g.videtta/notes
1
0
Fork 0
mirror of https://github.com/hearot/notes synced 2026-10-07 07:14:50 +00:00
Code Issues Activity

chore: rinomina le cartelle

Browse Source
This commit is contained in:
g.videtta
2023-03-31 21:28:03 +02:00
parent 52cea41117
commit 0ac2f2f3e3
50 changed files with 0 additions and 0 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files
Analisi matematica 1/Calculus/Classificazione di funzioni.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
Analisi matematica 1/Calculus/Eq. differenziali.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
Analisi matematica 1/Calculus/Introduzione agli integrali.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
Analisi matematica 1/Calculus/Polinomi di Taylor.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
Analisi matematica 1/Calculus/Punti notevoli di Taylor.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
Analisi matematica 1/Esercitazioni/Es. sui punti notevoli.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
Analisi matematica 1/Esercitazioni/Es. sulle parti principali.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-17, Successioni per ricorrenza/esempio.eps
+812
View File
@@ -0,0 +1,812 @@
%!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0
%%Creator: (MATLAB, The Mathworks, Inc. Version 9.12.0.2009381 \(R2022a\) Update 4. Operating System: Windows 10)
%%Title: ./epsFig.eps
%%CreationDate: 2023-03-17T19:48:10
%%Pages: (atend)
%%BoundingBox: 25 19 381 293
%%LanguageLevel: 3
%%EndComments
%%BeginProlog
%%BeginResource: procset (Apache XML Graphics Std ProcSet) 1.2 0
%%Version: 1.2 0
%%Copyright: (Copyright 2001-2003,2010 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
/bd{bind def}bind def
/ld{load def}bd
/GR/grestore ld
/GS/gsave ld
/RM/rmoveto ld
/C/curveto ld
/t/show ld
/L/lineto ld
/ML/setmiterlimit ld
/CT/concat ld
/f/fill ld
/N/newpath ld
/S/stroke ld
/CC/setcmykcolor ld
/A/ashow ld
/cp/closepath ld
/RC/setrgbcolor ld
/LJ/setlinejoin ld
/GC/setgray ld
/LW/setlinewidth ld
/M/moveto ld
/re {4 2 roll M
1 index 0 rlineto
0 exch rlineto
neg 0 rlineto
cp } bd
/_ctm matrix def
/_tm matrix def
/BT { _ctm currentmatrix pop matrix _tm copy pop 0 0 moveto } bd
/ET { _ctm setmatrix } bd
/iTm { _ctm setmatrix _tm concat } bd
/Tm { _tm astore pop iTm 0 0 moveto } bd
/ux 0.0 def
/uy 0.0 def
/F {
/Tp exch def
/Tf exch def
Tf findfont Tp scalefont setfont
/cf Tf def /cs Tp def
} bd
/ULS {currentpoint /uy exch def /ux exch def} bd
/ULE {
/Tcx currentpoint pop def
gsave
newpath
cf findfont cs scalefont dup
/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
ux uy To add moveto Tcx uy To add lineto
Tt setlinewidth stroke
grestore
} bd
/OLE {
/Tcx currentpoint pop def
gsave
newpath
cf findfont cs scalefont dup
/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
ux uy To add cs add moveto Tcx uy To add cs add lineto
Tt setlinewidth stroke
grestore
} bd
/SOE {
/Tcx currentpoint pop def
gsave
newpath
cf findfont cs scalefont dup
/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
ux uy To add cs 10 mul 26 idiv add moveto Tcx uy To add cs 10 mul 26 idiv add lineto
Tt setlinewidth stroke
grestore
} bd
/QT {
/Y22 exch store
/X22 exch store
/Y21 exch store
/X21 exch store
currentpoint
/Y21 load 2 mul add 3 div exch
/X21 load 2 mul add 3 div exch
/X21 load 2 mul /X22 load add 3 div
/Y21 load 2 mul /Y22 load add 3 div
/X22 load /Y22 load curveto
} bd
/SSPD {
dup length /d exch dict def
{
/v exch def
/k exch def
currentpagedevice k known {
/cpdv currentpagedevice k get def
v cpdv ne {
/upd false def
/nullv v type /nulltype eq def
/nullcpdv cpdv type /nulltype eq def
nullv nullcpdv or
{
/upd true def
} {
/sametype v type cpdv type eq def
sametype {
v type /arraytype eq {
/vlen v length def
/cpdvlen cpdv length def
vlen cpdvlen eq {
0 1 vlen 1 sub {
/i exch def
/obj v i get def
/cpdobj cpdv i get def
obj cpdobj ne {
/upd true def
exit
} if
} for
} {
/upd true def
} ifelse
} {
v type /dicttype eq {
v {
/dv exch def
/dk exch def
/cpddv cpdv dk get def
dv cpddv ne {
/upd true def
exit
} if
} forall
} {
/upd true def
} ifelse
} ifelse
} if
} ifelse
upd true eq {
d k v put
} if
} if
} if
} forall
d length 0 gt {
d setpagedevice
} if
} bd
/RE { % /NewFontName [NewEncodingArray] /FontName RE -
findfont dup length dict begin
{
1 index /FID ne
{def} {pop pop} ifelse
} forall
/Encoding exch def
/FontName 1 index def
currentdict definefont pop
end
} bind def
%%EndResource
%%BeginResource: procset (Apache XML Graphics EPS ProcSet) 1.0 0
%%Version: 1.0 0
%%Copyright: (Copyright 2002-2003 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
/BeginEPSF { %def
/b4_Inc_state save def % Save state for cleanup
/dict_count countdictstack def % Count objects on dict stack
/op_count count 1 sub def % Count objects on operand stack
userdict begin % Push userdict on dict stack
/showpage { } def % Redefine showpage, { } = null proc
0 setgray 0 setlinecap % Prepare graphics state
1 setlinewidth 0 setlinejoin
10 setmiterlimit [ ] 0 setdash newpath
/languagelevel where % If level not equal to 1 then
{pop languagelevel % set strokeadjust and
1 ne % overprint to their defaults.
{false setstrokeadjust false setoverprint
} if
} if
} bd
/EndEPSF { %def
count op_count sub {pop} repeat % Clean up stacks
countdictstack dict_count sub {end} repeat
b4_Inc_state restore
} bd
%%EndResource
%FOPBeginFontDict
%%IncludeResource: font Courier-Oblique
%%IncludeResource: font Courier-BoldOblique
%%IncludeResource: font Courier-Bold
%%IncludeResource: font ZapfDingbats
%%IncludeResource: font Symbol
%%IncludeResource: font Helvetica
%%IncludeResource: font Helvetica-Oblique
%%IncludeResource: font Helvetica-Bold
%%IncludeResource: font Helvetica-BoldOblique
%%IncludeResource: font Times-Roman
%%IncludeResource: font Times-Italic
%%IncludeResource: font Times-Bold
%%IncludeResource: font Times-BoldItalic
%%IncludeResource: font Courier
%FOPEndFontDict
%%BeginResource: encoding WinAnsiEncoding
/WinAnsiEncoding [
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
/.notdef /.notdef /space /exclam /quotedbl
/numbersign /dollar /percent /ampersand /quotesingle
/parenleft /parenright /asterisk /plus /comma
/hyphen /period /slash /zero /one
/two /three /four /five /six
/seven /eight /nine /colon /semicolon
/less /equal /greater /question /at
/A /B /C /D /E
/F /G /H /I /J
/K /L /M /N /O
/P /Q /R /S /T
/U /V /W /X /Y
/Z /bracketleft /backslash /bracketright /asciicircum
/underscore /quoteleft /a /b /c
/d /e /f /g /h
/i /j /k /l /m
/n /o /p /q /r
/s /t /u /v /w
/x /y /z /braceleft /bar
/braceright /asciitilde /bullet /Euro /bullet
/quotesinglbase /florin /quotedblbase /ellipsis /dagger
/daggerdbl /circumflex /perthousand /Scaron /guilsinglleft
/OE /bullet /Zcaron /bullet /bullet
/quoteleft /quoteright /quotedblleft /quotedblright /bullet
/endash /emdash /asciitilde /trademark /scaron
/guilsinglright /oe /bullet /zcaron /Ydieresis
/space /exclamdown /cent /sterling /currency
/yen /brokenbar /section /dieresis /copyright
/ordfeminine /guillemotleft /logicalnot /sfthyphen /registered
/macron /degree /plusminus /twosuperior /threesuperior
/acute /mu /paragraph /middot /cedilla
/onesuperior /ordmasculine /guillemotright /onequarter /onehalf
/threequarters /questiondown /Agrave /Aacute /Acircumflex
/Atilde /Adieresis /Aring /AE /Ccedilla
/Egrave /Eacute /Ecircumflex /Edieresis /Igrave
/Iacute /Icircumflex /Idieresis /Eth /Ntilde
/Ograve /Oacute /Ocircumflex /Otilde /Odieresis
/multiply /Oslash /Ugrave /Uacute /Ucircumflex
/Udieresis /Yacute /Thorn /germandbls /agrave
/aacute /acircumflex /atilde /adieresis /aring
/ae /ccedilla /egrave /eacute /ecircumflex
/edieresis /igrave /iacute /icircumflex /idieresis
/eth /ntilde /ograve /oacute /ocircumflex
/otilde /odieresis /divide /oslash /ugrave
/uacute /ucircumflex /udieresis /yacute /thorn
/ydieresis
] def
%%EndResource
%FOPBeginFontReencode
/Courier-Oblique findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Courier-Oblique exch definefont pop
/Courier-BoldOblique findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Courier-BoldOblique exch definefont pop
/Courier-Bold findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Courier-Bold exch definefont pop
/Helvetica findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Helvetica exch definefont pop
/Helvetica-Oblique findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Helvetica-Oblique exch definefont pop
/Helvetica-Bold findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Helvetica-Bold exch definefont pop
/Helvetica-BoldOblique findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Helvetica-BoldOblique exch definefont pop
/Times-Roman findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Times-Roman exch definefont pop
/Times-Italic findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Times-Italic exch definefont pop
/Times-Bold findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Times-Bold exch definefont pop
/Times-BoldItalic findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Times-BoldItalic exch definefont pop
/Courier findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Courier exch definefont pop
%FOPEndFontReencode
%%EndProlog
%%Page: 1 1
%%PageBoundingBox: 0 0 420 315
%%BeginPageSetup
N
25 19 M
406 19 L
406 312 L
25 312 L
cp
clip
[1 0 0 -1 0 315] CT
%%EndPageSetup
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
1 GC
N
0 0 560 420 re
f
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
1 GC
N
0 0 560 420 re
f
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
1 GC
N
73 374 M
507 374 L
507 31 L
73 31 L
cp
f
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 374 M
507.003 374 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
119.303 374 M
119.303 369.66 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
169.017 374 M
169.017 369.66 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
218.724 374 M
218.724 369.66 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
268.438 374 M
268.438 369.66 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
318.146 374 M
318.146 369.66 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
367.859 374 M
367.859 369.66 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
417.573 374 M
417.573 369.66 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
467.281 374 M
467.281 369.66 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 89.47724 284.50047] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-4 14 moveto
1 -1 scale
(1) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 126.76246 284.50047] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-17 14 moveto
1 -1 scale
(1.001) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 164.04325 284.50047] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-17 14 moveto
1 -1 scale
(1.002) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 201.32847 284.50047] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-17 14 moveto
1 -1 scale
(1.003) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 238.60925 284.50047] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-17 14 moveto
1 -1 scale
(1.004) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 275.89449 284.50047] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-17 14 moveto
1 -1 scale
(1.005) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 313.1797 284.50047] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-17 14 moveto
1 -1 scale
(1.006) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 350.46048 284.50047] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-17 14 moveto
1 -1 scale
(1.007) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 374 M
73 31 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 369.867 M
77.341 369.867 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 335.49 M
77.341 335.49 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 301.113 M
77.341 301.113 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 266.737 M
77.341 266.737 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 232.36 M
77.341 232.36 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 197.982 M
77.341 197.982 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 163.605 M
77.341 163.605 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 129.229 M
77.341 129.229 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 94.852 M
77.341 94.852 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 60.474 M
77.341 60.474 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.74976 277.4006] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-34 5.5 moveto
1 -1 scale
(0.996) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.74976 251.61742] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-34 5.5 moveto
1 -1 scale
(0.998) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.74976 225.83503] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-8 5.5 moveto
1 -1 scale
(1) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.74976 200.05264] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-34 5.5 moveto
1 -1 scale
(1.002) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.74976 174.27023] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-34 5.5 moveto
1 -1 scale
(1.004) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.74976 148.48629] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-34 5.5 moveto
1 -1 scale
(1.006) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.74976 122.7039] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-34 5.5 moveto
1 -1 scale
(1.008) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.74976 96.92149] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-26 5.5 moveto
1 -1 scale
(1.01) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.74976 71.1391] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-34 5.5 moveto
1 -1 scale
(1.012) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.74976 45.35516] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-34 5.5 moveto
1 -1 scale
(1.014) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
1 LJ
0.667 LW
N
72.948 317.141 M
119.303 301.113 L
