feat(eti): aggiunge le prime note di Combinatoria algebrica

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex

@@ -0,0 +1,152 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Azione di un gruppo su un insieme}
+	\maketitle
+
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
+		Si scriverà $gh$ per indicare $g \cdot h$, omettendo il punto. Analogamente
+		con $X$ si indicherà un insieme generico qualsiasi.
+	\end{note}
+
+	\begin{definition}[azione di un gruppo su un insieme] Sia $X$ un insieme. Allora
+		un'applicazione $\varphi : G \to S(X)$ tale che $g \xmapsto{\varphi} \left[ x \mapsto g \cdot x \right]$ si dice \textbf{azione di $G$ su $X$}
+		se è un omomorfismo di gruppi. 
+	\end{definition} \medskip
+	
+	
+	Se $G$ agisce tramite $\varphi$ su $X$, si dice allora che $X$ è un $G$-insieme. Si dice inoltre che l'azione $\varphi$ è \textbf{fedele} se $\varphi$ è iniettiva,
+	ossia se e solo se $\varphi(g) = \Id \implies g = e$.
+	
+	\begin{definition}[stabilizzatore] Sia $x \in X$. Allora si definisce lo
+		\textbf{stabilizzatore di $x$}, denotato come $\Stab(x)$, come il sottogruppo di $G$ 
+		tale per cui:
+		\[ \Stab(x) = \{ g \in G \mid g \cdot x = x \}. \]
+	\end{definition} \medskip
+
+
+	Si può allora constatare che $\varphi$ è fedele se e solo se:
+	\[ \Ker \varphi = \bigcap_{x \in X} \Stab(x) = \{e\}. \] \medskip
+	
+	
+	Si costruisce adesso una relazione di equivalenza $\sim$ su $X$, data dalla
+	seguente definizione:
+	\[ x \sim y \defiff \exists g \in G \mid g \cdot x = y. \]
+	Le classi di equivalenza di $\sim$ vengono dette $\textbf{orbite}$ e si
+	pone $\Orb(x) := \left[ x \right]_\sim$. \medskip
+	
+	\begin{definition}[azione libera]
+		Si dice che $\varphi$ è un'azione libera (o che $G$ agisce liberamente
+		su $X$) se $\Stab(x) = \{e\}$ per ogni scelta di $x \in X$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}[azione transitiva]
+		Si dice che $\varphi$ è un'azione transitiva (o che $G$ agisce transitivamente
+		su $X$) se esiste un'unica classe di equivalenza di $\sim$ (ossia se
+		$\forall x$, $y \in X$, $\exists g \in G \mid g \cdot x = y$). In tal
+		caso si dice che $X$ è un $G$-insieme omogeneo.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}[azione semplicemente transitiva]
+		Si dice che $\varphi$ è un'azione semplicemente transitiva (o che $G$ agisce in
+		maniera semplicemente transitiva su $X$) se $\varphi$ è un'azione libera e
+		transitiva. In tal caso si dice che $X$ è un $G$-insieme omogeneo principale.
+	\end{definition} \medskip
+	
+	In generale, un'azione può essere solamente libera o solamente transitiva. Chiaramente
+	però la libertà di un'azione ne implica la fedeltà, e non il contrario. Tuttavia
+	nel caso particolare dei gruppi abeliani, la fedeltà e la transitività di un'azione
+	ne implicano anche la libertà, come enunciato dalla:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ abeliano. Allora, se $\varphi$ è fedele e transitiva, $\varphi$ è
+		semplicemente transitiva.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		È sufficiente dimostrare che $\varphi$ è anche libera, ossia che $\Stab(x) = \{e\}$
+		per ogni scelta di $x \in X$. Sia allora $g \in \Stab(x)$. Si mostra che
+		$g \in \Ker \varphi$, da cui si dedurrà che $g = e$. \medskip
+		
+		
+		Sia $y \in X$. Poiché $\varphi$ è transitiva, $x \sim y$, e quindi esiste
+		$h \in G$ tale per cui $h \cdot x = y$. Pertanto, sfruttando la commutatività
+		di $G$, $g \cdot y = g \cdot (h \cdot x) =
+		h \cdot (g \cdot x) = h \cdot x = y$, da cui si deduce che $\varphi(g) = \Id$,
+		concludendo la dimostrazione.
+	\end{proof} \bigskip
+	
+	Si dimostra adesso il teorema più importante sulle azioni di gruppi sugli insiemi: il
+	Teorema orbita-stabilizzatore, un ``analogo'' del Primo teorema di isomorfismo per
+	le azioni\footnote{Si lascia al lettore la gioia di dimostrare il Primo teorema di isomorfismo proprio a partire dal Teorema orbita-stabilizzatore (indizio: se $f \in \Hom(G,H)$, si può considerare l'azione $\varphi : G \to S(H)$ tale che $g \xmapsto{\varphi} \left[ h \mapsto g \cdot h = f(g)h \right]$). Si noterà infatti
+	che la dimostrazione del Teorema orbita-stabilizzatore ricalca totalmente la
+	stessa idea della dimostrazione del Primo teorema di isomorfismo.}\footnote{
+		Infatti $g \Stab(x)$ individua ancora tutti gli elementi di $G$ la cui immagine
+		è $g \cdot x$.
+	}.
+	
+	\begin{theorem}[orbita-stabilizzatore]
+		Sia $x \in X$. Allora la mappa $\alpha : G \quot \Stab(x) \to \Orb(x)$ tale
+		che $g \Stab(x) \xmapsto{\alpha} g \cdot x$ è una bigezione.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si mostra che la mappa $\alpha$ è ben definita. Se $g \in G$ e $s \in \Stab(x)$,
+		allora $\alpha(gs \Stab(x)) = (gs) \cdot x = g \cdot x = \alpha(g \Stab(x))$. \medskip
+
+
+		Si dimostra allora l'iniettività di $\alpha$. Siano $g$ e $h \in G$ tali
+		che $\alpha(g \Stab(x)) = \alpha(h \Stab(x))$. Allora $g \cdot x = h \cdot x \implies
+		(h\inv g) \cdot x = x \implies h \inv g \in \Stab(x)$; pertanto $h \in g \Stab(x) \implies g \Stab(x) = h \Stab(x)$, da cui l'iniettività. \medskip
+		
+		
+		Infine si mostra la surgettività di $\alpha$. Se $y \in \Orb(x)$, allora esiste
+		$g \in G$ tale per cui $g \cdot x = y$, e quindi $\alpha(g \Stab(x)) = g \cdot x = y$,
+		da cui la surgettività.
+	\end{proof} \bigskip
+	
+
+	Se $G$ è finito, il Teorema orbita-stabilizzatore implica anche un'identità aritmetica
+	riguardante le cardinalità di $\Stab(x)$ e $\Orb(x)$:
+	\[ \abs G = \abs{\Stab(x)} \abs{\Orb(x)}. \]
+	Da questa identità si può estrarre un'ulteriore uguaglianza:
+	\[ \abs X = \sum_{x \in \mathcal{R}} \abs{\Orb(x)} =  \sum_{x \in \mathcal{R}} \frac{\abs G}{\abs{\Stab(x)}}, \]
+	dove $\mathcal{R}$ è un insieme dei rappresentanti delle orbite dell'azione. Questo
+	fatto è un'immediata conseguenza del fatto che la relazione $\sim$ è di equivalenza,
+	e che, in quanto tale, induce una partizione dell'insieme $X$ mediante i suoi
+	rappresentanti:
+	\[ X = \bigsqcup_{x \in \mathcal{R}} \Orb(x). \] \bigskip
+
+
+	Si introduce adesso il concetto di \textit{punti fissi} di un dato $g \in G$, a cui
+	seguirà il \textit{lemma di Burnside}, un risultato utile per contare il numero
+	di orbite di un'azione.
+	
+	\begin{definition}[punti fissi di $g$]
+		Si definisce l'insieme $\Fix(g)$ come il sottoinsieme di $X$ dei punti
+		lasciati fissi da $g$, ossia:
+		\[ \Fix(g) = \{ x \in X \mid g \cdot x = x \}. \]
+	\end{definition}
+	
+	\begin{proposition}[lemma di Burnside]
+		$\abs{X \quot \sim} = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \abs{\Fix(g)}$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		L'idea chiave risiede nell'osservare che $\sum_{g \in G} \abs{\Fix(g)}$ conta
+		gli elementi dell'insieme $S$, dove:
+		\[ S = \{ (g, x) \in G \times X \mid g \cdot x = x \} \subseteq G \times X. \]
+		Infatti, gli stessi elementi sono contati da $\sum_{x \in X} \abs{\Stab(x)}$.
+		Applicando allora il Teorema orbita-stabilizzatore, ed indicando
+		con $\mathcal{R}$ un insieme dei rappresentanti delle orbite, la
+		somma si riscrive come:
+		\[ \sum_{g \in G} \abs{\Fix(g)} = \sum_{x \in X} \abs{\Stab(x)} =
+		\sum_{r \in \mathcal{R}} \sum_{x \in \Orb(r)} \abs{\Stab(x)} = (*),
+		 \]
+		 a sua volta riscritta come:
+		 \[ (*) = \sum_{r \in \mathcal{R}} \sum_{x \in \Orb(r)} \frac{\abs{G}}{\abs{\Orb(x)}} = \sum_{r \in \mathcal{R}} \sum_{x \in \Orb(r)} \frac{\abs{G}}{\abs{\Orb(r)}} = \abs{G} \abs{X \quot \sim}, \]
+		 dove è stato cruciale osservare che, per $x \in \Orb(r)$, $\Orb(x) = \Orb(r)$.
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex

@@ -0,0 +1,188 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Azione di coniugio e $p$-gruppi}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+	
+	Si consideri l'omomorfismo $\zeta$ che associa ad ogni $g \in G$ l'automorfismo interno
+	che induce. Questo omomorfismo induce la cosiddetta:
+	
+	\begin{definition}[azione di coniugio]
+		Si definisce \textbf{azione di coniugio} l'azione di $G$ su sé stesso indotta da $\zeta : G \to \Aut(G)$ dove:
+		\[ g \xmapsto{\zeta} \varphi_g = \left[ h \mapsto g h g\inv \right]. \]
+	\end{definition}
+	
+	L'orbita di un elemento $g \in G$ prende in questo particolare caso il nome
+	di \textbf{classe di coniugio} (e si indica come $\Cl(g)$), mentre il suo stabilizzatore viene detto \textbf{centralizzatore} (indicato con $Z_G(g)$). Si verifica facilmente
+	che $Z_G(g)$ è composto da tutti gli elementi $h \in G$ che commutano con $g$, ossia
+	tali che $gh = hg$. Allora vale in particolare che:
+	\[ Z(G) = \Ker \zeta = \bigcap_{g \in G} Z_G(g). \] \medskip
+	
+	
+	Si osserva inoltre che se $g \in Z(G)$, allora $\Cl(g) = \{g\}$ (infatti, per $h \in G$, si avrebbe $h g h\inv = h h\inv g = g$). Si può dunque riscrivere la somma data dal
+	Teorema orbita-stabilizzatore nel seguente modo:
+	\[ \abs{G} = \sum_{g \in \mathcal{R}} \frac{\abs{G}}{\abs{Z_G(g)}} = \sum_{g \in Z(G)} \underbrace{\abs{\Cl(g)}}_{=1} + \sum_{g \in \mathcal{R} \setminus Z(G)} \frac{\abs{G}}{\abs{Z_G(g)}} = (*), \]
+	che riscritta ancora si risolve nella \textbf{formula delle classi di coniugio}:
+	\[ (*) = \abs{Z(G)} + \sum_{g \in \mathcal{R} \setminus Z(G)} \frac{\abs{G}}{\abs{Z_G(g)}}, \]
+	dove $\mathcal{R}$ è un insieme di rappresentanti delle orbite dell'azione di coniugio
+	(si osserva che ogni elemento di $Z(G)$ è un rappresentante dacché l'orbita di un
+	elemento del centro è banale). \medskip
+	
+	
+	Utilizzando la nozione di centralizzatore, si può contare ``facilmente'' il numero
+	di classi di coniugio di un gruppo. Infatti, si osserva crucialmente che
+	$\Fix(g)$ (il numero di elementi di $G$ lasciati invariati sotto il coniugio di $g$)
+	è lo stesso insieme $Z_G(g)$. Infatti vale che:
+	\[ \Fix(g) = \{ h \in G \mid gh = hg \} = Z_G(g). \]
+	Allora, per il lemma di Burnside, se $k(G)$ è il numero di classi di coniugio di $G$, vale che:
+	\[ k(G) = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \abs{Z_G(g)}. \] \bigskip
+	
+	
+	La formula delle classi di coniugio risulta in particolare utile nella discussione
+	dei $p$-gruppi, definiti di seguito.
+	
+	\begin{definition}[$p$-gruppo]
+		Sia $G$ un gruppo finito. $G$ si dice allora \textbf{$p$-gruppo} se
+		$\abs{G} = p^n$ per $n \in \NN^+$ e un numero primo $p \in \NN$.
+	\end{definition}
+	
+	Infatti, grazie alla formula delle classi di coniugio, si osserva facilmente che il centro di un $p$-gruppo non è mai banale (ossia composto dalla sola identità), come mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ un $p$-gruppo. Allora $\abs{Z(G)} > 1$. 
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Dalla formula delle classi di coniugio si ha che:
+		\[ \abs{G} = \abs{Z(G)} + \sum_{g \in \mathcal{R} \setminus Z(G)} \frac{\abs G}{\abs{Z_G(g)}}. \]
+		Si osserva in particolare che il secondo termine della somma a destra è divisibile
+		per $p$. Infatti, poiché $g \notin Z(G)$ per ipotesi, $Z_G(g) \neq Z(G)$; da cui
+		si deduce che $\abs{Z_G(g)}$ deve essere un divisore stretto di $p^n$, e dunque
+		che $p \mid \nicefrac{\abs G}{\abs{Z_G(g)}}$. Prendendo l'identità di sopra modulo
+		$p$, si deduce allora che:
+		\[ \abs{Z(G)} \equiv 0 \pod p. \]
+		Combinando questo risultato col fatto che $\abs{Z(G)} \geq 1$ (infatti $Z(G) \leq G$),
+		si conclude che deve valere necessariamente la tesi.
+	\end{proof} \medskip
+	
+	
+	Quest'ultima proposizione spiana il terreno per un risultato interessante sui
+	gruppi di ordine $p^2$, come mostra il:
+	
+	\begin{theorem}
+		Ogni gruppo $G$ di ordine $p^2$ è abeliano.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Dal momento che $G$ è un $p$-gruppo, per la precedente proposizione
+		$\abs{Z(G)} > 1$. Allora $\abs{Z(G)}$ è pari a $p$ o $p^2$, per il
+		Teorema di Lagrange. Se $\abs{Z(G)}$ fosse pari a $p$, allora
+		$\abs{G \quot Z(G)} = \nicefrac{\abs G}{\abs{Z(G)}} = p$. Pertanto
+		$G \quot Z(G)$ sarebbe ciclico, e dunque $G$ sarebbe abeliano; assurdo,
+		dal momento che si era presupposto che $Z(G)$ fosse un sottogruppo proprio
+		di $G$, \Lightning. Allora $Z(G)$ ha ordine $p^2$,
+		e dunque $Z(G) = G$.
+	\end{proof} \medskip
+	
+	
+	\begin{example}
+		Si mostra che\footnote{
+			Il risultato è facilmente dimostrabile attraverso
+			il Teorema di struttura dei gruppi abeliani
+			finitamente generati.
+		} $G$ è obbligatoriamente isomorfo a
+		$\ZZ_{p^2}$ o a $\ZZ_p \times \ZZ_p$ se
+		$\abs{G} = p^2$. \vskip 0.1in
+		
+
+		Se $G$ ammette un generatore,
+		allora $G$ è ciclico e quindi isomorfo a $\ZZ_{p^2}$.
+		Altrimenti, sia $g \in G$ un elemento di ordine\footnote{
+			Questo elemento deve esistere obbligatoriamente, non
+			solo per il Teorema di Cauchy, ma anche perché solo
+			l'identità ammette ordine $1$ e perché si è supposto
+			che nessun elemento abbia ordine $p^2$ (altrimenti
+			il gruppo sarebbe ciclico).
+		} $p$ e sia\footnote{
+			Tale $h$ deve esistere, altrimenti $G$ sarebbe ciclico.
+		} $h \in G$ tale che $h \notin \gen{g}$. Per il teorema
+		precedente $G$ è abeliano, e quindi $\gen{g}\gen{h}$ è
+		un sottogruppo di $G$. \medskip
+		
+		
+		Inoltre $\gen{g} \cap \gen{h}$ è
+		banale: se non lo fosse avrebbe ordine $p$, e quindi
+		$\gen{g}$ e $\gen{h}$ coinciderebbero insiemisticamente,
+		\Lightning. Pertanto $\gen{g}\gen{h} \cong \gen{g}
+		\times \gen{h} \cong \ZZ_p \times \ZZ_p$. Infine, poiché
+		$\abs{\gen{g} \gen{h}} = p^2$, vale anche che
+		$G = \gen{g} \gen{h}$, da cui la tesi.
+	\end{example} \medskip
+	
+	
+	La formula delle classi di coniugio permette di dimostrare
+	agevolmente un'altra proposizione sui $p$-gruppi, come la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ un $p$-gruppo di ordine $p^n$ con $\abs{Z(G)} = p$
+		con $n \geq 2$. Allora esiste un elemento $x \in G$ tale
+		per cui $\abs{Z_G(x)} = p^{n-1}$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Si consideri la formula delle classi di coniugio:
+		\[ \abs{G} = \abs{Z(G)} + \sum_{g \in \rotations \setminus Z(G)} \frac{\abs G}{\abs{Z_G(g)}}, \]
+		dove $\rotations$ è un insieme dei rappresentanti delle
+		classi di coniugio. Allora vale che:
+		\[ p^n = p + \sum_{g \in \rotations \setminus Z(G)} \frac{\abs G}{\abs{Z_G(g)}}. \]
+		Se non esistesse $x \in G$ (e quindi, equivalentemente,
+		in $\rotations$) tale per cui $\abs{Z_G(x)} = p^{n-1}$, la somma a destra
+		sarebbe divisibile almeno per $p^2$, e quindi, poiché
+		$n \geq 2$, $p^2$ dovrebbe dividere $p$, \Lightning. Pertanto
+		tale elemento $x$ esiste e la tesi è dimostrata.
+	\end{proof} \medskip
+	
+	
+	Si mostra infine una proposizione riguardante il normalizzatore
+	di un sottogruppo proprio di un $p$-gruppo:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ un $p$-gruppo. Allora $H \lneq G \implies
+		H \lneq N_G(H)$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $\abs{G} = p^n$. Si dimostra la tesi per induzione
+		su $n$. Se $n = 1$, la tesi è banale. Sia ora $n > 1$.
+		Si distinguono due casi, in base a se $Z(G) \leq H$ o
+		meno. \medskip
+		
+		
+		Se $Z(G) \nleq H$, allora esiste sicuramente un elemento
+		$x \in Z(G) \setminus H$, e quindi un elemento $x$
+		appartenente a $N_G(H)$, ma non ad $H$. In tal caso,
+		si deduce facilmente che $H \lneq N_G(H)$. \medskip
+		
+		
+		Se invece $Z(G) \leq H$, si può applicare il Teorema
+		di corrispondenza. Poiché $G \quot Z(G)$ è un $p$-gruppo
+		di ordine strettamente minore di $p^n$ (infatti il
+		centro di un $p$-gruppo è sempre non banale), per
+		induzione $H \quot Z(G) \lneq N_{G \quot Z(G)}(H \quot Z(G))$.
+		Allora, per il Teorema di corrispondenza,
+		$H = \pi_{Z(G)}\inv(H \quot Z(G)) \lneq \pi_{Z(G)}\inv(
+		N_{G \quot Z(G)}(H \quot Z(G)))$. È sufficiente mostrare
+		che $\pi_{Z(G)}\inv(
+		N_{G \quot Z(G)}(H \quot Z(G))) \subseteq N_G(H)$ per
+		dedurre la tesi. Sia allora $g \in \pi_{Z(G)}\inv(
+		N_{G \quot Z(G)}(H \quot Z(G)))$. Allora, per ipotesi,
+		vale che:
+		\[ \pi_{Z(G)}(gHg\inv) = g Z(G) \pi_{Z(G)}(H) g\inv Z(G) \subseteq \pi_{Z(G)}(H), \]
+		per cui $gHg\inv \subseteq H$.
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.tex

@@ -0,0 +1,302 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Normalizzatore e teorema di Cayley}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+	
+	Sia $X = \{ H \subseteq G \mid H \leq G \}$ l'insieme dei sottogruppi di $G$.
+	Allora si può costruire un'azione $\varphi : G \to S(X)$ in modo tale che:
+	\[ g \xmapsto{\varphi} \left[ H \mapsto gHg\inv \right]. \]
+	Si definisce \textbf{normalizzatore} lo stabilizzatore di un sottogruppo
+	$H$ (e si indica con $N_G(H)$), mentre $\Orb(H)$ è l'insieme dei \textbf{coniugati}
+	di $H$. In particolare $N_G(H)$ è il massimo sottogruppo per inclusione in cui $H$
+	è normale. \medskip
+	
+	
+	Si osserva ora in modo cruciale che $H \nsgeq G$ se e solo se
+	$\Orb(H) = \{H\}$, e quindi se e solo se $N_G(H) = G$. Analogamente si
+	osserva che $H$ è normale se e solo se:
+	\[ H = \bigcup_{h \in H} \Cl(h). \]
+	Tramite la stessa azione $\varphi$ possiamo illustrare un importante relazione
+	tra gli stabilizzatori, dettata dalla:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $x \in X$ e sia $g \in G$. Allora vale che $\Stab(g \cdot x) = g \Stab(x) g\inv$,
+		e i coniugati di $\Stab(x)$ sono esattamente altri stabilizzatori.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Si osserva che se $ghg\inv \in g\Stab(x)g\inv$, allora:
+		\[ (ghg\inv) \cdot (g \cdot x) = gh \cdot x = g \cdot x \implies ghg\inv \in \Stab(g \cdot x), \]
+		e viceversa che se $h \in \Stab(g \cdot x)$:
+		\[ (g\inv h g) \cdot x = g\inv \cdot (h \cdot (g \cdot x)) = (g\inv g) \cdot x = x \implies g\inv h g \in \Stab(x) \implies h \in g \Stab(x) g\inv, \]
+		da cui si deduce che $\Stab(g \cdot x) = g \Stab(x) g\inv$.
+	\end{proof}
+	
+	Da questa proposizione segue immediatamente il seguente:
+	
+	\begin{corollary}
+		Sia $\varphi$ un'azione transitiva. Allora tutti gli stabilizzatori sono
+		coniugati tra loro.
+	\end{corollary}
+	
+	\begin{proof}
+		Siano $x$ e $y \in X$. Poiché $\varphi$ è transitiva, esiste un'unica orbita
+		e dunque esiste $g \in G$ tale per cui $g \cdot y = x$. Allora
+		$\Stab(x) = \Stab(g \cdot y) = g \Stab(y) g\inv$.
+	\end{proof}
+	
+	Infine, si verifica una proprietà dei sottogruppi coniugati:
+	
+	\begin{proposition}
+		Se $H$ e $K$ sono coniugati, allora sono in particolare anche isomorfi.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Poiché $H$ e $K$ sono coniugati, esiste un $g \in G$ tale per cui
+		$K = gHg\inv$.
+		Un isomorfismo tra i due gruppi è allora naturalmente dato dall'azione di
+		coniugio tramite $g$, ossia dall'omomorfismo $\zeta : H \to K$
+		tale per cui $h \xmapsto{\zeta} ghg\inv$. Tale mappa è sicuramente un omomorfismo;
+		è ben definita e surgettiva perché i gruppi sono coniugati ed è iniettiva
+		perché $ghg\inv = e \implies h = e$ (e quindi $\Ker \zeta = \{e\}$).
+	\end{proof}
+	
+	\bigskip
+	
+	Si illustra adesso un risultato principale della teoria dei gruppi che mette in
+	relazione ogni gruppo con il proprio gruppo di bigezioni, ed ogni gruppo finito con i
+	sottogruppi dei gruppi simmetrici.
+	
+	\begin{theorem}[di Cayley]
+		Ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo del suo gruppo di bigezioni.
+		In particolare, ogni gruppo finito $G$ è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo
+		simmetrico.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si consideri l'azione\footnote{Tale azione prende il nome di \textbf{rappresentazione regolare a sinistra} o \textbf{\textit{embedding} di Cayley}.
+		Si può definire un'azione analoga a destra ponendo $g \mapsto \left[ h \mapsto hg\inv \right]$,
+		costruendo dunque una \textit{rappresentazione regolare a destra}.} $\varphi : G \to S(G)$ tale per cui:
+		\[ g \xmapsto{\varphi} \left[ h \mapsto gh \right]. \]
+		Si mostra che $\varphi$ è fedele\footnote{L'azione $\varphi$ è molto
+		più che fedele; è infatti innanzitutto libera.}. Sia infatti $\varphi(g) = \Id$; allora
+		vale che $ge = e \implies g = e$. Quindi $\Ker \varphi$ è banale, e per il
+		Primo teorema di isomorfismo vale che:
+		\[ G \cong \Im \varphi \leq S(G). \]
+		Se $G$ è finito, $S(G)$ è isomorfo a $S_n$, dove $n := \abs{G}$, e quindi
+		$\Im \varphi$ è a sua volta isomorfo a un sottogruppo di $S_n$, da cui
+		la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	A partire dall'\textit{embedding} di Cayley si può dimostrare un risultato
+	sui gruppi di ordine $2d$ con $d$ dispari:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ un gruppo di ordine $2d$ con $d$ dispari. Allora $G$ ammette
+		un sottogruppo $H$ di ordine $d$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Consideriamo l'\textit{embedding} di Cayley di $G$. In particolare,
+		poiché $S(G) \cong S_{2d}$, possiamo identificare $S(G)$ con
+		$S_{2d}$, studiando tale \textit{embedding} direttamente su quest'ultimo
+		sottogruppo. \medskip
+		
+		
+		Sia allora $\varphi : G \to S_{2d}$ la composizione $\xi \circ \lambda$ dove
+		$\xi$ è un isomorfismo tra $S(G)$ e $S_{2d}$ e $\lambda : G \to S(G)$ è l'\textit{embedding} di Cayley associato a $G$.
+		Si osserva che $\varphi\inv(\Ad{2d}) = \{ g \in G \mid \varphi(g) \in \Ad{2d} \} =
+		\Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)$. Per il Primo teorema di isomorfismo vale
+		che:
+		\[ G \quot \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi) \cong \Im (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi) \leq
+		S_{2d} \quot {\Ad{2d}} \cong \{\pm 1\}, \]
+		e quindi\footnote{
+			Si può arrivare alla stessa conclusione mediante un ragionamento leggermente
+			diverso. Se si considera $K = \varphi(G)$, $K \cap \Ad{2d} = \varphi(G) \cap \Ad{2d}$ è esattamente $\Ker(\restr{\sgn}{\varphi(G)})$, e quindi
+			$[K : (K \cap \Ad{2d})] \in \{1, 2\}$. Pertanto, dal momento che $\varphi$
+			è un isomorfismo tra $G$ e $\Im \varphi = \varphi(G)$, $\varphi\inv(\Ad{2d}) =
+			\varphi\inv(\Ad{2d} \cap \varphi(G))$ può avere solo indice $1$ o $2$, ed
+			ha indice $1$ se e solo se $\varphi(G) \subseteq \Ad{2d}$.
+		} $[G : \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)]$ vale $1$ o $2$. \medskip
+		
+		
+		Se
+		$[G : \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)]$ fosse uguale a $1$,
+		varrebbe che $G = \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi) = \varphi\inv(\Ad{2d})$, e quindi che
+		$\varphi(G) \subseteq \Ad{2d}$. Si mostra che ciò è impossibile esibendo un elemento
+		$g \in G$ tale per cui $\varphi(g)$ sia dispari. Dacché $2 \mid \abs{G}$,
+		esiste $g \in G$ con $\ord(g) = 2$ per il teorema di Cauchy. Allora la
+		decomposizione in cicli di $\varphi(g)$ sarà la stessa di $\lambda(g)$, ossia\footnote{
+			In generale, se $\ord(g) = k$, la sua decomposizione tramite $\lambda$ sarà:
+			\[ (g_1, g g_1, \ldots, g^{k-1} g_1)  (g_2, g g_2, \ldots, g^{k-1} g_2) \cdots (g_s, g g_s, \ldots, g^{k-1} g_s), \]
+			con $s = 2d/k$, ossia $\lambda(g)$ sarà prodotto di $2d/k$ $k$-cicli.
+		}:
+		\[ \lambda(g) = (g_1, g g_1) (g_2, g g_2) \cdots (g_d, g g_d). \]
+		Poiché $\lambda(g)$ è allora prodotto di $d$ trasposizioni, $\lambda(g)$ è dispari,
+		e così pure $\varphi(g)$. Pertanto $\varphi(g) \notin \Ad{2d} \implies
+		[G : \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)] = 2$, e quindi
+		$\abs{ \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)} = d$, concludendo la dimostrazione.
+	\end{proof} \bigskip
+	
+	Si presentano adesso due risultati interessanti legati ai sottogruppi normali di
+	un gruppo $G$.
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia\footnote{
+			Si osserva che questa proposizione risulta superflua se si dimostra,
+			come succede sul finire di questo documento, che per il più piccolo
+			primo $p$ che divide $\abs{G}$, i sottogruppi corrispondenti di
+			indice $p$ sono normali. Vista tuttavia la semplicità della dimostrazione,
+			si è preferito lasciarla per motivi didattici.
+		} $H \leq G$. Allora, se $[G : H] = 2$, $H$ è normale in $G$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Poiché $[G : H] = 2$, le uniche classi laterali sinistre rispetto ad $H$ in
+		$G$ sono $H$ e $gH = G \setminus H$, dove $g \notin H$. Analogamente esistono
+		due sole classi laterali destre, $H$ e $Hg = G \setminus H$. In particolare
+		$gH$ deve obbligatoriamente essere uguale a $Hg$, e quindi $gHg\inv = H$, da
+		cui la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $K \leq H \leq G$. Allora, se $H$ è normale in $G$ e $K$ è caratteristico
+		in $H$, $K$ è normale in $G$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $\varphi_g \in \Inn(G)$. Poiché $H$ è normale in $G$, $\varphi_g(H) = H$. Pertanto
+		si può considerare la restrizione di $\varphi_g$ su $H$, $\restr{\varphi_g}{H}$.
+		In particolare $\restr{\varphi_g}{H}$ è un automorfismo di $\Aut(H)$, e quindi,
+		poiché $K$ è caratteristico in $H$, $\restr{\varphi_g}{H}(K) = K$, da cui si
+		deduce che $gKg\inv = K$ per ogni $g \in G$.
+	\end{proof}
+	
+	Si illustra adesso un risultato riguardante l'esistenza di sottogruppi normali in $G$:
+	\begin{theorem}[di Poincaré]
+		Sia $H$ un sottogruppo di $G$ di indice $n$. Allora esiste sempre un sottogruppo
+		$N$ di $G$ tale per cui:
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $N$ è normale in $G$,
+			\item $N$ è contenuto in $H$,
+			\item $n \mid [G : N] \mid n!$.
+		\end{enumerate}
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si consideri l'azione $\varphi : G \to S(G \quot H)$ tale per cui
+		$g \xmapsto{\varphi} [kH \mapsto gkK]$. Tale azione è sicuramente
+		ben definita dal momento che $kH = k'H \implies gkH = gk'H$. Si
+		studia $N := \Ker \varphi$. Chiaramente $N$ è normale in $G$, e si
+		verifica facilmente che $N$ è contenuto anche in $H$, infatti, se
+		$n \in N$, allora:
+		\[ H = \varphi(n)(H) = nH \implies n \in H. \]
+		Poiché $G \quot N$ è isomorfo a $\Im \varphi \leq S(G \quot H)$,
+		$[G : N] \mid \abs{S(G \quot H)} = \abs{S_n} = n!$ considerando che
+		$S(G \quot H) \cong S_n$. Dal momento allora che $N$ è un sottogruppo
+		di $H$, vale che:
+		\[ [G : N] = [G : H] [H : N] = n [H : N], \]
+		e quindi $n \mid [G : N]$. Si è dunque esibito un sottogruppo $N$ con
+		le proprietà indicate nella tesi.
+	\end{proof}
+	
+	Dal precedente teorema sono immediati i seguenti due risultati:
+	
+	\begin{corollary}
+		Sia $H$ un sottogruppo di $G$ con indice $n$. Se $n! < \abs{G}$ e
+		$n>1$, allora $G$ non è semplice.
+	\end{corollary}
+	
+	\begin{corollary}
+		Sia $H$ un sottogruppo di $G$ con indice $p$, dove $p$ è il più piccolo
+		primo che divide $n = \abs{G}$. Allora $H$ è normale.
+	\end{corollary}
+	
+	\begin{proof}
+		Per il Teorema di Poincaré, esiste un sottogruppo $N$ di $H$ tale per cui
+		$N$ sia normale e $p \mid [G : N] \mid p!$ con $p = [G : H]$. In particolare
+		$[G : N]$ deve dividere anche $n$, e quindi $[G : N]$ deve dunque
+		dividere $\MCD(p!, n)$, che è, per ipotesi, $p$ stesso. Si conclude dunque
+		che $[G : N] = p = [G : H]$, e quindi che $N = H$, ossia che $H$ stesso
+		è normale.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{example} [Tutti i gruppi di ordine $15$ sono ciclici]
+		Sia\footnote{
+			In realtà $15$ è un numero molto speciale, in quanto è prodotto
+			di due primi distinti ($3$ e $5$) tali per cui $3$ non divida
+			$5-1 = 4$. In generale, ogni gruppo di ordine $pq$ con
+			$p$ e $q$ primi tali per cui $p<q$ e $p \nmid q-1$ è ciclico.
+		} $G$ un gruppo di ordine $15$. Per il teorema di Cauchy esistono
+		due elementi $h$ ed $k$, uno di ordine $3$ e l'altro di ordine $5$.
+		In particolare, si consideri $K = \gen{k}$; poiché $\abs{K} = 5$,
+		$[G : K] = 3$, il più piccolo primo che divide $15$. Pertanto
+		$K$ è normale per il corollario di sopra. \medskip
+		
+		
+		Poiché $K$ è normale, si può considerare la restrizione $\iota :
+		\Inn(G) \to \Aut(K)$ tale per cui $\varphi_g \xmapsto{\iota} \restr{\varphi_g}{K}$.
+		Dal momento che $K$ è ciclico, $\Aut(K) \cong \Aut(\ZZ \quot 5 \ZZ) \cong
+		(\ZZ \quot 5 \ZZ)^* \cong \ZZ \quot 4 \ZZ$. Quindi $[G : \Ker \iota]$ deve
+		dividere sia $4$ che $15$; dal momento che $\MCD(4, 15) = 1$, $[G : \Ker \iota] = 1$,
+		e quindi che $\iota$ è l'omomorfismo banale. Poiché $\iota$ è banale, $K$ è
+		un sottogruppo di $Z(G)$. \medskip
+		
+		
+		In particolare $[G : Z(G)] \mid [G : K] = 3$, e quindi in particolare
+		$G \quot Z(G)$ è ciclico, da cui si deduce che $G$ è abeliano. Infine,
+		dal momento che $\MCD(3, 5) = 1$ e $h$ e $k$ commutano,
+		$hk$ è un elemento di ordine $15$, e dunque $G$ è ciclico.
+	\end{example}
+	
+	Si illustrano infine due risultati interessanti sui coniugati di $G$:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $H \leq G$. Allora
+		\[ \bigcup_{g \in G} gHg\inv = G \iff H = G. \]
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Se $H = G$, allora $gGg\inv = G$ e quindi l'identità è vera. Viceversa,
+		$gHg\inv = kHk\inv \iff g N_G(H) = k N_G(H)$. Preso dunque un'insieme
+		$\rotations$ di rappresentanti per ogni classe in $G \quot N_G(H)$,
+		vale che:
+		\[ \bigcup_{g \in \rotations} gHg\inv = G. \]
+		In ogni $gHg\inv$ ci sono $\abs{H}$ elementi distinti, e quindi, poiché
+		$\abs{\rotations} = \abs{G \quot N_G(H)}$, deve valere la seguente
+		disuguaglianza:
+		\[ \abs{\bigcup_{g \in \rotations} gHg\inv} \leq \abs{G \quot N_G(H)} \abs{H} \leq
+			\frac{\abs{G}}{\abs{N_G(H)}} \abs{H} \leq \abs{G}, \]
+		dove si è usato che $H \leq N_G(H)$.
+		Se $\abs{G \quot N_G(H)}$ non valesse $1$, ci sarebbe più ripetizioni di $e$
+		all'interno dell'unione, e quindi la prima disuguaglianza sarebbe stretta,
+		\Lightning. Quindi $N_G(H) = G \implies H \nsgeq G$. Allora la disuguaglianza
+		si riscrive come:
+		\[ \abs{G} = \abs{\bigcup_{g \in \rotations} gHg\inv} \leq \abs{H} \leq \abs{G}, \]
+		da cui si ricava che necessariamente $\abs{H} = \abs{G} \implies H = G$.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $\varphi$ un'azione transitiva di $G$ su $X$.
+		Allora esiste sempre un $g \in G$ tale per cui $\Fix(g) = \emptyset$,
+		se $\abs{X} \geq 2$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}		
+		Se $g$ non fissa alcun punto di $X$, allora $g \notin \bigcup_{x \in X} \Stab(x)$; pertanto tale $g$ esiste se e solo se $\bigcup_{x \in X} \Stab(x) \neq G$. Poiché tali sottogruppi sono tutti coniugati, scelto $u \in U$ vale
+		che:
+		\[ \bigcup_{x \in X} \Stab(x) = \bigcup_{g \in G} g \Stab(u) g\inv. \]
+		Si conclude dunque che tale $g$ esiste se e solo se $\Stab(u) \neq G$.
+		Se $\Stab(u)$ fosse uguale a $G$, allora, per il Teorema orbita-stabilizzatore,
+		varrebbe che $\abs{\Orb(u)} = 1$; tuttavia $\varphi$ è transitiva e quindi
+		$X = \Orb(u) \implies \abs{X} = \abs{\Orb(u)} = 1$, \Lightning. Pertanto
+		$\Stab(u) \neq G$, e dunque l'unione non ricopre tutto $G$, concludendo
+		la dimostrazione.
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.tex

