#import "theme.typ": * #import "prelude.typ": * #import "@preview/cetz:0.3.4" #import "skein.typ": * #import "@preview/drafting:0.2.2": inline-note, margin-note, set-margin-note-defaults, set-page-properties #import "@preview/colorful-boxes:1.1.0": stickybox #set-margin-note-defaults(rect: (..kwargs, content) => rect(..kwargs, { set text(size: 8pt, font: "Open Sans") set par(leading: 0.5em, justify: false) content }), side: right) // Prelude #show: ams-article.with( paper-size: "a4", title: [Il polinomio di Kauffman: \ un invariante di isotopia regolare], page-title: [Il polinomio di Kauffman: un invariante di isotopia regolare], authors: (( name: "Antonio De Lucreziis", organization: "Dipartimento di Matematica", location: "Pisa, Italia", email: "antonio.delucreziis@gmail.com", ),), abstract: [ In questa tesi tratteremo del polinomio di Kauffman, un invariante di nodi e link di isotopia regolare. Introdurremo dei risultati di fondazione della teoria dei nodi per definire l'isotopia regolare. Infine vedremo la dimostrazione della buona definizione del polinomio di Kauffman a partire dalla forma assiomatica. Per il progetto di Laboratorio Computazionale abbiamo implementato in Python questo polinomio e verificato tutti i valori presenti nel database di KnotInfo e trovato un errore nel calcolo del nodo $10_125$. ], bibliography: bibliography("refs.bib"), ) #set-page-properties(margin-right: 4cm) // Content = Introduzione // In questa tesi studieremo un invariante di isotopia regolare chiamato polinomio di Kauffman @Kauffman1990-qe. Intuitivamente se l'isotopia ambiente è l'equivalenza tra diagrammi generata dalle mosse I, II e III di Reidemeister, l'isotopia regolare è l'equivalenza generata solo dalle mosse II e III. // #figure( // image("assets/ambient-regular-isotopy-difference.jpg", width: 13cm), // caption: [Mosse di Reidemeister], // ) // Dato un nodo o link non orientato $K$, possiamo definire in forma assiomatica il polinomio $kL_K (a, z) in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ attraverso i seguenti assiomi: // 1. Se $K$, $K'$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare, allora $kL_K (a,z) = kL_K' (a,z)$. // 2. Valgono le seguenti relazioni skein: // - $kL(#skein.over) + kL(#skein.under) = z (kL(#skein.h) + kL(#skein.v))$ // - $kL(#skein.unit) = 1$ // - $kL(#skein.over-twist) = a kL(#skein.strand)$ // - $kL(#skein.under-twist) = a^(-1) kL(#skein.strand)$ // Vedremo come questi assiomi definiscono un unico invariante di isotopia regolare ben definito e come $kL_K (a, z)$ può essere generalizzato a un invariante di isotopia ambiente $F_K (a, z)$ utilizzando il _writhe_ di un nodo. == Introduzione alla Teoria dei Nodi Ora introdurremo alcuni risultati fondamentali di teoria dei nodi. Vedremo le definizioni di nodo e link ed alcuni risultati di fondazione che ci serviranno per poter parlare ad esempio dei diagrammi planari e dell'isotopia regolare. #definition[ Dati $X, Y$ spazi topologici, $f : X arrow Y$ continua si dice *embedding* se $X$ è omeomorfo a $f(X) subset Y$ con la topologia di sottospazio indotta da $Y$. ] // #let embedding-def = ref-link()[embedding] #fact[ Dati $X$, $Y$ spazi topologici con $X$ compatto, $Y$ di Hausdorff e data un'applicazione continua $f : X arrow Y$ allora $f$ è un embedding $<=>$ è iniettiva. ] #definition[ Dato un embedding $f : X arrow Y$, un punto $p in X$ allora $f$ si dice *localmente piatto* in $p$ se $exists U subset bb(R)^3$ intorno di $p$, tale che ] #grid(columns: (1fr, 1fr), gutter: 1em, align: center + horizon, grid( columns: 3, gutter: 1em, align: center, $U$, $approx$, $bb(D)^2 times [0, 1]$, $U inter f(X)$, $<->$, ${ 0 } times [0, 1]$, ), align(center, image("assets/locally-flat-v2.png", width: 4cm))) inoltre $f$ si dice embedding *localmente piatto* se lo è in ogni punto di $X$. // #let locally-flat-def = ref-link()[localmente piatto] #definition[ Un *nodo tame* è un sottoinsieme $K subset bb(R)^3$ per cui esiste un embedding $f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ localmente piatto con $K = f(bb(S)^1)$. In questo caso $f$ è anche detto *embedding tame*. ] #figure(image("assets/wild_knot.svg", width: 75%), caption: [ Un esempio di nodo non tame ]) Esistono anche nodi non tame come quello riportato nella figura precedente @wiki:wild_knot, ma d'ora in avanti considereremo solo nodi tame. #definition[ Due nodi $K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* $H$ che porta uno nell'altro, ovvero esiste $H : bb(R)^3 times [0, 1] arrow bb(R)^3$ applicazione continua, tale che - $forall t in [0, 1], H(dot, t)$ è un omeomorfismo e ponendo $H_t (x) colon.eq H(x, t)$ si ha - $H_0 = id_(bb(R)^3)$ - $H_1(K_0) = K_1$ ] Inoltre se due nodi sono equivalenti allora vale che $bb(R)^3 without K_0 approx bb(R)^3 without K_1$. Spesso serve fare manipolazioni direttamente sui nodi o sui diagrammi e lavorare con gli embedding $bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ non è molto comodo da un punto di vista formale e pratico, per questo motivo introduciamo i _nodi poligonali_ che ci permettono di dare una formalizzazione alternativa dei nodi tame più operativa. #definition[ Un *nodo poligonale* è un nodo equivalente ad un'unione finita di segmenti lineari. ] #fact(name: [Crowell @crowell1977introduction])[ Dato un nodo $K subset bb(R)^3$, $K$ è tame $<=>$ $K$ è poligonale. ] // Dunque nella classe di isotopia di un nodo tame c'è sempre un nodo poligonale e possiamo restringerci a studiare questi ultimi. #definition[ Il *nodo banale* è la classe di equivalenza del bordo di un triangolo equilatero. ] Passiamo ora al caso in cui abbiamo un nodo con più di una componente #definition[ $L subset bb(R)^3$ è detto *link* se $exists$ embedding $f : bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ localmente piatto con immagine $L$. ] Possiamo generalizzare tutte le definizioni che diamo per i nodi ai link, sostituendo $bb(S)^1$ con $bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1$ e apportando le giuste modifiche. Introduciamo ora il concetto di equivalenza combinatoria di link poligonali in $bb(R)^3$; questo è il primo passo che ci permetterà di descrivere l'equivalenza per isotopia ambiente tra nodi attraverso una sequenza finita di mosse. #definition[ Due link $L_1, L_2$ sono *combinatorialmente equivalenti* se si ottengono uno dall'altro tramite un numero finito delle seguenti mosse: 1. Aggiunta/rimozione di vertici #image("assets/delta-move-1.png") 2. Dato un triangolo piano $Delta subset bb(R)^3$ tale che $Delta inter L$ sia un lato di $Delta$ ed un segmento di $L$ allora una $Delta$*-mossa* è la seguente #image("assets/delta-move-2.png") ] #fact[ Due link poligonali $L_1, L_2 subset bb(R)^3$ sono equivalenti $<=>$ sono combinatorialmente equivalenti. ] #pagebreak() == Proiezioni e Diagrammi Data una direzione $v in bb(S)^2 subset bb(R)^3$, possiamo definire $pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$ proiezione sul piano ortogonale a $v$ come nella seguente figura: #figure(image("assets/projection-plane.png", width: 60%)) Per formalizzare il concetto di diagramma di un nodo introdurremo il concetto di proiezione regolare, ovvero una proiezione in cui i punti di intersezione tra le immagini dei segmenti di $L$ sono solamente gli incroci del nodo (e senza segmenti paralleli alla direzione di proiezione). #definition[ Sia $L subset bb(R)^3$ un link, $v in bb(S)^2$ una direzione e $pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$ la proiezione su $v^perp$ come in precedenza. Allora un punto $x in pi(L) subset v^perp$ si dice - *regolare* se $abs(pi^(-1)(x)) = 1$ - *singolare* se $abs(pi^(-1)(x)) > 1$ - *doppio* se $abs(pi^(-1)(x)) = 2$ ] #fact[ Dato un link poligonale $L subset bb(R)^3$, esiste un aperto denso $U subset bb(S)^2$ tale che $forall v in U$ si ha che 1. $L$ non ha segmenti paralleli a $v$. 