diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf index da81c88..a23b164 100644 Binary files a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf and b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf differ diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex index a8a093d..11788b0 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/preamble.tex @@ -62,14 +62,14 @@ \makeatletter \renewenvironment{proof}[1][\proofname]{\par - \pushQED{\qed}% - \normalfont \topsep6\p@\@plus6\p@\relax - \trivlist - \item[\hskip\labelsep - \itshape - #1\@addpunct{.}]\mbox{}\\* + \pushQED{\qed}% + \normalfont \topsep6\p@\@plus6\p@\relax + \trivlist + \item[\hskip\labelsep + \itshape + #1\@addpunct{.}]\mbox{}\\* }{% - \popQED\endtrivlist\@endpefalse + \popQED\endtrivlist\@endpefalse } \makeatother @@ -79,8 +79,10 @@ \newcommand{\RR}{\mathbb{R}} \newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\CC}{\mathcal{C}} +\newcommand{\TT}{\mathbb{T}} \DeclareMathOperator{\SO}{SO} +\DeclareMathOperator{\rk}{rk} \DeclareMathOperator{\Span}{span} @@ -109,7 +111,7 @@ %\setcounter{secnumdepth}{1} \newcommand{\restr}[2]{ - #1\arrowvert_{#2} + #1\arrowvert_{#2} } \newcommand{\inv}{^{-1}} @@ -131,12 +133,12 @@ % A TikZ style for curved arrows of a fixed height, due to AndréC. \tikzset{curve/.style={settings={#1},to path={(\tikztostart) - .. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$) - and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$) - .. (\tikztotarget)\tikztonodes}}, - settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1} - \def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}}, - quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0} + .. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$) + and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$) + .. (\tikztotarget)\tikztonodes}}, + settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1} + \def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}}, + quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0} % TikZ arrowhead/tail styles. \tikzset{tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{tikzcd to}}} diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex index 3a71d25..35b7734 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex @@ -20,6 +20,8 @@ \item $\partial_{x_i} f(\vec{x})$, $\pd{f}{x_i}(\vec{x})$, $f_{x_i}(\vec{x})$ -- derivata parziale nella $i$-esima coordinata di una funzione $f : \RR^n \to \RR$ nel punto $\vec{x}$. La notazione può essere iterata per ottenere le derivate successive. + \item $\vec{x_i}$ -- derivate parziali nella $i$-esima coordinata di un campo $\vec{x}$ da $\RR^n$ a $\RR^m$, ovverosia + $((x_1)_i, \ldots, (x_m)_i)^\top$. \item $\nabla f(\vec{x})$ -- gradiente di una funzione $f : \RR^n \to \RR$, ovverosia il vettore $(\partial_{x_i} f(\vec{x}))_i^\top$. \item $J f(\vec{x})$ -- jacobiano di una funzione $f : \RR^n \to \RR^m$ nel punto $x$, ovverosia la matrice $(\partial_{x_j} f_i (\vec{x}))_{i, j} = (\nabla f_i(\vec{x}))_{i}$. @@ -30,4 +32,13 @@ \item $C^\infty$, liscio -- classe delle funzioni derivabili parzialmente per un numero arbitrario di volte con continuità. \item diffeomorfismo di classe $C^k$ -- funzione di classe $C^k$ con inversa di classe $C^k$. \end{itemize} + + \section*{Geometria} + \addcontentsline{toc}{section}{Geometria} + + \begin{itemize} + \item $S_a^i(p)$ -- l'ipersfera $i$-dimensionale di raggio $a$ e centro $p$, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{i+1} \mid \norm{\vec{x} - p} = p\}$. + \item $\TT_{a, b}$ -- toro di raggio maggiore $a$ e raggio minore $b$. + \end{itemize} + \end{multicols*} diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex index 385e9c4..4bc3fa4 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex @@ -3,5 +3,146 @@ \setlength{\parindent}{2pt} \begin{multicols*}{2} + Qualora non specificato, assumeremo l'utilizzo di funzioni di classe $C^\infty$. \smallskip + Se $\vec{x}$ è una parametrizzazione regolare o una funzione con dominio un sottinsieme di $\RR^2$, + ammettiamo l'abuso di notazione $\vec{x}(P)$ per sottintendere $\vec{x}(\vec{y}\inv(P))$, dove + $\vec{y}$ è una parametrizzazione regolare di $P$ sulla superficie studiata. + + \section{Definizioni preliminari} + + \subsection{Parametrizzazioni regolare} + + \begin{definition}[Parametrizzazione regolare] + Si dice \textbf{parametrizzazione regolare} una mappa + $\vec{x} : U \to \RR^3$ con $U$ aperto di $\RR^3$ tale che: + \begin{itemize} + \item $\vec{x}$ è iniettiva; + \item $\vec{x_u} \times \vec{x_v} \neq 0$ per ogni $(u, v) \in U$ (\textbf{regolarità}); + \item $\vec{x\inv}$ è continua. + \end{itemize} + \end{definition} + + \begin{remark} + Osserviamo che $J \vec{x} = [\vec{x_u} \;\; \vec{x_v}]$. + Allora richiedere la regolarità è equivalente a richiedere che $\rk(J \vec{x})$ sia sempre massimo, + ovvero: + \[ \rk(J \vec{x}) = 2. \] + \end{remark} + + \begin{proposition} \label{prop:parametrizzazione_è_cinf} + Ogni parametrizzazione regolare è un diffeomorfismo $C^\infty$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Sia $\vec{x} : U \to \Sigma$ una parametrizzazione regolare surgettiva su $\Sigma$. Sia $(u_0, v_0) \in U$. + Dal momento che $\vec{x}$ è regolare, esiste un minore $2 \times 2$ in $J \vec{x}(u_0, v_0)$ invertibile. + Sia $\pi$ la proiezione da $\RR^3$ sul piano $\Span(e_i, e_j) \cong \RR^2$, dove $i$ e $j$ sono gli indici delle + righe del minore rispetto a $J \vec{x}(u_0, v_0)$. \smallskip + + Allora $J (\pi \circ \vec{x})(u_0, v_0)$ è invertibile, + e per il teorema di invertibilità locale, $\pi \circ \vec{x}$ è localmente invertibile. Dacché + $\vec{x}\inv$ è localmente uguale a $(\pi \circ \vec{x})\inv \circ \pi\inv$, che è composizione di + funzioni $C^\infty$, si ricava che $\vec{x}$ è un diffeomorfismo $C^\infty$ locale. Dal momento che + $\vec{x}$ è però iniettiva, si ricava che è anche un diffeomorfismo $C^\infty$. + \end{proof} + + \subsection{Superficie} + + \begin{definition}[Superficie] + Una \textbf{superficie} è un sottinsieme $\Sigma$ di $\RR^3$ tale per cui + ogni punto $P$ di $\Sigma$ ammette una parametrizzazione regolare $\vec{x_P}$ la cui immagine + sia contenuta in $\Sigma$ e che sia intorno di $P$ in $\Sigma$. Ci riferiremo a + $\vec{x_P}$ come a una \textbf{parametrizzazione regolare per $P$}. + \end{definition} + + \begin{remark} + Chiaramente, se $\vec{x} : U \to \RR^3$ è una parametrizzazione regolare, allora $\vec{x}(U)$ è una + superficie. + \end{remark} + + \section{Classi fondamentali di superfici} + + \subsection{Superfici di rotazione} + \begin{definition}[Superficie di rotazione] + Sia $\alpha : I \to \RR^3$ una curva parametrizzata della forma + $(a(t), 0, b(t))$ tale che $\alpha$ è regolare e omeomorfismo locale. + Si definisce allora la \textbf{superficie di rotazione} (intorno + all'asse $z$) di $\alpha$ come l'immagine della seguente parametrizzazione: + \[ + \vec{x}(u, v) = (a(u) \cos(v), a(u) \sin(v), b(u)). + \] + \end{definition} + + \begin{proposition} + Una superficie di rotazione è effettivamente una superficie, poiché + la sua parametrizzazione canonica è regolare. + \end{proposition} + + \subsection{Grafici, valori regolari e superfici di livello} + \begin{proposition}[Il grafico di una funzione $C^\infty$ a valori reali con dominio $U \subseteq \RR^2$ è una superficie] \label{prop:grafici_sono_superfici} + Il grafico $\Gamma_f$ di una funzione $f : U \to \RR$ con $U \subseteq \RR^2$ è + parametrizzato come $\vec{x}(u, v) = (u, v, f(u, v))$, ed è dunque una superficie. + \end{proposition} + + \begin{definition} + Sia $f : A \to \RR$ con $A \subseteq \RR^3$ una funzione liscia. Allora si dice che + $a \in f(A)$ è un \textbf{valore regolare} per $f$ se: + \[ + \nabla f(p) \neq 0, \quad \forall p \in f\inv(a). + \] + \end{definition} + + \begin{proposition} + Sia $f : A \to \RR$ con $A \subseteq \RR^3$ una funzione liscia. Allora, se + $a$ è un valore regolare per $f$, $f\inv(a)$ è una superficie. + \end{proposition} + + \begin{proof} + La tesi discende direttamente come applicazione del teorema della funzione + implicita. Infatti, se $a$ è un valore regolare, $f\inv(a)$ è localmente + un grafico su ogni suo punto. Allora, per la Proposizione \ref{prop:grafici_sono_superfici}, + $f\inv(a)$ è una superficie. + \end{proof} + + \section{Piano tangente e orientabilità} + + \subsection{Piano tangente e compatibilità tra parametrizzazioni regolari diverse} + + \begin{definition} + Siano $\vec{x}$, $\vec{y} : U, U' \to \RR^3$ due parametrizzazioni regolari per $P$ + su una superficie $\Sigma$ aventi stessa immagine. Si definisce allora la + \textbf{funzione di transizione} $f_{\vec{x}, \vec{y}} : U \to U'$ da $\vec{x}$ a $\vec{y}$ come: + \[ + f_{\vec{x}, \vec{y}} = \vec{y}\inv \circ \vec{x}, + \] + in modo tale che il seguente diagramma commuti: + \[\begin{tikzcd} + & \Sigma \\ + \\ + U && {U'} + \arrow["{\vec{x}}"', from=3-1, to=1-2] + \arrow["f_{\vec{x}, \vec{y}}", from=3-1, to=3-3] + \arrow["{\vec{y}}", from=3-3, to=1-2] + \end{tikzcd}\] + \end{definition} + + \begin{proposition} + Una funzione di transizione $f_{\vec{x}, \vec{y}}$ è + un diffeomorfismo $C^\infty$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Dal momento che $\vec{x}$ e $\vec{y}$ sono diffeomorfismi $C^\infty$ per + la Proposizione \ref{prop:parametrizzazione_è_cinf}, essendo + $f$ composizione di variazioni di queste, anche $f$ lo è. + \end{proof} + + \begin{proposition} + Siano $\vec{x}$ e $\vec{y}$ due parametrizzazioni regolari per $P$ su una + superficie $\Sigma$. Allora vale: + \[ \Span(\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)) = \Span(\vec{y_u}(P), \vec{y_v}(P)). \] + \end{proposition} + + % TODO \end{multicols*} \ No newline at end of file