@@ -0,0 +1,306 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani}
+	\maketitle
+
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+
+	Si introduce in questo documento la nozione di prodotto
+	di sottogruppi, ripresa poi nella dimostrazione di un
+	lemma fondamentale per lo studio dei gruppi abeliani.
+	
+	\begin{definition}[prodotto di sottogruppi]
+		Siano $H$ e $K$ due sottogruppi di $G$. Si definisce
+		il loro prodotto $HK$ come:
+		\[ HK = \{ hk \mid h \in H, k \in K \} \subseteq G. \]
+	\end{definition}
+
+	In realtà, il concetto di ``prodotto di sottogruppi'' non
+	è del tutto nuovo nello studio dell'Algebra per uno
+	studente che ha già seguito con successo un corso di
+	Algebra lineare. Infatti, la somma di due sottospazi
+	vettoriali è un prodotto di sottogruppi, per quanto
+	la scrittura $V+W$ possa trarre in inganno (infatti uno
+	spazio vettoriale è in particolare un gruppo abeliano).
+	L'unica, cruciale, differenza sta nel fatto che una
+	somma di sottospazi è sempre un sottospazio, mentre
+	$HK$ potrebbe non esserlo, come mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $H$ e $K$ due sottogruppi di $G$. Allora
+		$HK$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se $HK=KH$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Se $HK$ è un sottogruppo di $G$, si verifica
+		facilmente che $HK=KH$. Infatti, se $k \in K$ e
+		$h \in H$, $kh$, che appartiene chiaramente
+		a $KH$, deve appartenere anche ad $HK$ dal momento
+		che è l'inverso dell'elemento $h\inv k\inv \in HK$
+		(infatti $HK$ è un gruppo); pertanto $KH \subseteq HK$.
+		Analogamente, sia $x$ un elemento di $HK$. Allora
+		$x$ ammette un inverso in $HK$, e quindi $x\inv = hk$,
+		con $h \in H$, $k \in K$. Allora $x = k\inv h\inv \in KH$,
+		da cui $HK \subseteq KH$ e quindi $HK=KH$. \bigskip
+		
+		
+		Sia ora $HK=KH$. Chiaramente $e \in HK$. Siano $x=h_1 k_1$ e $y=h_2 k_2$ elementi
+		di $HK$ con $h_1$, $h_2 \in H$ e $k_1$, $k_2 \in K$.
+		Allora $xy = h_1 k_1 h_2 k_2$; tuttavia $k_1 h_2$ si può
+		riscrivere per ipotesi (essendo $KH \subseteq HK$) come
+		$hk$ con $h \in H$ e $k \in K$. Allora $xy = h_1 h k k_2 \in HK$, e quindi $HK$ è chiuso per l'operazione di gruppo di $G$.
+		Inoltre $x\inv = k_1 \inv h_1 \inv \in KH$, e quindi,
+		per ipotesi, $x\inv \in HK$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	Quindi, se un gruppo è abeliano, vale sempre la relazione
+	$HK=KH$, e dunque $HK$ è sempre un sottogruppo (e quindi
+	si sostituisce con più tranquillità alla notazione $HK$ la più familiare $H+K$). In realtà, però, si può indebolire questa
+	ipotesi richiedendo la normalità di $H$ o $K$ (come suggerisce
+	la notazione $H = KHK\inv$), come mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $H$ e $K$ due sottogruppi di $G$. Allora, se $H \nsgeq G$, $HK = KH$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Siano $h \in H$ e $k \in K$. Si consideri l'elemento
+		$hk \in HK$. Poiché $H$ è normale, $k\inv h k \in H$,
+		e quindi $k\inv h k = h'$ con $h' \in H$, da cui
+		$HK \subseteq KH$. Analogamente si mostra anche
+		l'altra inclusione.
+	\end{proof} \bigskip
+
+	Come studiato nell'ambito dell'Algebra lineare, l'intersezione dei
+	sottogruppi $H$ e $K$ gioca un ruolo fondamentale nel
+	considerare l'insieme $HK$. In particolare, ci si chiede
+	quando il prodotto $hk$ è univocamente rappresentato
+	(ossia $hk=h'k' \implies h=h'$ e $k=k'$). Si può
+	rispondere a questa domanda in due modi: mostrando
+	sotto quali ipotesi si trova un isomorfismo tra $HK$ e
+	$H \times K$ (che dunque codifica l'unicità tramite
+	l'uguaglianza delle coordinate), o determinando
+	la cardinalità di $HK$ per $G$ finito (e dunque l'unicità dipende
+	dall'uguaglianza $\abs{HK} = \abs H \abs K$, dal momento
+	che se le scritture sono uniche, tutti i prodotti tra elementi
+	di $H$ e di $K$ sono distinti). In entrambi i casi si giungerà
+	alla conclusione secondo cui $H \cap K$ deve essere
+	banale\footnote{Mantenendo l'analogia con l'Algebra lineare,
+	vale infatti che $V + W = V \oplus W$
+	se e solo se $V \cap W = \zerovecset$. Si mostrerà che
+	sotto le stesse ipotesi anche un prodotto di sottogruppi è
+	un prodotto diretto (tramite isomorfismo).} \bigskip
+
+
+	\begin{proposition}[cardinalità di $HK$]
+		Sia $G$ un gruppo finito.
+		Siano $H$ e $K$ due sottogruppi di $G$. Allora vale
+		che $\abs{HK} = \frac{\abs{H} \abs{K}}{\abs{H \cap K}}$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si costruisca la relazione di equivalenza $\sim$
+		su $H \times K$ in modo tale che:
+		\[ (h,k) \sim (h',k') \defiff hk=h'k'. \]
+		Allora chiaramente $\abs{H \times K \quot \sim} = \abs{HK}$
+		(infatti ad ogni classe di equivalenza corrisponde esattamente un unico elemento di $HK$). \bigskip
+		
+		Si esamini la classe di equivalenza di $(h,k) \in H \times K$. Si
+		mostra che ogni elemento di tale classe è della forma
+		$(ht,t\inv k)$ con $t \in H \cap K$. Sia infatti $(h_1,k_2) \in
+		[(h,k)]_\sim$. Allora:
+		\[
+			h_1k_1=hk \implies h\inv h_1 = k k_1\inv \in H \cap K.
+		\]
+		Pertanto, se $h\inv h_1 = k k_1\inv = t$, vale che $h_1=ht$ e che $k_1 = t\inv k$.
+		Quindi ogni classe di equivalenza contiene esattamente $\abs{H \cap K}$ elementi.
+		Poiché $\sim$ induce una partizione di $H \times K$ in classi
+		di equivalenza, vale dunque che:
+		\[
+			\abs{H} \abs{K} = \abs{H \times K} = \abs{H \times K \quot \sim} \abs{H \cap K} = \abs{HK} \abs{H \cap K},
+		\]
+		da cui la tesi. 
+	\end{proof}
+	
+	\begin{proof}[Dimostrazione alternativa]
+		Si osserva che vale la seguente identità:
+		\[ HK = \bigcup_{h \in H} hK. \]
+		Poiché gli $hK$ rappresentano delle classi laterali sinistre
+		di $G$, se $h' \in H$, o $hK = h'K$ o $hK \cap h'K = \emptyset$. Se $hK = h'K$, allora $h h\inv \in K$, e quindi
+		$h h\inv \in H \cap K$. Vi sono dunque esattamente
+		$\abs{H \cap K}$ istanze della classe $hK$ nell'unione
+		considerata all'inizio della dimostrazione. Allora:
+		\[ \abs{HK} = \frac{\abs{H} \abs{K}}{\abs{H \cap K}}, \]
+		dove $\abs{K}$ è il numero di elementi di ogni classe
+		$hK$.
+	\end{proof}
+
+	Pertanto, se le scritture sono uniche, $H \cap K$ deve essere
+	per forza banale (infatti deve valere $\abs{H \cap K} = 1$).
+	Questo risultato può essere rafforzato dalla:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $H$ e $K$ due sottogruppi normali di $G$ tali che
+		$H \cap K = \{e\}$. Allora $HK \cong H \times K$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si costruisce la mappa $\rho : H \times K \to HK$
+		in modo tale che:
+		\[ (h,k) \xmapsto{\rho} hk. \]
+		
+		Si osserva che ogni elemento $h$ di $H$ commuta con
+		ogni elemento $k$ di $K$. Se infatti si considera il
+		commutatore $g = [h, k]$, vale che:
+		\[
+			g = \underbrace{(hkh\inv)}_{\in K} k \in K, \qquad g = h\inv \underbrace{(kh\inv k\inv)}_{\in H} \in H.
+		\]
+		Pertanto $g \in H \cap K \implies [h, k] = e \implies
+		hk=kh$. Allora $\rho$
+		è un omomorfismo, infatti:
+		\[
+			\rho((hh',kk')) = hh'kk' = hkh'k' = \rho((h,k)) \rho((h',k')).
+		\]
+		Chiaramente $\rho$ è surgettiva. Inoltre $\rho((h,k)) = e \implies h = k\inv \in H \cap K$,
+		e dunque $h = k = e$, da cui l'iniettività di $\rho$
+		e la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	
+	Inoltre, se $G = G_1 \times G_2$ con $G_1$ e $G_2$ gruppi, si possono trovare
+	facilmente due copie isomorfe di $G_1$ e $G_2$ in $G$, ossia $G_1' = G_1 \times \{e\}$ e $G_2' = \{e\} \times G_2$.
+	Vale inoltre che $G_1'$, $G_2' \nsgeq G$ e dunque,
+	per la proposizione precedente\footnote{Infatti $G_1' \cap G_2' = \{(e,e)\}$.}, che
+	$G \cong G_1' \times G_2'$. \medskip
+	
+	
+	In particolare vale il seguente risultato, considerando
+	$\gen{x} \cap \gen{y} = \{e\}$:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $x$ e $y$ due elementi di $G$ che commutano con
+		$\MCD(\ord(x), \ord(y)) = 1$. Allora $\ord(xy) = \ord(x) \ord(y)$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Chiaramente $\ord(xy) \mid \ord(x) \ord(y)$, dal momento
+		che $(xy)^{\ord(x) \ord(y)} = x^{\ord(x) \ord(y)} y^{\ord(x) \ord(y)} = e$, dove si è usato che $x$ e $y$ commutano.
+		Sia allora $k = \ord(xy)$. Vale allora che
+		$x^k y^k = e \implies x^k = y^{-k} \in \gen{x} \cap \gen{y}$.
+		Tuttavia $\abs{\gen{x} \cap \gen{y}} \mid
+		\MCD(\abs{\gen{x}}, \abs{\gen{y}}) = \MCD(\ord(x), \ord(y)) =
+		1$, e quindi $\gen{x} \cap \gen{y} = \{e\}$. Allora
+		deve valere che $x^k = y^{-k} = e \implies
+		\ord(x), \ord(y) \mid k$, da cui si deduce che
+		$\ord(x) \ord(y) \mid k = \ord(xy)$. Si conclude dunque che
+		$\ord(xy) = \ord(x) \ord(y)$.
+	\end{proof}
+	
+	Se $\ord(x)$ e $\ord(y)$ non sono coprimi, non vale in generale
+	che $\ord(xy)$ è uguale a $\mcm(\ord(x), \ord(y))$,
+	benché sicuramente $\ord(xy) \mid \mcm(\ord(x), \ord(y))$,
+	sempre a patto che $x$ e $y$ commutino.
+	È sufficiente considerare in $\ZZmod6$ gli elementi
+	$\cleq 1$ e $\cleq 2$: infatti $\ord(\cleq 1) = 6$ e
+	$\ord(\cleq 2) = 3$, ma $\ord(\cleq 1 + \cleq 2) =
+	\ord(\cleq 3) = 2 \neq 6$. \medskip
+	
+	
+	A prescindere da quanto valga $\MCD(\ord(x), \ord(y))$,
+	se $x$ e $y$ commutano, esiste però sempre un elemento
+	$g \in G$ tale per cui $\ord(g) = \mcm(\ord(x), \ord(y))$, come
+	mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $x$ e $y$ due elementi di $G$ che commutano. Allora
+		esiste un elemento $g$ di $G$ tale per cui $\ord(g) = \mcm(\ord(x), \ord(y))$. 
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Siano $m = \ord(x)$ ed $n = \ord(y)$. Siano $m = \prod_{i = 1}^\infty p_i^{m_i}$
+		ed $n = \prod_{i = 1}^\infty p_i^{n_i}$ le due fattorizzazioni in numeri primi
+		di $m$ ed $n$. Allora $\mcm(m, n) = \prod_{i = 1}^\infty p_i^{c_i}$,
+		dove si pone $c_i = \max(m_i, n_i)$. Chiaramente esiste un numero finito di
+		$i$ per cui $c_i \neq 0$; per ogni tale $i$, se $c_i = m_i$, si considera
+		$z_i = x^{\nicefrac{m}{p_i^{m_i}}}$, altrimenti si considera
+		$z_i = y^{\nicefrac{n}{p_i^{n_i}}}$. \medskip
+		
+		
+		Si osserva che tali $z_i$ hanno esattamente ordine $p_i^{c_i}$.
+		Sia allora $z = \prod_{i \mid c_i \neq 0} z_i$. Poiché $\ord(z_i)$ è coprimo
+		con $\ord(z_j)$ per $j \neq i$, $z$ ha come ordine, per la precedente proposizione,
+		esattamente $\prod_{i \mid c_i \neq 0} p_i^{c_i} = \prod_{i = 1}^\infty p_i^{c_i} =
+		\mcm(m, n)$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	Da questa proposizione si deduce facilmente che esiste un
+	elemento $g$ in $G$ tale per cui $\ord(g)$ è il minimo
+	comune multiplo di tutti gli ordini realizzati in $G$. \medskip
+
+
+	Si può adesso dimostrare il seguente fondamentale
+	teorema per i gruppi abeliani:
+	
+	\begin{theorem}
+		Sia\footnote{
+			In realtà questo teorema diventa di facile
+			dimostrazione una
+			volta che si dimostra il Teorema di struttura
+			per gruppi abeliani finiti. È sufficiente
+			infatti dividere $G$ nel prodotto delle sue
+			$p$-componenti ed estrarre da ogni $p$-componente
+			un sottogruppo affinché il prodotto dei sottogruppi
+			scelti abbia ordine $m$.
+		} $G$ un gruppo abeliano finito di ordine $n$.
+		Allora, se $m$ divide $n$, esiste un sottogruppo di
+		$G$ di ordine $m$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Si\footnote{
+			Questa parte della dimostrazione è già implicata
+			dal Primo teorema di Sylow.
+		} dimostra preliminarmente che se $p^k$ divide $n$,
+		dove $p$ è un numero primo e $k \in \NN^+$, allora
+		$G$ ammette un sottogruppo di ordine $p^k$. Si
+		mostra la tesi per induzione su $k$. \medskip
+		
+		
+		Se $k=1$ la tesi è valida per il Teorema di Cauchy, completando il passo base. Si ipotizzi adesso
+		che per ogni $t < k$ valga la tesi. Si consideri
+		un sottogruppo $H$ di $G$ di ordine $p$
+		(ancora una volta questo sottogruppo esiste per il
+		Teorema di Cauchy). Poiché $G$ è abeliano, $H$ è
+		normale in $G$, e quindi si può considerare il
+		gruppo quoziente $G \quot H$. Per il Teorema di
+		Lagrange, $p^{k-1}$ divide $\abs{G \quot H}$, e
+		quindi, per l'ipotesi induttiva, esiste un sottogruppo
+		$T$ di $G \quot H$ di ordine $p^{k-1}$. \medskip
+		
+		
+		Si consideri la proiezione al quoziente $\pi_H : G \to G \quot H$. Poiché $\pi_H$ è un omomorfismo,
+		$\pi_H\inv(T)$ è un sottogruppo. Inoltre, questo sottogruppo di $G$ ha ordine $p^k$, dal momento che $H$ ha ordine $p$
+		(e quindi ogni elemento di $T$ corrisponde tramite
+		la controimmagine a $p$ elementi), completando il passo
+		induttivo. \medskip
+		
+		
+		Sia ora $m$ scomposto nella sua fattorizzazione in primi
+		$p_1^{k_1} \cdots p_s^{k_s}$. Per il risultato precedente,
+		$G$ ammette dei sottogruppi $H_1$, ..., $H_s$ di ordine
+		$p_1^{k_1}$, ..., $p_s^{k_s}$. Poiché $G$ è abeliano,
+		tutti questi sottogruppi sono normali e si può dunque
+		considerare il prodotto dei sottogruppi $H_1 \cdots H_s$
+		(che è dunque un sottogruppo). Poiché
+		$\MCD(p_1^{k_1}, p_2^{k_2})=1$, $H_1 \cap H_2$ è banale e vale
+		che $\abs{H_1 H_2} = \abs{H_1} \abs{H_2} = p_1^{k_1} p_2^{k_2}$.
+		Allora, poiché $\MCD(p_1^{k_1} p_2^{k_2}, p_3^{k_3}) = 1$, anche $(H_1H_2) \cap H_3$ è banale e dunque $\abs{H_1 H_2 H_3} =
+		p_1^{k_1} p_2^{k_2} p_3^{k_3}$. Proseguendo induttivamente
+		si mostra dunque che $H_1 \cdots H_s$ è un sottogruppo
+		di $G$ di ordine $m$.
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/2. Il prodotto semidiretto/main.tex

@@ -0,0 +1,209 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il prodotto semidiretto}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento con $G$ un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+
+	Siano $H$ e $K$ due gruppi. Allora, dato un omomorfismo $\varphi : K \to \Aut(H)$ e
+	detto $\varphi_k := \varphi(k)$,
+	si può costruire un gruppo su $H \times K$ detto \textbf{prodotto semidiretto} tra $H$ e $K$,
+	indicato con $H \rtimes_\varphi K$, dove l'operazione è data da:
+	\[ (h,k)(h',k') = (h \, \varphi_k(h'), k k'). \]
+	
+	In questo gruppo l'inverso di $(h, k)$ è dato da $(\varphi_k\inv(h\inv), k\inv)$,
+	infatti:
+	\[ (h, k) (\varphi_k\inv(h\inv), k\inv) = (h \, \varphi_k(\varphi_k\inv(h\inv)), kk\inv) = (e, e). \]
+	In particolare, se $\varphi$ è banale, e quindi $k \xmapsto{\varphi} \Id_H$,
+	$H \rtimes_\varphi K$ ha la stessa struttura usuale del prodotto diretto. Nel
+	prodotto semidiretto $H \rtimes_\varphi K$ si possono identificare facilmente
+	$H$ e $K$ nei sottogruppi $H \times \{e\}$ e $\{e\} \times K$. \medskip
+	
+	
+	Detto $\alpha: H \rtimes_\varphi K \to K$ la mappa che associa $(h, k)$ a
+	$k$, si verifica che $\alpha$ è un omomorfismo con $\Ker \alpha = H \times \{e\}$.
+	Pertanto $H \times \{e\}$ è un sottogruppo normale di $H \rtimes_\varphi K$,
+	mentre in generale $K \times \{e\}$ non lo è. \medskip
+	
+	
+	Si illustra adesso un teorema che permette di decomporre, sotto opportune ipotesi,
+	un gruppo in un prodotto semidiretto di due suoi sottogruppi:
+	
+	\begin{theorem}[di decomposizione in prodotto semidiretto]
+		Siano\footnote{
+			Si osserva che questo teorema richiede \textit{quasi} le stesse ipotesi
+			del Teorema di decomposizione in prodotto diretto. L'unica ipotesi che
+			manca è quella della normalità di $K$. Ciononostante, questo teorema
+			copre anche il teorema analogo sul prodotto diretto: se $K$ fosse normale,
+			$\varphi$ sarebbe l'identità ($h$ e $k$ commuterebbero), e quindi
+			$H \rtimes_\varphi K$ sarebbe esattamente $H \times K$.
+		} $H$ e $K$ due sottogruppi di $G$ con $H \cap K = \{e\}$ e
+		$H \nsgeq G$. Allora vale che $HK \cong H \rtimes_\varphi K$ con
+		$\varphi : K \to \Aut(H)$ tale per cui\footnote{
+			Tale mappa è ben definita dal momento che $H$ è normale in $G$.
+		} $k \xmapsto{\varphi} [h \mapsto k h k\inv]$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si costruisce un isomorfismo tra $H \rtimes_\varphi K$ e $HK$. Sia
+		$\alpha : H \rtimes_\varphi K \to HK$ tale per cui
+		$(h, k) \xmapsto{\alpha} hk$. Si verifica che $\alpha$ è un
+		omomorfismo:
+		\[ \alpha((h,k)(h',k')) = \alpha(h k h' k\inv, k k') =
+			h k h' k\inv k k' = hkh'k' = \alpha(h,k)\alpha(h',k'). \]
+		Chiaramente $\alpha$ è iniettivo dal momento che $hk=e \implies h = k\inv \in H \cap K \implies h = k = e$. Infine $\alpha$ è surgettiva dal momento che $hk = \alpha(h, k)$,
+		e quindi $\alpha$ è un isomorfismo.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{example}[$\Sn \cong \An \rtimes_\varphi \gen{\tau}$]
+		Sia $\tau$ una trasposizione di $\Sn$. Allora $\An$ è normale in $\Sn$,
+		$\An \cap \gen{\tau} = \{e\}$ e $\abs{\An} \abs{\gen{\tau}} = \abs{\Sn} \implies
+		\Sn = \An \gen{\tau}$. Allora, per il Teorema di decomposizione in prodotto
+		semidiretto, vale che:
+		\[ \Sn \cong \An \rtimes_\varphi \gen{\tau}, \]
+		con $\varphi : \gen{\tau} \to \Aut(\An)$ tale per cui
+		$\tau \xmapsto{\varphi} [h \mapsto \tau h \tau\inv]$.
+	\end{example}
+	
+	\begin{example}[$\Dn \cong \rotations \rtimes_\varphi \gen{sr^k}$]
+		Sia $sr^k$ una qualsiasi simmetria di $\Dn$. Allora $\rotations$ è normale in $\Dn$,
+		$\rotations \cap \gen{sr^k} = \{e\}$ e $\abs{\rotations} \abs{\gen{s r^k}} = \abs{\Dn} \implies
+		\Dn = \rotations \gen{s r^k}$. Allora, come prima, vale che:
+		\[ \Dn \cong \rotations \rtimes_\varphi \gen{sr^k}, \]
+		con $\varphi : \gen{s r^k} \to \Aut(\rotations)$ tale per cui
+		$s r^k \xmapsto{\varphi} [h \mapsto sr^k h (sr^k)\inv]$.
+	\end{example}
+	
+	Si illustrano adesso due lemmi che verranno riutilizzati successivamente per classificare
+	i gruppi di ordine $pq$.
+	
+	\begin{lemma}
+		Siano $\varphi$, $\psi : K \to \Aut(H)$ tali per cui esistono
+		$\alpha \in \Aut(H)$ e $\beta \in \Aut(K)$ che soddisfano la seguente
+		identità:
+		\[ \alpha \circ \varphi_k \circ \alpha\inv = \psi_{\beta(k)}, \qquad \forall k \in K. \]
+		Allora vale che $H \rtimes_\varphi K \cong H \rtimes_\psi K$.
+	\end{lemma}
+	
+	\begin{proof}
+		Si costruisce la mappa $F : H \rtimes_\varphi K \to H \rtimes_\psi K$ tale
+		per cui $(h, k) \xmapsto{F} (\alpha(h), \beta(k))$. Si verifica che $F$ è un omomorfismo:
+		\[ F(h \varphi_k(h'), k k') = (\alpha(h) \alpha(\varphi_k(h')), \beta(k) \beta(k')), \]
+		e quindi, poiché $\alpha \circ \varphi_k = \psi_{\beta(k)} \circ \alpha$:
+		\[ F(h \varphi_k(h'), k k') = (\alpha(h)\psi_{\beta(k)}(\alpha(h')), \beta(k) \beta(k')) = F(h, k) F(h', k'). \]
+		Chiaramente $F$ è anche iniettiva e surgettiva, e quindi $F$ è l'isomorfismo
+		desiderato dalla tesi.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{lemma}
+		Siano $\ZZmod q \rtimes_\varphi \ZZmod p$ e
+		$\ZZmod q \rtimes_\psi \ZZmod p$ due prodotti
+		semidiretti con $p$, $q$ primi tali per cui
+		$p$ è minore di $q$ e $p \mid q-1$. Allora,
+		se $\varphi$ e $\psi$ sono entrambi omomorfismi non banali,
+		$\ZZmod q \rtimes_\varphi \ZZmod p$ è isomorfo
+		a $\ZZmod q \rtimes_\psi \ZZmod p$.
+	\end{lemma}
+	
+	\begin{proof}
+		Poiché $\ZZmod p$ è ciclico, sia $\varphi$ che
+		$\psi$ sono univocamente determinati come
+		omomorfismi da $\varphi_{\cleq 1}$ e
+		$\psi_{\cleq 1}$. In particolare, affinché i due
+		omomorfismi non siano banali, gli ordini di
+		queste valutazioni devono entrambi essere $p$,
+		dato che $\ord(\varphi_{\cleq 1})$, $\ord(\psi_{\cleq 1})
+		\mid \ord(\cleq 1) = p$. \medskip
+		
+		
+		Poiché $\Aut(\ZZmod q) \cong \ZZmod{(q-1)}$ è ciclico,
+		$\ord(\varphi_{\cleq 1}) = \ord(\psi_{\cleq 1}) \implies \gen{\varphi_{\cleq 1}} = \gen{\psi_{\cleq 1}}$, e quindi
+		esiste\footnote{
+			Si scarta la possibilità in cui $\ell = 0$ dal
+			momento che altrimenti $\varphi_{\cleq 1}$ sarebbe
+			l'identità di $\Aut(\ZZmod q)$.
+		} $\ell \in \{1, \ldots, p-1\}$ tale per cui $\varphi_{\cleq 1} = \psi_{\cleq 1}^\ell$. Si osserva inoltre
+		che $\psi_{\cleq 1}^\ell = \psi_{\cleq \ell}$. \medskip
+		
+		
+		Sia $\beta \in \Aut(\ZZmod p)$ l'automorfismo\footnote{
+			$\beta$ è in effetti un automorfismo dal momento
+			che $\ell \neq 0$, e quindi $\cleq \ell$ è un altro
+			generatore di $\ZZmod p$.
+		} di $\ZZmod p$ univocamente
+		determinato da $\beta(\cleq 1) = \cleq \ell$. Allora
+		vale che:
+		\[ \varphi_{\cleq n} = \varphi_{\cleq 1}^n =
+			\psi_{\cleq \ell}^n = \psi_{n \cleq \ell} = \psi_{\beta(\cleq n)}, \qquad \forall \cleq n \in \ZZmod p. \]
+		Si conclude allora per il \textit{Lemma 1} che
+		$\ZZmod q \rtimes_\varphi \ZZmod p$ è isomorfo
+		a $\ZZmod q \rtimes_\psi \ZZmod p$.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ un gruppo di ordine $pq$ con $p$ e $q$ primi tali per cui $p < q$. Allora $G$ è
+		isomorfo a $\ZZ_{pq}$ se $p \nmid q-1$. Altrimenti $G$ è isomorfo a $\ZZmod{pq}$ o
+		a $\ZZmod q \rtimes_\varphi \ZZmod p$ con $\varphi : \ZZmod p \to \Aut(\ZZmod q)$
+		univocamente determinata dalla relazione
+		$\cleq 1 \xmapsto{\varphi} f$ con $f$ un qualsiasi elemento
+		di ordine $p$ di $\Aut(\ZZmod q)$ (ossia $\varphi$ non è banale). In particolare esiste un solo gruppo non abeliano
+		di ordine $pq$ a meno di isomorfismo.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Per il Teorema di Cauchy, esistono due elementi $x$ e $y$ di $G$ con $\ord(x)=q$
+		e $\ord(y)=p$. Siano $H = \gen{x}$ e $K = \gen{y}$. Allora, poiché $[G : H] = p$
+		è il più piccolo primo che divide $\abs{G} = pq$, $H$ è normale. Inoltre
+		$H \cap K = \{e\}$, dacché $\abs{H \cap K} \mid \MCD(p, q) = 1$. Pertanto
+		$\abs{HK} = \abs{H} \abs{K} = pq \implies G = HK$. \medskip
+		
+		
+		Per il Teorema di decomposizione di un gruppo in un prodotto semidiretto,
+		$G$ è isomorfo al prodotto semidiretto $H \rtimes_\varphi K$ con
+		$\varphi : K \to \Aut(H)$ tale per cui $k \xmapsto{\varphi} [h \mapsto k h k\inv]$.
+		Si osserva che $H \cong \ZZmod q$, $\Aut(H) \cong \ZZmod{(q-1)}$ e analogamente che
+		$K \cong \ZZmod p$. \medskip
+		
+		
+		Deve inoltre valere anche che $\abs{\Im \varphi} \mid \MCD(\abs{K},
+		\abs{\Aut(H)}) = \MCD(p, q-1)$. Pertanto, se $p \nmid q-1$, $\MCD(p, q-1) = 1$,
+		e quindi $\Im \varphi$ è banale. In tal caso $\varphi$ è la mappa che associa
+		ogni $k$ all'identità di $\Aut(H)$, e quindi $G \cong H \times K \cong \ZZmod p \times \ZZmod q \cong \ZZmod{pq}$, dove si è usato il Teorema cinese del resto. \medskip
+		
+		
+		Altrimenti $\MCD(p, q-1) = p$, e quindi $\Im \varphi$ può essere banale (riconducendoci
+		al caso di prima, in cui $G \cong \ZZmod{pq}$), oppure $\abs{\Im \varphi} = p$, e in tal caso $G$ è isomorfo,
+		per\footnote{
+			Infatti $H \cong \ZZmod q$ e $K \cong \ZZmod p$, e
+			quindi i prodotti semidiretti tra $H$ e $K$
+			sono gli stessi di $\ZZmod q$ e $\ZZmod p$.
+		} il \textit{Lemma 2}, a tutti i prodotti semidiretti
+		non banali (e quindi, a meno di isomorfismo, ne esiste
+		soltanto uno). Tale prodotto semidiretto dà luogo ad
+		un gruppo non abeliano\footnote{
+			Se $H \rtimes_\varphi K$ con
+			$\varphi$ non banale fosse un gruppo abeliano, allora
+			$\{e\} \times K$ sarebbe normale. Pertanto,
+			$(h',k')(e,k)(h',k')\inv$ dovrebbe appartenere
+			a $\{e\} \times K$. Tuttavia vale che:
+			\[ (h',k')(e,k)(h',k')\inv =
+				(h', k' k)(\varphi_{{k'}\inv}({h'}\inv), {k'}\inv) =
+				(h' \varphi_{k}({h'}\inv), k), \]
+			e quindi dovrebbe valere $\varphi_k(h') = h'$
+			per ogni $h' \in H$. In tal caso però
+			$\varphi_k$ sarebbe l'identità per ogni $k \in K$,
+			e $\varphi$ sarebbe quindi in particolare banale.
+		}, e pertanto non può essere
+		isomorfo a $\ZZmod{pq}$.
+	\end{proof}
+	
+	In particolare, si osserva che se $G$ non abeliano ha ordine $pq$,
+	allora $Z(G)$ è banale. Infatti $\abs{Z(G)} \neq p$, $q$
+	(altrimenti $G \quot{Z(G)}$ sarebbe ciclico, e quindi
+	$G$ sarebbe abeliano), né tantomeno $\abs{Z(G)} = pq$.
+	
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/3. Gruppi liberi e presentazioni/main.tex

@@ -0,0 +1,91 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Gruppi liberi e presentazioni}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento con $G$ un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+
+	Si definisce il \textbf{gruppo libero} su $n$ generatori
+	il gruppo $F_n$ tale per cui:
+	\[ F_n = \gen{x_1, \ldots, x_n} = \{ x_{i_1}^{\pm 1} \cdots x_{i_k}^{\pm 1} \mid i_j \in \{1, \ldots, n\} \} \quot \sim, \]
+	dove\footnote{
+		Chiaramente la relazione $\sim$ è di equivalenza.
+	} $a \sim b$ se e solo se sostituendo i vari $x_i x_i\inv$ 
+	o $x_i\inv x_i$ si ottengono le stesse scritture in
+	funzione dei simboli $x_1$, ..., $x_n$. L'operazione di
+	questo gruppo è la concatenazione (ossia il prodotto tra
+	$x_i$ e $x_j$ è per definizione $x_i x_j$) e la stringa
+	vuota è per definizione l'identità, indicata con $e$.
+	Per convenzione si denota $x \cdots x$ ripetuto $k$ volte come $x^k$ e si pone $x^{-k} := (x\inv)^k$, facendo
+	valere le usuali proprietà delle potenze. \medskip
+	
+	
+	In generale, dato un insieme $S$, si definisce
+	il gruppo libero $F(S)$ come il gruppo libero ottenuto
+	dalle scritture finite di $S$ a meno di equivalenza per
+	$\sim$. Se $S$ è finito e $\abs{S} = n$, allora
+	$F(S) \cong F_n$, dove l'isomorfismo è costruito mandando
+	ordinatamente i generatori di $F(S)$ in
+	$x_1$, \ldots, $x_n$. \medskip
+
+
+	Per i gruppi liberi vale la \textbf{proprietà universale},
+	ossia $\Hom(F_n, G)$ è in bigezione con $G^n$ tramite
+	la mappa che associa un omomorfismo $\varphi$ alla $n$-upla
+	$(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n))$, la cui inversa associa
+	una $n$-upla $(g_1, \ldots, g_n)$ ad un unico omomorfismo
+	tale per cui $\varphi(x_i) = g_i$. Questi gruppi, infatti,
+	non presentano alcuna relazione tra i propri generatori,
+	e dunque gli omomorfismi presentati sono sempre ben definiti. \medskip
+	
+	
+	Si dice che un gruppo $G$ ammette una \textbf{presentazione} se esiste un insieme $S$ di generatori di $G$ e un sottoinsieme $R$ di $F(S)$ tale per cui:
+	\[ G \cong F(S) \quot N, \]
+	dove $N$ è il più piccolo sottogruppo normale di
+	$F(S)$ contenente $R$ (ossia la \textit{chiusura normale}
+	di $R$). In particolare $G$ ammette una \textbf{presentazione finita} se $S$ e $R$ sono finiti. \medskip
+	
+	
+	Se $G$ ammette una presentazione, allora esiste un
+	omomorfismo surgettivo $\varphi : F(S) \to G$ tale
+	per cui $\varphi$ ristretto a $S$ sia l'identità\footnote{
+		A livello astratto $S$ in $F(S)$ è solo una scrittura
+		simbolica, quello che si intende è che si associa
+		al simbolo $s \in S$ l'effettivo elemento $s$ in
+		$G$.
+	} e per cui $\Ker \varphi = N$. \medskip
+	
+	
+	In tal caso, è decisamente più facile descrivere gli
+	omomorfismi da $G$ a un qualsiasi altro gruppo $H$.
+	Infatti, poiché $G \cong F(S) \quot N$, esiste una bigezione,
+	secondo il Primo teorema di omomorfismo, tra
+	$\Hom(G, H)$ e gli omomorfismi di $\Hom(F(S), H)$ tali
+	per cui $N$ sia contenuto nel nucleo; affinché $N$
+	sia contenuto nel nucleo è però sufficiente
+	vi sia contenuto $R$, dacché $N$ è la chiusura normale
+	di $R$. Pertanto $R$ rappresenta in un certo senso un
+	insieme di ``relazioni tra i generatori'' che devono
+	essere rispettate affinché l'omomorfismo sia ben definito.
+	Si scrive allora la presentazione di $G$ come:
+	\[ G \cong F(S) \quot N = \gen{S \mid R}. \]
+	Talvolta per $R$ si scrive un insieme di identità
+	$a_1 = b_1$, sottintendendo che
+	$a_1 b_1\inv \in R$.
+	
+	\begin{example}
+		Si illustrano le presentazioni dei gruppi
+		più importanti:
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $\ZZ \cong \gen{x}$,
+			\item $\ZZmod n \cong \gen{x \mid x^n}$,
+			\item $\ZZmod 2 \times \ZZmod 2 \cong \gen{x, y \mid x^2, y^2, [x, y]}$,
+			\item $D_n \cong \gen{r, s \mid r^n, s^2, (sr)^2}$.
+		\end{itemize}
+	\end{example}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex

@@ -0,0 +1,359 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il gruppo degli automorfismi}
+	\maketitle
+
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
+		Si scriverà $gh$ per indicare $g \cdot h$, omettendo il punto.
+	\end{note}
+
+	\begin{definition}[gruppo degli automorfismi]
+		Si definisce \textbf{gruppo degli automorfismi} di un gruppo $G$ il
+		gruppo $(\Aut(G), \circ)$ dotato dell'operazione di composizione.
+	\end{definition} \smallskip
+
+	
+	Si può associare ad ogni elemento $g \in G$ un automorfismo particolare $\varphi_g$
+	determinato dalla seguente associazione:
+	\[ h \xmapsto{\varphi_g} ghg\inv. \]
+	
+	\begin{definition}[gruppo degli automorfismi interni] Si definisce \textbf{gruppo
+		degli automorfismi interni} di un gruppo $G$ il gruppo $(\Inn(G), \circ)$
+		dotato dell'operazione di composizione, dove:
+		
+		\[ \Inn(G) = \{ \varphi_g \mid g \in G \}. \]
+	\end{definition}
+	
+	Gli automorfismi interni soddisfano alcune proprietà. Per esempio vale che:
+	\[ \varphi_g \circ \varphi_h = \varphi_{gh}, \]
+	così come vale anche che:
+	\[ \varphi_g \inv = \varphi_{g\inv}. \] \smallskip
+
+
+	Chiaramente $\Inn(G) \leq \Aut(G)$. Tuttavia vale anche che $\Inn(G)$ è un sottogruppo
+	normale di $\Aut(G)$. Infatti, se $f \in \Aut(G)$, vale che:
+	\[ f \circ \varphi_g \circ f\inv = \varphi_{f(g)} \in \Inn(G). \]
+	
+	Inoltre, se $G$ è abeliano, $\varphi_g$ coincide con la sola identità $\Id$
+	(infatti, in tal caso, $\varphi_g(h) = ghg\inv = gg\inv h = h$). \bigskip
+	
+
+	Si dimostra adesso un teorema fondamentale che mette in relazione $\Inn(G)$
+	con un gruppo quoziente particolare di $G$, $G \quot Z(G)$. Preliminarmente,
+	si osserva che $Z(G)$ è un sottogruppo normale di $G$, e quindi
+	$G \quot Z(G)$ è effettivamente un gruppo. Allora si può enunciare la:
+	
+	\begin{proposition}
+		$\Inn(G) \cong G \quot Z(G)$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $\zeta : G \to \Inn(G)$ la mappa che associa $g$ al proprio
+		automorfismo interno associato $\varphi_g$. Si osserva che $\zeta$
+		è un omomorfismo tra gruppi:
+		\[ \zeta(gh) = \varphi_{gh} = \varphi_g \circ \varphi_h = \zeta(g) \circ \zeta(h). \]
+		
+		Chiaramente $\zeta$ è una mappa surgettiva, e quindi $\Im \zeta = \Inn(G)$.
+		Si osserva inoltre che $\Ker \zeta$ è esattamente il centro di $G$, $Z(G)$. Infatti,
+		se $g \in \Ker \zeta$, vale che $\zeta(g) = \Id$, e quindi che:
+		\[ ghg\inv = h \implies gh=hg \quad \forall h \in G. \]
+		
+		Allora, per il Primo teorema di isomorfismo, $G \quot {\Ker \zeta} = G \quot Z(G) \cong \Inn(G)$.
+	\end{proof} \bigskip
+
+
+	Il gruppo $G \quot Z(G)$ risulta particolarmente utile nello studio della commutatività
+	del gruppo. Infatti vale la:
+	
+	\begin{proposition}
+		$G \quot Z(G)$ è ciclico se e solo se $G$ è abeliano (e quindi se e solo se $G \quot Z(G)$ è banale).
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Se $G$ è abeliano, $G \quot Z(G)$ contiene solo l'identità, ed è dunque ciclico.
+		Viceversa, sia $g Z(G)$ un generatore di $G \quot Z(G)$.
+		Se $h$, $k \in G$, vale in particolare che esistono $m$, $n \in \NN$ tali per cui
+		$h Z(G) = g^m Z(G)$ e $k Z(G) = g^n Z(G)$. Allora esistono
+		$z_1$, $z_2 \in Z(G)$ per cui $h = g^m z_1$ e $k = g^n z_2$. \bigskip
+
+
+		Si conclude allora che:
+		\[ hk = g^m z_1 g^n z_2 = g^n z_2 g^m z_1 = kh, \]
+		e quindi $G$ è abeliano (da cui si deduce che $G \quot Z(G)$ è in realtà banale).
+	\end{proof} \bigskip
+	
+
+	Allora, poiché $\Inn(G) \cong G \quot Z(G)$, $\Inn(G)$ è ciclico se e solo se
+	$G$ è abeliano (e dunque se e solo se è banale). Inoltre, il gruppo $\Inn(G)$
+	risulta utile per definire in modo alternativo (ma equivalente) la nozione
+	di \textit{sottogruppo normale}. Infatti vale che:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $H \leq G$. Allora $H \nsgeq G$ se e solo se $H$ è $\varphi_g$-invariante
+		per ogni $g \in G$ (ossia se $\varphi_g(H) \subseteq H$).
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Se $H$ è normale, allora $\varphi_g(h) = g h g\inv$ appartiene ad $H$ per
+		definizione. Allo stesso modo dire che $H$ è $\varphi_g$-invariante
+		equivale a dire che $gHg\inv \subseteq H$ per ogni $g \in G$.
+	\end{proof} \bigskip
+
+
+	In generale, se $H \nsgeq G$, vale che la restrizione $\restr{\varphi_g}{H}$ è
+	ancora un omomorfismo ed è in particolare un elemento di $\Aut(H)$. Infatti
+	$\restr{\varphi_g}{H}$ è ancora iniettiva, e per ogni $h \in H$ vale che:
+	\[ \varphi_g(g\inv h g) = h, \]
+	mostrando la surgettività di $\restr{\varphi_g}{H}$ (infatti $g\inv h g \in H$). \bigskip
+
+
+	Si può estendere questa idea considerando i sottogruppi di $G$ che sono $f$-invarianti
+	per ogni scelta di $f \in \Aut(G)$.
+	
+	\begin{definition}[sottogruppo caratteristico]
+		$H \leq G$ si dice \textbf{sottogruppo caratteristico} di $G$ se $H$
+		è $f$-invariante per ogni $f \in \Aut(G)$.
+	\end{definition} \smallskip
+	
+	In particolare, $H \leq G$ è un sottogruppo caratteristico di $G$ se ogni
+	automorfismo di $G$ si riduce, restringendolo su $H$, ad un automorfismo
+	di $H$. Infatti, se $f(H) \subseteq H$, vale anche che $f\inv(H) \subseteq H \implies
+	H \subseteq f(H)$, e quindi $f(H) = H$ (da cui la surgettività dell'omomorfismo
+	in $H$). \bigskip
+	
+
+	Chiaramente ogni sottogruppo caratteristico è un sottogruppo normale (infatti è
+	in particolare $\varphi_g$-invariante per ogni scelta di $g \in G$), ma non è
+	vero il contrario. Per esempio, si definisca l'automorfismo $\eta$ per $(\QQ, +)$
+	tale per cui:
+	\[ x \xmapsto{\eta} \nicefrac{x}2. \]
+	Si osserva facilmente che $\eta$ è un automorfismo. Dal momento che $(\QQ, +)$ è
+	abeliano, ogni suo sottogruppo è normale. In particolare $(\ZZ, +) \nsg (\QQ, +)$.
+	Tuttavia $\eta(\ZZ) \not\subseteq \ZZ$ (e quindi $\ZZ$ non è caratteristico in $\QQ$). \bigskip
+	
+	
+	Esiste tuttavia, per qualsiasi scelta di gruppo $G$, un sottogruppo che è caratteristico,
+	$Z(G)$ (oltre che $G$ stesso ed il sottogruppo banale). Infatti, se $z \in Z(G)$ e
+	$g \in G$, vale che:
+	\[ f(z)g = f(z)f(f\inv(g)) = f(z f\inv(g)) = f(f\inv(g) z) = g f(z) \quad \forall f \in \Aut(G), \]
+	e quindi $f(Z(G)) \subseteq Z(G)$ per ogni scelta di $f \in \Aut(G)$. \bigskip
+	
+	
+	Inoltre, se $H \leq G$ è l'unico sottogruppo di un certo ordine (o è comunque
+	caratterizzato univocamente da una proprietà invariante per automorfismi),
+	$H$ è anche caratteristico (infatti gli automorfismi preservano le cardinalità essendo
+	bigezioni). \bigskip
+	
+	
+	\begin{example}[$\Aut(S_3) \cong S_3$]
+		Si\footnote{
+			Vale un fatto molto più generale: $\Aut(S_n) \cong S_n$
+			per ogni $n \geq 3$ con $n \neq 6$.
+		} osserva che $Z(S_3)$ deve essere obbligatoriamente
+		banale\footnote{
+			In generale $Z(S_n)$ è banale per $n \geq 3$.
+		}. Infatti, se non lo fosse, $Z(S_3)$ potrebbe
+		avere come cardinalità gli unici divisori positivi di
+		$\abs{S_3} = 6$, ossia $2$, $3$ e $6$ stesso. In tutti
+		e tre i casi $S_3 \quot Z(S_3)$ sarebbe ciclico, e quindi
+		$S_3$ sarebbe abeliano, \Lightning. \medskip
+		
+		
+		Poiché allora $Z(S_3)$ è banale, $S_3$ è isomorfo a
+		$\Inn(S_3) \leq \Aut(S_3)$. Pertanto $\abs{\Aut(S_3)} \geq \abs{S_3} = 6$. Ogni automorfismo è
+		determinato dalle immagini dei propri generatori, e quindi
+		ci sono al più $3 \cdot 2 = 6$ scelte dal momento che
+		$S_3 = \gen{(1,2), (1,2,3)}$. Allora
+		$\abs{\Aut(S_3)} \leq 6$, da cui si deduce che
+		$\abs{\Aut(S_3)} = 6$. \medskip
+		
+		
+		Dacché $\Aut(S_3)$ ha lo stesso numero di elementi
+		del suo sottogruppo $\Inn(S_3)$, deve valere l'uguaglianza
+		tra i due insiemi, e quindi $\Aut(S_3) = \Inn(S_3)$. Si
+		conclude dunque che $\Aut(S_3) \cong S_3$.
+	\end{example}
+	
+	
+	\begin{example}[$\Aut(\ZZ \quot n \ZZ) \cong (\ZZ \quot n \ZZ)^*$]
+		Sia $f$ un automorfismo di $\Aut(\ZZ \quot n \ZZ)$. Allora,
+		necessariamente, $f(\cleq1)$ deve essere un
+		generatore di $\Aut(\ZZ \quot n \ZZ)$. Si può quindi costruire
+		un isomorfismo $\zeta : \Aut(\ZZ \quot n \ZZ) \to
+		(\ZZ \quot n \ZZ)^*$ tale per cui
+		$f \xmapsto{\zeta} f(\cleq1)$. \medskip
+		
+		
+		Chiaramente $\zeta$ è un omomorfismo, infatti\footnote{
+			Potrebbe non risultare completamente ovvio che
+			valga $f(g(\cleq 1)) = f(\cleq 1) g(\cleq 1)$.
+			È necessario però ricordarsi che $\ZZ\quot n \ZZ$ è
+			un gruppo definito sulla somma, e quindi vale sempre
+			che $f(\cleq a) = a f(\cleq 1) = \cleq{a} f(\cleq 1)$.
+		}:
+		\[ \zeta(f \circ g) = f(g(\cleq 1)) = f(\cleq 1) g(\cleq 1) = \zeta(f) \zeta(g). \]
+		Inoltre $f(\cleq 1) = \cleq 1 \implies f = \Id$, e quindi
+		$\zeta$ è iniettiva. Infine, per ogni $\cleq a \in (\ZZ \quot n \ZZ)^*$, si può costruire $f_a \in \Aut(\ZZ \quot n \ZZ)$
+		di cui è immagine ponendo semplicemente che valga\footnote{
+			L'automorfismo è ben determinato dal momento che manda
+			un generatore in un altro generatore.
+		}
+		$f_a(\cleq 1) = \cleq a$. Si conclude quindi che
+		$\zeta$ è un isomorfismo e dunque che vale il seguente
+		isomorfismo:
+		\[ \Aut(\ZZ \quot n \ZZ) \cong (\ZZ \quot n \ZZ)^* \]
+		Il risultato è valido anche con $n = 0$, da cui si
+		ricava che:
+		\[ \Aut(\ZZ) \cong \ZZ^* \cong \{\pm 1\}. \]
+	\end{example}
+	
+	
+	Si illustrano adesso dei risultati molto interessanti sui gruppi di automorfismi
+	dei prodotti diretti, a partire dalla:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $H$ e $K$ due gruppi finiti di cardinalità coprime tra loro. Allora
+		$H \times \{e\}$ e $\{e\} \times K$ sono caratteristici in $H \times K$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $\varphi \in \Aut(H \times K)$. Si deve dimostrare che se
+		$\varphi(h, e) = (h', k')$, allora $k' = e$. Chiaramente
+		$\ord(h, e) = \ord(h) \mid \abs{H}$. Allo stesso tempo
+		$\ord(h', k') = \mcm(\ord(h'), \ord(k'))$. In particolare, dal momento
+		che $\MCD(\abs{H}, \abs{K}) = 1$, $\ord(h', k') = \ord(h') \ord(k')$.
+		Dacché $\varphi$ è un automorfismo, $\ord(h', k') = \ord(h, e) = \ord(h)$, e
+		quindi $\ord(h') \ord(k') = \ord(h)$. Allora $\ord(k')$ deve dividere
+		$\abs{H}$, e quindi può valere soltanto $1$, essendo $\abs{H}$ e
+		$\abs{K}$ coprimi. Pertanto $k' = e$, e quindi $H \times \{e\}$ è caratteristico
+		in $H \times K$. Analogamente si dimostra la tesi per $\{e\} \times K$.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $H$ e $K$ due gruppi con $H \times \{e\}$ e $\{e\} \times K$ caratteristici
+		in $H \times K$. Allora $\Aut(H \times K) \cong \Aut(H) \times \Aut(K)$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Nel corso della dimostrazione, se $\varphi \in \Aut(H \times K)$, si
+		denota con $\varphi_H = \iota_{H \xhookrightarrow{} H \times \{e\}}\inv \circ \restr{\varphi}{H \times \{e\}} \circ \iota_{H \xhookrightarrow{} H \times \{e\}}$ la proiezione di $\varphi$ su
+		$H$ a partire da $H$, e analogamente si fa lo stesso con $\varphi_K$. Tale
+		notazione è ben definita dal momento che $\varphi$ può sempre essere ristretta
+		ad $H \times \{e\}$ (infatti è un sottogruppo caratteristico). \medskip
+		
+		
+		Sia allora
+		$\alpha : \Aut(H \times K) \to \Aut(H) \times \Aut(K)$ tale per cui
+		$\varphi \xmapsto{\alpha} (\varphi_H, \varphi_K)$. La mappa è ben
+		definita dal momento che $\varphi_H$ e $\varphi_K$ sono due automorfismi
+		di $\Aut(H)$ e $\Aut(K)$. Analogamente si definisce la mappa
+		$\beta : \Aut(H) \times \Aut(K) \to \Aut(H \times K)$ tale per cui
+		$(\varphi_H, \varphi_K) \xmapsto{\beta} [(h, k) \mapsto (\varphi_H(h), \varphi_K(k))]$.
+		\medskip
+		
+		
+		Si verifica facilmente che $\alpha$ è un omomorfismo di gruppi, che
+		$\alpha \circ \beta = \Id_{\Aut(H) \times \Aut(K)}$ e che
+		$\beta \circ \alpha = \Id_{\Aut(H \times K)}$, da cui segue la tesi.
+		%TODO: scrivere le verifiche
+	\end{proof}
+	
+	
+	Allo stesso modo si verifica che se $\alpha$ è un isomorfismo, allora
+	$H \times \{e\}$ e $\{e\} \times K$ sono caratteristici in $H \times K$. \medskip
+	
+	
+	A partire dal precedente risultato, si dimostra facilmente che se $\MCD(m, n) = 1$,
+	allora:
+	\[ \Aut(\ZZ \quot m \ZZ \times \ZZ \quot n \ZZ) \cong \Aut(\ZZ \quot m \ZZ) \times \Aut(\ZZ \quot n \ZZ), \]
+	e quindi, ricordando che $\ZZ \quot m \ZZ \times \ZZ \quot n \ZZ \cong \ZZ \quot mn \ZZ$
+	per il Teorema cinese del resto e che $\Aut(\ZZ \quot m \ZZ) \cong (\ZZ \quot m \ZZ)^*$,
+	vale che:
+	\[ (\ZZ \quot m \ZZ)^* \times (\ZZ \quot n \ZZ)^* \cong (\ZZ \quot mn \ZZ)^* \]
+	
+	\begin{example}($\Aut((\ZZ \quot p \ZZ)^n)$)
+		Il gruppo $(\ZZ \quot p \ZZ)^n$ ha una più facile
+		visualizzazione se lo si pensa come spazio vettoriale su
+		$\ZZ \quot p \ZZ$ (che per $p$ primo è, per l'appunto,
+		un campo). In tal caso, gli automorfismi di
+		$(\ZZ \quot p \ZZ)^n$ coincidono esattamente con gli
+		endomorfismi invertibili di $\End((\ZZ \quot p \ZZ)^n)$,
+		e quindi vale in particolare che:
+		\[ \Aut((\ZZ \quot p \ZZ)^n) \cong \GL_n(\ZZ \quot p \ZZ). \]
+		In questo modo è estremamente più facile contare il
+		numero di automorfismi di questo gruppo. È infatti
+		sufficiente contare le possibili matrici invertibili con
+		elementi in $\ZZ \quot p \ZZ$. Nella prima colonna di una
+		matrice $A \in \GL_n(\ZZ \quot p \ZZ)$ possono
+		essere effettuate $p^n - 1$ scelte (si esclude il vettore
+		nullo); nella seconda è sufficiente scegliere un vettore
+		che non stia in $(\ZZ \quot p \ZZ)^n \setminus
+		\Span(A^1)$, e quindi si hanno $p^n - p$ scelte; per la
+		terza colonna se ne hanno $p^n - p^2$, ... \medskip
+		
+		
+		Si conclude dunque che vale la seguente identità:
+		\[ \abs{\Aut((\ZZ \quot p \ZZ)^n)} = \prod_{i=0}^{n-1} (p^n - p^i). \] \medskip
+		
+		
+		Se si prende $m$ \textit{square-free}\footnote{
+			Ossia $m$ non è diviso da alcun quadrato; equivalentemente
+			un primo che compare nella fattorizzazione di $m$
+			compare con esponente unitario.
+		}, il risultato si può estendere facilmente
+		su $\Aut((\ZZ \quot m)^n)$. Se infatti
+		$m = p_1 \cdots p_k$, vale che:
+		\[
+			\Aut((\ZZ \quot m \ZZ)^n) \cong
+			\Aut((\ZZ \quot p_1 \ZZ)^n \times \cdots \times (\ZZ \quot p_k \ZZ)^n)
+			\cong \Aut((\ZZ \quot p_1 \ZZ)^n) \times
+			\cdots \times \Aut((\ZZ \quot p_k \ZZ)^n,
+		\]
+		dove si è usato sia il Teorema cinese del resto, sia
+		il fatto per cui $\MCD(p_i, p_j) = 1$ per $i \neq j$.
+	\end{example}
+	
+	\begin{example}[$\Aut(\ZZ \quot 2 \ZZ \times \ZZ \quot 2 \ZZ) \cong S_3$ e altre proprietà]
+		Ora che è chiara la visualizzazione in senso vettoriale
+		di $(\ZZ \quot p \ZZ)^n$, si possono elencare alcune
+		proprietà di $\ZZmod2 \times \ZZmod2$. \medskip
+		
+		
+		Innanzitutto, benché $\ZZmod2 \times \ZZmod2$ sia abeliano,
+		$\Aut(\ZZmod2 \times \ZZmod2) \cong \GL_2(\ZZmod2)$ non
+		lo è. Inoltre, ogni sottogruppo proprio e non banale di
+		$\ZZmod2 \times \ZZmod2$ non è caratteristico: ogni
+		tale sottogruppo è vettorialmente una retta (infatti
+		$\ZZmod2 \times \ZZmod2$ ha dimensione due), e quindi
+		è sufficiente costruire un automorfismo che manda tale
+		retta in un'altra. \medskip
+		
+		
+		Infine, sempre perché $\Aut(\ZZmod2 \times \ZZmod2) \cong \GL_2(\ZZmod2)$, si può visualizzare facilmente l'isomorfismo
+		tra $\Aut(\ZZmod2 \times \ZZmod2)$ e $S_3$. Infatti,
+		$\GL_2(\ZZmod2)$ si compone di $6$ matrici, nella
+		seguente bigezione con $S_3$:
+		
+		\[
+			\Matrix{1 & 0 \\ 0 & 1} \bij e, \quad
+			\Matrix{0 & 1 \\ 1 & 0} \bij (1, 2), \quad
+			\Matrix{1 & 1 \\ 0 & 1} \bij (2, 3),
+		\]
+		
+		\[
+			\Matrix{1 & 0 \\ 1 & 1} \bij (1, 3), \quad
+			\Matrix{0 & 1 \\ 1 & 1} \bij (1, 2, 3) \quad
+			\Matrix{1 & 1 \\ 1 & 0} \bij (1, 3, 2).
+		\]
+		\vskip 0.1in
+
+		Infine, poiché $\Aut(\ZZmod2 \times \ZZmod2) \cong
+		S_3 \cong \Aut(S_3)$, $\ZZmod2 \times \ZZmod2$ e
+		$S_3$ formano un esempio di gruppi non isomorfi
+		(in particolare uno è abeliano e l'altro no) i cui
+		gruppi di automorfismo sono isomorfi.
+	\end{example}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/2. Il gruppo delle permutazioni/main.tex

@@ -0,0 +1,245 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il gruppo delle permutazioni}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento con $X_n$ si indicherà l'insieme
+		$\{1, \ldots, n\}$ e con $G$ un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+
+	Si definisce brevemente il \textbf{gruppo delle permutazioni} $S_n$ come il gruppo
+	delle bigezioni su $G$, ossia $S(X_n)$. Si deduce facilmente che
+	$\abs{S_n} = n!$ dal momento che vi sono esattamente $n!$ scelte possibili
+	per costruire una bigezione da $X_n$ in $X_n$ stesso. \medskip
+	
+	
+	Si definisce
+	l'\textbf{azione naturale} di $S_n$ su $X_n$ come l'azione $\varphi : S_n \to S(X_n)$
+	tale per cui $\sigma \xmapsto{\varphi} [n \mapsto \sigma(n)]$. In particolare,
+	per $H \leq S_n$, si definisce la sua azione naturale come la restrizione dell'azione
+	naturale di $S_n$ su $H$. Un sottogruppo $H$ si dice \textit{transitivo} se la
+	sua azione naturale è transitiva. Si osserva che ogni tale azione naturale è fedele
+	(infatti $\sigma \in S_n$ fissa tutto $X_n$ solo se è l'identità di $S_n$). Si illustra allora subito un risultato sui
+	sottogruppi abeliani transitivi di $S_n$:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $H$ un sottogruppo abeliano transitivo di $S_n$. Allora
+		$\abs{H} = n$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Dal Teorema orbita-stabilizzatore, $\abs{H} = \abs{\Stab(i)} \abs{\Orb(i)}$. Poiché
+		$H$ è un sottogruppo transitivo, $\abs{\Orb(i)} = n$, e quindi è sufficiente
+		verificare che $\Stab(i)$ sia banale. \medskip
+		
+		
+		Ogni $\Stab(i)$ è coniugato
+		ad ogni altro $\Stab(j)$, sempre per la transitività dell'azione; poiché allora $H$ è abeliano, in particolare $\Stab(i)$ coincide con
+		ogni altro stabilizzatore. Pertanto $\sigma \in \Stab(i)$ se e solo se
+		$\sigma$ appartiene al nucleo dell'azione naturale di $H$, ossia
+		a $\cap_{x=1}^n \Stab(x)$, e quindi se e solo se $\sigma = e$. Si conclude dunque
+		che $\Stab(i)$ è banale e quindi che $\abs{H} = n$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proof}[Dimostrazione alternativa]
+		Se $H$ è un sottogruppo transitivo di $S_n$,
+		allora la sua azione naturale agisce fedelmente e
+		transitivamente su $X_n$. Poiché però $H$ è anche
+		abeliano, l'azione è anche libera, e dunque ogni
+		stabilizzatore è banale. Pertanto, per il
+		Teorema orbita-stabilizzatore, $\abs{H} =
+		\abs{\Stab(1)} \abs{\Orb(1)} = n$.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{example}[Il gruppo di Klein $V_4$]
+		In $S_4$, e in particolare in $A_4$, esiste un sottogruppo normale non banale
+		molto particolare\footnote{
+			Pertanto $A_4$ non è semplice.
+		}, il cosiddetto\footnote{
+			La lettere $V$ è dovuta al termine \textit{vier}, che in tedesco
+			significa ``quattro''.
+		} \textbf{gruppo di Klein} $V_4$, dove:
+		\[ V_4 = \{ e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3) \}. \]
+		Tale sottogruppo è abeliano e transitivo (e quindi, per il risultato di prima,
+		$\abs{V_4} = 4$, come si osserva facilmente). Poiché ogni suo elemento ha
+		ordine $2$ (e in particolare $V_4$ non è ciclico), $V_4$ deve necessariamente
+		essere isomorfo a $\ZZmod2 \times \ZZmod2$. Pertanto $V_4$ è il più piccolo
+		gruppo non ciclico per ordine (a meno di isomorfismo).
+	\end{example}
+	
+	Come è noto, ogni $\sigma \in S_n$ può scriversi come prodotto di cicli
+	disgiunti. Di seguito si introduce un modo formale per descrivere questi
+	cicli. \medskip
+	
+	
+	Si consideri l'azione naturale di $\gen{\sigma}$. Allora i cicli di $\sigma$ sono esattamente
+	le orbite di $\sigma$ ordinate nel seguente modo:
+	\[ \Orb(x) = \{ x, \sigma(x), \dots, \sigma^m(x) \}. \]
+
+	
+	Si osserva che in effetti tutti gli elementi di $X$ sono considerati nella
+	scrittura delle orbite dal momento che tali orbite inducono una partizione
+	di $X$ (infatti sono classi di equivalenza). Si definisce inoltre una
+	permutazione \textit{ciclo} se esiste al più un'unica orbita di cardinalità diversa
+	da $1$ e si dice \textit{lunghezza del ciclo} la cardinalità di tale orbita (o se non esiste, si dice che ha lunghezza unitaria). Due cicli si dicono disgiunti se almeno uno dei due è l'identità o se le loro uniche orbite non banali hanno intersezione nulla (e in entrambi i casi, commutano). Per ogni $k$-ciclo esistono esattamente $k$ scritture
+	distinte (in funzione dell'elemento iniziale del ciclo). \medskip
+	
+	
+	Pertanto si deduce facilmente che ogni permutazione $\sigma$ è prodotto
+	di cicli disgiunti in modo unico (a meno della scelta del primo elemento
+	dell'orbita). Poiché allora ogni $n$-ciclo è generato dalla composizione
+	di $n-1$ trasposizioni ($2$-cicli) e ogni permutazione è prodotto di cicli,
+	$S_n$ è generato dalle trasposizioni. Infatti:
+	\[ (a_1, \dots, a_i) = (a_1, a_i) \circ (a_1, a_{i-1}) \circ \cdots \circ (a_1, a_2), \]
+	o altrimenti:
+	\[ (a_1, \dots, a_i) = (a_1, a_2) \circ (a_2, a_3) \circ \cdots \circ (a_{i-1}, a_i), \]
+	da cui si deduce che la scrittura come prodotto di
+	trasposizioni non è unica. Ciononostante viene sempre mantenuta la parità
+	del numero di trasposizioni impiegate. \medskip
+	
+
+	Per questo motivo la mappa $\sgn : S_n \to \{\pm 1\}$ che vale $1$ sulle
+	permutazioni con numero pari di trasposizioni impiegabili e $-1$ sul resto
+	è ben definita. Inoltre questa mappa è un omomorfismo di gruppi, e si
+	definisce $\An := \Ker \sgn$ come il sottogruppo di $S_n$ delle permutazioni
+	pari, detto anche \textit{gruppo alterno}. La classe laterale $(1, 2) \An$
+	rappresenta invece le permutazioni dispari. \medskip
+	
+	
+	In particolare, se $\sigma_k$ è un $k$-ciclo, $\sgn(\sigma_k) = (-1)^{k-1}$ e $\ord(\sigma_k) = k$. Si osserva inoltre che vi sono esattamente $\binom{n}{k} \frac{k!}{k} =
+	\binom{n}{k} (k-1)!$ $k$-cicli in $S_n$ e che in generale l'ordine
+	di una permutazione è il minimo comune multiplo degli
+	ordini dei suoi cicli. In particolare vale la seguente identità\footnote{
+		Si verifica facilmente che il prodotto a destra fornisce un omomorfismo. Allora
+		è sufficiente mostrare che è ben definito e che vale $-1$ sulle trasposizioni.
+		Se si considera $\sigma = (a, b)$, per $i$ e $j$ tali per cui
+		$\{i, j\} \cap \{a, b\} = \emptyset$ il termine della produttoria è unitario;
+		per $\{i, j\} = \{a, b\}$ il termine è $-1$ e per un'intersezione di un solo
+		termine si osserva che vi sono due termini del prodotto che valgono $-1$ e
+		che moltiplicati si annullano nell'unità. Poiché $\sgn$ vale anch'esso $-1$ sulle trasposizioni, i due omomorfismi coincidono (infatti le trasposizioni generano $S_n$).
+	}:
+	\[ \sgn(\sigma) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} \frac{\sigma(i) - \sigma(j)}{i - j}. \]
+
+	Si definisce \textit{tipo} di una permutazione $\sigma$ la sua decomposizione
+	in cicli disgiunti a meno degli elementi presenti nei cicli. Sia $\sigma$
+	tale per cui:
+	\[ \sigma = (a_1, a_2, \ldots, a_{k_1}) (b_1, \ldots, b_{k_2}) \cdots (c_1, \ldots, c_{k_i}), \]
+	allora vale la seguente relazione sul coniugio:
+	\[ \tau \sigma \tau\inv = (\tau(a_1), \tau(a_2), \ldots, \tau(a_{k-1})) (\tau(b_1), \ldots, \tau(b_{k_2})) \cdots (\tau(c_1), \ldots, \tau(c_{k_i})). \]
+	
+	A partire da ciò vale il seguente risultato:
+	\begin{proposition}
+		Due permutazioni $\sigma_1$, $\sigma_2$ sono \textit{coniugabili}
+		(ossia appartengono alla stessa classe di coniugio) se e solo se
+		hanno lo stesso tipo.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Dalla seguente identità, se $\sigma_1$ è coniugata rispetto a
+		$\sigma_2$, sicuramente le due permutazioni dovranno avere lo stesso
+		tipo. Analogamente, se le due permutazioni hanno lo stesso tipo,
+		si può costruire $\tau$ che associ ogni elemento di
+		un ciclo di $\sigma_1$ a un elemento nella stessa posizione in un ciclo
+		di $\sigma_2$ della stessa lunghezza in modo tale che $\tau$ rimanga
+		una permutazione di $S_n$ e che valga $\sigma_2 = \tau \sigma_1 \tau\inv$.
+	\end{proof}
+	
+	Come corollario di questo risultato, se $m_1$ rappresenta il numero di $1$-cicli di $\sigma$, $m_2$ quello dei suoi $2$-cicli, fino a $m_k$, vale il seguente risultato:
+	\[ \abs{\Cl(\sigma)} = \frac{n!}{m_1! \, 1^{m_1} \, m_2! \, 2^{m_2} \cdots m_k! \, k^{m_k}}, \]
+	e in particolare esistono tante classi di coniugio quante partizioni di $n$.
+	Come conseguenza di questo risultato, per il Teorema orbita-stabilizzatore,
+	vale che:
+	\[ \abs{Z_{S_n}(\sigma)} = m_1! \, 1^{m_1} \, m_2! \, 2^{m_2} \cdots m_k! \, k^{m_k}, \]
+	dove si ricorda\footnote{
+		Infatti $Z_{S_n}(\sigma)$ è lo stabilizzatore di $\sigma$ nell'azione di coniugio.
+	} che due permutazioni coniugano $\sigma$ nella stessa permutazione
+	$\rho$ se queste due permutazioni fanno parte della stessa classe in $G \quot Z_{S_n}(\sigma)$. Infine,
+	sempre come corollario dello stesso risultato,
+	se $H \leq S_n$, $H$ è normale in $S_n$ se e solo se per ogni tipo di
+	permutazione $H$ contiene
+	tutte le permutazioni di quel tipo o nessuna. \medskip
+	
+	
+	Per calcolare il centralizzatore di una permutazione $\sigma \in S_n$, la
+	strategia generale si compone di due passi fondamentali: computare il
+	numero di elementi del centralizzatore tramite il Teorema orbita-stabilizzatore
+	(come visto precedentemente) e poi ``indovinare'' dei sottogruppi con
+	cui $\sigma$ commuta che, combinati tramite il prodotto di sottogruppi,
+	danno esattamente il numero calcolato inizialmente.
+	
+	\begin{example}
+		Sia $\sigma = \overbrace{(1,2,3,4)}^{\sigma_1}\overbrace{(5,6,7)}^{\sigma_2}\overbrace{(8,9)}^{\sigma_3} \in S_9$. Si calcola $Z_{S_9}(\sigma)$.
+		Tramite il Teorema orbita-stabilizzatore, vale che:
+		\[ Z_{S_9}(\sigma) = 1! \cdot 4 \cdot 1! \cdot 3 \cdot 1! \cdot 2 = 4! = 24. \]
+		Si osserva facilmente che $\sigma$ commuta con $\sigma_1$, $\sigma_2$ e
+		$\sigma_3$, e quindi $\gen{\sigma_i} \leq Z_{S_9}(\sigma)$ $\forall i \in \{1,2,3\}$.
+		In particolare $\gen{\sigma_i}$ commuta sempre con $\gen{\sigma_j}$ per $i \neq j$,
+		dal momento che questi cicli sono tutti disgiunti. Si considera\footnote{
+			Poiché $\sigma_i$ commuta con $\sigma_j$, questo sottogruppo è ben definito.
+		} il
+		sottogruppo $H = \gen{\sigma_1}\gen{\sigma_2}\gen{\sigma_3}$: ogni suo elemento
+		è esprimibile in modo unico come prodotto di una potenza di $\sigma_1$, di
+		$\sigma_2$ e di $\sigma_3$, e quindi $\abs{H} = \abs{\gen{\sigma_1}} \abs{\gen{\sigma_2}} \abs{\gen{\sigma_3}} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$; poiché
+		allora $H \leq Z_{S_9}(\sigma)$ ha lo stesso numero di elementi del centralizzatore,
+		$Z_{S_9}(\sigma) = H$. Infine, dal
+		momento che $\gen{\sigma_i} \cap (\gen{\sigma_j} \gen{\sigma_k})$ per ogni
+		$i$, $j$, $k$ distinti in $\{1, 2, 3\}$, $H \cong \gen{\sigma_1} \times \gen{\sigma_2} \times \gen{\sigma_3}$, e dunque:
+		\[ Z_{S_9}(\sigma) \cong \ZZmod4 \times \ZZmod3 \times \ZZmod2 \cong \ZZmod{12} \times \ZZmod2. \]
+	\end{example} \bigskip
+
+	
+	Si osserva adesso che $\An$ può scriversi come il sottogruppo generato dai
+	$2-2$-cicli, infatti ogni permutazione pari è prodotto di un numero pari di trasposizioni,
+	che possono dunque essere ridotte a $2-2$-cicli. Allo stesso tempo allora
+	$\An$ è generato dai $3$-cicli se $n \geq 3$. Si consideri infatti $(i, j)(k, l)$. Se
+	$\{i, j\} \cap \{k, l\} = 2$, $(i, j) = (k, l)$, e quindi $(i, j)(k, l) = e$;
+	se $\{i, j\} \cap \{k, l\} = 1$, si può assumere senza perdita di generalità che
+	$k = i$, da cui $(i, j)(i, l) = (i, l, j)$, un $3$-ciclo; se invece $\{i, j\} \cap \{k, l\} = 0$,
+	$(i, j)(k, l) = (i, j)(j, k)(j, k)(k, l) = (i, j, k)(j, k, l)$, e quindi
+	$(i, j)(k, l)$ è prodotto di due $3$-cicli. Pertanto si è dimostrato
+	che $\An = \gen{(i, j)(k, l) \mid i, j, k, l \in X_n} \subseteq \gen{(i, j, k) \mid i, j, k \in X_n}$; allo stesso tempo ogni $3$-ciclo è una permutazione
+	pari, e quindi vale anche l'inclusione inversa. \medskip
+	
+	
+	
+	Si consideri adesso $S_n'$, il sottogruppo derivato di $S_n$. Poiché $S_n$ è abeliano
+	per $n \in \{ 1, 2 \}$, in tal caso $S_n' = \{e\}$; in tutti gli altri casi
+	$S_n'$ non può essere uguale a $\{e\}$, altrimenti $S_n$ sarebbe abeliano. Si osserva
+	che $[(i,j), (j,k)]$ con $i$, $j$ e $k$ distinti si scrive come:
+	\[ [(i,j), (j,k)] = (i, j) (j, k) (i, j)\inv (j, k)\inv = (i, k) (j, k) = (i, k, j), \]
+	e quindi si deduce che $\gen{(i, j, k) \mid \abs{\{i, j, k\}} = 3} = \An$ è un sottogruppo
+	di $S_n'$. Inoltre\footnote{
+		Alternativamente $[S_n : S_n']$ deve dividere $[S_n : \An] = 2$, e quindi,
+		poiché $S_n \neq S_n'$, è necessario che $S_n'$ sia esattamente $\An$.
+	} l'omomorfismo $\sgn$ ha come codominio un gruppo abeliano isomorfo
+	a $\ZZmod2$, e quindi $S_n' \subseteq \Ker \sgn = \An$. Si conclude dunque che
+	$S_n' = \An$ e che ${S_n}_{\,ab} = S_n \quot \An \cong \{\pm 1\} \cong \ZZmod2$ per $n \geq 3$. Pertanto adesso è immediato il seguente risultato:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $H$ un gruppo abeliano. Allora $\Hom(S_n, H) \bij \Hom(\ZZmod2, H)$.
+	\end{proposition}
+
+	In particolare, vi sono tanti omomorfismi non banali in $\Hom(S_n, H) \bij \Hom(\ZZmod2, H)$ quanti elementi di ordine $2$ vi sono in $H$. \bigskip
+	
+	
+	Si ricercano adesso le classi di coniugio in $\An$. Si osserva innanzitutto che,
+	se $\sigma \in \An$, $\Cl_{\An}(\sigma) \subseteq \Cl_{\Sn}(\sigma)$. Inoltre,
+	per il Teorema orbita-stabilizzatore, vale che:
+	\[ \abs{\Cl_{\An}(\sigma)}(\sigma) = \frac{\abs{\An}}{\abs{Z_{\An}(\sigma)}} =
+	\frac{\abs{S_n}/2}{\abs{Z_{\Sn}(\sigma) \cap \An}}. \]
+	Poiché\footnote{
+		È sufficiente osservare che $Z_{\Sn}(\sigma) \cap \An = \Ker(\restr{\sgn}{\An})$,
+		e dunque che $Z_{\Sn}(\sigma) \quot{(Z_{\Sn}(\sigma) \cap \An)}$ può essere
+		isomorfo tramite il Primo teorema di isomorfismo soltanto a $\{1\}$ o
+		a $\{\pm1\}$.
+	} $Z_{\Sn}(\sigma) \cap \An$ in $Z_{\Sn}(\sigma)$ ha indice $1$ se
+	$Z_{\Sn}(\sigma) \subseteq \An$ e $2$ altrimenti, vale che:
+	
+	\begin{itemize}
+		\item $\abs{\Cl_{\An}(\sigma)}(\sigma) = \frac{1}{2} \abs{\Cl_{\Sn}(\sigma)}$, se $Z_{\Sn}(\sigma) \subseteq \An$,
+		\item $\abs{\Cl_{\An}(\sigma)}(\sigma) = \abs{\Cl_{\Sn}(\sigma)}$, altrimenti.
+	\end{itemize}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/3. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.tex

@@ -0,0 +1,240 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi}
+	\maketitle
+
+	In questo documento si definisce il gruppo diedrale e si illustrano
+	le sue proprietà principali, a partire da come sono costruiti i suoi
+	sottogruppi. \medskip
+	
+	
+	Sia $n \geq 3$. Si definisce \textbf{gruppo diedrale}, denotato\footnote{
+		Alcuni testi denotano il gruppo diedrale come $D_{2n}$, dal
+		momento che vale $\abs{D_n} = 2n$.
+	} come $D_n$, il gruppo delle isometrie del piano $\RR^2$ che mappano i vertici di
+	un poligono regolare centrato nell'origine con $n$ lati in sé stessi. \medskip
+	
+	
+	Si verifica facilmente che $D_n$ è un gruppo:
+	\begin{itemize}
+		\item Ammette un'identità, che coincide con l'identità delle isometrie,
+		\item La composizione di due isometrie che mappano i vertici del poligono in
+			sé stessi è ancora un'isometria che lascia fissi i vertici del poligono,
+		\item Ogni isometria per cui i vertici del poligono rimangono fissi ammette
+			un'inversa con la stessa proprietà\footnote{
+				Si ricorda che ogni isometria è invertibile a prescindere.
+			}\footnote{
+				Dal momento che $D_n$ ha cardinalità $2n$, come mostrato dopo, questa
+				condizione è automaticamente verificata come conseguenza della finitezza
+				di $D_n$.
+			}.
+	\end{itemize}
+	
+	In particolare, se $\sigma \in D_n$, $\sigma$ permuta i vertici del poligono (pertanto
+	si può visualizzare $D_n$ come un sottogruppo naturale di $S_n$). Denotando con
+	$r$ la rotazione primitiva del gruppo (ossia una rotazione di $\frac{2\pi}{n}$ gradi in
+	senso antiorario) e con $s$ la simmetria rispetto all'asse $y$, si osserva che
+	ogni elemento della forma $s r^k$ con $k \in \ZZ$ è ancora una simmetria, benché non
+	per forza rispetto all'asse $y$\footnote{
+		La matrice associata di $s$ nella base canonica è $-1 E_{11} + E_{22}$, e quindi deve valere $\det(s) = -1$. Al contrario $r \in \SOO(2)$, e quindi $\det(r) = 1$. Si conclude pertanto che
+		$\det(s r^k) = \det(s) \det(r)^k = -1$, e dunque che $s r^k$ deve obbligatoriamente
+		appartenere alla classe laterale $s \SOO(2)$ delle riflessioni.
+	}. In particolare, per $n$ pari, le riflessioni di $D_n$ sono esattamente le riflessioni
+	rispetto alle rette passanti per i vertici o per i punti medi del poligono. \medskip
+	
+	
+	Dal momento che $\sigma \in D_n$ è in particolare una isometria, e quindi
+	un'applicazione lineare, $\sigma$ è completamente determinata da
+	$\sigma(V_1)$ e $\sigma(V_2)$, dove $V_i$ sono i vertici del poligono numerati
+	in senso antiorario. In particolare, se $\sigma(V_1) = V_k$, allora
+	$\sigma(V_2)$, affinché venga preservata la distanza, può valere\footnote{
+		Per semplicità si pone $V_0 := V_n$ e $V_{n+1} := V_1$.
+	} o
+	$V_{k-1}$ o $V_{k+1}$. Pertanto vi sono al più $2n$ scelte possibili di
+	$\sigma(V_1)$ e $\sigma(V_2)$ (e quindi $\abs{D_n} \leq 2n$). D'altra parte
+	si osserva che tutti gli elementi $1$, $r$, ..., $r^{n-1}$, $s$, $sr$, ..., $s r^{n-1}$
+	sono distinti:
+	\begin{itemize}
+		\item Gli $r^k$ con $0 \leq k \leq \ord(r) - 1$ sono tutti distinti e $\ord(r)$ vale
+			esattamente\footnote{
+				Infatti $r$ è rappresentato in $\SOO(2)$ dalla matrice $\SMatrix{
+					\cos(\frac{2\pi}{n}) & -\sin(\frac{2\pi}{n}) \\
+					\sin(\frac{2\pi}{n}) & \cos(\frac{2\pi}{n})
+				}$, che ha ordine esattamente $n$.
+			} $n$,
+		\item Gli $sr^k$ con $0 \leq k \leq n - 1$ sono tutti distinti, altrimenti
+			la precedente osservazione sarebbe contraddetta,
+		\item Nessun $r^i$ coincide con un $s r^j$, dal momento che i loro determinanti
+			sono diversi ($\det(r^i) = 1$, mentre $\det(s r^j) = -1$). In particolare
+			$r^i \in \SOO(2)$, mentre $s r^j \in s \SOO(2)$.
+	\end{itemize}
+	
+	Pertanto $\abs{D_n} \geq 2n$, e quindi $\abs{D_n} = 2n$. Si conclude inoltre
+	che $D_n$ è generato da $r$ e da $s$, e quindi che $D_n = \gen{r, s}$. Esistono
+	dunque due sottogruppi naturali di $D_n$:
+	\[ \rotations := \gen{r} \cong \ZZ \quot n\ZZ, \quad \gen{s} \cong \ZZ \quot 2\ZZ. \]
+	
+	
+	\begin{proposition}
+		Vale l'identità $s r s\inv = r\inv$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si sviluppa $s r s\inv$ in termini matriciali, considerando
+		$s = \SMatrix{
+			-1 & 0 \\
+			0 & 1
+		}$ e $r = \SMatrix{
+			\cos(\frac{2\pi}{n}) & -\sin(\frac{2\pi}{n}) \\
+			\sin(\frac{2\pi}{n}) & \cos(\frac{2\pi}{n})
+		}$:
+		\[ s r s\inv = \Matrix{
+			\cos(\frac{2\pi}{n}) & \sin(\frac{2\pi}{n}) \\
+			-\sin(\frac{2\pi}{n}) & \cos(\frac{2\pi}{n})
+		}, \]
+		ottenendo la matrice associata a $r\inv$ nella base canonica.
+	\end{proof}
+	
+	
+	In generale vale dunque che $s r^k s\inv = r^{-k}$. Si deduce allora la presentazione del gruppo $D_n$:
+	\[ D_n = \gen{r,s \mid r^n = 1, s^2 = 1, s r s\inv = r\inv}. \]
+	
+	\begin{example}[Sottogruppi di $S_n$ isomorfi al gruppo diedrale]
+		Si consideri il sottogruppo $H$ di $S_5$ generato da
+		$r = (1, 2, 3, 4, 5)$ e $s = (2, 3)(4, 5)$. L'ordine di $r$ è
+		esattamente $5$, mentre $s^2 = 1$. Allo stesso tempo vale che
+		$s r s\inv = r\inv$, e quindi tale sottogruppo è isomorfo a $D_5$.
+		Tale identificazione si può verificare più facilmente osservando
+		come $r$ ed $s$ agiscono sul seguente pentagono:
+		\[\begin{tikzcd}[cramped,column sep=small,row sep=scriptsize]
+			&& 1 \\
+			\\
+			2 &&&& 5 \\
+			\\
+			& 3 && 4
+			\arrow["r", tail reversed, no head, from=3-5, to=5-4]
+			\arrow["r"', from=3-5, to=1-3]
+			\arrow["r"', from=1-3, to=3-1]
+			\arrow["r"', from=3-1, to=5-2]
+			\arrow["s", tail reversed, from=5-2, to=5-4]
+			\arrow["s"', tail reversed, from=3-5, to=3-1]
+			\arrow["r"', curve={height=12pt}, from=5-2, to=5-4]
+		\end{tikzcd}\]
+	\end{example}
+	
+	\smallskip
+
+	Si descrivono adesso tutti i sottogruppi di $D_n$. Innanzitutto, in $\rotations$
+	per ogni $d \mid n$ esiste un unico sottogruppo di ordine $d$ dal momento che
+	$\rotations$ è ciclico. Pertanto ogni tale sottogruppo assume la forma
+	$\gen{r^{\frac{n}{d}}}$. Inoltre, dal momento che\footnote{
+		Infatti ogni elemento di $D_n$, come visto prima, è della forma $r^k$ o $s r^k$.
+	} $[D_n : \rotations] = 2$, $\rotations$ è un sottogruppo normale di
+	$D_n$. Allora, poiché $\rotations$ è normale in $D_n$ e ogni sottogruppo
+	$H \leq \rotations$ è caratteristico\footnote{
+		Per ogni ordine di $\rotations$ esiste un unico sottogruppo $H \leq \rotations$,
+		e quindi tale sottogruppo deve essere caratteristico.
+	} in $D_n$, ogni sottogruppo di $\rotations$ è normale anche in $D_n$. \medskip
+	
+	
+	Sia ora $H$ un sottogruppo di $D_n$ con $H \not\subseteq \rotations$. Si consideri
+	la proiezione al quoziente mediante $\rotations$, ossia $\pi_\rotations : D_n \to D_n /
+	\rotations$. Chiaramente deve valere che $\pi_\rotations(H) = D_n / \rotations$: l'unica
+	altra possibilità è che $\pi_\rotations(H)$ sia $\{\rotations\}$, e quindi che
+	$H \subseteq \Ker \pi_\rotations = \rotations$, \Lightning. \medskip
+	
+	
+	Si consideri adesso
+	la restrizione di $\pi_\rotations$ ad $H$, $\restr{\pi_\rotations}{H} : H \to D_n / \rotations$. Vale in particolare che $\Ker \restr{\pi_\rotations}{H} = H \cap \Ker \pi_\rotations = H \cap \rotations$ e che $\Im \restr{\pi_\rotations}{H} = D_n / \rotations$
+	(da prima vale infatti che $\pi_\rotations(H) = D_n / \rotations$). Allora, per il Primo
+	teorema di isomorfismo, vale che:
+	\[ \frac{H}{H \cap \rotations} \cong D_n \quot \rotations, \]
+	da cui si deduce che $\abs{H} = 2 \abs{H \cap \rotations}$. In particolare $H \cap \rotations$ è un sottogruppo di $\rotations$, e quindi esiste $d \mid n$ tale per cui
+	$H \cap \rotations = \gen{r^d}$, con $\abs{H \cap \rotations} = \frac{n}{d}$. \medskip
+	
+	
+	Sia ora $s r^k$ una simmetria di $H$.
+	Innanzitutto si osserva che $\gen{r^d}$ è normale in $D_n$ e quindi
+	$\gen{ r^d }\gen{ s r^k }$ è effettivamente un sottogruppo di $D_n$. Dal momento che\footnote{
+		Infatti l'unica rotazione che è anche una simmetria è l'identità.
+	}
+	$\gen{ r^d } \cap \gen{ s r^k } = \{ e \}$, allora $\abs{\gen{ r^d } \gen{ s r^k }} = \abs{\gen{r^d}} \abs{\gen{s r^k}} = \frac{2n}{d}$. Anche $\abs{H} = \frac{2n}{d}$ e
+	quindi, per questioni di cardinalità, $H = \gen{ r^d } \gen{ s r^k } = \gen{ r^d, s r^k }$.
+	\medskip
+	
+	
+	In conclusione, ogni sottogruppo di $D_n$ è della forma $\gen{r^d}$ o della forma
+	$\gen{r^d, sr^k}$. Si mostra adesso che per $0 \leq k < d < n$ e $d \mid n$ la
+	classificazione è unica e completa. Chiaramente è completa, dal momento che
+	$d$ si può sempre ridurre in modulo $n$ e che per $k>d$ si può moltiplicare
+	$sr^k$ per riottenere una riflessione con esponente minore di $d$. \medskip
+	
+	
+	Si verifica adesso che è vi è un solo modo di esprimere un sottogruppo in queste
+	condizioni. Se $H_1 := \gen{r^{d_1}, s r^{k_1}} = \gen{r^{d_1}, s r^{k_1}} =: H_2$, allora
+	in particolare $H_1 \cap \rotations = \gen{r^{d_1}} = \gen{r^{d_2}} = H_2 \cap \rotations$,
+	da cui si deduce facilmente che $d_1 = d_2$. Sia ora $s r^{k_1} r^{t d_1} =
+	s r^{k_2} r^{t' d_2}$ con $t$, $t' \in \ZZ$. Allora deve valere che:
+	\[ r^{k_1 + t d_1} =r^{k_2 + t' d_2} \iff k_1 + t d_1 \equiv k_2 + t' d_2 \pod n, \]
+	e quindi, se $d := d_1 = d_2$, questo implica che:
+	\[ k_1 \equiv k_2 \pod d \implies k_1 = k_2 \impliedby 0 \leq k_1, k_2 < d. \]
+	Pertanto esistono esattamente\footnote{
+		La scrittura $d(n)$ indica il numero di divisori di $n$, mentre $\sigma(n)$ indica la 
+		somma dei divisori di $n$. Infatti per ogni divisore $d$ di $n$ si conta un
+		sottogruppo ciclico $\gen{r^d}$ e un sottogruppo della forma $\gen{r^d, sr^h}$
+		con $0 \leq h < d$ (e quindi $d$ sottogruppi di questo tipo).
+	} $d(n) + \sigma(n)$ sottogruppi di $D_n$. \bigskip
+	
+	
+	
+	Si studiano adesso i sottogruppi normali di $D_n$. Come già visto, i sottogruppi di
+	$\rotations$ sono tutti normali in $D_n$. Si studiano dunque soltanto i gruppi
+	della forma $\gen{r^d, s r^h}$. Si ricorda che il sottogruppo
+	$H = \gen{r^d, s r^h}$ è normale se e solo se $N_G(H) = G$, ossia se il suo
+	normalizzatore è tutto $G$. In particolare questo è vero se i generatori di $G$
+	appartengono a $N_G(H) = G$ e quindi se $r H r\inv = H$ e se $s H s\inv = H$.
+	In particolare\footnote{
+		Si è utilizzata la relazione $g \gen{g_1, \ldots, g_i} g\inv = \gen{g g_1 g\inv, \ldots, g g_i g\inv}$.
+	} si deve studiare quando valgono le seguenti identità:
+	\[
+		\gen{r^d, s r^h} = \underbrace{\gen{r^d, s r^{h-2}}}_{r H r\inv},
+		\qquad \gen{r^d, s r^h} = \underbrace{\gen{r^{-d}, r^h s\inv}}_{s H s\inv} =
+		\gen{r^d, s r^{-h}}.
+	\]
+	La prima identità è vera se e solo se $h \equiv h-2 \pod d$, e quindi se e solo
+	se $d \mid 2$. Pertanto $d$ può valere solo $1$ o $2$: se $d = 1$, $H$ è
+	esattamente $\gen{r, s} = D_n$; se invece $d = 2$, $H$ può essere soltanto
+	$\gen{r^2, s}$ o $\gen{r^2, s r}$. Ciononostante, nel caso $d = 2$, dal momento
+	che $d \mid n$, $n$ deve essere pari (e quindi se $n$ è dispari, $D_n$ non ammette
+	sottogruppi normali non banali, ed è in particolare semplice). \medskip
+	
+	
+	Si consideri dunque $n$ pari. È sufficiente controllare che per $d = 2$ valga
+	anche la seconda identità, ossia che valga $h \equiv -h \pod 2$, sempre verificata.
+	Si conclude dunque con la seguente classificazione:
+	
+	\begin{itemize}
+		\item se $n$ è dispari, $D_n$ ammette come sottogruppi normali soltanto
+		$D_n$, $\{ e \}$ e i sottogruppi di $\rotations$,
+		\item se $n$ è pari, $D_n$ ammette come sottogruppi normali tutti quelli
+			del caso dispari insieme a $\gen{r^2, s}$ e $\gen{r^2, s r}$.
+	\end{itemize}
+	
+	
+	Si illustrano adesso le classi di coniugio più importanti in $D_n$. Si consideri
+	per esempio $\Cl(r)$. Dal momento che $D_n \supseteq Z_{D_n}(r) \subseteq \rotations$
+	e che $[D_n : \rotations] = 2$, allora $Z_{D_n}(r)$ può essere o tutto $D_n$ o
+	soltanto $\rotations$. Infatti, poiché $\rotations \leq Z_{D_n}(r)$,
+	$n \mid Z_{D_n}(r)$, e quindi:
+	\[ 2 = \abs{D_n/\rotations} = \abs{D_n \quot Z_{D_n}(r)} \abs{Z_{D_n} \quot \rotations}, \]
+	da cui si ricava che un fattore tra $\abs{D_n \quot Z_{D_n}(r)}$ e
+	$\abs{Z_{D_n} \quot \rotations}$ deve valere $1$. Se $Z_{D_n}(r)$ fosse uguale a
+	$D_n$, allora $r$ apparterrebbe a $Z(D_n)$, e quindi deve valere la seguente identità:
+	\[ sr = rs \implies r\inv = r, \]
+	mai verificata in $D_n$ (per $n \geq 3$), \Lightning. Quindi $Z_{D_n}(r) = \rotations$,
+	e allora, per il Teorema orbita-stabilizzatore, $\abs{\Cl(r)} = \abs{D_n} \quot {\left\lvert \mathcal{R} \right\rvert} = 2$. In particolare sia $r$ che $s r s\inv = r\inv$ sono distinti,
+	e quindi:
+	\[ \Cl(r) = \{r, r\inv\}. \] %TODO: mostrare il fatto in generale
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/4. Commutatore e gruppo derivato/main.tex