2. Se $x in pi_v (L)$ è singolare allora - $pi_v^(-1)(x)$ non contiene vertici di $L$ - $x$ è un punto doppio - $x$ è un punto di intersezione trasversa delle immagini di due segmenti ] Quindi dato $L subset bb(R)^3$ link poligonale, esiste una proiezione regolare $pi(L) subset bb(R)^2$ con un numero finito di punti singolari, ciascuno dei quali è un punto doppio e di intersezione trasversa. Ognuno di questi punti doppi viene detto *incrocio*. #definition[ Un *diagramma* $D subset bb(R)^2$ di un link $L subset bb(R)^3$ è l'immagine di $L$ attraverso una proiezione regolare decorata con l'informazione sopra/sotto ad ogni incrocio. ] #fact[ Due link con stesso diagramma sono equivalenti. ] #definition[ Le mosse I, II, III (e le loro inverse) sono dette *mosse di Reidemeister*. ] #figure(image("assets/reidemeister-moves.jpg", width: 10cm)) #theorem( name: [di Reidemeister], )[ Due diagrammi di link equivalenti sono collegati da una successione finita di isotopie planari e mosse di Reidemeister. ] Il modo principale in cui utilizzeremo il teorema di Reidemeister è attraverso la seguente proprietà. Indichiamo con $scr(D)$ l'insieme dei diagrammi di nodi e link. #proposition[ Data una funzione $phi : scr(D) arrow S$ con $S$ un insieme (eventualmente con una qualche struttura come quella di anello) con la proprietà che $D tilde D' => phi(D) = phi(D')$ allora se $phi(D) != phi(D') => D tilde.not D'$, in particolare se $D, D'$ sono diagrammi per $K, K'$ allora $K tilde.not K'$. ] #proof[ È semplicemente la forma contronominale del teorema di Reidemeister. ] Funzioni con la stessa proprietà di $phi$ sono quindi invarianti di nodi o link per isotopia ambiente e ci danno un modo di distinguerli. Più avanti vedremo ad esempio il polinomio $F_K (a, z) : scr(D) arrow bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ che risulterà essere un invariante di isotopia ambiente per link orientatati. Come abbiamo generalizzato da nodi a link possiamo ripetere tutto anche aggiungendo un'orientazione e studiare *nodi e link orientati* ed abbiamo anche una versione orientata del teorema di Reidemeister. == Operazioni su Diagrammi #definition[ Dato un link $L subset bb(R)^3$ possiamo definire - Il *mirror* $m(L) colon.eq rho(L)$ dove $rho : bb(R)^3 arrow bb(R)^3$ è la riflessione rispetto al piano di proiezione. In particolare dato un diagramma, il suo mirror è lo stesso diagramma con tutte le informazioni sopra/sotto scambiate. inoltre, se diamo anche un'_orientazione_ ad $L$ possiamo definire - Il *reverse* $r(L)$, in cui prendiamo l'orientazione opposta su ogni componente. - L'*inverso* $-L colon.eq m(r(L)) = r(m(L))$. ] #definition[ Sia $K subset bb(R)^3$, se $K$ non è equivalente a $m(K)$ allora diciamo che $K$ è *chirale*, altrimenti è detto *anfichirale*. ] = Isotopia Regolare Il teorema di Reidemeister ci dice che due nodi sono equivalenti a meno di isotopia ambiente se e solo se lo sono anche dei loro diagrammi a meno di isotopie planari e mosse I, II e III. Possiamo chiederci cosa succede se ci restringiamo all'equivalenza generata solo dalle isotopie planari e dalle mosse II e III, questo ci dà una nuova equivalenza tra nodi più stringente dell'isotopia ambiente. #definition[ Due diagrammi $D_1, D_2$ di nodi o link si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se e solo se sono equivalenti a meno di isotopie planari e mosse II e III di Reidemeister. ] #figure(image("assets/ambient-regular-isotopy-difference.jpg", width: 15cm)) Una prima cosa che possiamo notare è che tutte le mosse di tipo I, quelle che introducono quelli che chiameremo *riccioli*, possono passare sopra o sotto altri fili senza problemi applicando le seguenti mosse #figure(image("assets/move-1-factorization.png", width: 10cm)) Quindi i riccioli possono essere spostati liberamente e non ci impediscono di applicare mosse di tipo II o III. In particolare questo ci permette anche di "fattorizzare" tutti i riccioli di una componente in modo che siano tutti vicini. Un'altra osservazione sul comportamento dell'isotopia regolare rispetto alle mosse di tipo I è la seguente. Quando abbiamo una coppia di riccioli con segni opposti abbiamo la seguente proprietà di cancellazione detto _trucco di Whitney_. #figure(image("assets/whitney-trick.png", width: 16cm)) // C'è un'osservazione importante da fare quando parliamo di isotopia regolare. Quest'ultima è definita solo quando si parla di diagrammi. Quando invece parliamo di isotopia ambiente ha senso parlare dei link sia come diagrammi che come embedding $bb(S)^1 -> bb(R)^3$. // C'è un'osservazione importante da fare quando parliamo di isotopia regolare. Quest'ultima è definita solo quando si parla di diagrammi nel piano o su $bb(S)^2$. Nel caso dell'isotopia regolare su $bb(S)^2$ questa è equivalente all'isotopia di _link con framing_ #footnote[Nel caso di nodi come embedding da $bb(S)^1 -> bb(S)^3$, un *nodo con framing* è un embedding di $bb(D)^2 times bb(S)^1 -> bb(S)^3$. Il *framing* del nodo è l'immagine di $I times bb(S)^1 -> bb(S)^3$. Un nodo con framing può essere visto come una banda embedded dove il framing è il numero di twist con segno.]. In particolare l'isotopia regolare preserva il framing del nodo. Un'altra osservazione importante che possiamo fare quando si parla di isotopia regolare è che quest'ultima è equivalente all'isotopia di _link con framing_ #footnote[Nel caso di nodi come embedding da $bb(S)^1 -> bb(S)^3$, un *nodo con framing* è un embedding di $bb(D)^2 times bb(S)^1 -> bb(S)^3$. Il *framing* del nodo è l'immagine di $I times bb(S)^1 -> bb(S)^3$. Un nodo con framing può essere visto come una banda embedded dove il framing è il numero di twist con segno.]. In particolare l'isotopia regolare preserva il framing del nodo. Questo sarà importante più avanti quando vedremo invarianti come il polinomio $F_K$ che risulteranno essere invarianti per isotopia ambiente. Nel caso del polinomio $F_K$, il calcolo va fatto fissando un particolare diagramma del link. È tutt'ora un problema aperto dare una definizione "intrinseca" di $F_K$ senza usare diagrammi. // Questo sarà importante più avanti quando vedremo invarianti di isotopia ambiente definiti passando dall'isotopia regolare. Ad esempio, nel caso del polinomio $F_K$, la definizione si basa sul polinomio $L_K$ che è un invariante per isotopia regolare definito su diagrammi; quindi il calcolo di $F_K$ va fatto fissando un particolare diagramma del link. È tutt'ora un problema aperto dare una definizione di $F_K$ che sia indipendente dalla scelta di un diagramma. == Writhe Vediamo ora un primo invariante di isotopia regolare per link orientati, per prima cosa definiamo il segno di un incrocio. #definition[ Dato un incrocio del diagramma di un link orientato ci possono essere due casi in base alla direzione in cui il filo sotto si trova rispetto a quello sopra. Definiamo *il segno* di un incrocio in base a questi casi come segue $ epsilon(#skein-generic(direction: (+1, +1))) = +1 #h(2em) epsilon(#skein-generic(direction: (+1, -1))) = -1 $ ] #definition[ Dato $K$ link orientato, il *writhe* $w(K)$ o numero di avvolgimento è dato dalla somma dei segni dei suoi incroci $ w(K) colon.eq sum_(c "incrocio") epsilon(c) $ ] #proposition[ Se $K$ è il diagramma di un nodo, il writhe non dipende dall'orientazione. ] #proof[ Basta ricondurci a controllare cosa succede quando applichiamo il cambio dell'orientazione in $epsilon$: $ epsilon(#skein-generic(direction: (-1, -1))) stretch(=) epsilon(#skein-generic(direction: (+1, +1))) = +1 \ epsilon(#skein-generic(direction: (-1, +1))) = epsilon(#skein-generic(direction: (+1, -1))) = -1 $ Nel primo caso invertendo le due frecce il filo che passa sotto va sempre verso sinistra rispetto a quello sopra quindi il segno rimane invariato, il secondo caso è analogo. ] Questo risultato può essere generalizzato a diagrammi di link con l'accortezza di invertire l'orientazione di tutte le componenti (o anche solamente tutte quelle che appartengono ad una sola componente connessa della sua ombra planare). #proposition[ Il writhe è un invariante di isotopia regolare, ovvero se $K_1, K_2$ sono diagrammi di link equivalenti a meno di isotopia regolare allora $w(K_1) = w(K_2)$. ] #proof[ Controlliamo cosa succede nel caso delle mosse di tipo II e III: - Nel caso della mossa II si può vedere che indipendentemente dalle orientazioni dei due fili, quando portiamo uno sopra l'altro compaiono sempre due incroci con segni opposti quindi per additività del writhe la somma totale non cambia. #figure(image("assets/writhe-move-2.png", width: 6cm)) - Per quanto riguarda la mossa III, il numero di incroci non cambia quindi basta controllare che la somma sia la stessa #figure(image("assets/writhe-move-3.png", width: 6cm)) Come possiamo notare nel caso mostrato in figura ciò che accade è che stiamo solo spostando e scambiando alcuni degli incroci tra loro. In particolare possiamo identificare ogni incrocio come l'intersezione di due delle tre rette, dopo aver applicato la mossa III le rette si saranno spostate ma le orientazioni saranno sempre le stesse e quindi anche i segni degli incroci. Inoltre notiamo che il writhe non è influenzato dalle isotopie planari quindi questo conclude la dimostrazione. ] #figure(image("assets/writhe-examples.png", width: 12cm), caption: [ Esempi di calcolo del writhe // per varie orientazioni del link di Hopf e del nodo trifoglio ]) == Da isotopia regolare ad ambiente Un primo fatto generale che possiamo vedere è che, dato un invariante di isotopia regolare per diagrammi che si comporta "bene" rispetto alle mosse di tipo I, possiamo costruire un invariante di isotopia ambiente per link aggiungendo un fattore di correzione dato dal writhe. #proposition[ Sia $R$ un anello, $a in R$ un elemento invertibile e $K$ un link orientato, $scr(D)$ l'insieme dei diagrammi di link orientatati, allora se $L : scr(D) -> R$ è un invariante di isotopia regolare tale che $ L(#skein.over-twist) = a L(#skein.strand) #h(2em) L(#skein.under-twist) = a^(-1) L(#skein.strand) $ allora $F(K) colon.eq a^(-w(K)) L(K)$ è un invariante di isotopia ambiente. ] *Osservazione.* In questo caso la notazione "$L(#skein.over-twist-medium) = a L(#skein.strand-medium)$" indica che ci sono due diagrammi $D_1, D_2$ identici ovunque tranne che nella parte evidenziata. #proof[ Per prima cosa notiamo che $w(K)$ è invariante per isotopia regolare, dunque lo è anche $a^(-w(K))$. Osserviamo che $a^(-w(K)) dot L(K)$ è un prodotto di quantità invarianti per isotopia regolare dunque anche $F(K)$ è invariante per isotopia regolare. Dunque basta controllare che $F(K)$ sia invariante rispetto alle mosse di tipo I. Per prima cosa osserviamo che $ w(#skein.over-twist) = w(#skein.strand) + 1 #h(2em) w(#skein.under-twist) = w(#skein.strand) - 1 $ ed usando la proprietà dell'ipotesi otteniamo $ F(#skein.over-twist) & = a^(-w(#skein.over-twist-small)) dot L(#skein.over-twist) \ & = a^(-w(#skein.strand-small) - 1) dot a dot L(#skein.strand) \ & = a^(-w(#skein.strand-small)) dot cancel(a^(-1)) dot cancel(a) dot L(#skein.strand) \ & = a^(-w(#skein.strand-small)) dot L(#skein.strand) = F(#skein.strand) \ $ e analogamente segue anche per l'altro ricciolo che $F(#skein.under-twist) = F(#skein.strand)$. ] = Il Polinomio di Kauffman Ora introdurremo il polinomio di Kauffman @Kauffman1990-qe detto $L_K$, che vedremo essere un invariante di isotopia regolare. Questo polinomio è definito in modo implicito da assiomi che utilizzano le relazioni skein, queste relazioni possono essere utilizzate direttamente per calcolare il polinomio di Kauffman per un certo diagramma in modo implicito. Vedremo come questi assiomi definiscono un unico invariante di isotopia regolare ben definito e come $kL_K (a, z)$ può essere generalizzato ad un invariante di isotopia ambiente $F_K (a, z)$. == Definizione assiomatica *Notazione.* Per rendere alcuni calcoli più leggibili, in questo capitolo utilizzeremo in modo intercambiabile le notazioni $L_K, L[K]$ per indicare il polinomio di Kauffman associato ad un certo diagramma. #definition[ Sia $K$ un diagramma di un link non orientato, e sia $bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ l'anello i polinomi di Laurent sugli interi nelle variabili $a$ e $z$. Allora $L_K in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$, e verifica i seguenti assiomi: 1. Se $K$, $K'$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare, allora $L_K = L_K'$. 