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#import "theme.typ": *
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#import "prelude.typ": *
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#import "@preview/cetz:0.3.4"
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#import "skein.typ": *
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#import "@preview/drafting:0.2.2": set-margin-note-defaults, inline-note, margin-note, set-page-properties
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#import "@preview/colorful-boxes:1.1.0": stickybox
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#set-margin-note-defaults(
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rect: (..kwargs, content) => rect(
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..kwargs,
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{
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set text(size: 8pt, font: "Open Sans")
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set par(leading: 0.5em, justify: false)
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content
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},
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),
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side: right,
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)
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// Prelude
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#show: ams-article.with(
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paper-size: "a4",
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title: [Il polinomio di Kauffman: \ un invariante di isotopia regolare],
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page-title: [Il polinomio di Kauffman: un invariante di isotopia regolare],
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authors: (
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(
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name: "Antonio De Lucreziis",
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organization: "Dipartimento di Matematica",
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location: "Pisa, Italia",
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email: "antonio.delucreziis@gmail.com",
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),
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),
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abstract: [
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In questa tesi tratteremo del polinomio di Kauffman, un invariante di nodi e link per di isotopia regolare. Introdurremo dei risultati di fondazione della teoria dei nodi per definire l'isotopia regolare. Infine vedremo la dimostrazione della buona definizione del polinomio di Kauffman a partire dalla forma assiomatica. Inoltre per il progetto di Laboratorio Computazionale abbiamo implementato in Python questo polinomio e verificato tutti i valori presenti nel database di KnotInfo e trovato un errore nel calcolo del nodo $10_125$.
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],
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bibliography: bibliography("refs.bib"),
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)
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#set-page-properties(margin-right: 4cm)
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// Content
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= Introduzione
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In questa tesi studieremo un invariante di isotopia regolare chiamato polinomio di Kauffman @Kauffman1990-qe. Intuitivamente se l'isotopia ambiente è l'equivalenza tra diagrammi generata dalle mosse I, II e III di Reidemeister, l'isotopia regolare è l'equivalenza generata solo dalle mosse II e III. #margin-note[Il disegno è da rifare]
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#figure(
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image("assets/ambient-regular-isotopy-difference.jpg", width: 100%),
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caption: [Mosse di Reidemeister],
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)
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Dato un nodo o link non orientato $K$, possiamo definire in forma assiomatica il polinomio $kL_K (a, z) in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ attraverso i seguenti assiomi:
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1. Se $K$, $K'$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare, allora $kL_K (a,z) = kL_K' (a,z)$.
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2. Valgono le seguenti relazioni skein
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- $kL(#skein.over) + kL(#skein.under) = z (kL(#skein.h) + kL(#skein.v))$
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- $kL(#skein.unit) = 1$
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- $kL(#skein.over-twist) = a kL(#skein.strand)$
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- $kL(#skein.under-twist) = a^(-1) kL(#skein.strand)$
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Vedremo come questi assiomi definiscono un unico invariante di isotopia regolare ben definito e come $kL_K (a, z)$ può essere generalizzato a un invariante di isotopia ambiente $F_K (a, z)$ utilizzando il writhe di un nodo.
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== Introduzione alla Teoria dei Nodi
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Ora introdurremo alcuni risultati fondamentali di teoria dei nodi tra cui le definizioni di nodo e link ed alcuni risultati di fondazione che ci serviranno per poter parlare ad esempio dei diagrammi planari e dell'isotopia regolare.
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#definition[
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Dati $X, Y$ spazi topologici, $f : X arrow Y$ continua si dice *embedding* se $X$ è omeomorfo a $f(X) subset Y$ con la topologia di sottospazio indotta da $Y$.
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] <embedding>
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// #let embedding-def = ref-link(<embedding>)[embedding]
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#fact[
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Dati $X$, $Y$ spazi topologici con $X$ compatto, $Y$ di Hausdorff e data un'applicazione continua $f : X arrow Y$ allora $f$ è un embedding $<=>$ è iniettiva.
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]
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#definition[
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Dato un embedding $f : X arrow Y$, un punto $p in X$ allora $f$ si dice *localmente piatto* in $p$ se $exists U subset bb(R)^3$ intorno di $p$, tale che
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] <locally-flat>
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#grid(
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columns: (1fr, 1fr),
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gutter: 1em,
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align: center + horizon,
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grid(
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columns: 3,
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gutter: 1em,
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align: center,
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$U$, $approx$, $bb(D)^2 times [0, 1]$,
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$U inter f(X)$, $<->$, ${ 0 } times [0, 1]$,
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),
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align(center, image("assets/locally-flat-v2.png", width: 6cm)),
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)
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inoltre $f$ si dice embedding *localmente piatto* se lo è in ogni punto di $X$.
