diff --git a/Geometria 1/Spazi affini e coniche/2023-05-10, Quadriche e classificazione affine delle coniche/main.pdf b/Geometria 1/Spazi affini e coniche/2023-05-10, Quadriche e classificazione affine delle coniche/main.pdf index c946fc2..470cb15 100644 Binary files a/Geometria 1/Spazi affini e coniche/2023-05-10, Quadriche e classificazione affine delle coniche/main.pdf and b/Geometria 1/Spazi affini e coniche/2023-05-10, Quadriche e classificazione affine delle coniche/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo/main.pdf b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Polinomio minimo relativo a un vettore e matrice compagna/main.pdf similarity index 83% rename from Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo/main.pdf rename to Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Polinomio minimo relativo a un vettore e matrice compagna/main.pdf index d3498e4..b9847e3 100644 Binary files a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo/main.pdf and b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Polinomio minimo relativo a un vettore e matrice compagna/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo/main.tex b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Polinomio minimo relativo a un vettore e matrice compagna/main.tex similarity index 98% rename from Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo/main.tex rename to Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Polinomio minimo relativo a un vettore e matrice compagna/main.tex index 0558bbf..16666fc 100644 --- a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Es. Algoritmi per la ricerca del polinomio minimo/main.tex +++ b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-20, Polinomio minimo relativo a un vettore e matrice compagna/main.tex @@ -11,7 +11,7 @@ \maketitle \begin{center} - \Large \textbf{Esercitazione: algoritmi per la ricerca del polinomio minimo} + \Large \textbf{Polinomio minimo relativo a un vettore e matrice compagna} \end{center} \begin{definition} Dato $f \in \End(V)$, si definisce diff --git a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Decomposizione di Jordan e forma canonica di Jordan reale/main.pdf b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Autospazi generalizzati e decomposizione di Fitting per la forma canonica di Jordan/main.pdf similarity index 84% rename from Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Decomposizione di Jordan e forma canonica di Jordan reale/main.pdf rename to Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Autospazi generalizzati e decomposizione di Fitting per la forma canonica di Jordan/main.pdf index bf947ea..aa643ec 100644 Binary files a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Decomposizione di Jordan e forma canonica di Jordan reale/main.pdf and b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Autospazi generalizzati e decomposizione di Fitting per la forma canonica di Jordan/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Decomposizione di Jordan e forma canonica di Jordan reale/main.tex b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Autospazi generalizzati e decomposizione di Fitting per la forma canonica di Jordan/main.tex similarity index 100% rename from Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Decomposizione di Jordan e forma canonica di Jordan reale/main.tex rename to Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Autospazi generalizzati e decomposizione di Fitting per la forma canonica di Jordan/main.tex diff --git a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24, Es. forma canonica di Jordan e autospazi generalizzati/main.pdf b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24, Forma canonica di Jordan e autospazi generalizzati/main.pdf similarity index 88% rename from Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24, Es. forma canonica di Jordan e autospazi generalizzati/main.pdf rename to Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24, Forma canonica di Jordan e autospazi generalizzati/main.pdf index 07c2cd0..4935558 100644 Binary files a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24, Es. forma canonica di Jordan e autospazi generalizzati/main.pdf and b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24, Forma canonica di Jordan e autospazi generalizzati/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24, Es. forma canonica di Jordan e autospazi generalizzati/main.tex b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24, Forma canonica di Jordan e autospazi generalizzati/main.tex similarity index 98% rename from Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24, Es. forma canonica di Jordan e autospazi generalizzati/main.tex rename to Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24, Forma canonica di Jordan e autospazi generalizzati/main.tex index 4057a95..e4d4ef6 100644 --- a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24, Es. forma canonica di Jordan e autospazi generalizzati/main.tex +++ b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-24, Forma canonica di Jordan e autospazi generalizzati/main.tex @@ -11,7 +11,7 @@ \maketitle \begin{center} - \Large \textbf{Esercitazione: la forma canonica di Jordan e gli autospazi generalizzati} + \Large \textbf{Autospazi generalizzati e decomposizione di Fitting per la forma canonica di Jordan} \end{center} \begin{note} diff --git a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-29, Es. Computo delle basi di Jordan/main.pdf b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-29, Es. Computo delle basi di Jordan/main.pdf deleted file mode 100644 index 0e26dc7..0000000 Binary files a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-29, Es. Computo delle basi di Jordan/main.pdf and /dev/null differ diff --git a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-29, Es. Computo delle basi di Jordan/main.tex b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-29, Es. Computo delle basi di Jordan/main.tex deleted file mode 100644 index ea6ce6b..0000000 --- a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-29, Es. Computo delle basi di Jordan/main.tex +++ /dev/null @@ -1,124 +0,0 @@ -\documentclass[11pt]{article} -\usepackage{personal_commands} -\usepackage[italian]{babel} - -\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}} -\author{Gabriel Antonio Videtta} -\date{\today} - -\begin{document} - - \maketitle - - \wip - - \begin{center} - \Large \textbf{Esercitazione: computo della basi di Jordan} - \end{center} - - \begin{example} - Sia $A = \Matrix{0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2}$ e se ne ricerchi - la forma canonica di Jordan e una base in cui assume tale base. \\ - - Si noti che $A^2 = \Matrix{0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0}$, e quindi - che $A^3 = 0$. Allora $\varphi_A(t) = t^3$ e $p_A(t) = t^5$. \\ - - Poiché $A$ ha ordine di nilpotenza $3$, la sua forma canonica - di Jordan ammette sicuramente un solo blocco - di ordine $3$. Inoltre, $\dim \Ker A = 3$, e quindi - devono esservi obbligatoriamente $2$ blocchi di ordine $1$. - Pertanto la sua forma canonica è la seguente: - - \[ J=\Matrix{0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}. \] - - \vskip 0.05in - - Si consideri l'identità $\RR^5 = \Ker A^3 = \Ker A^2 \oplus U_1$. - Poiché $\dim \Ker A^2 = 4$, vale che $\dim U_1 = \dim \Ker A^3 - - \dim \Ker A^2 = 1$. Dacché $\e3$ si annulla solo con $A^3$, - $U_1 = \Span(\e3)$. \\ - - Si consideri invece ora $\Ker A^2 = \Ker A \oplus A(U_1) \oplus U_2$. - Si osservi che $\dim U_2$ è il numero dei blocchi di Jordan di - ordine $2$, e quindi è $0$. Si deve allora considerare $\Ker A = - A^2(U_1) \oplus U_3$, dove $\dim U_3 = 2$. Si osservi anche che $A^2(\e3) = \e1-\e2-\e3+\e4$: è sufficiente trovare due vettori - linearmente indipendenti appartenenti al kernel di $A$, ma non - nello $\Span$ di $A^2(\e3)$; come per esempio $\e2-\e4$ e $2\e2-\e5$. - Allora $U_3 = \Span(\e2-\e4, 2\e2-\e5)$. Una base di Jordan per $A$ - sarà allora $(A^2 \e3, A \e3, \e3, \e2-\e4, 2\e2-\e5)$. - \end{example} - - \begin{example} - Sia $A = \Matrix{2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1}$, e se ne calcoli la forma canonica di Jordan. \\ - - Si osserva che $p_A(t) = (1-t)^3 (2-t)^2$, e quindi - $\RR^5 = \Ker (A - I)^3 \oplus \Ker (A - 2I)^2$. \\ - - ($\lambda = 1$) $\dim \Ker (A - I) = 2$, quindi ci sono due blocchi - relativi all'autovalore $1$, uno di ordine $1$ e uno di ordine $2$. \\ - - ($\lambda = 2$) $\dim \Ker (A - 2I) = 2$, quindi ci sono due blocchi - relativi all'autovalore $2$, entrambi di ordine $1$. \\ - - Quindi la forma canonica di $A$ è la seguente: - - \[ J = \Matrix{1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 }, \] - - da cui si ottiene anche che $p_A(t) = (t-2)^2 (t-2)$. Si calcola - ora una base di Jordan per $A$. \\ - - ($\lambda = 1$) Sia $\Ker (A - I)^2 = \Ker (A - I) \oplus U_1$. $\dim U_1 = 1$, - e poiché $\e5 \in \Ker (A - I)^2$, ma $\e5 \notin \Ker (A-I)$, - vale che $U_1 = \Span(\e5)$. \\ - - Sia ora invece $\Ker (A - I) = g(U_1) \oplus U_2$, dove - $\dim U_2 = 1$. Dacché $\e5+\e1-\e3 \in \Ker (A-I)$, ma - non appartiene a $\Span(A \e5)$, si ottiene che una base - relativa al blocco di $1$ è $A \e5, \e5, \e5+\e1-\e3$. - - ($\lambda = 2$) Per quanto riguarda invece il blocco relativo a $2$, essendo - tale blocco diagonale, è sufficiente ricavare una base - di $\Ker (A-2I)$, come $\e4$ e $\e1 + \e3$. - \end{example} - - \begin{definition} (centralizzatore di una matrice) - Si definisce \textbf{centralizzatore di una matrice} $A \in M(n, \KK)$ - l'insieme: - - \[ C(A) = \{ B \in M(n, \KK) \mid AB = BA\}, \] - - ossia l'insieme delle matrici che commutano con $A$. - \end{definition} - - \begin{proposition} - Vale l'identità $C(J_{0, m}) = \Span(I, J_{0, m}, J_{0, m}^2, ..., J_{0, m}^{m-1})$. - \end{proposition} - - \begin{proof} - Sia $B \in C(J_{0, m})$. Si osserva che vale la seguente identità: - - \[ J_{0,m} B = \Matrix{B_2 \\ \hline B_3 \\ \hline \vdots \\ \hline B_{m} \\ \hline 0}, \] - - \vskip 0.05in - - mentre $B J_{0,m} = \Matrix{0 & \rvline & B^1 & \rvline & B^2 & \rvline & \cdots & \rvline & B^{m-1} }$. Per ipotesi deve valere che $J_{0,m} B = B J_{0,m}$, e quindi, uguagliando le matrici colonna a colonna, si osserva - la colonna $B^1$ è tutta nulla eccetto per il primo elemento; si osserva poi che la colonna $B^2$ è composta - da elementi di $B^1$ traslata in basso di una posizione; e così via ciclando sulle colonne, ottenendo che, - data $B^m = \Vector{ a_0 & a_1 & \cdots & a_{m-1} }^\top$, $B = a_0 I + a_1 J_{0,m} + \ldots + a_{m-1} J_{0, m}^{m-1}$, - quindi $B \in \Span(I, J_{0, m}, J_{0, m}^2, ..., J_{0, m}^{m-1})$. Dal momento che ogni elemento generatore di - $\Span(I, J_{0, m}, J_{0, m}^2, ..., J_{0, m}^{m-1})$ commuta con $J_{0,m}$, vale la doppia inclusione, da cui - la tesi. - \end{proof} - - \begin{remark} - Sul centralizzatore di una matrice ed il suo rapporto con la - similitudine si possono fare alcune considerazioni. \\ - - \li $A \sim B \implies \dim C(A) = \dim C(B)$: infatti, se - $A = PBP\inv$, $AC = CA \implies PBP\inv C = C PBP\inv \implies - BP\inv C=P\inv C P B P\inv \implies B (P\inv C P) = (P\inv C P) B$, - e quindi il coniugio fornisce un isomorfismo tra i due - centralizzatori. - \end{remark} - -\end{document}