diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf index 54d7529..78ed87a 100644 Binary files a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf and b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/main.pdf differ diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex index bc4fbb0..64ca26d 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/0-notazioni.tex @@ -4,7 +4,7 @@ \setlength{\parindent}{2pt} \begin{multicols*}{2} - Impiegheremo caratteri latini ($x$, $y$, $z$) per indicare quantità reali; + Cercheremo di impiegare caratteri latini ($x$, $y$, $z$) per indicare quantità reali; caratteri latini sottolineati ($\vec{x}$, $\vec{y}$, $\vec{z}$) per indicare vettori o campi vettoriali; caratteri greci minuscoli ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) per indicare curve; e caratteri greci maiuscoli ($\Sigma$) per indicare superfici. @@ -33,13 +33,59 @@ \item diffeomorfismo di classe $C^k$ -- funzione di classe $C^k$ con inversa di classe $C^k$. \end{itemize} - \section*{Geometria} - \addcontentsline{toc}{section}{Geometria} + \section*{Geometria differenziale} + \addcontentsline{toc}{section}{Geometria differenziale} \begin{itemize} \item $B_R(P, \RR^n)$, $B_R(P)$ -- la palla $n$-dimensionale di raggio $R$ e centro $P$. Ometteremo $\RR^n$ quando la dimensione si deduce dal contesto. - \item $S_a^i(P)$ -- l'ipersfera $i$-dimensionale di raggio $a$ e centro $P$, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{i+1} \mid \norm{\vec{x} - p} = p\}$. + \item $S_a^i(P)$ -- l'ipersfera $i$-dimensionale di raggio $a$ e centro $P$, ovverosia $\{\vec{x} \in \RR^{i+1} \mid \norm{\vec{x} - P} = a\}$. \item $\TT_{a, b}$ -- toro di raggio maggiore $a$ e raggio minore $b$. + \item $\ell(\alpha)$ -- lunghezza di una curva $\alpha$. + \item p.l.a.~-- parametrizzata a lunghezza d'arco, ovverosia con velocità unitaria. + \item $\kappa_\alpha$ -- curvatura di una curva $\alpha$ in un punto. + \item $\tau_\alpha$ -- torsione di una curva $\alpha$ in un punto. + \item $T_\alpha$ -- versore tangente di una curva regolare in un punto. + \item $N_\alpha$ -- versore normale di una curva di Frenet in un punto. + \item $B_\alpha$ -- versore binormale di una curva di Frenet in un punto. + \item $\Pi_\alpha$ -- piano osculatore di $\alpha$ in un punto. + \item $R_\alpha$ -- raggio di curvatura di $\alpha$ in un punto. + \item $T_P \Sigma$ -- piano tangente di $P$ rispetto a $\Sigma$. + \item $\vec{n}$, $n_{\vec{x}}$ -- (versore) normale (eventualmente locale) di una superficie o di una parametrizzazione regolare. + \item $D_\xi f(P)$ -- derivata direzionale con direzione $\xi$ della funzione $f$ nel punto $P$ di una superficie. + \item $S_P$ -- operatore forma nel punto $P$ di una superficie. + \item $\I_P$ -- I forma fondamentale nel punto $P$ di una superficie. + \item $\II_P$ -- II forma fondamentale nel punto $P$ di una superficie. + \item $E$, $F$, $G$ -- elementi della rappresentazione matriciale della I forma fondamentale: $\I_P = \begin{pmatrix} + E & F \\ F & G + \end{pmatrix}$. + \item $\ell$, $m$, $n$ -- elementi della rappresentazione matriciale della II forma fondamentale: $\II_P = \begin{pmatrix} + \ell & m \\ m & n + \end{pmatrix}$. + \item $a$, $b$, $c$, $d$ -- elementi della rappresentazione matriciale dell'operatore forma: $S_P = \begin{pmatrix} + a & c \\ b & d + \end{pmatrix}$. + \item $\kappa_n$ -- curvatura normale di una superficie in un punto $P$ secondo un dato vettore unitario. + \item $\kappa_{\alpha, n}$ -- curvatura normale di $\alpha$ rispetto a una superficie. + \item $\kappa_1$, $\kappa_2$ -- curvature principali di una superficie in un punto. + \item $\kappa$ -- curvatura gaussiana di una superficie in un punto. + \item $H$ -- curvatura media di