash a, z)
// $
// ]
// #proof[
// $m(K)$ è ottenuto da $K$ scambiando tutti i suoi incroci quindi se analizziamo cosa succede nei vari assiomi solo vicino ad un certo incrocio otteniamo le seguenti relazioni
// => kL(#skein.over) + kL(#skein.under) = z (kL(#skein.h) + kL(#skein.v))
// $
// quindi passare al mirror ha l'effetto di scambiare solamente $a$ con $a^(-1)$ ma il resto della valutazione rimane identico.
// Infine per $F_m(K)$ basta osservare che $w(m(K)) = -w(K)$ per una motivazione analoga.
// ]
// Prima di passare alla dimostrazione della buona definizione vediamo alcuni esempi di calcolo di $L_K$ in modo "implicito", questo può essere fatto scegliendo accuratamente per quali diagrammi valutare le relazioni skein degli assiomi.
// Ad esempio proviamo a ricavare il valore di $delta colon.eq L(#skein.unit#skein.unit)$ #margin-note[Tutte le immagini qua sotto sono temporanee e devo rifarle]
// Questo valore $delta = (a + 1 slash a) slash z - 1$ ricomparirà anche in seguito ed è il coefficiente che il polinomio di Kauffman introduce quando abbiamo un link con due componenti disgiunte. Possiamo anche trovare il risultato per il link di Hopf come segue
// -(2a + a^(-1)) + (1 + a^(-2)) z + (a + a^(-1)) z^2
// $
// #definition[
// Diremo che un diagramma è _split_ se è l'unione disgiunta di due diagrammi separati, in questo caso scriviamo $K = K_1 union.sq K_2$ dove $K_1$ e $K_2$ sono le due componenti disgiunte.
// ]
// #definition[
// Un diagramma $K$ è una *somma connessa* se appare come due diagrammi disgiunti connessi da due archi paralleli (a meno di isotopie planari). Tagliando questi due archi e riunendo insieme le estremità dello stesso sotto-diagramma otteniamo un nuovo diagramma split della forma $tilde(K) = K_1 union.sq K_2$, in questo caso chiamiamo la somma connessa $K = K_1 hash K_2$.
// ]
// #proposition[
// Valgono le seguenti relazioni di $L$ ed $F$ per diagrammi split o in somma connessa
// dove $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$ ed è lo stesso coefficiente che abbiamo trovato nell'esempio precedente.
// ]
== Dimostrazione Forma Induttiva
Prima di passare a descrivere la definizione induttiva diamo alcune definizioni di manipolazioni di un diagramma.
#definition[
Sia $K$ un diagramma, $cal(U)$ la sua ombra planare#footnote[Ovvero per $K subset bb(R)^3$ poniamo $U colon.eq pi(K) subset bb(R)^2$] e $p in cal(U)$ un punto di partenza direzionato in $cal(U)$.
#todo[
work in progress
]
- Il suo *nodo (o link) banale standard* associato detto $hat(K)(cal(U), p)$ è definito come segue: si prende il primo punto di partenza direzionato e si inizia a percorrere l'ombra planare in quella direzione e si rende ogni incrocio un sopra-incrocio quando ci si passa sopra per la prima volta.
// Prima di passare a descrivere la definizione induttiva diamo alcune definizioni di manipolazioni di un diagramma.
#figure(
image(
"assets/standard-unlink-construction.png",
width: 12cm,
),
caption: [
Un link con tre componenti e punti di partenza direzionati $p_1, p_2, p_3$, poniamo $overline(p) = (p_1, p_2, p_3)$. In $hat(L)(cal(U), overline(p))$ sono evidenziati in #box(radius: 3pt, outset: (y: 3pt), inset: (x: 2pt), fill: rgb("#91cdff"))[azzurro] gli incroci \ scambiati rispetto al link $L$.
],
)
// #definition[
// Sia $K$ un diagramma, $cal(U)$ la sua ombra planare#footnote[Ovvero per $K subset bb(R)^3$ poniamo $U colon.eq pi(K) subset bb(R)^2$] e $p in cal(U)$ un punto di partenza direzionato in $cal(U)$.
// ]
// - Il suo *nodo (o link) banale standard* associato detto $hat(K)(cal(U), p)$ è definito come segue: si prende il primo punto di partenza direzionato e si inizia a percorrere l'ombra planare in quella direzione e si rende ogni incrocio un sopra-incrocio quando ci si passa sopra per la prima volta.
- Sia $K$ un link, $lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ una sequenza di etichette di incroci allora poniamo
// #figure(
// image(
// "assets/standard-unlink-construction.png",
// width: 12cm,
// ),
// caption: [
// Un link con tre componenti e punti di partenza direzionati $p_1, p_2, p_3$, poniamo $overline(p) = (p_1, p_2, p_3)$. In $hat(L)(cal(U), overline(p))$ sono evidenziati in #box(radius: 3pt, outset: (y: 3pt), inset: (x: 2pt), fill: rgb("#91cdff"))[azzurro] gli incroci \ scambiati rispetto al link $L$.
// ],
// )
$
A_i^lambda = E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
#h(2em)
B_i^lambda = e_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
$
notiamo che per $i=0$ abbiamo che $A_0^lambda K = E_lambda_0 K$ e $B_0^lambda K = e_lambda_0 K$ che è l'unico caso degenere per questa definizione.