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// #let locally-flat-def = ref-link(<locally-flat>)[localmente piatto]
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#definition[
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Un *nodo tame* è un sottoinsieme $K subset bb(R)^3$ per cui esiste un embedding $f : bb(S)^1 arrow.hook bb(R)^3$ localmente piatto con $K = f(bb(S)^1)$. In questo caso $f$ è anche detto *embedding tame*.
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]
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#figure(
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image("assets/wild_knot.svg", width: 75%),
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caption: [
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Un esempio di nodo non tame
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],
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)
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Esistono anche nodi non tame come quello riportato nella figura precedente @wiki:wild_knot, ma d'ora in avanti considereremo solo nodi tame.
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// #todo[
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// Disegno nodo non tame
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// ]
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#definition[
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Due nodi $K_0, K_1 subset bb(R)^3$ sono *equivalenti* se esiste un'*isotopia ambiente* $H$ che porta uno nell'altro, ovvero esiste $H : bb(R)^3 times [0, 1] arrow bb(R)^3$ applicazione continua, tale che
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- $forall t in [0, 1], H(dot, t)$ è un omeomorfismo
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e ponendo $H_t (x) colon.eq H(x, t)$:
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- $H_0 = id_(bb(R)^3)$
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- $H_1(K_0) = K_1$
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]
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Inoltre se due nodi sono equivalenti allora vale che $bb(R)^3 without K_0 approx bb(R)^3 without K_1$.
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Spesso serve fare manipolazioni direttamente sui nodi o sui diagrammi e lavorare con gli embedding $bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ non è molto comodo da un punto di vista formale, per questo motivo introduciamo i _nodi poligonali_ che ci permettono di dare una formalizzazione alternativa dei nodi tame più operativa.
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#definition[
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Un *nodo poligonale* è un nodo equivalente ad un'unione finita di segmenti lineari.
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]
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#fact(name: [Crowell @crowell1977introduction])[
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Dato un nodo $K subset bb(R)^3$, $K$ è tame $<=>$ $K$ è poligonale.
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]
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// Dunque nella classe di isotopia di un nodo tame c'è sempre un nodo poligonale e possiamo restringerci a studiare questi ultimi.
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#definition[
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Il *nodo banale* è la classe di equivalenza del bordo di un triangolo equilatero.
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]
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Passiamo ora al caso in cui abbiamo un nodo con più di una componente
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#definition[
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$L subset bb(R)^3$ è detto *link* se $exists$ embedding $f : bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1 arrow bb(R)^3$ localmente piatto con immagine $L$.
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]
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Possiamo generalizzare tutte le definizioni che diamo per i nodi ai link, sostituendo $bb(S)^1$ con $bb(S)^1 union dots.c union bb(S)^1$ apportando le giuste modifiche.
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Introduciamo ora il concetto di equivalenza combinatoria di link poligonali in $bb(R)^3$; questo è il primo passo che ci permetterà di descrivere l'equivalenza per isotopia ambiente tra nodi attraverso una sequenza finita di mosse.
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#definition[
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Due link $L_1, L_2$ sono *combinatorialmente equivalenti* se si ottengono uno dall'altro tramite un numero finito delle seguenti mosse:
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1. Aggiunta/rimozione di vertici
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#image("assets/delta-move-1.png")
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2. Dato un triangolo piano $Delta subset bb(R)^3$ tale che $Delta inter L$ sia un lato di $Delta$ ed un segmento di $L$ allora una $Delta$*-mossa* è la seguente
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#image("assets/delta-move-2.png")
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]
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#fact[
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Due link poligonali $L_1, L_2 subset bb(R)^3$ sono equivalenti $<=>$ sono combinatorialmente equivalenti.
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]
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== Proiezioni e Diagrammi
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Data una direzione $v in bb(S)^2 subset bb(R)^3$, possiamo definire $pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$ proiezione sul piano ortogonale a $v$ come segue
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#figure(image("assets/projection-plane.png", width: 60%))
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Per formalizzare il concetto di diagramma di un nodo introdurremo il concetto di proiezione regolare, ovvero una proiezione in cui i punti di intersezione tra le immagini dei segmenti di $L$ sono solamente gli incroci (punti doppi) del nodo (e senza segmenti paralleli alla direzione di proiezione).