507.055 167.042 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
1 LJ
0.667 LW
N
72.948 364.27 M
119.303 301.113 L
311.727 30.959 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
1 LJ
0.667 LW
N
124.275 374.041 M
124.275 294.237 L
139.191 294.237 L
139.191 273.591 L
198.902 273.591 L
198.902 190.759 L
438.462 190.759 L
438.462 30.959 L
S
GR
%%Trailer
%%Pages: 1
%%EOF
Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-17, Successioni per ricorrenza/esempio2.eps
+717
View File
@@ -0,0 +1,717 @@
%!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0
%%Creator: (MATLAB, The Mathworks, Inc. Version 9.12.0.2009381 \(R2022a\) Update 4. Operating System: Windows 10)
%%Title: ./epsFig.eps
%%CreationDate: 2023-03-17T23:21:52
%%Pages: (atend)
%%BoundingBox: 25 20 381 292
%%LanguageLevel: 3
%%EndComments
%%BeginProlog
%%BeginResource: procset (Apache XML Graphics Std ProcSet) 1.2 0
%%Version: 1.2 0
%%Copyright: (Copyright 2001-2003,2010 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
/bd{bind def}bind def
/ld{load def}bd
/GR/grestore ld
/GS/gsave ld
/RM/rmoveto ld
/C/curveto ld
/t/show ld
/L/lineto ld
/ML/setmiterlimit ld
/CT/concat ld
/f/fill ld
/N/newpath ld
/S/stroke ld
/CC/setcmykcolor ld
/A/ashow ld
/cp/closepath ld
/RC/setrgbcolor ld
/LJ/setlinejoin ld
/GC/setgray ld
/LW/setlinewidth ld
/M/moveto ld
/re {4 2 roll M
1 index 0 rlineto
0 exch rlineto
neg 0 rlineto
cp } bd
/_ctm matrix def
/_tm matrix def
/BT { _ctm currentmatrix pop matrix _tm copy pop 0 0 moveto } bd
/ET { _ctm setmatrix } bd
/iTm { _ctm setmatrix _tm concat } bd
/Tm { _tm astore pop iTm 0 0 moveto } bd
/ux 0.0 def
/uy 0.0 def
/F {
/Tp exch def
/Tf exch def
Tf findfont Tp scalefont setfont
/cf Tf def /cs Tp def
} bd
/ULS {currentpoint /uy exch def /ux exch def} bd
/ULE {
/Tcx currentpoint pop def
gsave
newpath
cf findfont cs scalefont dup
/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
ux uy To add moveto Tcx uy To add lineto
Tt setlinewidth stroke
grestore
} bd
/OLE {
/Tcx currentpoint pop def
gsave
newpath
cf findfont cs scalefont dup
/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
ux uy To add cs add moveto Tcx uy To add cs add lineto
Tt setlinewidth stroke
grestore
} bd
/SOE {
/Tcx currentpoint pop def
gsave
newpath
cf findfont cs scalefont dup
/FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
/UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
/UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
ux uy To add cs 10 mul 26 idiv add moveto Tcx uy To add cs 10 mul 26 idiv add lineto
Tt setlinewidth stroke
grestore
} bd
/QT {
/Y22 exch store
/X22 exch store
/Y21 exch store
/X21 exch store
currentpoint
/Y21 load 2 mul add 3 div exch
/X21 load 2 mul add 3 div exch
/X21 load 2 mul /X22 load add 3 div
/Y21 load 2 mul /Y22 load add 3 div
/X22 load /Y22 load curveto
} bd
/SSPD {
dup length /d exch dict def
{
/v exch def
/k exch def
currentpagedevice k known {
/cpdv currentpagedevice k get def
v cpdv ne {
/upd false def
/nullv v type /nulltype eq def
/nullcpdv cpdv type /nulltype eq def
nullv nullcpdv or
{
/upd true def
} {
/sametype v type cpdv type eq def
sametype {
v type /arraytype eq {
/vlen v length def
/cpdvlen cpdv length def
vlen cpdvlen eq {
0 1 vlen 1 sub {
/i exch def
/obj v i get def
/cpdobj cpdv i get def
obj cpdobj ne {
/upd true def
exit
} if
} for
} {
/upd true def
} ifelse
} {
v type /dicttype eq {
v {
/dv exch def
/dk exch def
/cpddv cpdv dk get def
dv cpddv ne {
/upd true def
exit
} if
} forall
} {
/upd true def
} ifelse
} ifelse
} if
} ifelse
upd true eq {
d k v put
} if
} if
} if
} forall
d length 0 gt {
d setpagedevice
} if
} bd
/RE { % /NewFontName [NewEncodingArray] /FontName RE -
findfont dup length dict begin
{
1 index /FID ne
{def} {pop pop} ifelse
} forall
/Encoding exch def
/FontName 1 index def
currentdict definefont pop
end
} bind def
%%EndResource
%%BeginResource: procset (Apache XML Graphics EPS ProcSet) 1.0 0
%%Version: 1.0 0
%%Copyright: (Copyright 2002-2003 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
/BeginEPSF { %def
/b4_Inc_state save def % Save state for cleanup
/dict_count countdictstack def % Count objects on dict stack
/op_count count 1 sub def % Count objects on operand stack
userdict begin % Push userdict on dict stack
/showpage { } def % Redefine showpage, { } = null proc
0 setgray 0 setlinecap % Prepare graphics state
1 setlinewidth 0 setlinejoin
10 setmiterlimit [ ] 0 setdash newpath
/languagelevel where % If level not equal to 1 then
{pop languagelevel % set strokeadjust and
1 ne % overprint to their defaults.
{false setstrokeadjust false setoverprint
} if
} if
} bd
/EndEPSF { %def
count op_count sub {pop} repeat % Clean up stacks
countdictstack dict_count sub {end} repeat
b4_Inc_state restore
} bd
%%EndResource
%FOPBeginFontDict
%%IncludeResource: font Courier-Oblique
%%IncludeResource: font Courier-BoldOblique
%%IncludeResource: font Courier-Bold
%%IncludeResource: font ZapfDingbats
%%IncludeResource: font Symbol
%%IncludeResource: font Helvetica
%%IncludeResource: font Helvetica-Oblique
%%IncludeResource: font Helvetica-Bold
%%IncludeResource: font Helvetica-BoldOblique
%%IncludeResource: font Times-Roman
%%IncludeResource: font Times-Italic
%%IncludeResource: font Times-Bold
%%IncludeResource: font Times-BoldItalic
%%IncludeResource: font Courier
%FOPEndFontDict
%%BeginResource: encoding WinAnsiEncoding
/WinAnsiEncoding [
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
/.notdef /.notdef /space /exclam /quotedbl
/numbersign /dollar /percent /ampersand /quotesingle
/parenleft /parenright /asterisk /plus /comma
/hyphen /period /slash /zero /one
/two /three /four /five /six
/seven /eight /nine /colon /semicolon
/less /equal /greater /question /at
/A /B /C /D /E
/F /G /H /I /J
/K /L /M /N /O
/P /Q /R /S /T
/U /V /W /X /Y
/Z /bracketleft /backslash /bracketright /asciicircum
/underscore /quoteleft /a /b /c
/d /e /f /g /h
/i /j /k /l /m
/n /o /p /q /r
/s /t /u /v /w
/x /y /z /braceleft /bar
/braceright /asciitilde /bullet /Euro /bullet
/quotesinglbase /florin /quotedblbase /ellipsis /dagger
/daggerdbl /circumflex /perthousand /Scaron /guilsinglleft
/OE /bullet /Zcaron /bullet /bullet
/quoteleft /quoteright /quotedblleft /quotedblright /bullet
/endash /emdash /asciitilde /trademark /scaron
/guilsinglright /oe /bullet /zcaron /Ydieresis
/space /exclamdown /cent /sterling /currency
/yen /brokenbar /section /dieresis /copyright
/ordfeminine /guillemotleft /logicalnot /sfthyphen /registered
/macron /degree /plusminus /twosuperior /threesuperior
/acute /mu /paragraph /middot /cedilla
/onesuperior /ordmasculine /guillemotright /onequarter /onehalf
/threequarters /questiondown /Agrave /Aacute /Acircumflex
/Atilde /Adieresis /Aring /AE /Ccedilla
/Egrave /Eacute /Ecircumflex /Edieresis /Igrave
/Iacute /Icircumflex /Idieresis /Eth /Ntilde
/Ograve /Oacute /Ocircumflex /Otilde /Odieresis
/multiply /Oslash /Ugrave /Uacute /Ucircumflex
/Udieresis /Yacute /Thorn /germandbls /agrave
/aacute /acircumflex /atilde /adieresis /aring
/ae /ccedilla /egrave /eacute /ecircumflex
/edieresis /igrave /iacute /icircumflex /idieresis
/eth /ntilde /ograve /oacute /ocircumflex
/otilde /odieresis /divide /oslash /ugrave
/uacute /ucircumflex /udieresis /yacute /thorn
/ydieresis
] def
%%EndResource
%FOPBeginFontReencode
/Courier-Oblique findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Courier-Oblique exch definefont pop
/Courier-BoldOblique findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Courier-BoldOblique exch definefont pop
/Courier-Bold findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Courier-Bold exch definefont pop
/Helvetica findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Helvetica exch definefont pop
/Helvetica-Oblique findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Helvetica-Oblique exch definefont pop
/Helvetica-Bold findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Helvetica-Bold exch definefont pop
/Helvetica-BoldOblique findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Helvetica-BoldOblique exch definefont pop
/Times-Roman findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Times-Roman exch definefont pop
/Times-Italic findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Times-Italic exch definefont pop
/Times-Bold findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Times-Bold exch definefont pop
/Times-BoldItalic findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Times-BoldItalic exch definefont pop
/Courier findfont
dup length dict begin
{1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
/Encoding WinAnsiEncoding def
currentdict
end
/Courier exch definefont pop
%FOPEndFontReencode
%%EndProlog
%%Page: 1 1
%%PageBoundingBox: 0 0 420 315
%%BeginPageSetup
N
25 20 M
406 20 L
406 312 L
25 312 L
cp
clip
[1 0 0 -1 0 315] CT
%%EndPageSetup
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
1 GC
N
0 0 560 420 re
f
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
1 GC
N
0 0 560 420 re
f
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
1 GC
N
73 373.65 M
507 373.65 L
507 31.35 L
73 31.35 L
cp
f
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 373.649 M
506.998 373.649 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
86.18 373.649 M
86.18 369.309 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
147.062 373.649 M
147.062 369.309 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
207.946 373.649 M
207.946 369.309 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
268.829 373.649 M
268.829 369.309 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
329.711 373.649 M
329.711 369.309 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
390.594 373.649 M
390.594 369.309 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
451.48 373.649 M
451.48 369.309 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 64.63485 284.23647] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-17 14 moveto
1 -1 scale
(0.994) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 110.29663 284.23647] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-17 14 moveto
1 -1 scale
(0.996) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 155.95979 284.23647] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-17 14 moveto
1 -1 scale
(0.998) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 201.62157 284.23647] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-4 14 moveto
1 -1 scale
(1) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 247.28336 284.23647] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-17 14 moveto
1 -1 scale
(1.002) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 292.94515 284.23647] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-17 14 moveto
1 -1 scale
(1.004) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 338.60964 284.23647] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-17 14 moveto
1 -1 scale
(1.006) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 373.649 M
73 31.351 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 372.414 M
77.34 372.414 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 311.529 M
77.34 311.529 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 250.647 M
77.34 250.647 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 189.765 M
77.34 189.765 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 128.882 M
77.34 128.882 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
2 setlinecap
1 LJ
0.667 LW
N
73 67.996 M
77.34 67.996 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.75015 279.31023] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-34 5.5 moveto
1 -1 scale
(0.996) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.75015 233.64709] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-34 5.5 moveto
1 -1 scale
(0.998) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.75015 187.98529] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-8 5.5 moveto
1 -1 scale
(1) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.75015 142.32351] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-34 5.5 moveto
1 -1 scale
(1.002) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.75015 96.66172] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-34 5.5 moveto
1 -1 scale
(1.004) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 50.75015 50.99721] CT
/Helvetica 13.333 F
GS
[1 0 0 1 0 0] CT
-34 5.5 moveto
1 -1 scale
(1.006) t
GR
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
1 LJ
0.667 LW
N
145.786 373.69 M
268.829 250.647 L
488.165 31.311 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
1 LJ
0.667 LW
N
160.803 31.311 M
268.829 250.647 L
331.275 373.69 L
S
GR
GS
[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
1 LJ
0.667 LW
N
271.873 373.69 M
271.873 256.735 L
262.741 256.735 L
262.741 238.468 L
281.007 238.468 L
281.007 274.99 L
244.486 274.99 L
244.486 201.903 L
317.572 201.903 L
317.572 347.9 L
171.576 347.9 L
171.576 55.204 L
464.271 55.204 L
S
GR
%%Trailer
%%Pages: 1
%%EOF
Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-17, Successioni per ricorrenza/main.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-17, Successioni per ricorrenza/main.tex
+171
View File
@@ -0,0 +1,171 @@
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{personal_commands}
\usepackage[italian]{babel}
\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}}
\author{Gabriel Antonio Videtta}
\date{17 marzo 2023}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
\Large \textbf{Successioni per ricorrenza}
\end{center}
\begin{remark}
Sia $X$ l'insieme delle successioni a valori reali che soddisfano una data
eq.~ricorsiva lineare ed omogenea di ordine $k$ (ossia che coinvolge
$k$ precedenti elementi di una successione). \\
\li $X$ è uno spazio vettoriale su $\RR$. \\
\li $T : X \to \RR^n$, $(x_n) \mapsto (x_0, ..., x_{k-1})^\top$ è
un isomorfismo, e quindi $\dim X = k$. \\
\li Si può facilmente individuare una base naturale di $X$, costituita dagli
elementi della forma $\vec{x_i} = T\inv(\vec{e_ {i + 1}})$ con $i = 0, ..., k - 1$,
dove $\vec{x_i}$ rappresenta una successione di $X$ dove l'$i$-esimo elemento
è pari a $1$ e gli altri, tra $0$ e $k-1$, sono nulli.
