diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/1. Il gruppo degli automorfismi/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/1. Il gruppo degli automorfismi/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..9609735 Binary files /dev/null and b/Secondo anno/Algebra 1/1. Il gruppo degli automorfismi/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex new file mode 100644 index 0000000..d9c0f7c --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Algebra 1/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex @@ -0,0 +1,149 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{notes_2023} + +\begin{document} + \title{Il gruppo degli automorfismi} + \maketitle + + \begin{note} + Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo. + Si scriverà $gh$ per indicare $g \cdot h$, omettendo il punto. + \end{note} + + \begin{definition}[gruppo degli automorfismi] + Si definisce \textbf{gruppo degli automorfismi} di un gruppo $G$ il + gruppo $(\Aut(G), \circ)$ dotato dell'operazione di composizione. + \end{definition} \smallskip + + + Si può associare ad ogni elemento $g \in G$ un automorfismo particolare $\varphi_g$ + determinato dalla seguente associazione: + \[ h \xmapsto{\varphi_g} ghg\inv. \] + + \begin{definition}[gruppo degli automorfismi interni] Si definisce \textbf{gruppo + degli automorfismi interni} di un gruppo $G$ il gruppo $(\Inn(G), \circ)$ + dotato dell'operazione di composizione, dove: + + \[ \Inn(G) = \{ \varphi_g \mid g \in G \}. \] + \end{definition} + + Gli automorfismi interni soddisfano alcune proprietà. Per esempio vale che: + \[ \varphi_g \circ \varphi_h = \varphi_{gh}, \] + così come vale anche che: + \[ \varphi_g \inv = \varphi_{g\inv}. \] \smallskip + + + Chiaramente $\Inn(G) \leq \Aut(G)$. Tuttavia vale anche che $\Inn(G)$ è un sottogruppo + normale di $\Aut(G)$. Infatti, se $f \in \Aut(G)$, vale che: + \[ f \circ \varphi_g \circ f\inv = \varphi_{f(g)} \in \Inn(G). \] + + Inoltre, se $G$ è abeliano, $\varphi_g$ coincide con la sola identità $\Id$ + (infatti, in tal caso, $\varphi_g(h) = ghg\inv = gg\inv h = h$). \bigskip + + + Si dimostra adesso un teorema fondamentale che mette in relazione $\Inn(G)$ + con un gruppo quoziente particolare di $G$, $G \quot Z(G)$. Preliminarmente, + si osserva che $Z(G)$ è un sottogruppo normale di $G$, e quindi + $G \quot Z(G)$ è effettivamente un gruppo. Allora si può enunciare la: + + \begin{proposition} + $\Inn(G) \cong G \quot Z(G)$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Sia $\zeta : G \to \Inn(G)$ la mappa che associa $g$ al proprio + automorfismo interno associato $\varphi_g$. Si osserva che $\zeta$ + è un omomorfismo tra gruppi: + \[ \zeta(gh) = \varphi_{gh} = \varphi_g \circ \varphi_h = \zeta(g) \circ \zeta(h). \] + + Chiaramente $\zeta$ è una mappa surgettiva, e quindi $\Im \zeta = \Inn(G)$. + Si osserva inoltre che $\Ker \zeta$ è esattamente il centro di $G$, $Z(G)$. Infatti, + se $g \in \Ker \zeta$, vale che $\zeta(g) = \Id$, e quindi che: + \[ ghg\inv = h \implies gh=hg \quad \forall h \in G. \] + + Allora, per il Primo teorema di isomorfismo, $G \quot {\Ker \zeta} = G \quot Z(G) \cong \Inn(G)$. + \end{proof} \bigskip + + + Il gruppo $G \quot Z(G)$ risulta particolarmente utile nello studio della commutatività + del gruppo. Infatti vale la: + + \begin{proposition} + $G \quot Z(G)$ è ciclico se e solo se $G$ è abeliano (e quindi se e solo se $G \quot Z(G)$ è banale). + \end{proposition} + + \begin{proof} + Se $G$ è abeliano, $G \quot Z(G)$ contiene solo l'identità, ed è dunque ciclico. + Viceversa, sia $g Z(G)$ un generatore di $G \quot Z(G)$. + Se $h$, $k \in G$, vale in particolare che esistono $m$, $n \in \NN$ tali per cui + $h Z(G) = g^m Z(G)$ e $k Z(G) = g^n Z(G)$. Allora esistono + $z_1$, $z_2 \in Z(G)$ per cui $h = g^m z_1$ e $k = g^n z_2$. \bigskip + + + Si conclude allora