diff --git a/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.pdf b/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.pdf index 517a04b..0496194 100644 Binary files a/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.pdf and b/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.tex b/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.tex index b8978a6..71b99d3 100644 --- a/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.tex +++ b/Geometria 1/Scheda riassuntiva/main.tex @@ -1192,7 +1192,11 @@ allora $\charpoly{f} = \charpolyrestr{f}{W} \cdot \charpolyrestr{f}{U}$ (la matrice associata in un'unione di basi di $W$ e $U$ è infatti diagonale a blocchi), \item se sia $W$ che $U$ sono $f$-invarianti, allora $f$ è diagonalizzabile - se e solo se sia $\restr{f}{W}$ che $\restr{f}{U}$ lo sono. + se e solo se sia $\restr{f}{W}$ che $\restr{f}{U}$ lo sono, + \item se $f$ è nilpotente, $p_f(\lambda) = \lambda^n$ (è sufficiente considerare + un eventuale altro autovalore diverso da zero e mostrare che se tale + autovalore esistesse, $f$ non sarebbe nilpotente), + \item un endomorfismo è nilpotente se e solo se $f^n = 0$ (discende direttamente dal teorema di Hamilton-Cayley e dalla forma di $p_f$), \end{itemize} Si dice che $f$ è diagonalizzabile se $V$ ammette una base per cui @@ -1218,7 +1222,7 @@ che $f$ è diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore la massima taglia di un blocco di Jordan è esattamente $1$, ossia se il polinomio minimo di $f$ è un prodotto di fattori lineari - distinti. Si può fare la stessa considerazione guardando al + distinti (i.e.~se $\varphi_f(t) = \prod_i (t-\lambda_i)$). Si può fare la stessa considerazione guardando al teorema di decomposizione primaria (gli indici di Fitting del sottospazio generalizzato sono esattamente le moltiplicità algebriche degli autovalori nel polinomio minimo). @@ -1380,7 +1384,13 @@ \item gli esponenti dei fattori lineari di $\varphi_f$ sono esattamente gli indici di Fitting degli autospazi generalizzati di $f$, - \item gli autovalori hanno moltiplicità algebrica $1$ in $\varphi_f$ se e solo se $f$ è diagonalizzabile (è sufficiente utilizzare il precedente risultato, o considerare la forma canonica di Jordan). + \item gli autovalori hanno moltiplicità algebrica $1$ in $\varphi_f$ se e solo se $f$ è diagonalizzabile (è sufficiente utilizzare il precedente risultato, o considerare la forma canonica di Jordan), + \item se $f$ è nilpotente, $\varphi_f(t) = t^k$, dove $k$ è l'indice di Fitting + di $\Ker f$ (discende direttamente dalla forma di $p_f$ se $f$ è nilpotente), + \item se $p \in \KK[x]$ è tale per cui $p = p_1 \cdots p_k$ con $p_1$, ..., $p_k \in \KK[x]$ coprimi, allora $\Ker p(f) = \Ker p_1(f) \oplus \cdots \oplus \Ker p_k(f)$ (teorema di decomposizione primaria; si dimostra facilmente attraverso il teorema di Bezout), + \item $V = \gensp 1 \oplus \cdots \oplus \gensp k$, se $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ sono tutti gli autovalori di $f$ (deriva direttamente dal teorema + di Hamilton-Cayley e dal teorema di decomposizione primaria, o, alternativamente, + dalla decomposizione di