diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf
index f3b2f97..8748ce2 100644
Binary files a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf and b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.pdf differ
diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex
index d6de780..188b016 100644
--- a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex	
+++ b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-17, 19, Prodotti hermitiani e teorema spettrale/main.tex	
@@ -1381,4 +1381,42 @@
 		che $U \in U_n$ è sempre invertibile, si conclude che $A A^* = A^* A$, ossia che $A$ è normale a
 		sua volta, da cui la tesi. 
 	\end{proof}
+
+	\begin{remark}\nl
+		\li Si può osservare mediante l'ultimo corollario che $A$ hermitiana
+		$\implies$ $U^* A U = D$ è reale. \\
+		\li Si può estendere il teorema ad una matrice generica
+		$A \in M(n, \RR)$ normale, a patto che $A$ ha tutti autovalori
+		reali. Infatti, in tal caso, esiste $O \in O_n$ tale che
+		$O^\top A O = D$ con $D$ diagonale. Inoltre, $A^\top = (O D O^\top)^\top
+		= O D^\top O^\top = O D O^\top = A$. Quindi $A$ è necessariamente
+		anche simmetrica.
+	\end{remark}
+
+	\begin{exercise}\nl
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $(V, \varphi)$ con $\varphi$ non degenere.
+			$W \subseteq V$ sottospazio. Sia $\ww 1$, ..., $\ww k$
+			una base di $W$ e sia $\basis = \{ \ww 1, ..., \ww k, ..., \vv n \}$ una base di $V$. Allora $W^\top = \{ \v \in V \mid \varphi(\v, \ww i) = 0 \} = \{ \v \in V \mid A_{1,\ldots,k} [\v]_\basis = 0 \}$ con $A = M_\basis(\varphi)$. Pertanto $\dim W^\top = n - \rg(A_{1,...,k})$.
+
+			\item Sia $U \subseteq V$ sottospazio. Dimostrare che
+			nel quoziente $V/U$ il prodotto induce il prodotto $\tilde \varphi([\v], [\v']) = \varphi(\v, \v')$ se e soltanto se
+			$U \subseteq V^\perp$ ($U \perp V$).
+			
+			\item Dimostrare che il prodotto $\tilde \varphi$ è
+			non degenere.
+			
+			\item Sia $\pi : V \to V/V^\perp$ la proiezione al
+			quoziente. Sia $W \subseteq V$ sottospazio. Dimostrare
+			che $W^\perp = \{ \v \in V \mid \tilde \varphi(\pi(\v), \varphi(\w)) = 0 \forall \w \in W \} = \pi\inv(\pi(W)^\perp)$.
+			
+			\item Dedurre dai precedenti punti la formula della dimensione
+			dell'ortogonale.
+			
+			\item Dimostrare che $(W^\perp)^\perp = W + V^\perp$.
+			
+			\item Dimostrare che $A$ anti-hermitiana è normale e ha tutti autovalori
+			immaginari.
+		\end{enumerate}
+	\end{exercise}
 \end{document}
\ No newline at end of file
diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-26/main.pdf b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-26/main.pdf
new file mode 100644
index 0000000..ab63ea0
Binary files /dev/null and b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-26/main.pdf differ
diff --git a/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-26/main.tex b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-26/main.tex
new file mode 100644
index 0000000..3a2c318
--- /dev/null
+++ b/Geometria 1/Prodotto scalare e hermitiano/2023-04-26/main.tex	
@@ -0,0 +1,195 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{personal_commands}
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
+\date{\today}
+
+\begin{document}
+	
+	\maketitle
+	
+	\begin{center}
+		\Large \textbf{Titolo della lezione}
+	\end{center}
+
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento, per $V$ si intenderà uno spazio vettoriale di dimensione
+		finita $n$ e per $\varphi$ un suo prodotto, hermitiano o scalare
+		dipendentemente dal contesto.
+	\end{note}
+
+	\begin{definition} [azione di un gruppo]
+		Sia $G$ un gruppo e sia $X$ un insieme. Un'\textbf{azione} di $G$
+		su $X$ (a sinistra) è un'applicazione $G \times V \to X$ tale
+		che $(g, x) \mapsto g.x$ e che:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $e.x = x$ $\forall x \in X$,
+			\item $g.(h.x) = (gh).x$ $\forall x \in X$, $\forall g$, $h \in G$.