\end{remark}
\begin{remark}
Le eq.~differenziali ordinarie si possono approssimare
ad eq.~su differenze finite (e questa considerazione è
alla base della grande somiglianza tra i concetti sviluppati
sia per queste che per quelle).
\end{remark}
\begin{example} (ricondursi a un caso discreto)
Si consideri un'eq.~differenziale omogenea lineare del primo
ordine su $x(t)$. Si può approssimare $t$ con $nh$, dato
$h$ piccolo, e così scrivere $x_n = x(nh) \approx x(t)$.
Così, allora, $x_{n+1} = x((n+1)h) = x(t + h)$. Conseguentemente $h
x'(t) \approx x(t + h) - x(t) \approx x_{n+1} - x_n$. \\
Si provi a risolvere, per esempio, l'eq.~ differenziale $x'(t) = x(t)$.
Sostituendo, si ottiene $x_{n+1} - x_n = h x_n$, da cui
si ricava l'eq.~ricorsiva $x_{n+1} = (1 + h) x_n$. Allora
$x(nh) = x_n = (1 + h)^n \underbrace{x(0)}_c = (1 + h)^n c$. \\
In effetti $x(t) = \displaystyle \lim_{h \to 0} (1 + h)^n c =
\lim_{h \to 0} \left[(1 + h)^{\frac{1}{h}}\right]^t c = c e^t$,
la famiglia di soluzioni dell'eq.~differenziale originale.
\end{example}
\begin{example} (metodo delle bisettrici)
Sia data la sequente successione:
\[ (x_n) = \begin{cases} x_n = x_{n-1}^4, \\ x_0 = \frac12. \end{cases} \]
Si consideri allora il sistema di funzioni:
\[ \begin{cases}
f(x) = x^4, \\ y = x,
\end{cases} \]
ossia i punti fissi di $f(x)$. Si può disegnare facilmente
la successione mediante il seguente algoritmo: si prenda
$x_0$ sull'asse delle ascisse, e si valuti $f(x_0) = x_1$ collegando
il punto $(x_0, 0)$ a $(x_0, x_1)$,
alla fine ricollegato sulla bisettrice al punto $(x_1, x_1)$;
si colleghi $(x_1, x_1)$ a $(x_1, x_2 = f(x_1))$ e quest'ultimo a
$(x_2, x_2)$, etc. Si sarà allora
disegnato in modo grafico la successione, e considerando
i blocchi che connettono $(x_{n-1}, x_{n-1})$, $(x_{n-1}, x_n)$
e $(x_n, x_n)$, si potrà facilmente intuire che $x_n \tendston \infty$ per $x_0 > 1$, che $x_n \tendston 1$ per $x_0 = 1$,
e che $x_n \tendston 0$ per $x_0 < 1$. Quindi nel caso
dell'esempio, $x_n \tendston 0$.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{esempio.eps}
\caption{Applicazione dell'algoritmo con $x_0 = 1,0001$.}
\label{fig:my_label}
\end{figure}
\end{example}
\begin{example}
Riprendendo l'esempio precedente, si può ora provare
a dimostrare formalmente i risultati ottenuti.
Sempre graficamente, si intuisce che $(x_n)$ sarà
decrescente, e quindi che ammetterà limite (che,
in particolare, coinciderà con il suo estremo inferiore). \\
Si dimostra quindi, per prima cosa, che $(x_n)$ è
decrescente, e che vale $0 \leq x_n \leq \frac{1}{2}$.
Si procede per induzione: se $n=0$, la tesi è già
verificata; se la tesi è vera fino a $n-1$, allora
$x_n = \underbrace{x_{n-1}^4}_{\geq 0} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \leq \frac{1}{2}$. Quindi
$(x_n)$ è decrescente, e poiché $0$ ne è minorante,
varrà in particolare che $\ell = \lim_{n \to \infty} x_n \in [0, \frac{1}{2}]$. \\
Si mostra che $\ell$ deve essere un punto fisso di
$f$: poiché $x_n \tendston \ell$, anche $x_{n+1} \tendston
\ell$ (essendone una sottosuccessione); inoltre, poiché
$x_{n+1} = x_n^4$, $x_{n+1} \tendston \ell^4$. Poiché il limite è unico, deve allora valere $\ell = \ell^4 = f(\ell)$. Poiché gli unici punti di fissi di $f$ sono
$0$ e $1$, e $1$ non è
minorante di $(x_n)$,
deve valere che $\ell = 0$. \\
Se invece $x_0$ fosse stato
maggiore di $1$, si sarebbe
dimostrato che $(x_n)$ era
strettamente crescente, e
dunque avrebbe ammesso comunque
limite; tale limite non sarebbe
potuto essere né $0$ né $1$,
dacché non sarebbero stati maggioranti
di $(x_n)$, né tantomeno
$-\infty$. Allora tale limite
avrebbe dovuto essere,
forzatamente, $\infty$.
\end{example}
\begin{example}
Si consideri adesso la
successione:
\[ \begin{cases}
x_0 = 2, \\
x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}.
\end{cases} \]
Applicando lo stesso ragionamento
di prima, si considera $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$. È sufficiente
dimostrare che $(x_n)$ è tale che
$\sqrt{2} \leq x_n \leq 2$
$\forall n \in \NN$ (dove $\sqrt{2}$
è l'unico punto fisso di $f(x)$) per
concludere immediatamente che
il limite di tale successione è
proprio $\sqrt{2}$.
\end{example}
\begin{example}
Si consideri l'eq.~ricorsiva $x_n = \frac{1}{x_{n-1}^2}$,
con $x_0 > 1$.
Qualsiasi disegno si faccia, si osserverà una "spirale"
nella configurazione della successione: si ipotizzerà
dunque che $x_n$ non ammetterà limite. Si distinguono
dal disegno due sottosuccessioni: $x_{2n}$ e $x_{2n+1}$,
che, rispettivamente, obbediranno a due eq.~ricorsive,
$x_{2(n+1)} = x_{2n}^4$ e $x_{2(n+1) + 1} = x_{2n + 1}^4$,
ossia la successione analizzata in uno scorso esempio. \\
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{esempio2.eps}
\caption{Applicazione del metodo della bisettrice con $x_0 = 1,0001$.}
\label{fig:my_label}
\end{figure}
Poiché $x_0 > 1$, $x_1 = \frac{1}{x_0^2} < 1$. Allora
$x_{2n} \tendston \infty$, mentre $x_{2n+1} \tendston
0$: poiché una sottosuccessione deve tendere allo
stesso limite della successione da cui deriva, ed il
limite è unico, si conclude che $(x_n)$ non ammette
limite.
\end{example}
\end{document}
Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-22, Limiti di funzioni e funzioni continue/main.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-22, Limiti di funzioni e funzioni continue/main.tex
+137
View File
@@ -0,0 +1,137 @@
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{personal_commands}
\usepackage[italian]{babel}
\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}}
\author{Gabriel Antonio Videtta}
\date{21 marzo 2023}
\begin{document}
\maketitle
\begin{center}
\Large \textbf{Limiti di funzioni e funzioni continue}
\end{center}
\begin{note} Nel corso del documento, per un insieme $X$, qualora non
specificato, si intenderà sempre un sottoinsieme generico dell'insieme
dei numeri reali esteso $\RRbar$. Analogamente per $f$ si intenderà
sempre una funzione $f : X \to \RRbar$.
\end{note}
\begin{definition} (continuità in un punto) Sia
$\xbar \in X$. Allora $f$ si dice \textit{continua} su $\xbar$ se e solo
se $\forall I$ intorno di $f(\xbar)$ $\exists J$ intorno di $\xbar$ tale
che $f(J \cap X) \subseteq I$. Conseguentemente $f$ si dirà \textit{discontinua}
su $\xbar$ se non è continua su $\xbar$.
\end{definition}
\begin{definition} (continuità di una funzione) Si dice che $f$ è una \textit{funzione
continua} se e solo se $f$ è continua su $\xbar$ $\forall \xbar \in X$.
\end{definition}
\begin{definition} (punti di accumulazione e punti isolati) Si dice che $\xbar \in \RRbar$ è un \textit{punto
di accumulazione} di $X$ se $\forall I$ intorno di $x$ $\exists x \in X$, $x \neq \xbar \mid
x \in I$, o equivalentemente se $I \cap X \setminus \{\xbar\} \neq \emptyset$. Analogamente
un punto che non è di accumulazione e che appartiene a $X$ si dice \textit{punto isolato}.
\end{definition}
\begin{definition}
(derivato di un insieme) Si definisce derivato di $X$ l'insieme dei punti di
accumulazione di $X$, e si denota con $D(X)$.
\end{definition}
\begin{definition}
(chiusura di un insieme) Si definisce chiusura di $X$ l'unione di $X$ ai suoi
punti di accumulazione, ossia $\bar{X} = X \cup D(X)$.
\end{definition}
\begin{proposition}
Sono equivalenti i seguenti fatti:
\begin{enumerate}
\item $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$,
\item esiste una successione $(x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ tale
che $x_n \tendston \xbar$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
\rightproof Se $\xbar \in \RR$, per ogni $n$ si consideri l'intorno $I_n = [\xbar - \frac{1}{n}, \xbar + \frac{1}{n}]$, e si estragga un elemento $k \in I_n \cap X \setminus \{\xbar\}$ (che per ipotesi esiste, dacché
$\xbar$ è un punto di accumulazione). Si ponga dunque $x_n = k$. Poiché $\liminftyn \xbar - \frac{1}{n} = \liminftyn \xbar + \frac{1}{n} = \xbar$ e $x_n \in I_n$ $\forall n \in \NN$, allora $x_n \tendston \xbar$. \\
Altrimenti, se $\xbar$ non è finito, si consideri il caso $\xbar = +\infty$. Per ogni $n$ si consideri allora l'intorno $I_n = [n, \infty]$, e si
estragga, come prima, $k \in I_n \cap X \setminus \{\xbar\}$, ponendo infine $x_n = k$. Poiché $I_n \tendston \{\infty\}$, $x_n \tendston \xbar$. Analogamente si dimostra il caso $\xbar = -\infty$. \\
\leftproof Se esiste una tale successione, allora $\forall I$ intorno di $\xbar$ $\exists n_k \in \NN \mid n \geq n_k \implies x_n \in I$, ed in particolare, poiché per ipotesi
$x_n \neq \xbar$, $x_n \in X \forall n \in \NN$, $I$ contiene sempre un punto diverso
da $\xbar$ ed appartenente ad $X$, ossia $I \cap X \setminus \{\xbar\}$.
