\li Una quadrica è invariante per la relazione $\sim$ su $\KK[x_1, \ldots, x_n]$, dove
$p_1\sim p_2\defiff\exists\alpha\in\KK^*\mid p_1=\alpha p_2$. Infatti
il luogo di zeri di un polinomio non varia se esso viene moltiplicato per una costante non nulla di $\KK$. \\
\li Una quadrica può essere vuota (come nel caso della conica relativa a $x^2+ y^2+1$ in $\RR$). \\
\li Si identifica con la notazione $p(\x)$ con $\x\in\KK^n$, la valutazione del polinomio $p$ nelle coordinate
di $\x$. Per esempio, se $\x=(1, 2)$ e $p(x, y)= x^2+ y^2$, con $p(\x)$ si identifica il valore
$p(1, 2)=1^2+2^2=5$.
\end{remark}
\begin{remark} [riscrittura di $p$ mediante matrici]
Sia $p \in\KK[x_1, \ldots, x_n]$ di grado due. Allora $p$ si può sempre scrivere come $p_2+ p_1+ p_0$,
dove $p_i$ è un polinomio omogeneo contenente soltanto monomi di grado $i$. \\
In particolare, $p_2(x_1, \ldots, x_n)$ può essere sempre riscritto come $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}$
con $a_{ij}\in\KK$ con $a_{ij}= a_{ji}$.
È infatti sufficiente "sdoppiare" il coefficiente $c_{ij}$
di $x_i x_j$ in due metà, in modo tale che $c_{ij} x_i x_j =\frac{c_{ij}}{2} x_i x_j +\frac{c_{ij}}{2} x_i x_j =\frac{c_{ij}}{2} x_i x_j +\frac{c_{ij}}{2} x_j x_i$. Inoltre, anche $p_1(x_1, \ldots, x_n)$ può essere riscritto come $\sum_{i=1}^n b_{ij}$. \\
Si possono allora considerare la matrice $A \in M(n, \KK)$ ed il vettore $\vec b \in\KK^n$, definiti in modo tale che:
\[ A =(a_{ij})_{i,j=1\mbox{--}n}, \qquad\vec b =(b_i)_{i=1\mbox{--}n}\in\KK^n. \]
\vskip 0.05in
Infatti, $A$ e $\vec b$ soddisfano la seguente identità:
\[ p(\x)=\x^\top A \x+\vec b^\top\x+ c, \]
\vskip 0.05in
che, riscritta tramite l'identificazione di $\AnK$ come l'iperpiano $H_{n+1}\in\Aa_{n+1}(\KK)$,
Si osserva che $\hat A$ è una matrice simmetrica di taglia $n+1$ a elementi in $\KK$, e in quanto
tale essa induce un prodotto scalare su $\KK^{n+1}$. Pertanto la quadrica relativa $p$ è esattamente
l'intersezione tra $H_{n+1}$ e $\CI(\hat A)$, identificando $\KK^{n+1}$ come $H_{n+1}$, ossia
la quadrica è esattamente $\iota\inv(H_{n+1}\cap\CI(\hat A))$.
\end{remark}
\begin{definition}[matrice associata ad una quadrica]
Si definisce la costruzione appena fatta di $\hat A$ come la \textbf{matrice associata alla quadrica relativa a $p$}, e si indica con $\MM(p)$. In particolare, $A$ è detta la matrice che rappresenta la \textit{parte quadratica}, e si indica con $\AA(p)$, mentre $\nicefrac{\vec b}2$ rappresenta la \textit{parte lineare}, indicata con $\Ll(p)$,
e $c = c(p)$ è detto \textit{termine noto}.
\end{definition}
\begin{definition}[azione di $A(\Aa_n(\KK))$ su $\KKxn$]
con $\hat M =\Matrix{ M &\rvline&\vec t \,\\\hline0&\rvline&1\,}$, dove $f(\x)= M \x+\vec t$$\forall\x\in\KK^n$ con $M \in\GL(n, \KK)$ e $\vec t \in\KK^n$.