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#definition[
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Sia $L subset bb(R)^3$ un link, $v in bb(S)^2$ una direzione e $pi_v : bb(R)^3 arrow v^perp$ la proiezione su $v^perp$ come in precedenza. Allora un punto $x in pi(L) subset v^perp$ si dice
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- *regolare* se $abs(pi^(-1)(x)) = 1$
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- *singolare* se $abs(pi^(-1)(x)) > 1$
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- *doppio* se $abs(pi^(-1)(x)) = 2$
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]
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#fact[
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Dato un link poligonale $L subset bb(R)^3$, esiste un aperto denso $U subset bb(S)^2$ tale che $forall v in U$, $pi_v (L)$ soddisfa
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1. $L$ non ha segmenti paralleli a $v$.
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2. Se $x in pi_v (L)$ è singolare allora
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- $pi_v^(-1)(x)$ non contiene vertici di $L$
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- $x$ è un punto doppio
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- $x$ è di intersezione trasversa delle immagini di due segmenti
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]
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Quindi dato $L subset bb(R)^3$ link poligonale, esiste una proiezione regolare $pi(L) subset bb(R)^2$, ovvero una con un numero finito di punti singolari, ciascuno dei quali è un punto doppio e di intersezione trasversa. Ognuno di questi punti doppi viene detto *incrocio*.
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#definition[
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Un *diagramma* $D subset bb(R)^2$ di un link $L subset bb(R)^3$ è l'immagine di $L$ attraverso una proiezione regolare decorata con l'informazione sopra/sotto ad ogni incrocio.
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]
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#fact[
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Due link con stesso diagramma sono equivalenti.
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]
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// #todo[
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// Vari commenti
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// ]
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#definition[
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L'insieme di isotopie planari e le mosse I, II, III (e loro inverse) sono le *mosse di Reidemeister*.
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]
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#theorem(name: [Reidemeister])[
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Due diagrammi di link equivalenti sono collegati da una successione finita di isotopie planari e mosse di Reidemeister.
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]
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Il modo principale in cui utilizzeremo il teorema di Reidemeister è attraverso la seguente proprietà. Indichiamo con $scr(D)$ l'insieme dei diagrammi di nodi e link.
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#proposition[
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Data una funzione $phi : scr(D) arrow S$ con $S$ un insieme (eventualmente con una qualche struttura come quella di anello) con la proprietà che $D tilde D' => phi(D) = phi(D')$ allora se $phi(D) != phi(D') => D tilde.not D'$, in particolare se $D, D'$ sono diagrammi per $K, K'$ allora $K tilde.not K'$.
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]
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#proof[
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È la forma contronominale del teorema di Reidemeister.
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]
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Funzioni con la stessa proprietà di $phi$ sono quindi invarianti di nodi o link per isotopia ambiente e ci danno un modo di distinguerli. Più avanti vedremo ad esempio il polinomio $F_K (a, z) : scr(D) arrow bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ che risulterà essere un invariante di isotopia ambiente per link orientatati.
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Come abbiamo generalizzato da nodi a link possiamo ripetere tutto anche aggiungendo un'orientazione e studiare *nodi e link orientati* ed abbiamo anche una versione orientata del teorema di Reidemeister.
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== Operazioni su Diagrammi
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#definition[
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Dato un link $L subset bb(R)^3$ possiamo definire
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- Il *mirror* $m(L) colon.eq rho(L)$ dove $rho : bb(R)^3 arrow bb(R)^3$ è la riflessione rispetto al piano di proiezione. In particolare dato un diagramma, il suo mirror è lo stesso diagramma con tutte le informazioni sopra/sotto scambiate.
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inoltre, se diamo anche un'_orientazione_ ad $L$ possiamo definire
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- Il *reverse* $r(L)$, in cui prendiamo l'orientazione opposta su ogni componente.
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- L'*inverso* $-L colon.eq m(r(L)) = r(m(L))$.
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]
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#definition[
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Se $K subset bb(R)^3$ e $K$ non è equivalente a $m(K)$ allora diciamo che $K$ è *chirale*, altrimenti è detto *anfichirale*.
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]
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// == Relazioni Skein
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// // Note. Here and elsewhere in this paper, small diagrams stand for parts of larger
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// // diagrams. A collection of small diagrams occuring in a single equation all share
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// // the same larger diagram. (The large diagram is only changed as indicated by
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// // the small diagrams.)
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// Prima di passare alla definizione dell'isotopia regolare, introduciamo brevemente le relazioni skein. Sono uno strumento utile per definire molti invarianti costruiti su diagrammi. L'idea è di rappresentare relazioni tra più diagrammi indicando con dei diagrammi parziali solo le parti in cui questi differiscono.
