diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/04. Varietà e teoria del grado.pdf b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/04. Varietà e teoria del grado.pdf index 0438c31..15b5814 100644 Binary files a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/04. Varietà e teoria del grado.pdf and b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/04. Varietà e teoria del grado.pdf differ diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/main.pdf b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/main.pdf index 04c2de2..d84c06b 100644 Binary files a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/main.pdf and b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/main.pdf differ diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/no_proofs.pdf b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/no_proofs.pdf index f5f1f79..4bad257 100644 Binary files a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/no_proofs.pdf and b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/no_proofs.pdf differ diff --git a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex index a2f6e63..1316548 100644 --- a/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex +++ b/Corsi/Geometria e topologia differenziale/Scheda/sections/4-varieta-e-teoria-del-grado.tex @@ -1319,12 +1319,14 @@ \end{definition} \begin{remark} - Un isomorfismo $L : V \to V'$ induce una mappa dalle orientazioni + Un isomorfismo $L : V \to V'$ induce una bigezione dalle orientazioni di $V$ a quelle di $V'$ tramite: \[ [\basis] \mapsto [L(\basis)]. \] - Infatti la matrice di cambio di base è invariante per isomorfismo. + Infatti la matrice di cambio di base è invariante per isomorfismo. \smallskip + + Indicheremo tale mappa con il simbolo dell'isomorfismo da cui è indotta. \end{remark} \subsection{Orientazione su varietà} @@ -1343,22 +1345,53 @@ dice \textbf{orientabile}. \end{definition} + \begin{remark} \label{rmk:orientazione_opposta_1} + Sia $(M, \Theta = \{ \Theta_x \}_{x \in M})$ una $m$-varietà orientata (con $\dim M > 1$ o $\partial M = \emptyset$). + Allora si può definire l'\textbf{orientazione opposta} $-\Theta$: + \[ + \boxed{-\Theta \defeq \{ -\Theta_x \}_{x \in M}.} + \] + In effetti $(M, -\Theta)$ è orientata: presa una parametrizzazione locale $g$ compatibile con + $\Theta$, ristretta e traslata eventualmente a una palla di centro $0$, è sufficiente precomporla con una riflessione rispetto a un asse + della palla per ottenere una parametrizzazione locale compatibile con $-\Theta$. \smallskip + \end{remark} + + Questo ragionamento \underline{non} è attuabile sul bordo di una $1$-varietà: + su $H^1$ una riflessione come quella sopracitata non è possibile. Questo ci suggerisce + di modificare la definizione per il caso delle $1$-varietà bordate: + \begin{definition}[$1$-varietà compatta orientata bordata] - Un'orientazione su una $1$-varietà connessa compatta con bordo è per definizione una famiglia + Sia $M$ una $1$-varietà connessa compatta con bordo (questo succede, per il Corollario \ref{cor:classificazione_dim_1}, se e solo se $M \cong [0, 1]$). + Allora un'orientazione su $M$ è per definizione una famiglia $\Theta = \{\dif \varphi_t(\Theta_0)\}_{t \in [0, 1]}$ dove $\varphi : [0, 1] \to M$ è un diffeomorfismo. \smallskip Se $M$ è sconnessa, un'orientazione è un'orientazione su ciascuna componente connessa. \end{definition} + \begin{remark} \label{rmk:orientazione_opposta_2} + Se $M$ è una $1$-varietà connessa compatta