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188 lines
5.9 KiB
TeX

\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[physics]{personal_commands}
\usepackage[italian]{babel}
\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}}
\author{Gabriel Antonio Videtta}
\date{21 marzo 2023}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
\Large \textbf{Moto di un corpo in un mezzo viscoso}
\end{center}
\begin{definition}
Si definisce \textit{forza viscosa} una particolare
forza analoga a quella di attrito, dipendente dalla sola velocità in
un corpo omogeneo.
\end{definition}
\begin{remark} Riguardo la forza viscosa si possono
enumerare alcune proprietà. \\
\li Come la forza di attrito, la forza viscosa ha verso
contrario rispetto alla velocità ($\hat{F} = -\hat{v}$).
\li In base alle caratteristiche del mezzo nel quale il
corpo si muove, esiste una certa velocità critica $v_{cr}$ tale
per cui $v < v_{cr} \implies \Vec{F} = -\beta \Vec{v}$, dove
$\beta$ è una costante positiva (\textbf{legge di Stokes}).
\li Per $v > v_{cr}$, la legge di Stokes non è più valida.
\end{remark}
\begin{example}
Un esempio di forza viscosa è la resistenza aerodinamica
al moto del proiettile, spesso trascurata.
\end{example}
\begin{remark}
La costante $\beta$ della legge di Stokes dipende dalla
viscosità del mezzo e dalle dimensioni e dalla forma del
corpo.
\end{remark}
\begin{example} (senza alcuna forza)
Si pongano le condizioni $t_0 = 0$ e $\Vec{v_0} = \Vec{v}(t_0) \neq 0$. Se non agiscono altre forze sul corpo, si starà
allora trattando un moto unidimensionale. Si considera
allora il seguente sistema di equazioni:
\[ \begin{cases} F = ma, \\ F = -\beta v, \end{cases} \]
da cui si ricava che:
\[ ma=-\beta v \implies \dv=-\frac{\beta}{m} v. \]
Si definisce la costante $\tau = \frac{m}{\beta}$,
la cui unità di misura è il secondo.
L'eq.~differenziale si riscrive allora come:
\[ \dv = -\frac{1}{\tau} v. \]
Risolvendo quest'eq.~differenziale, si ottiene allora
dunque che:
\[ v(t) = c e^{-\frac{t}{\tau}}. \]
Poiché $c = v(t_0) = v_0$, si conclude dunque che:
\[ \system{v(t) = v_0 e^{-\frac{t}{\tau}}, \\ a(t) = -\frac{1}{\tau} v(t).} \]
\vskip 0.1in
In particolare, integrando la velocità, si ottiene lo
spostamento:
\[ x(t) = \int_{t_0}^t v(t) dt = x_0 + v_0 \tau (1- e^{-\frac{t}{\tau}}). \]
Quindi, la distanza percorsa all'infinito\footnote{Ossia, con
buona approssimazione, dopo alcuni periodi di $\tau$.} è
data da $x_\infty - x_0 = v_0 \tau$, dove $x_\infty = \lim_{t \to \infty} x(t) = x_0 + v_0 \tau$.
\end{example}
\begin{remark}
Si osserva che la velocità inizia a diventare
trascurabile dopo alcuni periodi di $\tau$.
\end{remark}
\begin{example} (con forza di gravità\footnote{In generale,
con qualsiasi forza costante.}) Si supponga che $\Vec{v_0}$
ed $\Vec{F} = \Vec{F_0}$ siano paralleli, e che dunque il
moto sia ancora completamente unidimensionale.
Si deve ora considerare il seguente sistema di forze:
\[ \system{\Vec{F_v} = -\beta \Vec{v}, \\ \Vec{F} = \Vec{F_0} = m\vec{g},} \]
ossia, passando alle coordinate unidimensionali:
\[ \system{F_v = -\beta v, \\ F = mg.} \]
Da questo sistema si ottiene l'eq.~del sistema:
\vskip 0.1in
\[ F = mg - \beta v \implies m \dv = mg - \beta v \implies \dv = g - \frac{1}{\tau} v, \]
ossia un'eq.~differenziale la cui associata omogenea è
esattamente quella analizzata nello scorso esempio. Allora
la soluzione generale è data dalla somma della soluzione
omogenea a quella particolare $v = \tau g$, detta
\textit{velocità limite} $v_{lim}$:
\[ v(t) = c e^{-\frac{t}{\tau}} + \tau g. \]
Ponendo allora $v(0) = v_0$, si ricava che $v_0 = c - \tau g \implies c = v_0 - \tau g$. Quindi si conclude che:
\[ v(t) = (v_0 - v_{lim}) e^{-\frac{t}{\tau}} + v_{lim}, \]
da cui chiaramente si osserva che $v(t) \tendstot v_{lim}$.
\end{example}
\begin{example} (approssimazione al moto uniformemente accelerato)
Si assumano $t \ll \tau$ e $v_0 \ll v_{lim}$. Allora
$\frac{t}{\tau} \ll 1$. Pertanto si può approssimare
$e^{-\frac{t}{\tau}}$ con $1 - \frac{t}{\tau}$.
In questo modo si ricava che:
\[ v(t) = (v_0 - v_{lim})(1 - \frac{t}{\tau}) + v_{lim} =
v_0 - \frac{v_0}{\tau}t + \frac{v_{lim}}{\tau} t
\overbrace{\approx}^{v_0 \ll v_{lim}} v_0 + \frac{v_{lim}}{\tau} t = v_0 + gt,\]
ossia che il moto, considerate queste assunzioni, è ben approssimato
da un moto uniformemente accelerato.
\end{example}
\begin{center}
\Large \textbf{Lavoro ed energia}
\end{center}
Supponiamo che su un corpo di massa $m$ agisca una sola forza
costante $\vec{F}$ (e quindi che ci si stia riferendo
ad un caso unidimensionale). Supponiamo ancora che
in questa semplificazione il corpo si sia spostato
di una lunghezza $\Delta x$ dal punto $A$ al
punto $B$. In questo caso si chiamerà
lavoro svolto dalla forza $\vec{F}$ sul corpo la quantità
scalare:
\[ L_{AB} = F \Delta x. \]
In generale, dato il vettore spostamento
$\Delta \Vec{r}$, se $\Vec{F}$ non è l'unica forza
che agisce sul corpo, si ricava che il lavoro è il seguente:
\[ L_{AB} = \vec{F} \cdot \Delta \Vec{r}. \]
\begin{remark} Si osservano le seguenti proprietà. \\
\li Se la proiezione di $\vec{F}$ sul vettore spostamento ha
direzione opposta a $\Delta \vec{r}$ (ossia se l'angolo
compreso tra i due vettori è maggiore a $\frac{\pi}{2}$),
il lavoro è negativo.
\li Il lavoro è additivo: $L_{AC} = L_{AB} + L_{BC}$.
\li Il lavoro da $A$ a $B$, se $\Vec{F}$ non è costante,
può essere ricavato come una somma degli infinitesimi lavori
compiuti dalla forza, ossia:
\[ dL_{AB} = \Vec{F}(\Vec{r}) \cdot d\Vec{r}, \]
da cui si ricava la fondamentale identità che coinvolge
un integrale di linea:
\[ L_{AB} = \int_{\gamma(A, B)} \vec{F}(\Vec{r}) \cdot d \vec{r}, \]
dove $\gamma(A, B)$ è la traiettoria percorsa dal corpo
negli estremi $A$ e $B$.
\end{remark}
\end{document}