diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e applicazioni/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/1. Il teorema di Cauchy/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/1. Il teorema di Cauchy/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/1. Il teorema di Cauchy/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/1. Il teorema di Cauchy/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/1. Il teorema di Cauchy/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/1. Il teorema di Cauchy/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/1. Il teorema di Cauchy/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/1. Il teorema di Cauchy/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/2. I teoremi di isomorfismo/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/2. I teoremi di isomorfismo/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/2. I teoremi di isomorfismo/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/2. I teoremi di isomorfismo/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/2. I teoremi di isomorfismo/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/2. I teoremi di isomorfismo/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/2. I teoremi di isomorfismo/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/2. I teoremi di isomorfismo/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/3. Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/3. Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/3. Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/3. Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/3. Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/3. Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/3. Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/3. Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.tex diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..3617833 Binary files /dev/null and b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti/main.tex new file mode 100644 index 0000000..fcad188 --- /dev/null +++ b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti/main.tex @@ -0,0 +1,112 @@ +\documentclass[12pt]{scrartcl} +\usepackage{notes_2023} + +\begin{document} + \title{Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti} + \maketitle + + \begin{note} + Nel corso del documento con $G$ si indicherà un qualsiasi gruppo. + \end{note} + + \begin{theorem}[di struttura per gruppi abeliani finiti] + Sia $G$ un gruppo abeliano finito. Allora esistono unici + $n_1$, \ldots, $n_s \in \NN$ tali per cui: + \[ G \cong \ZZmod{n_1} \times \cdots \times \ZZmod{n_s}, \qquad n_s \mid n_{s-1} \mid \cdots \mid n_2 \mid n_1. \] + \end{theorem} + + \begin{definition}[$p$-componente] + Si definisce \textbf{$p$-componente} $G(p)$ (o $p$-torsione) + di $G$ il sottogruppo di $G$ tale per cui: + \[ G(p) = \{ x \in G \mid \ord(x) = p^k \text{ per qualche } k \}. \] + \end{definition} + + \begin{remark} + Si dimostra facilmente che $G(p)$ è un sottogruppo. Chiaramente + $G(p) \subseteq G$; inoltre $e$ chiaramente appartiene + a $G(p)$. Se poi $x$, $y \in G(p)$, allora + $\ord(xy) \mid \mcm(\ord(x), \ord(y))$, e quindi + $\ord(xy) = p^k$ per qualche $k$. Pertanto anche + $xy \in G(p)$. Dal momento che $G(p)$ è finito, + questo dimostra che $G(p)$ è un sottogruppo. + \end{remark} + + \begin{remark} + $G(p)$ è un sottogruppo caratteristico di $G$. Infatti + $\varphi \in \Aut(G)$ lascia invariato l'ordine di + un elemento di $G(p)$, e quindi $\varphi(G(p)) = G(p)$. + \end{remark} + + \begin{remark} + La dimostrazione del teorema di struttura segue + il seguente schema: + + \begin{itemize} + \item Se $G$ è abeliano con $\abs{G} = p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$, allora $G \cong G(p_1) \times \cdots \times G(p_r)$, ossia $G$ è isomorfo al prodotto diretto tra + le sue $p$-componenti. Tale decomposizione di $G$ + come prodotto di $p$-gruppi di ordini tra loro + coprimi è unica. + \item Se $G$ è un $p$-gruppo abeliano. Allora esistono + e sono univocamente determinati degli interi + positivi $r_1 \geq \cdots \geq r_s$ tali che + $G \cong \ZZmod{p_1^{r_1}} \times \cdots + \times \ZZmod{p_1^{r_s}}$. + \end{itemize} + \end{remark} + + \begin{proof}[Dimostrazione a priori] + Per il primo teorema, $G$ si può decomporre nelle sue + $p$-componenti: + \[ G \cong G(p_1) \times \cdots \times G(p_s). \] + + + Allora, per il secondo teorema, ogni $G(p_i)$ può + decomporsi come prodotto diretto di $\ZZmod{p_i^k}$, + e quindi: + \[ G \cong (\ZZmod{p_1}^{e_{1,1}} \times \cdots \times \ZZmod{p_1}^{e_{1,t_1}}) \times \cdots \times (\ZZmod{p_r}^{e_{r,1}} \times \cdots \times \ZZmod{p_1}^{e_{r,t_r}}). \] + + + Sia $t = \max\{t_1, \ldots, t_r\}$. Posso allungare le + fattorizzazioni di $G(p_i)$ fino ad ottenere $t$ fattori aggiungendo eventualmente dei gruppi banali nella + fattorizzazione. \medskip + + + Applicando allora il Teorema cinese del resto si ottiene + l'esistenza della fattorizzazione secondo il Teorema + di struttura per gruppi abeliani finiti. + + + L'unicità segue dal primo teorema riapplicando il Teorema + cinese del resto al contrario. %TODO: estendi + \end{proof} + + %TODO: esempio su Z_26 x Z_169 x Z_8 x Z_12 + + Si dimostrano i due teoremi: + + \begin{theorem} + Se $G$ è abeliano con $\abs{G} = p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$, allora $G \cong G(p_1) \times \cdots \times G(p_r)$, ossia $G$ è isomorfo al prodotto diretto tra + le sue $p$-componenti. Tale decomposizione di $G$ + come prodotto di $p$-gruppi di ordini tra loro + coprimi è unica. + \end{theorem} + + \begin{proof} + Si dimostra per induzione sul numero $s$ di primi distinti + nella fattorizzazione di $\abs{G}$. Se $s=1$, + $G$ coincide con l'unica sua $p$-componente. Sia + ora $s \geq 2$. Se $\abs{G} = m m'$ con $m'>1$ e + $\MCD(m, m') = 1$. Mostro che $G \cong mG \times m'G$. \medskip + + + %TODO: continuare con Bezout + \end{proof} + + \begin{theorem} + Se $G$ è un $p$-gruppo abeliano. Allora esistono + e sono univocamente determinati degli interi + positivi $r_1 \geq \cdots \geq r_s$ tali che + $G \cong \ZZmod{p_1^{r_1}} \times \cdots + \times \ZZmod{p_1^{r_s}}$. + \end{theorem} +\end{document} \ No newline at end of file diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/5. I teoremi di Sylow/main.pdf b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.pdf similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/5. I teoremi di Sylow/main.pdf rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.pdf diff --git a/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/5. I teoremi di Sylow/main.tex b/Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.tex similarity index 100% rename from Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo)/5. I teoremi di Sylow/main.tex rename to Secondo anno/Algebra 1/Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.tex