// - Sia $K$ un link, $lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ una sequenza di etichette di incroci allora poniamo
- #todo[Operazione compatta $sum_K (lambda)$]
// $
// A_i^lambda = E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
// #h(2em)
// B_i^lambda = e_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
// $
L'idea per la definizione induttiva è di considerare dato un nodo o un link $K$ il suo nodo o link discendente standard $hat(K)$. Questo induce una sequenza di indici $lambda$ che indichiamo con $0, dots, n$. Se la applichiamo incrementalmente a $K$ otteniamo le seguenti relazioni
// notiamo che per $i=0$ abbiamo che $A_0^lambda K = E_lambda_0 K$ e $B_0^lambda K = e_lambda_0 K$ che è l'unico caso degenere per questa definizione.
se ora sommiamo e sottraiamo membro a membro otteniamo la seguente identità
// L'idea per la definizione induttiva è di considerare dato un nodo o un link $K$ il suo nodo o link discendente standard $hat(K)$. Questo induce una sequenza di indici $lambda$ che indichiamo con $0, dots, n$. Se la applichiamo incrementalmente a $K$ otteniamo le seguenti relazioni
// Da cui otteniamo un'espressione per $L_K$, inoltre posto $lambda = (0, dots, n)$
Questo ci dà un'idea su come sia possibile calcolare induttivamente $L_K$ in termini di $L_hat(K)$ e di altri diagrammi con meno incroci del diagramma di partenza.
// #align(center, block(width: 15cm, [
// #set align(center)
Affinché sia sempre possibile raggiungere un nodo in forma di nodo banale standard serve aggiungere la seguente relazione quando $K = K_1 union.sq K_2$ con $K_1$ sovrastante $K_2$.
// Questo ci dà un'idea su come sia possibile calcolare induttivamente $L_K$ in termini di $L_hat(K)$ e di altri diagrammi con meno incroci del diagramma di partenza.
// Closed form algorithm
// Affinché sia sempre possibile raggiungere un nodo in forma di nodo banale standard serve aggiungere la seguente relazione quando $K = K_1 union.sq K_2$ con $K_1$ sovrastante $K_2$.
#definition(name: [Forma chiusa per $kL_K$])[
Il polinomio $kL_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue, abbiamo i seguenti casi:
]
// $
// L_(K_1 union.sq K_2) = delta L_(K_1) L_(K_2)
// $ <kauffman-rec-overlies>
// la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
// sempre con $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$.
1. Se $K = hat(K)$ è un _nodo banale standard_ allora $kL_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
// // Closed form algorithm
2. Se $K_1$ è _sovrastante_ $K_2$, sia $d colon.eq (a + a^(-1)) slash z - 1$ e allora
// #definition(name: [Forma chiusa per $kL_K$])[
// Il polinomio $kL_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue, abbiamo i seguenti casi:
// ]
$
kL(K_1 union.sq K_2) colon.eq d kL(K_1) kL(K_2)
$
// // la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
//1.Se $K = hat(K)$ è un _nodo banale standard_ allora $kL_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
3. Se $K = K_1 union.sq dotss union.sq K_n$
// 2. Se $K_1$ è _sovrastante_ $K_2$, sia $d colon.eq (a + a^(-1)) slash z - 1$ e allora
// $
// kL(K_1 union.sq K_2) colon.eq d kL(K_1) kL(K_2)
// $
- Se un $K_i$ è _sovrastante_ un'altra componente allora applica (ii).
// 3. Se $K = K_1 union.sq dotss union.sq K_n$
- Se nessun $K_i$ è _sovrastante_ tutti gli altri, siano $p_1, ..., p_n$ dei punti di partenza direzionati su $K_1, ..., K_n$ e sia $overline(p)_i$ lo stesso punto di partenza direzionato con la direzione opposta di $p_i$ su $K_i$. Sia $lambda(p_i)$ la sequenza di scambi di incroci di $K_i$ con $K - K_i$ tale che $hat(K)(lambda(p_i)) = K_i union.sq (K - K_i)$ tale che $K_i$ sia _sovrastante_ il resto delle componenti. A questo punto possiamo definire $kL_K$ come
// - Se un $K_i$ è _sovrastante_ un'altra componente allora applica (ii).
#[
#set text(size: 11pt)
$
kL_K (a, z) colon.eq
1 / (2n) [
sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i) ((-1)^(|lambda(q)|+1) d kL_(K_i) kL_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
]
$
]
// - Se nessun $K_i$ è _sovrastante_ tutti gli altri, siano $p_1, ..., p_n$ dei punti di partenza direzionati su $K_1, ..., K_n$ e sia $overline(p)_i$ lo stesso punto di partenza direzionato con la direzione opposta di $p_i$ su $K_i$. Sia $lambda(p_i)$ la sequenza di scambi di incroci di $K_i$ con $K - K_i$ tale che $hat(K)(lambda(p_i)) = K_i union.sq (K - K_i)$ tale che $K_i$ sia _sovrastante_ il resto delle componenti. A questo punto possiamo definire $kL_K$ come
- Se $K$ è una singola componente allora sia $p$ un punto di partenza direzionato su $K$ e $overline(p)$ quello con direzione opposta. Sia $lambda(p)$ la sequenza di scambi di incroci che lo porta al nodo banale standard $hat(K)$ e definiamo
// #[
// #set text(size: 11pt)
// $
// kL_K (a, z) colon.eq
// 1 / (2n) [
// sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i) ((-1)^(|lambda(q)|+1) d kL_(K_i) kL_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
// ]
// $
// ]
#[
#set text(size: 11pt)
// - Se $K$ è una singola componente allora sia $p$ un punto di partenza direzionato su $K$ e $overline(p)$ quello con direzione opposta. Sia $lambda(p)$ la sequenza di scambi di incroci che lo porta al nodo banale standard $hat(K)$ e definiamo
$
kL_K (a, z) colon.eq
1 / 2 [
sum_(q = p, overline(p)) ((-1)^(|lambda(q)|+1) kL(hat(K)(lambda(q))) + z sum_K (lambda(q)))
