diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.pdf b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.pdf index 56d316f..ab3b524 100644 Binary files a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.pdf and b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex index 18cfa69..e210614 100644 --- a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex +++ b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-26, Azioni di un gruppo e introduzione agli spazi affini/main.tex @@ -45,7 +45,7 @@ \begin{definition} L'azione di un gruppo $G$ su un insieme $X$ si dice \textbf{fedele} se - l'omomorfismo $\varphi_G$ da $G$ in $S(G)$, ossia nel gruppo delle bigezioni su $G$, che + l'omomorfismo $\varphi_G$ da $G$ in $S(X)$, ossia nel gruppo delle bigezioni su $G$, che associa $g$ a $f_g$ è iniettiva. \end{definition} diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf index c1bb964..fa19662 100644 Binary files a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf and b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex index bf628c5..da16b23 100644 --- a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex +++ b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex @@ -14,8 +14,6 @@ \Large \textbf{Indipendenza e applicazioni affini} \end{center} - \wip - \begin{note} Qualora non specificato diversamente, si intenderà per $E$ uno spazio affine sullo spazio vettoriale $V$ e per $E'$ uno spazio affine sullo spazio vettoriale $V'$, dove sia $V$ che $V'$ sono costruiti @@ -60,6 +58,8 @@ dalla seguente costruzione: \[ \varphi_{O, \basis}(P) = [P-O]_\basis. \] + + \vskip 0.05in \end{remark} \begin{proposition} @@ -115,7 +115,15 @@ \li I sottospazi affini di dimensione uno sono le \textit{rette affini}, mentre quelli di dimensione due sono i \textit{piani affini}. \\ \li Si dice \textit{iperpiano affine} un sottospazio affine di codimensione $1$, - ossia di dimensione $n-1$. + ossia di dimensione $n-1$. \\ + \li Due sottospazi affini sono paralleli se e solo se uno può + essere ottenuto mediante una traslazione dell'altro sottospazio. \\ + \li Se $D = \Aff(P_1, \ldots, P_k)$ con $P_1$, ..., $P_k \in E$, + i vettori $P_2 - P_1$, ..., $P_k - P_1$ generano $D_0$. Infatti, + se $P - P_1 \in D_0$, con $P \in D$, esistono $\lambda_1$, ..., + $\lambda_k \in \KK$ con $\sum_{i=1}^k \lambda_i = 1$ tali che + $P = \sum_{i=1}^k \lambda_i P_i$. Allora $P-P_1 = \sum_{i=1}^k \lambda_i (P_i - P_1)$, da cui si deduce che tali vettori + generano $D_0$. \end{remark} \begin{definition} [punti affinemente indipendenti] @@ -185,7 +193,14 @@ \li Si osserva che il numero massimo di punti affinemente indipendenti di un sottospazio affine $D$ di dimensione $k$ è $k+1$, dacché, fissato un punto, vi possono essere al più $k$ vettori linearmente indipendenti. \\ \li Un punto di $E$ è sempre affinemente indipendente, dacché la sua unica combinazione affine è - sé stesso. + sé stesso. \\ + \li Due punti di $E$ sono affinemente indipendenti se e solo + se il vettore che li congiunge è non nullo. \\ + \li Se $P_1$, ..., $P_k$ sono punti affinemente indipendenti, + allora $\dim \Aff(P_1, \ldots, P_k) = k-1$. Infatti esistono + almeno $k-1$ vettori linearmente indipendenti nella direzione + di questo sottospazio affine, ed esattamente $k-1$ vettori + generano tale direzione. \end{remark} \begin{definition} [riferimento affine] Sia $D \subseteq E$ un sottospazio affine di $E$ di dimensione $k-1$. @@ -248,7 +263,8 @@ \end{definition} \begin{definition} [baricentro] - Si definisce \textbf{baricentro} dei punti $P_1$, ..., $P_k$ la combinazione convessa + Si definisce \textbf{baricentro} $G_S$ dei punti $P_1$, ..., $P_k$, + che compongono l'insieme $S \subseteq E$, la combinazione convessa $\sum_{i=1}^k \frac{1}{k} P_i$. \end{definition} @@ -262,7 +278,23 @@ $[P, Q] \subseteq \IC(S)$. \\ \li Se $E = \Aa_2(\RR)$, e $P_1$, $P_2$, $P_3$ sono tre punti di $E$, l'inviluppo convesso dei tre punti è esattamente il triangolo costruito sui tre punti. Analogamente, presi quattro - punti di $\Aa_3(\RR)$, l'inviluppo convesso dei quattro punti è un tetraedro. + punti di $\Aa_3(\RR)$, l'inviluppo