Si osserva ora in modo cruciale che $H \nsgeq G$ se e solo se
$\Orb(H)=\{H\}$, e quindi se e solo se $N_G(H)= G$. Analogamente si
osserva che $H$ è normale se e solo se:
\[ H =\bigcup_{h \in H}\Cl(h). \]\bigskip
\[ H =\bigcup_{h \in H}\Cl(h). \]
Tramite la stessa azione $\varphi$ possiamo illustrare un importante relazione
tra gli stabilizzatori, dettata dalla:
\begin{proposition}
Sia $x \in X$ e sia $g \in G$. Allora vale che $\Stab(g \cdot x)= g \Stab(x) g\inv$,
e i coniugati di $\Stab(x)$ sono esattamente altri stabilizzatori.
\end{proposition}
\begin{proof}
Si osserva che se $ghg\inv\in g\Stab(x)g\inv$, allora:
\[(ghg\inv)\cdot(g \cdot x)= gh \cdot x = g \cdot x \implies ghg\inv\in\Stab(g \cdot x), \]
e viceversa che se $h \in\Stab(g \cdot x)$:
\[(g\inv h g)\cdot x = g\inv\cdot(h \cdot(g \cdot x))=(g\inv g)\cdot x = x \implies g\inv h g \in\Stab(x)\implies h \in g \Stab(x) g\inv, \]
da cui si deduce che $\Stab(g \cdot x)= g \Stab(x) g\inv$.
\end{proof}
Da questa proposizione segue immediatamente il seguente:
\begin{corollary}
Sia $\varphi$ un'azione transitiva. Allora tutti gli stabilizzatori sono
coniugati tra loro.
\end{corollary}
\begin{proof}
Siano $x$ e $y \in X$. Poiché $\varphi$ è transitiva, esiste un'unica orbita
e dunque esiste $g \in G$ tale per cui $g \cdot y = x$. Allora
$\Stab(x)=\Stab(g \cdot y)= g \Stab(y) g\inv$.
\end{proof}
Infine, si verifica una proprietà dei sottogruppi coniugati:
\begin{proposition}
Se $H$ e $K$ sono coniugati, allora sono in particolare anche isomorfi.
\end{proposition}
\begin{proof}
Poiché $H$ e $K$ sono coniugati, esiste un $g \in G$ tale per cui
$K = gHg\inv$.
Un isomorfismo tra i due gruppi è allora naturalmente dato dall'azione di
coniugio tramite $g$, ossia dall'omomorfismo $\zeta : H \to K$
tale per cui $h \xmapsto{\zeta} ghg\inv$. Tale mappa è sicuramente un omomorfismo;
è ben definita e surgettiva perché i gruppi sono coniugati ed è iniettiva
perché $ghg\inv= e \implies h = e$ (e quindi $\Ker\zeta=\{e\}$).
\end{proof}
\bigskip
Si illustra adesso un risultato principale della teoria dei gruppi che mette in
relazione ogni gruppo con il proprio gruppo di bigezioni, ed ogni gruppo finito con i
@ -188,34 +233,21 @@
da cui si ricava che necessariamente $\abs{H}=\abs{G}\implies H = G$.
\end{proof}
\begin{proposition}% magari questa dimostrazione andrebbe spostata?
Sia $\varphi$ un'azione transitiva di $G$ su $X$. Allora gli stabilizzatori sono
tra di loro coniugati, e dunque isomorfi. Inoltre, se $\abs{X}\geq2$, allora
esiste un $g$ tale per cui $\Fix(g)=\emptyset$.
\begin{proposition}
Sia $\varphi$ un'azione transitiva di $G$ su $X$.
Allora esiste sempre un $g \in G$ tale per cui $\Fix(g)=\emptyset$,
se $\abs{X}\geq2$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Siano $x$, $y \in X$. Si verifica innanzitutto che esiste un $g \in G$ tale per cui
$g \Stab(x) g\inv=\Stab(y)$. Poiché $\varphi$ è un'azione transitiva,
esiste $g \in G$ tale per cui $g \cdot y = x$. Allora vale che:
\[\Stab(x)=\{ h \in G \mid h \cdot x = x \}=\{ h \in G \mid h \cdot(g \cdot y)=(g \cdot y)\}, \]
da cui si deduce infine che:
\[\Stab(x)=\{ h \in G \mid(g\inv h g)\cdot y = y \}= g \Stab(y) g\inv. \]
In particolare un isomorfismo tra i due gruppi è dato proprio dall'azione di
coniugio tramite $g$, ossia dall'omomorfismo\footnote{
Tale omomorfismo è infatti surgettivo perché $\Stab(x)= g\Stab(y)g\inv$,
mentre è iniettivo perché $ghg\inv= e \implies h = e$.
}$\zeta : \Stab(y)\to\Stab(x)$
tale per cui $h \mapsto ghg\inv$. \medskip
Infine, se $g$ non fissa alcun punto di $X$, allora $g \notin\bigcup_{x \in X}\Stab(x)$; pertanto tale $g$ esiste se e solo se $\bigcup_{x \in X}\Stab(x)\neq G$. Poiché tali sottogruppi sono tutti coniugati, scelto $u \in U$ vale
Se $g$ non fissa alcun punto di $X$, allora $g \notin\bigcup_{x \in X}\Stab(x)$; pertanto tale $g$ esiste se e solo se $\bigcup_{x \in X}\Stab(x)\neq G$. Poiché tali sottogruppi sono tutti coniugati, scelto $u \in U$ vale
che:
\[\bigcup_{x \in X}\Stab(x)=\bigcup_{g \in G} g \Stab(u) g\inv. \]
Si conclude dunque che tale $g$ esiste se e solo se $\Stab(u)\neq G$.
Se $\Stab(u)$ fosse uguale a $G$, allora, per il Teorema orbita-stabilizzatore,
varrebbe che $\abs{\Orb(u)}=1$; tuttavia $\varphi$ è transitiva e quindi
$X =\Orb(u)\implies\abs{X}=\abs{\Orb(u)}=1$, \Lightning. Si conclude