Fitting). \end{itemize} Sia $\v \in V$. Si definisce allora l'applicazione @@ -1392,7 +1402,7 @@ tale per cui $\Ker \val_{f, \v} = (\varphi_{f, \v})$. Tale polinomio viene denotato come polinomio minimo relativo al vettore $\v$. Si definisce in particolare - $\KK[f](\v) := \Imm \val_{f, \v}$. + $\KK[f](\v) := \Im \val_{f, \v}$. \begin{itemize} \item $\varphi_{f, \v} \mid \varphi_f$ (infatti $\varphi_f(f)=0$, e dunque $\varphi_f(f)$ annulla $\v$), @@ -1407,7 +1417,8 @@ \item se $\v$, ..., $f^{k}(\v)$ sono linearmente indipendenti per qualche $\v \in V$, allora $\deg \varphi_f \geq \varphi_{f, \v} \geq k + 1$. \item esiste sempre un vettore $\v$ tale per cui $\varphi_f = \varphi_{f, \v}$ (se $\KK$ è infinito). - \item $p(f)$ è invertibile $\iff \Ker p(f) = \zerovecset$ $\iff \MCD(\varphi_f, p) \in \KK^*$, se $p \in \KK[x]$. + \item $p(f)$ è invertibile $\iff \Ker p(f) = \zerovecset$ $\iff \MCD(\varphi_f, p) \in \KK^*$, se $p \in \KK[x]$ (è sufficiente + applicare il teorema di Bezout). \end{itemize} Un vettore $\v$ si dice ciclico rispetto a $f$ se @@ -1426,7 +1437,202 @@ il polinomio minimo di un qualche endomorfismo; analogamente ogni polinomio monico è, a meno del segno, un polinomio caratteristico). - a meno) + + \subsection{La forma canonica di Jordan} + + Si definisce blocco di Jordan di taglia $k$ relativo + all'autovalore $\lambda$ la seguente matrice: + \[J_{\lambda, k} :=\begin{pmatrix} + \lambda&1&0&\cdots&0 \\ + 0&\ddots&\ddots&&\vdots \\ + \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ + \vdots&&\ddots&\ddots&1 \\ + 0&\cdots&\cdots&0&\lambda + \end{pmatrix},\] + + ossia la matrice che ha solo $\lambda$ sulla diagonale, $1$ sulla + sopradiagonale e $0$ nelle altre posizioni. Si può + sempre restringere un blocco di Jordan a un blocco nilpotente + considerando $J = J_{\lambda, k} - \lambda I_k$. Tale blocco + ha come polinomio minimo $\varphi_J(t) = t^k$, e dunque + $\varphi_{J_{\lambda, k}}(t) = (t-\lambda)^k$. Allo stesso + modo si calcola $p_{J_{\lambda, k}}(t) = (t-\lambda)^k$. Si osserva dunque + che $\mu_{a, J_{\lambda, k}}(\lambda) = \mu_{a, J}(0)$. + + Poiché il polinomio caratteristico ed il polinomio minimo coincidono a meno + del segno, esiste sempre una base ciclica per la quale $J_{\lambda, k}$ + si scrive come matrice compagna di $\varphi_{J_{\lambda, k}}$. + + Si definisce forma canonica di Jordan di un endomorfismo $f$ + una sua matrice associata in una base $\basis$ tale per cui: + \[M_\basis(f) = \begin{pmatrix} + J_1 & & 0 \\ + & \ddots & \\ + 0 & & J_s \end{pmatrix}, \] + + dove $J_1$, ..., $J_s$ sono blocchi di Jordan. La forma canonica + di Jordan esiste sempre ed è unica a meno di permutazione dei blocchi, + se tutti gli autovalori di $f$ sono in $\KK$ (teorema di Jordan; se + gli autovalori di $f$ non sono tutti in $\KK$, si può sempre considerare + un'estensione di campo in cui esistono). + + Si definisce autospazio generalizzato relativo all'autovalore $\lambda$ di + $f \in \End(V)$ lo spazio: + + \[ \Gensp = \Ker (f - \lambda \Idv)^n. \] + + Una definizione alternativa, ma equivalente di $\Gensp$ è la seguente: + + \[ \Gensp = \{ \v \in V \mid \exists k \in \NN \mid (f-\lambda \Idv)^k = \vec 0 \}, \] + + ossia $\Gensp$ è lo spazio dei vettori $\v \in V$ tali per cui, applicando ripetutamente $f-\lambda \Idv$, si ottiene un autovettore relativo a $\lambda$ (per + dimostrare l'equivalenza delle due dimostrazioni è sufficiente considerare la + decomposizione di Fitting). In generale, dalla catena della decomposizione + di Fitting, si deduce in realtà che: + + \[ \Gensp = \Ker (f - \lambda \Idv)^q \; \forall q \geq k, \] + + dove $k$ è la molteplicità algebrica di $\lambda$ in $\varphi_f$ (in particolare + si ottiene sempre l'autospazio generalizzato sostituendo $\mu_a(\lambda)$ a $q$, + dacché $\mu_a(\lambda) \geq k$). + + In generale vale che: + \[ V = \gensp 1 \oplus \cdots \oplus \gensp k, \] + se $\lambda_1$, ..., $\lambda_k$ sono tutti gli autovalori di $f$ (vd.~polinomio minimo). Inoltre, $\restr{f}{\Gensp}$ ammette come autovalore soltanto $\lambda$ + (pertanto $\dim \Gensp = \mu_{a, f}(\lambda)$, confrontando i polinomi caratteristici). Si osserva inoltre che $\Gensp$ è sempre $f$-invariante. Infatti ogni $f$ induce due catene di inclusione: + + \begin{gather*} + \Ker f^0 = \zerovecset \subsetneqq \Ker f^1 \subsetneqq \cdots \subsetneqq \Ker f^k = \Ker f^{k+1} = \cdots, \\ + \Im f^0 = V \supsetneqq \Im f^1 \supsetneqq \cdots \supsetneqq \Im f^k = \Im f^{k+1} = \cdots, + \end{gather*} + + dove $k$ è detto indice di Fitting di $f$. Vale in particolare la decomposizione di Fitting: + \[ V = \Ker f^k \oplus \Im f^k, \] + + dove $\restr{f}{\Ker f^k}$ è nilpotente (e dunque ammette solo $0$ come autovalore; + infatti $(\restr{f}{\Ker f^k})^k = \restr{f^k}{\Ker f^k} = 0$), + mentre $\restr{f}{\Im f^k}$ è invertibile (e dunque non ammette $0$ come autovalore; + infatti tale endomorfismo mantiene le dimensioni delle immagini). + + \begin{itemize} + \itemsep 0pt + \item esiste sempre almeno un blocco di Jordan relativo a $\lambda$ di ordine $k$, + dove $k$ è la molteplicità algebrica di $\lambda$ in $\varphi_f$, + \item la successione di $\Ker (f-\lambda \Idv)^t - \Ker (f - \lambda \Idv)^{t-1}$ + all'aumentare di $t$ è decrescente ed è definitivamente $0$, + \item il numero di blocchi di Jordan di taglia maggiore o uguale a $t$ relativi + a $\lambda$ è esattamente $\Ker (f-\lambda \Idv)^t - \Ker (f - \lambda \Idv)^{t-1}$, + \item il numero di blocchi di Jordan di taglia $t$ relativi a $\lambda$ + è esattamente: + \begin{gather*} + 2 \dim \Ker (f-\lambda \Idv)^t - \dim \Ker (f-\lambda \Idv)^{t+1} \\ - \dim \Ker (f-\lambda \Idv)^{t-1}, + \end{gather*} + riscrivibile anche come: + \begin{gather*} + \rg (f-\lambda \Idv)^{t+1} + \rg (f-\lambda \Idv)^{t-1} - \\ + 2 \rg (f-\lambda \Idv), + \end{gather*} + (da queste due identità risulta evidente l'unicità della forma canonica di Jordan), + \item esistono esattamente $\mu_g(\lambda) = \dim \Ker (f - \lambda \Idv)$ blocchi + relativi all'autovalore $\lambda$, + \item $\mu_g(\lambda) = 1$ $\forall \lambda \in \Sp(f)$ implica + che vi sia un solo blocco relativo ad ogni $\lambda \in \Sp(f)$; dal + momento che ne deve esiste uno di ordine massimo, tale blocco ha taglia + $k$, dove $k$ è la molteplicità algebrica