diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf index a00a90b..5a09a82 100644 Binary files a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf and b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf differ diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex index 8c99c77..e5c2fa3 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex @@ -34,6 +34,8 @@ \renewcommand{\vec}[1]{{\underline{#1}}} +\newcommand{\basis}{\mathcal{B}} + \newtheorem*{warn}{{\fontencoding{U}\fontfamily{futs}\selectfont\char 49\relax} \; Attenzione} \newtheoremstyle{customth} diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex index 7d263a3..87a8a48 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex @@ -372,7 +372,8 @@ Dal momento che $f\inv(y)$ è sia compatto che discreto, $f\inv(y)$ è finito. \end{proof} - \begin{lemma}[della pila dei dischi] Siano $M$ e $N$ varietà della \underline{stessa dimensione}. + \begin{lemma}[della pila dei dischi] \label{lem:pila} + Siano $M$ e $N$ varietà della \underline{stessa dimensione}. Sia $M$ compatta. Sia $f : M \to N$ una mappa liscia con $y \in N$ valore regolare. Allora esiste un intorno $V$ di $y$ tale per cui: \[ @@ -729,7 +730,7 @@ \subsection{Mappe dalla varietà al bordo} - \begin{theorem} + \begin{theorem} \label{thm:classificazione_dim_1} Una varietà compatta di dimensione uno con bordo è necessariamente un'unione di copie di $S^1$ e di intervalli chiusi di $\RR$. \end{theorem} @@ -760,4 +761,153 @@ \end{proof} \section{Teoria del grado modulo \texorpdfstring{$2$}{2}} + + \subsection{Omotopie \texorpdfstring{$C^\infty$}{C∞}} + + \begin{definition}[Omotopia $C^\infty$ e funzioni $C^\infty$-omotope] + Siano $f$ e $g$ due funzioni da una varietà $M$ in una $N$. + Un'\textbf{omotopia $C^\infty$} da $f$ a $g$ è una funzione liscia + $H : M \times [0, 1] \to N$ tale per cui: + \begin{itemize} + \item $H(-, 0) = f$, + \item $H(-, 1) = g$. + \end{itemize} + + Due funzioni $f$ e $g$ per le quali esiste un'omotopia + da $f$ a $g$ si dicono \textbf{$C^\infty$-omotope}. + \end{definition} + + \begin{lemma}[di omotopia] + Siano $f$ e $g$ due funzioni $C^\infty$-omotope da una varietà $M$ in una $N$, + con $M$ compatta e $\dim M = \dim N$. Se + $y \in N$ è un valore regolare sia per $f$ che per $g$, allora: + \[ + \boxed{\abs{f\inv(y)} \equiv \abs{g\inv(y)} \pmod{2}.} + \] + \end{lemma} + + \begin{proof} + Sia $H$ una omotopia $C^\infty$ da $f$ a $g$. Allora, poiché $M$ è compatta, + per il Lemma \ref{lem:pila}: + \begin{itemize} + \item esiste un intorno $V_1$ di $y \in N$ su cui $\abs{f\inv(\cdot)}$ è costante; + \item esiste un intorno $V_2$ di $y \in N$ su cui $\abs{g\inv(\cdot)}$ è costante. + \end{itemize} + È sufficiente allora mostrare la tesi per un qualsiasi valore $y' \in V_1 \cap V_2$; + poiché i valori regolari sono densi, possiamo prendere $y'$ valore regolare di $H$. \smallskip + + Allora $H\inv(y')$ è una varietà di dimensione $1$, il cui bordo ha un numero pari + di punti per il Teorema \ref{thm:classificazione_dim_1}. \smallskip + + Osserviamo che $\partial (M \times [0, 1]) = M \times \{0\} \sqcup M \times \{1\}$. Allora: + \[ + \partial H\inv(y') = (f\inv(y') \times \{0\}) \sqcup (g\inv(y') \times \{1\}). + \] + Quindi: + \[ + 0 \equiv \abs{\partial H\inv(y')} \equiv \abs{f\inv(y)} + \abs{g\inv(y)} \pmod{2}. + \] + \end{proof} + + \subsection{Isotopie