@@ -0,0 +1,78 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Commutatore e gruppo derivato}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento con $G$ si indicherà un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+
+	Siano $g$ e $h$ due elementi di $G$. Si definisce allora il loro \textbf{commutatore}
+	come l'elemento $[g, h] = ghg\inv h\inv$. Tale elemento formalizza il concetto di
+	``misura di commutatività'', ossia identifica formalmente quanto $g$ e $h$ commutano.
+	Infatti vale che:
+	\[ [g,h] = e \iff gh=hg. \]
+	Si definisce allora il \textbf{gruppo derivato} di $G$, indicato con $G'$, come
+	il sottogruppo di $G$ generato dai commutatori:
+	\[ G' = \gen{[g, h] \mid g, h \in G}. \]
+	Si osserva che $[g, h] [h, g] = ghg\inv h\inv hg h\inv g\inv = e$, e quindi
+	che $[g, h]\inv = [h, g]$. In particolare valgono alcune proprietà particolari
+	per $G'$, riassunte dalla:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $N$ un sottogruppo normale di $G$ e sia $H$ un gruppo abeliano. Allora:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $G'$ è un gruppo caratteristico,
+			\item $G \quot G'$ è un gruppo abeliano, ed è indicato come
+			$G_{ab}$, \textbf{l'abelianizzato di $G$},
+			\item Se $G \quot N$ è abeliano, $G' \leq N$\footnote{
+				In un certo senso, questo punto dimostra che la scelta di definire
+				$G_{ab}$ è tutt'altro che data al caso. $G_{ab}$ è infatti il ``più stretto
+				parente'' abeliano di $G$. Si osservi anche che $G$ abeliano
+				$\implies$ $G' = \{e\}$ $\implies$ $G_{ab} \cong G$. 
+			},,
+			\item Se $H$ è abeliano, ogni omomorfismo $\varphi \in \Hom(G, H)$ è
+				tale per cui $G' \leq \Ker \varphi$, e quindi
+				$\Hom(G, H)$ può identificarsi con $\Hom(G/G', H) =
+				\Hom(G_{ab}, H)$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Si dimostrano le tesi punto per punto.
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item Se si pone $S = \{ [x, y] \mid x, y \in G \}$ (ossia $S$ è l'insieme dei
+				generatori di $G'$ dacché $S\inv = S$), è sufficiente mostrare che per $\varphi \in \Aut(G)$
+				vale che $\varphi(S) = S$. Allora $\varphi([x, y]) = \varphi(x) \varphi(y)
+				\varphi(x)\inv \varphi(y)\inv = [\varphi(x), \varphi(y)] \in S$, mostrando
+				dunque che $G'$ è caratteristico.
+			\item $G \quot G'$ è un gruppo perché $G'$, in quanto caratteristico, è
+				normale. Siano $x$, $y \in X$, allora $xyG' = yxG'$ perché
+				$xy(yx)\inv = xyx\inv y \inv = [x, y] \in G'$ per definizione, e quindi
+				$G_{ab}$ è abeliano.
+			\item Se $G \quot N$ è abeliano, $xyN = yxN \implies xy(yx)\inv \in N \implies
+				[x, y] \in N$. Poiché allora $S \subseteq N$, vale che $G' = \gen{S} \leq N$.
+			\item È sufficiente mostrare che $S \subseteq \Ker \varphi$. Si verifica dunque
+				che:
+				\[ \varphi([x, y]) = \varphi(x) \varphi(y) \varphi(x)\inv \varphi(y)\inv
+				= e \implies [x, y] \in \Ker \varphi. \]
+				Poiché allora $G' \subseteq \Ker \varphi$, per il Primo teorema di isomorfismo,
+				ogni omomorfismo $\varphi \in \Hom(G, H)$ ammette un unico omomorfismo
+				$\varphi' \in \Hom(G \quot G', H) = \Hom(G_{ab}, H)$ tale per cui il seguente
+				diagramma commuti:
+				\[\begin{tikzcd}[cramped]
+					G && H \\
+					\\
+					{G_{ab}}
+					\arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
+					\arrow["{\pi_{G_{ab}}}"', two heads, from=1-1, to=3-1]
+					\arrow["{\varphi'}"', from=3-1, to=1-3]
+				\end{tikzcd}\]
+				Pertanto $\Hom(G, H) \bij \Hom(G_{ab}, H)$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/5. Il gruppo dei quaternioni/main.tex

@@ -0,0 +1,54 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il gruppo dei quaternioni}
+	\maketitle
+	
+	Si illustra in questo documento il \textbf{gruppo dei quaternioni}, spesso
+	e volentieri impiegato in teoria dei gruppi per fornire controesempi. Storicamente
+	si definisce tale gruppo, indicato con $Q_8$, come il gruppo formato dai
+	quaternioni $\pm 1$, $\pm i$, $\pm j$ e $\pm k$ sotto le usuali regole
+	dei moltiplicazione di $\HH$. In particolare, si può definire $Q_8$ mediante
+	la seguente presentazione:
+	\[ Q_8 = \gen{i, j \mid i^2 = j^2, i^4 = j^4 = e, ij = j^3 i}, \]
+	dove $1 := e$, $k := ij$ e $-1 := i^2$. In particolare $-i := i^3$ è l'inverso
+	di $i$, $-j := j^3$ quello di $j$ e
+	$-k := j^3 i$ quello di $k$. Si osserva che $Q_8$ ha otto elementi, sei di ordine
+	$4$ ($\pm i$, $\pm j$ e $\pm k$), uno di ordine $2$ ($-1$)
+	e, ovviamente, uno di ordine $1$ ($1$). \medskip
+	
+	
+	Le moltiplicazioni tra $i$, $j$ e $k$ si possono riassumere col seguente
+	diagramma:
+	\[  \begin{tikzpicture}[->,scale=.7] % rubato a Diego Monaco -- dispense di Algebra 1, p. 52
+		\foreach \a/\t in {90/i,-30/j,210/k}{
+			\node (\t) at (\a:1cm) {$\t$};
+			\draw (\a-20:1cm)  arc (\a-20:\a-100:1cm);
+		} 
+		\end{tikzpicture}
+	\]
+	
+	Moltiplicando in senso orario viene restituito il terzo termine, in senso
+	antiorario viene restituita la terza potenza del terzo termine rimanente
+	(per esempio, $ik=j^3=-j$, si ``aggiunge'' in pratica il segno meno). \medskip
+
+	
+	Si possono classificare molto facilmente i sottogruppi di $Q_8$, che sono:
+	
+	\begin{itemize}
+		\item $Q_8$ stesso, di ordine $8$, banalmente normale,
+		\item $\gen{i}$, $\gen{j}$ e $\gen{k}$, di ordine $4$, normali perché
+			di indice $2$,
+		\item $\gen{-1}$ di ordine $2$, normale perché caratteristico (è l'unico sottogruppo
+			di ordine $2$ ed è anche il centro $Z(Q_8)$ di $Q_8$),
+		\item $\{1\}$, di ordine $1$, banalmente normale.
+	\end{itemize}
+	
+	Pertanto $Q_8$ è un esempio di gruppo non abeliano i cui sottogruppi sono tutti normali
+	(e in particolare anche ciclici).
+	Inoltre $Q_8$ non può essere decomposto non banalmente in un prodotto semidiretto
+	tra i suoi sottogruppi: andrebbero infatti scelti due sottogruppi di ordine $4$, che,
+	essendo normali, indurrebbero obbligatoriamente un prodotto diretto tra gruppi ciclici;
+	poiché questo prodotto è abeliano, $Q_8$ non può essergli isomorfo.
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/1. Il teorema di Cauchy/main.tex

@@ -0,0 +1,121 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il teorema di Cauchy}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+	
+	Si dimostra in questo documento, per ben due volte, un inverso parziale
+	del teorema di Lagrange, il celebre teorema di Cauchy. Tale teorema
+	asserisce che se $p$ è un numero primo che divide l'ordine di $G$,
+	allora esiste un elemento di $G$ di ordine $p$. \medskip
+	
+	
+	Si mostra innanzitutto che il teorema vale per gruppi abeliani.
+	
+	\begin{theorem}[di Cauchy per gruppi abeliani]
+		Sia $G$ un gruppo abeliano finito. Se un numero primo $p$ divide $\abs{G}$, allora
+		esiste $g \in G$ tale per cui $o(g) = p$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $\abs{G} = pn$ con $n \in \NN^+$. Si dimostra per induzione su $n$ la
+		validità della tesi. Se $n = 1$, allora $G$ è ciclico, e quindi ammette un
+		elemento di ordine $p$, completando il passo base. \medskip
+		
+		
+		Sia allora $n > 1$ e si ipotizzi allora che tutti i gruppi tali che $\abs{G} = pk$ con $k < n$, $k \in \NN^+$ ammettano un elemento di ordine $p$. Sia $h \in G$, $h \neq e$ (questo $h$ sicuramente esiste, dal momento che $p > 1$). Se $p \mid o(h)$, allora
+		$h^{\nicefrac{o(h)}{p}}$ è un elemento di $G$ di ordine $p$. Altrimenti,
+		si consideri $H = \Cyc{h}$. \medskip
+		
+		
+		Dal momento che $G$ è abeliano, $H$ è normale, e dunque si può considerare il gruppo quoziente $G \quot H$. Poiché $p \nmid o(h) = \abs H$ e $p$ divide $\abs G$,
+		$p$ divide anche $\abs{G \quot H}$ per il teorema di Lagrange. Inoltre, poiché
+		$o(h) > 1$ (infatti $h \neq e$), $\abs{G \quot H} < \abs{G}$. Per l'ipotesi
+		induttiva, allora, esiste un elemento $tH$ di ordine $p$ in $G \quot H$. \medskip
+		
+		
+		Si mostra adesso che $p \mid o(t)$. Si consideri la proiezione al quoziente $\pi : G \to G \quot H$ tale per cui:
+		\[ g \xmapsto{\pi} gH. \]
+		Allora $p = o(tH) \mid o(t)$, dal momento che $eH=\pi(t^{o(t)})=(tH)^{o(t)}$.
+		Pertanto, come prima, $t^{\nicefrac{o(t)}{p}}$ è un elemento di ordine $p$,
+		concludendo il passo induttivo.
+	\end{proof} \bigskip
+	
+	Di seguito si dimostra il teorema di Cauchy in generale.
+	
+	\begin{theorem}[di Cauchy]
+		Sia $G$ un gruppo finito. Se un numero primo $p$ divide $\abs{G}$, allora
+		esiste $g \in G$ tale per cui $o(g) = p$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $\abs{G} = pn$ con $n \in \NN^+$. Si dimostra la tesi per induzione.
+		Se $n = 1$, $G$ è ciclico e dunque ammette un generatore di ordine $p$,
+		completando il passo base. Sia ora $n > 1$ e si assuma che ogni gruppo di ordine $pk$ con
+		$k < n$ ammetta un elemento di ordine $p$. \medskip
+		
+		
+		Sia $\mathcal{R}$ è un insieme dei rappresentanti delle classi di coniugio
+		di $G$. Se esiste $g \in \mathcal{R}$ tale per cui $p$ divida
+		$\abs{Z_G(g)}$, allora esiste un elemento di ordine $p$ in
+		$Z_G(g)$ per ipotesi induttiva (infatti $Z_G(g) \neq G$, altrimenti
+		$g$ apparterrebbe al centro di $G$). Altrimenti si consideri la formula delle classi
+		di coniugio:
+		\[
+			\abs G = \abs{Z(G)} + \sum_{g \in \mathcal{R} \setminus Z(G)} \frac{\abs G}{\abs{Z_G(g)}}.
+		\]
+		Poiché $p$ non divide $\abs{Z_G(g)}$ per ogni $g \in \mathcal{R} \setminus Z(G)$,
+		$p$ divide ancora $\nicefrac{\abs{G}}{\abs{Z_G(g)}}$ (e quindi il secondo termine
+		del secondo membro). Allora, prendendo
+		l'identità modulo $p$, si deduce che:
+		\[ \abs{Z(G)} \equiv 0 \pod p. \]		
+		Poiché allora $p$ divide $\abs{Z(G)}$ e $Z(G)$ è un gruppo abeliano,
+		il passo induttivo segue dal Teorema di Cauchy per gruppi abeliani,
+		da cui la tesi.
+	\end{proof} \smallskip
+	
+	
+	Si mostra infine una dimostrazione alternativa del teorema di Cauchy (più immediata
+	e facile da ricordare), basata su una particolare costruzione.
+	
+	\begin{proof}[Dimostrazione alternativa]
+		Si\footnote{
+			Riadattando opportunamente questa dimostrazione, si può fornire un'ulteriore dimostrazione del Teorema di Eulero di teoria dei numeri.
+		} consideri l'insieme $S$, dove:
+		\[ S = \{ (a_1, \ldots, a_p) \in G^p \mid a_1 \cdots a_p = e \}. \]
+		Dimostrando che esiste un elemento $h \in G$ diverso dall'identità tale
+		per cui $(h, \ldots, h) \in S$, si mostra che $h^p = e$, e dunque che
+		$o(h) = p$ (infatti $h \neq e$), dimostrando la tesi. \medskip
+		
+		
+		Si consideri l'azione $\varphi$
+		di $\ZZ \quot p\ZZ$ su $S$ univocamente determinata\footnote{$\ZZ \quot p\ZZ$ è infatti generato da $1$.} dalla relazione:
+		\[ 1 \xmapsto{\varphi} \left[ (a_1, a_2, \ldots, a_p) \mapsto (a_2, \ldots, a_p, a_1) \right]. \]
+		In particolare $m \cdot (a_1, \ldots, a_p)$ restituisce una $p$-upla ottenuta
+		``ciclando a sinistra'' la $p$-upla iniziale di $m$ posizioni. Si consideri la
+		somma data dal teorema orbita-stabilizzatore:
+		\[ \abs{S} = \sum_{x \in S} \frac{p}{\abs{\Stab(x)}} = 1 + N + \sum_{x \in S \setminus (\{(e,\ldots,e)\} \cup H)} \frac{p}{\abs{\Stab(x)}}, \]
+		dove $H$ è l'insieme degli elementi $h \neq e$ tali per cui $h^p = e$ (ossia
+		le $p$-uple con coordinate identiche tra loro) e $N = \abs H$.
+		Poiché $\Stab(x) \leq \ZZ \quot p\ZZ$, gli unici ordini di $\Stab(x)$ possono
+		essere $1$ e $p$. Se tuttavia, per $x \in S \setminus (\{(e,\ldots,e)\} \cup H)$,
+		valesse $\Stab(x) = \ZZ \quot p\ZZ$, $x$ avrebbe coordinate tutte uguali,
+		e quindi, per ipotesi, $x$ apparterrebbe ad $H$ o sarebbe l'identità, \Lightning. Quindi la somma del secondo membro vale esattamente $pk$, dove $k = \abs{S \setminus (\{(e,\ldots,e)\} \cup H)}$. \medskip
+		
+		
+		Si osserva adesso che $\abs S = n^{p-1}$, dove $n = \abs G$. Infatti è sufficiente
+		determinare le prime $p-1$ coordinate, per le quali vi sono $n$ scelte, per determinare
+		anche l'ultima coordinata tramite la relazione $a_1 \cdots a_n = e$. Prendendo
+		allora la precedente identità modulo $p$, si ottiene che\footnote{
+			Questa dimostrazione fornisce quindi anche un risultato sul numero di elementi
+			con ordine primo in $G$, ossia esso è congruo a $-1$ in modulo $p$.
+		}:
+		\[ N \equiv -1 \pod p, \]
+		e quindi in particolare esiste almeno un elemento di ordine $p$ diverso dall'identità.
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/2. I teoremi di isomorfismo/main.tex

@@ -0,0 +1,135 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{I teoremi di isomorfismo}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo. Analogamente si intenderà lo stesso per
+		$G'$.
+	\end{note}
+	
+	Si illustrano i tre teoremi di isomorfismo (o omomorfismo)
+	nella loro forma più generale.
+	
+	\begin{theorem}[Primo teorema di isomorfismo]
+		Sia $\varphi$ un omomorfismo da $G$ in $G'$. Allora,
+		se $N \leq \Ker \varphi$, esiste un unico omomorfismo
+		$f$ da $G \quot N$ in $G'$ che faccia commutare il
+		seguente diagramma commutativo:
+		\[\begin{tikzcd}
+			G &&& {G'} \\
+			\\
+			{G/N}
+			\arrow["{\pi_N}"', two heads, from=1-1, to=3-1]
+			\arrow["\varphi", from=1-1, to=1-4]
+			\arrow["f"', from=3-1, to=1-4]
+		\end{tikzcd}\]
+		Inoltre, tale $f$ è iniettiva se e solo se $N = \Ker \varphi$
+		e in tal caso induce il seguente isomorfismo:
+		\[ G \quot {\Ker \varphi} \cong \Im \varphi. \]
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Affinché il diagramma commuti, deve valere la seguente
+		relazione:
+		\[ \varphi(g) = f(\pi_N(g)) = f(gN). \]
+		Pertanto l'unica possibilità è che valga $f(gN) = \varphi(g)$.
+		Chiaramente tale mappa è ben definita, infatti se $n \in N$,
+		$\varphi(gn) = \varphi(g) \varphi(n) = \varphi(g)$, dacché
+		$n$ in particolare è anche un elemento di $\Ker \varphi$.
+		Inoltre $f$ è un omomorfismo, dal momento che
+		$f(gN hN) = f(ghN) = \varphi(gh) = \varphi(g) \varphi(h) =
+		f(gN) f(hN)$. \medskip
+		
+		
+		Sia $k \in \Ker \varphi$. Se $f$ è iniettiva, allora $f(gN) = \varphi(g) = e \implies gN = N$. Dal momento che
+		$f(kN) = \varphi(k) = e$, $kN = N$, e quindi $k \in N$,
+		da cui si deduce che $N = \Ker \varphi$. Se invece
+		$N = \Ker \varphi$, $f(gN) = e \implies \varphi(g) = e \implies g \in N$, e quindi $gN = N$, l'identità di
+		$G \quot N$, da cui si deduce che $f$ è iniettiva. In tal
+		caso la restrizione sull'immagine di $f$ a
+		$\Im f$, coincidente con $\Im f \circ \pi_N = \Im \varphi$
+		dacché $\pi_N$ è surgettiva, fornisce l'isomorfismo
+		ricercato. 
+	\end{proof}
+	
+	In particolare si osserva che $\Ker f = \Ker \varphi \quot N$,
+	infatti:
+	\[ \Ker f = \{ gN \mid \varphi(g) = e \} = \{ gN \mid g \in \Ker \varphi \} = \Ker \varphi \quot N.
+	 \]
+	
+	\begin{theorem}[Secondo teorema di isomorfismo]
+		Siano $H$ e $N$ due sottogruppi normali di $G$ e sia
+		$N \leq H$. Allora\footnote{
+			Ci sono più modi per vedere che $H \quot N$ è
+			normale in $G \quot N$. Un modo di vederlo si
+			ottiene dalla dimostrazione stessa del teorema,
+			dal momento che si ottiene che $H \quot N$ è
+			il kernel dell'omomorfismo $\varphi$. Altrimenti,
+			se $hN \in H \quot N$, $gN hN g\inv N = (ghg\inv)N$,
+			e poiché $H$ è normale in $G$, $ghg\inv \in H$, da
+			cui $(ghg\inv)N \in H \quot N$.
+		}:
+		\[ \frac{G \quot N}{H \quot N} \cong G \quot H. \]
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si costruisce l'omomorfismo $\varphi : G \quot N \to G \quot H$ tale per cui $gN \mapsto gH$. Si verifica innanzitutto
+		che la mappa $\varphi$ è ben definita:
+		\[ gnH = gH \impliedby N \subseteq H. \]
+		Inoltre $\varphi$ è effettivamente un omomorfismo dal momento
+		che:
+		\[ \varphi(gkN) = gkH = gH \, kH = \varphi(gN) \varphi(kN).  \]
+		Chiaramente $\varphi$ è una mappa surgettiva e quindi
+		$\Im \varphi = G \quot H$.
+		Allora, se $g \in \Ker \varphi$, $\varphi(gN) = gH = H$, e quindi $g \in H$. Pertanto $\Ker \varphi = \{ 
+		gN \mid g \in H 
+		\} = H \quot N$. Si conclude allora, per il Primo teorema
+		di isomorfismo, che:
+		\[ \frac{G \quot N}{H \quot N} \cong G \quot H. \]
+	\end{proof}
+	
+	\begin{theorem}[Terzo teorema di isomorfismo, o teorema del diamante]
+		Siano $H$, $N \leq G$ con $N \nsgeq G$. Allora\footnote{
+			Si osserva che effettivamente $H \cap N$ è normale in
+			$H$. Infatti se $g \in H \cap N$, allora, se
+			$h \in H$, $h g h\inv$ appartiene sempre a $N$
+			perché $N$ è normale in $G$ e appartiene anche
+			ad $H$ poiché è prodotto di elementi in $H$.	
+		}\footnote{
+			Analogamente $N$ è normale in $HN$, essendo
+			normale in $G$.
+		}:
+		\[ H \quot (H \cap N) \cong HN \quot N. \]
+		Pertanto se si considera il seguente diagramma:
+		\[\begin{tikzcd}[column sep=0em,row sep=3em]
+			& HN \arrow[dl,dash] \arrow[dr,dash] \\
+			H \arrow[dr,dash] && N \arrow[dl,dash] \\
+			& H\cap N
+		\end{tikzcd}\]
+		i lati paralleli del parallelogramma (``diamante'')
+		forniscono gli isomorfismi dell'enunciato se anche
+		$H$ è normale in $G$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si costruisce l'omomorfismo $\varphi : H \to HN \quot N$
+		tale per cui $h \mapsto hN$. Si osserva che $\varphi$ è
+		effettivamente un omomorfismo, infatti:
+		\[ \varphi(hh') = (hh')N = (hN) (h'N) = \varphi(h) \varphi(h'). \]
+		
+		Sia $hnN \in HN \quot N$. Allora $hnN = hN$, e quindi
+		$\varphi(h) = hN = hnN$, da cui si deduce che
+		$\varphi$ è surgettiva (e quindi $\Im \varphi = HN \quot N$).
+		\medskip
+
+		
+		Sia $\varphi(h) = e$. Allora $hN = N \implies h \in H \cap N$.
+		Si deduce dunque che $\Ker \varphi = H \cap N$, da cui,
+		applicando il Primo teorema di isomorfismo, si ottiene
+		la tesi:
+		\[ H \quot (H \cap N) \cong HN \quot N. \]
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/3. Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.tex

@@ -0,0 +1,167 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali}
+	\maketitle
+
+	Si illustra adesso un teorema che mette in corrispondenza
+	i sottogruppi di $G \quot H$ con i sottogruppi di $G$
+	che contengono $H$. Benché questo teorema possa sembrare
+	a prima vista di poca utilità, in realtà svela alcune
+	proprietà che hanno portato allo sviluppo della celebre
+	teoria di Galois. Non solo, guardando anche nelle piccole
+	applicazioni, il teorema di corrispondenza permette di
+	contare molto facilmente i sottogruppi di $G \quot H$,
+	nonché di dimostrare l'esistenza di una catena di
+	$p$-sottogruppi normali contenente tutti gli ordini
+	possibili per un $p$-gruppo.
+	
+	\begin{theorem}[di corrispondenza]
+		Sia $H$ un sottogruppo normale di $G$. Allora
+		la proiezione al quoziente $\pi_H : G \to G \quot H$
+		induce una bigezione tra l'insieme
+		\[ X = \{ K \leq G \mid H \subseteq K \} \]
+		dei sottogruppi di $G$ che contengono $H$ e l'insieme
+		\[ Y = \{ K' \leq G \quot H \} \]
+		dei sottogruppi di $G \quot H$. Tale bigezione preserva
+		la normalità di un gruppo e il suo indice, ossia:
+		\begin{itemize}
+			\item $K \nsgeq G \iff K' \nsgeq G \quot H$,
+			\item $\left[ G : K \right] = \left[ G \quot H : K' \right]$,
+		\end{itemize}
+		dove $K \in X$ e $K' \in Y$ sono in corrispondenza biunivoca
+		mediante $\pi_H$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Sia $\alpha : X \to Y$ definita nel seguente modo:
+		\[ K \xmapsto{\alpha} \pi_H(K), \]
+		dove si osserva che $\pi_H(K) = \{ kH \mid k \in K \} = K \quot H \leq G \quot H$.
+		Si definisce analogamente $\beta : Y \to X$ in modo tale che:
+		\[ K' \xmapsto{\beta} \pi_H\inv(K'). \]
+		Le due mappe sono entrambe ben definite (infatti $\pi_H\inv(K')$ è sempre un sottogruppo di $G$ e contiene
+		sempre $H$, dacché $H \in K'$, essendo l'identità di $G \quot H$).
+		È dunque sufficiente mostrare che vale $\beta \circ \alpha = \Id_X$ e che $\alpha \circ \beta = \Id_Y$. \bigskip
+		
+		
+		Siano quindi $K \in X$ e $K' \in Y$. Chiaramente
+		$\pi_H(\pi_H\inv(K')) = K'$, dal momento che $\pi_H$ è
+		surgettiva; dunque $\alpha \circ \beta = \Id_Y$. Inoltre
+		$\pi_H \inv (\pi_H(K)) = \pi_H\inv (K \quot H) = \{ g \in G \mid gH \in K \quot H \} = K$\footnote{
+			Infatti se $gH=kH$ con $k \in K$, esiste un $h \in H$ tale per cui $g=kh$.
+			Dal momento che $H \subseteq K$, $g$ è dunque un elemento di
+		$K$.}, da cui $\beta \circ \alpha = \Id_X$. Quindi $X$ e $Y$ sono in corrispondenza biunivoca
+		tramite $\alpha$ e $\beta$. \bigskip
+		
+		
+		Rimane da dimostrare che $\alpha$ e $\beta$ preservano
+		la normalità e l'indice di sottogruppo. Se $K \nsgeq G$,
+		allora chiaramente $K' = K \quot H \nsgeq G \quot H$
+		(infatti $gH \, kH \, g\inv H = (gkg\inv) H$, dove
+		$gkg\inv \in K$ per ipotesi di normalità). Sia
+		ora $K' \nsgeq G \quot H$. Allora, se $k \in K$,
+		$gH \, kH \, g\inv H = (gkg\inv) H$, e per ipotesi
+		di normalità deve esistere $k' \in K$ tale per cui
+		$(gkg\inv) H = k'H$, e quindi deve esistere
+		$h \in H$ tale per cui $gkg\inv = k'h$. Dal momento
+		che $H \subseteq K$, $gkg\inv \in K$, e quindi
+		$K \nsgeq G$. \bigskip
+		
+		
+		Per mostrare che l'indice di sottogruppo si preserva
+		si dimostra che esiste lo stesso numero di classi
+		laterali in $G \quot K$ e $(G \quot H) \quot (K \quot H)$.
+		Pertanto è sufficiente mostrare che:
+		\[
+			xK = yK \iff xH (K \quot H) = yH (K \quot H), \qquad x, y \in G.
+		\]
+		Infatti, in tal caso vi sarebbero esattamente $[G : K]$
+		classi laterali in $(G \quot H) \quot (K \quot H)$.
+		Si consideri ora la classe laterale $xH(K \quot H)$:
+		\[
+			xH(K \quot H) = \{ xHkH \mid k \in K \} = \{ (xk) H \mid k \in K \},
+		\]
+		dove nell'ultima uguaglianza si è impiegata la normalità
+		di $H$ in $G$ (altrimenti il prodotto non sarebbe ben
+		definito).
+		Analogamente $yH(K \quot H) = \{ (yk)H \mid k \in K \}$. 
+		Quindi, se $xH (K \quot H) = yH (K \quot H)$, allora $xH = (yk)H$, con $k \in K$.
+		Allora $x = ykh$ con $h \in H$. Poiché $H \subseteq K$, si deduce
+		quindi che $xK = yK$. Infine, se $xK = yK$, esiste
+		$k \in K$ tale per cui $x=yk$. Allora:
+		\[ xH(K \quot H) = yH \, kH (K \quot H) = yH(K \quot H), \]
+		da cui la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	
+	\begin{example}[I sottogruppi di $\ZZmod n$]
+		Attraverso il teorema di corrispondenza è facile
+		contare i sottogruppi di $\ZZmod n$ senza ricorrere
+		alla teoria sui gruppi ciclici finiti. Infatti, per
+		il teorema di corrispondenza, i sottogruppi di
+		$\ZZ \quot n \ZZ$ sono in esatta corrispondenza
+		con i sottogruppi\footnote{
+			Poiché $\ZZ$ è ciclico, ogni sottogruppo è
+			della forma $m \ZZ$. In particolare, ogni sottogruppo
+			di $\ZZ$ è anche un suo ideale, se si intende
+			$\ZZ$ come anello, ed è dunque monogenerato in
+			quanto $\ZZ$, essendo un anello euclideo, è
+			anche un PID.
+		} $m\ZZ$ di $\ZZ$ tali per cui $n \ZZ \subseteq m \ZZ$.
+		In particolare, $n \ZZ \subseteq m \ZZ$ se e solo se
+		$m \mid n$, e quindi vi sono $d(n)$ possibili sottogruppi, che, tramite il teorema di corrispondenza, sono esattamente
+		i sottogruppi della forma $m\ZZ \quot n\ZZ \cong \ZZ \quot{\frac{n}{m}} \ZZ$.
+	\end{example}
+	\bigskip
+	
+	
+	Si illustra allora il seguente fondamentale risultato sui $p$-gruppi,
+	che è conseguenza del Teorema di corrispondenza e delle proprietà degli
+	ordini di gruppi abeliani.
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ un $p$-gruppo di ordine $p^n$, con $n \in \NN^+$. Allora
+		esiste una successione $H_1$, ..., $H_{n-1}$ di sottogruppi normali in $G$
+		tali per cui:
+		\[ \{ e \} < H_1 < H_2 < \cdots < H_{n-1} < G, \qquad \abs{H_i} = p^i. \]
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Si dimostra la tesi per induzione su $n$. Per $n=1$, la tesi è banale. Si
+		ipotizzi allora che la tesi valga per $t<n$ con $t \in \NN^+$. Se
+		$G$ è abeliano, allora $G$ ammette un sottogruppo $H_{n-1}$ di ordine
+		$p^{n-1}$. Tale sottogruppo $H_{n-1}$ ammette per ipotesi induttiva
+		una successione $H_1$, ..., $H_{n-2}$ di sottogruppi normali in
+		$H_{n-1}$ come desiderato dalla tesi.
+		Poiché $G$ è abeliano, tali sottogruppi sono
+		normali anche in $G$, e quindi:
+		\[ \{ e \} < H_1 < \cdots < H_{n-1} < G. \] \smallskip
+		
+		
+		Sia adesso $G$ non abeliano. Allora $\abs{Z(G)} < \abs{G}$. Si può
+		dunque considerare il gruppo quoziente $G \quot Z(G)$, di ordine
+		strettamente inferiore a $p^n$. Per ipotesi induttiva
+		esiste una catena di sottogruppi $\mathcal{H}_1$, ...,
+		$\mathcal{H}_{k-1}$ normali in $G \quot Z(G)$ tale per cui:
+		\[ \{e\} < \mathcal{H}_1 < \cdots < \mathcal{H}_{k-1} < G/Z(G), \qquad \abs{\mathcal{H}_i} = p^i, \]
+		dove $\abs{Z(G)} = p^{n-k}$. \medskip
+		
+		
+		Per il Teorema di corrispondenza, $\mathcal{H}_i$ corrisponde
+		a un sottogruppo normale $H_{n-k+i}$ di $G$ contenente $Z(G)$ tale per cui
+		$[G : H_{n-k+i}] = [G \quot Z(G) : \mathcal{H}_i]$. Allora vale che:
+		\[ H_{n-k+i} = \abs{Z(G)} \abs{\mathcal{H}_i} = p^{n-k} p^i = p^{n-k+i}, \]
+		e quindi $H_{n-k+i}$ copre tutti gli esponenti di $p$ da $n-k+1$ a $n-1$.
+		Inoltre, tramite $\pi_{Z(G)} \inv$, vale anche che $H_{n-k+i} < H_{n-k+i+1}$\footnote{Segue dal fatto
+		secondo cui $T \quot H < S \quot H \implies T < S$.}. Sempre per ipotesi
+		induttiva (come nella costruzione di prima), $Z(G)$ ammette una catena
+		di sottogruppi $H_1$, ..., $H_{n-k-1}$ normali in $Z(G)$ tale per cui:
+		\[
+			\{e\} < H_1 < \cdots < H_{n-k-1} < Z(G), \qquad \abs{H_i} = p^i.
+		\]
+		Poiché $Z(G)$ è il centro di $G$, tali sottogruppi sono normali anche in $G$.
+		Ponendo allora $H_{n-k} := Z(G)$ si è costruita la catena desiderata:
+		\[ \{e\} < H_1 < \cdots < H_{n-k} = Z(G) < H_{n-k+1} < \cdots < H_{n-1} < G. \]
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti e decomposizione di U(Zn)/main.tex