+		\end{enumerate}
+	\end{definition}
+
+	Si può dunque definire un'applicazione $f_g$, che, dato $g \in X$,
+	è tale che $f_g(x) = g.x$ $\forall x \in X$. Tale applicazione è
+	bigettiva, dacché $f_{g\inv}$ è una sua inversa, sia destra che sinistra.
+	La definizione equivale a dare un omomorfismo da $G$ a $S_X$ associando
+	a $g$ l'applicazione $f_g$, dove $S_X$ è il gruppo delle bigezioni
+	di $X$ con la composizione. \\
+	
+	L'azione di $G$ si dice \textit{fedele} se $g \mapsto f_g$ è iniettivo
+	(ossia se $f_g(x) = x \forall x \in X \implies g=e$).
+	
+	\begin{enumerate}[(i)]
+		\item Per ogni insieme $X$, $G = S_X$ agisce su $X$ in modo tale
+		che $g.x = g(x)$ $\forall x \in X$,
+		
+		\item $\forall$ gruppo $G$, $G$ agisce su $X = G$ tramite
+		$g.g' = gg'$,
+		
+		\item Si può chiaramente definire un'azione destra in modo
+		analogo, con la notazione $(g, x) \mapsto x.g$.
+	\end{enumerate}
+
+	Se $X$ subisce un'azione di $G$, si dice che $X$ è un $G$-insieme.
+	Si introduce la relazione di equivalenza $x \sim_G y \defiff \exists g \in G \mid g.x = y$. Le classi di equivalenza si chiamano \textbf{orbite}
+	di $G$ (i.e.~$O_X = \{ g.x \mid g \in G \}$). \\
+	
+	\begin{example}
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item Se $G = \GL(n, \KK)$, $G$ opera su $M(n, \KK)$ tramite
+			la similitudine. Le orbite sono le classi di similitudine
+			della matrici.
+			
+			\item Se $G = \GL(n, \KK)$, $G$ opera su $\Sym(n, \KK)$
+			tramite la congruenza. Le orbite sono le classi di congruenza
+			delle matrici simmetriche. Analogamente si può fare per la
+			matrici hermitiane.
+			
+			\item Se $G = O_n$, esso opera su $\RR^n$ tramite la
+			moltiplicazione. Le orbite sono le sfere di raggio $\norm x$.
+		\end{enumerate}
+	\end{example}
+
+	\begin{definition}
+		Lo \textbf{stabilizzatore} di un punto $x \in X$ è
+		$\Stab_G(X) = \{g \in G \mid g.x = x \}$, sottogruppo
+		di $G$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{example}
+		Sia $H \subseteq G$ e sia $X = G/H$. $X$ è un $G$-insieme
+		tramite l'azione $g'.(gH) = g'gH$. Vale in particolare
+		che $\Stab_G(eH) = H$.
+	\end{example}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $X$ un $G$-insieme. Sia $x \in X$. $H = \Stab_G(x)$ e sia
+		$O_x$ l'orbita di $x$. Allora esiste un'applicazione bigettiva
+		naturale $G/H \to O_x$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Sia $\varphi$ tale che $\varphi(gH) = g.x$. Si mostra che
+		$\varphi$ è ben definita: $g' = gh$, $\varphi(g'H) = (gh).x =
+		g.(h.x) = g.x$. Chiaramente $\varphi$ è anche surgettiva.
+		Inoltre, $g.x = g'.x \implies x = (g\inv g').x \implies g\inv g' = h \in H \implies gH = g'H$, e pertanto $\varphi$ è iniettiva.
+		Allora $\varphi$ è bigettiva.
+	\end{proof}
+
+	\begin{definition}
+		Si dice che $G$ opera \textit{liberamente} su $X$ se
+		$\forall x \in X$, l'applicazione $G \to O_x$ tale che
+		$g \mapsto g.x$, ossia se $\Stab_G(x) = \{e\}$:
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}
+		$G$ opera \textit{transitivamente} su $X$ se $x \sim_G y$ $\forall x$, $y \in X$, cioè se c'è un'unica orbita, che coincide con $X$. In
+		tal caso si dice che $X$ è \textbf{omogeneo} per l'azione di $G$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{example}
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $O_n$ opera su $S^{n-1} \subseteq \RR^n$ transitivamente.
+			%TODO: aggiunge che lo stabilizzatore è isomorfo alle ortogonali
+			%TODO: di dimensioni n-1
+			
+			\item $\Gr_k(\RR^n) = \{ W \subseteq \RR^n \mid \dim W = k \}$ (Grassmanniana). $O_n$ opera transitivamente su $\Gr_K(\RR^n)$.