\end{proof}
\begin{remark} Negando la definizione di punto di accumulazione, si ricava che $\xbar \in X$ è un
punto isolato $\iff$ $\exists I$ intorno di $\xbar$ $\mid I \cap X = \{\xbar\}$.
\end{remark}
\begin{definition} (limite di una funzione) Sia $\xbar \in D(X)$. Allora $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L
\defiff \forall I$ intorno di $L$, $\exists J$ intorno di $\xbar$ $\mid f(J \cap X \setminus \{\xbar\})
\subseteq I$.
\end{definition}
\begin{remark} La definizione di limite di una funzione richiede che $\xbar$ sia un punto di
accumulazione di $X$ per due principali motivi, uno teorico e uno strettamente pratico:
\begin{enumerate}
\item se $\xbar$ fosse un punto isolato, allora esisterebbe sicuramente un suo intorno $J$ tale
che $J \cap X \setminus \{\xbar\} = \emptyset$, e quindi $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) = f(\emptyset) = \emptyset \in I$, per qualsiasi intorno $I$ scelto, a prescindere da $L$; si
perderebbe dunque una proprietà fondamentale del limite, ovverosia la sua unicità.
\item se $\xbar$ fosse un punto isolato, non vi sarebbe alcun modo di ``predirre'' il
comportamento di $f$ nel momento in cui tende a $\xbar$, dacché non si potrebbero
computare valori per $x$ ``vicine'' a $\xbar$.
\end{enumerate}
\end{remark}
\begin{proposition}
Se $\xbar \in D(X)$, sono equivalenti i seguenti fatti:
\begin{enumerate}
\item $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$,
\item $\forall$ successione $(x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ tale che
$x_n \tendston \xbar$, $f(x_n) \tendston L$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
\rightproof Sia $(x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ una successione tale che
$x_n \tendston \xbar$. Poiché $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$, $\forall I$ intorno di
$L$, $\exists J$ intorno di $\xbar$ tale che $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$.
Allo stesso tempo, poiché $x_n \tendston \xbar$ e $J$ è un intorno di $\xbar$, esiste un $n_k \in \NN$
tale che $n \geq n_k \implies x_n \in J \implies f(x_n) \in I$ (infatti $x_n$ per definizione
appartiene a $X$ ed è sempre diverso da $\xbar$). Allora $\forall I$ intorno di $L$, $\exists n_k$
tale che $n \geq n_k \implies f(x_n) \in I$, ossia $f(x_n) \tendston L$. \\
\leftproof Si ponga per assurdo che $\lim_{x \to \xbar} f(x) \neq L$. Allora esiste almeno
un intorno $I$ di $L$ tale per cui non esista alcun intorno $J$ di $\xbar \mid f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. Si consideri adesso il caso $\xbar \in \RR$ ed il suo intorno $J_n = [\xbar - \frac{1}{n}, \xbar + \frac{1}{n}]$: da ogni $J_n$ si può estrarre un $k \in X \setminus \{\xbar\}$
(infatti $\xbar$ è un punto di accumulazione), tale che $f(k) \notin I$. Si ponga allora $x_n = k$.
Dal momento che $J_n \tendston \{\xbar\}$, $x_n \tendston \xbar$. Allo stesso tempo, per $n \to \infty$, $f(x_n)$ non può tendere a $L$, dacché per costruzione $f(x_n)$ non appartiene all'intorno
$I$. Tuttavia ciò contraddice l'ipotesi, e quindi $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$. \\
Altrimenti, se $\xbar = \infty$, si consideri per ogni $n$ l'intorno $J_n = [n, \infty]$, e se ne
estragga $k \in X \setminus \{\xbar\}$ tale che $f(k) \notin I$ (come prima, questo deve esistere
dacché $\xbar$ è un punto di accumulazione). Si ponga dunque $x_n = k$. Poiché $J_n \tendston \{\infty\}$, $x_n \tendston \xbar$. Tuttavia $f(x_n)$ non può tendere a $L$ per $n \to \infty$,
dal momento che $f(x_n)$ per costruzione non appartiene mai all'intorno $I$. Questo contraddice
nuovamente l'ipotesi, e quindi $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$.
\end{proof}
\begin{exercise} Si dimostri che $\overline{\overline{X}} = \overline{X}$.
\end{exercise}
\begin{exercise} Si mostri che l'ipotesi che la successione $(x_n)$ non abbia elementi uguali
a $\xbar$ sia necessaria, riportando un controesempio.
\end{exercise}
\end{document}
Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-23, 24, 28, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-23, 24, 28, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex
+537
View File
@@ -0,0 +1,537 @@
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{personal_commands}
\usepackage[italian]{babel}
\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}}
\author{Gabriel Antonio Videtta}
\date{23, 24 e 28 marzo 2023}
\begin{document}
\maketitle
\wip
\begin{center}
\Large \textbf{Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione}
\end{center}
\begin{note} Nel corso del documento, per un insieme $X$, qualora non
specificato, si intenderà sempre un sottoinsieme generico dell'insieme
dei numeri reali esteso $\RRbar$. Analogamente per $f$ si intenderà
sempre una funzione $f : X \to \RRbar$.
\end{note}
\begin{proposition}
Dati $f : X \to \RRbar$, $\xbar$ punto di accumulazione di $X$
tale che $\forall \, (x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\} \mid x_n \tendston \xbar$ vale che
$f(x_n)$ converge. Allora il limite di $f(x_n)$ è sempre lo stesso, indipendentemente
dalla scelta di $(x_n)$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Siano per assurdo $(x_n), (y_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ due successioni tali che
$x_n, y_n \tendston \xbar$ e che $f(x_n) \tendston L$ e $f(y_n) \tendston G$ con $L \neq G$. Si
costruisce allora la successione $(z_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ nel seguente modo:
\[ z_n = \system{x_{\frac{n}{2}} & \text{se } n \text{ è pari}, \\ y_{\frac{n-1}{2}} & \text{altrimenti},} \]
\vskip 0.05in
ossia unendo le due successioni $(x_n)$ e $(y_n)$ in modo tale che agli indici pari corrispondano gli
elementi di $x_n$ e a quelli dispari quelli di $y_n$. \\
Si mostra che $z_n \tendston \xbar$. Sia $I$ un intorno di $\xbar$. Allora, dal momento che
$(x_n), (y_n) \tendston \xbar$, esistono sicuramente due
$n_x, n_y \in \NN$ tali che $n \geq n_x \implies x_n \in I$ e $n \geq n_y \implies y_n \in I$. Pertanto,
detto $n_k = \max\{n_x, n_y\}$, $n \geq n_k \implies x_n, y_n \in I$, ossia che per $n \geq 2 n_k$,
$z_n \in I$. Si conclude allora che $(z_n) \tendston \xbar$. \\
Tuttavia $f(z_n)$ non può convergere a nessun limite, dal momento che le due sottosuccessioni
$f(x_n)$ e $f(y_n)$ convergono a valori distinti ed il limite deve essere unico. L'esistenza di
tale successione contraddice allora l'ipotesi, \Lightning.
\end{proof}
\begin{proposition}
Data $(x_n) \subseteq \RR$, definisco $f : \NN \to \RRbar$ tale
che $f(n) := x_n$, $\forall n \in \NN$. Allora $f(n) \tendston L \iff x_n \tendston L$.
\end{proposition}
\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
\rightproof Sia $I$ un intorno di $L$. Allora, poiché $f(n) \tendston L$,
esiste un intorno $J = [a, \infty]$ tale che $f(J \cap \NN \setminus \{\infty\}) \subseteq I$.
Poiché $\infty$ è un punto di accumulazione di $\NN$, $A = J \cap \NN \setminus \{\infty\}$ non è mai
vuoto. Inoltre, poiché $A \subseteq \NN$, $A$ ammette un minimo\footnote{Non è in realtà necessario che
si consideri il minimo di tale insieme, occorre semplicemente che $A$ sia non vuoto.}, detto $m$.
Vale in particolare che
$f(n) \in I$, $\forall n \geq m$, e quindi che $x_n \in I$, $\forall n \geq m$, ossia che $x_n \tendston L$. \\
\leftproof Sia $I$ un intorno di $L$. Dal momento che $x_n \tendston L$, $\exists n_k \in \NN \mid n \geq n_k \implies
x_n \in I$. Allora, detto $J = [n_k, \infty]$, vale che $f(J \cap \NN \setminus \{\infty\}) \subseteq I$, ossia
che $f(n) \tendston L$.
\end{proof}
\begin{proposition}
Siano $f : X \to \RRbar$, $\xbar \in X$ punto di accumulazione
di $X$. Allora sono fatti equivalenti i seguenti:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $f(x) \tendsto{\xbar} f(\xbar)$,
\item $f$ è continua in $\xbar$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Sia $I$ un intorno di $f(\xbar)$. Dal momento che $\xbar$ è un punto di accumulazione, si ricava allora da
entrambe le ipotesi che esiste un intorno $J$ di $f(\xbar)$ tale che
$f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$, e quindi, per definizione, la tesi.
\end{proof}
\begin{remark}
Se $\xbar$ è un punto isolato di $X$, allora $f$ è continua
in $\xbar$. Pertanto per rendere la proposizione precedente
vera, è necessario ipotizzare che $\xbar$ sia un punto
di accumulazione (infatti il limite in un punto isolato
non esiste per definizione, mentre in tale punto $f$ è
continua).
\end{remark}
\begin{proposition}
Siano $f : X \to \RR$ e $\xbar$ punto di accumulazione di $X$.
Siano $L \in \RRbar$ e $\tilde{f} : X \cup \{\xbar\} \to \RRbar$ tale
che\footnote{Tale costruzione si chiama \textbf{estensione continua} di $f$, nel caso in cui $L$ sia proprio
$\lim_{x \to \xbar} f(x)$.}:
\[ \tilde{f}(x) = \begin{cases}
L & \text{se } x = \xbar, \\
f(x) & \text{altrimenti}.
\end{cases} \]
\vskip 0.05in
Allora $f(x) \tendsto{\xbar} L \iff \tilde{f}$ è continua in $\xbar$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
\rightproof Sia $I$ un intorno di $L$. Si ricava allora dalle ipotesi che esiste sempre un intorno
$J$ di $\xbar$ tale che $f(\underbrace{J \cap X \setminus \{\xbar\}}_{A}) \subseteq I$. Dal momento che $\xbar
\notin A$, si deduce che $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) = \tilde{f}(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$,
ossia che $\tilde{f}$ è continua in $\xbar$. \\
\leftproof Sia $I$ un intorno di $L$. Poiché $\tilde{f}$ è continua in $\xbar$, esiste un intorno $J$ di $\xbar$
tale che $\tilde{f}(\underbrace{J \cap (X \cup \{\xbar\}) \setminus \{\xbar\}}_{A}) \subseteq I$. Poiché $\xbar \notin A$ e $\xbar$ è punto di accumulazione, si deduce che $I \supseteq \tilde{f}(J \cap (X \cup \{\xbar\}) \setminus \{\xbar\})
= f(J \cap (X \cup \{\xbar\}) \setminus \{\xbar\}) \supseteq f(J \cap X \setminus \{\xbar\})$, e quindi che
$f(x) \tendsto{\xbar} L$.
\end{proof}
\begin{remark}
Tutte le funzioni elementari (e.g.~$\sin(x)$, $\cos(x)$, $\exp(x)$, $\ln(x)$, $\abs{x}$, $x^a$) sono funzioni continue nel loro insieme
di definizione.
\end{remark}
\begin{proposition}
Siano $f : X \to Y \subseteq \RRbar$ e $g : Y \to \RRbar$ e sia $\xbar \in X$. Sia
$f$ continua in $\xbar$ e sia $g$ continua in $f(\xbar)$. Allora
$g \circ f$ è continua in $\xbar$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Sia $I$ un intorno di $z = g(f(\xbar))$. Allora, poiché $g$ è continua
in $f(\xbar)$, $\exists J$ intorno di $f(\xbar)$ $\mid g(J \cap Y \setminus \{f(\xbar)\}) \subseteq
I$. Tuttavia, poiché $f$ è continua in $\xbar$, $\exists K$ intorno
di $\xbar$ $\mid f(K \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq J$, da cui si conclude che
$g(f(K \cap X \setminus \{\xbar\})) \subseteq I$, dacché $\forall x \in K \cap X \setminus \{\xbar\}$,
o $f(x) = f(\xbar)$, e quindi $g(f(x)) = z$ chiaramente appartiene a $I$, o altrimenti
$f(x) \in J \cap Y \setminus \{f(\xbar)\} \implies g(f(x)) \in g(J \cap Y \setminus \{f(\xbar)\}) \subseteq I$.