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// #definition[
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// Diamo un nome alle segmenti porzioni di diagrammi
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// ]
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// #align(
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// center,
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// grid(
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// columns: 4,
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// column-gutter: 2em,
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// row-gutter: 1em,
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// skein-generic(kind: "over", arrows: (false, false)),
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// skein-generic(kind: "under", arrows: (false, false)),
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// skein.h,
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// skein.v,
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// $L_+$, $L_-$, $L_0$, $L_infinity$,
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// ),
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// )
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// I primi due indicano uno stesso diagramma in cui abbiamo scambiato un incrocio, le seconde invece sono chiamate da Kauffman _splice_ e rappresentano un incrocio in cui abbiamo tagliato e rincollato i due fili. Queste ultime, in letteratura, sono anche chiamate spesso _smoothing_ o risoluzioni.#margin-note[come tradurre questi termini in italiano?]
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// Fissato un anello $scr(R)$, un possibile modo di formalizzare le relazioni skein è di vederle come elementi dell'anello di polinomi $scr(R)[L_+, L_-, L_0, L_infinity]$, ad esempio preso un elemento $F in scr(R)[L_+, L_-, L_0, L_infinity]$, una relazione skein è un'espressione della forma
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// $
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// F(L_+, L_-, L_0, L_infinity) = 0
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// $
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// #definition[
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// Fissato un diagramma $D$ ed un suo incrocio $c$ possiamo definire le seguenti operazioni sul diagramma
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// - $S_c K$ è lo stesso diagramma $D$ con l'incrocio $c$ scambiato, ovvero con l'informazione sopra/sotto invertita.
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// - $E_c K$ è il diagramma con l'incrocio $c$ sostituito con lo _splice_ orizzontale
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// - $e_c K$ è il diagramma con l'incrocio $c$ sostituito con lo _splice_ verticale
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// ]
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// A priori non è ovvio che gli _splice_ siano ben definiti e potrebbero dipendere dall'orientazione del diagramma [...].
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// // Però si può dimostrare che c'è un modo indipendente dall'orientazione del nodo di decidere come applicare i due tipi di splice in modo coerente.
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// A questo punto possiamo introdurre un concetto di valutazione di queste relazioni skein, data una relazione $F(L_+, L_-, L_0, L_infinity) = 0$ possiamo introdurre la seguente valutazione. Fissato diagramma $D$ ed un suo incrocio positivo $c$ possiamo definire $F_D in scr(R)[scr(D)]$ come #margin-note[Trovare referenze per questa parte anche se probabilmente va trattata diversamente o tolta e basta forse]
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// $
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// F_D colon.eq F(space D , space S_c D , space E_c D , space e_c D space)
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// $
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// // Questo ci permette di valutare una relazione skein "vicino" ad un incrocio specifico.
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= Isotopia Regolare
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#todo[
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Aggiungere più commenti
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Il teorema di Reidemeister ci dice che se due nodi sono equivalenti a meno di isotopia allora lo sono anche i loro diagrammi a meno di isotopie planari e delle mosse I, II e III.
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Possiamo chiederci cosa succede se ci restringiamo all'equivalenza generata solo dalle isotopie planari e dalle mosse II e III, questo ci dà una nuova equivalenza tra nodi più forte dell'isotopia ambiente.
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#definition[
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Due nodi o link $K_1, K_2$ si dicono equivalenti a meno di *isotopia regolare* se due loro diagrammi sono equivalenti a meno di isotopie planari e mosse II e III di Reidemeister.
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]
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#figure(image("assets/ambient-regular-isotopy-difference.jpg", width: 13cm))
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Una prima cosa che possiamo notare è che tutte le mosse R1 possono essere "fattorizzate" in modo da averle tutte raggruppate insieme. #margin-note[Magari aggiungere la dimostrazione di questa cosa]
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#todo[
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Altro disegno
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C'è un'osservazione importante da fare quando parliamo di isotopia regolare. Quest'ultima è definita solo quando si parla di diagrammi di link, quando invece parliamo di isotopia ambiente ha anche senso parlare dei link come circonferenze embedded.
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Più avanti vedremo invarianti di isotopia ambiente come il polinomio $F_K$ che però è definito attraverso l'isotopia regolare, in particolare il calcolo va fatto fissando un particolare diagramma del link. Tutt'ora è un problema aperto dare una definizione di $F_K$ che sia indipendente dalla scelta di un diagramma.
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Questo ci suggerisce un primo invariante di isotopia regolare per link orientatati, per prima cosa introduciamo il segno di un incrocio.
