diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf index 41db5a4..8635942 100644 Binary files a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf and b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex index 754ce3a..eecd8a4 100644 --- a/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex +++ b/Geometria 1/Spazi affini/2023-04-28, Indipendenza e applicazioni affini/main.tex @@ -358,7 +358,10 @@ \varphi(\varphi'(O)) + g(g'(P-O))$. \end{remark} - \begin{definition} [affinità] Un'applicazione affine da $E$ in $E$ si dice \textbf{affinità} se è bigettiva. + \begin{definition} [isomorfismo affine] Un'applicazione affine da $E$ in $E'$ si dice \textbf{isomorfismo affine} se è bigettiva. + \end{definition} + + \begin{definition} [affinità] Un'applicazione affine da $E$ in $E$ si dice \textbf{affinità} se è un isomorfismo affine. \end{definition} \begin{remark} diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-05-05, Affinità e spazio proiettivo/main.pdf b/Geometria 1/Spazi affini/2023-05-05, Affinità e spazio proiettivo/main.pdf new file mode 100644 index 0000000..12f1071 Binary files /dev/null and b/Geometria 1/Spazi affini/2023-05-05, Affinità e spazio proiettivo/main.pdf differ diff --git a/Geometria 1/Spazi affini/2023-05-05, Affinità e spazio proiettivo/main.tex b/Geometria 1/Spazi affini/2023-05-05, Affinità e spazio proiettivo/main.tex new file mode 100644 index 0000000..ea3b531 --- /dev/null +++ b/Geometria 1/Spazi affini/2023-05-05, Affinità e spazio proiettivo/main.tex @@ -0,0 +1,167 @@ +\documentclass[11pt]{article} +\usepackage{personal_commands} +\usepackage[italian]{babel} + +\title{\textbf{Note del corso di Geometria 1}} +\author{Gabriel Antonio Videtta} +\date{5 maggio 2023} + +\begin{document} + + \maketitle + + \begin{center} + \Large \textbf{Affinità e spazio proiettivo} + \end{center} + + \begin{note} + Qualora non specificato diversamente, con $E$ si indicherà un + generico spazio affine di dimensione $n$ su cui agisce lo + spazio vettoriale $V$. + \end{note} + + Sia $f$ un'applicazione affine di $E$. Allora, per ogni $O \in E$, $\v \in V$, + $f(O + \v) = f(O) + g(\v)$, dove $g \in \End(V)$ è l'applicazione lineare + associata ad $f$. Pertanto $f(O + \v) = O + (f(O) - O) + g(\v)$, ossia + $f$ è una traslazione di vettore $f(O) - O$ composta ad un'applicazione + lineare. \\ + + In particolare, passando alle coordinate rispetto al punto $O$ e una + base $\basis$ di $V$, si può riscrivere $[f(P)]_{O, \basis}$ secondo + la seguente identità: + + \[ [f(P)]_{O, \basis} = \underbrace{[f(O) - O]_{\basis}}_{\vec b} + \underbrace{[g(P - O)]_{\basis}}_{A [\v]_\basis} = A [P - O]_\basis + \vec b, \] + + dove $A = M_\basis(g)$. In particolare, in $\AnK$, scegliendo $O = \vec 0$ come origine e la base canonica + come base $\basis$, si ottiene che: + + \[ f(\v) = A \v + \vec b, \] + + per ogni $\v \in \AnK$. Se $f \in A(E)$, allora vale anche che: + \[ f\inv(O + \w) = f\inv(f(O) + (O - f(O)) + \w) = O - g\inv(f(O) - O) + g(\w), \] + + dove si è usato che $g$ è invariante per cambiamento del punto d'origine $O$. Pertanto, + in questo caso, passando alle coordinate, vale che: + + \[ [f\inv(P)]_{O, \basis} = A\inv [P - O]_\basis - A\inv \vec b. \] + + Considerando questa identità in $\AnK$, risulta che: + + \[ f\inv(\vec v) = A\inv \vec v - A\inv \vec b, \] + + per ogni $\v \in \AnK$. + + \hr \vskip 0.1in + + Sia $\iota : \AnK \to H_{n+1}$ l'applicazione che associa $\vec x$ a $\Vector{\vec x \\ 1} \in H_{n+1}$, + dove vale che: + + \[ H_{n+1} = \left\{ \Vector{x_1 \\ \vdots \\ x_{n+1}} \;\middle\vert\; x_{n+1} = 1 \right\}, \] + + \vskip 0.15in + + ossia l'iperpiano affine di $\Aa_{n+1}(\KK)$ dei vettori con l'ultima coordinata pari a $1$. Per comodità + si indica $\iota(\x)$ con $\hat \x$. + + \begin{proposition} + $\iota$ è un'isomorfismo affine. + \end{proposition} + + \begin{proof} + Si verifica innanzitutto che $\iota$ è un'applicazione affine. Siano $\lambda_1$, ..., $\lambda_k \in \KK$ tali + che $\sum_{i=1}^k \lambda_i = 1$, e siano $\xx 1$, ..., $\xx k \in E$. Allora vale che: + + \[ \iota\left( \sum_{i=1}^k \lambda_i \xx i \right) = \Vector{\sum_{i=1}^k \lambda_i \xx i \\ 1} = \Vector{\sum_{i=1}^k \lambda_i \xx i \\ \sum_{i=1}^k \lambda_i} = \sum_{i=1}^k \lambda_i \, \iota(\xx i). \] + + \vskip 0.05in + + Si consideri\footnote{Per concludere in modo più diretto la dimostrazione è sufficiente anche esibire l'inverso di $g$, ottenuto ignorando l'ultima coordinata di un vettore di $H_{n+1}$.} ora l'applicazione lineare $g$ associata a $\iota$. Allora, posto $O = \vec 0$, $g(\v) = f(O + \v) - f(O) = + f(\v) - f(\vec 0) = f(\v) - \Vector{0 & \cdots & 0 & 1}^\top$. Dal momento che la direzione di $H_{n+1}$ è + $n$-dimensionale (scegliendo $O$ come origine, tutti i vettori ottenibili scartano l'ultima coordinata, sempre + pari a $0$), $g$ mappa due spazi vettoriali di stessa dimensione. \\ + + Pertanto, è sufficiente dimostrare che $g$ è surgettiva affinché sia invertibile (e dunque $\iota$ sia un isomorfismo affine). Chiaramente $g$ è surgettiva, dal momento che ad ogni vettore $\hat \v = \Matrix{\v & 0} \in \Giac(H_{n+1})$ è tale che $g(\v) = \hat \v$. Si conclude dunque che $g$ è invertibile, e che $\iota$ è + un isomorfismo affine. + \end{proof} + + \begin{proposition} + Sia $f \in A(\AnK)$ e sia $f' = \iota \circ f \circ \iota\inv \in A(H_{n+1})$ + l'identificazione di $f$ in $H_{n+1}$. Allora si può estendere $f'$ ad un'applicazione lineare invertibile $\hat f$ di $\KK^{n+1}$ (ossia ad un'applicazione $\hat f$ tale per cui $\restr{\hat f}{H_{n+1}} = f'$). Viceversa, data un'applicazione lineare invertibile $g \in \End(\KK^{n+1})$ tale che $\restr{g}{H_{n+1}} = H_{n+1}$, allora la restrizione $\restr{g}{H_{n+1}}$ è un'affinità di $H_{n+1}$ ed + induce un'affinità $f$ di $\AnK$ in modo tale che $f = \iota\inv \circ \restr{g}{H_{n+1}} \circ \iota$. \\ + + In particolare, una tale $\hat f$ è tale che $\hat f(\x') = A' \x'$ $\forall \x' \in \KK^{n+1}$, dove + vale che: + + \[ A' = \Matrix{ A & \rvline & \vec b \, \\ \hline 0 & \rvline & 1 \, }, \qquad f(\v) = A \v + \vec b \quad \forall \v \in \AnK. \] + \end{proposition} + + \begin{proof} + Si consideri $\hat f \in \End(\KK^{n+1})$ tale che $\hat f(\x') = A' \x'$. $\hat f$ è invertibile dal + momento che $A'$ lo è. Infatti vale che: + + \[ (A')\inv = \Matrix{ A\inv & \rvline & -A\inv \, \vec b \, \\ \hline 0 & \rvline & 1 \, }. \] + + \vskip 0.05in + + Sia $\hat x = \Vector{\x & 1}^\top \in H_{n+1}$. Sia ora $\hat x \in H_{n+1}$. Allora $\hat f(\hat x) = \Vector{A \x + \vec b & 1}^\top = \Vector{f(\x) & 1}^\top = \iota(f(\vec x)) = \iota(f(\iota\inv(\hat x))) = f'(\hat x) \in H_{n+1}$ $\forall \hat x \in H_{n+1}$. Pertanto $\restr{\hat f}{H_{n+1}} = f'$. \\ + + Si consideri adesso $g \in \GL(\KK^{n+1})$ tale che $\restr{g}{H_{n+1}} = H_{n+1}$. Sia $A'$ tale che + $g(\x') = A' \x'$ $\forall \x' \in \KK^{n+1}$. Poiché $\restr{g}{H_{n+1}} = H_{n+1}$, allora + $(A')_{n+1,n+1} = g(\e{n+1})_{n+1} = 1$. Poiché $g(\e n + \e{n+1})_{n+1} = 1$, allora $(A')_{n+1,n} = 0$. + In particolare, partendo da $j=n$ fino a $j=1$, si deduce, per induzione, che $g(\e j + \ldots + \e{n+1})_{n+1} = 1 \implies (A')_{n+1,j} = 0$. \\ + + Allora $A'$ è della seguente forma: + + \[ A' = \Matrix{ A & \rvline & \vec b \, \\ \hline 0 & \rvline & 1 \, }, \quad A \in M(n, \KK), \, \vec b \in \KK^n. \] + + \vskip 0.05in + + Considerando allora l'applicazione affine $f \in \AnK$ tale che $f(\v) = A \v + \vec b$, + $g$ è l'applicazione lineare invertibile che estende $f' = \iota \circ f \circ \iota\inv$, come + visto prima, da cui la tesi. + \end{proof} + + \begin{remark} + Le matrici della forma: + + \[ \Matrix{ A & \rvline & \vec b \, \\ \hline 0 & \rvline & 1 \, }, \quad A \in M(n, \KK), \, \vec b \in \KK^n, \] + + \vskip 0.05in + + formano un sottogruppo di $(M(n+1, \KK), \cdot)$ canonicamente isomorfo a $A(\AnK)$. + \end{remark} + + \hr + + \begin{definition} [spazio proiettivo] + Si definisce lo \textbf{spazio proiettivo} $\PP(\KK^{n+1}) = \PP^n(\KK)$ come l'insieme + dei sottospazi di dimensione unitaria di $\KK^{n+1}$. + \end{definition} + + \begin{remark} + Se si definisce la relazione di equivalenza $\sim$ su $V$ in modo tale che $\x \sim \y \defiff \exists \alpha \in \KK^* \mid \x = \alpha \y$, $V \quot \sim$ è in bigezione con lo spazio proiettivo. In particolare, + ogni elemento di $V \quot \sim$ è un unico elemento dello spazio proiettivo a cui è stato tolto il vettore $\vec 0$. + \end{remark} + + \begin{remark} + Ogni elemento $\hat x = \Vector{\x & 1}^\top$ di $H_{n+1}$ identifica un unico elemento dello spazio proiettivo, ossia $\Span(\hat x)$, dal momento che due vettori di $H_{n+1}$ appartengono alla stessa retta se e solo se + sono linearmente dipendenti, ossia se sono uguali. \\ + + Gli elementi di $\PP^n(\KK)$ che non contengono elementi di $H_{n+1}$ sono esattamente i sottospazi + contenenti vettori la cui ultima coordinata è nulla. Pertanto questi elementi, detti \textbf{punti all'infinito} + di $\PP^n(\KK)$, si possono identificare in particolare come elementi di $\PP^{n+1}(\KK)$. \\ + \end{remark} + + \begin{remark} + Si può ricoprire $\PP^n(\KK)$ con iperpiani analoghi ad $H_{n+1}$, ossia con gli iperpiani della + seguente forma: + + \[ T_i = \left\{ \Vector{x_1 \\ \vdots \\ x_{n+1}} \;\middle\vert\; x_i = 1 \right\}. \] + + \vskip 0.1in + + Ogni elemento di $\PP^n(\KK)$ interseca infatti almeno uno di questi iperpiani, dacché in esso deve + esistervi obbligatoriamente un vettore non nullo. In particolare, se esiste un'intersezione tra $T_i$ + e un elemento di $\PP^n(\KK)$, questa è unica. + \end{remark} +\end{document} diff --git a/tex/latex/style/personal_commands.sty b/tex/latex/style/personal_commands.sty index 2b1db33..1449f46 100644 --- a/tex/latex/style/personal_commands.sty +++ b/tex/latex/style/personal_commands.sty @@ -38,6 +38,8 @@ \newcommand{\nl}{\ \\} +\newcommand{\bigmid}{\;\middle\vert\;} + \newcommand{\lemmaref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}} \newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}} @@ -95,6 +97,9 @@ \newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}} % Spesso utilizzati al corso di Geometria 1. +\newcommand{\quot}[1]{/{#1}} +\newcommand{\PP}{\mathbb{P}} + \newcommand{\Aa}{\mathcal{A}} \DeclareMathOperator{\An}{\mathcal{A}_n} \DeclareMathOperator{\AnK}{\mathcal{A}_n(\KK)} @@ -171,6 +176,10 @@ \newcommand{\U}{\vec{u}} \newcommand{\ww}[1]{\vec{w_{#1}}} \newcommand{\uu}[1]{\vec{u_{#1}}} +\newcommand{\x}{\vec{x}} +\newcommand{\xx}[1]{\vec{x_{#1}}} +\newcommand{\y}{\vec{y}} +\newcommand{\yy}[1]{\vec{y_{#1}}} \newcommand{\mapstoby}[1]{\xmapsto{#1}} \newcommand{\oplusperp}{\oplus^\perp}