diff --git a/Fisica I/2023-03-29/main.pdf b/Fisica I/2023-03-29/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..569f92e Binary files /dev/null and b/Fisica I/2023-03-29/main.pdf differ diff --git a/Fisica I/2023-03-29/main.tex b/Fisica I/2023-03-29/main.tex new file mode 100644 index 0000000..27a1b93 --- /dev/null +++ b/Fisica I/2023-03-29/main.tex @@ -0,0 +1,45 @@ +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage[physics]{personal_commands} +\usepackage[italian]{babel} + +\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}} +\author{Gabriel Antonio Videtta} +\date{\today} + +\begin{document} + + \maketitle + + \begin{center} + \Large \textbf{Esempi di forze conservative} + \end{center} + + Un esempio notevole di forza conservativa è quello della + forza elastica $\vec f = -k \vec r$. Sia infatti $\vec f = (f_x, f_y, f_z)$. + Allora $L_{\gamma(A, B)} = \int_{\gamma(A, B)} \vec f \cdot d\vec r = + \int_{x_A}^{x_B} f_x dx + \int_{y_A}^{y_B} f_y dy + \int_{z_A}^{z_B} f_z dz = + -k (\int_{x_A}^{x_B} x dx + \int_{y_A}^{y_B} y dy + \int_{z_A}^{z_B} z dz) = + -\frac{k}{2} (\norm{B}^2 - \norm{A}^2)$, ossia non dipende dalla traiettoria + $\gamma$. Si ricava allora che $U(x) = \frac{k}{2} x ^2$, nel caso + unidimensionale. + + %TODO: recuperare lezione. + + \begin{definition} (impulso di una forza) + Si definisce \textbf{impulso di una forza} l'integrale + $\vec I(t_1, t_2) = \int_{t_1}^{t_2} \vec F(t) dt$. + \end{definition} + + Sia $\vec F = \sum_{i=1}^N \vec F_i$. Allora $\vec I(t_1, t_2) = + \sum_{i=1}^N \vec I_i(t_1, t_2)$, dove $\vec I_i$ è calcolato su $\vec F_i$. + + \begin{theorem} (dell'impulso) + Vale l'identità $\vec I(t_1, t_2) = \vec P(t_2) - \vec P(t_1) = \Delta \vec P$. + \end{theorem} + + \begin{definition} (momento di un vettore applicato) + Si definisce \textbf{momento di un vettore} $\vec v$ dal polo + $\omega$ sul punto applicato $A$ con vettore $\vec r$ il + vettore perpendicolare ad ambo i vettori $\vec r \times \vec v$. + \end{definition} +\end{document} diff --git a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..a38f9b9 Binary files /dev/null and b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.pdf differ diff --git a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.tex b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex similarity index 51% rename from Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.tex rename to Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex index 0d52a80..517bdaf 100644 --- a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.tex +++ b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27, Proprietà e teoremi principali sul prodotto scalare/main.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}} \author{Gabriel Antonio Videtta} -\date{27 marzo 2023} +\date{27 e 28 marzo 2023} \begin{document} @@ -82,5 +82,84 @@ è nulla, e quindi il prodotto scalare è nullo per la proposizione precedente. \end{proof} - %TODO: aggiungere teorema di Sylvester complesso e reale. + \begin{theorem} (di Sylvester, caso complesso) + Sia $\KK$ un campo i cui elementi sono tutti quadrati di un + altro elemento del campo (e.g.~$\CC$). Allora esiste una base + ortogonale $\basis$ tale per cui: + + \[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_r & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0\,}. \] + \end{theorem} + + \begin{proof} + Per il teorema di Lagrange, esiste una base ortogonale $\basis'$ di $V$. + Si riordini la base in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia sempre diversa da zero. Allora, poiché ogni + elemento di $\KK$ è per ipotesi quadrato di un altro elemento + di $\KK$, si sostituisca $\basis'$ con una base $\basis$ tale per + cui, se $q(\vv i) = 0$, $\vv i \mapsto \vv i$, e altrimenti + $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$. Allora $\basis'$ + è una base tale per cui la matrice associata del prodotto scalare + in tale base è proprio come desiderata nella tesi, dove $r$ è + il numero di elementi tali per cui la forma quadratica valutata + in essi sia diversa da zero. + \end{proof} + + \begin{remark} + Si possono effettuare alcune considerazioni sul teorema di Sylvester + complesso. \\ + + \li Si può immediatamente concludere che il rango è un invariante + completo per la congruenza in un campo in cui tutti gli elementi + sono quadrati, ossia che $A \cong B \iff \rg(A) = \rg(B)$: infatti + ogni matrice simmetrica rappresenta una prodotto scalare, ed è + pertanto congruente ad una matrice della forma desiderata + nell'enunciato del teorema di Sylvester complesso. Poiché il rango + è un invariante della congruenza, si ricava che $r$ nella forma + della matrice di Sylvester, rappresentando il rango, è anche + il rango di ogni sua matrice congruente. In particolare, se due + matrici simmetriche hanno stesso rango, allora sono congruenti + alla stessa matrice di Sylvester, e quindi, essendo la congruenza + una relazione di congruenza, sono congruenti a loro volta. \\ + \li Due matrici simmetriche con stesso rango, allora, non solo + sono SD-equivalenti, ma sono anche congruenti. + \li Ogni base ortogonale deve quindi avere lo stesso numero + di elementi nulli. + \end{remark} + + \begin{theorem} (di Sylvester, caso reale) Sia $\KK$ un campo ordinato + i cui elementi positivi sono tutti quadrati (e.g.~$\RR$). Allora + esiste una base ortogonale $\basis$ tale per cui: + + \[ M_\basis(\varphi) = \Matrix{I_{i_+} & \rvline & 0 & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & -I_{i_-} & \rvline & 0 \\ \hline 0 & \rvline & 0 & \rvline & 0\cdot I_{i_0} }. \] + \end{theorem} + + \begin{proof} + Per il teorema di Lagrange, esiste una base ortogonale $\basis'$ di $V$. + Si riordini la base in modo tale che la forma quadratica valutata nei primi elementi sia strettamente positiva, che nei secondi elementi sia strettamente negativa e che negli ultimi sia nulla. Si sostituisca + $\basis'$ con una base $\basis$ tale per cui, se $q(\vv i) > 0$, + allora $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{q(\vv i)}}$; se + $q(\vv i) < 0$, allora $\vv i \mapsto \frac{\vv i}{\sqrt{-q(\vv i)}}$; + altrimenti $\vv i \mapsto \vv i$. Si è allora trovata una base + la cui matrice associata del prodotto scalare è come desiderata nella + tesi, dove $i_+$ è il numero di elementi della base la cui forma + quadratica è positiva, $i_-$ il numero di elementi cui tale forma sia + negativa e $i_0$ il numeri degli elementi cui tale forma sia nulla. + \end{proof} + + \begin{definition} + Si definisce \textbf{segnatura} di un prodotto scalare + la terna $(i_+, i_-, i_0)$, come vista nella dimostrazione + del teorema di Sylvester reale. + \end{definition} + + \begin{remark} Riguardo alla segnatura e al caso reale del teorema + di Sylvester possono essere fatte alcune considerazioni. \\ + + \li La segnatura è un invariante completo per la congruenza nel caso reale. Se infatti due matrici hanno la stessa segnatura, sono + entrambe congruenti alla matrice come vista nella dimostrazione + della forma reale del teorema di Sylvester, e quindi, essendo + la congruenza una relazione di equivalenza, sono congruenti + tra loro. + + %TODO: completare spiegazione. + \end{remark} \end{document} diff --git a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.pdf b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.pdf deleted file mode 100644 index 741949d..0000000 Binary files a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-27/main.pdf and /dev/null differ diff --git a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-29/main.pdf b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-29/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..ba5c883 Binary files /dev/null and b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-29/main.pdf differ diff --git a/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-29/main.tex b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-29/main.tex new file mode 100644 index 0000000..6e18020 --- /dev/null +++ b/Geometria I/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-29/main.tex @@ -0,0 +1,110 @@ +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage{personal_commands} +\usepackage[italian]{babel} + +\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}} +\author{Gabriel Antonio Videtta} +\date{\today} + +\begin{document} + + \maketitle + + \begin{center} + \Large \textbf{Esercitazione: computo della basi di Jordan} + \end{center} + + \begin{example} + Sia $A = \Matrix{0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2}$ e se ne ricerchi + la forma canonica di Jordan e una base in cui assume tale base. \\ + + Si noti che $A^2 = \Matrix{0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0}$, e quindi + che $A^3 = 0$. Allora $\varphi_A(t) = t^3$ e $p_A(t) = t^5$. \\ + + Poiché $A$ ha ordine di nilpotenza $3$, la sua forma canonica + di Jordan ammette sicuramente un solo blocco + di ordine $3$. Inoltre, $\dim \Ker A = 3$, e quindi + devono esservi obbligatoriamente $2$ blocchi di ordine $1$. + Pertanto la sua forma canonica è la seguente: + + \[ J=\Matrix{0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}. \] + + \vskip 0.05in + + Si consideri l'identità $\RR^5 = \Ker A^3 = \Ker A^2 \oplus U_1$. + Poiché $\dim \Ker A^2 = 4$, vale che $\dim U_1 = \dim \Ker A^3 + - \dim \Ker A^2 = 1$. Dacché $\e3$ si annulla solo con $A^3$, + $U_1 = \Span(\e3)$. \\ + + Si consideri invece ora $\Ker A^2 = \Ker A \oplus A(U_1) \oplus U_2$. + Si osservi che $\dim U_2$ è il numero dei blocchi di Jordan di + ordine $2$, e quindi è $0$. Si deve allora considerare $\Ker A = + A^2(U_1) \oplus U_3$, dove $\dim U_3 = 2$. Si osservi anche che $A^2(\e3) = \e1-\e2-\e3+\e4$: è sufficiente trovare due vettori + linearmente indipendenti appartenenti al kernel di $A$, ma non + nello $\Span$ di $A^2(\e3)$; come per esempio $\e2-\e4$ e $2\e2-\e5$. + Allora $U_3 = \Span(\e2-\e4, 2\e2-\e5)$. Una base di Jordan per $A$ + sarà allora $(A^2 \e3, A \e3, \e3, \e2-\e4, 2\e2-\e5)$. + \end{example} + + \begin{example} + Sia $A = \Matrix{2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1}$, e se ne calcoli la forma canonica di Jordan. \\ + + Si osserva che $p_A(t) = (1-t)^3 (2-t)^2$, e quindi + $\RR^5 = \Ker (A - I)^3 \oplus \Ker (A - 2I)^2$. \\ + + ($\lambda = 1$) $\dim \Ker (A - I) = 2$, quindi ci sono due blocchi + relativi all'autovalore $1$, uno di ordine $1$ e uno di ordine $2$. \\ + + ($\lambda = 2$) $\dim \Ker (A - 2I) = 2$, quindi ci sono due blocchi + relativi all'autovalore $2$, entrambi di ordine $1$. \\ + + Quindi la forma canonica di $A$ è la seguente: + + \[ J = \Matrix{1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 }, \] + + da cui si ottiene anche che $p_A(t) = (t-2)^2 (t-2)$. Si calcola + ora una base di Jordan per $A$. \\ + + Sia $\Ker (A - I)^2 = \Ker (A - I) \oplus U_1$. $\dim U_1 = 1$, + e poiché $\e5 \in \Ker (A - I)^2$, ma $\e5 \notin \Ker (A-I)$, + vale che $U_1 = \Span(\e5)$. \\ + + Sia ora invece $\Ker (A - I) = g(U_1) \oplus U_2$, dove + $\dim U_2 = 1$. Dacché $\e5+\e1-\e3 \in \Ker (A-I)$, ma + non appartiene a $\Span(A \e5)$, si ottiene che una base + relativa al blocco di $1$ è $A \e5, \e5, \e5+\e1-\e3$. + + Per quanto riguarda invee il blocco relativo a $2$, essendo + tale blocco diagonale, è sufficiente ricavare una base + di $\Ker (A-2I)$, come $\e4$ e $\e1 + \e3$. + \end{example} + + \begin{definition} (centralizzatore di una matrice) + Si definisce \textbf{centralizzatore di una matrice} $A \in M(n, \KK)$ + l'insieme: + + \[ C(A) = \{ B \in M(n, \KK) \mid AB = BA\}, \] + + ossia l'insieme delle matrici che commutano con $A$. + \end{definition} + + \begin{proposition} + Vale l'identità $C(J_{0, m}) = \Span(I, J_{0, m}, J_{0, m}^2, ..., J_{0, m}^{m-1})$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Si osserva che $J_{0,m} B = \Matrix{B_2 \\ \hline B_3 \\ \hline \vdots \\ \hline B_{m} \\ \hline 0}$, mentre $B J_{0,m} = \Matrix{0 & \rvline & B^1 & \rvline & B^2 & \rvline & \cdots & \rvline & B^{m-1} }$. + \end{proof} + + \begin{remark} + Sul centralizzatore di una matrice ed il suo rapporto con la + similitudine si possono fare alcune considerazioni. \\ + + \li $A \sim B \implies \dim C(A) = \dim C(B)$: infatti, se + $A = PBP\inv$, $AC = CA \implies PBP\inv C = C PBP\inv \implies + BP\inv C=P\inv C P B P\inv \implies B (P\inv C P) = (P\inv C P) B$, + e quindi il coniugio fornisce un isomorfismo tra i due + centralizzatori. + \end{remark} + +\end{document}