\begin{example} Si possono individuare facilmente alcune orbite per alcune azioni classiche.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Se $G =\GL(n, \KK)$ è il gruppo delle matrici invertibili su $\KK$ di taglia $n$ rispetto
all'operazione di moltiplicazione matriciale, $G$ opera naturalmente su $M(n, \KK)$ tramite
la similitudine, ossia $G$ agisce in modo tale che $P \cdot M = P M P\inv$$\forall P \in\GL(n, \KK)$,
$M \in M(n, \KK)$. In particolare, data $M \in M(n, \KK)$, $\Orb(M)$ coincide esattamente
con la classe di similitudine di $M$.
\item Se $G =\GL(n, \KK)$, $G$ opera naturalmente anche su $\Sym(n, \KK)$
tramite la congruenza, ossia tramite la mappa $(P, A)\mapsto P^\top A P$. L'orbita $\Orb(A)$ è la classe di congruenza delle matrice simmetria $A \in\Sym(n, \KK)$. Analogamente si può costruire un'azione per le
\item Se $G = O_n$, il gruppo delle matrici ortogonali di taglia $n$ su $\KK$, $G$ opera su $\RR^n$ tramite la mappa $O \cdot\vec v \mapsto O \vec v$. L'orbita $\Orb(\vec v)$ è in particolare la sfera $n$-dimensionale di raggio $\norm{x}$.
Sia $\tau$ l'applicazione da $G/\Stab(x)$ a $\Orb(x)$ tale
che $\tau(g\Stab(x))= g \cdot x$. Si dimostra innanzitutto che $\tau$ è
ben definita. Sia infatti $g' = g s \in G$, con $g \in G$ e $s \in\Stab(x)$, allora $\tau(g' \Stab(x))= g' \cdot x = g \cdot(s \cdot x)= g \cdot x =\tau(g \Stab(x))$, per cui $\tau$ è ben definita. \\
Chiaramente $\tau$ è surgettiva: sia infatti $y \in\Orb(x)$, allora
$\exists g \in G \mid g \cdot x = y \implies\tau(g \Stab(x))= g \cdot x = y$. Siano ora $g$, $g' \in G$ tali che $\tau(g \Stab(x))=\tau(g' \Stab(x))$, allora $g \cdot x = g' \cdot x \implies(g' g\inv)\cdot x = x \implies g' g\inv\in\Stab(x)$. Pertanto $g \Stab(x)= g' \Stab(x)$, e $\tau$ è allora iniettiva, da cui la tesi.
\item$O_n$ opera sulla sfera $n$-dimensione di $\RR^n$ transitivamente. In particolare, si può trovare un'analogia per lo stabilizzatore di una coordinata di un vettore $\v$ di $\RR^n$.
Per esempio, se si vuole fissare il vettore $\e n$,
$\forall O \in\Stab(\e n)$ deve valere che $O \e n =\e n$,
ossia l'ultima colonna di $O$ deve essere esattamente
$\e n$. Dal momento però che $O$ è ortogonale, le sue
colonne devono formare una base ortonormale di $\RR^n$,
e quindi tutta l'ultima riga di $O$, eccetto per il suo
ultimo elemento, deve essere nulla. Allora $O$ deve
essere della seguente forma:
\[ O =\Matrix{A &\rvline&0\\\hline0&\rvline&1}, \]
\vskip 0.05in
dove $A \in M(n-1, \RR)$. Affinché allora $O$ sia ortogonale,
anche $A$ deve esserlo. Pertanto vi è una bigezione tra
\item Sia $\Gr_k(\RR^n)=\{ W \subseteq\RR^n \mid\dim W = k \}$, detto la Grassmanniana di $\RR^n$ di ordine $k$. $O_n$ opera transitivamente su $\Gr_K(\RR^n)$.