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#definition[
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Dato un incrocio di un link orientato ci possono essere due casi
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$
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epsilon(#skein-generic(direction: (+1, +1))) = +1
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#h(2em)
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epsilon(#skein-generic(direction: (+1, -1))) = -1
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$
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]
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#definition[
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Dato $K$ link orientato, il *writhe* $w(K)$ (o numero di avvolgimento) è dato dalla somma dei segni dei suoi crossing
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$
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w(K) colon.eq sum_c epsilon(c)
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$
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]
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#proposition[
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Il writhe non dipende dall'orientazione del link
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]
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#proposition[
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Il writhe è un invariante di isotopia regolare, ovvero se $K_1, K_2$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare allora $w(K_1) = w(K_2)$.
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]
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#todo[
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Esempi di calcolo del writhe
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Un primo fatto generale che possiamo osservare è che dato un invariante di isotopia regolare con certe proprietà, possiamo costruire un invariante di isotopia ambiente aggiungendo un fattore di correzione dato dal writhe.
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#proposition[
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Sia $R$ un anello, $a in R$ un elemento invertibile e $K$ un link orientato, allora se $L(K) in R$ è un invariante di isotopia regolare tale che
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$
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L(#skein.over-twist) = a L(#skein.strand)
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#h(2em)
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L(#skein.under-twist) = a^(-1) L(#skein.strand)
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$
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allora $F(K) colon.eq a^(-w(K)) L(K)$ è un invariante di isotopia ambiente.
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] <prop-ext-ambient-isotopy-inv>
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= Polinomio di Kauffman
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== Definizione assiomatica
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Vediamo ora la definizione del polinomio di Kauffman.
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#definition[
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Dato $K$ un link non orientato, $kL_K in bb(Z)[a, a^(-1), z, z^(-1)]$, ovvero i polinomi di Laurent sugli interi nelle variabili $a$ e $z$, e verifica i seguenti assiomi:
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1. Se $K$, $K'$ sono equivalenti a meno di isotopia regolare, allora $kL_K = kL_K'$.
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2. Valgono le seguenti relazioni skein per quaterne di diagrammi identici ovunque tranne che nei punti indicati
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- $kL(#skein.over) + kL(#skein.under) = z (kL(#skein.h) + kL(#skein.v))$
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- $kL(#skein.unit) = 1$
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- $kL(#skein.over-twist) = a kL(#skein.strand)$
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- $kL(#skein.under-twist) = a^(-1) kL(#skein.strand)$
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]
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Come già anticipato in precedenza, vedremo che questo è un invariante di isotopia regolare e può essere generalizzato ad invariante di isotopia ambiente come segue
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#definition[
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Definiamo $F_K in Z[a, a^(-1), z, z^(-1)]$ per diagrammi orientati $K$ come
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$
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F_K colon.eq a^(-w(K)) kL_K
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$
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dove $L_K$ di un diagramma orientato è definito dimenticando l'orientazione.
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]
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#proposition[
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Il polinomio $F_K (a, z)$ è un invariante di isotopia ambiente
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]
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#proof[
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Segue dalla @prop-ext-ambient-isotopy-inv.
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]
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== Alcune proprietà del polinomio di Kauffman
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#lemma[
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Sia $K$ un link orientato e $m(K)$ il suo mirror. Allora abbiamo la seguente relazione per $L$
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e $F$
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$
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L_(m(K)) (a, z) = L_K (1 slash a, z)
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#h(2em)
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F_(m(K)) (a, z) = F_K (1 slash a, z)
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$
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]
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#proof[
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$m(K)$ è ottenuto da $K$ scambiando tutti i suoi crossing quindi se analizziamo cosa succede nei vari assiomi solo vicino ad un certo incrocio otteniamo le seguenti relazioni
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$
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kL(m(#skein.unit)) = kL(#skein.unit) = 1 \
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kL(m(#skein.over-twist)) = kL(#skein.under-twist) = a^(-1) kL(#skein.strand) \
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|
kL(m(#skein.under-twist)) = kL(#skein.over-twist) = a kL(#skein.strand)
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$
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ed infine l'ultima relazione rimane invariata per la simmetria del polinomio di Kauffman
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$
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kL(m(#skein.over)) + kL(m(#skein.under)) = z (kL(m(#skein.h)) + kL(m(#skein.v))) \
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=> kL(#skein.under) + kL(#skein.over) = z (kL(#skein.h) + kL(#skein.v)) \
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|
=> kL(#skein.over) + kL(#skein.under) = z (kL(#skein.h) + kL(#skein.v))
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$
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quindi passare al mirror ha l'effetto di scambiare solamente $a$ con $a^(-1)$ ma il resto della valutazione rimane identico.
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Infine per $F_m(K)$ basta osservare che $w(m(K)) = -w(K)$ per una motivazione analoga.