e lemma di omogeneità} + + \begin{definition}[Isotopia] + Una omotopia $C^\infty$ $H : M \times [0, 1] \to N$ si dice + \textbf{isotopia} se per ogni $t \in [0, 1]$, $H(-, t)$ è un + diffeomorfismo liscio. + \end{definition} + + \begin{definition}[Isotopia a supporto compatto] + Un'isotopia $H : N \times [0, 1] \to N$ si dice \textbf{a supporto compatto} se esiste + un compatto $K \subseteq N$ tale per cui $\restr{H(-, t)}{N \setminus K} = \id_{N \setminus K}$ + per ogni $t \in [0, 1]$. + \end{definition} + + \begin{definition}[Punti isotopi di una varietà] + Due punti $y$, $z \in N$, dove $N$ è una varietà, si dicono + \textbf{isotopi} se esiste un diffeomorfismo $h : N \to N$ + con $h(y) = z$ e un'isotopia a supporto compatto da $h$ a + $\id_{N}$. + \end{definition} + + \begin{remark} + È immediato osservare che la relazione ``essere isotopi'' sui punti di una varietà è una relazione di equivalenza. + \end{remark} + + \begin{lemma}[di omogeneità] + Sia $N$ una varietà connessa e siano $y$, $z$ due suoi punti. Allora + $y$ e $z$ sono isotopi. + \end{lemma} + + \begin{proof} + ... + \end{proof} + + \subsection{Grado modulo $2$ e buona definizione} + + \begin{theorem} + Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ compatta + e $N$ connessa. Siano $y$ e $z$ due valori regolari di una + funzione $f : M \to N$ liscia. Allora: + \[ \abs{f\inv(y)} \equiv \abs{f\inv(z)} \pmod{2}. \] + \end{theorem} + + \begin{proof} + ... + \end{proof} + + \begin{definition}[Grado modulo $2$ di una funzione liscia] + Sia $f : M \to N$ una funzione liscia da una varietà compatta $M$ + a una di stessa dimensione e connessa $N$. Allora si definisce + il \textbf{grado modulo $2$ di $f$} come: + \[ + \boxed{\deg_2 f \defeq \abs{f\inv(y)} \bmod 2,} + \] + dove $y$ è un qualsiasi valore regolare di $f$. + \end{definition} + + \begin{theorem} \label{thm:fondamentale_grado_2} + Siano $M$ e $N$ varietà della stessa dimensione. Sia $M$ compatta + e $N$ connessa. Se $f$ e $g$ sono due mappe lisce $C^\infty$-omotope da $M$ in $N$, + allora: + \[ + \boxed{\deg_2 f = \deg_2 g.} + \] + \end{theorem} + + \begin{corollary} + La mappa costante $c_{x_0} : S^n \to S^n$ \underline{non} è + $C^\infty$-omotopa a $\id_{S^n}$. + \end{corollary} + + \begin{proof} + Poiché $c_{x_0}$ non è surgettiva, $\deg_2 c_{x_0} = 0$; mentre + $\deg_2 \id_{S^n} = 1$. Quindi per il Teorema \ref{thm:fondamentale_grado_2} + le due mappe non possono essere $C^\infty$-omotope. + \end{proof} + + \section{Teoria del grado su \texorpdfstring{$\ZZ$}{ℤ}} + + \subsection{Orientazione di basi su spazi vettoriali} + + \begin{definition}[Stessa orientazione] + Si dice che due basi (ordinate) $\basis$, $\basis'$ di un $\RR$-spazio vettoriale finito-dimensionale + \textbf{hanno la stessa orientazione} se la matrice del cambio di base da $\basis$ + a $\basis'$ ha determinante positivo. + \end{definition} + + \begin{remark} + È immediato verificare che ``avere la stessa orientazione'' è + una relazione d'equivalenza sulle basi dello spazio in esame. + \end{remark} + + \begin{definition}[Orientazione canonica] + Si definisce l'\textbf{orientazione canonica} $\Theta_0$ di $\RR^n$ + come la classe di equivalenza indotta dall'orientazione della base + canonica. + \end{definition} + + \subsection{Orientazione su varietà} + + \end{multicols*}