\end{proof}
\begin{theorem}
Sia $f : X \to Y \subseteq \RRbar$, sia $\xbar$ punto di
accumulazione di $X$ tale che $f(x) \tendsto{\xbar} \ybar$.
Se $\ybar$ è un punto di accumulazione di $Y$ e $g : Y \to \RRbar$
è tale che $\ybar \in Y \implies
g$ continua in $\ybar$ e $g(y) \tendstoy{\ybar} \zbar$, allora
$g(f(x)) \tendsto{\xbar} \zbar$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Siano $\tilde{f} : X \cup \{\xbar\}$, $\tilde{g} : Y \cup \{\ybar\}$ due funzioni costruite nel seguente
modo:
\[ \tilde{f}(x) = \begin{cases}
\ybar & \text{se } x = \xbar, \\
f(x) & \text{altrimenti},
\end{cases} \qquad
\tilde{g}(y) = \begin{cases}
\zbar & \text{se } y = \ybar, \\
g(y) & \text{altrimenti}.
\end{cases} \]
Poiché $f(x) \tendsto{\xbar} \ybar$ e $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$, per una proposizione precedente, $\tilde{f}$ è continua in $\xbar$. Analogamente $\tilde{g}$ è continua in $\ybar$. Dal momento che
vale che $\tilde{f}(\xbar) = \ybar$, per la proposizione precedente $\tilde{g} \circ \tilde{f}$ è continua in
$\xbar$, e dunque $\lim_{x \to \xbar} \tilde{g}(\tilde{f}(x)) = \tilde{g}(\tilde{f}(\xbar)) = \zbar$. \\
Si consideri adesso la funzione $\widetilde{g \circ f} : X \to \RRbar$ definita nel seguente modo:
\[ \widetilde{g \circ f}(x) = \begin{cases}
\zbar & \text{se } x = \xbar, \\
g(f(x)) & \text{altrimenti}.
\end{cases} \]
Si mostra che $\widetilde{g \circ f} = \tilde{g} \circ \tilde{f}$. Se $x = \xbar$, chiaramente
$\widetilde{g \circ f}(x) = \zbar = \tilde{g}(\tilde{f}(\xbar))$. Se $x \neq \xbar$, si
considera il caso in cui $\tilde{f}(x) = f(x)$ è uguale a $\ybar$ ed il caso in cui non vi è
uguale. \\
Se $\tilde{f}(x) \neq \ybar$, $\tilde{g}(\tilde{f}(x)) = \tilde{g}(f(x)) \overbrace{=}^{f(x) \neq \ybar} g(f(x)) = \widetilde{g \circ f}(x)$. Se invece
$\tilde{f}(x) = \ybar$, $\ybar \in Y$, e quindi $g$ è continua in $\ybar$, da cui necessariamente
deriva che $g(\ybar) = \zbar$. Allora $\widetilde{g \circ f}(x) = g(f(x)) = g(\ybar) = \zbar = \tilde{g}(\tilde{f}(\xbar))$. \\
Si conclude allora che $\widetilde{g \circ f} = \tilde{g} \circ \tilde{f}$, e
quindi che $\widetilde{g \circ f}$ è continua in $\xbar$. Pertanto,
dalla proposizione precedente, $g(f(x)) \tendsto{\xbar} \zbar$.
\end{proof}
\begin{exercise}
Mostrare che tutte le ipotesi della proposizione precedente sono necessarie, fornendo alcuni controesempi.
\end{exercise}
\begin{proposition}
Date $f_1, f_2 : X \to \RR$ continue in $\xbar$. Allora:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $f_1 + f_2$ è continua in $\xbar$,
\item $f_1 f_2$ è continua in $\xbar$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Si dimostrano i due punti separatamente.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Sia $f := f_1 + f_2$. Poiché $f_1, f_2$ sono continue in $\xbar$,
$\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0 \mid \abs{x - \xbar} < \delta
\implies \abs{f_1(x) - f_1(\xbar)}, \abs{f_2(x) - f_2(\xbar)} \leq \eps$ (per ogni $\eps > 0$, si prende $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$, ossia il minimo delle semilunghezze degli intorni
di $\xbar$). Allora $\abs{f(x) - f(\xbar)} \leq
\abs{f_1(x) - f_1(\xbar)} + \abs{f_2(x) - f_2(\xbar)} \leq 2\eps$.
Si conclude dunque che $\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0
\mid \abs{f(x) - f(\xbar)} \leq 2\eps$, e quindi, poiché
$2\eps \tends{\eps \to 0} 0$, che $f$ è continua in $\xbar$.
\item Dal momento che $f_1, f_2$ sono continue in $\xbar$,
$\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0$ tale che $\abs{x - \xbar} < \delta \implies \abs{f_1(x) - f_1(\xbar)} < \eps, \abs{f_2(x)
- f_2(\xbar)} < \eps$ (vale lo stesso ragionamento del punto
(i)). Allora $f_1(x) = f_1(\xbar) + e_1$ e
$f_2(x) = f_2(\xbar) + e_2$, con $\abs{e_1}, \abs{e_2} < \eps$.
Dunque $f_1(x)f_2(x) = f_1(\xbar)f_2(\xbar) + \underbrace{e_1 f_2(\xbar) +
e_2 f_1(\xbar) + e_1 e_2}_e$. In particolare, per la
disuguaglianza triangolare, $\abs{e} \leq \abs{e_1 f_2(\xbar)} +
\abs{e_2 f_1(\xbar)} + \abs{e_1 e_2} \leq \underbrace{\eps \abs{f_2(\xbar)} +
\eps \abs{f_1(\xbar)} + \eps^2}_{\eps'}$. Poiché $\eps' \tends{\eps \to 0^+} 0$, si conclude che $\abs{f_1(x) f_2(x) - f_1(\xbar) f_2(\xbar)} = \abs{e} \leq \eps' \implies f_1(x)f_2(x)$ continua
in $\xbar$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{proposition}
Date $f_1, f_2 : X \to \RRbar$, $\xbar$ punto di accumulazione
di $X$. Se $\lim_{x \to \xbar} f_1(x) = L_1 \in \RR$ e
$\lim_{x \to \xbar} f_2(x) = L_2 \in \RR$, allora valgono
i seguenti risultati:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $f_1(x) + f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 + L_2$,
\item $f_1(x) f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 L_2$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Si definiscono preliminarmente le funzioni $\tilde{f_1}$, $\tilde{f_2} : X \cup \{\xbar\} \to \RRbar$ in modo tale che:
\[ \tilde{f_1}(x) = \begin{cases}
L_1 & \text{se } x = \xbar, \\
f_1(x) & \text{altrimenti},
\end{cases} \qquad
\tilde{f_2}(x) = \begin{cases}
L_2 & \text{se } x = \xbar, \\
f_2(x) & \text{altrimenti}.
\end{cases} \]
\vskip 0.05in
Si dimostrano allora i due risultati separatamente. \\
\begin{enumerate}[(i)]
\item Si definisce $\widetilde{f_1 + f_2} : X \cup \{\xbar\} \to \RRbar$ nel seguente modo:
\[ \widetilde{f_1 + f_2}(x) = \system{L_1 + L_2 & \text{se } x = \xbar, \\ f_1(x) + f_2(x) & \text{altrimenti}.} \]
La somma $L_1 + L_2$ è ben definita dacché sia $L_1$ che $L_2$ sono elementi di $\RR$.
Poiché da una proposizione precedente $\tilde{f_1}$ e $\tilde{f_2}$ sono continue in $\xbar$, $\tilde{f_1} + \tilde{f_2}$ è continua anch'essa in $\xbar$. È sufficiente allora dimostrare che $\widetilde{f_1 + f_2} =
\tilde{f_1} + \tilde{f_2}$. Se $x \neq \xbar$, $\widetilde{f_1 + f_2}(x) = f_1(x) + f_2(x) = \tilde{f_1}(x) + \tilde{f_2}(x) = (\tilde{f_1} + \tilde{f_2})(x)$. Se invece $x = \xbar$, $\widetilde{f_1 + f_2}(x) = L_1 + L_2 =
\tilde{f_1}(x) + \tilde{f_2}(x) = (\tilde{f_1} + \tilde{f_2})(x)$. Quindi $\widetilde{f_1 + f_2} =
\tilde{f_1} + \tilde{f_2}$, e si conclude che $\widetilde{f_1 + f_2}$ è dunque continua in $\xbar$, ossia
che $(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 + L_2$.
\item Si definisce, analogamente a prima, $\widetilde{f_1 f_2} : X \cup \{\xbar\} \to \RRbar$ nel seguente modo:
\[ \widetilde{f_1 f_2}(x) = \system{L_1 L_2 & \text{se } x = \xbar, \\ f_1(x) f_2(x) & \text{altrimenti}.} \]
Il prodotto $L_1 L_2$ è ben definito dacché sia $L_1$ che $L_2$ sono elementi di $\RR$.
Poiché da una proposizione precedente $\tilde{f_1}$ e $\tilde{f_2}$ sono continue in $\xbar$, $\tilde{f_1} \tilde{f_2}$ è continua anch'essa in $\xbar$. È sufficiente allora dimostrare che $\widetilde{f_1 f_2} =
\tilde{f_1}\tilde{f_2}$. Se $x \neq \xbar$, $\widetilde{f_1 f_2}(x) = f_1(x) f_2(x) = \tilde{f_1}(x) \tilde{f_2}(x) = (\tilde{f_1}\tilde{f_2})(x)$. Se invece $x = \xbar$, $\widetilde{f_1 f_2}(x) = L_1 L_2 =
\tilde{f_1}(x) \tilde{f_2}(x) = (\tilde{f_1} \tilde{f_2})(x)$. Quindi $\widetilde{f_1 f_2} =
\tilde{f_1} \tilde{f_2}$, e si conclude che $\widetilde{f_1 f_2}$ è dunque continua in $\xbar$, ossia
che $(f_1 f_2)(x) = f_1(x) f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 L_2$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{definition}
(intorno destro e sinistro) Se $\xbar \in \RR$, si dicono
\textbf{intorni destri} gli intervalli della forma $[\xbar, \xbar + \eps]$ con
$\eps > 0$. Analogamente, gli \textbf{intorni sinistri} sono gli
intervalli della forma $[\xbar - \eps, \xbar]$.
\end{definition}
\begin{definition}
(punto di accumulazione destro e sinistro) Sia $\xbar \in X$.
Si dice che $\xbar$ è un \textbf{punto di accumulazione destro}
di $X$ se $\forall I$ intorno destro di $\xbar$, $I \cap X \setminus \{\xbar\} \neq \emptyset$. Analogamente si dice \textbf{punto di
accumulazione sinistro} di $X$ se è tale per gli intorni sinistri.
\end{definition}
\begin{definition}
(limite destro e sinistro) Sia $\xbar$ un punto di accumulazione
destro di $X$. Allora $\lim_{x \to \xbar^+} f(x) = L \defiff \forall I$
intorno di $L$, $\exists J$ intorno destro di $\xbar$ tale che
$f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. Analogamente si definisce
il limite sinistro.
\end{definition}
\begin{definition}
(continuità destra e sinistra) Sia $\xbar \in X$. Allora $f$ è continua
a destra in $\xbar$ se e solo se $\forall I$ intorno di $f(\xbar)$,
$\exists J$ intorno destro di $\xbar$ tale che $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. Analogamente si definisce la continuità
a sinistra di $f$.
\end{definition}
\begin{remark}
Vi sono chiaramente alcuni collegamenti tra la continuità destra e sinistra e la continuità classica,
così come ve ne sono tra il limite destro e sinistro ed il limite classico. \\
\li $\xbar$ punto di accumulazione destro o sinistro di $X$ $\iff$ $\xbar$ punto di accumulazione di $X$, \\
\li $\xbar$ punto di accumulazione destro e sinistro di $X$ $\implies$ $\xbar$ punto di accumulazione di $X$ (non
è però per forza vero il contrario, è sufficiente considerare $(0, \infty)$, dove $0$ è solo un punto di
accumulazione destro), \\
\li $f$ è continua in $\xbar$ $\iff$ $f$ è continua sinistra e destra in $\xbar$, \\
\li se $\xbar$ è un punto di accumulazione destro e sinistro, $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L \iff \lim_{x \to \xbar^+} f(x) = L$ e $\lim_{x \to \xbar^-} f(x) = L$, \\
\li se $\xbar$ è un punto di accumulazione solo destro, $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L \iff \lim_{x \to \xbar^+} f(x) = L$, \\
\li se $\xbar$ è un punto di accumulazione solo sinistro, $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L \iff \lim_{x \to \xbar^-} f(x) = L$.