di $\lambda$ in $\varphi_f$, + \item $\mu_g(\lambda) = 1$ $\forall \lambda \in \Sp(f)$ implica che + $p_f = \pm \varphi_f$ (e dunque che $f$ ammette una base ciclica; segue + direttamente dal precedente risultato), + \item una base di $\Ker (f - \lambda \Idv)^t$ è data dai primi $t$ vettori + di ogni blocco relativo a $\lambda$, + \item due matrici $A$, $B$ sono simili se e solo se condividono la stessa + forma canonica di Jordan (a meno di permutazione di blocchi; dunque la + forma canonica di Jordan è un invariante completto della similitudine), + \item Se $\KK=\CC$, vale l'identità: + \[ \conj{\Ker (f - \lambda \Idv)^k} = \Ker (f - \conj{\lambda} \Idv)^k, \] + + da cui è possibile ottenere una base dell'autospazio generalizzato relativo + a $\conj{\lambda}$ coniugando una base dell'autospazio generalizzato relativo + a $\lambda$ (in particolare i due spazi hanno la stessa dimensione), + \item Se $\KK=\CC$, la forma canonica di Jordan contiene tanti blocchi di taglia $t$ + relativi a $\lambda$ quanti ve ne sono di relativi a $\conj{\lambda}$. + \end{itemize} + + \subsubsection{Calcolo di una base di Jordan} + + Si dice base di Jordan una qualsiasi base $\basis$ tale per cui + $M_\basis(f)$ è una forma canonica di Jordan, se $f \in \End(V)$. + Per calcolare una base di Jordan si può seguire il seguente + algoritmo: + + \begin{enumerate} + \item Si calcoli il polinomio caratteristico $p_f$ di $f$ e se + ne estragga lo spettro $\Sp(f)$, + \item Si consideri una base $\basis$ di $V$ e si ponga + $A := M_\basis(f)$, + \item Si consideri ogni autovalore $\lambda \in \Sp(f)$: + \begin{enumerate}[a.] + \item Si consideri $B := A - \lambda I_n$. Si calcoli + il rango di $B$ per ricavare $\mu_g(\lambda)$, indicante + il numero di blocchi relativi a $\lambda$, + \item Se possibile, si facciano considerazioni riguardo + a come deve essere la forma canonica di Jordan. Altrimenti + si calcoli il numero di blocchi tramite la formula + presentata precedentemente, + \item Si calcolino le matrici della forma $B^i$ con $2 \leq i \leq k-1$, + dove $k$ è la taglia del blocco più grande, + \item Si calcolino le basi dei sottospazi $U_i$ tali per cui: + \begin{flalign*} + &\Ker B^k = \Ker B^{k-1} \oplus U_1, \\ + &\Ker B^{k-1} = \Ker B^{k-2} \oplus B(U_1) \oplus U_2, \\ + &\,\vdots \\ + &\Ker B = B^{k-1}(U_1) \oplus B^{k-2}(U_2) \oplus \cdots \oplus U_k; + \end{flalign*} + \item Si scelgano da queste basi i vettori che generano ogni blocco + relativo a $\lambda$ (in particolare ogni vettore di base di $U_i$ genera + un blocco di taglia $k-1+i$), + \item Per ogni blocco, generato dal vettore $\v$, si costruisca una base ordinata nel seguente modo: + \[ \basis' = \{B^{t-1} \v ,\ldots , B \v, \v\}, \] + dove $t$ è l'indice minimo per cui $B^t \v = 0$; + \end{enumerate} + \item Si uniscano ordinatamente a catena le basi ottenute in una base $\basis_J$. La base $[]_\basis\inv \basis_J$ è allora base di Jordan. In particolare, se + $P = \Matrix{\v_1 \cdots \v_n}$, dove $\basis_J= \{\v_1, \ldots, \v_n\}$, vale + che $J = P\inv A P$ è esattamente la forma canonica di Jordan individuata + da tale base. + \end{enumerate} + + Se $f$ è nilpotente, l'algoritmo può essere velocizzato notevolmente considerando + solamente $B := A$. Se $f$ ha un solo autovalore $\lambda$ e ammette una base ciclica (ossia esiste un solo blocco di Jordan), considerando $B := A - \lambda I_n$, + quasi ogni vettore è un vettore ciclico (è pertanto consigliato cercare un vettore + in modo casuale, piuttosto che estendere tutte le basi dei kernel). + + \subsubsection{La forma canonica di Jordan reale} + + Sia $A \in M(n, \RR)$. Allora + la forma canonica di Jordan reale è una variante reale della forma canonica di + Jordan che esiste sempre (infatti gli autovalori di $A$ non sono forzatamente + in $\RR$, e potrebbero dunque essere in $\CC \setminus \RR$). La forma canonica di + Jordan reale si costruisce a partire da una forma canonica di Jordan $J$ + e una sua base di Jordan $\basis$ associata. Tale forma canonica + si costruisce mediante il seguente algoritmo: + + \begin{enumerate} + \item Si scelga un autovalore $z$, se non si è già considerato il + suo coniugato $\conj z$: + \begin{enumerate}[a.] + \item Si prenda la base $\basis_z = \{\vv 1, \ldots, \vv k, \conj{\vv 1}, \ldots, \conj{\vv k}\}$ che + genera i blocchi di $z$ e $\conj z$ e si consideri la nuova + base $\basis_z' = \{ \Re(\vv 1), \imm(\vv 1), \ldots, \Re(\vv k), \imm(\vv 1k) \}$, + \item In tale base la forma canonica di Jordan varia eliminando i blocchi + di $\conj z$, sostituendo all'autovalore $z = a + bi$ il seguente blocco: + \[ \Matrix{ + a & -b \\ b & a + }, \] + ed ingrandendo gli eventuali $1$ mediante l'identità $I_2$ (tale processo prende + il nome di complessificazione). + \end{enumerate} + \item La matrice ottenuta dopo aver considerato tutti gli eventuali autovalori complessi è una forma canonica di Jordan reale, e la base ottenuta mediante + tutti i processi di complessificazione è una base di Jordan reale. + \end{enumerate} \subsection{Prodotto scalare e congruenza} Si consideri una mappa $\varphi : V \times V \to \KK$. Si dice che @@ -1468,7 +1674,7 @@ \item $\Ker a_\varphi = V^\perp$, \item $\varphi$ è non degenere se e solo se $M_\basis(\varphi)$ è invertibile, \item $W^\perp = \Ker i^\top \circ a_\varphi$, - \item $a_\varphi(W^\perp) = \Ann(W) \cap \Imm a_\varphi$, + \item $a_\varphi(W^\perp) = \Ann(W) \cap \Im a_\varphi$, \item $\dim W + \dim W^\perp = \dim V + \dim (W \cap V^\perp)$ (da sopra), \item $V = W \oplus^\perp W^\perp$ se $\restr{\varphi}{W}$ è non degenere ($\iff W \cap W^\perp = \Rad(\restr{\varphi}{W}) = \zerovecset$), \item $(W^\perp)^\perp = W^\dperp = W + \Rad(\varphi) = W + V^\perp$, diff --git a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Decomposizione di Jordan e forma canonica di Jordan reale/main.pdf b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Decomposizione di Jordan e forma canonica di Jordan reale/main.pdf index 20c9d5b..9239eae 100644 Binary files a/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Decomposizione di Jordan e forma canonica di Jordan reale/main.pdf and b/Geometria 1/Teoria spettrale degli endomorfismi/2023-03-22, Decomposizione di Jordan e forma canonica di Jordan reale/main.pdf differ