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]
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Prima di passare alla dimostrazione della buona definizione vediamo alcuni esempi di calcolo di $L_K$ in modo "implicito", questo può essere fatto scegliendo accuratamente per quali diagrammi valutare le relazioni skein degli assiomi.
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Ad esempio proviamo a ricavare il valore di $delta colon.eq L(#skein.unit#skein.unit)$ #margin-note[Tutte le immagini qua sotto sono temporanee e devo rifarle]
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#let knot-picture(src, ..rest) = $thin #image("assets/derived/atlas-" + src, ..rest) thin$
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|
$
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|
L( #knot-picture("infinity-0.png", height: 2.25em) )
|
|
+
|
|
L( #knot-picture("infinity-1.png", height: 2.25em) )
|
|
&=
|
|
z (
|
|
L( #knot-picture("infinity-2.png", height: 2.25em) )
|
|
+
|
|
L( #knot-picture("infinity-3.png", height: 2.25em) )
|
|
) \
|
|
=>
|
|
a L( #skein.unit )
|
|
+
|
|
a^(-1) L( #skein.unit )
|
|
&=
|
|
z (
|
|
delta
|
|
+
|
|
L ( #skein.unit )
|
|
) \
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|
=> a + a^(-1) &= z ( delta + 1 ) \
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|
=> delta &= (a + a^(-1)) slash z - 1
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|
$
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|
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|
Questo valore $delta = (a + 1 slash a) slash z - 1$ ricomparirà anche in seguito ed è il coefficiente che il polinomio di Kauffman introduce quando abbiamo un link con due componenti disgiunte. Possiamo anche trovare il risultato per il link di Hopf come segue
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// #figure(image("assets/implicit-calc-2.png"))
|
|
|
|
$
|
|
L( #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) )
|
|
+
|
|
L( #knot-picture("hopf-1.png", height: 1.75em) )
|
|
&=
|
|
z (
|
|
L( #knot-picture("hopf-2.png", height: 1.75em) )
|
|
+
|
|
L( #knot-picture("hopf-3.png", height: 1.75em) )
|
|
) \
|
|
=>
|
|
L( #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) )
|
|
+
|
|
delta
|
|
&=
|
|
z (
|
|
a
|
|
+
|
|
a^(-1)
|
|
) \
|
|
=>
|
|
L( #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) )
|
|
&=
|
|
- (a + a^(-1)) z^(-1) + 1 + (a + a^(-1)) z
|
|
$
|
|
|
|
|
|
Ed del nodo trifoglio
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|
// #figure(image("assets/implicit-calc-3.png"))
|
|
|
|
$
|
|
L( #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) )
|
|
+
|
|
L( #knot-picture("trefoil-1.png", height: 2em) )
|
|
&=
|
|
z (
|
|
L( #knot-picture("trefoil-2.png", height: 2em) )
|
|
+
|
|
L( #knot-picture("trefoil-3.png", height: 2em) )
|
|
) \
|
|
=>
|
|
L( #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) )
|
|
+
|
|
a
|
|
&=
|
|
z (
|
|
L( #knot-picture("hopf-0.png", height: 1.75em) )
|
|
+
|
|
a^(-2)
|
|
) \
|
|
=>
|
|
L( #knot-picture("trefoil-0.png", height: 2em) )
|
|
&=
|
|
-(2a + a^(-1)) + (1 + a^(-2)) z + (a + a^(-1)) z^2
|
|
$
|
|
|
|
#definition[
|
|
Diremo che un diagramma è _split_ se è l'unione disgiunta di due diagrammi separati, in questo caso scriviamo $K = K_1 union.sq K_2$ dove $K_1$ e $K_2$ sono le due componenti disgiunte.
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|
]
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|
#definition[
|
|
Un diagramma $K$ è una *somma connessa* se appare come due diagrammi disgiunti connessi da due archi paralleli (a meno di isotopie planari). Tagliando questi due archi e riunendo insieme le estremità dello stesso sotto-diagramma otteniamo un nuovo diagramma split della forma $tilde(K) = K_1 union.sq K_2$, in questo caso chiamiamo la somma connessa $K = K_1 hash K_2$.
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|
]
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|
|
#proposition[
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|
Valgono le seguenti relazioni di $L$ ed $F$ per diagrammi split o in somma connessa
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|
#{
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|
set align(center)
|
|
grid(
|
|
rows: 2,
|
|
columns: 2,
|
|
column-gutter: 2em,
|
|
row-gutter: 1em,
|
|
$L(K_1 union.sq K_2) = delta L(K_1) L(K_2)$, $F(K_1 union.sq K_2) = delta F(K_1) F(K_2)$,
|
|
$L(K_1 hash K_2) = L(K_1) L(K_2)$, $F(K_1 hash K_2) = F(K_1) F(K_2)$,
|
|
)
|
|
}
|
|
|
|
dove $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$ ed è lo stesso coefficiente che abbiamo trovato nell'esempio precedente.