@@ -0,0 +1,408 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti
+		e decomposizione di $\ZZmulmod{n}$}
+	\maketitle
+		
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento con $G$ si indicherà un qualsiasi gruppo abeliano finito.
+	\end{note}
+	
+	In questo documento si dimostra il celebre Teorema di
+	struttura per gruppi abeliani finiti. In realtà questo
+	teorema è un caso particolare del Teorema di struttura
+	per gruppi abeliani finitamente generati (e quindi
+	potenzialmente infiniti), a sua volta caso particolare
+	del Teorema di struttura per moduli finitamente generati
+	su un PID\footnote{
+		Ho trattato e dimostrato questo teorema in un documento
+		separato, reperibile su
+		\url{https://git.phc.dm.unipi.it/g.videtta/scritti/src/branch/main/Geometria/Articoli/3.\%20Il\%20teorema\%20di\%20struttura\%20dei\%20moduli\%20finitamente\%20generati\%20su\%20un\%20PID/main.pdf}
+	}. Per motivi didattici si riporta la dimostrazione semplificata
+	per il semplice caso dei gruppi abeliani finiti. \medskip
+	
+	
+	Il Teorema di struttura trova immediata applicazione nello
+	studio dei gruppi abeliani finiti e, dato $n \in \NN^+$, permette di classificare tutti i gruppi abeliani di ordine $n$ (a meno
+	di isomorfismo), come illustra il seguente enunciato:
+	
+	\begin{theorem}[di struttura per gruppi abeliani finiti,
+		decomposizione in fattori invarianti]
+		Sia $G$ un gruppo abeliano finito. Allora esistono unici
+		$n_1$, \ldots, $n_s \in \NN^+ \setminus \{1\}$ tali per cui:
+		\[ G \cong \ZZmod{n_1} \times \cdots \times \ZZmod{n_s}, \qquad n_s \mid n_{s-1} \mid \cdots \mid n_2 \mid n_1. \]
+		Tale fattorizzazione di $G$ viene detta
+		\textbf{decomposizione in fattori invarianti}, dove
+		i fattori invarianti sono i vari $n_i$.
+	\end{theorem}
+	
+	Equivalentemente si poteva enunciare il Teorema di struttura
+	utilizzando la \textit{decomposizione in fattori elementari}
+	mediante l'applicazione reiterata del Teorema cinese del
+	resto, come illustra il:
+	
+	\begin{theorem}[di struttura per gruppi abeliani finiti,
+		decomposizione primaria]
+		Sia $G$ un gruppo abeliano finito. Allora esistono unici
+		$p_1$, \ldots, $p_s$ numeri primi e unici $m_{i,1} \geq \cdots \geq m_{i,t_i}$ per ogni $1 \leq i \leq s$ tali per cui:
+		\[ G \cong \ZZpmod{p_1^{m_{1,1}}} \times \cdots \times \ZZpmod{p_1^{m_{1,t_1}}} \times \ZZpmod{p_2^{m_{2,1}}} \times \cdots \times \ZZpmod{p_s^{m_{s,t_s}}}. \]
+		Tale fattorizzazione di $G$ viene detta
+		\textbf{decomposizione primaria} (o in fattori
+		elementari), dove i fattori elementari sono i vari $p_i^{m_{i,j}}$.
+	\end{theorem}
+	
+	
+	Prima di dimostrare il Teorema di struttura, si definisce
+	il concetto di $p$-componente relativa a un numero $p$
+	primo.
+	
+	\begin{definition}[$p$-componente]
+		Si definisce \textbf{$p$-componente} $G(p)$ (o $p$-torsione)
+		di $G$ il sottogruppo di $G$ tale per cui:
+		\[ G(p) = \{ x \in G \mid \ord(x) = p^k \text{ per qualche } k \}. \]
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}
+		Si osserva facilmente che $G(p)$ è effettivamente
+		un sottogruppo. Infatti vale chiaramente che
+		$G(p) \subseteq G$; inoltre $e$ appartiene
+		a $G(p)$. Dati allora $x$, $y \in G(p)$, allora
+		$\ord(xy) \mid \mcm(\ord(x), \ord(y))$, e quindi
+		$\ord(xy) = p^k$ per qualche $k$. Pertanto anche
+		$xy \in G(p)$. Dal momento che $G(p)$ è finito,
+		la chiusura sull'operazione di gruppo implica anche
+		l'esistenza dell'inverso, e dunque
+		$G(p)$ è un sottogruppo di $G$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{remark}
+		Si osserva che $G(p)$ ha ordine $p^n$, dove
+		$p^n \exactdiv n = \abs{G}$ e che se $H \leq G$
+		è un sottogruppo di ordine $p^i$, $H$ è chiaramente
+		un sottogruppo di $G(p)$. Pertanto, si può definire
+		equivalentemente $G(p)$ come il $p$-sottogruppo\footnote{
+			Chiaramente $G(p)$ è un $p$-sottogruppo. Infatti,
+			se $q$ fosse un primo diverso da $p$ che divide
+			$\abs{G(p)}$, per il Teorema di Cauchy esisterebbe
+			un elemento di ordine $q$ in $G(p)$, $\Lightning$.
+		} massimo
+		per inclusione di $G$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{remark}
+		La $p$-componente $G(p)$ è anche un sottogruppo caratteristico di $G$. Infatti
+		$\varphi \in \Aut(G)$ lascia invariato l'ordine di
+		un elemento di $G(p)$, e quindi $\varphi(G(p)) = G(p)$.
+		Alternativamente si può utilizzare l'osservazione
+		precedente e notare che $G(p)$ è l'unico sottogruppo
+		del suo ordine\footnote{
+			In ogni caso $G$ è abeliano e quindi, poiché
+			tutti i $p$-Sylow sono coniugati, $G(p)$ è l'unico $p$-Sylow di $G$, e dunque
+			è caratteristico perché unico del suo ordine.
+			Più elementarmente, ogni $p$-sottogruppo di $G$
+			è contenuto in $G(p)$, e quindi è l'unico del suo
+			ordine.
+		}.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{scheme}
+		La dimostrazione del Teorema di struttura si fonda su
+		due teoremi che verranno dimostrati nel seguito e che
+		vengono ora enunciati:
+	
+		\begin{itemize}
+			\item Se $G$ è abeliano con $\abs{G} = p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$, allora $G \cong G(p_1) \times \cdots \times G(p_r)$, ossia $G$ è isomorfo al prodotto diretto tra
+			le sue $p$-componenti. Tale decomposizione di $G$
+			come prodotto di $p$-gruppi di ordini tra loro
+			coprimi è unica a meno di isomorfismi tra i vari $p$-gruppi.
+			\item Se $G$ è un $p$-gruppo abeliano. Allora esistono
+			e sono univocamente determinati degli interi
+			positivi $r_1 \geq \cdots \geq r_s$ tali che
+			$G \cong \ZZmod{p_1^{r_1}} \times \cdots
+			\times \ZZmod{p_1^{r_s}}$.
+		\end{itemize}
+	\end{scheme}
+	
+	\begin{proof}[Dimostrazione a priori]
+		Per il primo teorema, $G$ si può decomporre nelle sue
+		$p$-componenti:
+		\[ G \cong G(p_1) \times \cdots \times G(p_s). \]
+		
+		
+		Allora, per il secondo teorema, ogni $G(p_i)$ può
+		decomporsi come prodotto diretto di $\ZZmod{p_i^k}$,
+		e quindi:
+		\[ G \cong (\ZZmod{p_1}^{e_{1,1}} \times \cdots \times \ZZmod{p_1}^{e_{1,t_1}}) \times \cdots \times (\ZZmod{p_r}^{e_{r,1}} \times \cdots \times \ZZmod{p_1}^{e_{r,t_r}}). \]
+		
+		
+		Sia $t = \max\{t_1, \ldots, t_r\}$. Posso allungare le
+		fattorizzazioni di $G(p_i)$ fino ad ottenere $t$ fattori aggiungendo eventualmente dei gruppi banali nella
+		fattorizzazione. \medskip
+		
+		
+		Applicando allora il Teorema cinese del resto si ottiene
+		l'esistenza della fattorizzazione secondo il Teorema
+		di struttura per gruppi abeliani finiti. L'unicità segue
+		riapplicando prima il primo teorema e poi il
+		secondo teorema.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{example}[$\ZZmod{26} \times \ZZmod{169} \times \ZZmod{12}$]
+		Si scrive il gruppo $G = \ZZmod{26} \times \ZZmod{169} \times \ZZmod{12}$ seguendo le regole del Teorema di struttura.
+		Poiché $26 = 2 \cdot 13$, $169 = 13^2$ e $12 = 2^2 \cdot 3$,
+		applicando il Teorema cinese del resto si può scrivere $G$
+		come:
+		\[ G \cong (\ZZmod{2} \times \ZZmod{13}) \times (\ZZmod{13^2}) \times (\ZZmod{2^2} \times \ZZmod{3}). \]
+		Facendo commutare i fattori come nella dimostrazione
+		del Teorema di struttura otteniamo che:
+		\[ G \cong (\ZZmod{2^2} \times \ZZmod{13^2} \times \ZZmod{3}) \times (\ZZmod{2} \times \ZZmod{13}), \]
+		e quindi vale la seguente decomposizione in fattori
+		invarianti per $G$:
+		\[ G \cong \ZZmod{2028} \times \ZZmod{26}, \]
+		dove si osserva che $26 \mid 2028$.
+	\end{example}
+	
+	Si dimostrano adesso i due teoremi impiegati nella dimostrazione
+	del Teorema di struttura:
+	
+	\begin{theorem}
+		Se $G$ è abeliano con $\abs{G} = p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$, allora $G \cong G(p_1) \times \cdots \times G(p_r)$, ossia $G$ è isomorfo al prodotto diretto tra
+		le sue $p$-componenti. Tale decomposizione di $G$
+		come prodotto di $p$-gruppi di ordini tra loro
+		coprimi è unica a meno di isomorfismi tra i vari $p$-gruppi.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Poiché $G$ è abeliano, esiste il sottogruppo $G(p_1) G(p_2) \cdots G(p_r)$.
+		In particolare, dal momento che $\MCD(\abs{G(p_i)}, \abs{G(p_j)}) = 1$ e che
+		$G(p_i) \cap G(p_j) = \{e\}$ per
+		$i \neq j$, vale anche che $\abs{G(p_1) G(p_2) \cdots G(p_r)} = \abs{G}$.
+		Allora deve valere in particolare che $G = G(p_1) G(p_2) \cdots G(p_r)$. Per
+		il Teorema di decomposizione in prodotto diretto, si deduce che
+		$G \cong G(p_1) \times \cdots \times G(p_r)$. \medskip
+		
+		
+		Si mostra che la decomposizione di $G$ come prodotto di $p$-gruppi di ordini
+		tra loro coprimi è unica. Sia $H_1 \times H_2 \times \cdots H_r$ un'altra
+		decomposizione di $G$ in prodotto diretto in modo tale che $\abs{H_i} = p_i^{e_i}$.
+		Sia $\varphi$ un isomorfismo da $H_1 \times H_2 \times \cdots \times H_r$ in
+		$G(p_1) \times G(p_2) \times \cdots \times G(p_r)$. Allora $\varphi$ ristretto
+		all'identificazione di $H_i$ in $H_1 \times H_2 \times \cdots H_r$ (ossia
+		$\{e\} \times \cdots \times H_i \times \cdots \times \{e\}$) nell'identificazione
+		di $G(p_i)$ è ancora un isomorfismo, dal momento che entrambi sono gli unici
+		$p$-gruppi che compaiono nelle rispettive fattorizzazioni. Allora
+		$H_i \cong G(p_i)$, concludendo la dimostrazione.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{theorem}
+		Se $G$ è un $p$-gruppo abeliano. Allora esistono
+		e sono univocamente determinati degli interi
+		positivi $r_1 \geq \cdots \geq r_s$ tali che
+		$G \cong \ZZmod{p_1^{r_1}} \times \cdots
+		\times \ZZmod{p_1^{r_s}}$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		%TODO
+	\end{proof} \bigskip
+	
+	I gruppi moltiplicativi $\ZZmulmod{n}$ sono completamente classificati ed
+	è noto l'algoritmo per dedurre le loro decomposizioni in fattori invarianti,
+	come mostra il fondamentale
+	
+	\begin{theorem}
+		Sia $p$ un numero primo dispari e $k \in \NN^+$. Allora,
+		$\ZZmulmod{p^k}$ e $\ZZmulmod{2p^k}$ sono gruppi
+		ciclici. Per $k > 2$, vale inoltre che
+		$\ZZmulmod{2^k} \cong \ZZmod{2} \times \ZZmod{2^{k-2}}$,
+		mentre $\ZZmulmod{2} \cong \{e\}$ e $\ZZmulmod{4} \cong
+		\ZZmod{2}$. \medskip
+		
+		
+		In particolare per $n \geq 1$, $\ZZmulmod{n}$ è ciclico se e solo se
+		$n$ è $1$, $2$, $p^k$ o $2p^k$ con $p$ primo dispari.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Chiaramente $\ZZmulmod{2} \cong \{e\}$ e
+		$\ZZmulmod{4} \cong \ZZmod{2}$ dacché hanno uno
+		ordine $1$ e l'altro ordine $2$. \medskip
+
+		
+		Sia ora $p$ un numero primo dispari. Allora l'ordine di
+		$G = \ZZmulmod{p^k}$ è $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} =
+		p^{k-1}(p-1)$. È dunque sufficiente trovare in
+		$\ZZmulmod{p^k}$ un elemento $x$ di ordine
+		$p^{k-1}$ e uno $y$ di ordine $p-1$ per concludere
+		che $\ZZmulmod{p^k}$ è ciclico. Infatti $\MCD(p^{k-1}, p-1) = 1$ e $x$ e $y$ commutano, dunque, in tal caso, si avrebbe
+		che $\ord(xy) = \abs{G}$. \medskip
+		
+		
+		Si mostra che $1+p$ ha ordine esattamente $p^{k-1}$ in
+		$\ZZmulmod{p^k}$ mostrando per induzione che
+		\[ (1+p)^{p^{i-2}} \equiv 1 + p^{i-1} \pod{p^i}, \]
+		per $i \geq 2$. Per $i = 2$, la tesi è banale. Si
+		assuma allora l'ipotesi induttiva. \medskip
+		
+		Per l'ipotesi induttiva vale allora che
+		$(1+p)^{p^{i-3}} = 1 + p^{i-2} + \alpha p^{i-1}$ per qualche
+		$\alpha \in \ZZ$, e quindi:
+		\[ (1+p)^{p^{i-2}} \equiv ((1+p)^{p^{i-3}})^p \equiv
+		(1 + p^{i-2}(1 + \alpha p))^p \pod{p^i}. \]
+		Applicando allora il Teorema del binomio di Newton,
+		vale che:
+		\[ (1+p)^{p^{i-2}} \equiv 1 + p^{i-1}(1+\alpha p) + \sum_{j=2}^{p} \binom{p}{j} p^{j(i-2)}(1 + \alpha p)^j \pod{p^i}. \]
+		Si osserva che $\binom{p}{j}$ è sempre divisibile per $p$
+		con $2 \leq j \leq p$, e dunque ogni termine della
+		somma è divisibile per $p^i$. Infatti $j(i-2)+1 \geq i$
+		per $j \geq \lfloor 1 + \frac{1}{i-2} \rfloor = 1$. Allora
+		si conclude che:
+		\[  (1+p)^{p^{i-2}} \equiv 1 + p^{i-1}(1+\alpha p) \equiv 1  + p^{i-1} \pod{p^i}, \]
+		completando l'induzione. \medskip
+		
+		
+		Allora vale che $(1+p)^{p^{k-1}} \equiv 1 + p^k \pod{p^{k+1}}$,
+		e quindi $(1+p)^{p^{k-1}} \equiv 1 \pod{p^k}$. Pertanto
+		l'ordine di $(1+p)$ è della forma $p^i$ con $i \leq k-1$.
+		Si mostra che $\ord(1+p) \nmid p^{k-2}$. Infatti vale
+		che:
+		\[ (1+p)^{p^{k-2}} \equiv 1 + p^{k-1} \not\equiv 1 \pod{p^k}. \]
+		Si conclude dunque che $\ord(1+p) = p^{k-1}$. \bigskip
+		
+		
+		Si consideri ora l'omomorfismo $\pi : \ZZmod{p^k} \to \ZZmod{p}$ tale per cui $[x]_{p^k} \xmapsto{\pi} [x]_p$.
+		Si verifica facilmente che tale mappa è ben definita,
+		infatti $a \equiv b \pod{p^k} \implies a \equiv b \pod{p}$. \medskip
+		
+		
+		Sia $\pi^*$ la restrizione di $\pi$ a $\ZZmod{p^k} \to
+		\ZZmod{p}$. Si osserva che tale restrizione è ben definita dacché
+		$\MCD(p^k, a) = 1 \iff \MCD(p, a) = 1$. Allora anche
+		$\pi^*$ è un omomorfismo e, come $\pi$, è surgettivo.
+		Poiché $\ZZmulmod{p}$ è ciclico in quanto gruppo moltiplicativo finito del campo $\ZZmulmod{p}$, allora,
+		dacché $\abs{\ZZmulmod{p}} = \varphi(p) = p-1$,
+		esiste $x \in \ZZmulmod{p}$ tale per cui $\ord(x) = p-1$.
+		\medskip
+		
+		
+		Dal momento che $\pi^*$ è surgettivo, esiste $y \in \ZZmulmod{p^k}$ tale per cui $p-1 = \ord(x) \mid \ord(y)$.
+		Allora esiste $z \in \gen{y}$ tale per cui $\ord(z) = p-1$.
+		Pertanto $(1+p)z$ ha ordine $p^{k-1}(p-1)$, e dunque
+		$\ZZmulmod{p^k}$ è ciclico. \medskip
+		
+		
+		Dacché $p$ è dispari, vale che
+		$\ZZmulmod{2p^k} \cong \ZZmulmod{2} \times
+		\ZZmulmod{p^k} \cong \ZZmulmod{p^k}$, e quindi
+		anche $\ZZmulmod{2p^k}$ è ciclico. \medskip
+		
+		
+		Sia ora $k > 2$. Chiaramente $[5]_{2^n} \in
+		\ZZmulmod{2^k}$ dal momento che $\MCD(5, 2^k) = 1$.
+		Si mostra che $\ord([5]_{2^n})$ ha ordine
+		$2^{n-2}$ in $\ZZmulmod{2^k}$. Analogamente a prima
+		si dimostra per induzione che per $n \geq 3$:
+		\[ (1 + 4)^{2^{n-3}} \equiv 1 + 2^{n-1} \pod{2^n}. \]
+		Chiaramente per $n=3$, $(1 + 4) \equiv 1 + 4 \pod{8}$.
+		Si assuma ora l'ipotesi induttiva. Allora
+		$(1+4)^{2^{n-4}} = 1 + 2^{n-2} + \alpha 2^{n-1}$ per qualche
+		$\alpha \in \ZZ$. Vale dunque che:
+		\[ (1 + 4)^{2^{n-3}} \equiv (1 + 2^{n-2} + \alpha 2^{n-1})^2
+		\pod{2^n}, \]
+		e quindi:
+		\[ (1 + 4)^{2^{n-3}} \equiv 1 + 2^{2(n-2)} + \alpha^2 2^{2(n-1)} + 2^{n-1} + \alpha 2^n + \alpha 2^{2n-3} \pod{2^n}. \]
+		Pertanto vale che $(1 + 4)^{2^{n-3}} \equiv 1 + 2^{n-1} \pod{2^n}$, concludendo l'induzione. \medskip
+		
+		
+		Allora $(1 + 4)^{2^{k-2}} \equiv 1 + 2^k \pod{2^{k+1}}$,
+		e quindi $(1 + 4)^{2^{k-2}} \equiv 1 \pod{2^k}$. Pertanto
+		$\ord([5]_{2^k}) = 2^i$ con $i \leq k-2$. Tuttavia
+		$(1 + 4)^{2^{k-3}} \equiv 1 + 2^{k-1} \pod{2^k}$, e quindi
+		$\ord([5]_{2^k})$ vale esattamente $2^{k-2}$. \medskip
+		
+		
+		Per il Teorema di struttura, $\ZZmulmod{2^k}$ può
+		dunque essere isomorfo solo a $\ZZmod{2} \times
+		\ZZmod{2^{k-2}}$ o a $\ZZmod{2^{k-1}}$. È dunque
+		sufficiente mostrare che $\ZZmulmod{2^k}$ non può
+		essere ciclico. Si considerino i due sottogruppi
+		$H_1 = \gen{5^{2^{k-3}}}$ e $H_2 = \gen{-5^{2^{k-3}}}$.
+		Entrambi i sottogruppi sono di ordine $2$ e sono
+		distinti. Infatti, $5^{2^{k-3}} \equiv -5^{2^{k-3}} \pod{2^k}$
+		implicherebbe $2 \cdot 5^{2^{k-3}} \equiv 0 \pod{2^k}$, e
+		quindi varrebbe $2^{k-1} \mid 5^{2^{k-3}}$, \Lightning.
+		Se però $\ZZmulmod{2^k}$ fosse ciclico, esisterebbe un
+		unico sottogruppo di ordine $2$. Pertanto
+		$\ZZmulmod{2^k}$ è isomorfo a $\ZZmod{2} \times
+		\ZZmod{2^{k-2}}$, come desiderato. \bigskip
+		
+		
+		Si consideri ora $\ZZmulmod{n}$. Se $n$ è $1$, $2$,
+		$4$, $p^k$ o $2p^k$ con $p$ dispari, $\ZZmulmod{n}$ è
+		ciclico per quanto dimostrato. \medskip
+		
+		
+		Si mostra ora per induzione su $n \geq 1$ che $\ZZmulmod{n}$ è ciclico
+		se e solo se $n$ è $1$, $2$,
+		$4$, $p^k$ o $2p^k$ con $p$ dispari. Per $(\ZZ \quot \ZZ)^*$,
+		la tesi è banale. 
+		Sia ora $\ZZmulmod{n}$
+		ciclico. Allora, se $n$ fosse uguale ad $ab$ con
+		$\MCD(a, b) = 1$ e $a$, $b > 1$, varrebbe $\ZZmulmod{n} \cong
+		\ZZmulmod{a} \times \ZZmulmod{b}$. Dal momento che
+		$\ZZmulmod{a} \cong \ZZmulmod{a} \times \{e\}$,
+		che a sua volta si identifica come sottogruppo di
+		$\ZZmulmod{n}$, e quindi ciclico, $\ZZmulmod{a}$ stesso
+		è ciclico, e analogamente anche $\ZZmulmod{b}$. Pertanto
+		deve valere $\MCD(\varphi(a), \varphi(b)) = 1$. \medskip
+		
+		
+		Dal momento che $\varphi(a)$ può essere o $1$ o un
+		numero pari, così come $\varphi(b)$, si può assumere
+		senza perdita di generalità che $\varphi(a) = 1$,
+		e dunque che $a$ sia $1$ o $2$. Poiché $\ZZmulmod{b}$
+		è ciclico e $b$ è strettamente minore di
+		$n$, per il passo induttivo $b$ può essere
+		$1$, $2$, $p^k$ o $2p^k$. Dal momento che $\MCD(a, b) = 1$,
+		$b$ può essere solo $1$ o $p^k$, e quindi $n = 2$ o
+		$n = 2 p^k$. \medskip
+		
+		
+		Se invece $n = ab$ con $\MCD(a, b) = 1$ implica che
+		uno tra $a$ e $b$ sia $1$, allora $n$ è $1$ o una
+		potenza di un primo, detto $p^k$. Se $p = 2$,
+		allora, per $k \geq 3$, $\ZZmulmod{2^k}$
+		conterrebbe una copia isomorfa di $\ZZmulmod{8} \cong
+		\ZZmod{2} \times \ZZmod{2}$. In tal caso,
+		non essendo $\ZZmulmod{8}$ ciclico, nemmeno $\ZZmulmod{2^k}$
+		è ciclico, e quindi $2^k$ può essere solo $1$, $2$ o
+		$4$. Si conclude così la dimostrazione del teorema.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{remark}[La funzione $\lambda(n)$ di Carmichael]
+		Si definisce la funzione $\lambda : \NN^+ \to \NN^+$ di Carmichael in
+		modo tale che $\lambda(n)$ sia il più piccolo intero positivo $m$ tale
+		per cui $a^m \equiv 1 \pod{n}$ per ogni $a$ coprimo con $n$. \medskip
+		
+		
+		Grazie al Teorema sulla decomposizione di $\ZZmulmod{n}$, calcolare
+		$\lambda(n)$ risulta piuttosto semplice. Infatti, $\lambda(n)$ è
+		esattamente il minimo comune multiplo di tutti gli ordini di
+		$\ZZmulmod{n}$. In particolare, $\lambda(n)$ divide sempre $\varphi(n)$ e
+		vale l'uguaglianza se e solo se esiste un elemento $x$ in $\ZZmulmod{n}$ di
+		ordine $\varphi(n)$, ossia se e solo se $\ZZmulmod{n}$ è ciclico (e dunque se
+		e solo se
+		$n$ è $1$, $2$, $4$, $p^k$ o $2p^k$ per $p$ primo dispari).
+	\end{remark}
+	
+	\begin{example}[$\lambda(1000)$]
+		Si calcola $\lambda(1000)$. Dal momento che $1000 = 2^3 \cdot 5^3$, vale
+		che $\ZZmulmod{1000} \cong \ZZmulmod{2^3} \times \ZZmulmod{5^3}$.
+		Dacché $5$ è dispari e $\varphi(5^3) = 5^3 - 5^2 = 100$, $\ZZmulmod{5^3} \cong \ZZmod{100}$, mentre
+		$\ZZmulmod{2^3} \cong \ZZmod{2} \times \ZZmod{2}$. Pertanto vale che:
+		\[ \ZZmulmod{1000} \cong \ZZmod{2} \times \ZZmod{2} \times \ZZmod{100}, \]
+		e quindi $\lambda(1000) = \mcm(2,2,100) = 100$.
+	\end{example}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.tex

@@ -0,0 +1,270 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{I teoremi di Sylow}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento con $p$ si indicherà un numero
+		primo, con $G$ si indicherà un qualsiasi gruppo finito di ordine $p^n m$ tale per cui $\MCD(p, m) = 1$
+		(ossia $n$ è la valutazione $p$-adica di $\abs{G}$).
+	\end{note}
+
+	I teoremi di Sylow rappresentano, insieme al teorema di
+	struttura per gruppi abeliani finiti, lo strumento più
+	importante e avanzato della teoria dei gruppi elementare.
+	Attraverso questi teoremi, lo studio e la classificazione dei
+	gruppi finiti viene enormemente facilitata e ridotta ai suoi
+	$p$-sottogruppi. \medskip
+	
+	
+	Prima di illustrare gli enunciati e le dimostrazioni di questi
+	teoremi, si definisce preliminarmente cos'è un $p$-sottogruppo
+	di Sylow, detto poi semplicemente $p$-Sylow:
+	
+	\begin{definition}[$p$-Sylow]
+		Sia $H \leq G$. Si dice che $H$ è un \textbf{$p$-Sylow}
+		di $G$ se $\abs{H} = p^n$, ossia se $H$ è un $p$-sottogruppo
+		di $H$ con valutazione $p$-adica massima.
+	\end{definition}
+	
+	Si illustra adesso il Primo teorema di Sylow, che riguarda
+	l'esistenza di $p$-sottogruppi di tutte le cardinalità
+	possibili\footnote{
+		A dire la verità il Primo teorema di Sylow si deduce
+		anche solo mostrando l'esistenza di un $p$-Sylow. Infatti,
+		per una proposizione nota sui $p$-gruppi, che discende
+		direttamente dal Teorema di corrispondenza, in un
+		$p$-gruppo esiste sempre
+		una catena di $p$-sottogruppi normali che comprende
+		$p$-sottogruppi di tutte le cardinalità. Dal momento
+		però che la dimostrazione è molto istruttiva (e anche
+		molto generale), si è preferito lasciare la generalizzazione.
+	}\footnote{
+		Si osserva che il Primo teorema di Sylow generalizza il
+		Teorema di Cauchy alla sua massima estensione.
+	} in $G$:
+	
+	\begin{theorem}[Primo teorema di Sylow, esistenza]
+		Per ogni $i \in \NN$ tale per cui $0 \leq i \leq n$, esiste
+		un sottogruppo $H \leq G$ tale per cui $\abs{H} = p^i$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Si consideri il sottoinsieme $\MM$
+		di $\pset(G)$ dato da:
+		\[ \MM = \{ X \subseteq G \mid \abs{X} = p^i \}. \]
+
+
+		Allora vale che:
+		\[ \abs{\MM} = \binom{p^n m}{p^i} = \frac{(p^n m)!}{(p^i)! (p^n m - p^i)!} = \frac{p^n m (p^n m - 1) \cdots (p^n m - p^i + 1)}{p^i (p^i - 1) \cdots 1}, \]
+		ossia, equivalentemente, che:
+		\[ \abs{\MM} = p^{n-i} m \prod_{j=1}^{p^i - 1} \frac{p^n m - j}{p^i - j}. \]
+
+
+		Si osserva che $p^{n-i} \exactdiv \abs{M}$. Infatti,
+		$p \nmid m$ perché $\MCD(p, m) = 1$ per ipotesi; inoltre,
+		considerando il termine generico $a_j$ della produttoria,
+		vale che\footnote{
+			Infatti $j$ può valere al più $p^i - 1$.
+		} $\nu_p(p^n m - j) = \nu_p(j) = \nu_p(p^i - j)$,
+		e quindi che $\nu_p(a_j) = 0$. \medskip
+		
+		
+		Dal momento che, dato $X \in \MM$, $g X$ appartiene ancora
+		ad $\MM$ e $g X = h X \iff g = h$, $\forall$ $g$, $h \in G$,
+		si può considerare l'azione $\phi : G \to S(\MM)$
+		tale per cui $g \xmapsto{\phi} [X \mapsto gX]$.
+		Dacché le orbite forniscono una partizione di $\MM$,
+		vale che:
+		\[ \abs{\MM} = \sum_{X \in \rotations} \frac{\abs{G}}{\abs{\Stab(X)}}, \]
+		dove $\rotations$ è un insieme di rappresentanti delle
+		orbite e dove si è applicato il Teorema orbita-stabilizzatore.
+		Dal momento che $p^{n-i} \exactdiv \abs{M}$, esiste
+		sicuramente un $X \in \rotations$ tale per cui
+		$p^{n-i+1} \nmid \abs{\Orb(X)}$, da cui si deduce che
+		$p^i \mid \abs{\Stab(X)}$. \medskip
+		
+		
+		Sia $x \in X$ e si consideri ora la mappa $\tau : \Stab(X) \to X$ tale per cui $g \xmapsto{\tau} gx$. Tale mappa è
+		sicuramente iniettiva (infatti $gx = hx \implies g = h$),
+		e quindi $\abs{\Stab(X)} \leq \abs{X} = p^i$. Si deduce
+		dunque che $\abs{\Stab(X)} = p^i$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	
+	\begin{example}
+		Sia $G$ un $p$-gruppo di ordine $p^n$ con $n \geq 4$
+		tale per cui
+		$\abs{Z(G)} = p$. Si dimostra allora che $G$ ammette un sottogruppo abeliano di ordine $p^3$. \medskip
+		
+		
+		Per il Primo teorema di Sylow, in ogni tale gruppo $G$
+		si può estrarre un $p$-sottogruppo $H$ di ordine $p^4$.
+		Pertanto è sufficiente dimostrare la tesi per $n = 4$,
+		dacché un sottogruppo di $H$ è in particolare un sottogruppo
+		di $G$. \medskip
+		
+		
+		Poiché $G$ è un $p$-gruppo tale per cui $\abs{Z(G)} = p$,
+		esiste $x \in G$ tale per cui $Z_G(x)$ ha ordine $p^3$.
+		Chiaramente $Z(G) \leq Z(Z_G(x))$, e analogamente
+		$\gen{x} \leq Z(Z_G(x))$. Pertanto $\abs{Z(Z_G(x))}$ ha
+		almeno $p^2$ elementi. Se però valesse
+		$\abs{Z(Z_G(x))} = p^2$, $Z_G(x) \quot Z(Z_G(x))$ sarebbe
+		ciclico, e quindi $Z_G(x)$ abeliano, \Lightning. Quindi
+		$Z(Z_G(x))$ ha ordine $p^3$ e coincide con $Z_G(x)$, da
+		cui la tesi.
+	\end{example} \bigskip
+	
+
+	Si dimostra adesso il Secondo teorema di Sylow, che mostra
+	che i $p$-Sylow sono tra loro coniugati e che dimostra l'esistenza
+	di un'inclusione più generale tra i $p$-sottogruppi con
+	i $p$-sottogruppi di cardinalità maggiore. Da questo
+	teorema discenderà in particolare uno dei due risultati
+	del Terzo teorema di Sylow sul numero di $p$-Sylow di
+	un gruppo $G$.
+
+	\begin{theorem}[Secondo teorema di Sylow, coniugio e inclusione]
+		Tutti i $p$-Sylow di $G$ sono coniugati (e quindi isomorfi)
+		tra loro. Inoltre, ogni $p$-sottogruppo di ordine
+		$p^i$, se $i \neq n$, è contenuto
+		in un $p$-sottogruppo di ordine $p^{i+1}$ (in particolare
+		questi sottogruppi sono sottogruppi di un $p$-Sylow)\footnote{
+			Il Secondo teorema di Sylow implica in particolare
+			che se $H$ è un $p$-sottogruppo di ordine $p^i$,
+			esiste sempre un $p$-sottogruppo $K$ di $G$ di
+			ordine $p^j$ con $j \geq i$ tale per cui
+			$H \leq K$.
+		}.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia\footnote{
+			Tale $S$ esiste per il Primo teorema di Sylow.
+		} $S$ un $p$-Sylow di $G$. Sia $H$ un $p$-sottogruppo
+		di ordine $p^i$ e si consideri l'azione
+		$\varphi : H \to S(X)$ su $X = G \quot S$ tale per
+		cui $h \xmapsto{\varphi} [gS \mapsto hgS]$. Dal momento
+		che $\abs{X} = [G : S] = m$, per
+		il Teorema orbita-stabilizzatore vale allora che:
+		\[ m = \sum_{gS \in \rotations} \frac{p^i}{\abs{\Stab(gS)}}, \]
+		dove $\rotations$ è un insieme di rappresentanti delle
+		orbite tramite $\varphi$. \medskip
+		
+		
+		Dal momento che $p \nmid m$ per ipotesi, deve esistere
+		$gS \in \rotations$ tale per cui $\abs{\Stab(gS)} = p^i$,
+		da cui si deduce che $\Stab(gS) = H$. Pertanto vale che
+		$hgS = gS$ $\forall h \in H$, e quindi
+		$hg \in gS$, da cui si ricava infine che $h \in gSg\inv$.
+		Allora $H \subseteq gSg\inv$. Se allora $H$ è un $p$-Sylow,
+		$H = gSg\inv$ per cardinalità, e quindi tutti i
+		$p$-Sylow sono coniugati tra loro, dimostrando la prima
+		parte dell'enunciato. \medskip
+		
+		
+		Sia ora $i \neq n$. Allora $H$ è un $p$-sottogruppo proprio
+		di $P = gSg\inv$, che è un $p$-Sylow di $G$. Allora
+		vale che $H \lneq N_P(H)$ dal momento che $P$ è un $p$-gruppo.
+		Dacché $H \nsg N_P(H)$, $N_P(H) \quot H$ è un $p$-gruppo
+		non banale. Allora, per il Teorema di Cauchy, esiste
+		$x \in N_P(H)$ tale per cui $\ord(xH) = p$. Allora
+		$\pi_H\inv(\gen{xH})$ è un sottogruppo di $N_P(H)$ di ordine
+		$p \cdot p^i = p^{i+1}$ che contiene $H$, da cui
+		la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{remark}
+		In particolare, se $G$ è un gruppo abeliano finito, per il
+		Secondo teorema di Sylow vale che $G(p)$, la $p$-componente
+		di $G$, è unica in quanto $p$-Sylow di un gruppo abeliano
+		(infatti l'insieme dei coniugati di un sottogruppo in un gruppo abeliano è sempre banale). Allora $G$ è esattamente
+		il prodotto diretto dei suoi $p$-Sylow.
+	\end{remark}
+	
+	\bigskip
+	
+	
+	Si dimostra infine il Terzo teorema di Sylow, che riguarda
+	il numero di $p$-Sylow in $G$, indicato con $n_p$. Questo
+	teorema, al di là del lato meramente computazionale, risulta
+	spesso utile quando si cerca di dimostrare che un $p$-Sylow
+	è caratteristico. Infatti è sufficiente verificare che
+	$n_p$ sia esattamente $1$; in questo modo esiste un solo
+	$p$-Sylow, e tale $p$-Sylow deve essere caratteristico, e
+	quindi normale.
+	
+	\begin{theorem}[Terzo teorema di Sylow, numero]
+		Sia $n_p$ il numero di $p$-Sylow di $G$. Allora vale
+		che:
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $n_p = [G : N_G(S_p)]$, e dunque $n_p$ divide $\abs{G}$, dove
+				$S_p$ è un $p$-Sylow,
+			\item $n_p \equiv 1 \pod p$, e quindi\footnote{
+				Poiché $n_p \mid \abs{G} = p^n m$, ma $n_p \equiv 1 \pod p$, $n_p$ è coprimo con $p^n$, e quindi
+				$n_p$ deve dividere $m$.
+			} $n_p \mid m$.
+		\end{itemize}
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Poiché i coniugati di un $p$-Sylow $S$ hanno la stessa cardinalità di $S$, tali coniugati sono ancora
+		$p$-Sylow. Similmente, per il Secondo teorema di Sylow, tutti
+		i $p$-Sylow sono a loro volta coniugati di $S$. Pertanto,
+		se $X$ è l'insieme dei $p$-Sylow di $G$, vale che
+		$X$ è esattamente l'insieme dei coniugati di $S$. Allora,
+		per il Teorema orbita-stabilizzatore, vale che:
+		\[ n_p = \abs{X} = [G : N_G(S)], \]
+		che chiaramente divide $\abs{G}$. \medskip
+		
+		
+		Sia $\varphi : S \to S(X)$ l'azione su $X$ tale per cui
+		$s \xmapsto{\varphi} [H \mapsto sHs\inv]$. Si mostra
+		che $\Orb(S) = \{S\}$ è l'unica orbita banale. Se
+		$\Orb(H)$ fosse banale, varebbe $sHs\inv = H$ $\forall s \in S$,
+		e quindi varebbe $S \leq N_G(H)$. In tal caso esisterebbe
+		il sottogruppo $HS$, che ha cardinalità:
+		\[ \abs{HS} = \frac{p^n p^n}{p^i} = p^{2n-i}, \]
+		dove $p^i$ è la cardinalità di $H \cap S$. Poiché
+		$n$ è il massimo esponente di un $p$-sottogruppo di
+		$G$, deve valere $2n-i \leq n \implies n \leq i$. Allo
+		stesso tempo, anche il massimo esponente di $p$ in
+		$H \cap S$, in quanto $p$-sottogruppo, deve essere
+		minore o uguale a $n$, e quindi $n = i$. Pertanto
+		$H = S$. \medskip
+		
+		
+		Allora, se $\rotations$ è un insieme di rappresentanti
+		delle orbite di $X$ tramite $\varphi$, vale che:
+		\[ n_p = \abs{X} = \sum_{H \in \rotations} \frac{p^n}{\abs{\Stab(H)}} = 1 + \sum_{H \in \rotations \setminus \{S\}} \frac{p^n}{\abs{\Stab(H)}}. \]
+		Poiché $p$ divide la somma del membro a destra (infatti
+		le orbite sono non banali, e quindi $\abs{\Stab(H)} \neq p^n$),
+		deve dunque valere $n_p \equiv 1 \pod 1$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{example}
+		Si mostra che in un gruppo $G$ di ordine $5 \cdot 11 \cdot 17$
+		esiste un elemento di ordine $11 \cdot 17$. \medskip
+		
+		Si consideri un $11$-Sylow $P_{11}$ e un $17$-Sylow $P_{17}$.
+		Questi sottogruppi hanno ordine $11$ e $17$, e quindi
+		sono ciclici. Pertanto esistono $x$, $y \in G$ tali per
+		cui $P_{11} = \gen{x}$ e $P_{17} = \gen{y}$. \medskip
+		
+		Si consideri $n_{11}$: $n_{11}$ deve dividere $5 \cdot 17$,
+		e quindi $n_{11} \in \{1, 5, 17, 5 \cdot 17\}$. Tuttavia
+		$n_{11} \equiv 1 \pod{11}$ solo se $n_{11} = 1$. Quindi
+		$P_{11}$ è l'unico $11$-Sylow, e pertanto è caratteristico,
+		e dunque normale. Analogamente si verifica che $n_{17} = 1$,
+		e quindi che anche $P_{17}$ è normale. \medskip
+		
+		Poiché $P_{11}$ e $P_{17}$ sono $p$-gruppi relativi a primi
+		distinti, la loro intersezione è banale. Pertanto
+		$x$ e $y$ commutano, e allora $\ord(xy) = \ord(x) \ord(y) =
+		11 \cdot 17$.
+	\end{example}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/1. Estensioni di campo ed elementi algebrici e trascendenti/main.tex

