Un'estensione $\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{semplice}
se esiste $\alpha\in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$.
\end{definition}
\begin{remark}
Come suggerisce la definizione di $K(\alpha)$, se
$\faktor{L}{K}$ è un campo che contiene $\alpha$,
$K(\alpha)\subseteq L$.
\end{remark}
\begin{definition}[elementi algebrici e trascendenti]
Sia $\alpha\in K$. Allora $\alpha$ si dice \textbf{algebrico su $K$} se $\exists p \in K[x]$
tale per cui $p(\alpha)=0$. Se $\alpha$ non è
algebrico, si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendente}.
\end{definition}
\begin{remark}
Se $\alpha\in K$, $\alpha$ è algebrico se e solo
se $\Ker\varphi_\alpha$ è non banale. Analogamente
$\alpha$ è trascendente se e solo se $\Ker\varphi_\alpha$ è banale.
\end{remark}
\begin{remark}
Se $\alpha\in K$ è algebrico, allora $\Ker\varphi_\alpha$ è generato da un irriducibile dacché
$K[x]$ è un PID. In particolare $K[x]\quot{\Ker\varphi_\alpha}$ è un campo, e dunque, per il Primo
teorema di isomorfismo, lo è anche $K[\alpha]$.
Dal momento che $K[\alpha]\subseteq K(\alpha)$,
allora vale in questo caso che $K(\alpha)= K[\alpha]$.
\end{remark}
\begin{definition}
Sia $\alpha\in K$ algebrico su $K$. Si definisce il \textbf{polinomio minimo}
$\mu_\alpha\in K[x]$ come il generatore monico di
$\Ker\varphi_\alpha$. Per semplicità si definisce
$\deg_K \alpha$ come il grado di $\mu_\alpha$.
\end{definition}
\begin{remark}
Se $\alpha\in K$ è algebrico, allora $K[x]\quot{\Ker\varphi_\alpha}$ è uno spazio vettoriale su $K$ di
dimensione $\deg_K \alpha$. In particolare vale allora
che $[K(\alpha) : K]=[K[x]\quot{\Ker\varphi_\alpha} : K]=\deg_K \alpha$. Inoltre $\mu_\alpha$ è irriducibile su $K$ dal momento che $\Ker\varphi_\alpha$ è massimale.
\end{remark}
\begin{remark}
Se $\alpha\in K$ è trascendente, allora
$\Ker\varphi_\alpha$ è banale e dunque, per il Primo
teorema di isomorfismo, $K[x]\cong K[\alpha]$.
\end{remark}
La caratterizzazione degli elementi algebrici e trascendenti
si conclude mediante la seguente proposizione:
\begin{proposition}[caratterizzazione degli elementi algebrici e trascendenti]
Sia $\alpha\in K$. Allora $\alpha$ è algebrico su
$K$ se e solo se $[K(\alpha) : K]$ è finito.
\end{proposition}
\begin{proof}
Se $\alpha$ è algebrico, allora $[K(\alpha) : K]$
è pari a $\deg_K \alpha$. Se invece $[K(\alpha) : K]$
è pari ad $n \in\NN^+$, si considerino $1$, $\alpha$,
\ldots, $\alpha^n$. Dal momento che questi sono
$n+1$ elementi in $K(\alpha)$, devono essere
necessariamente linearmente dipendenti. Pertanto
esistono $a_0$, $a_1$, \ldots, $a_n$ tali per
cui $a_n \alpha^n +\ldots+ a_1\alpha+ a_0=0$.
Pertanto esiste un polinomio con coefficienti in $K$
che annulla $\alpha$, e dunque $\alpha$ è algebrico.
\end{proof}
A partire dalla definizione di elemento algebrico si può
anche definire la nozione di \textit{estensione algebrica}:
\begin{definition}[estensione algebrica]
Si consideri $\faktor{L}{K}$. Allora si dice che
$L$ è un'\textbf{estensione algebrica} se ogni
elemento di $L$ è algebrico su $K$.
\end{definition}
Le estensioni finite sono privilegiate in questo senso,
dal momento che sono sempre algebriche, come illustra la:
Siano $K \subseteq L \subseteq F$ campi. Allora $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita se e solo se
$\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$ sono estensioni finite. \medskip
In particolare\footnote{Si può generalizzare questa formula ad $F$ spazio vettoriale su $K$ e $L$ con $K \subseteq L$, a patto che $K$ e $L$ siano campi.}, se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita,
vale che:
\[[F : K]=[F : L][L : K]. \]
\end{theorem}
\begin{proof}
Se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita, allora a
maggior ragione $\faktor{L}{K}$ è un'estensione finita
dal momento che $L$ è un $K$-sottospazio vettoriale di
$F$, che è un $K$-spazio vettoriale. Inoltre,
anche $\faktor{F}{L}$ è un'estensione finita, dacché
una base di $\faktor{F}{K}$ è un insieme di generatori
su $\faktor{F}{L}$, dal momento che $K \subseteq L$. \medskip
Si mostra adesso che se $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$ sono estensioni finite, allora $F$ è uno spazio
finito-dimensionale su $K$ e vale che:
\[[F : K]=[F : L][L : K]. \]
Siano $[F : L]= m$ e $[L : K]= n$. Sia
$\BB_F =(f_1, \ldots, f_m)$ una base
di $F$ su $L$, e sia $\BB_L =(l_1, \ldots, l_n)$ una
base di $L$ su $K$. \\
Si dimostra che la seguente è una base di $F$ su $K$:
