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@ -247,7 +247,7 @@
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Segue immediatamente dal Lemma \ref{lem:formula_operatore_forma}.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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\begin{proposition} \label{prop:formula_forme}
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Scelta una parametrizzazione $\vec{x}$ di $P$, le rappresentazioni
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matriciali di $\I_P$, $\II_P$ e $S_P$ rispetto a $\vec{x}$ soddisfano
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la seguente relazione:
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@ -255,7 +255,7 @@
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\boxed{\II_P = \I_P \cdot S_P.}
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\]
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In particolare vale:
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\[ \boxed{\det(S_P) = \frac{\det(\II_P)}{\det(\I_P)} = \frac{\ell n - m}{EF-G^2}.} \]
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\[ \det(S_P) = \frac{\det(\II_P)}{\det(\I_P)} = \frac{\ell n - m}{EF-G^2}. \]
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\end{proposition}
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\subsection{Interpretazione geometrica della II forma fondamentale e curvatura normale}
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@ -302,8 +302,10 @@
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e quindi la quantità $\vec{n}(P) \cdot \dot{T_\alpha}(0)$ non dipende da $\alpha$. \smallskip
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Scegliendo la normale di $\pi$ in $T_P \Sigma$, $\dot{T_\alpha}(0)$ è parallelo a $\vec{n}(P)$.
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Ora possono esservi due casi:
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Ora possono esservi tre casi:
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\begin{enumerate}
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\item Se $\dot{T_\alpha}(0)$ è nullo, allora
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\[ S_w P \cdot w = \kappa_\alpha(P) = 0. \]
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\item Se $\dot{T_\alpha}(0)$ è parallelo positivamente a $\vec{n}(P)$, allora
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\[ S_w P \cdot w = \kappa_\alpha(P). \]
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\item Se $\dot{T_\alpha}(0)$ è parallelo negativamente a $\vec{n}(P)$, allora:
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@ -328,4 +330,138 @@
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in modo tale che la giacitura di $\pi \cap P + T_P \Sigma$ sia
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generata da $w$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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È immediato osservare che le curvature normali sono ``invarianti per rototraslazioni'',
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ovverosia sono le stesse nei punti e nei vettori associati.
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\end{remark}
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\subsection{Direzioni e curvature principali, formula di Eulero}
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\begin{definition}[Direzioni e curvature principali]
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Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Gli autospazi
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dell'operatore forma $S_P$ sono detti \textbf{direzioni principali in $P$},
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mentre gli autovalori sono detti \textbf{curvature principali in $P$}, e sono
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usualmente denotati come $\kappa_1$ e $\kappa_2$.
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Calcolare la curvatura normale $\kappa_n(P, v) = S_P v \cdot v$ su un $S_P$-autovettore unitario $v$ restituisce la
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curvatura principale ad esso relativo.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Poiché $S_P$ è autoaggiunto, $S_P$ è ortogonalmente diagonalizzabile,
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ovverosia esiste una base ortonormale di $T_P \Sigma$ composta da
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$S_P$-autovettori. \smallskip
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Osserviamo inoltre che le curvature principali in
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$P$ sono distinte se e solo se $S_P$ \underline{non} è un multiplo
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dell'identità.
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\end{remark}
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\begin{proposition}[Formula di Eulero]
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Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$ con $S_P$-autospazi
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distinti. Se $\{v_1, v_2\}$ è una base ortonormali di $S_P$-autovettori con
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$v_1$ relativo alla curvatura $\kappa_1$ e $v_2$ relativo a $\kappa_2$, allora
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vale la \textbf{formula di Eulero}:
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\begin{equation} \label{eq:eulero} \tag{Eulero}
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\kappa_n(P, w_\theta) = \cos(\theta)^2 \kappa_1 + \sin(\theta)^2 \kappa_2,
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\end{equation}
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dove $w_\theta \defeq \cos(\theta) \kappa_1 + \sin(\theta) \kappa_2$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Si tratta di una verifica diretta che sfrutta la definizione di
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$\kappa_n(P, w_\theta)$.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Se $\kappa_1 \leq \kappa_2$ sono
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le due curvature principali di $P$ (eventualmente coincidenti), allora
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tutte le curvature normali relative a $P$ sono contenute in $[\kappa_1, \kappa_2]$.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Segue immediatamente da \eqref{eq:eulero}.
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\end{proof}
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\subsection{Curvatura guassiana, media e classificazione di superfici e punti}
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\begin{definition}[Curvatura gaussiana]
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Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Si definisce allora
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la \textbf{curvatura gaussiana} $\kappa(P)$ nel punto $P$ come il prodotto delle
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sue curvature principali, ovverosia:
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\[
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\boxed{\kappa(P) \defeq \kappa_1 \cdot \kappa_2 = \det(S_P).}
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\]
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\end{definition}
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\begin{proposition}[Formula per la curvatura gaussiana]
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Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Vale allora la seguente formula:
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\[
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\boxed{\kappa(P) = \frac{\ell n - m}{EG - F^2}.}
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\]
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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Segue direttamente dalla Proposizione $\ref{prop:formula_forme}$.
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\end{proof}
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\begin{proposition}[Curvatura media]
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Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Si definisce allora
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la \textbf{curvatura media} $H(p)$ nel punto $P$ come la media delle sue
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curvature principali, ovverosia:
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\[
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\boxed{H(P) \defeq \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2} = \frac{1}{2} \tr(S_P).}
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\]
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|
\end{proposition}
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\begin{remark}
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La curvatura gaussiana rimane invariata cambiando la "normale locale" presa, mentre
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quella media può cambiare al massimo di segno. In particolare, che
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una delle due sia nulla è invariante per cambio di parametrizzazione locale.
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\end{remark}
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\begin{definition}[Superfici piatte e minimi]
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Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Una superficie
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si dice \textbf{piatta} se $K \equiv 0$ su tutta $\Sigma$, e
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\textbf{minima} se invece $H \equiv 0$.
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\end{definition}
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\fbox{%
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|
\parbox{0.95\linewidth}{%
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|
\begin{definition}[Punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari]
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Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Allora $P$ si dice:
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\begin{itemize}
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\item \textbf{ellittico}: se $\kappa(P) > 0$ (tutte le curvature normali sono concordi),
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\item \textbf{iperbolico}: se $\kappa(P) < 0$ (esistono curvature normali discordi),
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\item \textbf{parabolico}: se $\kappa(P) = 0$, ma $S_P \neq 0$ (tutte le curvature normali sono concordi, e ne esiste una nulla),
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\item \textbf{planare}: se $S_P = 0$ (tutte le curvature normali sono nulle).
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\end{itemize}
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\end{definition}
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}%
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|
}
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\begin{proposition}
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Sia $\Sigma \subseteq \RR^3$ una superficie compatta non vuota. Allora
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$\Sigma$ ammette un punto ellittico.
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\end{proposition}
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\begin{proof}
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È sufficiente studiare localmente un punto di norma massima di $\Sigma$ e
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mostrare che in tal punto la curvatura gaussiana è positiva.
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\end{proof}
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\begin{proposition}
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Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. \smallskip
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Se $P$ è un punto ellittico, allora esiste un intorno di $P$ su
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$\Sigma$ contenuto interamente in uno dei due semispazi indotti
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dal taglio di $\RR^3$ tramite $T_P \Sigma$. \smallskip
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Se $P$ è iperbolico, allora un tale intorno invece \underline{non}
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può esistere.
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\end{proposition}
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%TODO: idea di dimostrazione?
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\end{multicols*}
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