convesso dei quattro punti è un tetraedro. \\ + \li Se $A = B \sqcup C \subseteq E$ (ossia se $A = B \cup C$ con + $B \cap C = \emptyset$), si osserva che $G_A = \frac{\abs{B}}{\abs{A}} G_B + \frac{\abs{C}}{\abs{A}} G_C$. Infatti, se $B_1$, ..., $B_{\abs B}$ sono i punti di $A$ appartenenti a $B$ e $C_1$, ..., $C_{\abs C}$ sono + quelli appartenenti a $C$, $G_A = \sum_{i=1}^{\abs B} \frac{1}{\abs{A}} B_i + \sum_{i=1}^{\abs C} \frac{1}{\abs{A}} C_i = \frac{\abs{B}}{\abs A} \sum_{i=1}^{\abs B} \frac{1}{\abs{B}} B_i + \frac{\abs{C}}{\abs A} \sum_{i=1}^{\abs C} \frac{1}{\abs{C}} C_i = \frac{\abs{B}}{\abs{A}} G_B + \frac{\abs{C}}{\abs{A}} G_C$. \\ + \li In $\Aa_2(\RR)$, il baricentro tra tre punti affinemente + indipendenti è esattamente il baricentro del loro inviluppo + convesso, ossia del triangolo formato da questi punti. Infatti, + se $S = \{ P_1, P_2, P_3 \}$, $G_S = \frac{1}{3} P_1 + \frac{1}{3} P_2 + + \frac{1}{3} P_3$. Inoltre, per l'osservazione precedente, si può + scrivere il baricentro di questo triangolo come una combinazione + convessa del punto medio di due punti e del terzo punto non + considerato, ossia $G_S = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} P_i + \frac{1}{2} P_j \right) + \frac{1}{3} P_k$. Pertanto il baricentro + di un triangolo è l'intersezione di tutte e tre le mediane di + tale triangolo. Se si dota il piano della misura euclidea si deduce + anche che il segmento che congiunge il baricentro al + punto medio è la metà del segmento che congiunge il baricentro + al terzo punto. \end{remark} \begin{definition} [applicazione affine] Si definisce \textbf{applicazione affine} da $E$ a $E'$ un'applicazione $\varphi : E \to E'$ @@ -319,7 +351,8 @@ $\varphi(\vec x) = \varphi(\vec 0) + g(\vec x - \vec 0) = A \vec x + \vec b$ $\forall \vec x \in E$, dove $A$ è la matrice associata di $g$ nelle basi canoniche di $\KK^n$ e $\KK^m$ e $\vec b = \varphi(\vec 0)$. \\ - \li Se $g$ e $g'$ sono le applicazioni lineari associate alle applicazioni affini $\varphi : E \to E'$ e $\varphi' : E' \to E''$, + \li Sia $E''$ un altro spazio affine costruito su un altro spazio + vettoriale $V''$, sempre fondato sul campo $\KK$. Se dunque $g$ e $g'$ sono le applicazioni lineari associate alle applicazioni affini $\varphi : E \to E'$ e $\varphi' : E' \to E''$, allora $g \circ g'$ è l'applicazione lineare associata a $\varphi \circ \varphi'$ e $\varphi + \varphi'$. Infatti, se $O \in E$, $\varphi(\varphi'(P)) = \varphi(\varphi'(O) + g'(P-O)) = \varphi(\varphi'(O)) + g(g'(P-O))$. @@ -335,6 +368,24 @@ $\varphi(O + g\inv(P-\varphi(O))) = \varphi(O) + g(g\inv(P-\varphi(O))) = P$ (surgettività). Analogamente si dimostra il viceversa. \end{remark} + + \begin{remark} + Se $\varphi : E \to E$ è un'affinità, anche il suo inverso $\varphi\inv$ + lo è. Dacché $\varphi\inv$ è già bigettiva, è sufficiente mostra + che è anche un'applicazione affine. Siano allora $\lambda_1$, ..., + $\lambda_k \in \KK$ tali che $\sum_{i=1}^k \lambda_i = 1$. Siano + inoltre $P_1$, ..., $P_k$ punti di $E$. Allora, poiché $\varphi$ + è un'affinità, esistono $Q_1 = \varphi\inv(P_1)$, ..., $Q_k = \varphi\inv(P_k) \in E$ tali che + $\varphi\left( \sum_{i=1}^k \lambda_i Q_i \right) = \sum_{i=1}^k \lambda_i P_i$. Allora $\varphi\inv\left( \sum_{i=1}^k \lambda_i P_i \right) = \varphi\inv\left(\varphi\left( \sum_{i=1}^k \lambda_i Q_i \right)\right) = \sum_{i=1}^k \lambda_i \, \varphi\inv(P_i)$. \\ + + In particolare, se $g \in \End(V)$ è l'applicazione lineare associata + a $\varphi$, $g\inv$ è l'applicazione lineare associata a $\varphi\inv$. + Sia infatti $f \in \End(V)$ è l'applicazione lineare associata + a $\varphi\inv$. Dal momento che $\varphi\inv(\varphi(O + \v)) = O + \v$ + e che $\varphi\inv(\varphi(O + \v)) = \varphi\inv(\varphi(O) + g(\v)) = + \varphi\inv(\varphi(O)) + f(g(\v)) = O + f(g(\v))$, deve valere infatti + che $f(g(\v)) = \v$ $\forall \v \in V$, ossia $f \circ g = \Idv \implies f = g\inv$. + \end{remark} \begin{definition} [gruppo delle affinità di uno spazio affine] Si indica con $A(E)$ il gruppo, mediante l'operazione di composizione, delle affinità di $E$.