\end{remark}
\begin{proposition}
Sia $f : X \to \RRbar$ monotona e sia $\xbar$ un punto di
accumulazione destro di $X$. Allora esiste $\lim_{x \to \xbar^+} f(x)$.
Analogamente esiste da sinistra se $\xbar$ è un punto di
accumulazione sinistro di $X$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Senza perdità di generalità, si assuma $f$ crescente (per il caso decrescente è sufficiente considerare
$g(x) = -f(x)$) Si consideri l'insieme:
\[E = \{ f(x) \mid x > \xbar \text{ e } x \in X \}.\]
Si consideri adesso $L = \inf E$ e un suo intorno $I$. Se non
esistesse un intorno destro $J$ di $\xbar$ tale che $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$, allora
$\sup I$ sarebbe un minorante di $E$ maggiore di $L$, \Lightning. Quindi tale $J$ esiste, da cui la tesi.
Analogamente per il caso sinistro.
\end{proof}
%TODO: migliorare dimostrazione
\begin{example} (funzione discontinua in ogni punto di $\RR$) Si consideri la funzione $f : \RR \to \RR$ definita
nel seguente modo:
\[ f(x) = \system{ 1 & \text{se }x \in \QQ, \\ 0 & \text{altrimenti}, } \]
\vskip 0.05in
ossia la funzione indicatrice dell'insieme $\QQ$ in $\RR$. Si dimostra che $f$ non è continua
in nessun punto di $\RR$. Sia infatti $\xbar \in \RR \setminus \QQ$. Dal momento che $\QQ$ è denso
in $\RR$, $\xbar$ è un punto di accumulazione di $\QQ$, e quindi esiste una successione $(x_n) \subseteq \QQ$
tale che $x_n \tendston \xbar$. Se $f$ fosse continua in $\xbar$, $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0$,
ma per l'intorno $I = [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ non esiste alcun $n_k$ tale per cui $f(x_n) \in I$ $\forall n
\geq n_k$, dal momento che, per definizione di $f$, $f(x_n) = 1$ $\forall n \in \NN$. Quindi $f$ non è continua
in nessun $\xbar \in \RR \setminus \QQ$. \\
Sia ora $\xbar \in \QQ$. $\xbar$ è un punto di accumulazione di $\RR \setminus \QQ$ (si può infatti
considerare la successione $(x_n) \subseteq \RR \setminus \QQ$ definita da $x_n = \xbar + \frac{\sqrt{2}}{n}$,
che è tale che $x_n \tendston \xbar$). Analogamente a come visto prima, allora, per l'intorno $I = [\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$, $f(x_n) \notin I$ $\forall n \in \NN$, e quindi $f$ non è continua neanche su $\xbar \in \QQ$.
\end{example}
\begin{exercise}
Mostrare che l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione $f : I \to \RR$ monotona è al più
numerabile, dove $I$ è un intervallo.
\end{exercise}
\begin{solution}
Si assuma $f$ crescente, senza perdita di generalità (altrimenti è sufficiente considerare $g(x) = -f(x)$).
Sia $E$ l'insieme dei punti di discontinuità di $f$. $\forall \xbar \in E$, $\xbar$ è un punto di accumulazione
destro e sinistro di $I$ (infatti $I$ è un intervallo), ed in particolare esistono sempre il limite destro $L^-(\xbar)$
ed il limite sinistro $L^+(\xbar)$ in $\xbar$ (dal momento che $f$ è monotona), e sono tali che $L^+(\xbar) > L^-(\xbar)$ (sicuramente
sono diversi, altrimenti
$f$ sarebbe continua in $\xbar$; inoltre $f$ è crescente). Allora sia $f : E \to \QQ$ tale che $\xbar \mapsto c$, dove $c \in \QQ$ è
un punto razionale in $(L^-(\xbar), L^+(\xbar))$ (tale $c$ esiste sempre, per la densità di $\QQ$ in $\RR$).
Inoltre, $x < y \implies L^+(x) \leq L^-(y)$, e quindi ogni intervallo da cui è preso $c$ è distinto al variare
di $\xbar \in E$. Quindi $f$ è iniettiva, e vale $\abs{E} \leq \abs{\QQ} = \abs{\NN}$. Si conclude allora
che $E$ è al più numerabile.
\end{solution}
\begin{theorem} (della permanenza del segno)
Data $(x_n) \subseteq \RR$ tale che $x_n \tendston L > 0$, allora
$(x_n)$ è strettamente positiva definitivamente. Analogamente, se $L < 0$,
$(x_n)$ è negativa definitivamente.
\end{theorem}
\begin{proof}
Senza perdita di generalità si pone $L > 0$. Allora esiste sicuramente un intorno $I$ di $L$ tale che ogni suo elemento è positivo (e.g.~$I = [\frac{L}{2}, \frac{3L}{2}]$, se $L \in \RR$, altrimenti $[a, \infty]$ con $a > 0$ se $L = +\infty$). Dal momento che $x_n \tendston L$, $\exists n_k \mid n \geq n_k \implies x_n \in I$,
ossia, in particolare, $n \geq n_k \implies x_n > 0$, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{proposition}
Sia $f : X \to \RRbar$ e sia $\xbar$ un punto di accumulazione di $X$. Se $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L > 0$,
allora $\exists J$ intorno non vuoto di $\xbar$ tale che $f(x) > 0$ $\forall x \in J \cap X \setminus \{\xbar\}$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Analogamente a come visto per il teorema del segno, si pone $L > 0$. Allora esiste sicuramente un intorno $I$ di $L$ tale che ogni suo elemento è positivo. Poiché $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L > 0$, deve esistere un intorno $J$ di
$\xbar$ tale che $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. In particolare, $J \cap X \setminus \{\xbar\}$ non
è mai vuoto, dal momento che $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$, e vale che $f(x) > 0$ $\forall x \in J \cap X \setminus \{\xbar\}$ (dal momento che $f(x) \in I$, che ha tutti elementi positivi), da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{theorem} (degli zeri) Dati $I = [a, b]$ e
$f : I \to \RRbar$ continua tale che $f(a) f(b) < 0$ (i.e.~sono discordi), allora $\exists c \in (a, b) \mid f(c) = 0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Senza alcuna perdita di generalità si pone $f(a) < 0 < f(b)$ (il caso $f(a) > 0 > f(b)$ è
infine dimostrato considerando $g(x) = -f(x)$). Si definisce allora l'insieme $E$ in modo tale che:
\[ E = \{ a \in I \mid f(a) < 0 \}. \]
\vskip 0.05in
Si osserva che $E \neq \emptyset$, dacché $a \in E$. Per la completezza dei numeri reali,
$E$ ammette un estremo superiore $\xbar := \sup E$. Sia $(x_n) \subseteq E$ una successione
tale che $x_n \tendston \xbar$: poiché $f$ è continua in $\xbar$, $\lim_{x \to \xbar} f(x) = f(\xbar) \implies
f(x_n) \tendston f(\xbar)$. Allora, poiché $f(x_n) < 0$ $\forall n \in \NN$, $f(\xbar) \leq 0$ (se così non fosse
$f(x_n)$ dovrebbe essere definitivamente positiva per il teorema della permanenza del segno, ma questo
è assurdo dacché $x_n \in E$ $\forall n \in \NN$, \Lightning). \\
Sia ora $(y_n) \in I$ una successione tale che $y_n \tendston \xbar$ e che $y_n > \xbar$ $\forall n \in \NN$ (questo
è sempre possibile dal momento che $\xbar \neq b \impliedby f(\xbar) \leq 0$). Allora,
poiché $y_n > \xbar = \sup E$, $y_n$ non appartiene ad $E$, e quindi deve valere che $f(y_n) > 0$. Si conclude
allora, per il teorema della permanenza del segno, che $f(\xbar) \geq 0$, e quindi che $f(\xbar) = 0$, da cui
la tesi.
\end{proof}
\begin{proof}[Dimostrazione alternativa] (metodo di bisezione per la ricerca degli zeri)
Come prima, senza alcuna perdita di generalità, si pone $f(a) < 0 < f(b)$. Si ponga $x_0 = \frac{a+b}{2}$,
$I_0 = (a, b)$.
Se $f(x_0) = 0$, allora il teorema è dimostrato. Altrimenti, $f(x_0) > 0$ o $f(x_0) < 0$. Nel primo caso,
si consideri $I_1 = (a, x_0)$, altrimenti si ponga $I_1 = (x_0, b)$. Si riapplichi allora l'algoritmo con $a := \inf I_1$ e $b := \sup I_1$, definendo la successione $(x_n)$ e gli intervalli $I_n$ per ogni passo $n$ dell'algoritmo. \\
Se la successione $(x_n)$ è finita, allora $\exists n \mid f(x_n) = 0$, e quindi il teorema è dimostrato. Altrimenti,
si osservi che la successione degli intervalli è decrescente, e che $\abs{I_n} = \frac{b-a}{2^n} \tendston 0$:
allora, poiché $x_n \in I_n$ $\forall n \in \NN$, $(x_n)$ ammette limite. In particolare, $I_n \tendston \{c\}$,
e quindi $x_n \tendston c \in I_0$. Siano $a_n$, $b_n$ le successioni tali che $I_n = (a_n, b_n)$ $\forall n \in \NN$.
Vale in particolare che $a_n, b_n \tendston c$. Allora, per la continuità di $f$ su $(a, b)$, vale che
$\lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(c)$ e che $\lim_{n \to \infty} f(b_n) = f(c)$: poiché ogni elemento di $(a_n)$ è
per costruzione tale che $f(a_n) < 0$, deve valere che $f(x) \leq 0$ per il teorema della permanenza del segno; analogamente deve valere per costruzione di $(b_n)$ che $f(c) \geq 0$. Si conclude allora che $f(c) = 0$, da cui
la tesi.
\end{proof}
\begin{corollary} (dei valori intermedi) Dati $I = (a, b)$ e
$f : I \to \RRbar$ continua, allora $y_1$, $y_2 \in f(I) \implies
[y_1, y_2] \subseteq f(I)$ (ossia $f$ assume tutti i valori
compresi tra $y_1$ e $y_2$; e quindi $f(I)$ è un insieme convesso di $\RR$).
\end{corollary}
\begin{proof}
Supponiamo $y_1 < y_2$: poiché $y_1$, $y_2$ appartengono già a $f(I)$, è sufficiente mostrare che anche ogni $y \in (y_1, y_2)$ appartiene a $f(I)$. Dal momento che $y_1$, $y_2 \in f(I)$, $\exists x_1$, $x_2 \in I \mid f(x_1) = y_1$ e $f(x_2) = y_2$. Si consideri allora $g : I \to \RRbar$ tale che
$g(x) = f(x) - y$. Allora $g(x_1) = y_1 - y < 0$, mentre $g(x_2) = y_2 - y > 0$. Pertanto, per il teorema
degli zeri, $\exists \xbar \in (x_1, x_2) \mid g(\xbar) = 0 \implies f(\xbar) = y$. Si conclude allora che anche
$y \in f(I)$, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{proposition}
Gli unici insiemi convessi di $\RR$ sono gli intervalli.
\end{proposition}
\begin{proof}
La dimostrazione del fatto che gli intervalli siano convessi è banale. Si dimostra piuttosto
che ogni insieme convesso di $\RR$ è un intervallo. Sia $A$ dunque un insieme convesso di $\RR$,
e si considerino $a := \inf A$ e $b := \sup A$. Sia $x \in (a, b)$. Se non esistesse un punto $c \in A$
tale che $a < c < x$, $x$ sarebbe un estremo inferiore di $A$, \Lightning. Pertanto tale punto $c$ esiste.
Analogamente si può dire per un punto $d \in A$ tale che $x < d < b$. Allora, poiché $A$ è convesso,
$[c, d] \subseteq A$, e in particolare $x \in A$. Pertanto vale che $(a, b) \subseteq A$. Poiché
$a$ e $b$ sono, rispettivamente, estremo inferiore e superiore di $A$, non possono esistere altri punti
non appartenenti a $[a, b]$, ma appartenenti ad $A$. Quindi $A$ può variare a seconda dell'appartenenza
o meno di questi estremi tra questi insiemi:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $A = (a, b)$, se $a$, $b \notin A$,
\item $A = [a, b)$, se $a \in A$, ma $b \notin A$,
\item $A = (a, b]$, se $b \in A$, ma $a \notin A$,
\item $A = [a, b]$, se $a$, $b \in A$.