che: + \[ hk = g^m z_1 g^n z_2 = g^n z_2 g^m z_1 = kh, \] + e quindi $G$ è abeliano (da cui si deduce che $G \quot Z(G)$ è in realtà banale). + \end{proof} \bigskip + + + Allora, poiché $\Inn(G) \cong G \quot Z(G)$, $\Inn(G)$ è ciclico se e solo se + $G$ è abeliano (e dunque se e solo se è banale). Inoltre, il gruppo $\Inn(G)$ + risulta utile per definire in modo alternativo (ma equivalente) la nozione + di \textit{sottogruppo normale}. Infatti vale che: + + \begin{proposition} + Sia $H \leq G$. Allora $H \nsgeq G$ se e solo se $H$ è $\varphi_g$-invariante + per ogni $g \in G$ (ossia se $\varphi_g(H) \subseteq H$). + \end{proposition} + + \begin{proof} + Se $H$ è normale, allora $\varphi_g(h) = g h g\inv$ appartiene ad $H$ per + definizione. Allo stesso modo dire che $H$ è $\varphi_g$-invariante + equivale a dire che $gHg\inv \subseteq H$ per ogni $g \in G$. + \end{proof} \bigskip + + + In generale, se $H \nsgeq G$, vale che la restrizione $\restr{\varphi_g}{H}$ è + ancora un omomorfismo ed è in particolare un elemento di $\Aut(H)$. Infatti + $\restr{\varphi_g}{H}$ è ancora iniettiva, e per ogni $h \in H$ vale che: + \[ \varphi_g(g\inv h g) = h, \] + mostrando la surgettività di $\restr{\varphi_g}{H}$ (infatti $g\inv h g \in H$). \bigskip + + + Si può estendere questa idea considerando i sottogruppi di $G$ che sono $f$-invarianti + per ogni scelta di $f \in \Aut(G)$. + + \begin{definition}[sottogruppo caratteristico] + $H \leq G$ si dice \textbf{sottogruppo caratteristico} di $G$ se $H$ + è $f$-invariante per ogni $f \in \Aut(G)$. + \end{definition} \smallskip + + In particolare, $H \leq G$ è un sottogruppo caratteristico di $G$ se ogni + automorfismo di $G$ si riduce, restringendolo su $H$, ad un automorfismo + di $H$. Infatti, se $f(H) \subseteq H$, vale anche che $f\inv(H) \subseteq H \implies + H \subseteq f(H)$, e quindi $f(H) = H$ (da cui la surgettività dell'omomorfismo + in $H$). \bigskip + + + Chiaramente ogni sottogruppo caratteristico è un sottogruppo normale (infatti è + in particolare $\varphi_g$-invariante per ogni scelta di $g \in G$), ma non è + vero il contrario. Per esempio, si definisca l'automorfismo $\eta$ per $(\QQ, +)$ + tale per cui: + \[ x \xmapsto{\eta} \nicefrac{x}2. \] + Si osserva facilmente che $\eta$ è un automorfismo. Dal momento che $(\QQ, +)$ è + abeliano, ogni suo sottogruppo è normale. In particolare $(\ZZ, +) \nsg (\QQ, +)$. + Tuttavia $\eta(\ZZ) \not\subseteq \ZZ$ (e quindi $\ZZ$ non è caratteristico in $\QQ$). \bigskip + + + Esiste tuttavia, per qualsiasi scelta di gruppo $G$, un sottogruppo che è caratteristico, + $Z(G)$ (oltre che $G$ stesso ed il sottogruppo banale). Infatti, se $z \in Z(G)$ e + $g \in G$, vale che: + \[ f(z)g = f(z)f(f\inv(g)) = f(z f\inv(g)) = f(f\inv(g) z) = g f(z) \quad \forall f \in \Aut(G), \] + e quindi $f(Z(G)) \subseteq Z(G)$ per ogni scelta di $f \in \Aut(G)$. \bigskip + + + Inoltre, se $H \leq G$ è l'unico sottogruppo di un certo ordine (o è comunque + caratterizzato univocamente da una proprietà invariante per automorfismi), + $H$ è anche caratteristico (infatti gli automorfismi preservano le cardinalità essendo + bigezioni). +\end{document} diff --git a/tex/latex/style/notes_2023.sty b/tex/latex/style/notes_2023.sty new file mode 100644 index 0000000..86c99d1 --- /dev/null +++ b/tex/latex/style/notes_2023.sty @@ -0,0 +1,400 @@ +\ProvidesPackage{notes_2023} + +\usepackage{amsmath,amssymb} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amsthm} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsopn} +\usepackage{bookmark} +\usepackage{faktor} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{nicefrac} +\usepackage{stmaryrd} +\usepackage{marvosym} +\usepackage{float} +\usepackage{enumerate} +\usepackage{scalerel} +\usepackage{stackengine} +\usepackage{wasysym} + +\usepackage[italian]{babel} + +\usepackage{tabularx} + +% Setup preliminari +\setlength{\extrarowheight}{4pt} + +\newcommand{\system}[1]{\begin{cases} #1 \end{cases}} + +\newcommand{\wip}{\begin{center}\textit{Questo avviso sta ad indicare che questo documento è ancora una bozza e non è + da intendersi né completo, né revisionato.