diff --git a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23/main.pdf b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..da55435 Binary files /dev/null and b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23/main.pdf differ diff --git a/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23/main.tex b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23/main.tex new file mode 100644 index 0000000..ffdf39f --- /dev/null +++ b/Analisi I/Parte teorica/2023-03-23/main.tex @@ -0,0 +1,144 @@ +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage{personal_commands} +\usepackage[italian]{babel} + +\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}} +\author{Gabriel Antonio Videtta} +\date{21 marzo 2023} + +\begin{document} + + \maketitle + + \begin{center} + \Large \textbf{Analogie tra i limiti di funzioni e i limiti di successioni} + \end{center} + + \begin{note} Nel corso del documento, per un insieme $X$, qualora non + specificato, si intenderà sempre un sottoinsieme generico dell'insieme + dei numeri reali esteso $\RRbar$. Analogamente per $f$ si intenderà + sempre una funzione $f : X \to \RRbar$. + \end{note} + + \begin{exercise} + Dati $f : X \to \RRbar$, $\xbar$ punto di accumulazione di $X$ + tale che $\forall \, (x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ vale che + $f(x_n)$ converge. Allora il limite di $f(x_n)$ è sempre lo stesso. + \end{exercise} + + \begin{exercise} + Data $(x_n) \subseteq \RR$, definisco $f : \NN \to \RRbar$ tale + che $f(n) := x_n$, $\forall n \in \NN$. Allora $f(n) \tendston L \iff x_n \tendston L$. + \end{exercise} + + \begin{proposition} + Siano $f : X \to \RRbar$, $\xbar \in X$ punto di accumulazione + di $X$. Allora sono fatti equivalenti i seguenti: + + \begin{enumerate}[(i)] + \item $f(x) \tendsto{\xbar} L$, + \item $f$ è continua in $\xbar$. + \end{enumerate} + \end{proposition} + + \begin{proof} + Si dimostrano le due implicazioni separatamente. + \end{proof} + + \begin{remark} + Se $\xbar$ è un punto isolato di $X$, allora $f$ è continua + in $\xbar$. Pertanto per rendere la proposizione precedente + vera, è necessario ipotizzare che $\xbar$ sia un punto + di accumulazione (infatti il limite in un punto isolato + non esiste per definizione, mentre in tale punto $f$ è + continua). + \end{remark} + + \begin{exercise} + Siano $f : X \to \RR$ e $\xbar$ punto di accumulazione di $X$. + Siano $L \in \RRbar$ e $\tilde{f} : X \cup \{\xbar\} \to \RRbar$ tale + che: + + \[ \tilde{f}(x) = \begin{cases} + L & \text{se } x = \xbar, \\ + f(x) & \text{altrimenti}. + \end{cases} \] + + \vskip 0.05in + + Allora $f(x) \tendsto{\xbar} L \iff \tilde{f}$ è continua in $\xbar$. + \end{exercise} + + \begin{remark} + Tutte le funzioni elementari (e.g.~$\sin(x)$, $\cos(x)$, $\exp(x)$, $\ln(x)$, $\abs{x}$, polinomi) sono funzioni continue nel loro insieme + di definizione. + \end{remark} + + \begin{proposition} + Date $f : X \to Y \subseteq \RRbar$ e $g : Y \to \RRbar$. Sia + $f$ continua in $\xbar$ e sia $g$ continua in $f(\xbar)$. Allora + $g \circ f$ è continua in $\xbar$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Sia $I$ un intorno di $z = g(f(\xbar))$. Allora, poiché $g$ è continua + in $f(\xbar)$, $\exists J$ intorno di $f(\xbar)$ $\mid g(J) \subseteq + I$. Tuttavia, poiché $f$ è continua in $\xbar$, $\exists K$ intorno + di $\xbar$ $\mid f(K) \subseteq J$, da cui si conclude che + $g(f(K)) \subseteq g(J) \subseteq I$. + \end{proof} + + \begin{proposition} + Sia $f : X \to Y \subseteq \RRbar$, sia $\xbar$ punto di + accumulazione di $X$ tale che $f(x) \tendsto{\xbar} \ybar$. + Se $\ybar$ è un