@@ -0,0 +1,442 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Estensioni di campo ed elementi algebrici e trascendenti}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Una buona introduzione alle estensioni di campo
+		è già stata fatta nel corso di Aritmetica\footnote{
+			Questa parte di teoria è reperibile al
+			seguente link: \url{https://git.phc.dm.unipi.it/g.videtta/notes/src/branch/main/Primo\%20anno/Aritmetica/Teoria\%20dei\%20campi}.
+		}, e pertanto
+		l'esposizione in questo documento dell'argomento sarà
+		del tutto \textit{straightforward}. \medskip
+		
+		
+		Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi.
+		Se non espressamente detto, si sottintenderà anche
+		che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono
+		estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si
+		intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$
+		come $K$-spazio vettoriale.
+	\end{note} \bigskip
+
+	
+	Lo studio della teoria dei campi è inevitabile quando si
+	intende studiare la risolubilità delle equazioni, come
+	ben illustra la teoria di Galois. In particolare,
+	questa teoria si basa in parte sullo studio delle
+	estensioni, ossia dei ``sovracampi'', del campo di partenza
+	che si sta studiando. A questo proposito tornano utili
+	le seguenti definizioni:
+	
+	\begin{definition}[estensione di campo]
+		Si dice che $L$ è un'estensione di campo di $K$ se
+		$K \subseteq L$, e si scrive $\faktor{L}{K}$ per
+		studiare $L$ in riferimento a $K$. Si dice
+		che $L$ è un'estensione finita se $[L : K]$ è
+		finito.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}[omomorfismo di valutazione]
+		Sia $\alpha \in K$. Allora si definisce l'\textbf{omomorfismo di valutazione} $\varphi_{\alpha,K} : K[x] \to K[\alpha]$ di $\alpha$ su $K$,
+		spesso abbreviato come $\varphi_\alpha$ se è
+		sottinteso che si sta lavorando su $K$, come
+		l'omomorfismo univocamente determinato dalla
+		relazione:
+		\[ p \xmapsto{\varphi_\alpha} p(\alpha). \]
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}
+		L'omomorfismo di valutazione è sempre surgettivo e
+		la preimmagine di un elemento di $K[\alpha]$ è per
+		esempio lo stesso elemento a cui si è sostituito $x$
+		al posto di $\alpha$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{definition}
+		Sia $\alpha \in K$. Allora si definisce $K(\alpha)$
+		come la più piccola estensione di $K$ che contiene
+		$\alpha$, ossia:
+		\[ K(\alpha) = \bigcap_{\substack{\faktor{F_i}{K} \text{ campo}	\\[0.02in] \alpha \in F_i}} F_i. \]
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition}[estensione semplice]
+		Un'estensione $\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{semplice}
+		se esiste $\alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$.
+		Tale $\alpha$ si definisce \textbf{elemento primitivo}
+		di $L$ su $K$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}
+		Come suggerisce la definizione di $K(\alpha)$, se
+		$\faktor{L}{K}$ è un campo che contiene $\alpha$,
+		$K(\alpha) \subseteq L$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{definition}[elementi algebrici e trascendenti]
+		Sia $\alpha \in K$. Allora $\alpha$ si dice \textbf{algebrico su $K$} se $\exists p \in K[x]$
+		tale per cui $p(\alpha) = 0$. Se $\alpha$ non è
+		algebrico, si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendente}.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}
+		Se $\alpha \in K$, $\alpha$ è algebrico se e solo
+		se $\Ker \varphi_\alpha$ è non banale. Analogamente
+		$\alpha$ è trascendente se e solo se $\Ker \varphi_\alpha$ è banale.
+	\end{remark}
+
+	\begin{remark}
+		Se $\alpha \in K$ è algebrico, allora $\Ker \varphi_\alpha$ è generato da un irriducibile dacché
+		$K[x]$ è un PID. In particolare $K[x] \quot {\Ker \varphi_\alpha}$ è un campo, e dunque, per il Primo
+		teorema di isomorfismo, lo è anche $K[\alpha]$.
+		Dal momento che $K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$,
+		allora vale in questo caso che $K(\alpha) = K[\alpha]$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{definition}
+		Sia $\alpha \in K$ algebrico su $K$. Si definisce il \textbf{polinomio minimo}
+		$\mu_\alpha \in K[x]$ come il generatore monico di
+		$\Ker \varphi_\alpha$. Per semplicità si definisce
+		$\deg_K \alpha$ come il grado di $\mu_\alpha$. 
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}
+		Se $\alpha \in K$ è algebrico, allora $K[x] \quot{\Ker \varphi_\alpha}$ è uno spazio vettoriale su $K$ di
+		dimensione $\deg_K \alpha$. In particolare vale allora
+		che $[K(\alpha) : K] = [K[x] \quot{\Ker \varphi_\alpha} : K] = \deg_K \alpha$. Inoltre $\mu_\alpha$ è irriducibile su $K$ dal momento che $\Ker \varphi_\alpha$ è massimale.
+	\end{remark}
+
+	\begin{remark}
+		Se $\alpha \in K$ è trascendente, allora
+		$\Ker \varphi_\alpha$ è banale e dunque, per il Primo
+		teorema di isomorfismo, $K[x] \cong K[\alpha]$.
+	\end{remark}
+
+	La caratterizzazione degli elementi algebrici e trascendenti
+	si conclude mediante la seguente proposizione:
+	
+	\begin{proposition}[caratterizzazione degli elementi algebrici e trascendenti]
+		Sia $\alpha \in K$. Allora $\alpha$ è algebrico su
+		$K$ se e solo se $[K(\alpha) : K]$ è finito.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Se $\alpha$ è algebrico, allora $[K(\alpha) : K]$ 
+		è pari a $\deg_K \alpha$. Se invece $[K(\alpha) : K]$
+		è pari ad $n \in \NN^+$, si considerino $1$, $\alpha$,
+		\ldots, $\alpha^n$. Dal momento che questi sono
+		$n+1$ elementi in $K(\alpha)$, devono essere
+		necessariamente linearmente dipendenti. Pertanto
+		esistono $a_0$, $a_1$, \ldots, $a_n$ tali per
+		cui $a_n \alpha^n + \ldots + a_1 \alpha + a_0 = 0$.
+		Pertanto esiste un polinomio con coefficienti in $K$
+		che annulla $\alpha$, e dunque $\alpha$ è algebrico. 
+	\end{proof}
+
+	A partire dalla definizione di elemento algebrico si può
+	anche definire la nozione di \textit{estensione algebrica}:
+	
+	\begin{definition}[estensione algebrica]
+		Si consideri $\faktor{L}{K}$. Allora si dice che
+		$L$ è un'\textbf{estensione algebrica} se ogni
+		elemento di $L$ è algebrico su $K$.
+	\end{definition}
+
+	Le estensioni finite sono privilegiate in questo senso,
+	dal momento che sono sempre algebriche, come illustra la:
+	
+	\begin{proposition}[estensione finita $\implies$ estensione algebrica]
+		Sia $L$ un'estensione finita di $K$. Allora $L$
+		è un'estensione algebrica di $K$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Sia $\alpha \in L$. Dal momento che $K \subseteq K(\alpha) \subseteq L$, $K(\alpha)$ è un sottospazio
+		di $L$, che è spazio vettoriale su $K$. Dal momento
+		che $L$ è un'estensione finita, $[L : K]$ è finito,
+		e dunque lo è anche $[K(\alpha) : K]$, per cui
+		$\alpha$ è algebrico, e così $L$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}
+		Mentre ogni estensione finita è algebrica, non è
+		vero che ogni estensione algebrica è finita. Per
+		esempio,
+		la chiusura algebrica $\overline{\QQ}$ di $\QQ$ non
+		è finita su $\QQ$. Infatti, per ogni $n \in \NN^+$,
+		$p_n(x) = x^n - 2$ è irriducibile in $\QQ[x]$ per il criterio
+		di Eisenstein, e dunque, detta $\alpha$ una radice
+		di $p_n$, $[\QQ(\alpha) : \QQ] = n$, e quindi, dal
+		momento che $\QQ(\alpha) \subseteq \overline{\QQ}$,
+		$[\overline{\QQ} : \QQ] \geq n$. Pertanto il grado
+		di $\overline{\QQ}$ su $\QQ$ non è finito, benché
+		$\overline{\QQ}$ sia un'estensione algebrica per
+		definizione.
+	\end{remark}
+
+	\begin{remark}
+		Se $L$ è un'estensione semplice, allora $L$
+		è algebrica se e solo se $L$ è un'estensione
+		finita.
+	\end{remark}
+
+	Definiamo infine il composto di due estensione $L$, $M$ di $K$ su uno stesso campo $\Omega$:
+
+	\begin{definition}[composto di due estensioni]
+		Siano $L$, $M \subseteq \Omega$ estensioni di $K$ con
+		$\Omega$ a sua volta campo. Si definisce allora
+		il \textbf{composto} $LM$ di $L$ e $M$ come il più
+		piccolo sottocampo di $\Omega$ che contiene sia
+		$L$ che $M$. Talvolta si scrive anche $L(M) = LM$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}
+		Se $L = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$ e
+		$M = K(\beta_1, \ldots, \beta_n)$, allora vale che:
+		\[ LM = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \beta_1, \ldots, 
+		\beta_n). \]
+	\end{remark}
+	
+	\begin{theorem}[delle torri algebriche]
+		Siano $K \subseteq L \subseteq F$ campi. Allora $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita se e solo se
+		$\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$ sono estensioni finite. \medskip
+		
+
+		In particolare\footnote{Si può generalizzare questa formula ad $F$ spazio vettoriale su $K$ e $L$ con $K \subseteq L$, a patto che $K$ e $L$ siano campi.}, se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita,
+		vale che:
+		\[ [F : K] = [F : L] [L : K]. \]
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita, allora a
+		maggior ragione $\faktor{L}{K}$ è un'estensione finita
+		dal momento che $L$ è un $K$-sottospazio vettoriale di
+		$F$, che è un $K$-spazio vettoriale. Inoltre,
+		anche $\faktor{F}{L}$ è un'estensione finita, dacché
+		una base di $\faktor{F}{K}$ è un insieme di generatori
+		su $\faktor{F}{L}$, dal momento che $K \subseteq L$. \medskip
+		
+		
+		Si mostra adesso che se $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$ sono estensioni finite, allora $F$ è uno spazio
+		finito-dimensionale su $K$ e vale che:
+		\[ [F : K] = [F : L] [L : K]. \]
+		Siano $[F : L] = m$ e $[L : K] = n$. Sia
+		$\BB_F = (f_1, \ldots, f_m)$ una base
+		di $F$ su $L$, e sia $\BB_L = (l_1, \ldots, l_n)$ una
+		base di $L$ su $K$. \\
+		
+		Si dimostra che la seguente è una base di $F$ su $K$:
+		\[\BB_F \BB_L = \{ f_1 l_1, \ldots, f_1 l_n, \ldots, f_m l_n\}, \]
+		dove si osserva che $\abs{\BB_F \BB_L} = [F : L] [L : K]$.
+		Si mostra innanzitutto che $\BB_F \BB_L$ è un insieme
+		di generatori. Sia $f \in F$.
+		Allora si può scrivere $f$ come combinazione lineare
+		finita con scalari in $L$:
+		\[f = \sum_{i=1}^m \beta_i f_i.\]
+		A sua volta, allora, si può scrivere ogni $\beta_i \in L$
+		come combinazione lineare finita con scalari in $K$:
+		\[\beta_i = \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} l_j.\]
+		Combinando queste due identità, si verifica che
+		$\BB_F \BB_L$ genera $F$ come $K$-spazio vettoriale:
+		\[ f = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} \, l_j f_i. \]
+
+		
+		Infine, si verifica che $\BB_F \BB_L$ è un insieme linearmente
+		indipendente. Si consideri l'equazione:
+		
+		\[ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} \, l_j f_i = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} l_j \right) f_i = 0. \]
+		
+		Poiché $\BB_F$ è linearmente indipendente, si deduce
+		che:
+		
+		\[ \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} l_j = 0. \]
+		
+		Tuttavia, $\BB_L$ è a sua volta linearmente indipendente,
+		e quindi $\gamma_j^{(i)} = 0$, $\forall i, j$. Dunque
+		$\BB_F \BB_L$ è linearmente indipendente, e quindi è
+		una base dacché è anche un insieme di generatori per
+		$F$ come $K$-spazio vettoriale. Pertanto $F$ è un'estensione
+		finita di $K$ e vale la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Siano $L$ e $M$ due campi tali per cui
+		$K \subseteq L$, $M$. Allora, se
+		$[L : K] = m \in \NN^+$ e $[M : K] = n \in \NN^+$,
+		$LM$ è un'estensione finita di $K$ e $\mcm(m, n) \mid [LM : K]$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si consideri il seguente diamante di estensioni:
+		\[\begin{tikzcd}[column sep=scriptsize]
+			&& LM \\
+			\\
+			L &&&& M \\
+			\\
+			&& K
+			\arrow["n", no head, from=3-5, to=5-3]
+			\arrow["m"', no head, from=3-1, to=5-3]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=3-5]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=3-1]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=5-3]
+		\end{tikzcd}\]
+		Dal momento che $LM = L(M)$ è un $L$-spazio vettoriale
+		e $M$ è un'estensione finita di $K$, il grado di $LM$
+		su $L$ è finito. Pertanto, applicando il teorema delle
+		torri algebriche, $m \mid [LM : K]$. Analogamente
+		$n \mid [LM : K]$, e quindi $\mcm(m, n) \mid [LM : K]$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $L$ un'estensione di campo di $K$. Allora
+		$A = \{ \alpha \in L \mid \alpha \text{ algebrico su } K \}$ è un campo, e quindi un'estensione algebrica
+		di $K$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Siano $\alpha$ e $\beta \in A$. Si consideri il
+		seguente diamante di estensioni:
+		\[\begin{tikzcd}[column sep=small]
+			&& {K(\alpha, \beta)} \\
+			\\
+			{K(\alpha)} &&&& {K(\beta)} \\
+			\\
+			&& K
+			\arrow[no head, from=3-5, to=5-3]
+			\arrow[no head, from=3-1, to=5-3]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=3-5]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=3-1]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=5-3]
+		\end{tikzcd}\]
+		Dal momento che $K(\alpha, \beta) = K(\alpha)K(\beta)$
+		e sia $[K(\alpha) : K]$ che $[K(\beta) : K]$ sono
+		finiti dacché $\alpha$ e $\beta$ sono algebrici,
+		$K(\alpha, \beta)$ è un'estensione finita di $K$,
+		ed è dunque un'estensione algebrica. Pertanto
+		$\alpha \pm \beta$, $\alpha\beta$, $\alpha\inv$
+		(se $\alpha \neq 0$) e $\beta\inv$ (se $\beta \neq 0$) sono elementi algebrici di $K$,
+		e quindi $A$ è un campo, e a maggior ragione un'estensione algebrica di $K$.
+	\end{proof}
+	
+	Le estensioni finite sono completamente caratterizzate
+	in qualità di estensioni finitamente generate da elementi
+	algebrici sul campo di riferimento, come mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		$\faktor{L}{K}$ è un'estensione finita se e solo se
+		è un'estensione finitamente generata da elementi algebrici.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Se $L$ è un'estensione finita su $K$, allora esiste una
+		base finita $\basis = \{l_1, \ldots, l_n\} \subseteq L$
+		tale per cui $L = K(l_1, \ldots, l_n)$. Poiché $L$ è
+		un'estensione finita, $L$ è anche algebrica, e quindi
+		$\basis$ è composta da elementi algebrici su $K$. Pertanto
+		$L$ è un'estensione finitamente generata da elementi algebrici
+		su $K$. \medskip
+		
+		Sia ora $L = K(l_1, \ldots, l_n)$ con $l_i$ elemento algebrico
+		su $K$. Allora, per il teorema delle torri algebriche,
+		$L$ è un'estensione
+		finita su $K$ dal momento che questi due campi sono
+		i due estremi della seguente torre di estensioni:
+		\[\begin{tikzcd}
+			{K(l_n, \ldots, l_0)} \\
+			{K(l_{n-1}, \ldots, l_0) } \\
+			\vdots \\
+			{K(l_0)} \\
+			K
+			\arrow[no head, from=1-1, to=2-1]
+			\arrow[no head, from=2-1, to=3-1]
+			\arrow[no head, from=3-1, to=4-1]
+			\arrow[no head, from=4-1, to=5-1]
+		\end{tikzcd}\]
+		dove ogni campo interno della torre è un'estensione
+		finita del sottocampo corrispondente dal momento
+		che $\faktor{L}{K}$ è un'estensione algebrica, da
+		cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $K \subseteq L \subseteq F$ una torre di
+		estensioni. Allora $\faktor{F}{K}$ è un'estensione 
+		algebrica se e solo se lo sono sia $\faktor{L}{K}$
+		che $\faktor{F}{L}$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione algebrica,
+		a maggior ragione $\faktor{F}{L}$ è
+		algebrica, dal momento che ogni elemento $f \in K$ è
+		radice di un polinomio a coefficienti in $K$, e
+		quindi, in particolare, di un polinomio a coefficienti in
+		$L$. Allora stesso tempo, ogni elemento di $L$ è un
+		elemento di $F$, e quindi tale elemento è ancora algebrico
+		su $K$, e così anche $\faktor{L}{K}$ è un'estensione
+		algebrica. \medskip
+		
+		
+		Siano $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$
+		estensioni algebriche. Sia $f \in F$. Allora, poiché $F$ è
+		algebrico su $L$, esistono $l_0$, \ldots,
+		$l_n \in L$ tali per cui, detto
+		$p(x) = l_n x^n + \ldots + l_1 x + l_0 \in L[x]$,
+		vale che $p(f) = 0$. In particolare $f$ è
+		algebrico su $K(l_n, \ldots, l_0)$, e quindi
+		$K(l_n, \ldots, l_0, f)$ è un'estensione finita
+		su $K(l_n, \ldots, l_0)$. \medskip
+		
+		
+		Chiaramente anche $K(l_n, \ldots, l_0)$ è un'estensione
+		finita su $K$ dal momento che è finitamente generata
+		da elementi algebrici su $K$, dacché $L$ è un'estensione
+		algebrica su $K$. \medskip
+		
+		
+		Per il teorema delle torri algebriche, allora
+		$K(l_n, \ldots, l_0, f)$ è un'estensione finita
+		su $K$. Dal momento allora che $K(f) \subseteq K(l_n, \ldots, l_0, f)$, anche questa è un'estensione finita,
+		e quindi $f$ è algebrico. Pertanto si conclude che
+		$\faktor{F}{K}$ è un'estensione algebrica, da cui
+		la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	Infine, si presenta un risultato interessante che lega
+	l'algebricità di $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ a quella
+	di $\faktor{LM}{K}$:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $K \subseteq L$, $M$. Allora le estensioni
+		$\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ sono algebriche se
+		e solo se $\faktor{LM}{K}$ è algebrica.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Siano $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ algebriche.
+		Sia $\alpha \in LM = L(M)$. Dal momento che $L(M)$ è un
+		$L$-spazio vettoriale i cui vettori sono gli elementi di
+		$M$, allora $\alpha$ può scriversi
+		come combinazione lineare finita di elementi in $M$ con
+		coefficienti in $L$, ossia:
+		\[ \alpha = \sum_{i=1}^n \lambda_i m_i. \]
+		Poiché $L$ e $M$ sono estensioni algebriche su $K$,
+		$K' := K(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, m_1, \ldots, m_n)$ è
+		un'estensione finitamente generata da elementi algebrici
+		ed è pertanto finita su $K$. Poiché $K(\alpha) \subseteq
+		K'$, $K(\alpha)$ è un'estensione finita su $K$ e dunque
+		$\alpha$ è algebrico su $K$. Pertanto $LM$ è un'estensione
+		algebrica su $K$. \medskip
+		
+		
+		Se $\faktor{LM}{K}$ è un'estensione algebrica, allora
+		in particolare ogni elemento di $L$, che appartiene a $L$,
+		è algebrico su $K$, e così $\faktor{L}{K}$ è un'estensione
+		algebrica. Analogamente lo è anche $\faktor{M}{K}$, da cui
+		la tesi.
+	\end{proof}
+
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/2. Chiusura algebrica di un campo e campi di spezzamento/main.tex

@@ -0,0 +1,288 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Chiusura algebrica di un campo e campi di spezzamento}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi.
+		Se non espressamente detto, si sottintenderà anche
+		che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono
+		estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si
+		intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$
+		come $K$-spazio vettoriale.
+	\end{note} \bigskip
+
+
+	Questo documento si propone di illustrare le principali
+	proprietà e caratteristiche dei campi algebricamente
+	chiusi, delle chiusure algebriche e dei campi di
+	spezzamento, col proposito di dare i mezzi necessari
+	per approcciarsi alla teoria di Galois. Per questo
+	motivo si presentano le seguenti definizioni:
+	
+	\begin{definition}[campo algebricamente chiuso]
+		Un campo $K$ si dice \textbf{algebricamente chiuso}
+		se ogni polinomio a coefficienti in $K$ ammette una
+		radice in $K$. Equivalentemente, $K$ è algebricamente
+		chiuso se ogni polinomio $p \in K[x]$ ha tutte le proprie
+		radici in $K$, e quindi se gli irriducibili di $K$ sono
+		tutti e soli i polinomi di grado unitario.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}[chiusura algebrica]
+		Un estensione $\faktor{\Omega}{K}$ si dice
+		\textbf{chiusura algebrica} di $K$, e si
+		indica usualmente con $\overline{K}$, se $\Omega$
+		è un campo algebricamente chiuso e se
+		$\Omega$ è un'estensione algebrica su $K$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}
+		Per esempio, una chiusura algebrica di $\RR$ è $\CC$,
+		per il Teorema fondamentale dell'algebra.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $\Omega$ un campo algebricamente chiuso. Se allora
+		$K$ è un sottocampo di $\Omega$, vale che
+		$K'$, il campo degli elementi algebrici
+		su $K$, è una chiusura algebrica di $K$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Chiaramente
+		$K'$ è un'estensione algebrica su
+		$K$. Si verifica allora che $K'$ è
+		algebricamente chiuso. Sia $p \in K'[x]$.
+		Dal momento che $K$ è algebricamente chiuso, e
+		che $p$ appartiene anche a $K[x]$, allora
+		$p$ ammette una radice $\alpha \in \Omega$. Si mostra che
+		$\alpha$ è algebrico su $K$. Poiché allora
+		$\faktor{K'(\alpha)}{K'}$ è
+		un'estensione algebrica (infatti $p$ annulla $\alpha$
+		per ipotesi) e $\faktor{K'}{K}$ è algebrica
+		per ipotesi, allora $K'(\alpha)$ è algebrica
+		su $K$, e dunque $\alpha$ è algebrico su $K$, pertanto
+		$\alpha \in K'$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{remark}
+		Poiché $\QQ$ è un sottocampo di $\CC$ e $\CC$ è
+		un campo algebricamente chiuso, il campo degli
+		elementi algebrici di $\QQ$ è una chiusura algebrica di
+		$\QQ$ per la proposizione precedente.
+	\end{remark}
+	
+	Adesso si enuncia, senza dimostrarlo, un teorema su cui si baserà buona parte della prossima teoria:
+	
+	\begin{theorem}[esistenza ed unicità della chiusura algebrica]
+		Esiste ed è unica, a meno di $K$-isomorfismo\footnote{
+			Un $K$-isomorfismo è un isomorfismo tra estensioni
+			di $K$ che fissa $K$, ossia che ristretto a $K$ è
+			l'identità di $K$.
+		},
+		la chiusura algebrica di $K$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{remark}
+		Poiché il campo degli elementi algebrici di $\QQ$ è una chiusura algebrica di
+		$\QQ$ ed è un insieme numerabile, $\CC$ non può
+		essere una chiusura algebrica di $\QQ$ dacché
+		$\CC$ ha la cardinalità del continuo (e dunque non possono
+		esistere bigezioni tra $\CC$ e $\overline{\QQ}$). Poiché
+		$\CC$ è però algebricamente chiuso, può solamente
+		verificarsi che $\CC$ non sia un'estensione algebrica
+		di $\QQ$. Più facilmente, $\pi \in \RR$ non è algebrico su $\QQ$,
+		e così né $\RR$ né $\CC$ sono estensioni algebriche su $\QQ$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{definition}[campo di spezzamento]
+		Sia $\mathcal{F}$ una famiglia di polinomi di $K[x]$.
+		Si definisce allora \textbf{campo di spezzamento} di
+		$\mathcal{F}$ una estensione $F$ di $K$ tale per cui:
+		
+		\begin{itemize}
+			\item ogni $p \in \mathcal{F}$ si decompone in fattori lineari in
+				$F[x]$,
+			\item se $L$ è un'estensione su $K$ tale per cui
+				$L \subsetneq F$, allora esiste $p \in \mathcal{F}$
+				non si decompone in fattori lineari in $L[x]$.
+		\end{itemize}
+		
+		Equivalentemente $F$ è un'estensione minimale in cui
+		ogni polinomio di $\mathcal{F}$ si decompone in fattori
+		lineari.
+	\end{definition}
+	
+	Come per le chiusure algebriche, si enuncia il seguente
+	teorema senza dimostrazione\footnote{
+		L'esistenza di un campo di spezzamento è piuttosto
+		facile da dimostrare, è sufficiente considerare
+		l'estensione di $K$ a cui si aggiungono tutte le
+		radici del polinomio.
+	}:
+	
+	\begin{theorem}[esistenza ed unicità del campo di spezzamento]
+		Esiste ed è unico, a meno di $K$-isomorfismo, il
+		campo di spezzamento di $\mathcal{F}$ su $K$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{definition}[coniugati di $\alpha$]
+		Se $\alpha \in \faktor{L}{K}$ è algebrico su $K$, si definiscono \textbf{coniugati} di $\alpha$ su $K$ le
+		radici di $\mu_\alpha$ su $K$.
+	\end{definition}
+	
+	I coniugati di $\alpha$ sono speciali in quanto
+	permettono di studiare
+	le $K$-immersioni\footnote{
+		Una $K$-immersione è un monomorfismo tra estensioni di $K$
+		che fissa $K$.
+	} di $K(\alpha)$ in $\overline{K}$, ossia
+	di studiare i campi $K$-isomorfi a $K(\alpha)$ presenti in
+	$\overline{K}$, come dimostra il:
+	
+	\begin{theorem}[$K$-immersioni da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$]
+		Sia $\alpha \in \faktor{L}{K}$ algebrico su $K$. Allora,
+		se $d$ è il numero di coniugati distinti di $\alpha$,
+		esistono esattamente $d$ $K$-immersioni di $K(\alpha)$
+		in $\overline{K}$ e sono tali da mandare $\alpha$ in
+		un suo altro coniugato.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Per considerare le $K$-immersioni di $K(\alpha)$ in
+		$K$, si considera prima l'isomorfismo:
+		\[ K(\alpha) \cong K[x] \quot{(\mu_\alpha)}. \]
+		Per il Primo teorema di isomorfismo, esistono
+		allora tanti omomorfismi da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$
+		quanti sono gli omomorfismi da $K[x]$ in $\overline{K}$ che
+		annullano $(\mu_\alpha)$. Un omomorfismo $\varphi$
+		da $K[x]$ a $\overline{K}$ che fissa $K$ è completamente determinato da
+		$\beta = \varphi(x)$ ed in particolare mappa $p \in K[x]$
+		a $p(\beta)$. Affinché allora $(\mu_\alpha)$
+		appartenga a $\Ker \varphi$, $\mu_\alpha(\beta) = 0$, e quindi
+		$\beta$ deve essere un coniugato di $\alpha$. Pertanto
+		gli omomorfismi da $K(\alpha)$ a $\overline{K}$ sono
+		tali per cui $\alpha$ venga mandato in $\beta$. Questi
+		omomorfismi
+		sono $K$-immersioni dal momento che l'unità viene preservata,
+		da cui la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	\hr
+	
+	\begin{definition}[polinomio separabile]
+		Un polinomio $p \in K[x]$ si dice \textbf{separabile}
+		se $p$ ha radici distinte in un suo campo di
+		spezzamento.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}[estensione separabile]
+		Un'estensione $\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{separabile}
+		se per ogni $\alpha \in L$, $\mu_{\alpha,K}$ è
+		un polinomio separabile.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}[campo perfetto]
+		Un campo si dice \textbf{perfetto} se ogni suo
+		polinomio irriducibile è separabile.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}
+		Le estensioni di un campo perfetto sono sempre separabili.
+		Infatti il polinomio minimo su $K$ è in particolare
+		un irriducibile, e quindi ha radici distinte.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{note}
+		Si assumerà d'ora in poi che \underline{\textit{$K$
+		è un campo perfetto}}, in modo tale da semplificare l'introduzione
+		alla teoria di Galois.
+	\end{note}
+	
+	\begin{remark}
+		Poiché $K$ è perfetto, le $K$-immersioni di $K(\alpha)$
+		sono esattamente $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{remark}
+		Se $\varphi_i : K(\alpha) \mono \overline{K}$ è un'estensione di $\varphi : K \mono \overline{K}$, allora
+		$\varphi_i(K(\alpha)) = K(\varphi_i(\alpha))$.
+	\end{remark}
+
+	Poiché i campi considerati sono perfetti, si possono
+	studiare in generale le estensioni di tutte le immersioni
+	di $K$ in $\overline{K}$, e quindi non solo le estensioni
+	dell'identità, come dimostra il:
+	
+	\begin{theorem}[estensioni di $\varphi$ da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$]
+		Sia $\alpha \in \faktor{L}{K}$ algebrico su $K$. Allora
+		per ogni $\varphi : K \mono \overline{K}$ esistono
+		esattamente $\deg_K \alpha$ estensioni $\varphi_i : K(\alpha) \mono K$ di $\varphi$, ossia monomorfismi per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$. Tali estensioni sono tali da mappare $\alpha$
+		nelle radici di $\varphi(\mu_\alpha)$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Per considerare le estensioni di $\varphi$ da $K(\alpha)$ in
+		$K$, si considera prima l'isomorfismo:
+		\[ K(\alpha) \cong K[x] \quot{(\mu_\alpha)}. \]
+		Per il Primo teorema di isomorfismo, esistono
+		allora tanti omomorfismi da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$
+		quanti sono gli omomorfismi da $K[x]$ in $\overline{K}$ che
+		annullano $(\mu_\alpha)$. Un omomorfismo $\varphi_i$
+		da $K[x]$ a $\overline{K}$ tale per cui $K$ viene mappato
+		tramite $\varphi$ è completamente determinato da
+		$\beta = \varphi_i(x)$ ed in particolare mappa $p \in K[x]$
+		alla valutazione del polinomio $q$, ottenuto mappando i
+		coefficienti di $p$ tramite $\varphi$, in $\beta$, detto
+		$\varphi(p)(\beta)$. Affinché allora $(\mu_\alpha)$
+		appartenga a $\Ker \varphi$, deve valere $\varphi(\mu_\alpha)(\beta) = 0$, e quindi
+		$\beta$ deve essere una radice di $\varphi(\mu_\alpha)$. 
+		Pertanto gli omomorfismi da $K(\alpha)$ a $\overline{K}$ sono
+		tali per cui $\alpha$ venga mandato nelle radici di
+		$\varphi(\mu_\alpha)$. Questi omomorfismi sono
+		ancora immersioni dal momento che l'unità viene
+		preservata da $\varphi_i$. Dal momento che $\varphi$ è
+		a sua volta un'immersione, $\varphi(\mu_\alpha)$ è
+		irriducibile dacché $\mu_\alpha$ lo è, ed inoltre
+		$\deg \varphi(\mu_\alpha) = \deg \mu_\alpha$. Pertanto,
+		poiché $K$ è un campo perfetto,
+		le radici di $\varphi(\mu_\alpha)$ sono $\deg_K \alpha$,
+		e quindi le estensioni di $\varphi$ sono esattamente
+		$\deg_K \alpha$.
+	\end{proof}
+	
+	A partire da questa proposizione, si può dimostrare un
+	risultato più generale sulle estensioni finite di $K$,
+	come mostra il fondamentale:
+	
+	\begin{theorem}[estensioni di $\varphi$ da $\faktor{L}{K}$ in $\overline{K}$]
+		Sia $[L : K] = n$. Allora per ogni $\varphi : K \mono \overline{K}$ immersione esistono esattamente $n$
+		estensioni $\varphi_i : L \to \overline{K}$ di $\varphi$,
+		ossia tali per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$.	
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Se $n = 1$, la tesi è del tutto ovvia.
+		Si dimostra facilmente il teorema per $n \geq 2$ applicando il principio di induzione ed il teorema precedente.
+		Se $n = 2$, $L$ è un'estensione semplice di $K$ e quindi
+		esiste $\alpha \in L \setminus K$
+		tale per cui $L = K(\alpha)$.
+		La tesi allora segue applicando il teorema precedente. \medskip
+		
+
+		Se $n > 2$, sia $\alpha \in L \setminus K$.
+		Sia $[K(\alpha) : K] = m$. Se
+		$m = n$, allora $L = K(\alpha)$ e la tesi
+		segue ancora applicando il teorema precedente. Se invece
+		$m < n$, sia $[L : K(\alpha)] = d$. Per il teorema precedente
+		esistono esattamente $m$ estensioni $\varphi_i$ di $\varphi$ da $K(\alpha)$ in $K$. Invece, per il teorema delle torri algebriche,
+		$n = md$, e quindi $d < n$. Applicando allora l'ipotesi
+		induttiva, ogni $\varphi_i$ può essere unicamente
+		esteso in $d$ modi da $K(\alpha)$ a $L$. Pertanto esistono
+		solamente $n = md$ estensioni di $\varphi$, concludendo
+		il passo induttivo. 
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/3. Estensioni normali e gruppo di Galois/main.tex

@@ -0,0 +1,258 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Estensioni normali e gruppo di Galois}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi.
+		Se non espressamente detto, si sottintenderà anche
+		che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono
+		estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si
+		intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$
+		come $K$-spazio vettoriale. Per scopi didattici, si
+		considerano solamente campi perfetti, e dunque estensioni che sono sempre separabili, purché
+		non esplicitamente detto diversamente.
+	\end{note} \bigskip
+
+	Si introduce adesso il fondamentale concetto di
+	\textit{estensione normale}, prerequisito per
+	introdurre a sua volta la teoria di Galois.
+	
+	\begin{definition}[estensione normale]
+		Un'estensione algebrica
+		$\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{normale}
+		se per ogni $K$-immersione $\varphi : L \to \overline{K}$
+		vale che $\varphi(L) = L$.
+	\end{definition}
+
+	Questa definizione viene immediatamente caratterizzata
+	attraverso i coniugati dei suoi elementi, come mostra
+	la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sono equivalenti i seguenti fatti:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $\faktor{L}{K}$ è un'estensione normale,
+			\item Per ogni $\alpha \in \faktor{L}{K}$, ogni coniugato
+			di $\alpha$ appartiene a $L$,
+			\item $\faktor{L}{K}$ è il campo di spezzamento
+			di una famiglia di polinomi di $K[x]$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si mostra l'equivalenza delle proprietà:
+
+		\begin{itemize}
+			\item[$(i)\implies (ii)\;$] Sia $\varphi : L
+			\to \overline{K}$ una $K$-immersione di $L$. Allora,
+			poiché $L$ è normale su $K$, $\varphi(L) = L$.
+			Sia $\alpha \in L \setminus K$.
+			Dal momento che $K \subseteq K(\alpha) \subseteq L$,
+			$\restr{\varphi}{K(\alpha)}$ è in particolare
+			una $K$-immersione di $K(\alpha)$, e quindi
+			deve associare ad $\alpha$ un suo coniugato.
+			Dal momento però che $\varphi(\alpha) \in L$,
+			questo significa che ogni coniugato di $\alpha$
+			appartiene ad $L$.
+			
+			\item[$(ii)\implies (iii)\;$] Sia $\mathcal{F}$
+			la famiglia dei polinomi minimi degli elementi
+			di $\faktor{L}{K}$. Si dimostra che
+			$L$ è il campo di spezzamento di $\mathcal{F}$ su
+			$K$. Chiaramente $\mathcal{F} \subseteq L$,
+			dal momento che $L$ contiene una radice per
+			ipotesi di ogni polinomio minimo, e per
+			(ii) contiene tutti i suoi coniugati (e dunque
+			tutte le radici di ogni polinomio della famiglia
+			$\mathcal{F}$). Inoltre vale anche
+			che $L \subseteq \mathcal{F}$, dal momento che
+			ogni elemento di $L$ è radice di un polinomio
+			di $\mathcal{F}$, per costruzione. Pertanto
+			$L = \mathcal{F}$.
+			
+			\item[$(iii)\implies (i)\;$] Sia $\varphi : L
+			\to \overline{K}$ una $K$-immersione di $L$. Sia
+			$\alpha \in L \setminus K$.Dal momento per che $L$
+			è campo di spezzamento di una famiglia $\mathcal{F}$ di polinomi,
+			$L$ è generato dalle radici di $\mathcal{F}$.
+			Per ogni $\alpha$ generatore di $L$, allora,
+			$\varphi$ deve mappare $\alpha$ ad un suo
+			coniugato, ancora appartenente ad $L$ dacché
+			$\mathcal{F}$ è campo di spezzamento. Pertanto
+			$\varphi(\alpha) \in L$. Allora, dal momento
+			che $L$ è generato dalle radici di $\mathcal{F}$,
+			ogni suo elemento viene ancora mappato ad un
+			elemento di $L$, e quindi $\faktor{L}{K}$ è
+			un'estensione normale.
+		\end{itemize}
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}
+		Per esempio, $\faktor{\QQ(\sqrt[3]{2})}{\QQ}$ non
+		è normale, dal momento che $\sqrt[3]{2} \zeta_3$,
+		un coniugato di $\sqrt[3]{2}$, non appartiene
+		a $\QQ(\sqrt[3]{2})$. Al contrario,
+		$\faktor{\QQ(\zeta_3)}{\QQ}$ è normale, dal
+		momento che l'unico coniugato di $\zeta_3$ è
+		$\zeta_3^2$. 
+	\end{remark}
+
+	Dimostriamo inoltre che le estensioni di grado $2$
+	sono sempre normali, come mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $\faktor{L}{K}$ un'estensione di grado $2$.
+		Allora $L$ è normale su $K$, se $\Char K \neq 2$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Chiaramente $L$ è un'estensione algebrica di $K$,
+		essendo finita. Sia\footnote{
+			$L$ è di grado $2$ su $K$, e quindi $K$ deve
+			essere un suo sottinsieme proprio.
+		} allora $\alpha \in L \setminus K$. Dal momento che
+		$\alpha \notin K$, $[K(\alpha) : K] = 2$, e quindi
+		$L = K(\alpha)$. Inoltre $\deg_K \alpha = 2$, pertanto,
+		poiché $\Char K \neq 2$,
+		esiste un polinomio irriducibile
+		$p(x) = x^2 + bx + c$ con $b$, $c \in K$
+		di cui $\alpha$ è radice. In particolare,
+		$\alpha$, $\overline{\alpha} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}$, dove
+		$\overline{\alpha}$ il coniugato di $\alpha$.
+		Allora $\alpha$, $\overline{\alpha} \in K(\sqrt{\Delta})$. Dal momento allora che
+		$L = K(\alpha) = K(\sqrt{\Delta})$, $L$ è
+		campo di spezzamento di $p \in K[x]$, e dunque,
+		per la proposizione precedente, è normale su $K$.
+	\end{proof}
+
+	Infine, si esplora la normalità su un diagramma di
+	estensioni.
+	
+	\begin{proposition}[normalità nel composto e nell'intersezione]
+		Siano $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ estensioni
+		normali. Allora $\faktor{LM}{K}$ e
+		$\faktor{L \cap M}{K}$ sono a loro volta normali.
+		
+		\[\begin{tikzcd}[column sep=small]
+			&& LM \\
+			\\
+			L &&&& M \\
+			\\
+			&& {L \cap M} \\
+			\\
+			&& K
+			\arrow[no head, from=5-3, to=7-3]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=3-5]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=3-1]
+			\arrow[no head, from=3-1, to=5-3]
+			\arrow[no head, from=5-3, to=3-5]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=5-3]
+		\end{tikzcd}\]
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Chiaramente $LM$ e $L \cap M$ sono estensioni
+		algebriche di $K$, in quanto sia $L$ che $M$ lo sono.
+		Sia $\varphi : LM \to \overline{K}$ una $K$-immersione
+		di $LM$. Allora $\varphi(LM) = \varphi(L(M)) =
+		L(\varphi(M)) = L(M) = LM$, e quindi $LM$ è normale
+		su $K$. Analogamente, se $\varphi : L \cap M \to \overline{K}$ è una $K$-immersione di $L \cap M$,
+		$\varphi(L \cap M) = \varphi(L) \cap \varphi(M) = L \cap M$, e quindi $L \cap M$ è normale su $K$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $K \subseteq F \subseteq L$ una torre di campi. Allora
+		$\faktor{L}{K}$ normale $\implies$ $\faktor{L}{F}$
+		normale.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Poiché $L$ è normale su $K$, $L$ è un campo di
+		spezzamento di una famiglia $\mathcal{F}$ di polinomi
+		di $K[x]$. A maggior ragione, allora,
+		$L$ è campo di spezzamento di $\mathcal{F}$ come
+		polinomi di $F[x]$, e quindi è normale anche su $F$.
+	\end{proof} \medskip
+
+	Si può adesso introdurre la teoria di Galois introducendo
+	prima l'insieme $\Aut_K L$ e poi il gruppo $\Gal(\faktor{L}{K})$.
+	
+	\begin{definition}
+		Si definisce l'insieme $\Aut_K L$ come l'insieme
+		delle $K$-immersioni di $L$, ossia delle immersioni
+		$\varphi : L \to \overline{K}$ tali per cui
+		$\restr{\varphi}{K} = \Id_K$.
+	\end{definition}
+
+	Se $L$ è normale su $K$, le immersioni di
+	$\Aut_K L$ possono essere ristrette al codominio su
+	$L$ (infatti $\varphi(L) = L$ per definizione) e sono
+	tali per cui mandano gli elementi di $L$ nei loro
+	coniugati su $K$. Inoltre, se $L$ è un'estensione finita
+	di $K$, la separabilità di $L$ garantisce che\footnote{
+		In generale, se $L$ è un'estensione finita e normale di $K$,
+		$\abs{\Aut_K L} = [L : K]$ se e solo se $L$
+		separabile su $K$.
+	}
+	$\abs{\Aut_K L} = [L : K]$. Pertanto, riducendoci a
+	considerare le estensioni normali e separabili di $K$,
+	ogni immersione, ristretta opportunamente sul codominio,
+	ammette un inverso, e quindi si può considerare
+	$\Aut_K L$ come gruppo sulla composizione, denotato
+	come $\Gal(\faktor{L}{K})$. Tali estensioni sono
+	speciali, e vengono pertanto dette \textit{di Galois}.
+	
+	\begin{definition}[estensioni di Galois]
+		Si dice che $\faktor{L}{K}$ è un'\textbf{estensione
+		di Galois} se $L$ è sia normale che separabile su $K$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition}[gruppo di Galois di $\faktor{L}{K}$]
+		Si definisce il gruppo di Galois di $\faktor{L}{K}$,
+		denotato come $\Gal(\faktor{L}{K})$, il gruppo
+		rispetto alla composizione
+		delle immersioni di $\Aut_K L$ ristrette sul codominio
+		a $L$.
+	\end{definition}
+
+	La maggior parte dei teoremi della teoria di Galois si
+	fondano particolarmente sul fatto che il gruppo di Galois
+	di un campo di spezzamento di un irriducibile $f$
+	agisce sulle radici di $f$, come mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $f(x) \in K[x]$ un irriducibile. Allora,
+		se $L$ è il suo campo di spezzamento,
+		$\Gal(\faktor{L}{K})$ agisce fedelmente e transitivamente sulle
+		radici di $L$. Pertanto $\Gal(\faktor{L}{K}) \mono S_n$,
+		dove $n = [L : K] = \deg f(x)$, e quindi
+		$n \mid [L : K] \mid n!$. 
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si consideri l'azione $\Xi : \Gal(\faktor{L}{K}) \to
+		S(\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \})$ tale per cui
+		$\varphi \xmapsto{\Xi} [\alpha_i \mapsto \varphi(\alpha_i)]$, dove\footnote{
+			Si ricorda l'ipotesi di $K$ campo perfetto;
+			pertanto $f(x)$ è separabile.
+		}
+		le $\alpha_i$ sono le radici distinte di $f(x)$.
+		Allora chiaramente $n \mid [L : K]$, dal momento
+		che $[K(\alpha_1) : K] = n$ e $K(\alpha_1) \subseteq L$. \medskip
+		
+		
+		Inoltre $\Xi$ è un'azione fedele dacché $\Ker \Xi$ è banale. Infatti
+		l'unica $K$-immersione che fissa ogni radice è
+		necessariamente
+		l'identità. Allora $\Xi$ è un'immersione di
+		$\Gal(\faktor{L}{K})$ in $S(\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \}) \cong S_n$, e quindi
+		$[L : K] = \abs{\Gal(\faktor{L}{K})} \mid n!$. Infine, esiste sempre una $K$-immersione di
+		$L$ che mappa un qualsiasi $\alpha_i$ ad un altro
+		$\alpha_j$, purché $i \neq j$. Pertanto $\Gal(\faktor{L}{K})$ agisce transitivamente sulle
+		radici di $f(x)$.
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/4. Il teorema dell'elemento primitivo e di corrispondenza di Galois/main.tex

