\item Come prima, si dimostra l'identità mostrando che vale la doppia inclusione dei due
spazi vettoriali. Sia $\vec u \in D_0\cap D_0'$. Sia $P \in D \cap D'$. Allora esiste $P_1\in D$
tale che $\vec u = P - P_1$. Analogamente esiste $P_2\in D'$ tale che $\vec u = P - P_2$. Poiché
$E$ è $V$-omogeneo, esiste un solo punto $P'$ tale che $P = P' +\vec u$. Si conclude dunque
$V$ agisce liberamente su $E$, esiste un solo punto $P'$ tale che $P = P' +\vec u$. Si conclude dunque
che $P_1= P_2$, e dunque che $P_1$ appartiene anche a $D'$. Pertanto $\vec u \in(D \cap D')_0\implies
D_0 \cap D_0' \subseteq (D \cap D')_0$.
@ -300,15 +300,105 @@
(D \cap D')_0 \subseteq D_0 \cap D_0'$, da cui si conclude che $(D \cap D')_0 = D_0 \cap D_0'$. \qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{definition} [somma affine]
Siano $D$ e $D'$ due sottospazi affini di $E$. Si definisce
allora la \textbf{somma affine}$D + D'$ come $\Aff(D \cup D')$.
\end{definition}
\begin{proposition} [formula di Grassmann per i sottospazi affini]
Siano $D$ e $D'$ due sottospazi affini di $E$ con $D \cap D' \neq\emptyset$. Allora
$\dim\Aff(D \cup D')=\dim D +\dim D' -\dim(D \cap D')$.
$\dim(D + D')=\dim D +\dim D' -\dim(D \cap D')$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Per la proposizione precedente, $\dim\Aff(D \cup D')=\dim(D_0+ D_0')$. Allora, applicando
la formula di Grassmann per i sottospazi vettoriali, $\dim(D_0+ D_0')=\dim D_0+\dim D_0' -\dim(D_0\cap D_0')=\dim D +\dim D' -\dim(D_0\cap D_0')$. Sempre per la proposizione precedente,
$D_0\cap D_0' =(D \cap D')_0$, da cui si deduce che $\dim(D_0\cap D_0')=\dim(D \cap D')_0=\dim D \cap D'$. Pertanto $\dim\Aff(D \cup D')=\dim D +\dim D' -\dim(D \cap D')$.
$D_0\cap D_0' =(D \cap D')_0$, da cui si deduce che $\dim(D_0\cap D_0')=\dim(D \cap D')_0=\dim D \cap D'$. Pertanto $\dim(D + D')=\dim\Aff(D \cup D')=\dim D +\dim D' -\dim(D \cap D')$.
\end{proof}
\begin{remark}
Si definisce $\ell_{P,Q}=\{\lambda P +(1-\lambda) Q \mid\lambda\in\KK\}$ con $P$, $Q \in E$ come la retta passante per due
punti. Allora, in generale, se $D$ e $D'$ sono due sottospazi
affini di $E$, $D + D' =\bigcup_{\substack{P \in D \\ Q \in D'}}\ell_{P,Q}$. \\
Infatti ogni elemento di $\ell_{P, Q}$ è una combinazione affine
di due elementi di $D + D'$, e quindi appartiene a $D + D' \implies
D + D' \supseteq\bigcup_{\substack{P \in D \\ Q \in D'}}\ell_{P,Q}$. \\
Infine, se $T \in D + D'$, esistono $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$,
$\mu_1$, ..., $\mu_{k'}\in\KK$, $P_1$, ..., $P_k \in D$ e
$Q_1$, ..., $Q_{k'}\in D'$ tali che $T =\sum_{i=1}^k \lambda_i P_i +
\sum_{j=1}^{k'}\mu_j Q_j$\footnote{Al più $T$ è un elemento di solo $D$ o $D'$. In tal caso $T$ appartiene già a una qualsiasi retta passante per $T$. Pertanto si può anche assumere successivamente
che $\alpha$, $\beta\neq0$ -- se infatti uno dei due parametri
fosse nullo, $T$ apparterrebbe a $D$ o $D'$.}, con $\sum_{i=1}^k \lambda_i +\sum_{j=1}^{k'}\mu_j =1$. Se $\alpha=\sum_{i=1}^k \lambda_i$ e
$\beta=\sum_{j=1}^{k'}\mu_j$, si può riscrivere $T$ nel
seguente modo:
\[ T =\alpha\underbrace{\sum_{i=1}^k \frac{\lambda_i}{\alpha} P_i}_{=\, P'}+
Si osserva che in generale vale che $(D + D')_0= D_0+ D_0' +\Span(P_0- P_0')$. Chiaramente vale che $(D + D')_0\supseteq D_0+ D_0' +\Span(P_0- P_0')$, dal momento che $D_0$, $D_0'$ e $\Span(P_0- P_0')$ sono tutti sottospazi vettoriali di $(D + D')_0$. \\
Sia ora $P' \in D + D'$. Allora esistono $P'' \in D$, $Q'' \in Q$ tali
per cui $P' \in\ell_{P'', Q''}$, e quindi esiste $\lambda\in\KK$
per cui $P' = P'' +\lambda(Q'' - P'')$. Poiché $P'' \in D$,
esiste $\v\in D_0$ tale per cui $P'' = P_0+\v$. Allora
Sia $B \in C(J_{0, m})$. Si osserva che $J_{0,m} B =\Matrix{B_2\\\hline B_3\\\hline\vdots\\\hline B_{m}\\\hline0}$, mentre $B J_{0,m}=\Matrix{0&\rvline& B^1&\rvline& B^2&\rvline&\cdots&\rvline& B^{m-1}}$. Per ipotesi deve valere che $J_{0,m} B = B J_{0,m}$, e quindi, uguagliando le matrici colonna a colonna, si osserva
Sia $B \in C(J_{0, m})$. Si osserva che vale la seguente identità:
\[ J_{0,m} B =\Matrix{B_2\\\hline B_3\\\hline\vdots\\\hline B_{m}\\\hline0}, \]
\vskip 0.05in
mentre $B J_{0,m}=\Matrix{0&\rvline& B^1&\rvline& B^2&\rvline&\cdots&\rvline& B^{m-1}}$. Per ipotesi deve valere che $J_{0,m} B = B J_{0,m}$, e quindi, uguagliando le matrici colonna a colonna, si osserva
la colonna $B^1$ è tutta nulla eccetto per il primo elemento; si osserva poi che la colonna $B^2$ è composta
da elementi di $B^1$ traslata in basso di una posizione; e così via ciclando sulle colonne, ottenendo che,
data $B^m =\Vector{ a_0\\ a_1\\\vdots\\ a_{m-1}}$, $B = a_0 I + a_1 J_{0,m}+\ldots+ a_{m-1} J_{0, m}^{m-1}$,
data $B^m =\Vector{ a_0& a_1&\cdots& a_{m-1}}^\top$, $B = a_0 I + a_1 J_{0,m}+\ldots+ a_{m-1} J_{0, m}^{m-1}$,
quindi $B \in\Span(I, J_{0, m}, J_{0, m}^2, ..., J_{0, m}^{m-1})$. Dal momento che ogni elemento generatore di
$\Span(I, J_{0, m}, J_{0, m}^2, ..., J_{0, m}^{m-1})$ commuta con $J_{0,m}$, vale la doppia inclusione, da cui
