diff --git a/Secondo anno/Geometria 2/Scheda riassuntiva/main.pdf b/Secondo anno/Geometria 2/Scheda riassuntiva/main.pdf index b58900d..c1c41d4 100644 Binary files a/Secondo anno/Geometria 2/Scheda riassuntiva/main.pdf and b/Secondo anno/Geometria 2/Scheda riassuntiva/main.pdf differ diff --git a/Secondo anno/Geometria 2/Scheda riassuntiva/main.tex b/Secondo anno/Geometria 2/Scheda riassuntiva/main.tex index e244d33..9e98dd3 100644 --- a/Secondo anno/Geometria 2/Scheda riassuntiva/main.tex +++ b/Secondo anno/Geometria 2/Scheda riassuntiva/main.tex @@ -111,7 +111,8 @@ \textbf{trasformazione proiettiva} se è tale per cui esiste un'applicazione lineare $\varphi \in \Ll(V, W)$ che soddisfa la seguente identità: \[ f([\v]) = [\varphi(\w)], \] - dove con $[\cdot]$ si denota la classe di equivalenza in $\PP(V)$. + dove con $[\cdot]$ si denota la classe di equivalenza in $\PP(V)$. Si scrive + in questo caso che $[\varphi] = f$. Una trasformazione proiettiva invertibile da $\PP(V)$ in $\PP(W)$ si dice \textbf{isomorfismo proiettivo}. Una trasformazione proiettiva da $\PP(V)$ in $\PP(V)$ si dice @@ -135,7 +136,9 @@ Poiché allora nelle proiettività di $V$ esiste un'identità, un inverso e vale l'associatività nella composizione, si definisce $\PPGL(V)$ come il gruppo delle - proiettività di $V$ rispetto alla composizione. + proiettività di $V$ rispetto alla composizione. In particolare si pone la + seguente definizione + \[ \PPGL_{n+1}(\KK) := \PPGL(\KK^{n+1}). \] Sono inoltre equivalenti i seguenti fatti: @@ -158,6 +161,81 @@ (il polinomio caratteristico di $\varphi$ ha tutte le radici in $\KK$). \end{itemize} + \subsection{Riferimenti proiettivi, teorema fondamentale della geometria proiettiva + e coordinate omogenee} + + Più punti $P_1$, ..., $P_k$ si dicono \textbf{indipendenti} se e solo se + i vettori delle loro classi di equivalenza sono tra di loro linearmente indipendenti. + In particolare, $P_1$, ..., $P_k$ sono indipendenti se e solo se + $\dim L(P_1, \ldots, P_k) = k-1$. Analogamente al caso vettoriale, se $\dim \PP(V) = n$, + presi più di $n+1$ punti, questi sono sicuramente non indipendenti. \medskip + + + + Un insieme $\{P_1, \ldots, P_k\}$ si dice \textit{in posizione generale} se e solo se + ogni suo sottoinsieme di $h \leq n+1$ punti è indipendente. Se $k \leq n+1$, un + insieme è in posizione generale se e solo se è indipendente. Altrimenti, l'insieme + è in posizione generale se ogni sottoinsieme di $n+1$ punti è indipendente. \medskip + + + + Si dice \textbf{riferimento proiettivo} una qualsiasi $(n+2)$-upla di punti + $P_1$, ..., $P_{n+2}$ in posizione generale. In particolare, si dice che i punti + $P_1$, ..., $P_{n+1}$ sono i \textbf{punti fondamentali} del riferimento, mentre + $P_{n+2}$ è il \textbf{punto unità}. Una base $\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv{n+1}\}$ + di $V$ si dice \textbf{base normalizzata} rispetto a $P_1$, ..., $P_{n+2}$ se: + \[ P_i = [\vv i] \, \forall i \leq n+1 \qquad P_{n+2} = [\vv 1 + \ldots + \vv n]. \] + + Una base normalizzata per $R$ esiste sempre ed + è unica a meno di \textit{riscalamento simultaneo} + (ossia a meno di moltiplicare ogni vettore della base per uno stesso $\lambda \in \KK^*$). In particolare, se $P_i = [\vv i]$ con $i \leq n+1$ e + $P_{n+2} = [\v]$, dacché $\{\vv 1, \ldots, \vv {n+1}\}$ è una base di $V$ + esistono $\alpha_i \in \KK$ per cui: + \[ \v = \alpha_1 \vv 1 + \ldots + \alpha_{n+1} \vv{n+1}, \] + con $\alpha_i \neq 0$ (altrimenti si avrebbero $n+1$ vettori linearmente + dipendenti, contraddicendo la posizione generale). Allora + $\{\alpha_1 \vv 1, \ldots, \alpha_{n+1} \vv {n+1}\}$ è una base normalizzata + per il riferimento proiettivo. \medskip + + + Sia d'ora in poi $R = \{P_1, \ldots, P_{n+2}\}$ un riferimento proiettivo e + $\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv{n+1}\}$ una base normalizzata rispetto ad $R$. + Se $f = [\varphi]$, $g = [\psi]$ sono trasformazioni da $\PP(V)$ in $\PP(W)$, sono equivalenti i seguenti fatti: + + \begin{itemize} + \item $\varphi = \lambda \psi$ per $\lambda \in \KK^*$, + \item $f = g$, + \item $f(P_i) = g(P_i)$ per $1 \leq i \leq n+2$. + \end{itemize} + + Come conseguenza di questo fatto, vale che: + \[ \PPGL(V) \cong GL(V) \quot N, \] + dove $N = \{ \lambda \Id_V \mid \lambda \in \KK^* \}$ (è sufficiente + considerare l'omomorfismo $\zeta : GL(V) \to \PPGL(V)$ tale per cui + $f \xmapsto{\zeta} [f]$). + + Il \textbf{teorema fondamentale della geometria proiettiva} + asserisce che se $R = \{P_1, \ldots, P_{n+2}\}$ e $R' = \{Q_1, \ldots, Q_{m+2}\}$ sono + due riferimenti proiettivi di $V$ e $W$ e vale che $\dim \PP(W) \geq \dim \PP(V)$, + allora, per ogni scelta di $n+2$ punti $Q_1'$, ..., $Q_{n+2}'$ da $R'$, esiste + un'unica trasformazione proiettiva tale per cui: + \[ f(P_i) = Q_i' \, \forall 1 \leq i \leq n+2. \] + Se $n=m$, il teorema asserisce semplicemente che esiste un'unica trasformazione + che mappa ordinatamente $R$ in $R'$. \medskip + + + Si può costruire su $R$ un sistema di coordinate, dette \textbf{coordinate omogenee}, + per cui $P = [a_1, \ldots, a_n] = [a_1 : \cdots : a_n]$ se e solo se + $P = [a_1 \vv 1 + \ldots + a_{n+1} \vv n]$ dove $\basis = \{\vv 1, \ldots, \vv{n+1}\}$ + è una base normalizzata associata a $R$. Per $\PP^n(\KK)$, si definisce il + \textit{riferimento standard} come il riferimento dato da + $[\e1]$, ..., $[\e{n+1}]$ e $[\e1 + \ldots + \e{n+1}]$. In tal caso vale + la seguente identità: + \[ [a_1, \ldots, a_n] = [(a_1, \ldots, a_n)]. \] + Si osserva che $[0, \ldots, 0]$ non è mai associato a nessun punto e che due punti + hanno le stesse coordinate in un riferimento proiettivo a meno di riscalamento + di tutte le coordinate per uno stesso $\lambda \in \KK^*$. + \vfill \hrule ~\\