Si osserva che in effetti tutti gli elementi di $X$ sono considerati nella
scrittura delle orbite dal momento che tali orbite inducono una partizione
di $X$ (infatti sono classi di equivalenza). Si definisce inoltre una
permutazione \textit{ciclo} se esiste al più un'unica orbita di cardinalità diversa
da $1$ e si dice \textit{lunghezza del ciclo} la cardinalità di tale orbita (o se non esiste, si dice che ha lunghezza unitaria). Due cicli si dicono disgiunti se almeno uno dei due è l'identità o se le loro uniche orbite non banali hanno intersezione nulla (e in entrambi i casi, commutano). Per ogni $k$-ciclo esistono esattamente $k$ scritture
distinte (in funzione dell'elemento iniziale del ciclo). \medskip
Pertanto si deduce facilmente che ogni permutazione $\sigma$ è prodotto
di cicli disgiunti in modo unico (a meno della scelta del primo elemento
dell'orbita). Poiché allora ogni $n$-ciclo è generato dalla composizione
di $n-1$ trasposizioni ($2$-cicli) e ogni permutazione è prodotto di cicli,
da cui si deduce che la scrittura come prodotto di
trasposizioni non è unica. Ciononostante viene sempre mantenuta la parità
del numero di trasposizioni impiegate. \medskip
Per questo motivo la mappa $\sgn : S_n \to\{\pm1\}$ che vale $1$ sulle
permutazioni con numero pari di trasposizioni impiegabili e $-1$ sul resto
è ben definita. Inoltre questa mappa è un omomorfismo di gruppi, e si
definisce $\An :=\Ker\sgn$ come il sottogruppo di $S_n$ delle permutazioni
pari, detto anche \textit{gruppo alterno}. La classe laterale $(1, 2)\An$
rappresenta invece le permutazioni dispari. \medskip
In particolare, se $\sigma_k$ è un $k$-ciclo, $\sgn(\sigma_k)=(-1)^{k-1}$ e $\ord(\sigma_k)= k$. Si osserva inoltre che vi sono esattamente $\binom{n}{k}\frac{k!}{k}=
\binom{n}{k} (k-1)!$$k$-cicli in $S_n$ e che in generale l'ordine
di una permutazione è il minimo comune multiplo degli
ordini dei suoi cicli. In particolare vale la seguente identità\footnote{
Si verifica facilmente che il prodotto a destra fornisce un omomorfismo. Allora
è sufficiente mostrare che è ben definito e che vale $-1$ sulle trasposizioni.
Se si considera $\sigma=(a, b)$, per $i$ e $j$ tali per cui
$\{i, j\}\cap\{a, b\}=\emptyset$ il termine della produttoria è unitario;
per $\{i, j\}=\{a, b\}$ il termine è $-1$ e per un'intersezione di un solo
termine si osserva che vi sono due termini del prodotto che valgono $-1$ e
che moltiplicati si annullano nell'unità. Poiché $\sgn$ vale anch'esso $-1$ sulle trasposizioni, i due omomorfismi coincidono (infatti le trasposizioni generano $S_n$).
}:
\[\sgn(\sigma)=\prod_{1\leq i < j \leq n}\frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i - j}. \]
Due permutazioni $\sigma_1$, $\sigma_2$ sono \textit{coniugabili}
(ossia appartengono alla stessa classe di coniugio) se e solo se
hanno lo stesso tipo.
\end{proposition}
\begin{proof}
Dalla seguente identità, se $\sigma_1$ è coniugata rispetto a
$\sigma_2$, sicuramente le due permutazioni dovranno avere lo stesso
tipo. Analogamente, se le due permutazioni hanno lo stesso tipo,
si può costruire $\tau$ che associ ogni elemento di
un ciclo di $\sigma_1$ a un elemento nella stessa posizione in un ciclo
di $\sigma_2$ della stessa lunghezza in modo tale che $\tau$ rimanga
una permutazione di $S_n$ e che valga $\sigma_2=\tau\sigma_1\tau\inv$.
\end{proof}
Come corollario di questo risultato, se $m_1$ rappresenta il numero di $1$-cicli di $\sigma$, $m_2$ quello dei suoi $2$-cicli, fino a $m_k$, vale il seguente risultato:
