\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
\author{Gabriel Antonio Videtta}
\date{21 marzo 2023}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
\Large\textbf{Limiti di funzioni e funzioni continue}
\end{center}
\begin{note} Nel corso del documento, per un insieme $X$, qualora non
specificato, si intenderà sempre un sottoinsieme generico dell'insieme
dei numeri reali esteso $\RRbar$. Analogamente per $f$ si intenderà
sempre una funzione $f : X \to\RRbar$.
\end{note}
\begin{definition} (continuità in un punto) Sia
$\xbar\in X$. Allora $f$ si dice \textit{continua} su $\xbar$ se e solo
se $\forall I$ intorno di $f(\xbar)$$\exists J$ intorno di $\xbar$ tale
che $f(J \cap X)\subseteq I$. Conseguentemente $f$ si dirà \textit{discontinua}
su $\xbar$ se non è continua su $\xbar$.
\end{definition}
\begin{definition} (continuità di una funzione) Si dice che $f$ è una \textit{funzione
continua} se e solo se $f$ è continua su $\xbar$$\forall\xbar\in X$.
\end{definition}
\begin{definition} (punti di accumulazione e punti isolati) Si dice che $\xbar\in\RRbar$ è un \textit{punto
di accumulazione} di $X$ se $\forall I$ intorno di $x$$\exists x \in X$, $x \neq\xbar\mid
x \in I$, o equivalentemente se $I \cap X \setminus\{\xbar\}\neq\emptyset$. Analogamente
un punto che non è di accumulazione e che appartiene a $X$ si dice \textit{punto isolato}.
\end{definition}
\begin{definition}
(derivato di un insieme) Si definisce derivato di $X$ l'insieme dei punti di
accumulazione di $X$, e si denota con $D(X)$.
\end{definition}
\begin{definition}
(chiusura di un insieme) Si definisce chiusura di $X$ l'unione di $X$ ai suoi
punti di accumulazione, ossia $\bar{X}= X \cup D(X)$.
\end{definition}
\begin{proposition}
Sono equivalenti i seguenti fatti:
\begin{enumerate}
\item$\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$,
\item esiste una successione $(x_n)\subseteq X \setminus\{\xbar\}$ tale
che $x_n \tendston\xbar$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
\rightproof Se $\xbar\in\RR$, per ogni $n$ si consideri l'intorno $I_n =[\xbar-\frac{1}{n}, \xbar+\frac{1}{n}]$, e si estragga un elemento $k \in I_n \cap X \setminus\{\xbar\}$ (che per ipotesi esiste, dacché
$\xbar$ è un punto di accumulazione). Si ponga dunque $x_n = k$. Poiché $\liminftyn\xbar-\frac{1}{n}=\liminftyn\xbar+\frac{1}{n}=\xbar$ e $x_n \in I_n$$\forall n \in\NN$, allora $x_n \tendston\xbar$. \\
Altrimenti, se $\xbar$ non è finito, si consideri il caso $\xbar=+\infty$. Per ogni $n$ si consideri allora l'intorno $I_n =[n, \infty]$, e si
estragga, come prima, $k \in I_n \cap X \setminus\{\xbar\}$, ponendo infine $x_n = k$. Poiché $I_n \tendston\{\infty\}$, $x_n \tendston\xbar$. Analogamente si dimostra il caso $\xbar=-\infty$. \\
\leftproof Se esiste una tale successione, allora $\forall I$ intorno di $\xbar$$\exists n_k \in\NN\mid n \geq n_k \implies x_n \in I$, ed in particolare, poiché per ipotesi
$x_n \neq\xbar$, $x_n \in X \forall n \in\NN$, $I$ contiene sempre un punto diverso
da $\xbar$ ed appartenente ad $X$, ossia $I \cap X \setminus\{\xbar\}$.
\end{proof}
\begin{remark} Negando la definizione di punto di accumulazione, si ricava che $\xbar\in X$ è un
punto isolato $\iff$$\exists I$ intorno di $\xbar$$\mid I \cap X =\{\xbar\}$.
\end{remark}
\begin{definition} (limite di una funzione) Sia $\xbar\in D(X)$. Allora $\lim_{x \to\xbar} f(x)= L
\defiff\forall I$ intorno di $L$, $\exists J$ intorno di $\xbar$$\mid f(J \cap X \setminus\{\xbar\})
\subseteq I$.
