\begin{remark} Si possono fare alcune osservazioni riguardo la decomposizione di Fitting. \\
\li Sia $\Ker f^k$ che $\Im f^k$ sono $f$-invarianti: $\vec v \in\Ker f^k \implies f^k(f(\vec v))= f(f^k(\vec v))=\vec0\implies f(\vec v)\in\Ker f^k$ e $\vec v \in\Im f^k \implies\vec v = f^k(\vec w)$, $f(\vec v)= f(f^k(\vec w))= f^k(f(\vec w))\in\Im f^k$. \\
\li$\restr{f}{\Ker f^k}$ è nilpotente: $(\restr{f}{\Ker f^k})^k =\restr{f^k}{\Ker f^k}=0$. \\
\li$\restr{f}{\Im f^k}$ è invertibile: $\Ker\restr{f}{\Im f^k}=\Ker f \cap\Im f^k \subseteq\Ker f^k \cap\Im f^k =\{\vec0\}$, e quindi $\restr{f}{\Im f^k}$ è iniettiva; quindi $\restr{f}{\Im f^k}$ è anche invertibile, essendo un endomorfismo. \\
\li Poiché $\restr{f}{\Ker f^k}$ è nilpotente, $p_{\restr{f}{\Ker f^k}}(\lambda)=\lambda^d$, dove
$d =\dim\Ker f^k$. Inoltre
$\varphi_{\restr{f}{\Ker f^k}}(\lambda)=\lambda^k$: se infatti $\varphi_{\restr{f}{\Ker f^k}}(\lambda)=\lambda^t$
con $t < k$, varrebbe sicuramente che ${\restr{f}{\Ker f^k}}^{k-1}=\restr{f^{k-1}}{\Ker f^k}=0$, ossia che
$\Ker f^k \subseteq\Ker f^{k-1}$, violando la minimalità di $k$, \Lightning. \\
\li Dal momento che vale la decomposizione di Fitting e che $\varphi_{\restr{f}{\Ker f^k}}$ e $\varphi_{\restr{f}{\Im f^k}}$ sono coprimi tra loro (il primo è diviso solo da $t$, mentre il secondo non è diviso da $t$), $\varphi_f =\mcm(\varphi_{\restr{f}{\Ker f^k}}, \varphi_{\restr{f}{\Im f^k}})=\varphi_{\restr{f}{\Ker f^k}}\varphi_{\restr{f}{\Im f^k}}$. Si conclude quindi che $k =\mu'_a(0)$ rispetto a $\varphi_f$, ossia la molteplicità algebrica di $0$ in
tale polinomio. Analogamente si osserva che $t =\mu_a(0)$ rispetto a $p_f$, ossia la molteplicità algebrica
\begin{remark} Riguardo alla decomposizione primaria di $V$ e agli autospazio generalizzati di $f$ si possono fare alcune osservazioni aggiuntive. \\
\li Si può riscrive la decomposizione primaria di $V$ in termini degli autospazi generalizzati di $f$ come $V =\oplus_{i=1}^m \widetilde{V_{\lambda_i}}$. \\
\li Vale in particolare che $\widetilde{V_{\lambda_i}}=\{\v\in V \mid\exists k \in\NN\mid(f-\lambda_i \Id)^k(\v)=\vec{0}\}=\bigcup_{k=0}^{\infty}\Ker(f -\lambda_i \Id)^k$, tenendo in conto la decomposizione
di Fitting e la minimalità di $n_i$. \\
\li Considerando la traslazione vista nell'ultima osservazione, si deduce che $\Ker(f -\lambda_i \Id)^{n_i}$ ammette
come unico autovalore $\lambda_i$ (separazione degli autovalori). \\
\li Poiché $f$ è diagonalizzabile se e solo se $V =\bigoplus_{i=1}^m \Ker(f -\lambda_i \Id)$, si può dedurre
un altro criterio per la diagonalizzabilità, ossia $f$ diagonalizzabile $\impliedby n_i =1$$\forall i \leq m$. \\
\li Del precedente criterio vale anche il viceversa: se $f$ è diagonalizzabile e $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ sono
i suoi autovalori, $V$ ammette una base di autovettori; dati allora gli indici $i_p$ che associano ogni vettore
$\vv p$ all'indice del suo rispettivo autovalore, allora sia
$\vv1^{(\lambda_{i_1})}$, ..., $\vv n ^{(\lambda_{i_n})}$ una base di $V$. Poiché $q(t)=\prod_{i=1}^k (t -\lambda_i)$ è tale che $q(f)$ si annulla in ogni vettore della base e ogni suo fattore lineare è composto da un autovalore di $f$ ed è distinto, deve valere che $\varphi_f = q$.
\end{remark}
\begin{exercise}
Si calcoli il polinomio minimo di $A =\Matrix{0&-2&0&-2&1\\1&1&0&2&1\\0&0&1&0&0\\0&0&0&-1&0\\1&2&0&2&0}$.
\end{exercise}
\begin{solution}
Innanzitutto, si calcola il polinomio caratteristico di $A$, ossia $p_A(t)=(1-t)^3(1+t)^2$, da cui si ricava
che gli autovalori di $A$ sono $1$ e $-1$, con $\mu_a(1)=3$ e $\mu_a(-1)=2$. Si può dunque decomporre $V$
come:
\[ V =\Ker(A - I)^3\oplus\Ker(A + I)^2, \]
\vskip 0.05in
e $\varphi_A$ sarà della forma $\varphi_A(t)=(t-1)^{n_1}(t+1)^{n_2}$ con $n_1\leq3$ e $n_2\leq2$.
\begin{enumerate}[(i)]
\item$\rg(A - I)=3\implies\dim\Ker(A - I)=2 < 3=\mu_a(-1)$. Si controlli adesso il rango di
$(A-I)^2$: $\rg(A - I)^2=2\implies\dim\Ker(A - I)^2=3=\mu_a(1)$, da cui $n_1=2$.
\item$\rg(A + I)=3\implies\dim\Ker(A + I)=2$. Allora, poiché $\dim\Ker(A + I)=2=\mu_a(-1)$,