con bordo, e $\Theta = \{\dif \varphi_t(\Theta_0)\}_{t \in [0, 1]}$ è + una sua orientazione, allora + \[ + \boxed{-\Theta \defeq \{-\dif \varphi_t(\Theta_0)\}_{t \in [0, 1]}} + \] + è una sua altra orientazione, indotta dalla precomposizione del diffeomorfismo $\varphi$ con + una riflessione di $[0, 1]$ (e.g., $\psi(x) = 1-x$). + \end{remark} + \begin{proposition} - Una varietà connessa, eventualmente con bordo, ammette al più due orientazioni. + Una varietà orientata e connessa, eventualmente con bordo, ammette esattamente due orientazioni. \end{proposition} - \begin{proof} Si fissi un'orientazione $\Theta$ per la varietà $M$. Sia $\Theta'$ un'altra orientazione. + \begin{proof} + Poiché una varietà orientata ammette almeno due orientazioni (vd. Osservazione \ref{rmk:orientazione_opposta_1} + e Osservazione \ref{rmk:orientazione_opposta_2}), per concludere la dimostrazione mostriamo che esistono al + più due orientazioni. \smallskip + + Si fissi un'orientazione $\Theta$ per la varietà $M$. Sia $\Theta'$ un'altra orientazione. Dividiamo la dimostrazione in due casi: \begin{itemize} - \item $\boxed{\dim M > 1}$ Si definiscano i seguenti due insiemi: + \item $\boxed{\dim M > 1 \text{ o } \partial M = \emptyset}$ Si definiscano i seguenti due insiemi: \begin{equation*} \begin{aligned} A & \defeq \{ x \in M \mid \Theta_x = \Theta'_x \}, \\[1ex] @@ -1366,14 +1399,25 @@ \end{aligned} \end{equation*} Osserviamo che $A$ e $B$ sono disgiunti, e che la loro unione è la varietà $M$. Poiché - $M$ è connessa, mostrando che $A$ e $B$ sono aperti, uno dei due sarebbe vuoto, da cui la tesi. \smallskip + $M$ è connessa, mostrando che $A$ e $B$ sono aperti, necessariamente uno dei due deve essere + vuoto, da cui la tesi. \smallskip - Dimostriamo dunque la tesi. Senza perdita di generalità, mostriamo solo che $A$ è aperto. Sia + Senza perdita di generalità, mostriamo solo che $A$ è aperto. Sia $g : U \to g(U)$ una parametrizzazione locale di $x$ compatibile con $\Theta$ e $g(u) = x$, e sia $h : V \to h(V)$ - una parametrizzazione compatibile con $\Theta'$ e $h(v) = x$. Assumiamo senza perdita di generalità che $g(U) = h(V)$. \smallskip - + una parametrizzazione compatibile con $\Theta'$ e $h(v) = x$. Assumiamo senza perdita di generalità che $g(U) = h(V)$. + \[\begin{tikzcd} + & M \\ + U && V + \arrow["g", from=2-1, to=1-2] + \arrow["h"', from=2-3, to=1-2] + \arrow["{g\inv \circ h}", from=2-3, to=2-1] + \end{tikzcd}\] + Osserviamo che: + \[ + \dif h_{v'} = \dif g_{g\inv(h(v'))} \circ \dif (g\inv \circ h)_{v'}. + \] Poiché $g$ è compatibile con $\Theta$, si ha $\dif g(\Theta_0) = \Theta_x$, e così - per $h$ si ha $\dif h_x(\Theta_0) = \Theta'_x$. Quindi: + per $h$ si ha $\dif h_x(\Theta_0) = \Theta'_x$. Quindi, per la precedente equazione: \[ \dif g_u(\Theta_0) = \dif h_v(\Theta_0) \implies \dif (g\inv \circ h)_v (\Theta_0) = \Theta_0. \] @@ -1384,7 +1428,7 @@ Questo si traduce nell'avere $\Theta_{h(v')} = \Theta'_{h(v')}$ su tutto $J$, e quindi $h(J)$ è un aperto di $M$ contenente $x$ e contenuto in $A$; dunque $A$ è aperto. - \item $\boxed{\dim M = 1}$ Se $\varphi$ e $\psi$ sono due diffeomorfismi da $[0, 1]$ in $M$ che inducono + \item $\boxed{M \cong [0, 1]}$ Se $\varphi$ e $\psi$ sono due diffeomorfismi da $[0, 1]$ in $M$ che inducono $\Theta$ e $\Theta'$, allora $\varphi\inv \circ \psi$ è un diffeomorfismo da $[0, 1]$ in sé. In quanto tale, la sua derivata è ovunque non nulla, e il suo segno determina se $\Theta'$ è $\Theta$ o $-\Theta$. \end{itemize}