2. Valgono le seguenti relazioni skein per quaterne di diagrammi identici ovunque tranne nella parte evidenziata // #set enum(numbering: n => [$K_#n$)]) #set enum(numbering: "a)") 1. $L[#skein.over] + L[#skein.under] = z (L[#skein.h] + L[#skein.v])$ 2. $L[#skein.unit] = 1$ 3. $L[#skein.over-twist] = a L[#skein.strand]$ 4. $L[#skein.under-twist] = a^(-1) L[#skein.strand]$ ] // Queste sono le cosiddette relazioni skein del polinomio di Kauffman, come in precedenza ogni equazione sta a significare che ci sono dei diagrammi identici ovunque tranne nella parte evidenziata. Come già anticipato in precedenza, vedremo che questo è un invariante di isotopia regolare e può essere generalizzato ad invariante di isotopia ambiente come segue #definition[ Definiamo $F_K in Z[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ per diagrammi di link orientati $K$ come $ F_K colon.eq a^(-w(K)) kL_K $ dove $L_K$ di un diagramma orientato è definito dimenticando l'orientazione. ] #proposition[ Il polinomio $F_K (a, z)$ è un invariante di isotopia ambiente ] #proof[ Segue dalla @prop-ext-ambient-isotopy-inv osservando che $a$ è invertibile in $bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$. ] == Alcune proprietà del polinomio di Kauffman #lemma[ Sia $K$ il diagramma di un link orientato e $m(K)$ il suo mirror. Allora abbiamo le seguenti relazioni $ L_(m(K)) (a, z) = L_K (1 slash a, z) #h(2em) F_(m(K)) (a, z) = F_K (1 slash a, z) $ ] #proof[ $m(K)$ è ottenuto da $K$ scambiando tutti i suoi incroci quindi se analizziamo cosa succede nei vari assiomi solo vicino ad un certo incrocio otteniamo le seguenti relazioni $ kL[m(#skein.unit)] = kL[#skein.unit] = 1 \ kL[m(#skein.over-twist)] = kL[#skein.under-twist] = a^(-1) kL[#skein.strand] \ kL[m(#skein.under-twist)] = kL[#skein.over-twist] = a kL[#skein.strand] $ ed infine l'ultima relazione rimane invariata per la simmetria del polinomio di Kauffman $ kL[m(#skein.over)] + kL[m(#skein.under)] = z (kL[m(#skein.h)] + kL[m(#skein.v)]) \ => kL[#skein.under] + kL[#skein.over] = z (kL[#skein.h] + kL[#skein.v]) \ => kL[#skein.over] + kL[#skein.under] = z (kL[#skein.h] + kL[#skein.v]) $ quindi passare al mirror ha l'effetto di scambiare solamente $a$ con $1 slash a$ ma il resto della valutazione rimane identica. Infine per $F_m(K)$ basta osservare che $w(m(K)) = -w(K)$ per una motivazione analoga. ] Prima di passare alla dimostrazione della buona definizione vediamo alcuni esempi di calcolo di $L_K$ in modo "implicito", questo può essere fatto scegliendo accuratamente i diagrammi in cui effettuare la valutazione attraverso le relazioni skein degli assiomi. Ad esempio proviamo a ricavare il valore di $delta colon.eq L[#skein.unit#skein.unit]$ #let knot-picture(src, ..rest) = $thin #image("assets/derived/atlas-" + src, ..rest) thin$ $ L[ #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) ] + L[ #knot-picture("infinity-1.png", height: 2.25em) ] & = z ( L[ #knot-picture("infinity-2.png", height: 2.25em) ] + L[ #knot-picture("infinity-3.png", height: 2.25em) ] ) \ => a L[ #skein.unit ] + a^(-1) L[ #skein.unit ] & = z ( delta + L [ #skein.unit ] ) \ => a + a^(-1) & = z ( delta + 1 ) \ => delta & = (a + a^(-1)) slash z - 1 $ Questo valore $delta = (a + 1 slash a) slash z - 1$ ricomparirà anche in seguito ed è il coefficiente che il polinomio di Kauffman introduce quando abbiamo più componenti disgiunte (ovvero $L[K_1 union.sq K_2] = delta L[K_1] L[K_2]$). Possiamo anche trovare il valore per il link di Hopf come segue // #figure(image("assets/implicit-calc-2.png")) $ L[ #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) ] + L[ #knot-picture("hopf-1.png", height: 1.75em) ] & = z ( L[ #knot-picture("hopf-2.png", height: 1.75em) ] + L[ #knot-picture("hopf-3.png", height: 1.75em) ] ) \ => L[ #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) ] + delta & = z ( a + a^(-1) ) \ => L[ #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) ] & = - (a + a^(-1)) z^(-1) + 1 + (a + a^(-1)) z $ E ad esempio anche del nodo trifoglio: // #figure(image("assets/implicit-calc-3.png")) $ L[ #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) ] + L[ #knot-picture("trefoil-1.png", height: 2em) ] & = z ( L[ #knot-picture("trefoil-2.png", height: 2em) ] + L[ #knot-picture("trefoil-3.png", height: 2em) ] ) \ => L[ #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) ] + a & = z ( L[ #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) ] + a^(-2) ) \ => L[ #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) ] & = -(2a + a^(-1)) + (1 + a^(-2)) z + (a + a^(-1)) z^2 $ #definition[ Diremo che un diagramma è *split* se è l'unione disgiunta di due diagrammi separati, in questo caso scriviamo $K = K_1 union.sq K_2$ dove $K_1$ e $K_2$ sono le due componenti disgiunte. ] #definition[ Un diagramma $K$ è una *somma connessa* se appare come due diagrammi disgiunti connessi da due archi paralleli (a meno di isotopie planari). Tagliando questi due archi e riunendo insieme le estremità dello stesso sotto-diagramma otteniamo un nuovo diagramma split della forma $tilde(K) = K_1 union.sq K_2$, in questo caso chiamiamo la somma connessa $K = K_1 hash K_2$. ] #proposition[ Valgono le seguenti relazioni di $L$ ed $F$ per diagrammi split o in somma connessa #{ set align(center) grid( rows: 2, columns: 2, column-gutter: 2em, row-gutter: 1em, $L[K_1 union.sq K_2] = delta L[K_1] L[K_2]$, $F[K_1 union.sq K_2] = delta F[K_1] F[K_2]$, $L[K_1 hash K_2] = L[K_1] L[K_2]$, $F[K_1 hash K_2] = F[K_1] F[K_2]$, ) } dove $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$ ed è lo stesso coefficiente che abbiamo trovato nell'esempio precedente. ] == Strumenti Forma Induttiva Prima di descrivere la definizione induttiva diamo alcune definizioni per certe manipolazioni dei diagrammi di nodi e link. #definition[ Sia $K$ un diagramma di un nodo, $cal(U)$ la sua ombra planare#footnote[Ovvero per $K subset bb(R)^3$ poniamo $cal(U) colon.eq pi(K) subset bb(R)^2$] e $p in cal(U)$ un punto di partenza direzionato in $cal(U)$. ] - Il suo *nodo banale standard* (o _in forma discendente_) associato a $K$ detto $hat(K)(cal(U), p)$ è definito come segue: si prende il primo punto di partenza direzionato e si inizia a percorrere l'ombra planare in quella direzione e si rende ogni incrocio un sopra-incrocio quando ci si passa sopra per la prima volta. Questa definizione si estende anche a diagrammi di link prendendo un insieme di punti base ordinati come mostrato in figura. #figure( image("assets/standard-unlink-construction.png", width: 12cm), caption: [ Un link con tre componenti e punti di partenza direzionati $p_1, p_2, p_3$, con $overline(p) = (p_1, p_2, p_3)$. In $hat(L)(cal(U), overline(p))$ sono evidenziati in #box(radius: 3pt, outset: (y: 3pt), inset: (x: 2pt), fill: rgb("#91cdff"))[azzurro] gli incroci scambiati rispetto al link $L$. ], ) - Definiamo ora le seguenti mosse su un diagramma, sia $i$ l'etichetta di un incrocio del diagramma #{ set align(center) grid( // columns: 4, column-gutter: 2em, row-gutter: 1em, { skein.over place(center + top, dy: -0.25em, { set text(footnote-size) $i$ }) }, { skein.under place(center + top, dy: -0.25em, { set text(footnote-size) $i$ }) }, skein.h, skein.v, $K$, $S_i K$, $E_i K$, $e_i K$, ) } in questo caso $S_i K$ scambia l'informazione sopra/sotto dell'incrocio, mentre $E_i K$ e $e_i K$ applicano gli *splice* orizzontali e verticali a quell'incrocio. Sia $lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ una sequenza di etichette di suoi incroci. - Definiamo le seguenti operazioni compatte per una sequenza di scambi seguita da uno splice finale $ A_i^lambda colon.eq E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0 #h(2em) B_i^lambda colon.eq e_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0 $ notiamo che per $i=0$ abbiamo che $A_0^lambda K = E_lambda_0 K$ e $B_0^lambda K = e_lambda_0 K$ che è l'unico caso degenere per questa definizione. - Poniamo $hat(K)(lambda) = S_lambda_n dots.c space S_lambda_0 K$ e definiamo le notazioni compatte per le seguenti somme alternate $ sum_K (lambda) & colon.eq sum_(i=0)^n (-1)^i (L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K]) \ Omega_K (lambda) & colon.eq (-1)^(abs(lambda) + 1) L[hat(K)(lambda)] + z sum_K (lambda) $ dove $abs(lambda) colon.eq n$ per $lambda$. *Osservazione.