Per definizione, $p \circ f$ è tale che $(p \circ f)(\x)= p(f(\x))=
p(M\x + \vec t)$. In particolare, $(p \circ f)(\x) = \widehat{\left( M \x + \vec t \right)^\top}\MM(p) \widehat{\left( M \x + \vec t \right)} = \left( \hat M \hat x \right)^\top\!\!\MM(p) \left( \hat M \hat x \right)$. Pertanto vale che:
\[(p \circ f)(\x)=\hat x^\top\hat M^\top\MM(p)\hat M \hat x \implies\MM(p \circ f)={\hat M}^\top\MM(p)\hat M, \]
\vskip 0.05in
da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{remark}\nl
\li Per la proposizione precedente, due matrici, associate a due
polinomi di secondo grado affinemente equivalenti, variano
per congruenza, così come le matrici della parte quadratica. \\
Pertanto $\rg(\MM(p \circ f))=\rg(\MM(p))$, come $\rg(\AA(p \circ f))
= \rg(\AA(p))$(così come, per $\KK=\RR$, non variano i segni
dei vari determinanti). Allo stesso
tempo, la classe di equivalenza di $\MM(p)$ è rappresentata completamente per $\KK=\CC$ (tramite il rango) e per $\KK=\RR$
(tramite la segnatura), per il teorema di Sylvester. \\
\li Se $f$ è una traslazione, $M = I_n$, e dunque la formula
In particolare, non varia la matrice relativa alla parte quadratica,
ossia vale che $\AA(p \circ f)=\AA(p)$. \\
\li Se $\lambda\in\KK^*$, $\MM(\lambda p)=\lambda\MM(p)$, dal
momento che $\AA(\lambda p)=\lambda\AA(p)$, così come
$\Ll(\lambda p)=\lambda\Ll(p)$ e $c(\lambda p)=\lambda c(p)$.
Tuttavia, a differenza del cambio di matrice per equivalenza
affine, per $\KK=\RR$ la segnatura non è più un invariante (infatti, in generale $\sigma(-S)=(\iota_-(S), \iota_+(S), \iota_0(S))$, se $S \in\Sym(n, \RR)$). Ciononostante non varia, in valore assoluto, la differenza tra l'indice di positività
Una quadrica relativa a $p \in\KKxn$ si dice \textbf{non degenere} se $\rg(\MM(p))= n+1$ (ossia se $\det(\MM(p))\neq0$), e altrimenti
si dice degenere. In particolare, una conica si dice \textit{non degenere} se $\rg(\MM(p))=3$ e degenere altrimenti.
\end{definition}
\begin{definition} [quadrica a centro]
Una quadrica $C$ relativa a $p \in\KKxn$ (o $p$ stesso) si dice \textbf{a centro} se
$\exists\x_0\in\KK^n \mid p(\x_0+\x)= p(\x_0-\x)$$\forall\x\in\KK^n$. In particolare, si dice che tale $\x_0$ è un \textbf{centro di simmetria} per $C$.
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li Si osserva che $\vec0$ è un centro di simmetria per $p$ se
$p(\x)= p(-\x)$, ossia se e solo se la parte lineare $\Ll(p)$ è
nulla. \\
\li Allora $\x_0$ è un centro di simmetria per $p$ se e solo se $\vec0$
è un centro di simmetria per $p \circ f$, dove $f$ è la traslazione
che manda $\vec0$ in $\x_0$. Infatti, in tal caso, vale che $f(\x)=\x+\x_0$ e che:
\li Per le osservazioni precedenti, vale allora che $\x_0$ è un centro
di simmetria per $p$ se e solo se la parte lineare di $p \circ f$
è nulla, ossia se e solo se $\x_0$ è tale che $\AA(p)\x_0+\Ll(p)$.
Pertanto $p$ è a centro se e solo se il sistema $\AA(p)\x=-\Ll(p)$
è risolvibile, e quindi se e solo se $\rg\!\Matrix{\AA(p)&\rvline&\Ll(p)}=\rg(\AA(p))$$\iff\Ll(p)\in\Im(\AA(p))$, per il teorema di Rouché-Capelli. Vale
dunque che $p$ è sempre a centro, se $\AA(p)$ è invertibile. \\
Poiché i centri di una conica sono esattamente le soluzioni del
sistema lineare $\AA(p)\x=-\Ll(p)$, essi formano un sottospazio
affine. In particolare, se $\x_0$ è un centro, vale che tale sottospazio
è esattamente $\x_0+\Ker\AA(p)$. Pertanto, se $\AA(p)$ è invertibile
Sia $\KK=\CC$. Allora ogni conica è affinemente equivalente ad
un'equazione canonica della seguente tabella, unicamente
determinata dagli invarianti $\rg(\MM(p))$ e $\rg(\AA(p))$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline
&$\rg(\MM(p))$&$\rg(\AA(p))$& Equazione canonica & A centro \\\hline
$\mathcal{C}_1$& 3 & 2 &$x^2+y^2=1$& Sì \\\hline
$\mathcal{C}_2$& 3 & 1 &$x^2=y$& No \\\hline
$\mathcal{C}_3$& 2 & 2 &$x^2+y^2=0$& Sì \\\hline
$\mathcal{C}_4$& 2 & 1 &$x^2=1$& Sì \\\hline
$\mathcal{C}_5$& 1 & 1 &$x^2=0$& Sì \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{theorem}
\vskip 0.01in
\begin{proof}
La classificazione è completa perché sono comprese tutte le possibili
scelte di rango. Inoltre tale classificazione è ben definita, dal momento che due coniche distinte della tabella differiscono di almeno un'invariante, e pertanto non possono essere affinemente
equivalenti. Pertanto, se esiste, una conica è affinemente equivalente
ad una sola delle coniche presenti nella tabella. \\
Sia allora $\mathcal{C}$ una conica relativa al polinomio $p \in\CC[x, y]$. Se $\rg(\AA(p))=2$, allora, per il teorema di Sylvester
complesso, esiste una matrice $M \in\GL(2, \CC)$ tale per
cui $M^\top\AA(p) M = I_2$. \\
Si consideri allora l'affinità $f_1\in A(\Aa_2(\CC))$ tale per cui $f_1(\x)= M\x+\vec t$, dove $\vec t =-\AA(p)\inv\vec b$. Se $p_1= p \circ f_1$, allora, per la formula
Se $\rg(\MM(p))=2$, $c(p_1)= p(\vec t)$ è nullo (altrimenti i ranghi di $\MM(p)$ e $\MM(p_1)$ sarebbero diversi; assurdo, dal momento che il rango di $\MM(p)$ è invariante per equivalenza affine, \Lightning).
In tal caso $p_1$ è il polinomio $x^2+ y^2$, e
dunque $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente a $\mathcal{C}_3$ tramite
l'identità $p_1= p \circ f_1$. \\
Se invece $\rg(\MM(p))=3$, $c' := c(p_1)$ non è nullo,
e dunque $p_1$ è il polinomio $x^2+ y^2+ c'$. Considerando
allora $f_2\in A(\Aa_2(\CC))$ tale che $f_2(\x)=\sqrt{-c\,'}\,\x$, si ottiene che $p_2= p_1\circ f_2$ è tale per cui:
Si cerca adesso una traslazione di vettore $\vec t =(t_1, t_2)^\top$
tale che annulli la parte lineare del polinomio, ossia
un vettore per cui $\AA(p_1)\vec t +(b_1, 0)^\top=\vec0$. Un vettore di questo tipo è $\vec t =(-b_1, 0)^\top$. \\
Sia allora $f_2\in\Aa_2(\CC)$ per cui $f_2(\x)=\x+\vec t$, e sia $p_2= p_1\circ f_2$. Vale allora che:
\[\MM(p_2)=\Matrix{1&0&0\\0&0&0\\0&0& c'}, \]
\vskip 0.05in
dove $c' := p_1(\vec t)$. Se $\rg(\MM(p))=1$,
$c'$ è necessariamente nullo (altrimenti $\MM(p_2)$ non
sarebbe congruente a $\MM(p)$, \Lightning), e dunque
$p_2$ è il polinomio $x^2=0$, legato alla conica $\mathcal{C}_5$ (quindi $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente a $\mathcal{C}_5$ tramite l'identità $p_2= p \circ\,(f_1\circ f_2)$). \\
\begin{tabular}[c]{@{}l@{}}due rette complesse coniugate\\ e incidenti in un punto reale ($\mathcal{C}_8$)\end{tabular}& 2 & 2 & 2 & 2 &$x^2+y^2=0$\\\hline
due coniche distinte della tabella differiscono di almeno un'invariante. \\
Sia allora $\mathcal{C}$ una conica relativa al polinomio $p \in\RR[x, y]$. Sia $\rg(\AA(p))=2$.