\end{enumerate}
In ognuno di questi casi $A$ è un intervallo, da cui la tesi.
\end{proof}
\begin{remark}
Una delle principali conseguenze del teorema dei valori intermedi è allora che $f(I)$ stesso è un intervallo,
dal momento che è un insieme convesso di $\RR$.
\end{remark}
\begin{theorem} (di Weierstrass) Sia $I$ un intervallo chiuso\footnote{In realtà è sufficiente che $I$ sia chiuso, ossia che contenga i suoi punti
di accumulazione.} e sia
$f : I \to \RRbar$ continua. Allora esistono $x_m$ e $x_M$ punti
di massimo e minimo assoluti.
\end{theorem}
\begin{proof}
Ci si limita a dimostrare l'esistenza del minimo, dacché l'esistenza
del massimo segue dal considerare $g = -f$. Sia $m := \inf f(I)$.
Esiste allora una successione $(y_n) \subseteq f(I)$ tale che
$y_n \tendston m$. Poiché $y_n \in f(I)$, $\exists x_n \in I \mid
y_n = f(x_n)$. Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, $\exists \, (x_{n_k})
\subseteq I$ sottosuccessione convergente, ossia tale che
$x_{n_k} \to \xbar \in \RRbar$. In particolare vale che
$\xbar \in I$, dal momento che $I$ è un intervallo chiuso. %TODO: approfondire
Per la continuità di $f$ (in particolare in $\xbar$), allora $f(x_{n_k}) \tendston f(\xbar)$.
Essendo $f(x_{n_k})$ una sottosuccessione di $(y_n)$, che è
convergente, deve valere che $f(\xbar) = m$, ossia
$m \in f(I)$, da cui si ricava che $f(I)$ ammette un minimo,
ovvverosia la tesi.
\end{proof}
\begin{remark}
In particolare, una conseguenza del teorema di Weierstrass è che, nel caso di $I$ chiuso,
considerando $f : I \to \RRbar$ continua, non solo $f(I)$ è un intervallo, ma è anche un
intervallo chiuso.
\end{remark}
\begin{remark} (algoritmo di ricerca dei massimi e dei minimi) Sia $f : I \to \RRbar$ la funzione continua di cui si
ricerca i massimi e i minimi. Si ipotizzi\footnote{Non è infatti sempre possibile considerarne un'estensione continua (e.g.~$\sin(\frac1{x})$, il seno del topologo); ciò accade qualora non esista almeno uno dei limiti negli estremi dell'intervallo di $I$.} di poter considerare $\tilde{f} : \overline{I} \to \RRbar$, ossia l'estensione
continua di $f$. Allora, poiché $\tilde{f}$ è continua ed è definita su
un intervallo chiuso, per Weierstrass ammette un massimo e un
minimo. Preso per esempio il minimo, esso potrebbe essere un
estremo di $\tilde{I}$, oppure un punto stazionario di $f$, o infine un punto dell'intervallo $I$ in cui
la funzione $f$ non è derivabile. Analogamente l'algoritmo di ricerca funziona per i massimi di $f$.
\end{remark}
\end{document}
Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-30, Es. applicazione dei teoremi sulla continuità/main.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-30, Es. applicazione dei teoremi sulla continuità/main.tex
+217
View File
@@ -0,0 +1,217 @@
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{personal_commands}
\usepackage[italian]{babel}
\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
\author{Gabriel Antonio Videtta}
\date{30 marzo 2023}
\begin{document}
\maketitle
\wip
\begin{center}
\Large \textbf{Esercitazioni: applicazione dei teoremi sulla continuità}
\end{center}
\begin{exercise}
Siano $I = [a, b] \in \RRbar$, $f : I \to \RRbar$ continua strettamente
crescente. Allora l'eq.~$f(x)=y$ ha una sola soluzione se
$f(a) \leq y \leq f(b)$ e nessuna soluzione se $y < f(a)$ o
se $y > f(b)$.
\end{exercise}
\begin{solution}
Poiché $f$ è strettamente crescente, $f$ è iniettiva. Allora,
se $y$ è tale che $f(a) \leq y \leq f(b)$, per il teorema
dei valori intermedi, $\exists x \mid f(x) = y$; e tale $x$
è unica dal momento che $f$ è iniettiva. In particolare, poiché $f$ è crescente,
$f(a)$ e $f(b)$ sono rispettivamente $\inf f(I)$ e $\sup f(I)$, e
quindi sono anche
$\min f(I)$ e $\max f(I)$, da cui, se $y < f(a)$ o $y > f(b)$,
$y=f(x)$ non ammette soluzione.
\end{solution}
\begin{exercise}
Si consideri l'eq.~$xe^x = 4$ (*).
\begin{enumerate}[(a)]
\item Mostrare che (*) ammette un'unica soluzione $\xbar \in \RRbar$, e trovare $x_0$, $x_1$ tali che $x_0 < \xbar < x_1$.
\item Calcolare $\xbar$ con errore minore a $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
Si studia la funzione $f(x) = xe^x - 4$. $f$ è continua, e vale che
$f(0) = -4$ e che $f(2) = 2e^2 - 4 \geq 4$. Quindi, per il teorema
degli zeri su $[0, 2]$, $f$ ammette uno zero $\xbar$ in $(0, 2)$. \\
Si studia adesso la derivata $f'(x) = e^x + xe^x = (1+x)e^x$.
$f'(x) > 0 \iff x > -1$, ossia $f$ è crescente per $x > -1$.
Al contrario, $f$ decresce per $x < -1$; poiché allora
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -4$, $\sup f((-\infty), -1)) = -4$,
e quindi $f$ non ha zeri per $x < -1$, tantomeno per $x = -1$
(infatti $f(-1) = -1 e^{-1} - 4 \neq 0$). \\
Poiché per $x > -1$ $f$ è allora strettamente crescente,
$f$ può ammette un solo zero, ossia quello trovato all'inizio
della soluzione.
Per ricavare $\xbar$ con errore minore a $10^{-2}$, si applica
il metodo di bisezione per $7$ volte (infatti $\eps(n) = \frac{1}{2^n}$
per ogni passaggio $n$-esimo dell'algoritmo, e $\eps(7) \approx 0.0079 < 0.01$), ricavando $\xbar = 1.2031$.
\end{solution}
\begin{exercise}
Si consideri l'eq~$x^5+x=10$ (*).
\begin{enumerate}[(a)]
\item Mostrare che $\exists\, \xbar$ soluzione di (*) e che
tale $\xbar$ è unica.
\item Mostrare che $\xbar \in (0, 2)$.
\item Trovare $\xbar$ con errore minore a $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{solution}
Si consideri la funzione $f(x) = x^5 + x - 10$. Si osserva che
tale funzione è sempre continua. Si osserva che $f(0) = -10$ e che
$f(2) = 24$. Quindi $f$ ammette una soluzione $\xbar$ in
$(0, 2)$. \\
Si studia la derivata di $f$, ossia $f'(x) = 5x^4+1$. Poiché
$f'(x) > 0$ $\forall x \in \RR$, $f$ è strettamente crescente,
e quindi $f$ ammette un'unica soluzione, $\xbar$. \\
Per trovare la soluzione $\xbar$ con errore minore a $10^{-2}$,
come nell'esercizio precedente, è necessario applicare
il metodo di bisezione per $7$ volte, ricavando
$\xbar = 1.5469$.
\end{solution}
\begin{remark}
La scelta del punto medio nell'algoritmo di bisezione è (quasi)
forza. Nella costruzione degli intervalli è infatti
necessario che l'intervallo, all'infinito, tenda ad un solo
punto; qualora non venga scelto il punto medio degli intervalli,
questo non è assolutamente garantito.
\end{remark}
\begin{exercise}
Sia $I = [a, b]$. Siano $f_1$, $f_2 : I \to \RR$ continue tali che
$f_1(a) < f_2(a)$ e che $f_1(b) > f_2(b)$. Dimostrare che $\exists \xbar \in I$ tale che $f_1(\xbar) = f_2(\xbar)$.
\end{exercise}
\begin{solution}
Si consideri $g(x) = f_1(x) - f_2(x)$. $g$ è continua in $I$, e
$g(a) < 0$ e $g(b) > 0$ per ipotesi. Allora, per il teorema degli
zeri, $\exists x \in (a, b)$ tale che $g(x) = 0$, ossia
che $f_1(x) = f_2(x)$, da cui la tesi.
\end{solution}
\begin{exercise}
Sia $I = [a, b]$ e sia $f: I \to \RR$ continua. Sia $P$ un punto che si muove in modo continuo nella striscia $I \times \RR$. Sia in
particolare $P : [0, 1] \to I \times \RR$ tale che
$t \mapsto (x(t), y(t))$ con $a \leq x(t) \leq b$ $\forall t \in [0, 1]$, con $y(0) > f(a)$, $y(1) < f(b)$, $x(0) = a$ e $x(1) = b$. Dimostrare che $\exists t \in
[0, 1]$ tale che $(x(t), y(t)) = (x(t), f(x(t)))$, ossia che tale
curva si interseca con la funzione $f$.
\end{exercise}
\begin{solution}
Si consideri la funzione $g(t) = f(x(t)) - y(t)$. Poiché $x$ ed
$f$ sono continue, lo è anche la loro composizione, e così,
poiché anche $y$ è continua, lo è in particolare $g$. Dal momento
che $g(0) = f(x(0)) - y(0) = f(a) - y(0) < 0$ e $g(1) =
f(x(1)) - y(1) = f(b) - y(1) > 0$, per il teorema dei valori
intermedi, esiste $\tbar \in (0, 1)$ tale che $g(0) = 0$,
ossia tale che $f(x(\tbar)) = y(\tbar)$, da cui la tesi.
\end{solution}
\begin{exercise}
Sia $I = (a, b)$ e sia $f : (a, b) \to \RRbar$ continua tale che
$\exists \ell_a = \lim_{x \to a} f(x)$, $\ell_b = \lim_{x \to b} f(x)$.
Si consideri allora l'estensione continua $\tilde f$:
\[ \tilde f = \system{ f(x) & \text{se } x \neq a, b, \\ \ell_a & \text{se } x = a, \\ \ell_b & \text{se } x = b.} \]
Allora\footnote{Come
già riscontrato, vale un risultato ancora più forte:
data un'estensione $\tilde f$ di $f$ in $\overline I$, $\tilde f$
è continua se e solo se i valori estesi sono esattamente i limiti
della funzione nei punti di $I \setminus \overline I$; e quindi
l'estensione continua è ben definita, e unica del suo genere.} vale che $\tilde f$ è continua in $\overline I$.
\end{exercise}
\begin{solution}
Sicuramente $\tilde f$ è continua in $I$, dacché vale quanto
$f$ in questa porzione di intervallo. Poiché $\ell_a = \lim_{x \to a} f(x)$, per ogni intorno $I$ di $\ell_a$ esiste un intorno $J$ di $a$
tale che $f(J \cap I \setminus \{a\}) = f(J \cap I) = \tilde f(J \cap I) \subseteq I$, ossia, per definizione, $\tilde f$ è continua
anche in $a$, e, analogamente, anche in $b$.
\end{solution}
\begin{remark} Come mostrato nella traccia dell'esercizio precedente,
si possono estendere continuamente alcune funzioni elementari.
Per esempio, detta $f(x) = \frac{1}{x^2}$, si può estendere $f$
a $\tilde f : \RRbar \to \RRbar$ in modo tale che:
\[ \tilde f(x) = \system {0 & \text{se } x = \pm \infty, \\ +\infty & \text{se } x = 0, \\ f(x) & \text{altrimenti.}} \]
\end{remark}
%TODO: dimostrare che se limite sinistro e destro coincidono, allora esiste il limite ed è lo stesso del limite sinistro e destro.
\begin{exercise}
Si trovi un esempio di funzione $f : X \to \RRbar$, dove, dato $\xbar$ punto
di accumulazione di $X$, $f(x) \tendsto{\xbar} \ell$, ma
$\exists \, (x_n) \subseteq X$ tale che $x_n \tendston \xbar$, ma
$f(x_n)$ non tende a $\ell$ per $n \to \infty$.
\end{exercise}
\begin{solution}
Sia $f : \RR \to \RR$ tale che:
\[ f(x) = \system{0 & \text{se } x = 0, \\ 1 & \text{altrimenti}.}\]
Si consideri allora la successione $(x_n) \subseteq X$ tale che:
\[ x_n = \system{ 0 & \text{se } n \text{ è pari}, \\ \frac{1}{n} & \text{altrimenti}. } \]
Si mostra che $x_n \tendston 0$. Infatti, sia $I = [-\eps, \eps]$, con $\eps > 0$, un intorno di $0$.
Allora per $n > \frac{1}{\eps}$ vale che $x_n \in I$ (infatti $0$ vi appartiene sempre, e $0 < \frac{1}{n} < \eps$);
da cui si ricava proprio che $x_n \tendston 0$. \\
Chiaramente $f(x) \tendsto{0} 1$. È sufficiente mostrare allora che $f(x_n)$ non tende a $1$ per
$n \to \infty$. Si consideri la sottosuccessione $f(x_{2n})$: poiché $f(x_{2n}) = f(0) = 0$, la
sottosuccessione presa in considerazione è costante, e quindi $f(x_{2n}) \tendston 0$.
Anche la sottosuccessione $f(x_{2n + 1})$ è costante, e vale che $f(x_{2n + 1}) = f(\frac{1}{n}) = 1$,
e quindi $f(x_{2n+1}) \tendston 1$. Poiché allora il limite di $f(x_n)$, se esistesse, dovrebbe essere
uguale a quello di ambo le sottosuccessioni considerate, ed il limite è unico, $f(x_n)$ non ammette
limite, proprio come volevasi dimostrare.
\end{solution}
\begin{exercise}
Sia $X \subseteq \RRbar$ tale che ogni punto di $X$ sia isolato.
Dimostrare allora che $X$ è al più numerabile.
\end{exercise}
\begin{solution}
Sia $\xbar \in X$. Poiché $\xbar$ è per ipotesi isolato, esiste
un intorno $I(\xbar)$ di $\xbar$ tale che $I \cap X = \{\xbar\}$. Si può
sempre trovare un intorno $J(\xbar)$ più piccolo di $I(\xbar)$ tale
che $J(\xbar) \cap I(x) = \emptyset$ $\forall x \in X \setminus \{\xbar\}$.
Se infatti non si potesse, esisterebbe un $x \in X \setminus \{\xbar\}$ tale che $J \cap I(x) \neq \emptyset$ per ogni
intorno $J \subseteq I(\xbar)$ di $\xbar$: sicuramente tale $x \notin J$,
altrimenti $I(\xbar)$ conterrebbe un elemento di $X$ diverso
da $\xbar$, assurdo dal momento che $I(\xbar)$ non ne contiene uno
per costruzione; ma $x$ non può neanche appartenere a $X \setminus J$,
dacché in tal modo si può sempre costruire con errore a piacimento
un intorno più piccolo di $J$ tale che sia disgiunto con $I(x)$,
\Lightning. Dal momento che $\QQ$ è denso in $\RRbar$, si può allora
sempre associare a $J(\xbar)$ un numero razionale $q$ al suo interno.
In questo modo si può costruire una funzione $f : X \to \QQ$,
tale che $f(\xbar) = q$. Poiché i $J(x)$ sono digiunti per costruzione,
$f$ è iniettiva, e quindi $\abs X \leq \abs \QQ = \abs \NN$, e quindi
$X$ è al più numerabile. %TODO: approfondire
\end{solution}
\end{document}
Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, Teoria sulle derivate/main.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
Analisi matematica 1/Parte teorica/2023-03-31, Teoria sulle derivate/main.tex
+168
View File
@@ -0,0 +1,168 @@
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{personal_commands}
\usepackage[italian]{babel}
\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
\author{Gabriel Antonio Videtta}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\wip
\begin{center}
\Large \textbf{Teoria sulle derivate}
\end{center}
\begin{definition}
Sia $f : X \subseteq \RR \to \RR$. Si definisce allora \textbf{derivata}
di $f$ in $\xbar \in X$ punto di accumulazione, se esiste, il seguente limite:
\[f'(\xbar) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\]
Si definisce anche $f' : D \subseteq X \to \RR$ come la funzione derivata,
la quale associa ogni punto in cui la derivata di $f$ esiste a
tale derivata, dove $D$ è proprio l'insieme dei punti in cui questa esiste.
\end{definition}
%TODO: spiegare il perché dei domini
\begin{definition}
$\xbar \in X$ si dice \textbf{derivabile} se e solo se $f'(\xbar)$ esiste ed è finito.
\end{definition}
\begin{remark}\nl
\li L'insieme $D$ può essere vuoto. \\
\li Si definisce $f^{(n)}(\xbar)$ come la derivata $n$-esima
di $f$ in $\xbar$. \\
\li Si definisce $f^{(0)}(x) = f(x)$. \\
\li L'operazione di derivata è un operatore lineare. \\
\li Si può definire la derivata sinistra e destra.
\end{remark}
\begin{definition}
Si dice che $f : X \to \RR$ è derivabile se è derivabile in ogni
suo punto.
\end{definition}
\begin{definition}
Si dice che $f \in \cc^1$ se è derivabile e la sua
funzione derivata è continua. In generale, si dice che $f \in \cc^n$ se
è derivabile $n$ volte e ogni sua derivata, fino alla $n$-esima,
è continua. Si pone $f \in \cc^\infty$ se $f$ è derivabile per un
numero arbitrario di volte e ogni sua derivata è continua.
\end{definition}
\begin{proposition}
Sia $f : X \to \RR$ e sia $\xbar \in X$ un punto di accumulazione di $X$. Allora:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $f$ derivabile in $\xbar$ $\implies$ $f(\xbar + h) = f(\xbar) + f'(\xbar) h + o(h)$.
\item Se esiste $a$ tale che $f(\xbar + h) = f(\xbar) + ah + o(h)$,
allora $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar) - f'(\xbar) h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} - f'(\xbar) = 0$, da cui la prima tesi. \\
Inoltre, se esiste $a$ come nelle ipotesi, $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{ah + o(h)}{h} = 0$, quindi $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$.
\end{proof}
\begin{corollary}
Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora è anche continua in $\xbar$.
\end{corollary}
\begin{proof}
Infatti, poiché $f(x) = f(\xbar) + f'(\xbar) (x - \xbar) + o(x-\xbar)$,
$\lim_{x \to \xbar} f(x) = f(\xbar)$, e quindi $f$ è continua in $\xbar$. %TODO: trovare esempio di derivabilità infinita e non continuità
\end{proof}
\begin{proposition}
Siano $f_1$, $f_2 : X \to \RR$ entrambe derivabili in
$\xbar$. Allora:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $(f_1 + f_2)'(\xbar) = f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$,
\item $(f_1f_2)'(\xbar) f_1(\xbar) f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\lim_{h \to 0} \frac{(f_1 + f_2)'(\xbar + h) - (f_1 + f_2)'(\xbar)(\xbar)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f_1(x+h) - f_1(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f_2(x+h) - f_2(x)}{h} =
f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$.
\item Poiché $f_1$ ed $f_2$ sono derivabili in $\xbar$,
$f_1(\xbar + h) = f_1(\xbar) + f_1'(\xbar) h + o(h)$ e
$f_2(\xbar + h) = f_2(\xbar) + f_2'(\xbar) h + o(h)$,
da cui $(f_1 f_2)(\xbar + h) = (f_1f_2)(\xbar) + (f_1f_2'(\xbar) +
f_1'(\xbar) f_2(\xbar))h + o(h) \implies (f_1 f_2)'(\xbar) = (f_1f_2'(\xbar) +
f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{proposition}
Siano $f : X \to Y$ e $g : Y \to \RR$, con $f$ derivabile in $\xbar$ e $g$ tale che
sia derivabile in $\ybar = f(\xbar)$. Allora $g \circ f$ è
derivabile in $\xbar$ e $(g \circ f)'(\xbar) = f'(\xbar) g'(\ybar)$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Vale che $f(\xbar + h) = \ybar + f'(\xbar) h + o(h)$, e quindi
che $g(f(\xbar + h)) = g(\ybar + f'(\xbar) h + o(h))$. In particolare,
$g(\ybar + h) = g(\ybar) + g'(\ybar) h + o(h)$, e quindi
$g(f(\xbar + h)) = g(\ybar) + g'(\ybar) (f'(\xbar)h + o(h)) +
o(f'(\xbar) h + o(h)) = g(\ybar) + g'(\ybar) + g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h) \implies (g \circ f)'(\xbar) = g'(\ybar) f'(\xbar)$.
\end{proof}
\begin{proposition}
Sia $f : X \to Y$ con inversa $g : Y \to X$. Sia $f$ derivabile
in $\xbar$ con $f'(\xbar) \neq 0$. Sia $g$ continua in $\ybar = f(\xbar)$. Allora:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\ybar$ è un punto di accumulazione di $Y$,
\item $g$ è derivabile in $\ybar$,
\item $g'(\ybar) = \frac{1}{f'(\xbar)}$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}\nl
\begin{enumerate}[(i)]
\item Poichè $f$ è derivabile in $\xbar$, $f$ è continua
in $\xbar$. Quindi per ogni intorno $I$ di $\ybar$, esiste
un intorno $J$ di $\xbar$ tale per cui $f(I \cap X \setminus \{ \xbar \}) \subseteq J$, e poiché $I \cap X \setminus \{\xbar\}$ non
è mai vuoto perché $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$ a causa della derivabilità di $f$ in $\xbar$, $J$ contiene in particolare un immagine di $f$ in esso, e quindi un punto di $Y$;
inoltre, tale punto è diverso da $\ybar$ dacché $f$ è
iniettiva. Quindi $\ybar$ è un punto di accumulazione.
\item e (iii) Vale\footnote{Nel dire che $h \to 0$, si è usato che $g$ è
continua in $\ybar$.} che $\ybar + k = f(g(\ybar + k)) = f(g(\ybar) + (\underbrace{g(\ybar + k) - g(\ybar)}_h)) = f(\xbar + h) =
f(\xbar) + f'(\xbar) h + o(h) = \ybar + f'(\xbar) h + o(h)$. Quindi $k = f'(\xbar) h + o(h)$. Dal momento che $f'(\xbar) \neq 0$
per ipotesi, $h \sim \frac{k}{f'(\xbar)}$. Quindi
$\lim_{k \to 0} \frac{g(\ybar + k) - g(\ybar)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{h}{k} = \frac{1}{f'(\xbar)}$. Quindi la derivata esiste
ed è proprio come desiderata nella tesi.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{example}
La continuità è necessaria nelle scorse ipotesi. Si può costruire
infatti una funzione del tipo:
\[ f(x) = \system{x & \se x \geq 0, \\ -(x+2) & \se -2 < x \leq -1.} \]
dove $f'(0) = 1$, $f$ è invertibile, ma la derivata di $g$ in $0$ non
esiste ($D_+ g(0) = 1)$, ma $D_- g(0) = +\infty$).
\end{example}
\begin{theorem} (di Fermat)
Sia $I$ intervallo, $f : I \to \RR$, $\xbar$ interno a $I$ punto
di massimo o minimo locale con $f$ derivabile in $\xbar$, allora
$f'(\xbar) = 0$.
\end{theorem}
\begin{example}
Dimostrare che la derivata sinistra è negativa, e che quella
destra è positiva nei casi che hai capito.
\end{example}
\end{document}
Analisi matematica 1/Parte teorica/ZFC e teoria delle cardinalità/Introduzione a ZFC e alle cardinalità.pdf
BIN
View File
Binary file not shown.
Analisi matematica 1/README.md
+15
View File
@@ -0,0 +1,15 @@
# [Analisi Matematica 1](https://esami.unipi.it/programma.php?c=53660&aa=2022&cid=9&did=20)
- [Programma del corso 📘](https://esami.unipi.it/programma.php?c=53660&aa=2022&cid=9&did=20)
- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=7083962::::&ri=8292)
- [Sito web 🔗](https://pagine.dm.unipi.it/alberti/didattica/didattica.html#corso1)
- [Raccolta esercizi di Gobbino 🎒](http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Home_Page/ArchivioDidattico.html)
Il corso di Analisi Matematica 1 è ancora in corso, e quindi questa cartella vedrà continui aggiornamenti. Tale
corso è stato sin da subito suddiviso in due principali parti: quella di *calculus*, ossia di mera applicazione
dei risultati pratici dell'analisi; e quella di *analysis*, ossia di rifondazione teorica dell'analisi
moderna, e dunque di rivisitazione in chiave strettamente più formale dei concetti intravisti nella parte di *calculus*.
Inizialmente gli appunti sono stati presi con [Microsoft OneNote](https://www.onenote.com/). Successivamente sono
passato a [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it),
e poi a prenderli in LaTeX con [TeXstudio](https://www.texstudio.org/).