\end{definition}
\begin{remark} La definizione di limite di una funzione richiede che $\xbar$ sia un punto di
accumulazione di $X$ per due principali motivi, uno teorico e uno strettamente pratico:
\begin{enumerate}
\item se $\xbar$ fosse un punto isolato, allora esisterebbe sicuramente un suo intorno $J$ tale
che $J \cap X \setminus\{\xbar\}=\emptyset$, e quindi $f(J \cap X \setminus\{\xbar\})= f(\emptyset)=\emptyset\in I$, per qualsiasi intorno $I$ scelto, a prescindere da $L$; si
perderebbe dunque una proprietà fondamentale del limite, ovverosia la sua unicità.
\item se $\xbar$ fosse un punto isolato, non vi sarebbe alcun modo di ``predirre'' il
comportamento di $f$ nel momento in cui tende a $\xbar$, dacché non si potrebbero
computare valori per $x$ ``vicine'' a $\xbar$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proposition}
Se $\xbar\in D(X)$, sono equivalenti i seguenti fatti:
\begin{enumerate}
\item$\lim_{x \to\xbar} f(x)= L$,
\item$\forall$ successione $(x_n)\subseteq X \setminus\{\xbar\}$ tale che
$x_n \tendston\xbar$, $f(x_n)\tendston L$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
\rightproof Sia $(x_n)\subseteq X \setminus\{\xbar\}$ una successione tale che
$x_n \tendston\xbar$. Poiché $\lim_{x \to\xbar} f(x)= L$, $\forall I$ intorno di
$L$, $\exists J$ intorno di $\xbar$ tale che $f(J \cap X \setminus\{\xbar\})\subseteq I$.
Allo stesso tempo, poiché $x_n \tendston\xbar$ e $J$ è un intorno di $\xbar$, esiste un $n_k \in\NN$
tale che $n \geq n_k \implies x_n \in J \implies f(x_n)\in I$ (infatti $x_n$ per definizione
appartiene a $X$ ed è sempre diverso da $\xbar$). Allora $\forall I$ intorno di $L$, $\exists n_k$
tale che $n \geq n_k \implies f(x_n)\in I$, ossia $f(x_n)\tendston L$. \\
\leftproof Si ponga per assurdo che $\lim_{x \to\xbar} f(x)\neq L$. Allora esiste almeno
un intorno $I$ di $L$ tale per cui non esista alcun intorno $J$ di $\xbar\mid f(J \cap X \setminus\{\xbar\})\subseteq I$. Si consideri adesso il caso $\xbar\in\RR$ ed il suo intorno $J_n =[\xbar-\frac{1}{n}, \xbar+\frac{1}{n}]$: da ogni $J_n$ si può estrarre un $k \in X \setminus\{\xbar\}$
(infatti $\xbar$ è un punto di accumulazione), tale che $f(k)\notin I$. Si ponga allora $x_n = k$.
Dal momento che $J_n \tendston\{\xbar\}$, $x_n \tendston\xbar$. Allo stesso tempo, per $n \to\infty$, $f(x_n)$ non può tendere a $L$, dacché per costruzione $f(x_n)$ non appartiene all'intorno
$I$. Tuttavia ciò contraddice l'ipotesi, e quindi $\lim_{x \to\xbar} f(x)= L$. \\
Altrimenti, se $\xbar=\infty$, si consideri per ogni $n$ l'intorno $J_n =[n, \infty]$, e se ne
estragga $k \in X \setminus\{\xbar\}$ tale che $f(k)\notin I$ (come prima, questo deve esistere
dacché $\xbar$ è un punto di accumulazione). Si ponga dunque $x_n = k$. Poiché $J_n \tendston\{\infty\}$, $x_n \tendston\xbar$. Tuttavia $f(x_n)$ non può tendere a $L$ per $n \to\infty$,
dal momento che $f(x_n)$ per costruzione non appartiene mai all'intorno $I$. Questo contraddice
nuovamente l'ipotesi, e quindi $\lim_{x \to\xbar} f(x)= L$.
\end{proof}
\begin{exercise} Si dimostri che $\overline{\overline{X}}=\overline{X}$.
\end{exercise}
\begin{exercise} Si mostri che l'ipotesi che la successione $(x_n)$ non abbia elementi uguali
a $\xbar$ sia necessaria, riportando un controesempio.