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|
]
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== Dimostrazione Forma Induttiva
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|
Prima di passare a descrivere la definizione induttiva diamo alcune definizioni di manipolazioni di un diagramma.
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|
#definition[
|
|
Sia $K$ un diagramma, $cal(U)$ la sua ombra planare#footnote[Ovvero per $K subset bb(R)^3$ poniamo $U colon.eq pi(K) subset bb(R)^2$] e $p in cal(U)$ un punto di partenza direzionato in $cal(U)$.
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|
]
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|
|
|
- Il suo *nodo (o link) banale standard* associato detto $hat(K)(cal(U), p)$ è definito come segue: si prende il primo punto di partenza direzionato e si inizia a percorrere l'ombra planare in quella direzione e si rende ogni incrocio un sopra-incrocio quando ci si passa sopra per la prima volta.
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|
|
|
#figure(
|
|
image(
|
|
"assets/standard-unlink-construction.png",
|
|
width: 12cm,
|
|
),
|
|
caption: [
|
|
Un link con $3$ componenti e punti di partenza direzionati $p_1, p_2, p_3$. In #box(radius: 3pt, outset: (y: 3pt), inset: (x: 2pt), fill: rgb("#91cdff"))[azzurro] sono evidenziati gli incroci che sono cambiati rispetto al link di partenza.
|
|
],
|
|
)
|
|
|
|
|
|
- Sia $K$ un link, $lambda = (lambda_n, dots, lambda_0)$ una sequenza di etichette di incroci allora poniamo
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$
|
|
A_i^lambda = E_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
|
|
#h(2em)
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|
B_i^lambda = e_lambda_i S_lambda_(i-1) dots.c space S_lambda_0
|
|
$
|
|
|
|
notiamo che per $i=0$ abbiamo che $A_0^lambda K = E_lambda_0 K$ e $B_0^lambda K = e_lambda_0 K$ che è l'unico caso degenere per questa definizione.
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|
- #todo[Operazione compatta $sum_K (lambda)$]
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|
L'idea per la definizione induttiva è di considerare dato un nodo o un link $K$ il suo nodo o link discendente standard $hat(K)$. Questo induce una sequenza di indici $lambda$ che indichiamo con $0, dots, n$. Se la applichiamo incrementalmente a $K$ otteniamo le seguenti relazioni
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|
$
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|
L_K + L_(S_0 K) = z( L_(E_0 K) + L_(e_0 K) ) \
|
|
L_(S_0 K) + L_(S_1 S_0 K) = z( L_(E_0 S_0 K) + L_(e_0 S_0 K) ) \
|
|
dots.v \
|
|
L_(S_(n-1) dots S_0 K) + L_(hat(K)) = z (L_(E_n S_(n-1) dots S_0 K) + L_(e_n S_(n-1) dots S_0 K))
|
|
$
|
|
|
|
se ora sommiamo e sottraiamo membro a membro otteniamo la seguente identità
|
|
|
|
#context block(
|
|
width: page.width,
|
|
grid(
|
|
columns: 3,
|
|
column-gutter: 2em,
|
|
row-gutter: 1em,
|
|
$L_K + L_(S_0 K)$, [], $z( L_(E_0 K) + L_(e_0 K) )$,
|
|
$-(L_(S_0 K) + L_(S_1 S_0 K))$, [], $-z( L_(E_0 S_0 K) + L_(e_0 S_0 K) )$,
|
|
$dots.v$, $=$, $dots.v$,
|
|
$+(-1)^n (L_(S_(n-1) dots S_0 K) + L_(hat(K)))$,
|
|
[],
|
|
$+(-1)^n (z (L_(E_n S_(n-1) dots S_0 K) + L_(e_n S_(n-1) dots S_0 K)))$,
|
|
),
|
|
)
|
|
|
|
notiamo che possiamo cancellare tutti i termini del membro di sinistra che compaiono due volte con segno opposto
|
|
|
|
#context block(
|
|
width: page.width,
|
|
grid(
|
|
columns: 3,
|
|
column-gutter: 2em,
|
|
row-gutter: 1em,
|
|
$L_K + cancel(L_(S_0 K))$, [], $z( L_(E_0 K) + L_(e_0 K) )$,
|
|
$-(cancel(L_(S_0 K)) + cancel(L_(S_1 S_0 K)))$, [], $-z( L_(E_0 S_0 K) + L_(e_0 S_0 K) )$,
|
|
$dots.v$, $=$, $dots.v$,
|
|
$+(-1)^n (cancel(L_(S_(n-1) dots S_0 K)) + L_(hat(K)))$,
|
|
[],
|
|
$+(-1)^n (z (L_(E_n S_(n-1) dots S_0 K) + L_(e_n S_(n-1) dots S_0 K)))$,