Se $S(\AA(p))=2$, allora, per il teorema di Sylvester, $\exists M \in\GL(2, \RR)\mid M^\top\AA(p) M =\pm I_2$. Sia allora
$f_1\in A(\AA_2(\RR))$ l'affinità tale per cui
$f_1(\vec x)= M \vec x +\vec t$, dove $\vec t =-\AA(p)\inv\vec b$. Allora, detto $p_1$ il polinomio monico ottenuto moltiplicando eventualmente per $-1$ il polinomio $p \circ f_1$, vale che:
$p_1(x, y)= x^2+ y^2$, la cui conica corrispondente
è data da due rette complesse coniugate e incidenti in un punto reale ($\mathcal{C}_8$). \\
Altrimenti, se
$\rg(\MM(p))=3$, si discutono due casi dipendentemente dal valore di $S(\MM(p))$. Se
$S(\MM(p))=3$, allora $c$ è necessariamente positivo. Pertanto, detta $f_2\in A(\AA_2(\RR))$
l'affinità tale per cui $f_2(\vec x)=\sqrt{c}\,\vec x$ e detto $p_2= p_1\circ f_2$, vale che $\MM(p_2)= c \, I_3$, ossia che $p_2(x, y)= c(x^2+ y^2+1)$. Si è ottenuto dunque che $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente all'ellisse immaginaria ($\mathcal{C}_7$). \\
Si procede analogamente se $S(\MM(p))=1$: in
tal caso $c$ è necessariamente negativo, e quindi
$f_2$ si costruità moltiplicando per $\sqrt{-c}$:
si ottiene in questo modo l'ellisse reale ($\mathcal{C}_1$). \\
Sia ora invece $S(\AA(p))=1$. Allora, per il teorema di Sylvester, $\exists M \in\GL(2, \RR)\mid M^\top\AA(p) M =\SMatrix{1&0\\0&-1}$.
Si costruisca allora l'affinità $f_1\in A(\AA_2(\RR))$ in modo tale che $f_1(\vec x)= M \vec x +\vec t$, dove $\vec t =-\AA(p)\vec b$.
Se $\rg(\MM(p))=2$, allora $c$ è necessariamente nullo, e quindi $p_1(x, y)= x^2- y^2$, da cui
si deduce che $\mathcal{C}$ è affinemente
equivalente alla conica generata da due rette
reali incidenti ($\mathcal{C}_4$). Se invece
$\rg(\MM(p))=3$, $c$ non è nullo, e quindi
si può costruire l'affinità $f_2\in A(\AA_2(\RR))$
data da $f_2(\vec x)=\sqrt{\abs{c}}\,\vec x$. Allora, detto $p_2= f \circ p_1$, $p_2$ può essere
sempre ricondotto a un
multiplo di $x^2- y^2-1$: se infatti $c < 0$,
$p_2$ lo è già, altrimenti è sufficiente applicare
una terza affinità $f_3(\vec x)=\SMatrix{0&1\\1&0}\,\vec x$ e considerare $p_3= p_2\circ f_3$. Pertanto $\mathcal{C}$ è in questo caso
affinemente equivalente a un'iperbole ($\mathcal{C}_2$). \\
Sia adesso $\rg(\AA(p))=1$. Allora, per il teorema
di Sylvester, $\exists M \in\GL(2, \RR)\mid M^\top\AA(p) M =\SMatrix{1&0\\0&0}$. Sia $\Ll(p)=\SMatrix{b_1\\ b_2}$, con $b_1$, $b_2\in\RR$. Si costruisca $f_1\in A(\AA_2(\RR))$ in modo tale
e detto $p_4= p_3\circ f_4$, si ottiene finalmente
che $p_4(x, y)= x^2- y$, ossia che $\mathcal{C}$ è
affinemente equivalente a una parabola ($\mathcal{C}_3$). \\
Se $\rg(\MM(p))=2$, allora necessariamente
$b_2=0$ e $c \neq0$. Si costruisce dunque
l'affinità $f_3\in A(\AA_2(\RR))$ definita in
modo tale che $f_3(\vec x)=\SMatrix{\sqrt{\abs{c'}}&0\\0&1}$ e si pone
$p_3= p_2\circ f_3$. Se $S(\MM(p))=0$, allora necessariamente $c' < 0$, e quindi vale che $p_3$ è multiplo di $x^2-1$. Pertanto $\mathcal{C}$ è affinemente
equivalente alla conica generata da due rette reali parallele ($\mathcal{C}_5$). Se invece $S(\MM(p))=2$, $c'$ è strettamente positivo, e quindi $p_3$ è
multiplo di $x^2+1$. In tal caso $\mathcal{C}$ è affinemente equivalente alla conica
generata da due rette complesse coniugate, distinte e parallele ($\mathcal{C}_9$). \\
Se invece $\rg(\MM(p))=1$, sia $b_2$ che $c$ devono
essere nulli. Allora $p_2(x, y)= x^2$, da cui
si deduce che $\mathcal{C}$ è affinemente
equivalente alla conica generata da due rette
reali coincidenti ($\mathcal{C}_6$), completando la classificazione.