+		\end{enumerate}
+	\end{example}
+
+	\begin{definition}
+		$G$ opera in maniera \textit{semplicemente transitiva} su $X$
+		se $\exists x \in X$ tale che $g \mapsto g.x$ è una bigezione,
+		ossia se $G$ opera transitivamente e liberamente.
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition}
+		Un insieme $X$ con un'azione semplicemente transitiva di $G$ è
+		detto un $G$-insieme omogeneo \textit{principale}.
+	\end{definition}
+
+	\begin{example}
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $X = G$. L'azione naturale di $G$ su $X$ per moltiplicazione
+			è semplicemente transitivo (per $g$, $g' \in G$, esiste un
+			unico $h \in G$ tale che $g = h.g' = hg'$). Quindi $X$
+			è $G$-omogeneo principale.
+			
+			\item Se $X$ è $G$-omogeneo principale, l'azione è fedele.
+			
+			\item Se $X$ è omogeneo per un gruppo $G$ commutativo, allora
+			$G$ agisce fedelmente su $X$ $\implies$ $X$ è un $G$-insieme
+			omogeneo principale.
+		\end{enumerate}
+	\end{example}
+
+	\begin{definition} [spazio affine]
+		Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $\KK$ qualsiasi.
+		Allora uno spazio affine $E$ associato a $V$ è un qualunque
+		$V$-insieme omogeneo principale.
+	\end{definition}
+
+	Pertanto, $\forall P, Q \in E$, esiste un unico vettore $\v \in V$
+	tale che $Q = \v . P $, denotato come $Q = P + \v = \v + P$. Si
+	osserva che $\v + (\w + P) = (\v + \w) + P$. Essendo $\v$ unico,
+	si scrive $\v = Q - P = \vvec{PQ}$.
+	
+	%TODO: aggiunge applicazione bigettiva
+	
+	Fissato $O \in E$, l'applicazione $\v \mapsto \v + O$, $V \to E$
+	è una bigezione.
+	
+	\begin{remark}\nl
+		\li $P-P = \vec 0 \in V$, $P-Q = -(Q-P)$, $(P_3 - P_2) + (P_2 - P_1) = P_3 - P_1$. \\
+		
+		\li $O \in E$ l'applicazione $P \mapsto P-O$ è una bigezione di $E$
+		su $V$.
+	\end{remark}
+
+	Siano $P_1$, ..., $P_n \in E$. $\forall \lambda_1$, ..., $\lambda_k \in \KK$. $\forall O \in E$ possiamo individuare il punto $P = O + \sum_{i=1}^n \lambda_i (P_i - O)$.
+	
+	$P = P' = \iff O + \sum_{i=1}^n \lambda_i (P_i - O) = O' + \sum_{i=1}^n \lambda_i (P_i - O') \iff O + \sum_{i=1}^n \lambda_i (O' - O) = O' \iff
+	(\sum \lambda_i) (O' - O) = O' - O \iff \sum \lambda_i = 1$.
+	
+	\begin{definition}
+		Un punto $P \in E$ è \textbf{combinazione affine} dei punti
+		$P_1$, ..., $P_k$ se $P = O + \sum \lambda_i (P_i - O)$ se
+		$\sum \lambda_i = 1$. Si scriverà, in particolare, che
+		$P = \sum \lambda_i P_i$.
+	\end{definition}
+
+	Si chiama retta affine l'insieme dei punti che sono combinazione affine di
+	due punti. Analogamente si fa per un piano e uno spazio.
+	
+	\begin{definition}
+		Un sottoinsieme $D \subseteq E$ si dirà \textbf{sottospazio affine}
+		se è chiuso per combinazioni affini (finite).
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition}
+		Il sottospazio affine $D \subseteq E$ generato da un sottoinsieme $S \subseteq E$ è l'insieme delle combinazioni affini (finite) di punti
+		di $S$, detto $D = \Aff(S)$. %TODO: mostrare che è chiuso per combinazioni affini.
+	\end{definition}
+\end{document}
diff --git a/tex/latex/style/personal_commands.sty b/tex/latex/style/personal_commands.sty
index 120f0ac..5c22b36 100644
--- a/tex/latex/style/personal_commands.sty
+++ b/tex/latex/style/personal_commands.sty
@@ -94,6 +94,11 @@
 \newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}}
 
 % Spesso utilizzati al corso di Geometria 1.
+\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
+\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
+\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
+\newcommand{\vvec}[1]{\overrightarrow{#1}}
+
 \newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
 
 \let\imm\Im