|
|
),
|
|
)
|
|
|
|
Da cui otteniamo un'espressione per $L_K$, inoltre posto $lambda = (0, dots, n)$
|
|
|
|
#align(
|
|
center,
|
|
block(
|
|
width: 15cm,
|
|
[
|
|
#set align(center)
|
|
|
|
$
|
|
=>
|
|
L_K
|
|
&=
|
|
(-1)^(n+1) L_(hat(K)) + z sum_(i=0)^n (-1)^i (
|
|
L_(E_n S_(n-1) dots S_0 K) + L_(e_n S_(n-1) dots S_0 K)
|
|
) \
|
|
&=
|
|
(-1)^(n+1) L_(hat(K)) + z sum_(i=0)^n (-1)^i (
|
|
L_(A_n^lambda K) + L_(B_n^lambda K)
|
|
)
|
|
$ <kauffman-rec-inductive>
|
|
|
|
],
|
|
),
|
|
)
|
|
|
|
Questo ci dà un'idea su come sia possibile calcolare induttivamente $L_K$ in termini di $L_hat(K)$ e di altri diagrammi con meno incroci del diagramma di partenza.
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|
|
|
Affinché sia sempre possibile raggiungere un nodo in forma di nodo banale standard serve aggiungere la seguente relazione quando $K = K_1 union.sq K_2$ con $K_1$ sovrastante $K_2$.
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|
|
|
$
|
|
L_(K_1 union.sq K_2) = delta L_(K_1) L_(K_2)
|
|
$ <kauffman-rec-overlies>
|
|
|
|
sempre con $delta = (a + a^(-1)) slash z - 1$.
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|
|
|
// Closed form algorithm
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|
#definition(name: [Forma chiusa per $kL_K$])[
|
|
Il polinomio $kL_(K)(a,z)$ è definito induttivamente come segue, abbiamo i seguenti casi:
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|
]
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|
|
// la definizione è sotto perché gli enumerate non vanno d'accordo con le figure
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|
1. Se $K = hat(K)$ è un _nodo banale standard_ allora $kL_K (a, z) colon.eq a^w(K)$
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2. Se $K_1$ è _sovrastante_ $K_2$, sia $d colon.eq (a + a^(-1)) slash z - 1$ e allora
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|
$
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|
kL(K_1 union.sq K_2) colon.eq d kL(K_1) kL(K_2)
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|
$
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|
|
|
3. Se $K = K_1 union.sq dotss union.sq K_n$
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- Se un $K_i$ è _sovrastante_ un'altra componente allora applica (ii).
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- Se nessun $K_i$ è _sovrastante_ tutti gli altri, siano $p_1, ..., p_n$ dei punti di partenza direzionati su $K_1, ..., K_n$ e sia $overline(p)_i$ lo stesso punto di partenza direzionato con la direzione opposta di $p_i$ su $K_i$. Sia $lambda(p_i)$ la sequenza di scambi di incroci di $K_i$ con $K - K_i$ tale che $hat(K)(lambda(p_i)) = K_i union.sq (K - K_i)$ tale che $K_i$ sia _sovrastante_ il resto delle componenti. A questo punto possiamo definire $kL_K$ come
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#[
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#set text(size: 11pt)
|
|
$
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|
kL_K (a, z) colon.eq
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1 / (2n) [
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|
sum_(i=1)^n sum_(q=p_i, overline(p)_i) ((-1)^(|lambda(q)|+1) d kL_(K_i) kL_(K - K_i) + z sum_K (lambda(q)))
|
|
]
|
|
$
|
|
]
|
|
|
|
- Se $K$ è una singola componente allora sia $p$ un punto di partenza direzionato su $K$ e $overline(p)$ quello con direzione opposta. Sia $lambda(p)$ la sequenza di scambi di incroci che lo porta al nodo banale standard $hat(K)$ e definiamo
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|
|
|
#[
|
|
#set text(size: 11pt)
|
|
|
|
$
|
|
kL_K (a, z) colon.eq
|
|
1 / 2 [
|
|
sum_(q = p, overline(p)) ((-1)^(|lambda(q)|+1) kL(hat(K)(lambda(q))) + z sum_K (lambda(q)))
|
|
]
|
|
$
|
|
]
|