punto di accumulazione di $Y$, $\ybar \in Y \implies + g$ continua in $\ybar$ e $g : Y \to \RRbar$ + è tale che $g(y) \tendstoy{\ybar} \zbar$, allora + $g(f(x)) \tendsto{\xbar} \zbar$. + \end{proposition} + + \begin{proof} + + \end{proof} + + \begin{exercise} + Mostrare che tutte le ipotesi della proposizione precedente sono necessarie, fornendo alcuni controesempi. + \end{exercise} + + \begin{proposition} + Date $f_1, f_2 : X \to \RR$ continue in $\xbar$. Allora: + + \begin{enumerate}[(i)] + \item $f_1 + f_2$ è continua in $\xbar$, + \item $f_1 f_2$ è continua in $\xbar$. + \end{enumerate} + \end{proposition} + + \begin{proof} + Sia $f := f_1 + f_2$. + + \begin{enumerate}[(i)] + \item Poiché $f_1, f_2$ sono continue in $\xbar$, + $\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0 \mid \abs{x - \xbar} < \delta + \implies \abs{f_1(x) - f_1(\xbar)}, \abs{f_2(x) - f_2(\xbar)} \leq \eps$ (per ogni $\eps > 0$, si prende $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$, ossia il minimo delle semilunghezze degli intorni + di $\xbar$). Allora $\abs{f(x) - f(\xbar)} \leq + \abs{f_1(x) - f_1(\xbar)} + \abs{f_2(x) - f_2(\xbar)} \leq 2\eps$. + Si conclude dunque che $\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0 + \mid \abs{f(x) - f(\xbar)} \leq 2\eps$, e quindi, poiché + $2\eps \tends{\eps \to 0} 0$, che $f$ è continua in $\xbar$. + \end{enumerate} + \end{proof} + + \begin{proposition} + Date $f_1, f_2 : X \to \RRbar$, $\xbar$ punto di accumulazione + di $X$. Se $\lim_{x \to \xbar} f_1(x) = L_1 \in \RR$ e + $\lim_{x \to \xbar} f_2(x) = L_2 \in \RR$, allora valgono + i seguenti risultati: + + \begin{enumerate}[(i)] + \item $f_1(x) + f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 + L_2$, + \item $f_1(x) f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 L_2$. + \end{enumerate} + \end{proposition} + +\end{document} diff --git a/Fisica I/2023-03-23/main.pdf b/Fisica I/2023-03-23/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..5ecbd99 Binary files /dev/null and b/Fisica I/2023-03-23/main.pdf differ diff --git a/Fisica I/2023-03-23/main.tex b/Fisica I/2023-03-23/main.tex new file mode 100644 index 0000000..be20015 --- /dev/null +++ b/Fisica I/2023-03-23/main.tex @@ -0,0 +1,89 @@ +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage[physics]{personal_commands} +\usepackage[italian]{babel} + +\title{\textbf{Note del corso di Fisica 1}} +\author{Gabriel Antonio Videtta} +\date{22 marzo 2023} + +\begin{document} + + \maketitle + + \begin{center} + \Large \textbf{Derivate parziali e integrali di linea} + \end{center} + + \begin{definition} + Una forza $\vec{F}(\vec{r})$ si dice \textit{conservativa} se + il lavoro effettuato da tale forza tra due punti $A$ e $B$ è lo stesso, + qualsiasi sia la traiettoria che li congiunge, ordinata da $A$ a + $B$. + \end{definition} + + \begin{definition} + Data $f : \RR^3 \to \RR$ nelle variabili $x$, $y$ e $z$, si definisce \textit{gradiente} come + il vettore $\vec{\nabla}f = (\frac{\del f}{\del x}, \frac{\del f}{\del y}, \frac{\del f}{\del z})$. + \end{definition} + + \begin{remark} + Sia $U(x, y, z)$ l'energia potenziale, e sia $\vec{F}$ conservativa. + Poiché $dL = - dU$, $dL = \vec{F} \cdot d\vec{r} = + F_x dx + F_y dy + F_z dz$ e $dU = \frac{\del U}{\del x} dx + + \frac{\del U}{\del y} dy + \frac{\del U}{\del z} dz$, si + ricava che: + + \[ \vec{F} = - \vec{\nabla} U \] + \end{remark} + + \begin{definition} + Si definisce \textit{rotore} di un vettore $\vec{F}$ la seguente quantità: + + + \[\vec{\nabla} \times \vec{F} = \rot \vec{F} = \det \Matrix{\ihat & \jhat & \khat \\ \parx & \pary & \parz \\ \parx F_x & \pary F_y & \parz F_z}.