@@ -0,0 +1,354 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il teorema dell'elemento primitivo e di corrispondenza di Galois}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi.
+		Se non espressamente detto, si sottintenderà anche
+		che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono
+		estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si
+		intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$
+		come $K$-spazio vettoriale. Per scopi didattici, si
+		considerano solamente campi perfetti, e dunque estensioni che sono sempre separabili, purché
+		non esplicitamente detto diversamente.
+	\end{note} \bigskip
+
+	Si dimostrano in questo documento i due teoremi più
+	importanti della teoria elementare delle estensioni di campo
+	e di Galois, il \textit{teorema dell'elemento primitivo} ed
+	il \textit{teorema di corrispondenza di Galois}.
+	
+	\begin{theorem}[dell'elemento primitivo]
+		Sia $\faktor{L}{K}$ un'estensione separabile e
+		finita. Allora $\faktor{L}{K}$ è semplice.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si distinguono i casi in cui $K$ è un campo finito
+		o infinito.
+		
+		\begin{itemize}
+			\item[($K$ finito)\;] Poiché $K$ è finito e
+			$L$ è un'estensione finita su $K$, a sua volta
+			$L$ è un campo finito. Pertanto $L^*$ è un
+			sottogruppo moltiplicativo finito di un campo, ed
+			è pertant ciclico. Se $\alpha \in L^*$ è allora
+			un generatore di $L^*$, vale che $L$ è uguale a
+			$K(\alpha)$. Pertanto $\faktor{L}{K}$ è un'estensione
+			semplice.
+
+			\item[($K$ infinito)\;] 
+			Si fornisce una dimostrazione costruttiva del
+			teorema, che permette di trovare algoritmicamente
+			un elemento primitivo per $L$.
+			Poiché $L$ è un'estensione
+			finita di $K$, $L$ è finitamente generato da
+			elementi algebrici su $K$. \medskip
+			
+			
+			Sia allora
+			$L = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$, dove
+			$\{ \alpha_i \}$ è una base di
+			$\faktor{L}{K}$ come $K$-spazio. È sufficiente
+			che $K(\alpha_1, \alpha_2)$ sia semplice affinché
+			anche $L$ lo sia. Infatti
+			si dimostrerebbe che $K(\alpha_1, \alpha_2) =
+			K(\gamma)$ per qualche $\gamma \in K(\alpha_1, \alpha_2)$,
+			e quindi $K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) =
+			K(\gamma, \alpha_3, \ldots, \alpha_n)$. Reiterando
+			allora il processo su $K(\gamma, \alpha_3)$ si
+			troverà un elemento primitivo, e così, induttivamente,
+			si dimostra che in particolare $L$ è semplice. Se
+			invece $n = 1$, la tesi è ovvia. \medskip
+			
+			
+			Sia allora, senza perdita di generalità, $L = K(\alpha, \beta)$. Sia $[L : K] = n$. Allora, poiché $L$
+			è un'estensione separabile su $K$, esistono
+			esattamente $n$ distinte $K$-immersioni di $L$,
+			dette $\varphi_i$.
+			Si definisca allora $p(x) \in \overline{K}[x]$ tale per cui:
+			\[ p(x) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x \varphi_i(\alpha) + \varphi_i(\beta) - x \varphi_j(\alpha) - \varphi_j(\beta)). \]
+			Si dimostra che $p(x)$ non è nullo. Infatti,
+			se lo fosse, almeno uno dei fattori della produttoria
+			dovrebbe essere nullo. In tal caso si avrebbe
+			$\varphi_i(\alpha) = \varphi_j(\alpha)$ e
+			$\varphi_i(\beta) = \varphi_j(\beta)$, e dunque
+			$\varphi_i \equiv \varphi_j$, benché $i \neq j$,
+			\Lightning. Allora $\deg p = \binom{n}{2} > 0$.
+			Dal momento che $K$ è infinito, esiste\footnote{
+				A livello algoritmico è sufficiente valutare
+				$p(x)$ in al più $n+1$ valori distinti in $K$
+				per ottenere un $x$ funzionale per la tesi.
+			} $t \in K$
+			tale per cui $p(t) \neq 0$. \medskip
+			
+			
+			Detto $\gamma = \alpha t + \beta$, $\gamma$
+			ha esattamente $n$ coniugati. Infatti
+			$\varphi_i(\gamma) \neq \varphi_j(\gamma)$ $\forall i < j$, altrimenti $\gamma$ annullerebbe $p(x)$. Pertanto
+			$[K(\gamma) : K] = n = [K(\alpha, \beta) : K]$,
+			da cui $K(\alpha, \beta) = K(\gamma)$, ossia la tesi.
+		\end{itemize}
+	\end{proof} \medskip
+
+
+	Si illustrano adesso i prerequisiti per dimostrare
+	il Teorema di corrispondenza di Galois:
+	
+	\begin{definition}
+		Sia $\faktor{L}{K}$ un'estensione di Galois. Allora,
+		se $H \leq \Gal(\faktor{L}{K})$, si definisce
+		$L^H = \Fix(H)$ come la sottoestensione di $L$ su
+		$K$ degli elementi fissati da ogni $\varphi \in H$,
+		ossia:
+		\[ L^H = \{ \alpha \in L \mid \varphi(\alpha) = \alpha \, \forall \varphi \in H \}. \]
+	\end{definition}
+
+	\begin{nlemma}
+		Sia $\faktor{L}{K}$ un'estensione di Galois. Allora,
+		se $H \leq \Gal(\faktor{L}{K})$ vale che:
+		\[ L^H = K \iff H = \Gal(\faktor{L}{K}). \]
+	\end{nlemma}
+
+	\begin{proof}
+		Sia $H = \Gal(\faktor{L}{K})$. Allora sicuramente
+		$K \subseteq L^H$. Si mostra che non può valere
+		$K \subsetneq L^H$. Se infatti $K \subsetneq L^H$,
+		varrebbe che $[L^H : K] > 1$, e quindi esisterebbe
+		una $K$-immersione non banale di $L^H$, detta
+		$\varphi : L^H \to \overline{K}$. In particolare
+		$\varphi$ può estendersi a una $K$-immersione di
+		$L$, detta $\tilde{\varphi}$. In particolare
+		$\tilde{\varphi} \in \Gal(\faktor{L}{K})$, e
+		quindi $\tilde{\varphi}$ deve fissare $L^H$ per
+		ipotesi. Tuttavia $\tilde{\varphi}$ ristretta
+		a $L^H$ non fissa $L^H$ per ipotesi, \Lightning.
+		Pertanto $L^H = K$. \medskip
+		
+		
+		Sia adesso $L^H = K$. Per il Teorema dell'elemento
+		primitivo, $\exists \alpha \in L^H$ tale per cui
+		$L = K(\alpha)$. Si consideri allora il
+		polinomio $p$ a coefficienti in $\overline{K}$ tale
+		per cui:
+		\[ p(x) = \prod_{\varphi \in H} (x - \varphi(\alpha)). \]
+		Poiché l'identità di $\Gal(\faktor{L}{K})$ appartiene
+		ad $H$, $(x-\alpha) \mid p(x)$, e quindi
+		$p(\alpha) = 0$. Inoltre $p$ è in realtà un polinomio
+		a coefficienti in $L^H$. Se infatti $\rho \in H$,
+		\[ \rho(p(x)) = \prod_{\varphi \in H} (x - \rho(\varphi(\alpha))) = p(x), \]
+		dove l'uguaglianza è dovuta al fatto\footnote{
+			In particolare è stato applicato l'\textit{embedding} di Cayley su $H$
+			attraverso l'elemento $\rho \in H$, e
+			quest'azione si è rivelata essere transitiva.
+		} che le
+		mappe $\{ \rho \circ \varphi \}$ sono esattamente le
+		mappe $\{ \varphi \}$. Pertanto $\abs{\Gal(\faktor{L}{K})} = [L : K] =
+		[K(\alpha) : K] \leq \deg p(x) = \abs{H}$ dal
+		momento che $\alpha$ è radice di $p(x)$. Dal momento
+		che vale anche che $\abs{\Gal(\faktor{L}{K})} \geq \abs{H}$, allora
+		$H = \Gal(\faktor{L}{K})$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $\sigma \in \Gal{\faktor{L}{K}}$. Allora,
+		se $H \leq \faktor{L}{K}$, vale che
+		$\sigma(L^H) = L^{\sigma H \sigma\inv}$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si osserva che:
+		\[ \sigma(L^H) = \{ \sigma(\alpha) \mid \alpha \in L, \, \varphi(\alpha) = \alpha \, \forall \varphi \in H \} = \{ \beta \in L \mid \varphi(\sigma\inv(\beta)) = \sigma\inv(\beta) \, \forall \varphi \in H \}, \]
+		dove si è sfruttato in modo cruciale il fatto che $\varphi \in H$ è bigettiva. Si
+		conclude allora che:
+		\[ \varphi(L^H) = \{ \beta \in L \mid \sigma(\varphi(\sigma\inv(\beta))) = \beta \, \forall \varphi \in H \} = L^{\sigma H \sigma\inv}. \]
+	\end{proof}
+
+	Si può adesso dimostrare il Teorema di corrispondenza di
+	Galois:
+	
+	\begin{theorem}[di corrispondenza di Galois]
+		Sia $\mathcal{E}$ l'insieme delle sottoestensioni
+		di $\faktor{L}{K}$ estensione di Galois. Sia
+		$\mathcal{G}$ l'insieme dei sottogruppi di
+		$\Gal(\faktor{L}{K})$. Allora $\mathcal{E}$ è
+		in bigezione con $\mathcal{G}$ attraverso
+		la mappa $\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{G}$
+		tale per cui:
+		\[ F \xmapsto{\alpha} \Gal(\faktor{L}{F}) \leq
+			\Gal(\faktor{L}{K}), \]
+		la cui inversa $\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{E}$
+		è tale per cui:
+		\[ H \xmapsto{\beta} L^H \subseteq L. \]
+		Inoltre, una sottoestensione $\faktor{F}{K}$ di
+		$\faktor{L}{K}$ è normale su $K$ se e solo se
+		il corrispondente sottogruppo di $\Gal(\faktor{L}{K})$
+		è normale. Infine, se $\faktor{F}{K}$ è normale,
+		$F$ è in particolare di Galois\footnote{
+			Si ricorda che si considera $K$ un campo perfetto.
+		} e vale che:
+		\[ \Gal(\faktor{F}{K}) \cong \faktor{\Gal(\faktor{L}{K})}{\Gal(\faktor{L}{F})}. \]
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Le mappe $\alpha$ e $\beta$ sono ovviamente ben definite. Si mostra direttamente che sono l'una
+		l'inversa dell'altra. Sia $H \leq \Gal(\faktor{L}{K})$.
+		Si osserva che:
+		\[ \alpha(\beta(H)) = \alpha(L^H) = \Gal(\faktor{L}{L^H}). \]
+		Sia $L^H = M$. Se si pone $K = \Gal(\faktor{L}{L^H})$, vale chiaramente che $H \leq K$ dal momento che $H$
+		fissa per definizione tutti gli elementi di 
+		$L^H$. Dacché allora $L^H = M$, per il lemma precedente
+		$H = K$, e quindi $\alpha(\beta(H)) = H$. \medskip
+		
+		
+		Analogamente si osserva che per $K \subseteq F \subseteq K$ vale che:
+		\[ \beta(\alpha(F)) = \beta(\Gal(\faktor{L}{F})) =
+			L^{\Gal(\faktor{L}{F})}. \]
+		Pertanto, detto $H = \Gal(\faktor{L}{F})$,
+		per il lemma precedente vale che $L^H = F$,
+		e quindi $\beta(\alpha(F)) = F$, dimostrando
+		la prima parte del teorema. \medskip
+		
+		
+		Sia ora $\faktor{F}{K}$ una sottoestensione normale
+		di $\faktor{L}{K}$. Allora, se $\varphi \in \Gal(\faktor{L}{F})$ e $\sigma \in \Gal(\faktor{L}{K})$,
+		$\tau = \sigma \circ \varphi \circ \sigma\inv$ è ancora
+		un elemento di $\faktor{L}{K}$. Pertanto,
+		$\tau$ si può restringere ad una $K$-immersione di $F$.
+		Poiché allora $F$ è normale su $K$, $\tau(F) = F$, e
+		quindi $\tau \in \Gal(\faktor{L}{F})$, e dunque
+		$\Gal(\faktor{L}{F}) \nsgeq \Gal(\faktor{L}{K})$. \medskip
+		
+		
+		Sia adesso $\Gal(\faktor{L}{F}) \nsgeq \Gal(\faktor{L}{K})$. Sia $\varphi$ una $K$-immersione
+		di $F$ su $\overline{K}$. Allora $\varphi$ può essere
+		estesa ad un elemento $\tilde{\varphi} \in \Gal(\faktor{L}{K})$. In particolare,
+		se $H = \Gal(\faktor{L}{F})$, $\varphi(F) =
+		\tilde{\varphi}(F) = L^{\varphi H \varphi\inv} = L^H = F$, dove si è sfruttata la normalità di $H$ in
+		$\Gal(\faktor{L}{K})$. Pertanto $F$ è normale su $K$,
+		e dunque, in quanto separabile per ipotesi, di Galois. \medskip
+		
+		
+		Si consideri adesso l'omomorfismo $\tau : \Gal(\faktor{L}{K}) \to \Gal(\faktor{F}{K})$ dato
+		dalla restrizione delle immersioni di $\Gal(\faktor{L}{K})$ su $F$. Chiaramente $\tau$
+		è una mappa surgettiva, dal momento che ogni $K$-immersione di $\Gal(\faktor{F}{K})$ può estendersi
+		a $K$-immersione di $\Gal(\faktor{L}{K})$. Inoltre
+		vale che $\Ker \tau$ è esattamente il sottogruppo
+		di $\Gal(\faktor{L}{K})$ che fissa $F$, ossia
+		$\Gal(\faktor{L}{F})$. Applicando allora il Primo
+		teorema di isomorfismo vale che:
+		\[ \Gal(\faktor{F}{K}) \cong \faktor{\Gal(\faktor{L}{K})}{\Gal(\faktor{L}{F})}, \]
+		da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{example}[studio dei sottocampi di $\QQ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \quot \QQ$]
+		Dal momento che $L := \QQ(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ è
+		il campo di spezzamento dei polinomi $x^2 - 2$
+		e $x^2 - 3$, tale estensione è normale su $\QQ$,
+		e quindi di Galois. Inoltre, dal momento che
+		$\sqrt{3} \notin \QQ(\sqrt{2})$,
+		$[L : \QQ] = 2 \cdot 2 = 4$, dal Teorema delle
+		torri algebriche. Pertanto $\Gal(\faktor{L}{\QQ})$
+		è un gruppo di ordine $4$. \medskip
+		
+		
+		Si definisce $\varphi_{ij}$ con $i$, $j \in \{0, 1\}$
+		come le $\QQ$-immersioni di $L$
+		tali per cui $\sqrt{2} \xmapsto{\varphi_{ij}} (-1)^i \sqrt{2}$ e analogamente $\sqrt{3} \xmapsto{\varphi_{ij}} (-1)^j \sqrt{3}$. Dal momento
+		che le varie $\varphi_{ij}$ sono distinte,
+		che ogni $\varphi_{ij}$ ha ordine $2$ e che ogni
+		gruppo di ordine $4$ è abeliano (o, più semplicemente,
+		le varie $\varphi_{ij}$ commutano tra loro),
+		vale che $\Gal(\faktor{L}{\QQ}) \cong \ZZmod2 \times \ZZmod2$. \medskip
+		
+		
+		Ogni sottoestensione di $L$ ha
+		grado su $\QQ$ divisore di $[L : \QQ]$, e quindi
+		ha grado $1$, $2$ o $4$. Se il grado è $4$,
+		la sottoestensione considerata è proprio $L$, mentre
+		se il grado è $1$ la sottoestensione è $\QQ$ stesso.
+		Si studiano ora le sottoestensioni di grado $2$.
+		Tali sottoestensioni corrispondono ai sottogruppi
+		di $\Gal(\faktor{L}{\QQ})$ di ordine $4/2 = 2$. Inoltre,
+		a priori, essendo $\Gal(\faktor{L}{\QQ})$ abeliano, tutte
+		le sottoestensioni sono normali su $\QQ$. \medskip
+		
+		
+		Ogni sottogruppo di ordine $2$ è ciclico e generato
+		da elementi di ordine $2$, e quindi, mantenendo
+		la corrispondenza con $\ZZmod2 \times \ZZmod2$,
+		da $(1,0)$, $(0,1)$ o $(1,1)$. Pertanto esistono
+		esattamente $3$ sottoestensioni distinte di grado $2$
+		su $\QQ$. \medskip
+		
+		
+		In particolare queste sottoestensioni corrispondono
+		ai sottocampi di $L$ fissati da $\varphi_{10}$,
+		$\varphi_{01}$ e $\varphi_{11}$, ossia
+		$\QQ(\sqrt{3})$, $\QQ(\sqrt{2})$ e $\QQ(\sqrt{6})$. \medskip
+		
+		
+		Inoltre $\alpha := \sqrt{2} + \sqrt{3}$ è un elemento primitivo
+		di $L$, dal momento che non può appartenere né a
+		$\QQ(\sqrt{3})$ né a $\QQ(\sqrt{2})$ (altrimenti
+		tali sottoestensioni coinciderebbero con $L$, \Lightning), e così nemmeno a $\QQ(\sqrt{6})$ (altrimenti $\alpha$ si scriverebbe
+		come combinazione lineare di $1$ e $\sqrt{6}$,
+		\Lightning). Alternativamente $\alpha$
+		ha esattamente $4$ coniugati tramite
+		le varie\footnote{
+			Tali $4$ coniugati sono distinti dal momento
+			che $\{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\}$ è
+			una base di $L$ come $\QQ$-spazio.
+		} $\varphi_{ij}$, e quindi ha grado $4$ su
+		$\QQ$. In particolare vale che:
+		\[ \mu_\alpha(x) = \prod_{i=0}^1 \prod_{j=0}^1 (x + (-1)^i \sqrt{2} + (-1)^j \sqrt{3}) = x^4 - 10x^2 + 1. \]
+		
+		In modo analogo si ottengono i polinomi minimi
+		di $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ su $\QQ(\sqrt2)$,
+		$\QQ(\sqrt3)$ e $\QQ(\sqrt6)$, rispettivamente
+		$x^2-2\sqrt{2}x-1 = (x-\sqrt{2})^2 - 3$,
+		$x^2-2\sqrt{3}x-1 = (x-\sqrt{3})^2 - 2$ e
+		$x^2-(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = x^2 - 2\sqrt{6} - 5$.
+		Tutte le informazioni sono infine raccolte nel seguente
+		diagramma di estensioni:
+		\[\begin{tikzcd}[column sep=2.25em]
+			&& {\overbrace{\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})}^{\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt3)}} \\
+			\\
+			{\mathbb{Q}(\sqrt{2})} && {\mathbb{Q}(\sqrt6)} && {\mathbb{Q}(\sqrt3)} \\
+			\\
+			&& {\mathbb{Q}}
+			\arrow["2"{pos=0.3}, no head, from=1-3, to=3-1]
+			\arrow["2"', no head, from=1-3, to=3-3]
+			\arrow["2"', no head, from=1-3, to=3-5]
+			\arrow["2"', no head, from=3-3, to=5-3]
+			\arrow["2"{description}, no head, from=3-5, to=5-3]
+			\arrow["2"{description}, no head, from=3-1, to=5-3]
+			\arrow["{\small x^4 - 10x^2 + 1}", curve={height=-24pt}, no head, from=1-3, to=5-3]
+			\arrow["{x^2-3}", curve={height=-12pt}, no head, from=3-5, to=5-3]
+			\arrow["{x^2-2}"', curve={height=12pt}, no head, from=3-1, to=5-3]
+			\arrow["{x^2-6}"'{pos=0.3}, shift left, curve={height=12pt}, no head, from=3-3, to=5-3]
+			\arrow["{x^2-2\sqrt3\,x+1}", curve={height=-18pt}, no head, from=1-3, to=3-5]
+			\arrow["{x^2-2\sqrt2\,x-1}"', curve={height=18pt}, no head, from=1-3, to=3-1]
+			\arrow["{\small x^2-2\sqrt6-5}"'{pos=0.8}, curve={height=12pt}, no head, from=1-3, to=3-3]
+		\end{tikzcd}\]
+		Tramite la corrispondenza di Galois abbiamo fatto
+		corrispondere questo diagramma al seguente diagramma
+		di gruppi:
+		\[\begin{tikzcd}
+			& {\{ \text{Id}_L \equiv \varphi_{00} \}} \\
+			\\
+			{\{ \varphi_{00}, \varphi_{01} \}} & {\{ \varphi_{00}, \varphi_{11} \}} & {\{\varphi_{00}, \varphi_{10}\}} \\
+			\\
+			& {\{\varphi_{01}, \varphi_{10}, \varphi_{01}, \varphi_{11}\}}
+			\arrow[no head, from=1-2, to=3-2]
+			\arrow[no head, from=1-2, to=3-1]
+			\arrow[no head, from=1-2, to=3-3]
+			\arrow[no head, from=3-2, to=5-2]
+			\arrow[no head, from=3-3, to=5-2]
+			\arrow[no head, from=3-1, to=5-2]
+		\end{tikzcd}\]
+	\end{example}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/5. Il discriminante polinomiale e la formula di Cardano/main.tex

@@ -0,0 +1,194 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il discriminante polinomiale e la formula di Cardano}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi.
+		Se non espressamente detto, si sottintenderà anche
+		che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono
+		estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si
+		intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$
+		come $K$-spazio vettoriale. Per scopi didattici, si
+		considerano solamente campi perfetti, e dunque estensioni che sono sempre separabili, purché
+		non esplicitamente detto diversamente.
+	\end{note} \bigskip
+	
+	In questo documento si illustra il \textit{discriminante polinomiale} e
+	le sue principali applicazioni nella teoria di Galois.
+	
+	\begin{definition}[discriminante polinomiale]
+		Sia $p \in K[x]$. Se $\deg p = n$ e $a_1$, ..., $a_n \in \overline{K}$ sono le radici
+		di $p$, si definisce il \textbf{discriminante polinomiale} $\disc p$ in modo
+		tale che:
+		\[ \disc p = \prod_{i < j} (a_i - a_j)^2 \in K[a_1, \ldots, a_n]. \]
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}[radici multiple di $p$ e formule di Viète]
+		Si verifica facilmente che $p$ ha radice multiple se e solo se $\disc p = 0$.
+		Altrettanto semplicemente si verifica che $\disc p$ è un polinomio simmetrico
+		in $a_1$, ..., $a_n$. Pertanto, per il Teorema fondamentale dei polinomi simmetrici,
+		$\disc p$ può esprimersi\footnote{
+			Un algoritmo per calcolare efficacemente un'espressione di $\disc p$ in
+			questo senso è reperibile su \url{https://git.phc.dm.unipi.it/g.videtta/scritti/src/branch/main/Algebra/Notebook/1.\%20Algoritmo\%20di\%20rappresentazione\%20dei\%20polinomi\%20simmetrici}.
+		} come elemento di $K[e_1, \ldots, e_n]$,
+		dove $e_i := e_i(a_1, \ldots, a_n)$ è il polinomio simmetrico elementare
+		negli $a_i$. Per le formule di Viète, i vari $e_i$ possono esprimersi tramite
+		i coefficienti $c_i$ di $p(x)$ secondo la seguente relazione:
+		\[ c_i = (-1)^{n-i} a e_{n-i}, \]
+		dove si pone $e_0 := 1$. Inoltre, l'annullamento di $\disc p$ è indipendente
+		dal coefficiente di testa del polinomio, dal momento che polinomi associati
+		condividono le stesse radici. \medskip
+		
+
+		Per esempio, per $n = 2$, se $p(x) = a x^2 + b x + c$ con $a \neq 0$, vale
+		che:
+		\[ \disc p(x) = \prod_{i < j} (a_i - a_j)^2 = a_1^2 + a_2^2 - 2 a_i a_j = (a_1 + a_2)^2 - 4 a_i a_j = e_1^2 - 4 e_2, \]
+		e dunque, poiché $b = c_1 = (-1)^{2-1} a e_{2-1} = - a e_1$ e
+		$c = c_0 = (-1)^2 a e_2 = a e_2$, vale che\footnote{
+			In generale, compare sempre un termine $a^{2n-2}$ al denominatore
+			di $\disc p(x)$. Pertanto, in letteratura si definisce $\disc p(x)$
+			anche come il prodotto tra $a^{2n-2}$ e il discriminante qui definito.
+			In tal caso, il discriminante di un polinomio di secondo grado è
+			esattamente $\Delta$. 
+		}:
+		\[ \disc p(x) = \left( -\frac{b}a \right)^2 - 4 \frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - 4 \frac{ac}{a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2}, \]
+		dove $\Delta$ è l'usuale discriminante delle equazioni di secondo grado. Pertanto,
+		poiché\footnote{
+			Per quanto detto prima, $a$ non svolge alcun ruolo nel determinare se $p$
+			ha radici multiple.
+		} $a \neq 0$, $p$ ha radici multiple se e solo se $\disc p = 0$, e quindi
+		se e solo se $\Delta = 0$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{remark}[utilizzo della matrice di Vandermonde]
+		Un'espressione di $\disc p$ può anche essere calcolata attraverso le matrici
+		di Vandermonde. Infatti, se $M$ è la matrice di Vandermonde di $a_1$, ..., $a_n$
+		radici di $p$, vale che:
+		\[ M = \Matrix{1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}}, \]
+		e quindi:
+		\[ \det(M) = \prod_{i < j} (a_i - a_j). \]
+		Pertanto vale che:
+		\[ \det(M^2) = \det(M M^T) = \prod_{i < j} (a_i - a_j)^2 = \disc p(x). \]
+	\end{remark}
+	
+	\begin{remark}[invarianza di $\disc p$ e trasformazione di Tschirnhaus]
+		Si osserva facilmente che $\disc p$ è invariante per traslazioni. Infatti,
+		se si considera $p(x+a)$ con $a \in K$ e $a_1$, ..., $a_n \in \overline{K}$ sono
+		radici di $p(x)$, le radici di $p(x+a)$ sono $a_1 - a$, ..., $a_n - a$. Pertanto
+		vale che:
+		\[ \disc p(x+a) = \prod_{i<j} (a_1 - a - a_2 + a)^2 = \prod_{i<j} (a_1 - a_2)^2 = \disc p(x). \]
+		Sia ora $p(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \ldots + c_1 x + c_0$. Dalle formule
+		di Viète, se $a_1$, ..., $a_n$ sono le radici di $p(x)$, vale che:
+		\[ c_{n-1} = -c_n (a_1 + \ldots + a_n) \implies \left(a_1 + \frac{c_{n-1}}{n c_n}\right) + \ldots +  \left(a_n + \frac{c_{n-1}}{n c_n}\right) = 0. \]
+		Si può allora considerare la \textit{trasformazione di Tschirnhaus} $\tau : K[x] \to K[x]$ tale per cui $p(x) \xmapsto{\tau} p(x +  \frac{c_{n-1}}{n c_n})$,
+		$\tau(p)$ ha come radici esattamente i vari $a_i + \frac{c_{n-1}}{n c_n}$, e
+		quindi, sempre per le formule di Viète, è tale per cui il coefficiente di $x^{n-1}$
+		è nullo. Dal momento che $\disc p$ è invariante per traslazione,
+		calcolare $\disc \tau(p)$ può risultare più semplice e dunque più efficiente.
+		In letteratura, applicare la trasformazione di Tschirnhaus su un polinomio
+		si dice ``deprimerlo'', e un polinomio tale per cui $c_{n-1} = 0$ è
+		detto \textit{polinomio depresso}. Si osserva facilmente che deprimere un
+		polinomio depresso non ha alcun effetto e la mappa restituisce il polinomio
+		depresso di partenza. In particolare vale che $\tau^2 = \tau$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{remark}
+		Sia $p \in K[x]$ di grado $n$ e siano $a_1$, \ldots, $a_n$ le sue radici.
+		Se allora $\sigma \in S(\{a_1, \ldots, a_n\})$, vale che:
+		\[ \prod_{i < j} (\sigma(a_i) - \sigma(a_j)) = \prod_{i < j} \frac{\sigma(a_i) - \sigma(a_j)}{a_i - a_j} \prod_{i < j} (a_i - a_j) = \sgn(\sigma) \prod_{i < j} (a_i - a_j),  \]
+		dove si identifica tale segno come $\sgn(\varphi(\sigma))$, dove
+		$\varphi$ è l'azione di del gruppo di Galois di $p$ sulle radici di $p$.
+		Pertanto, se $p$ è irriducibile e separabile, e $\sigma \in G := \Gal(L / K)$ dove
+		$L = K(a_1, \ldots, a_n)$, vale che:
+		\[ \sigma(\disc p) = \disc p, \]
+		e quindi $\disc p \in L^G = K$.
+	\end{remark}
+	
+	L'utilità del discriminante polinomiale per la teoria di Galois è sancita dalla
+	seguente proposizione:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $p$ un polinomio irriducibile e separabile di grado $n$. Allora, se $L$ è il suo
+		campo di spezzamento su $K$, $\Gal\left(\faktor{L}{K}\right) \mono A_n$ se e
+		solo se $\disc p$ è un quadrato\footnote{
+			Questa proposizione è ancora vera utilizzando il discriminante moltiplicato
+			per $a^{2n-2}$, e quindi vale ancora per la definizione alternativa di
+			discriminante.
+		} in $K$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $G := \Gal\left(\faktor{L}{K}\right)$ e sia $\sigma \in G$. Allora $G \mono A_n$ se e solo se
+		$\sgn(\sigma) = 1$. Si consideri la seguente identità:
+		\[ \sigma\left(\prod_{i < j} (a_i - a_j)\right) =  \sgn(\sigma) \prod_{i < j} (a_i - a_j). \]
+		Poiché gli elementi fissati da tutte le $\sigma \in G$ sono esattamente gli
+		elementi di $K$, se $G \mono A_n$, $\sgn(\sigma)$ è $1$, e quindi
+		$\left(\prod_{i < j} (a_i - a_j)\right) \in K$. Pertanto, $\disc p$ è un
+		quadrato in $K$, essendo $\left(\prod_{i < j} (a_i - a_j)\right)$ una sua
+		radice quadrata. Analogamente, se $\disc p$ è un quadrato in $K$,
+		$\left(\prod_{i < j} (a_i - a_j)\right) \in K$, e quindi
+		$\sgn(\sigma) = 1$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}[discriminanti polinomiali per $n \leq 3$]
+		Si illustrano i discriminanti polinomiali per alcune specie di polinomio:
+		\begin{itemize}
+			\item se $p(x) = x-a$, $\disc p(x) = 1$, essendo il prodotto vuoto;
+			\item se $p(x) = ax^2 + bx + c$, $\disc p = \frac{\Delta}{a^2}$;
+			\item se $p(x) = x^3 + px + q$, $\disc p = -4p^3 - 27 q^2$.
+		\end{itemize}
+	\end{remark}
+
+	\begin{remark}[classificazione dei gruppi di Galois per $\deg p = 3$]
+		Sia $p \in K[x]$ un polinomio di grado $3$ irriducibile e separabile. Sia
+		$L$ il campo di spezzamento di $p$ su $K$ e $G := \Gal\left(\faktor{L}{K}\right)$. Si osserva che $3$ divide $\abs{G}$ dal momento che, se $\alpha$ è una radice di $p$,
+		$[K(\alpha) : K] = 3 \mid [L : K] = \abs{G}$. Allora,
+		se $\disc p$ è un quadrato in $K$, $G \mono A_3$, e dunque, per cardinalità,
+		$G \cong A_3$. Se invece $\disc p$ non è quadrato in $K$, $G$ ha
+		cardinalità $6$, e dunque
+		$G$ è obbligatoriamente isomorfo a $S_3$ stesso. \medskip
+		
+		
+		Pertanto vale che:
+		\[  \Gal\left(\faktor{L}{K}\right) \cong \begin{cases}
+			A_3 & \se \disc p \text{ è quadrato in $K$}, \\
+			S_3 & \altrimenti.
+		\end{cases} \]
+	\end{remark} \bigskip
+	
+	
+	Si illustra adesso il metodo risolutivo delle equazioni di terzo grado,
+	tramite la cosiddetta \textit{formula di Cardano}. Innanzitutto, si
+	assume che $p(x)$ sia un polinomio \textit{depresso} di terzo grado
+	della forma $x^3 + px + q$ (altrimenti è sufficiente applicare la
+	trasformazione di Tschirnhaus a $p(x)$, ricavare le soluzioni e poi
+	tornare indietro). \medskip
+	
+	
+	Sia $x = u + v$. Allora $p(u + v) = u^3 + v^3 + 3 u^2 v + 3 u v^2 + p(u + v) + q =
+	(u^3 + v^3 + q) + (3uv + p)(u + v)$. Si pone allora il seguente sistema di
+	equazioni:
+	\[ \begin{cases}
+		u^3 + v^3 = -q, \\
+		uv = -\frac{p}{3} \implies u^3 v^3 = - \frac{p^3}{27}.
+	\end{cases} \]
+	Infatti, se il precedente sistema ammette soluzione, $p(x) = p(u + v)$ si annulla e
+	$u + v$ è soluzione. \medskip
+	
+	
+	Dal momento che abbiamo sia la somma che il prodotto di $u^3$ e $v^3$, è possibile
+	ricavare queste due quantità risolvendo l'equazione di secondo grado
+	associata:
+	\[ 0 = y^2 - (u^3 + v^3) y + u^3 v^3 = y^2 + q y - \frac{p^3}{27}. \]
+	Una volta ottenuti sia $u^3$ che $v^3$, prendendone la radice cubica, si
+	otterrà dunque una radice di $p(x)$. In particolare varrà che:
+	\[ y_{1,2} = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2} = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}, \]
+	e quindi:
+	\[ x = u + v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}. \]
+	Le altre due soluzioni di $p(x)$ si possono poi computare facilmente riducendosi
+	a considerare il polinomio $p(x) / (x-\alpha)$, dove $\alpha$ è la soluzione
+	ottenuta.
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.tex