}\end{center}} + +\newcommand\hr{\vskip 0.05in \par\vspace{-.5\ht\strutbox}\noindent\hrulefill\par} + +% Modalità matematica/fisica +\newcommand{\SMatrix}[1]{\begin{psmallmatrix}#1\end{psmallmatrix}} + +\let\oldvec\vec +\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}} + +\newcommand{\con}{\text{con }} +\newcommand{\dove}{\text{dove }} +\newcommand{\E}{\text{ e }} +\newcommand{\altrimenti}{\text{altrimenti}} +\newcommand{\se}{\text{se }} +\newcommand{\tc}{\text{ t.c. }\!} +\newcommand{\epari}{\text{ è pari}} +\newcommand{\edispari}{\text{ è dispari}} + +\newcommand{\nl}{\ \\} + +\newcommand{\bigmid}{\;\middle\vert\;} + +\newcommand{\lemmaref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}} +\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}} + +\newcommand{\li}[0]{$\blacktriangleright\;\;$} + +\newcommand{\tends}[1]{\xrightarrow[\text{$#1$}]{}} +\newcommand{\tendsto}[1]{\xrightarrow[\text{$x \to #1$}]{}} +\newcommand{\tendstoy}[1]{\xrightarrow[\text{$y \to #1$}]{}} +\newcommand{\tendston}[0]{\xrightarrow[\text{$n \to \infty$}]{}} + +\setlength\parindent{0pt} + +% Principio di induzione e setup dimostrativi. +\newcommand{\basestep}{\mbox{(\textit{passo base})}\;} +\newcommand{\inductivestep}{\mbox{(\textit{passo induttivo})}\;} + +\newcommand{\rightproof}{\mbox{($\implies$)}\;} +\newcommand{\leftproof}{\mbox{($\impliedby$)}\;} + +% Spesso utilizzati al corso di Fisica 1. +\newcommand{\dx}{\dot{x}} +\newcommand{\ddx}{\ddot{x}} +\newcommand{\dv}{\dot{v}} + +\newcommand{\del}{\partial} +\newcommand{\tendstot}[0]{\xrightarrow[\text{$t \to \infty$}]{}} + +\newcommand{\grad}{\vec{\nabla}} +\DeclareMathOperator{\rot}{rot} + +\newcommand{\ihat}{\hat{i}} +\newcommand{\jhat}{\hat{j}} +\newcommand{\khat}{\hat{k}} + +\newcommand{\der}[1]{\frac{d#1}{dx}} +\newcommand{\parx}{\frac{\del}{\del x}} +\newcommand{\pary}{\frac{\del}{\del y}} +\newcommand{\parz}{\frac{\del}{\del z}} + +% Spesso utilizzati al corso di Analisi 1. +%\newcommand{\liminf}{\lim_{x \to \infty}} +\newcommand{\liminfty}{\lim_{x \to \infty}} +\newcommand{\liminftym}{\lim_{x \to -\infty}} +\newcommand{\liminftyn}{\lim_{n \to \infty}} +\newcommand{\limzero}{\lim_{x \to 0}} +\newcommand{\limzerop}{\lim_{x \to 0^+}} +\newcommand{\limzerom}{\lim_{x \to 0^-}} + +\newcommand{\xbar}{\overline{x}} +\newcommand{\ybar}{\overline{y}} +\newcommand{\tbar}{\overline{t}} +\newcommand{\zbar}{\overline{z}} +\newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}} + +% Spesso utilizzati al corso di Geometria 1. +\newcommand{\proj}[1]{\Matrix{#1 \\[0.03in] \hline 1}} +\newcommand{\projT}[1]{\Matrix{#1 & \rvline & 1}^\top} + +\newcommand{\cc}{\mathcal{C}} + +\let\AA\undefined +\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso} +\newcommand{\AA}{\mathcal{A}} +\newcommand{\MM}{\mathcal{M}} +\newcommand{\KKxn}{\KK[x_1, \ldots, x_n]} + +\let\ext\faktor +\newcommand{\quot}[1]{/{#1}} +\newcommand{\PP}{\mathbb{P}} + +\newcommand{\Aa}{\mathcal{A}} +\DeclareMathOperator{\An}{\mathcal{A}_n} +\DeclareMathOperator{\AnK}{\mathcal{A}_n(\KK)} +\DeclareMathOperator{\Giac}{Giac} + +\DeclareMathOperator{\IC}{IC} +\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff} +\DeclareMathOperator{\Orb}{Orb} +\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab} +\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr} +\newcommand{\vvec}[1]{\overrightarrow{#1}} + +\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}} + +\DeclareMathOperator{\PH}{PH} +\DeclareMathOperator{\PS}{PS} + +\let\imm\Im +\let\Im\undefined +\DeclareMathOperator{\Im}{Im} +\DeclareMathOperator{\Rad}{Rad} +\newcommand{\restr}[2]{ + #1\arrowvert_{#2} +} + 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+\newcommand{\charpolyrestr}[2]{p_{#1\arrowvert_#2}\hspace{-1pt}(\lambda)} +\newcommand{\minpoly}[1]{\varphi_{#1}} +\newcommand{\valf}{\val_f} +\newcommand{\valfv}{\val_{f,\V}} +\newcommand{\e}[1]{\vec{e_{#1}}} +\newcommand{\V}{\vec{v}} +\newcommand{\VV}[1]{\vec{v_{#1}}} +\newcommand{\basisdual}{\dual{\basis}} +\newcommand{\vecdual}[1]{\vec{\dual{#1}}} +\newcommand{\vecbidual}[1]{\vec{\bidual{#1}}} +\newcommand{\NMatrix}[1]{\begin{matrix} #1 \end{matrix}} +\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}} +\newcommand{\Vector}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}} + +\DeclareMathOperator{\rg}{rg} + +\let\v\undefined +\newcommand{\v}{\vec{v}} +\newcommand{\vv}[1]{\vec{v_{#1}}} +\newcommand{\w}{\vec{w}} +\newcommand{\U}{\vec{u}} +\newcommand{\ww}[1]{\vec{w_{#1}}} +\newcommand{\uu}[1]{\vec{u_{#1}}} +\newcommand{\x}{\vec{x}} +\newcommand{\xx}[1]{\vec{x_{#1}}} +\newcommand{\y}{\vec{y}} +\newcommand{\yy}[1]{\vec{y_{#1}}} + +\newcommand{\mapstoby}[1]{\xmapsto{#1}} 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+\newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}} +\newcommand{\inv}{^{-1}} + +\DeclareMathOperator{\ord}{ord} +\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}} +\newcommand{\defiff}{\overset{\mathrm{def}}{\iff}} + +% From the USAMO .tex files +\newcommand{\dg}{^\circ} + +\newcommand{\liff}{\leftrightarrow} +\newcommand{\lthen}{\rightarrow} +\newcommand{\opname}{\operatorname} +\newcommand{\surjto}{\twoheadrightarrow} +\newcommand{\injto}{\hookrightarrow} + +% Alcuni degli operatori più comunemente utilizzati. + +\DeclareMathOperator{\Char}{char} +\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom} +\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix} +\DeclareMathOperator{\End}{End} +\DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !} +\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} +\DeclareMathOperator{\Imm}{Imm} +\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} +\DeclareMathOperator{\rank}{rank} +\DeclareMathOperator{\MCD}{MCD} +\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor} +\DeclareMathOperator{\mcm}{mcm} +\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym} +\DeclareMathOperator{\tr}{tr} + +% Reimposta alcuni simboli presenti di default in LaTeX con degli analoghi +% più comuni. + +\let\oldemptyset\emptyset +\let\emptyset\varnothing + +% Trasforma alcuni simboli in operatori matematici. + +\let\oldcirc\circ +\let\circ\undefined +\DeclareMathOperator{\circ}{\oldcirc} + +\let\oldexists\exists +\let\exists\undefined +\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists} + +\let\oldforall\forall +\let\forall\undefined +\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall} + +\let\oldnexists\nexists +\let\nexists\undefined +\DeclareMathOperator{\nexists}{\oldnexists} + +\let\oldland\land +\let\land\undefined +\DeclareMathOperator{\land}{\oldland} + +\let\oldlnot\lnot +\let\lnot\undefined +\DeclareMathOperator{\lnot}{\oldlnot} + +\let\oldlor\lor +\let\lor\undefined +\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor} + +\DeclareOption{counter}{ + \let\algorithm\@undefined + \let\endalgorithm\@undefined + \let\corollary\@undefined + \let\endcorollary\@undefined + \let\c@lemma\@undefined + \let\lemma\@undefined + \let\endlemma\@undefined + \let\proposition\@undefined + \let\endproposition\@undefined + \let\theorem\@undefined + \let\endtheorem\@undefined + + \newtheorem{algorithm}{Algoritmo}[chapter] + \newtheorem{corollary}{Corollario}[chapter] + \newtheorem{lemma}{Lemma}[chapter] + \newtheorem{proposition}{Proposizione}[chapter] + \newtheorem{theorem}{Teorema}[chapter] +} + +\ProcessOptions\relax + +\author{di Gabriel Antonio Videtta} +\date{\vspace{-0.5cm}}