Fissato un origine $O$ dello spazio affine, si possono sempre considerare due
bigezioni:
\begin{itemize}
\item La bigezione $i_O : E \to V$ tale che $i(P)= P - O \in V$,
\item La bigezione $j_O : V \to E$ tale che $j(\v)= O +\v\in E$.
\end{itemize}
Si osserva inoltre che $i_O$ e $j_O$ sono l'una la funzione inversa dell'altra.
Dato uno spazio vettoriale $V$ su $\KK$ di dimensione $n$, si può considerare $V$ stesso
come uno spazio affine, denotato con le usuali operazioni:
\begin{enumerate}[(a)]
\item$\v+\w$, dove $\v\in V$ è inteso come $\mathit{punto}$ di $V$ e $\w\in W$ come
il vettore che viene applicato su $\w$, coincide con la somma tra $\v$ e $\w$ (e analogamente
$\w-\v$ è esattamente $\w-\v$).
\item Le bigezioni considerate inizialmente sono in particolare due mappe tali che
$i_{\vv0}(\v)=\v-\vv0$ e che $j_{\vv0}(\v)=\vv0+\v$.
\end{enumerate}
\begin{definition} [spazio affine standard]
Si denota con $\AnK$ lo \textbf{spazio affine standard} costruito sullo spazio vettoriale
$\KK^n$. Analogamente si indica con $A_V$ lo spazio affine costruito su uno spazio
vettoriale $V$.
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li Una combinazione affine di $A_V$ è in particolare una combinazione lineare di $V$. Infatti,
se $\v=\sum_{i=1}^n \lambda_i \vv i$ con $\sum_{i=1}^n \lambda_i =1$, allora, fissato
$\vv0\in V$, $\v=\vv0+\sum_{i=1}^n \lambda_i (\vv i -\vv0)=\vv0+\sum_{i=1}^n \lambda_i \vv i -\vv0=\sum_{i=1}^n \lambda_i \vv i$.
\li Come vi è una bigezione data dal passaggio alle coordinate da $V$ a $\KK^n$, scelta una base
$\basis$ di $V$ e un punto $O$ di $E$, vi è anche una bigezione $\varphi_{O, \basis}$ da $E$ a $\AnK$ data
dalla seguente costruzione:
\[\varphi_{O, \basis}(P)=[P-O]_\basis. \]
\end{remark}
\begin{proposition}
Sia $D \subseteq E$. Allora $D$ è un sottospazio affine di $E$$\iff$ fissato $P_0\in D$, l'insieme
$D_0=\{ P - P_0\mid P \in D \}\subseteq V$ è un sottospazio vettoriale di $V$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
\rightproof Siano $\vv1$, ..., $\vv k \in D_0$. Allora, per definizione, esistono $P_1$, ...,
$P_k \in D$ tali che $\vv i = P_i - P_0$$\forall1\leq i \leq k$. Siano $\lambda_1$, ...,
$\lambda_k \in\KK$. Sia inoltre $P = P_0+\sum_{i=1}^k \lambda_i \vv i \in E$. Sia infine
$O \in D$. Allora $P = O +(P_0- O)+\sum_{i=1}^k \lambda_i \vv i = O +(P_0- O)+\sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - O + O - P_0)= O +(P_0- O)+\sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - O)-\sum_{i=1}^k \lambda_i (P_0- O)=
O + (1-\sum_{i=1}^k \lambda_i) (P_0 - O) + \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - O)$. In particolare $P$
è una combinazione affine di $P_1$, ..., $P_k \in D$, e quindi, per ipotesi, appartiene a $D$. Allora
$P - P_0=\sum_{i=1}^k \lambda_i \vv i \in D_0$. Poiché allora $D_0$ è chiuso per combinazioni lineari,
$D_0$ è un sottospazio vettoriale di $V$. \\
\leftproof Sia $P =\sum_{i=1}^k \lambda_i P_i$ con $\sum_{i=1}^k \lambda_i =1$, con $P_1$, ..., $P_k \in D$ e
$\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in\KK$. Allora $P - P_0=\sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - P_0)\in D_0$ per ipotesi, essendo combinazione lineare di elementi di $D_0$. Pertanto, poiché esiste un solo punto $P'$
tale che $P' = P_0+\sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - P_0)$, affinché $\sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - P_0)$
appartenga a $D_0$, deve valere anche che $P \in D$. Si conclude quindi che $D$ è un sottospazio
affine, essendo chiuso per combinazioni affini.
\end{proof}
\begin{remark}Sia $D$ un sottospazio affine di $E$. \\
\li Vale la seguente identità $D_0=\{ P - Q \mid P, Q \in D \}$. Sia infatti $A =\{ P - Q \mid P, Q \in D \}$. Chiaramente $D_0\subseteq A$.
Inoltre, se $P-Q \in A$, $P-Q =(P-P_0)-(Q-P_0)$. Pertanto, essendo $P-Q$ combinazione lineari di elementi
di $D_0$, ed essendo $D_0$ spazio vettoriale per la proposizione precedente, $P-Q \in D_0\implies A \subseteq D_0$, da cui si conclude che $D_0= A$. \\
\li Pertanto $D_0$ è unico, a prescindere dalla scelta di $P_0\in D$. \\
\li Vale che $D = P_0+ D_0$, ossia $D$ è il traslato di $D$ mediante il punto $P_0$.
\end{remark}
\begin{definition} [direzione di un sottospazio affine]
Dal momento che la scrittura di $P_i$ è unica per ipotesi, $\lambda_j =0$$\forall1\leq j \leq k$ con $j \neq i$, e dunque l'insieme di vettori $\{ P_j - P_i \mid1\leq j \leq k, j \neq i \}$ è linearmente
indipendente, per cui (ii) \mbox{$\implies$} (iii). Analogamente si deduce anche che (iii) \mbox{$\implies$} (i) e che (iii) \mbox{$\implies$} (iv). Pertanto (i) \mbox{$\iff$} (ii) \mbox{$\iff$} (iii). \\
Si assuma ora l'ipotesi (iv) e sia $t \in\NN^+\mid1\leq t \leq k$ tale che $t \neq i$. Siano
dunque $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$, con $\lambda_t$ escluso, tale che:
\begin{definition} [riferimento affine] Sia $D \subseteq E$ un sottospazio affine di $E$ di dimensione $k-1$.
Siano i punti $P_1$, ..., $P_k$ dei punti affinemente indipendenti. Allora
si dice che tali punti formano un \textbf{riferimento affine} di $D$.
\end{definition}
\begin{definition} [coordinate affini] Sia $D \subseteq E$ un sottospazio affine di $E$ di dimensione $k-1$
e siano i punti $P_1$, ..., $P_k$ un riferimento affine $R$ di $D$. Allora, se $P =\lambda_1 P_1+\ldots+\lambda_k P_k \in D$ con $\lambda_1+\ldots+\lambda_k =1$, si dice che le \textbf{coordinate affine}
di $P$ sono rappresentate dal punto $[P]_\basis$, dove:
\li Esiste sempre un riferimento affine di un sottospazio affine $D$ di $E$. Infatti, dato un punto $P_1$
di $E$, e una base $\basis=\{\vv1, \ldots, \vv k\}$ della direzione $D_0$, i punti $P_1$, $P_1+\vv1$, ...,
$P_1+\vv k$ formano un riferimento affine. \\
\li Dalla definizione sopra si deduce che, scelto un riferimento affine $R$, esiste una mappa iniettiva $[\cdot]_R : D \to\AnK$, dove l'immagine di $P$ mediante $[\cdot]_R$ è esattamente il vettore
Poiché i punti $P_1$, ..., $P_k$ sono affinemente indipendenti, per la proposizione precedente,
allora i vettori $P_2- P_1$, ..., $P_k - P_1$ sono linearmente indipendenti, per cui $\lambda_2=\cdots=\lambda_k =0$. Pertanto anche $\lambda_1=0$, e quindi i vettori $\hat P_1$, ..., $\hat P_k$ sono
linearmente indipendenti. \\
\leftproof Siano $\lambda_2$, ..., $\lambda_k \in\KK$ tali che
$\lambda_2(P_2- P_1)+\ldots+\lambda_k (P_k - P_1)=0$. Sia allora
$\lambda_1=-\lambda_2+\ldots-\lambda_k$. Si osserva dunque
che $\lambda_1+\ldots+\lambda_k =0$ e che $\lambda_1 P_1+\ldots+\lambda_k P_k =0$,
da cui si deduce che $\lambda_1\hat P_1+\ldots+\lambda_k \hat P_k =0$. Dal momento
però che $\hat P_1$, ..., $\hat P_k$ sono linearmente indipendenti, $\lambda_2=\cdots=\lambda_k =0$,
Data un'applicazione lineare $g$ da $V$ in $V'$ e dati $O \in E$, $O' \in E$, si può sempre costruire un'applicazione affine $\varphi$ tale che $\varphi(P)= O' + g(P - O)$. Infatti, se $\sum_{i=1}^n \lambda_i =1$,