\] + \end{definition} + + \begin{remark} + Se la forza è conservativa, per il teorema di Schwarz le + derivate parziali miste in $\grad \times \vec{F}$ commutano, e + quindi $\grad \times \vec{F} = \vec{0}$ + \end{remark} + + \begin{remark} + In sintesi, sono equivalenti le seguenti affermazioni: + + \begin{enumerate}[(i)] + \item la forza $\vec{F}$ è conservativa, + \item $L_{\gamma(A,B)} (\vec{F})$ non dipende da $\gamma$, + ma solo da $A$ e $B$, + \item $\oint_\gamma \vec{F} \cdot d \vec{r} = 0$. + \end{enumerate} + \end{remark} + + \begin{remark} + Se $\vec{F} = \vec{a} + \vec{b}$, dove $\vec{a}$ è conservativa, + allora, per il teorema dell'energia cinetica, $L_{\gamma(P_0, P)} = + K_P - K_{P_0}$. Pertanto, grazie all'additività del lavoro, + si può ricavare che: + + \[ L_{\gamma(P_0, P)} \vec{F} = L_{\gamma(P_0, P)} \vec{a} + L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b}. \] + + Poiché $\vec{a}$ è conservativa, $L_{\gamma(P_0, P)} \vec{a} = U_{P_0} - U_P$, e quindi, se $\Delta K = 0$: + + \[ \Delta U = L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b} \implies U_P = U_{P_0} + L_{\gamma(P_0, P)} \vec{b}. \] + \end{remark} + + Supponiamo che $\vec{F} = \sum_{i=1}^N \vec{F_i}$ sia la + somma di sole forze conservative su un corpo di massa $m$. + Allora ad ogni forza $\vec{F_i}$ possiamo associare un'energia + potenziale $U_P^{(i)} - U_{P_0}^{(i)} = - L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{F_i})$, + da cui $\Delta U = U_P - U_{P_0} = \sum_{i=1}^N \left[U_P^{(i)} - U_{P_0}^{(i)}\right] = -L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{F_i}) = K_{P_0} - K_P = -\Delta K$. \\ + + Sia $E = K + U$, detta energia meccanica, allora si ricava che $\Delta E = 0$. Infatti, in presenza di forze conservative, $\frac{dE}{dt} = 0$. + Altrimenti $\Delta E = L_{\gamma(P_0, P)} (\vec{b})$. + + \begin{example} + Se si è in presenza di un campo uniforme (ossia dove $\vec{F}(\vec{r}) = \vec{f}$, $\forall \vec{r}$), il rotore è nullo, e quindi la + forza è conservativa (e.g.~la forza peso). + \end{example} +\end{document} diff --git a/tex/latex/style/personal_commands.sty b/tex/latex/style/personal_commands.sty index e04733c..f6feaea 100644 --- a/tex/latex/style/personal_commands.sty +++ b/tex/latex/style/personal_commands.sty @@ -9,6 +9,7 @@ \usepackage{stmaryrd} \usepackage{marvosym} \usepackage{float} +\usepackage{enumerate} \hfuzz=\maxdimen \tolerance=10000 @@ -25,7 +26,9 @@ \newcommand{\li}[0]{$\blacktriangleright\;\;$} +\newcommand{\tends}[1]{\xrightarrow[\text{$#1$}]{}} \newcommand{\tendsto}[1]{\xrightarrow[\text{$x \to #1$}]{}} +\newcommand{\tendstoy}[1]{\xrightarrow[\text{$y \to #1$}]{}} \newcommand{\tendston}[0]{\xrightarrow[\text{$n \to \infty$}]{}} \setlength\parindent{0pt} @@ -45,6 +48,18 @@ \newcommand{\del}{\partial} \newcommand{\tendstot}[0]{\xrightarrow[\text{$t \to \infty$}]{}} +\newcommand{\grad}{\vec{\nabla}} +\DeclareMathOperator{\rot}{rot} + +\newcommand{\ihat}{\hat{i}} +\newcommand{\jhat}{\hat{j}} +\newcommand{\khat}{\hat{k}} + +\newcommand{\der}[1]{\frac{d#1}{dx}} +\newcommand{\parx}{\frac{\del}{\del x}} +\newcommand{\pary}{\frac{\del}{\del y}} +\newcommand{\parz}{\frac{\del}{\del z}} + % Spesso utilizzati al corso di Analisi 1. %\newcommand{\liminf}{\lim_{x \to \infty}} \newcommand{\liminfty}{\lim_{x \to \infty}} @@ -55,6 +70,8 @@ \newcommand{\limzerom}{\lim_{x \to 0^-}} \newcommand{\xbar}{\overline{x}} +\newcommand{\ybar}{\overline{y}} +\newcommand{\zbar}{\overline{z}} \newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}} % Spesso utilizzati al corso di Geometria 1.