una superficie in un punto. + \item $\Gamma_{ij}^k$ -- simbolo di Christoffel, ovverosia coefficiente di $\vec{x_k}$ in $\vec{x_{ij}}$. + \item $\nabla_v X(P)$ -- derivata covariante di un campo vettoriale $X$ tangente alla superficie $\Sigma$ in direzione $v$ nel punto $P$. + \item $(\cdot)^\top$ -- proiezione di $\cdot$ sul piano tangente $T_P \Sigma$. + \item $\gamma_v$ -- geodetica locale di direzione $v$. + \item $U_P$ -- intorno di definizione della mappa esponenziale in un punto $P$. + \item $\exp_P$ -- mappa esponenziale in un punto $P$. + \item $v_k$ -- data una base ortonormale $\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$, la mappa $t \mapsto k(\cos(t) \vec{e_1} + \sin(t) \vec{e_2})$. + \item $N_P$ -- intorno normale di un punto $P$. + \item $\varphi(\gamma(t))$ -- angolo tra la curva $\gamma$ e il parallelo di $\gamma(t)$ al tempo $t$. + \item $r(\gamma(t))$ -- distanza di $\gamma(t)$ dall'asse di rotazione. + \item $k_{\alpha, g}$ -- curvatura geodetica di una curva $\alpha$ rispetto a una superficie $\Sigma$. + \item $A(R)$ -- area di una regione $R$ di una superficie $\Sigma$. + \item $\int_R \varphi \dA$ -- integrazione rispetto all'area in una regione $R$, equivalente a $\iint_{\vec{x}\inv(R)} (\varphi \circ \vec{x}) \, \norm{\vec{x_u} \times \vec{x_v}} \du \dv$. + \item $\eps_i$ -- angolo esterno $i$-esimo di una regione o superficie con bordo. + \item $\iota_i$ -- angolo interno $i$-esimo di una regione o superficie con bordo. + \item $\partial \Sigma$ -- bordo di una superficie con bordo, come unione delle tracce delle regioni con cui è definita per differenza. + \item $\chi(\Sigma)$ -- caratteristica di Eulero di una superficie con bordo. \end{itemize} \end{multicols*} diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/1-curve.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/1-curve.tex index 9dbc816..3136940 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/1-curve.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/1-curve.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \begin{definition}[Curva parametrizzata] Una \textbf{curva parametrizzata} (o semplicemente \textit{curva}) è una mappa $\alpha : I \subseteq \RR \to \RR^3$ - di classe $C^\infty$, dove $I$ è un intervallo + di classe $C^\infty$, dove $I$ è un intervallo. \end{definition} \begin{definition}[Traccia di una curva] diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex index 6fc3cfb..c2f44ff 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/2-superfici.tex @@ -41,7 +41,7 @@ righe del minore rispetto a $J \vec{x}(u_0, v_0)$. \smallskip Allora $J (\pi \circ \vec{x})(u_0, v_0)$ è invertibile, - e per il teorema di invertibilità locale, $\pi \circ \vec{x}$ è localmente invertibile. Dacché + e per il Teorema di invertibilità locale, $\pi \circ \vec{x}$ è localmente invertibile. Dacché $\vec{x}\inv$ è localmente uguale a $(\pi \circ \vec{x})\inv \circ \pi\inv$, che è composizione di funzioni $C^\infty$, si ricava che $\vec{x}$ è un diffeomorfismo $C^\infty$ locale. Dal momento che $\vec{x}$ è però iniettiva, si ricava che è anche un diffeomorfismo $C^\infty$. @@ -135,7 +135,7 @@ \end{proposition} \begin{proof} - La tesi discende direttamente come applicazione del teorema della funzione + La tesi discende direttamente come applicazione del Teorema della funzione implicita. Infatti, se $a$ è un valore regolare, $f\inv(a)$ è localmente un grafico su ogni suo punto. Allora, per la Proposizione \ref{prop:grafici_sono_superfici}, $f\inv(a)$ è una superficie. @@ -200,7 +200,7 @@ \begin{definition}[Piano tangente] Sia $\Sigma$ una superficie. Allora, se $P$ è un punto di $\Sigma$, si definisce - il \textbf{piano tangente di $T_P \Sigma$ di $P$ su $\Sigma$} come: + il \textbf{piano tangente $T_P \Sigma$ di $P$ rispetto a $\Sigma$} come: \[ \boxed{T_P \Sigma \defeq \Span(\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)),} \] diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex index 03d7f32..c480350 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda riassuntiva/sections/3-curve_su_superfici.tex @@ -148,7 +148,7 @@ S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_v}(P) = \vec{n}(P) \cdot \vec{x_{uv}}(P), \end{cases} \] - dove nell'ultima espressione si è applicato il teorema di Schwarz per sostituire $\vec{x_{uv}}$ + dove nell'ultima espressione si è applicato il Teorema di Schwarz per sostituire $\vec{x_{uv}}$ a $\vec{x_{vu}}$. Analogamente si ottiene la formula per gli altri due casi. \end{proof} @@ -162,7 +162,7 @@ che: \[ S_P(\vec{x_u}) \cdot \vec{x_v} = \vec{x_u} \cdot S_P(\vec{x_v}), \] dacché $\{\vec{x_u}(P), \vec{x_v}(P)\}$ è una base di $T_P \Sigma$. Questo - però è immediato dal Lemma \ref{lem:formula_operatore_forma} e dal teorema + però è immediato dal Lemma \ref{lem:formula_operatore_forma} e dal Teorema di Schwarz. \end{proof} @@ -434,19 +434,17 @@ si dice \textbf{piatta} se $K \equiv 0$ su tutta $\Sigma$, e \textbf{minima} se invece $H \equiv 0$. \end{definition} - \fbox{% - \parbox{0.95\linewidth}{% - \begin{definition}[Punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari] - Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Allora $P$ si dice: - \begin{itemize} - \item \textbf{ellittico}: se $\kappa(P) > 0$ (tutte le curvature normali sono concordi), - \item \textbf{iperbolico}: se $\kappa(P) < 0$ (esistono curvature normali discordi), - \item \textbf{parabolico}: se $\kappa(P) = 0$, ma $S_P \neq 0$ (tutte le curvature normali sono concordi, e ne esiste una nulla), - \item \textbf{planare}: se $S_P = 0$ (tutte le curvature normali sono nulle). - \end{itemize} - \end{definition} - }% - } + + \begin{definition}[Punti ellittici, iperbolici, parabolici e planari] + Sia $P$ un punto su una superficie $\Sigma$. Allora $P$ si dice: + \begin{itemize} + \item \textbf{ellittico}: se $\kappa(P) > 0$ (tutte le curvature normali sono concordi), + \item \textbf{iperbolico}: se $\kappa(P) < 0$ (esistono curvature normali discordi), + \item \textbf{parabolico}: se $\kappa(P) = 0$, ma $S_P \neq 0$ (tutte le curvature normali sono concordi, e ne esiste una nulla), + \item \textbf{planare}: se $S_P = 0$ (tutte le curvature normali sono nulle). + \end{itemize} + \end{definition} + \begin{proposition} Sia $\Sigma \subseteq \RR^3$ una superficie compatta non vuota. Allora @@ -555,7 +553,7 @@ localmente isometrica a $\Sigma$ nei punti associati. \end{remark} - \subsection{Theorema Egregium, simboli di Christoffel e conseguenze} + \subsection{Theorema egregium, simboli di Christoffel e conseguenze} \begin{remark} Osserviamo che, se $\vec{x}$ è una parametrizzazione regolare, @@ -587,7 +585,7 @@ dove $\I$ è la I forma fondamentale in forma matriciale. \end{remark} - \begin{theorem}[Theorema Egregium di Gauss] + \begin{theorem}[Theorema egregium di Gauss] Sia $\Sigma$ una superficie di $\RR^3$. Allora la sua curvatura gaussiana $\kappa$ è localmente esprimibile in funzione di $E$, $F$, $G$ e le loro derivate. @@ -604,7 +602,7 @@ in termini di $E$, $F$, $G$ e derivate. \item Il termine $\ell d - m b$, dove $b$ e $d$ sono gli elementi della seconda riga della II forma fondamentale, si scrive come $E \cdot \kappa$. - \item Sviluppando $\vec{x_{uuv}}$ e $\vec{x_{uvu}}$ e applicando il teorema + \item Sviluppando $\vec{x_{uuv}}$ e $\vec{x_{uvu}}$ e applicando il Teorema di Schwarz, si ottiene un'espressione di $\ell d - m b$ in termini dei simboli di Christoffel. \item Allora $\ell d - m b$ si scrive in termini di $E$, $F$ e $G$ e le loro derivate