* Se consideriamo un diagramma di link $K$, $hat(K)(cal(U), p)$ ci induce una sequenza di scambi $lambda$ su $K$ tale che $hat(K)(cal(U), p) = S_lambda_n dots.c space S_lambda_0 K$. *Osservazione.* Se abbiamo una sequenza di operazioni $S_i$, $E_i$, $e_i$ su incroci diversi queste operazioni commutano tra loro. Questo segue dal fatto che queste operazioni fanno solo modifiche locali al diagramma. #definition[ Dati $K_1, K_2$ diagrammi di link, diciamo che $K_1$ *sovrasta* $K_2$ se ogni incrocio tra $K_1$ e $K_2$ abbiamo che sono tutti sopra-incroci. ] == Forma Induttiva Per prima cosa enunciamo un lemma che utilizzeremo più volte in seguito. #lemma[ Sia $K$ un diagramma di un nodo in forma discendente, allora o è composto interamente da riccioli o ammette una sequenza di mosse di tipo II e III che portano al diagramma di un nodo formato solo da riccioli. ] #proof[ Per prima cosa osserviamo che $K$ come nodo è equivalente ad un nodo banale . Esisterà quindi una sequenza di mosse di tipi I, II, III che porta il diagramma $K$ al diagramma $#skein.unit$. Rimuovendo una alla volta da questa successione tutte le mosse di tipo I e modificando man mano le mosse II e III della successione in modo da far passare i riccioli attraverso i fili (come visto in precedenza si può fare usando alcune mosse II e III) otteniamo una successione composta solamente da mosse II e III che ci porta ad un diagramma composto solamente da riccioli. ] Vediamo ora l'idea che ci permette di trovare una formula chiusa per il polinomio $L_K$ che utilizzeremo nella dimostrazione della buona definizione. === Caso base: nodo banale standard Utilizzando il lemma precedente, possiamo calcolare esplicitamente $L_(hat(K)(cal(U), p))$ usando solo gli assiomi #link()[ii.b), ii.c), ii.d)] ovvero quelli per $#skein.over-twist-medium$, $#skein.under-twist-medium$ e $#skein.unit-medium$. Segue facilmente per induzione che $L_hat(K) (a, z) = a^w(K)$. === Caso ricorsivo Dato un diagramma di un nodo o link $K$, l'idea per la costruzione della definizione ricorsiva è di considerare il suo nodo o link discendente standard $hat(K)(cal(U),p )$ rispetto ad un punto base $p$. Questo induce una sequenza di indici $lambda$ che indichiamo con $lambda = (0, dots, n)$. Se applichiamo incrementalmente gli scambi a $K$, ovvero consideriamo $S_i dotss S_0 K$ al variare di $i$, ed applichiamo la relazione skein #link()[ii.a)] a questi diagrammi, otteniamo le seguenti relazioni: $ L[K] + L[S_0 K] &= z( L[E_0 K] + L[e_0 K] ) \ L[S_0 K] + L[S_1 S_0 K] &= z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] ) \ & space dots.v \ L[S_(n-1) dotss S_0 K] + L lr([underbrace(S_n dotss S_0 K, hat(K))], size: #1.125em) &= z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K]) $ Ora, sommando e sottraendo membro a membro queste equazioni otteniamo la seguente identità #context { set align(center) block(width: page.width, grid( columns: 3, column-gutter: 2em, row-gutter: 1em, align: (right, center, left), $L[K] + L[S_0 K]$, [], $z( L[E_0 K] + L[e_0 K] )$, $-(L[S_0 K] + L[S_1 S_0 K])$, [], $-z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] )$, $dots.v$, $=$, $dots.v$, $+(-1)^n (L[S_(n-1) dotss S_0 K] + L[hat(K)])$, [], $ +(-1)^n (z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K]))$, )) } notiamo che possiamo cancellare tutti i termini del membro di sinistra che compaiono due volte con segno opposto #context { set align(center) block(width: page.width, grid( columns: 3, column-gutter: 2em, row-gutter: 1em, align: (right, center, left), $L[K] + cancel(L[S_0 K])$, [], $z( L[E_0 K] + L[e_0 K] )$, $-(cancel(L[S_0 K]) + cancel(L[S_1 S_0 K]))$, [], $-z( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] )$, $dots.v$, $=$, $dots.v$, $+(-1)^n (cancel(L[S_(n-1) dotss S_0 K]) + L[hat(K)])$, [], $+(-1)^n (z (L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K]))$, )) } Da cui otteniamo un'espressione ricorsiva per $L_K$: #align(center, block(width: 15cm, [ #set align(center) $ => L_K & = (-1)^(n+1) L_(hat(K)) + z sum_(i=0)^n (-1)^i ( L[E_i S_(i-1) dotss S_0 K] + L[e_i S_(i-1) dotss S_0 K] ) \ & = (-1)^(n+1) L_(hat(K)) + z sum_(i=0)^n (-1)^i ( L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K] ) $ ])) Questo ci dà un'idea su come sia possibile calcolare induttivamente $L_K$ in termini di $L_hat(K)$ e di altri diagrammi con meno incroci del diagramma di partenza o più "vicini" a $hat(K)$. Affinché sia sempre possibile raggiungere un nodo in forma di nodo banale standard serve anche aggiungere la relazione $ L_(K_1 union.sq K_2) = delta L_(K_1) L_(K_2) $ per $K = K_1 union.sq K_2$ con $K_1$ sovrastante#footnote[Questo include anche il caso di componenti disgiunte in quanto sono sovrastanti a vuoto a vicenda.] $K_2$. sempre con $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$. === La definizione induttiva #definition(name: [Forma chiusa per $L_K$])[ Il polinomio $kL_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue, abbiamo i seguenti casi: ] // la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure 1. Se $K = hat(K)(cal(U), p)$ è un _nodo banale standard_ per un qualche $p$ allora $ kL_K (a, z) colon.eq a^w(K) $ 2. Se $K = K_1 union K_2$ con $K_1$ diagramma di un nodo e $K_2$ diagramma di link ed abbiamo che $K_1$ _sovrasta_ $K_2$, allora poniamo $ kL(K_1 union K_2) colon.eq d kL(K_1) kL(K_2) $ con $d colon.eq (a + a^(-1)) slash z - 1$. 3. Sia $K = K_1 union dotss union K_n$ e nessun $K_i$ sovrasta tutti gli altri#footnote[Questo sicuramente accade altrimenti potremmo usare il punto ii).] allora: #[ #set enum(numbering: "a)") 1. #marker([iii.a)]) Se $K$ è composto da più componenti allora siano $p_1, ..., p_n$ dei punti di partenza direzionati su $K_1, ..., K_n$ e $overline(p)_i$ lo stesso punto di partenza $p_i$ con la direzione opposta su $K_i$. Sia $lambda(p_i)$ la sequenza di scambi di incroci di $K_i$ con $K - K_i$ tale che $hat(K)(lambda(p_i)) = K_i union.sq (K - K_i)$ tale che $K_i$ sia _sovrastante_ al resto delle componenti (chiameremo questa _sequenza di rialzo_). A questo punto possiamo definire $kL_K$ come #[ #set text(size: 11pt) $ L_K (a, z) colon.eq 1 / (2n) [ sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i) ((-1)^(abs(lambda(q))+1) d kL_(K_i) kL_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q))) ] $ ] 2. #marker([iii.b)]) Se $K$ è una singola componente allora sia $p$ un punto di partenza direzionato su $K$ e $overline(p)$ quello con direzione opposta. Sia $lambda(p)$ la sequenza di scambi di incroci che lo porta al nodo banale standard $hat(K)$ e definiamo #[ #set text(size: 11pt) $ L_K (a, z) colon.eq 1 / 2 [ sum_(q = p, overline(p)) ((-1)^(abs(lambda(q))+1) kL(hat(K)(lambda(q))) + z sum_K (lambda(q))) ] $ ] ] == Dimostrazione buona definizione // Per prima cosa osserviamo che, in quanto in ogni termine della definizione induttiva per $L_K$, quando questa dipende dalla scelta di un punto base sono presenti i termini per entrambe le direzioni; quindi ci basta dimostrare induttivamente che le definizioni non dipendono dalla scelta di punto base. Per prima cosa osserviamo che in ogni termine della definizione induttiva per $L_K$, quando questa dipende dalla scelta di un punto base, compaiono i termini per entrambe le direzioni. Dunque ci basta dimostrare induttivamente che le definizioni non dipendono dalla scelta di punto base. Nel corso della dimostrazione tutti gli argomenti per induzione si baseranno sul numero di incroci dei diagrammi di link. Ometteremo i casi base, ovvero i controlli per diagrammi con pochi vertici che fanno partire l'induzione in quanto sono tutte semplici verifiche. #definition( name: [L'ipotesi induttiva], )[ L'ipotesi induttiva che useremo nel corso della dimostrazione è la la seguente: #set enum(numbering: "a)") Per ogni diagramma di link $K$ con $< N$ incroci e diagrammi $#skein.over-twist-medium$ con meno di $N$ incroci: 1. $L_K$ è ben definito (non dipende dalla scelta di punto base). 2. $L_K$ verifica gli assiomi: - $L[K] + L[S_i K] = z ( L[e_i K] + L[E_i K] )$ - $L[#skein.over-twist-medium] = a L [#skein.strand-medium]$ - $L[#skein.under-twist-medium] = a L [#skein.strand-medium]$ 3. $L_K$ è invariante per mosse di tipo II e III che non aumentano il numero di incroci. ] #lemma[ Sia $lambda = (lambda_n, dots, lambda_1, lambda_0)$ una scelta di etichette per un sottoinsieme di incroci di un diagramma di link $K$. Sia $mu = (lambda_0, lambda_n, dots, lambda_1)$ la stessa successione ma ruotata di $1$ in avanti. Allora $ sum_K (lambda) = sum_K (mu) $ ] #proof[ Per prima cosa rinominiamo le etichette $lambda_n, dots, lambda_0$ come $n, dots, 0$ per semplificare la notazione, dunque $ lambda = (n, n-1, dots, 1, 0) #h(2em) mu = (0, n, n-1, dots, 1) $ ricordiamo ora le definizioni $ sum_K (lambda) =& sum_(i=0)^n (-1) ( L[A_i^lambda K] + L[B_i^lambda K]) \ = & (L[E_0 K] + L[e_0 K]) + \ & - ( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K]) + \ & space dots.v \ & + (-1)^n ( L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K] ) $ $ sum_K (mu) = & sum_(i=0)^n (-1) (L[A_i^mu K] + L[B_i^mu K]) \ = & (L[E_1 K] + L[e_1 K]) + \ & - ( L[E_2 S_1 K] + L[e_2 S_1 K]) + \ & space dots.v \ & + (-1)^n ( L[E_0 S_n dotss S_1 K] + L[e_0 S_n dotss S_1 K] ) $ Calcoliamo ora $sum_K (lambda) - sum_K (mu)$, l'idea è di fattorizzare per "righe" i termini: #{ set text(size: small-size) $ & & (L[E_0 K] + L[e_0 K]) + #h(2em) & & & \ & & - ( L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K]) + #h(2em) & & & (L[E_1 K] + L[e_1 K]) + \ & & + ( L[E_2 S_1 S_0 K] + L[e_2 S_1 S_0 K]) + #h(2em) & & & - ( L[E_2 S_1 K] + L[e_2 S_1 K]) + \ & & space dots.v space #h(2em) & & & + ( L[E_3 S_2 S_1 K] + L[e_3 S_2 S_1 K]) + \ & & + (-1)^n ( L[E_n S_(n-1) dotss S_0 K] + L[e_n S_(n-1) dotss S_0 K] ) #h(2em) & & & space dots.v \ & & #h(2em) & & & + (-1)^n ( L[E_0 S_n dotss S_1 K] + L[e_0 S_n dotss S_1 K] ) \ $ } A questo punto per come sono allineate le somme alternate possiamo raggruppare ed otteniamo quanto segue: $ sum_K (lambda) - sum_K (mu) = + ( & L[E_0 K] + L[e_0 K]) + \ - ( & L[E_1 S_0 K] + L[e_1 S_0 K] + L[E_1 K] + L[e_1 K]) + \ space dots.v \ +(-1)^n ( & L[E_n S_(n-1) dotss S_1 S_0 K ] + L[e_n S_(n-1) dotss S_1 S_0 K ] + \ & + L[E_n S_(n-1) dotss S_1 K ] + L[e_n S_(n-1) dotss S_1 K] ) + \ + (-1)^(n+1) ( & L[E_0 S_n dotss S_1 K] + L[e_0 S_n dotss S_1 K] ) $ Permutando i termini di tutte le righe centrali possiamo riscriverli in modo da averli nella forma $L[#blank K] + L[#blank S_0 K]$: $ sum_K (lambda) - sum_K (mu) = + ( & L[E_0 K] + L[e_0 K]) + \ - ( & L[E_1 K] + L[E_1 S_0 K] + L[e_1 K] + L[e_1 S_0 K] ) + \ space dots.v \ (-1)^n ( & L[E_n S_(n-1) dotss S_1 K ] + L[E_n S_(n-1) dotss S_1 S_0 K ] + \ & + L[e_n S_(n-1) dotss S_1 K ] + L[e_n S_(n-1) dotss S_1 S_0 K ] ) \ + (-1)^(n+1) ( & L[E_0 S_n dotss S_1 K] + L[e_0 S_n dotss S_1 K] ) $ Ora utilizziamo un'osservazione precedente riguardo l'ordine di applicazione delle operazioni da cui segue che $S_(n-1) dots.c space.med S_1 S_0 K = S_0 S_(n-1) dots.c space.med S_1 K$, dunque possiamo applicare l'induzione sostituendo: $ L[#blank] + L[S_i #blank] = z (L [E_i #blank] + L[e_i #blank]) $ $ => sum_K (lambda) - sum_K (mu) = + ( & L[E_0 K] + L[e_0 K]) + \ - z( & L[E_0 E_1 K] + L[e_0 E_1 K] + L[E_0 e_1 K] + L[e_0 e_1 K] ) + \ space dots.v \ (-1)^n z ( & L[E_0 E_n S_(n-1) dotss S_1 K ] + L[e_0 E_n S_(n-1) dotss S_1 K ] + \ & + L[E_0 e_n S_(n-1) dotss S_1 K ] + L[e_0 e_n S_(n-1) dotss S_1 K ] ) \ + (-1)^(n+1) ( & L[E_0 S_n dotss S_1 K] + L[e_0 S_n dotss S_1 K] ) $ Riordiniamo ora le operazioni e portiamo $E_0$ e $e_0$ all'inizio delle sequenze di operazioni: #let hl(c: color.mix((white, 100%), (black, 10%)), content) = box(radius: 2pt, outset: (y: 3pt, x: 1pt), fill: c, content) $ = + ( & L[#hl($E_0 K$)] + L[#hl($e_0 K$)]) + \ - z( & L[ E_1 #hl($E_0 K$)] + L[ E_1 #hl($e_0 K$)] + L[ e_1 #hl($E_0 K$)] + L[ e_1 #hl($e_0 K$)] ) + \ space dots.v \ (-1)^n z ( & L[ E_n S_(n-1) dotss S_1 #hl($E_0 K$) ] + L[ E_n S_(n-1) dotss S_1 #hl($e_0 K$) ] + \ & + L[ e_n S_(n-1) dotss S_1 #hl($E_0 K$) ] + L[ e_n S_(n-1) dotss S_1 #hl($e_0 K$) ] ) \ + (-1)^(n+1) ( & L[ S_n dotss S_1 #hl($E_0 K$)] + L[ S_n dotss S_1 #hl($e_0 K$)] ) $ #colbreak() Ora distribuiamo tutti i termini che riguardano $E_0 K$ e poi tutti quelli per $e_0 K$ ed otteniamo quanto segue: $ = L[ #hl($E_0 K$)] &+ (-1)^(n+1) L[S_n dotss S_1 #hl($E_0 K$)] + \ - z lr(size: #1.5em, ( ( & L[E_1 #hl($E_0 K$)] + L[e_1 #hl($E_0 K$)])+ \ - ( & L[E_2 S_1 #hl($E_0 K$)] + L[e_2 S_1 #hl($E_0 K$)]) +\ & space dots.v \ +( -1)^n ( & L[E_n S_(n-1) dots S_1 #hl($E_0 K$)] + L[e_n S_(n-1) dots S_1 #hl($E_0 K$)]))) \ + L[ #hl($e_0 K$)] &+ (-1)^(n+1) L[S_n dotss S_1 #hl($e_0 K$)] + \ - z lr(size: #1.5em, ( ( & L[E_1 #hl($e_0 K$)] + L[e_1 #hl($e_0 K$)])+ \ - ( & L[E_2 S_1 #hl($e_0 K$)] + L[e_2 S_1 #hl($e_0 K$)]) +\ & space dots.v \ +( -1)^n ( & L[E_n S_(n-1) dots S_1 #hl($e_0 K$)] + L[e_n S_(n-1) dots S_1 #hl($e_0 K$)]))) $ Infine osserviamo che i termini in $z(#blank)$ sono proprio le somme incrementali sugli scambi per i diagrammi $E_0 K$ e $e_0 K$ per le sequenze $(n, dots, 1)$, dunque possiamo riscrivere l'espressione precedente come $ = L[ E_0 K] &+ (-1)^(n+1) L[S_n dotss S_1 E_0 K] - z sum_(E_0 K) ((n, dots, 1)) \ + L[ e_0 K] &+ (-1)^(n+1) L[S_n dotss S_1 e_0 K] - z sum_(e_0 K) ((n, dots, 1)) $ Ora possiamo applicare l'ipotesi induttiva in quanto tutti i diagrammi hanno strettamente meno di $N$ incroci. Applicando l'ipotesi induttiva per $gamma = (n, dots, 1)$ e osservando che con la convenzione di Kauffman $abs(gamma) + 1 = (n - 1) + 1 = n$, otteniamo che $ Omega_K(gamma) &= (-1)^(abs(gamma) + 1) L_(hat(K) (gamma)) + z sum_K (gamma) \ &= (-1)^n L_(hat(K) (gamma)) + z sum_K (gamma) \ => -Omega_K(gamma) &= (-1)^(n+1) L_(hat(K) (gamma)) - z sum_K (gamma) $ infine sostituendo $ &= L[E_0 K] - Omega_(E_0 K) (gamma) + L[e_0 K] - Omega_(e_0 K) (gamma) \ &= 0 + 0 = 0 $ E questo conclude la dimostrazione. ] *Corollario.* Nella definizione della forma chiusa di $L_K$, il caso @kauffman-rec-multi-component non dipende dalla scelta del punto base. #proof[ Rivediamo l'espressione in questione, siano $p_i$ dei punti base direzionati sulle componenti di $K$ $ L_K (a, z) colon.eq 1 / (2n) [ sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i) ((-1)^(abs(lambda(q))+1) d kL_(K_i) kL_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q))) ] $ le espressioni che dipendono dai punti base sono $(-1)^(abs(lambda(q)) + 1)$ e le somme sugli scambi $sum_K (lambda(q))$. Se applichiamo una $1$-rotazione alle sequenze di rialzo $lambda(q)$ le lunghezze non cambiano ed abbiamo appena mostrato che $sum_K (lambda(q)))$ è invariante per $1$-rotazioni. A questo punto possiamo estendere l'invarianza per $1$-rotazioni a tutte le possibili permutazioni cicliche e questo ci dimostra che questo caso non dipende dalla scelta del punto base. ] #align(center, line(stroke: 0.5pt, length: 50%)) Ora rimane da verificare l'invarianza per scelta di punto base per il caso ii.b) ovvero quando $K$ è fo per $p$ punto base direzionato su $K$. $ L_K (a, z) colon.eq 1 / 2 [ sum_(q = p, overline(p)) ((-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(lambda(q))] + z sum_K (lambda(q))) ] $ #lemma[ Consideriamo i due modi di fare uno splice di un nodo banale standard al primo incrocio subito dopo un punto base direzionato. Ci sono due casi: in uno otteniamo due nodi banali in forma standard, nell'altro un solo nodo banale (non necessariamente in forma standard). ] #proof[ #todo[work in progress] ] #lemma[ La proprietà del lemma @std-unknot-to-curls si estende al diagramma $e_i hat(K)$. ] #proof[ #todo[work in progress] ] Vediamo ora alcune identità per nodi banali standard che ci mostrano cosa succede quando scorriamo il punto base di un incrocio nella direzione del punto base. #lemma[ Sia $p$ un punto di partenza direzionato e $hat(K) colon.eq hat(K)(cal(U), p)$ un nodo banale standard. Sia $i$ il primo incrocio in $K$ subito dopo il punto di partenza $p$. Sia $q$ un altro punto base direzionato posto nell'arco subito dopo l'incrocio $i$ con la sua stessa direzione e poniamo $hat(K)' colon.eq hat(K)(cal(U), q)$. Allora valgono le seguenti proprietà 1. $S_i hat(K) = hat(K)'$ 2. $L[hat(K)] + L[hat(K)'] = z (L[E_i hat(K)] + L[e_i hat(K)])$ ] #proof[ 1. Per definizione di nodo banale standard $hat(K)(cal(U), q) = S_i hat(K)(cal(U), p)$ poiché l'incrocio $i$ in $hat(K)(cal(U), p)$ compare come sopra-incrocio mentre in $hat(K)(cal(U), q)$ è l'ultimo incrocio visitato quindi è certamente la seconda occorrenza di $i$ quindi è un sotto-incrocio. Tutti gli altri incroci compaiono nello stesso ordine quindi restano invariati. 2. Per questo secondo punto usiamo che $L_hat(K) = a^w(hat(K))$, assumiamo ora che tra $E_i hat(K)$ e $e_i hat(K)$ il primo sia il caso con due componenti composte da nodi banali standard ed il secondo quello con una sola componente di un nodo banale. Supponiamo che $w(e_i hat(K)) = w$, allora in quanto abbiamo solo rimosso un incrocio necessariamente $ {w(hat(K)), w(S_i hat(K))} = {w-1, w+1} $ ovvero i writhe di $hat(K)$ e $S_i hat(K)$ differiscono di $2$, assumiamo di essere nel caso $w(hat(K)) = w - 1$. Analogamente $E_i hat(K)$ avrà due componenti dunque $K = K_1 hash K_2$, ognuna con writhe rispettivamente $w_1$ e $w_2$. Per il teorema della curva di Jordan, la somma dei segni degli incroci tra componenti diverse ha somma zero poiché una delle due _sovrasta_ l'altra dunque $w_1 + w_2 = w$. $ L[hat(K)] &= a^(w+1) \ L[S_i hat(K)] &= a^(w-1) \ L[e_i hat(K)] &= a^w \ L[E_i hat(K)] &= d a^(w_1) a^(w_2) = d a^(w_1 + w_2) = d a^w = (a^(w+1) + a^(w-1)) slash z - a^w $ che dunque verifica l'identità: $ a^(w+1) + a^(w-1) &= cancel(z) ((a^(w+1) + a^(w-1))/cancel(z) - cancel(a^w) + cancel(a^w)) \ => L[hat(K)] + L[hat(K)'] &= z (L[E_i hat(K)] + L[e_i hat(K)]) \ $ E questo conclude la dimostrazione delle due identità. ] Possiamo ora mostrare l'invarianza per scelta di punto base di $Omega_K (p)$. #lemma[ Sia $K$ un diagramma di un nodo. Allora @kauffman-rec-single-component non dipende dalla scelta di punto base. Inoltre se $p$ è un punto base direzionato su $K$ e $lambda(p)$ la sequenza di scambi determinata da $p$ allora $ Omega_K (p) = (-1)^(abs(lambda(p)) + 1) L_(hat(K)(p)) + z sum_K (lambda(p)) $ non dipende dalla scelta di punto base. ] #proof[ Possiamo assumere che la sequenza di scambi determinata da $p$ sia etichetta $lambda = (n, dots, 0)$, in questo modo $ Omega_K (p) = (-1)^(n+1) L_(hat(K)(p)) + z sum_K (lambda(p)) $ Ricordiamo come era definito $L_K$ nel caso di una sola componente @kauffman-rec-single-component e notiamo quanto segue $ L_K (a, z) &colon.eq 1 / 2 [ sum_(q = p, overline(p)) ((-1)^(abs(lambda(q))+1) kL(hat(K)(lambda(q))) + z sum_K (lambda(q))) ] \ &= 1/2 (Omega_K (p) + Omega_K (overline(p))) $ Dunque ci basta mostrare che $Omega_K (p)$ non dipenda dalla scelta di punto base. Come in precedenza possiamo mostrarlo facendo scorrere $p$ nell'arco successivo al primo incrocio dopo $p$ (questo ci induce l'invarianza per permutazioni cicliche e ci permette di concludere). Sia $i$ l'etichetta del primo incrocio dopo $p$. In $hat(K)(p)$ questo incrocio sarà sicuramente un sopra-incrocio in quanto $i$ è visitato per la prima volta essendo il primo incrocio dopo $p$. Invece in $K(p)$ può essere sia un sopra-incrocio che un sotto-incrocio, abbiamo quindi due casi: - Se $i$ è un sotto-incrocio in $K(p)$ allora $i$ sarà il primo incrocio nella sequenza di scambi ed avremo $i = n$ #todo[disegnino] Consideriamo ora la situazione di $K(q)$ #todo[disegnino] come già detto prima se l'ultimo incrocio è un sotto-incrocio allora è già in forma di nodo banale standard. Segue che $i$ non appartiene alla sequenza di scambi in questo caso ed avremo $(n-1, dots, 0)$ e $hat(K)(q) = S_(n-1) dotss S_0 K$. Vorremo vedere che $Omega_K (p) = Omega_K (q)$, ovvero: $ Omega_K (p) &= (-1)^(n+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)) \ Omega_K (q) &= (-1)^((n-1)+1) L[hat(K)(q)] + z sum_K (lambda(q)) $ come in precedenza studiamo la differenza: $ Omega_K (p) - Omega_K (q) =& (-1)^(n+1) L[hat(K)(p)] + z sum_K (lambda(p)) \ &+ underbrace((-1)^(n+1), = -(-1)^n) L[hat(K)(q)] - z sum_K (lambda(q)) \ =& (-1)^(n+1) (L[hat(K)(p)] + L[hat(K)(q)]) \ &+ z (-1)^n (L[A_n^lambda K] + L[B_n^lambda K]) $ dove abbiamo usato il fatto che tutti i termini in $sum_K (lambda(p)) - sum_K (lambda(q))$ si cancellano tra loro tranne l'ultimo di $sum_K (lambda(p))$. Ora notiamo che $ A_n^lambda K &= E_n S_(n-1) dotss S_0 K = E_n hat(K)(p) \ B_n^lambda K &= e_n S_(n-1) dotss S_0 K = e_n hat(K)(p) \ hat(K)(p) &= S_n space.med hat(K)(p) $ inoltre per il @lemma-slide-identities abbiamo anche che $ L[hat(K)(p)] + L[hat(K)(q)] = z (L[E_n hat(K)(p)] + L[e_n hat(K)(p)]) $ Per concludere questo caso basta sostituire in queste ultime identità $ Omega_K (p) - Omega_K (q) =& (-1)^(n+1) (L[hat(K)(p)] + L[hat(K)(q)]) \ &+ z (-1)^n (L[A_n^lambda K] + L[B_n^lambda K]) \ = & cancel(z (-1)^(n+1) (L[E_n hat(K)(p)] + L[e_n hat(K)(p)])) \ &+ cancel(z (-1)^n (L[E_n hat(K)(p)] + L[e_n hat(K)(p)])) \ = & 0 $ e quindi $Omega_K (p) = Omega_K (q)$. - Se $i$ è un sopra-incrocio in $K(p)$ siamo nella seguente situazione #todo[disegnino] In questo caso, $i$ non fa parte della sequenza di scambi per $K(q)$. Però dopo aver spostato il punto base avremo la seguente situazione #todo[disegnino] Questa volta $i$ fa parte della sequenza di scambi per $K(q)$ e quando compare come ultimo incrocio è un sotto-incrocio. Avremo quindi le seguenti sequenze di scambi $ lambda(q) &= (n, n-1, dots, i, dots, 1, 0) \ lambda(p) &= (n, n-1, dots, i+1, i-1, dots, 1, 0) $ a meno di riordinare gli scambi è facile vedere che $S_i hat(K)(q) = hat(K)(p)$, e che il @lemma-slide-identities si applica alla coppia $hat(K)(p), hat(K)(q)$ per l'indice $i$. Per il @lemma-sum-switches-rotation abbiamo anche che $sum_K (p), sum_K (q)$ sono invarianti a meno di permutazioni cicliche. Possiamo quindi sostituire $lambda(p)$ e $lambda(q)$ con le seguenti sequenze di scambi applicando le giuste rotazioni. $ lambda'(p) &= (i-1, dots, 1, 0, n, n-1, dots, i+1) \ lambda'(q) &= (i, i-1, dots, 1, 0, n, n-1, dots, i+1) $ A questo punto possiamo applicare un argomento simile a quello del punto precedente. E questo completa la dimostrazione dell'indipendenza di $Omega_K (p)$ dalla scelta di punto base. ] A questo punto possiamo vedere che $L_K$ verifica gli assiomi della @kauffman-poly-def. #lemma[ Sia $i$ un incrocio di un diagramma di link $K$. Allora $L_K$ verifica le identità: 1. $L[K] + L[S_i K] = z (L[E_i K] + L[e_i K])$ 2. $L[#skein.over-twist-medium] = a L [#skein.strand-medium]$, $L[#skein.under-twist-medium] = a^(-1) L [#skein.strand-medium]$ ] #proof[ Mostriamo per induzione sul numero di incroci nel diagramma. 1. Consideriamo i seguenti casi: #margin-note[ricontrollare tutta questa] - Se $K$ ha una sola componente ed un incrocio $i$: consideriamo $S_i K$, $E_i K$ e $e_i K$, scegliendo bene $p$ possiamo fare in modo che $i$ sia il primo incrocio nella sequenza di scambi. Se ora consideriamo @kauffman-rec-single-component ovvero $ L_K (a, z) &colon.eq 1 / 2 [ sum_(q = p, overline(p)) ((-1)^(abs(lambda(q))+1) L[hat(K)(lambda(q))] + z sum_K (lambda(q))) ] \ &= 1 / 2 [ sum_(q = p, overline(p)) ((-1)^(n+1) L[hat(K)(q)] + z sum_K (lambda(q))) ] $ A questo punto otteniamo la tesi considerando la differenza nelle espansioni di $Omega_K (p)$ e $Omega_(S_i K) (p)$, in particolare tutti i termini si cancellano tranne il primo: $ => Omega_K (p) + Omega_(S_i K) (p) = z(L[E_i K] + L[e_i K]) \ $ - Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio di una componente con se stessa: in questo caso utilizziamo per induzione @kauffman-rec-multi-component ma osserviamo che $i$ non compare in nessuna sequenza di sollevamento (in quanto le sequenze di sollevamento scambiano solo incroci tra componenti diverse) dunque possiamo applicare l'induzione senza problemi. - Se $K$ ha più di una componente e $i$ è un incrocio tra due componenti diverse: possiamo considerare la @kauffman-rec-multi-component e mostrare che ogni addendo verifica l'identità e quindi l'identità seguirà per la loro media: #{ set text(size: small-size) $ L_K (a, z) colon.eq 1 / (2n) [ sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i) ((-1)^(abs(lambda(q))+1) d kL_(K_i) kL_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q))) ] $ } Per quanto riguarda gli addenti che non intersecano nessuna delle due componenti interessate dall'incrocio scelto non ci sono problemi e possiamo applicare l'induzione. Per le componenti che le intersecano ci basta scegliere come prima un punto base in modo appropriato in modo che l'identità sia verificata e procedere come prima. // gli addendi che non intersecano nessuna delle due componenti possiamo procedere per induzione. Altrimenti possiamo scegliere un punto base appropriato e procedere per induzione. 2. La dimostrazione è analoga, basta osservare che possiamo sempre scegliere un punto base che non faccia comparire l'incrocio del ricciolo nella sequenza di scambi. E questo conclude la dimostrazione del lemma. ] Come ultimo risultato vediamo che $L_K$ è un invariante di isotopia regolare. #lemma[ Siano $K, K'$ diagrammi di link equivalenti a meno di isotopia regolare allora $L_K (a, z) = L_(K') (a, z)$. ] #proof[ Procediamo sempre per induzione sul numero di incroci e mostriamo l'invarianza per mosse che non aumentano il numero di incroci (l'invarianza per la mossa II che aggiunge due incroci segue come conseguenza dell'induzione#margin-note[da aggiustare]). - Mossa II: Ci sono più casi in base a se la mossa riguarda una o più componenti - Se la mossa è su una sola componente allora ci basta scegliere il punto base come segue #todo[disegnino] in questo modo i due incroci non compariranno nella sequenza di scambi. Tutti i termini di ii.a) saranno invarianti per mosse di tipo II e lo sarà anche $L_K$. - Se la mossa riguarda più componenti allora il caso peggiore è il seguente #todo[disegnino] Vediamo che $L[K] = L[S_2 S_1 K]$... - Mossa III: - Se la mossa è su fili di una sola componente allora possiamo scegliere il punto base sul filo che passa sopra, in questo modo avremo la situazione seguente: #todo[disegnino] In un caso possiamo procedere per induzione, se invece ci sono degli splice possiamo utilizzare le seguenti equivalenze di diagrammi e poi procedere per induzione #todo[disegnino] - Nel caso in cui la mossa riguardi fili appartenenti a più componenti possiamo utilizzare l'identità della mossa precedente $L[K] = L[S_2 S_1 K]$ per semplificare la situazione e procedere nuovamente per induzione. Questo completa la dimostrazione. ]