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+\title{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}
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+	\begin{center}
+		\Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}} \\
+	\end{center}
+	\begin{multicols}{3}
+		\setlength{\premulticols}{1pt}
+		\setlength{\postmulticols}{1pt}
+		\setlength{\multicolsep}{1pt}
+		\setlength{\columnsep}{2pt}
+		
+		\section{Campi e omomorfismi}
+		
+		Si dice \textbf{campo} un anello commutativo non banale
+		$K$ che è
+		contemporaneamente anche un corpo. Si dice
+		\textbf{omomorfismo di campo} tra due campi $K$ ed $L$
+		un omomorfismo di anelli. Dal momento che un omomorfismo
+		$\varphi$ è tale per cui $\Ker \varphi$ è un ideale
+		di $K$ con $1 \notin \Ker \varphi$, deve per forza
+		valere $\Ker \varphi = \{0\}$, e quindi ogni omomorfismo
+		di campi è un'immersione. \medskip
+		
+		
+		\section{Caratteristica di un campo}
+		
+		Dato l'omomorfismo $\zeta : \ZZ \to K$ completamente
+		determinato dalla relazione $1 \xmapsto{\zeta} 1_K$,
+		si definisce \textbf{caratteristica di $K$}, detta
+		$\Char K$, il
+		generatore non negativo di $\Ker \zeta$. In particolare
+		$\Char K$ è $0$ o un numero primo. Se $\Char K$ è zero,
+		$\zeta$ è un'immersione, e quindi $K$ è un campo infinito,
+		e in particolare vi si immerge anche $\QQ$. \medskip
+		
+		
+		Tuttavia non è detto che $\Char K = p$ implichi che $K$ è
+		finito. In particolare $\ZZ_p(x)$, il campo delle funzioni
+		razionali a coefficienti in $\ZZ_p$, è un campo infinito
+		a caratteristica $p$.
+		
+		
+		\subsection{Proprietà dei campi a caratteristica $p$}
+		
+		Se $\Char K = p$, per il Primo
+		teorema di isomorfismo per anelli, $\ZZmod{p}$ si immerge
+		su $K$ tramite la proiezione di $\zeta$; pertanto
+		$K$ contiene una copia isomorfa di $\ZZmod{p}$. Per
+		campi di caratteristica $p$, vale il Teorema del
+		binomio ingenuo, ossia:
+		\[ (a + b)^p = a^p + b^p, \]
+		estendibile anche a più addendi.
+		In particolare, per un campo $K$ di caratteristica $p$,
+		la mappa $\Frob : K \to K$ tale per cui $a \xmapsto{\Frob} a^p$
+		è un omomorfismo di campi, ed in particolare è un'immersione
+		di $K$ in $K$, detta \textbf{endomorfismo di Frobenius}. Se $K$ è un campo finito, $\Frob$ è anche
+		un isomorfismo. Si osserva che per gli elementi della
+		copia $K \supseteq \FF_p \cong \ZZmod{p}$ vale
+		$\restr{\Frob}{\FF_p} = \Id_{\FF_p}$, e quindi
+		$\Frob$ è un elemento di $\Gal(K / \FF_p)$. 
+		
+		
+		\section{Campi finiti}
+		
+		
+		Per ogni $p$ primo e $n \in \NN^+$ esiste un campo finito
+		di ordine $p^n$. In particolare, tutti i campi finiti di
+		ordine $p^n$ sono isomorfi tra loro, possono essere visti
+		come spazi vettoriali di dimensione $n$ sull'immersione di $\ZZmod{p}$ che contengono,
+		e come campi di spezzamento di $x^{p^n}-x$
+		su tale immersione. Tali campi hanno obbligatoriamente
+		caratteristica $p$, dove $\abs{K} = p^n$. Esiste
+		sempre un isomorfismo tra due campi finiti che manda la copia isomorfa di $\ZZmod{p}$ di uno nell'altra. \medskip
+		
+		
+		Poiché i campi finiti di medesima cardinalità sono isomorfi,
+		si indicano con $\FF_p$ e $\FF_{p^n}$ le strutture
+		algebriche di tali campi. In particolare con
+		$\FF_{p^n} \subseteq \FF_{p^m}$ si intende che
+		esiste un'immersione di un campo con $p^n$ elementi in
+		uno con $p^m$ elementi, e analogamente si farà con
+		altre relazioni (come l'estensione di campi)
+		tenendo bene in mente di star
+		considerando tutti i campi di tale ordine. \medskip
+		
+		
+		Vale la relazione $\FF_{p^n} \subseteq \FF_{q^m}$
+		se e solo se $p=q$ e $n \mid m$. Conseguentemente,
+		l'estensione minimale per inclusione comune a
+		$\FF_{p^{n_1}}$, ..., $\FF_{p^{n_i}}$ è
+		$\FF_{p^m}$ dove $m := \mcm(n_1, \ldots, n_i)$. Pertanto
+		se $p \in \FF_{p^n}[x]$ si decompone in fattori irriducibili
+		di grado $n_1$, \ldots, $n_i$, il suo campo di spezzamento
+		è $\FF_{p^m}$. Inoltre, $x^{p^n}-x$ è in $\FF_p$ il
+		prodotto di tutti gli irriducibili di grado divisore
+		di $n$.
+		
+		\section{Proprietà dei polinomi di $K[x]$}
+		
+		Per il Teorema di Lagrange sui campi, ogni polinomio
+		di $K[x]$ ammette al più tante radici quante il suo grado.
+		Come conseguenza pratica di questo teorema, ogni sottogruppo
+		moltiplicativo finito di $K$ è ciclico. Pertanto
+		$\FF_{p^n}^* = \gen{\alpha}$ per $\alpha \in \FF_{p^n}$,
+		e quindi $\FF_{p^n} = \FF_p(\alpha)$, ossia
+		$\FF_{p^n}$ è sempre un'estensione semplice su $\FF_p$. Si dice
+		\textbf{campo di spezzamento} di una famiglia $\mathcal{F}$
+		di polinomi di $K[x]$ un sovracampo minimale per
+		inclusione di $K$ che fa sì che ogni polinomio di $\mathcal{F}$ si decomponga in fattori lineari. I campi
+		di spezzamento di $\mathcal{F}$ sono sempre
+		$K$-isomorfi tra loro. \medskip
+		
+		
+		Un polinomio irriducibile si dice separabile se ammette
+		radici distinte. Per il criterio della derivata,
+		$p \in K[x]$ ammette radici multiple se e solo se
+		$\MCD(p, p')$ non è invertibile, dove $p'$ è la derivata
+		formale di $p$. Se $p \in K[x]$ e $n := \deg p$, il campo di spezzamento $L$ di $p$ è tale per cui
+		$[L : K] \leq n!$. Se $p$ è irriducibile e separabile, vale anche che $n \mid [L : K] \mid n!$, come
+		conseguenza dell'azione del relativo gruppo di
+		Galois sulle radici. \medskip
+		
+		
+		Se $p$ è irriducibile in $K[x]$, $(p)$ è un ideale
+		massimale, e $K[x] / (p)$ è un campo che
+		ne contiene una radice, ossia $[x]$. In
+		particolare $K$ si immerge in $K[x] / (p)$,
+		e quindi tale campo può essere identificato come
+		un'estensione di $K$ che aggiunge una radice di $p$.
+		Se $K$ è finito, detta $\alpha$ la radice aggiunta
+		all'estensione, $L := K[x] / (p) \cong K(\alpha)$ contiene
+		tutte le radici di $p$ (ed è dunque il suo campo
+		di spezzamento). Infatti detto $[L : \FF_p] = n$,
+		$[x]$ annulla $x^{p^n}-x$ per il Teorema di Lagrange
+		sui gruppi, e quindi $p$ deve dividere $x^{p^n}-x$;
+		in tal modo $p$ deve spezzarsi in fattori lineari,
+		e quindi ogni radice deve già appartenere ad $L$.
+		In particolare, ogni estensione finita e semplice
+		di un campo finito è normale, e quindi di Galois. \medskip
+		
+		\section{Estensioni di campo}
+		
+		
+		Si dice che $L$ è un'estensione di $K$, e si indica
+		con $L / K$, se $L$ è un sovracampo di $K$,
+		ossia se $K \subseteq L$. Si indica con $[L : K] = \dim_K L$ la
+		dimensione di $L$ come $K$-spazio vettoriale. Si
+		dice che $L$ è un'estensione finita di $K$ se $[L : K]$
+		è finito, e infinita altrimenti. Un'\textbf{estensione finita}
+		di un campo finito è ancora un campo finito. Un'estensione
+		è finita se e solo se è finitamente generata da elementi algebrici. Una $K$-immersione è un omomorfismo di campi
+		iniettivo da un'estensione di $K$ in un'altra estensione di $K$ che
+		agisce come l'identità su $K$. Un $K$-isomorfismo è
+		una $K$-immersione che è isomorfismo. \medskip
+		
+		
+		\subsection{Composto di estensioni e teorema delle torri algebriche}
+		
+		
+		Date estensioni $L$ e $M$ su $K$, si definisce
+		$LM = L(M) = M(L)$ come il \textbf{composto} di $L$
+		ed $M$, ossia come la più piccola estensione di $K$ che
+		contiene sia $L$ che $M$. In particolare, $LM$
+		può essere visto come $L$-spazio vettoriale con
+		vettori in $M$, o analogamente come $M$-spazio con
+		vettori in $L$. \medskip
+		
+		
+		Per il Teorema delle torri algebriche, $L / K$ è
+		un'estensione finita se e solo se $L / F$ e
+		$F / K$ lo sono (ossia la finitezza vale strettamente
+		per torri). Inoltre, se $\basis_{L/F}$ e $\basis_{F/K}$
+		sono basi di $L/F$ e $F/K$, allora
+		$\basis_{L/F} \basis_{F/K}$ è una base di
+		$L / K$, dove i suoi elementi sono i prodotti tra
+		i vari elementi delle due basi. Infine
+		se $L / K$ è finita, allora
+		anche $LM / M$ è finita, e vale che $[LM : M] \leq [L : K]$ (infatti una base di $L / K$ può essere trasformata
+		in un insieme di generatori di $LM / M$), e quindi
+		la finitezza vale per \textit{shift}. Sempre per
+		il Teorema delle torri algebriche, se $L / K$ è
+		finito, allora vale che:
+		\[ [L : K] = [L : F] [F : K]. \]
+		Se $L / K$ e $M / K$ sono finite, anche $LM / K$ lo
+		è (infatti la finitezza vale sia per torri che per \textit{shift}). In particolare, vale che:
+		\[ \mcm([L : K], [M : K]) \mid [LM : K]. \]
+		Se $[L : K]$ ed $[M : K]$ sono coprimi tra loro,
+		allora vale proprio l'uguaglianza
+		$[LM : K] = [L : K] [M : K]$. Infatti, in tal caso,
+		si avrebbe $[L : K] [M : K] \leq [LM : K]$ e
+		$[LM : K] = [LM : M] [M : K] \leq [L : K] [M : K]$.
+		
+		
+		\subsection{Omomorfismo di valutazioni, elementi algebrici e trascendenti e polinomio minimo}
+		
+		
+		Dato $\alpha$, si definisce $K(\alpha)$ il più piccolo
+		sovracampo di $K$ che contiene $\alpha$. Si definisce l'\textbf{omomorfismo di
+		valutazione} $\varphi_{\alpha, K} : K[x] \to K[\alpha]$, detto
+		$\varphi_\alpha$ se $K$ è noto, l'omomorfismo completamente
+		determinato dalla relazione $p \xmapsto{\varphi_\alpha} p(\alpha)$. Si verifica che $\varphi_\alpha$ è
+		surgettivo. Se $\varphi_\alpha$ è iniettivo,
+		si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendentale} su $K$ e
+		$K[x] \cong K[\alpha]$, da cui $[K[\alpha] : K] =
+		[K[x] : K] = \infty$. Se invece $\varphi_\alpha$ non
+		è iniettivo, si dice che $\alpha$ è \textbf{algebrico}
+		su $K$. Si definisce $\mu_\alpha$, detto il \textbf{polinomio
+		minimo} di $\alpha$ su $K$, il generatore monico
+		di $\Ker \varphi_\alpha$. IDal momento che $K$ è
+		in particolare un dominio di integrità, $\mu_\alpha$ è sempre irriducibile. \medskip
+		
+		
+		Si definisce
+		$\deg_K \alpha := \deg \mu_\alpha$. Se $\alpha$ è
+		algebrico su $K$, $K[x] / (\mu_\alpha) \cong
+		K[\alpha]$, e quindi $K[\alpha]$ è un campo. Dacché
+		$K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$, vale allora
+		$K[\alpha] = K(\alpha)$. Inoltre, poiché $\dim_K K[x] / (\mu_\alpha) = \deg_K \alpha$, vale
+		anche che $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$.
+		Infine, si verifica che $\alpha$ è algebrico se e solo se
+		$[K(\alpha) : K]$ è finito. \medskip
+
+
+		\subsection{Estensioni semplici, algebriche}
+
+		
+		Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione semplice} di
+		$K$ se $\exists \alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$.
+		In tal caso si dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento primitivo} di $K$. Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione
+		algebrica} di $K$ se ogni suo elemento è algebrico su $K$.
+		Ogni estensione finita è algebrica. Non tutte le
+		estensioni algebriche sono finite (e.g.~$\overline{\QQ}$ su $\QQ$). \medskip
+		
+		
+		L'insieme degli elementi algebrici di un'estensione
+		di $K$ su $K$ è un estensione algebrica di $K$.
+		Pertanto se $\alpha$ e $\beta$ sono algebrici,
+		$\alpha \pm \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha \beta\inv$
+		e $\alpha\inv \beta$ (a patto che o $\alpha \neq 0$ o
+		$\beta \neq 0$) sono algebrici.  
+		
+		
+		\subsection{Campi perfetti, estensioni separabili e coniugati}
+		
+		
+		Si dice che un'estensione algebrica $L$ è un'\textbf{estensione separabile} di
+		$K$ se per ogni elemento $\alpha \in L$,
+		$\mu_\alpha$ ammette radici distinte. Si dice
+		che $K$ è un \textbf{campo perfetto} se ogni
+		polinomio irriducibile ammette radici distinte,
+		ossia se ogni polinomio irriducibile è separabile.
+		In un campo perfetto, ogni estensione algebrica
+		è separabile. Si definiscono i coniugati di
+		$\alpha$ algebrico su $K$ come le radici
+		di $\mu_\alpha$. Se $K(\alpha)$ è separabile su $K$,
+		$\alpha$ ha esattamente $\deg_K \alpha$ coniugati,
+		altrimenti esistono al più $\deg_K \alpha$ coniugati. \medskip
+		
+		
+		Un campo è perfetto se e solo se ha caratteristica
+		$0$ o altrimenti se l'endomorfismo di
+		Frobenius è un automorfismo. Equivalentemente,
+		un campo è perfetto se le derivate dei polinomi
+		irriducibili sono sempre non nulle. Esempi di
+		campi perfetti sono allora tutti i campi di
+		caratteristica $0$ e tutti i campi finiti. 
+		
+		
+		\subsection{Campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica di $K$}
+		
+		Un campo $K$ si dice \textbf{algebricamente chiuso} se
+		ogni $p \in K[x]$ ammette una radice in $K$. Equivalentemente $K$ è algebricamente chiuso se
+		ogni $p \in K[x]$ ammette tutte le sue radici in $K$.
+		Si dice \textbf{chiusura algebrica} di $K$
+		una sua estensione algebrica e algebricamente
+		chiusa. Le chiusure algebriche di $K$ sono
+		$K$-isomorfe tra loro, e quindi si identifica
+		con $\overline{K}$ la struttura algebrica della
+		chiusura algebrica di $K$. \medskip
+		
+		
+		Se $L$ è una sottoestensione di $K$ algebricamente
+		chiuso, allora $\overline{L}$ è il campo degli
+		elementi algebrici di $K$ su $L$. Infatti se
+		$p \in L[x]$, $p$ ammette una radice $\alpha$ in $K$, essendo
+		algebricamente chiuso. Allora $\alpha$ è un elemento
+		di $K$ algebrico su $L$, e quindi $\alpha \in \overline{L}$. Per il Teorema fondamentale dell'algebra,
+		$\overline{\RR} = \CC$.
+		
+		
+		\subsection{Estensioni normali e di Galois, $K$-immersioni di un'estensione finita di $K$}
+		
+		Sia $\alpha$ un elemento algebrico su $K$. Allora
+		$[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$. Le
+		$K$-immersioni da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$
+		sono esattamente tante quanti sono i coniugati di
+		$\alpha$ e sono tali da mappare $\alpha$ ad un suo coniugato. Se $K$ è perfetto, esistono esattamente
+		$\deg_K \alpha$ $K$-immersioni da $K(\alpha)$
+		in $\overline{K}$. \medskip
+		
+		
+		Se $L / K$ è un'estensione separabile finita su $K$, allora
+		esistono esattamente $[L : K]$ $K$-immersioni
+		da $L$ in $\overline{K}$. Per quanto detto prima,
+		tali immersioni mappano gli elementi $L$ nei
+		loro coniugati. \medskip
+		
+		
+		Se $L$ è un'estensione separabile finita, allora per
+		ogni $\varphi : K \to \overline{K}$ esistono
+		esattamente $[L : K]$ estensioni $\varphi_i : L \to \overline{K}$ di $\varphi$, ossia omomorfismi
+		tali per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$. \medskip
+		
+		
+		Per quanto detto prima, per calcolare dunque tutti
+		i coniugati di $\alpha \in L$ su $K$, è sufficiente
+		calcolare i distinti valori delle $K$-immersioni
+		di $L$ su $\alpha$. Infatti, ogni $K$-immersione
+		da $K(\alpha)$ può estendersi a $K$-immersione di
+		$L$, e viceversa ogni $K$-immersione di $L$ può
+		restringersi a $K$-immersione di $K(\alpha)$. In
+		particolare, una volta computati tutti i coniugati, è semplice trovare il polinomio minimo di $\alpha$
+		su $K$ (è sufficiente considerare il prodotto dei vari $x-\alpha_i$ dove gli $\alpha_i$ sono tutti i coniugati di $\alpha$). \medskip
+		
+		
+		Si dice che un'estensione algebrica $L / K$ è un'\textbf{estensione normale}
+		se per ogni $K$-immersione $\varphi$ da $L$ in $\overline{K}$
+		vale che $\varphi(L) = L$. Equivalentemente
+		un'estensione è normale se è il campo di spezzamento
+		di una famiglia di polinomi (in particolare è il campo
+		di spezzamento di tutti i polinomi irriducibili che
+		hanno una radice in $L$). Ancora, un'estensione $L$
+		è normale se e solo se per ogni $\alpha \in L$,
+		i coniugati di $L$ appartengono ancora ad $L$.
+		Per un'estensione normale, per ogni $K$-immersione
+		$\varphi : L \to \overline{K}$ si può restringere
+		il codominio ad un campo isomorfo a $L \subseteq \overline{K}$, e quindi considerare $\varphi$ come
+		un automorfismo di $L$ che fissa $K$. \medskip
+		
+		
+		Un'estensione finita $L/K$ di grado $2$ è sempre normale,
+		ed in particolare può sempre scriversi come
+		$L = K(\sqrt{\Delta})$, dove $\Delta$ non è un quadrato
+		in $K$.
+		
+		
+		Si indica con $\Aut_K(L) = \Aut(L / K)$ l'insieme
+		degli automorfismi di $L$ che fissano $K$. Se
+		$L$ è normale e separabile, si dice
+		\textbf{estensione di Galois}, e si definisce
+		il suo \textbf{gruppo di Galois}
+		$\Gal(L / K)$ come $(\Aut_K L, \circ)$, ossia come
+		il gruppo $\Aut_K L$ con l'operazione di
+		composizione.
+		
+		
+		\subsection{Azione di $\Gal(L / K)$ sulle radici di $L$ campo di spezzamento}
+		
+		Sia $p \in K[x]$ irriducibile e separabile.
+		Allora si definisce
+		il \textbf{gruppo di Galois di $p$} come il gruppo
+		di Galois $\Gal(L / K)$, dove $L$ è un campo di
+		spezzamento di $p$ su $K$. Se $\deg p = n$ e
+		$a_1$, ..., $a_n$ sono le radici di $p$,
+		$\Gal(L / K)$ agisce su $\{a_1, \ldots, a_n\}$
+		mediante $\Xi$, in modo tale che:
+		
+		\begin{equation*}
+		\begin{split}
+			\Xi : \Gal(&L / K) \to S(\{a_1, \ldots, a_n\}) \cong S_n, \\
+			&\varphi_i \xmapsto{\Xi} [a_j \mapsto \varphi_i(a_j)].
+		\end{split}
+		\end{equation*}
+
+		In particolare tale azione è transitiva (dunque $\Orb(a_i) = \{a_j\}_{j=1-n}$)e fedele. Poiché $\Xi$ è fedele, vale che
+		$\Gal(L / K) \mono S_n$. Se $\Gal(L / K)$ è abeliano
+		(e in tal caso si dice che $L$ è un'\textbf{estensione abeliana}), $\Xi$ è anche transitiva, e quindi
+		$\Gal(L / K)$ si identifica come un sottogruppo
+		abeliano transitivo di $S_n$, e in quanto tale deve
+		valere che $\abs{\Gal(L / K)} = n$. \medskip
+
+
+		
+		Dal momento che $\Xi$ è un'immersione, vale
+		che $\abs{\Gal(L / K)} \mid n!$. Dacché allora
+		$[K(a_1) : K] = n$, vale in particolare che:
+		\[ n \mid \abs{\Gal(L / K)} = [L : K] \mid n!. \]
+		
+		
+		\section{Diagrammi di campo e proprietà}
+		
+		
+		Si definisce \textbf{diagramma di campo} un
+		diagramma della seguente forma:
+		\[\begin{tikzcd}
+			& LM \\
+			L & {} & M \\
+			& {L \cap M} \\
+			& K
+			\arrow[no head, from=4-2, to=3-2]
+			\arrow[no head, from=3-2, to=2-1]
+			\arrow[no head, from=2-1, to=1-2]
+			\arrow[no head, from=3-2, to=2-3]
+			\arrow[no head, from=2-3, to=1-2]
+		\end{tikzcd}\]
+		In particolare il precedente diagramma rappresenta
+		lo studio dell'estensione di $LM$ su $K$, e
+		rappresenta $L$, $M$ e $L \cap M$ come sottoestensioni
+		di $LM$. Un estremo superiore di una freccia è sempre,
+		per definizione, un'estensione dell'estremo inferiore
+		della stessa freccia. \medskip
+		
+		
+		Sia $\mathcal{P}$ una proprietà. Allora si
+		studia la proprietà $\mathcal{P}$ secondo
+		le seguenti tre modalità:
+		\begin{itemize}
+			\item validità per \textbf{torri}: se $\mathcal{P}$ vale in due estensioni in $K \subseteq F \subseteq L$, allora vale anche per la terza estensione, ossia
+			vale per tutta la torre di estensioni,
+			\item validità per \textbf{\textit{shift}} (o per il \textbf{traslato}): se $\mathcal{P}$ vale
+			per $F / K$, allora vale anche per $LF / F$, ossia
+			vale sul ramo parallelo a quello di $F / K$,
+			\item validità per il \textbf{composto}: se
+			$\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$, allora
+			vale anche per $LM / K$.
+			\item validità per l'\textbf{intersezione}:
+			se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$,
+			allora vale anche per $L \cap M / K$.
+		\end{itemize}
+		Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{debolmente}
+		per torri, se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ solo
+		se vale per $L / F$ sottoestensione.
+		Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{strettamente}
+		per torri, se è $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ se
+		e solo se vale per $L / F$ e $F / K$. Se $\mathcal{P}$ vale strettamente per torri, allora $\mathcal{P}$
+		vale anche per l'intersezione. \medskip
+		
+		
+		Si dice che
+		$\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} per
+		\textit{shift} se $\mathcal{P}$ vale su
+		$LF / F$ solo se vale su $L / K$. Si dice che
+		$\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} per
+		il composto se $\mathcal{P}$ vale su $LF / K$
+		implica che $\mathcal{P}$ valga anche su $L / K$
+		e $F / K$. Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{completamente} per \textit{shift} o composto se $\mathcal{P}$
+		vale \textit{inversamente} e normalmente per \textit{shift} o
+		composto. Se $\mathcal{P}$ vale per torri e
+		per \textit{shift}, allora vale anche per il
+		composto.
+		
+		La seguente tabella raccoglie le proprietà
+		delle estensioni sui diagrammi di campo:
+		\begin{center}
+			\scriptsize
+			\vskip -0.1in
+			\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
+				\hline
+				$\mathcal{P}$ & Torri        & \textit{Shift} & Composto      & Intersez. \\ \hline
+				Est. fin.            & Strett. & Normal.                     & Complet. & Sì           \\ \hline
+				Est. alg.         & Strett. & Complet.                   & Complet. & Sì           \\ \hline
+				Est. sep.        & Strett. & Normal.                     & Normal.   & Sì           \\ \hline
+				Est. nor.           & Debolm.   & Normal.                     & Normal.   & Sì           \\ \hline
+				Est. Gal.        & Debolm.   & Normal.                     & Normal.   & Sì          
+			\end{tabular}
+		\end{center}
+
+
+		\section{Teorema dell'elemento primitivo}
+		
+		Se $L / K$ è un'estensione finita e separabile,
+		$L$ è in particolare un'estensione semplice di
+		$K$, per il \textbf{Teorema dell'elemento primitivo}.
+		In campi finiti, un tale elemento primitivo è
+		un generatore di $L^*$. In campi infiniti, per
+		$L = K(a, b)$,
+		si può invece considerare il seguente polinomio:
+		\[ p(x) = \prod_{i < j} (\varphi_i(a) + x \varphi_i(b) - \varphi_j(b) - x \varphi_j(b)), \]
+		dove le varie $\varphi_i$ sono le $K$-immersioni di
+		$L$ su $\overline{K}$.
+		Si verifica che $p(x)$ è non nullo, e pertanto
+		ha supporto non vuoto. Pertanto esiste un $t \in K$ tale
+		per cui $p(t) \neq 0$, da cui si ricava che
+		$L = K(a + bt)$. Reiterando questo algoritmo su
+		tutti i generatori dell'estensione, si ottiene
+		un elemento primitivo desiderato.
+		
+		\section{Teorema di corrispondenza di Galois}
+		
+		
+		Se $L / K$ è di Galois, detto $H \leq \Gal(L / K)$,
+		si definisce $L^H$ come la sottoestensione di $L$
+		fissata da tutte le $K$-immersioni di $H$.
+		In particolare vale che $L^H = K \iff H = \Gal(L / K)$.
+		Conseguentemente, vale il \textbf{Teorema di corrispondenza di Galois}, di seguito descritto:
+		
+		\begin{theorem}
+			Sia $\mathcal{E}$ l'insieme delle sottoestensioni
+			di $L / K$ estensione di Galois. Sia
+			$\mathcal{G}$ l'insieme dei sottogruppi di
+			$\Gal(L / K)$. Allora $\mathcal{E}$ è
+			in bigezione con $\mathcal{G}$ attraverso
+			la mappa $\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{G}$
+			tale per cui:
+			\[ F \xmapsto{\alpha} \Gal(L / F) \leq
+			\Gal(L / K), \]
+			la cui inversa $\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{E}$
+			è tale per cui:
+			\[ H \xmapsto{\beta} L^H \subseteq L. \]
+			Inoltre, una sottoestensione $F / K$ di
+			$L / K$ è normale su $K$ se e solo se
+			il corrispondente sottogruppo di $\Gal(L / K)$
+			è normale. Infine, se $F / K$ è normale,
+			$F$ è in particolare di Galois e vale che:
+			\[ \Gal(F / K) \cong \faktor{\Gal(L / K)}{\Gal(L / F)}. \]
+		\end{theorem}
+		
+		Pertanto, a partire dal Teorema di corrispondenza di Galois, valgono le seguenti proprietà:
+
+		\begin{itemize}
+			\item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di un certo ordine $n$ è uguale al numero di sottoestensioni di $L$ tali per cui $L$ abbia
+			grado $n$ su di esse (infatti $[L : F] = \abs{\Gal(L / F)}$),
+			\item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di
+			un certo indice $n$ è uguale al numero di
+			sottoestensioni di $L$ che hanno grado $n$ su
+			$K$ (infatti $[F : K] = [L : K] / [L : F] = \abs{\Gal(L / K)}) / \abs{\Gal(L : F)} =
+			[\Gal(L / K) : \Gal(L / F)]$),
+			\item $L^H \subset L^Q \iff Q < H$,
+			\item $L^H L^Q = L^H(L^Q) = L^{H \cap Q}$,
+			\item $L^{\gen{H, Q}} = L^H \cap L^Q$,
+		\end{itemize}
+	
+		In particolare, un diagramma di campi -- a patto
+		che il suo estremo superiore sia di Galois -- può
+		essere collegato ad un diagramma di gruppi,
+		``invertendo'' le inclusioni. Se
+		$G = \Gal(L / K)$ e $H \subseteq G$, allora il
+		diagramma:
+		    \[\begin{tikzcd}
+				L \\
+				{L^H} \\
+				K
+				\arrow["G", bend left, no head, from=3-1, to=1-1]
+				\arrow["{G/H}"', no head, from=3-1, to=2-1]
+				\arrow["H"', no head, from=2-1, to=1-1]
+			\end{tikzcd}\]
+		si relaziona tramite corrispondenza al
+		diagramma:
+		\[\begin{tikzcd}[row sep=small]
+			{\{e\}} \\
+			\\
+			H \\
+			\\
+			G
+			\arrow[no head, from=1-1, to=3-1]
+			\arrow[no head, from=3-1, to=5-1]
+		\end{tikzcd}\]
+		
+		\section{Gruppi di Galois noti}
+
+		\subsection{Campi finiti}
+		
+		Il campo finito $\FF_{p^n}$ è sempre normale
+		su $\FF_p$, dal momento che può essere costruito
+		come campo di spezzamento di $x^{p^n} - x$ su
+		$\FF_p$ stesso. Equivalentemente, poiché
+		un omomorfismo di campi è sempre iniettivo (e dunque
+		conserva sempre la cardinalità),
+		una $\FF_p$-immersione deve mandare $\FF_{p^n}$
+		in un campo della stessa cardinalità, e quindi
+		necessariamente un campo isomorfo a $\FF_{p^n}$. \medskip
+		
+		
+		Per un campo finito, $\Frob$ è un automorfismo che
+		fissa $\FF_p$. Allora $\Frob \in \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p)$. Inoltre $\ord \Frob = n = \abs{\Gal(\FF_{p^n} / \FF_p}$ (altrimenti $\FF_{p^n}$ non sarebbe campo di
+		spezzamento di $x^{p^n}-x$), e quindi vale che:
+		\[ \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p) = \gen{\Frob} \cong \ZZmod{n}. \]
+			
+		
+		Pertanto se $\alpha \in \FF_{p^n} \setminus \FF_p$,
+		tutti i suoi coniugati si ottengono reiterando
+		al più $p^n$ volte $\Frob$ su $\alpha$.
+		
+		\subsection{Polinomi biquadratici}
+		
+		Sia $p(x) = x^4 + ax^2 + b$ irriducibile su $\QQ$.
+		Allora, se $L$ è un suo campo di spezzamento e $\Delta = a^2 - 4b$ è l'usuale discriminante di $p$ visto come polinomio in $x^2$, vale che:
+		
+		\[ \Gal(L / \QQ) \cong \begin{cases}
+			\ZZmod{4} & \se b \text{ è quadrato in $\QQ$}, \\
+			\ZZmod{2} \times \ZZmod{2} & \se b \Delta \text{ è quadrato in $\QQ$}, \\
+			D_4 & \altrimenti.
+		\end{cases} \]
+		
+		
+		\subsection{Radici di primi in $\QQ$}
+		
+		Siano $p_1$, ..., $p_n$ numeri primi distinti.
+		Allora
+		vale che:
+		\[ \Gal(\QQ(\sqrt{p_1}, \ldots, \sqrt{p_n})/\QQ) \cong (\ZZmod{2})^n. \]
+		
+		\subsection{I polinomi ciclotomici $\Phi_n(x)$}
+		
+		Sia $\Phi_n(x)$ l'$n$-esimo polinomio ciclotomico, così definito:
+		\[ \Phi_n(x) = \prod_{\substack{1 \leq d \leq n \\ \MCD(d, n) = 1}} (x - \zeta_n^d), \]
+		dove $\zeta_n$ è una radice primitiva $n$-esima dell'unità. \medskip
+		
+		
+		Tale polinomio è sempre a coefficienti interi ed è inoltre primitivo
+		su $\ZZ[x]$. Vale inoltre che:
+		\[ x^n - 1 = \prod_{m \mid n} \Phi_m(x). \]
+		Il campo di spezzamento di $\Phi_n(x)$ su $\QQ$ è
+		$\QQ(\zeta_n)$, che è un'estensione normale, separabile e finita,
+		e pertanto di Galois. \medskip
+		
+		
+		Inoltre vale che:
+		\[ \Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ) \cong (\ZZmod{n})^\times, \]
+		e dunque $\Phi_n(x)$ è sempre irriducibile su $\QQ$.
+		
+		\vfill
+		\hrule
+		~\\
+		Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}.
+		~\\Reperibile su
+		\url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Algebra 1 $\to$ 3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois $\to$ Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}.
+	\end{multicols}
+	
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/README.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+# [Algebra 1](https://esami.unipi.it/programma.php?c=57995&aa=2023&docente=&insegnamento=ALGEBRA&sd=0)
+
+- [Programma del corso 📘](https://esami.unipi.it/programma.php?c=57995&aa=2023&docente=&insegnamento=ALGEBRA&sd=0)
+- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=10336402::::&ri=8305)
+- [Appunti e complementi di Diego Monaco, Gabriel Antonio Videtta e Leonardo Migliorini 📓](https://github.com/diego-unipi/Algebra-1)
+- [Appunti di Mattia Salvadori 📒](https://poisson.phc.dm.unipi.it/~salvadori/Algebra1.pdf)
+- [Appunti e scritti di Simmaco Di Lillo 📗](https://poisson.phc.dm.unipi.it/~dilillo/Algebra/index.html)
+- [Complementi di Mirko Torresani 📓](https://poisson.phc.dm.unipi.it/~torresani/file/Complementi_Algebra.pdf)
+- [Schede di Andrea Gallese 📖](https://uz.sns.it/~Gall/Algebra.pdf)
+- [Pagina e-learning del corso 🔗](https://elearning.dm.unipi.it/course/view.php?id=548)
+
+Questa cartella raccoglie tutti gli appunti che ho preso in relazione al corso di Algebra 1. Sto basando i miei
+appunti sul corso dell'A.A. 2023-2024, prendendo molto spunto dagli
+[appunti di Algebra 1](https://github.com/diego-unipi/Algebra-1),
+che tuttavia riprendono principalmente il programma del corso dell'A.A. 2022-2023.
+
+Ho diviso gli appunti in base ai moduli del corso di Algebra 1. In particolare, per adesso è quasi completata la scrittura
+della sezione relativa a *Teoria dei gruppi*, a sua volta divisa in macrosezioni. Per il momento verrà trascurata la
+parte di *Teoria degli anelli* per completare la sezione di *Teoria dei campi*, e verrà ripresa alla fine.
+
+Dalla fine del 2022 ho iniziato a contribuire alla riscrittura dei [Complementi di Algebra 1](https://github.com/diego-unipi/Algebra-1),
+a cui sto dedicando tutte le mie energie. Una volta integrate tutte le mancanze dei _Complementi di Algebra 1_ (e riviste anche le
+_Dispense di Algebra 1_), non vi sarà motivo di aggiungere appunti in questa sede, e rimanderò direttamente al repository di
+queste due dispense, ad esclusione della *Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois*.

Corsi/Algoritmi e strutture dati/README.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+# [Algoritmi e strutture dati](https://esami.unipi.it/programma.php?c=57999&aa=2023&docente=GROSSI&insegnamento=&sd=0)
+
+- [Programma del corso 📘](https://esami.unipi.it/programma.php?c=57999&aa=2023&docente=GROSSI&insegnamento=&sd=0)
+- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=10336856::::&ri=9172)
+- [Home page del corso 📔](https://didawiki.cli.di.unipi.it/doku.php/matematica/asd/asd_23/start)
+
+La cartella contiene tutti gli appunti del corso e un reindirizzamento al progetto che ho programmato per l'esame finale del corso.

Corsi/Analisi matematica 1/2023-03-17, Successioni per ricorrenza/esempio.eps

@@ -0,0 +1,812 @@
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+exit
+} if
+} forall
+} {
+/upd true def
+} ifelse
+} ifelse
+} if
+} ifelse
+upd true eq {
+d k v put
+} if
+} if
+} if
+} forall
+d length 0 gt {
+d setpagedevice
+} if
+} bd
+/RE { % /NewFontName [NewEncodingArray] /FontName RE -
+  findfont dup length dict begin
+  {
+    1 index /FID ne
+    {def} {pop pop} ifelse
+  } forall
+  /Encoding exch def
+  /FontName 1 index def
+  currentdict definefont pop
+  end
+} bind def
+%%EndResource
+%%BeginResource: procset (Apache XML Graphics EPS ProcSet) 1.0 0
+%%Version: 1.0 0
+%%Copyright: (Copyright 2002-2003 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
+/BeginEPSF { %def
+/b4_Inc_state save def         % Save state for cleanup
+/dict_count countdictstack def % Count objects on dict stack
+/op_count count 1 sub def      % Count objects on operand stack
+userdict begin                 % Push userdict on dict stack
+/showpage { } def              % Redefine showpage, { } = null proc
+0 setgray 0 setlinecap         % Prepare graphics state
+1 setlinewidth 0 setlinejoin
+10 setmiterlimit [ ] 0 setdash newpath
+/languagelevel where           % If level not equal to 1 then
+{pop languagelevel             % set strokeadjust and
+1 ne                           % overprint to their defaults.
+{false setstrokeadjust false setoverprint
+} if
+} if
+} bd
+/EndEPSF { %def
+count op_count sub {pop} repeat            % Clean up stacks
+countdictstack dict_count sub {end} repeat
+b4_Inc_state restore
+} bd
+%%EndResource
+%FOPBeginFontDict
+%%IncludeResource: font Courier-Oblique
+%%IncludeResource: font Courier-BoldOblique
+%%IncludeResource: font Courier-Bold
+%%IncludeResource: font ZapfDingbats
+%%IncludeResource: font Symbol
+%%IncludeResource: font Helvetica
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+%%IncludeResource: font Helvetica-BoldOblique
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+%%IncludeResource: font Times-Bold
+%%IncludeResource: font Times-BoldItalic
+%%IncludeResource: font Courier
+%FOPEndFontDict
+%%BeginResource: encoding WinAnsiEncoding
+/WinAnsiEncoding [
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /space /exclam /quotedbl
+/numbersign /dollar /percent /ampersand /quotesingle
+/parenleft /parenright /asterisk /plus /comma
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+/seven /eight /nine /colon /semicolon
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+/A /B /C /D /E
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+/endash /emdash /asciitilde /trademark /scaron
+/guilsinglright /oe /bullet /zcaron /Ydieresis
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+/ordfeminine /guillemotleft /logicalnot /sfthyphen /registered
+/macron /degree /plusminus /twosuperior /threesuperior
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+/edieresis /igrave /iacute /icircumflex /idieresis
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+/otilde /odieresis /divide /oslash /ugrave
+/uacute /ucircumflex /udieresis /yacute /thorn
+/ydieresis
+] def
+%%EndResource
+%FOPBeginFontReencode
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+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Courier-Oblique exch definefont pop
+/Courier-BoldOblique findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Courier-BoldOblique exch definefont pop
+/Courier-Bold findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Courier-Bold exch definefont pop
+/Helvetica findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Helvetica exch definefont pop
+/Helvetica-Oblique findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Helvetica-Oblique exch definefont pop
+/Helvetica-Bold findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Helvetica-Bold exch definefont pop
+/Helvetica-BoldOblique findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Helvetica-BoldOblique exch definefont pop
+/Times-Roman findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Times-Roman exch definefont pop
+/Times-Italic findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Times-Italic exch definefont pop
+/Times-Bold findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Times-Bold exch definefont pop
+/Times-BoldItalic findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Times-BoldItalic exch definefont pop
+/Courier findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
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+/Courier exch definefont pop
+%FOPEndFontReencode
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+   25   312 L
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+N
+0 0 560 420 re
+f
+GR
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+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+1 GC
+N
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+f
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+S
+GR
+%%Trailer
+%%Pages: 1
+%%EOF

Corsi/Analisi matematica 1/2023-03-17, Successioni per ricorrenza/esempio2.eps

@@ -0,0 +1,717 @@
+%!PS-Adobe-3.0 EPSF-3.0
+%%Creator: (MATLAB, The Mathworks, Inc. Version 9.12.0.2009381 \(R2022a\) Update 4. Operating System: Windows 10)
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+  grestore
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+  /Tcx currentpoint pop def
+  gsave
+  newpath
+  cf findfont cs scalefont dup
+  /FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
+  /UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
+  /UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
+  ux uy To add cs add moveto Tcx uy To add cs add lineto
+  Tt setlinewidth stroke
+  grestore
+} bd
+/SOE {
+  /Tcx currentpoint pop def
+  gsave
+  newpath
+  cf findfont cs scalefont dup
+  /FontMatrix get 0 get /Ts exch def /FontInfo get dup
+  /UnderlinePosition get Ts mul /To exch def
+  /UnderlineThickness get Ts mul /Tt exch def
+  ux uy To add cs 10 mul 26 idiv add moveto Tcx uy To add cs 10 mul 26 idiv add lineto
+  Tt setlinewidth stroke
+  grestore
+} bd
+/QT {
+/Y22 exch store
+/X22 exch store
+/Y21 exch store
+/X21 exch store
+currentpoint
+/Y21 load 2 mul add 3 div exch
+/X21 load 2 mul add 3 div exch
+/X21 load 2 mul /X22 load add 3 div
+/Y21 load 2 mul /Y22 load add 3 div
+/X22 load /Y22 load curveto
+} bd
+/SSPD {
+dup length /d exch dict def
+{
+/v exch def
+/k exch def
+currentpagedevice k known {
+/cpdv currentpagedevice k get def
+v cpdv ne {
+/upd false def
+/nullv v type /nulltype eq def
+/nullcpdv cpdv type /nulltype eq def
+nullv nullcpdv or
+{
+/upd true def
+} {
+/sametype v type cpdv type eq def
+sametype {
+v type /arraytype eq {
+/vlen v length def
+/cpdvlen cpdv length def
+vlen cpdvlen eq {
+0 1 vlen 1 sub {
+/i exch def
+/obj v i get def
+/cpdobj cpdv i get def
+obj cpdobj ne {
+/upd true def
+exit
+} if
+} for
+} {
+/upd true def
+} ifelse
+} {
+v type /dicttype eq {
+v {
+/dv exch def
+/dk exch def
+/cpddv cpdv dk get def
+dv cpddv ne {
+/upd true def
+exit
+} if
+} forall
+} {
+/upd true def
+} ifelse
+} ifelse
+} if
+} ifelse
+upd true eq {
+d k v put
+} if
+} if
+} if
+} forall
+d length 0 gt {
+d setpagedevice
+} if
+} bd
+/RE { % /NewFontName [NewEncodingArray] /FontName RE -
+  findfont dup length dict begin
+  {
+    1 index /FID ne
+    {def} {pop pop} ifelse
+  } forall
+  /Encoding exch def
+  /FontName 1 index def
+  currentdict definefont pop
+  end
+} bind def
+%%EndResource
+%%BeginResource: procset (Apache XML Graphics EPS ProcSet) 1.0 0
+%%Version: 1.0 0
+%%Copyright: (Copyright 2002-2003 The Apache Software Foundation. License terms: http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0)
+/BeginEPSF { %def
+/b4_Inc_state save def         % Save state for cleanup
+/dict_count countdictstack def % Count objects on dict stack
+/op_count count 1 sub def      % Count objects on operand stack
+userdict begin                 % Push userdict on dict stack
+/showpage { } def              % Redefine showpage, { } = null proc
+0 setgray 0 setlinecap         % Prepare graphics state
+1 setlinewidth 0 setlinejoin
+10 setmiterlimit [ ] 0 setdash newpath
+/languagelevel where           % If level not equal to 1 then
+{pop languagelevel             % set strokeadjust and
+1 ne                           % overprint to their defaults.
+{false setstrokeadjust false setoverprint
+} if
+} if
+} bd
+/EndEPSF { %def
+count op_count sub {pop} repeat            % Clean up stacks
+countdictstack dict_count sub {end} repeat
+b4_Inc_state restore
+} bd
+%%EndResource
+%FOPBeginFontDict
+%%IncludeResource: font Courier-Oblique
+%%IncludeResource: font Courier-BoldOblique
+%%IncludeResource: font Courier-Bold
+%%IncludeResource: font ZapfDingbats
+%%IncludeResource: font Symbol
+%%IncludeResource: font Helvetica
+%%IncludeResource: font Helvetica-Oblique
+%%IncludeResource: font Helvetica-Bold
+%%IncludeResource: font Helvetica-BoldOblique
+%%IncludeResource: font Times-Roman
+%%IncludeResource: font Times-Italic
+%%IncludeResource: font Times-Bold
+%%IncludeResource: font Times-BoldItalic
+%%IncludeResource: font Courier
+%FOPEndFontDict
+%%BeginResource: encoding WinAnsiEncoding
+/WinAnsiEncoding [
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /.notdef /.notdef /.notdef
+/.notdef /.notdef /space /exclam /quotedbl
+/numbersign /dollar /percent /ampersand /quotesingle
+/parenleft /parenright /asterisk /plus /comma
+/hyphen /period /slash /zero /one
+/two /three /four /five /six
+/seven /eight /nine /colon /semicolon
+/less /equal /greater /question /at
+/A /B /C /D /E
+/F /G /H /I /J
+/K /L /M /N /O
+/P /Q /R /S /T
+/U /V /W /X /Y
+/Z /bracketleft /backslash /bracketright /asciicircum
+/underscore /quoteleft /a /b /c
+/d /e /f /g /h
+/i /j /k /l /m
+/n /o /p /q /r
+/s /t /u /v /w
+/x /y /z /braceleft /bar
+/braceright /asciitilde /bullet /Euro /bullet
+/quotesinglbase /florin /quotedblbase /ellipsis /dagger
+/daggerdbl /circumflex /perthousand /Scaron /guilsinglleft
+/OE /bullet /Zcaron /bullet /bullet
+/quoteleft /quoteright /quotedblleft /quotedblright /bullet
+/endash /emdash /asciitilde /trademark /scaron
+/guilsinglright /oe /bullet /zcaron /Ydieresis
+/space /exclamdown /cent /sterling /currency
+/yen /brokenbar /section /dieresis /copyright
+/ordfeminine /guillemotleft /logicalnot /sfthyphen /registered
+/macron /degree /plusminus /twosuperior /threesuperior
+/acute /mu /paragraph /middot /cedilla
+/onesuperior /ordmasculine /guillemotright /onequarter /onehalf
+/threequarters /questiondown /Agrave /Aacute /Acircumflex
+/Atilde /Adieresis /Aring /AE /Ccedilla
+/Egrave /Eacute /Ecircumflex /Edieresis /Igrave
+/Iacute /Icircumflex /Idieresis /Eth /Ntilde
+/Ograve /Oacute /Ocircumflex /Otilde /Odieresis
+/multiply /Oslash /Ugrave /Uacute /Ucircumflex
+/Udieresis /Yacute /Thorn /germandbls /agrave
+/aacute /acircumflex /atilde /adieresis /aring
+/ae /ccedilla /egrave /eacute /ecircumflex
+/edieresis /igrave /iacute /icircumflex /idieresis
+/eth /ntilde /ograve /oacute /ocircumflex
+/otilde /odieresis /divide /oslash /ugrave
+/uacute /ucircumflex /udieresis /yacute /thorn
+/ydieresis
+] def
+%%EndResource
+%FOPBeginFontReencode
+/Courier-Oblique findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Courier-Oblique exch definefont pop
+/Courier-BoldOblique findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Courier-BoldOblique exch definefont pop
+/Courier-Bold findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Courier-Bold exch definefont pop
+/Helvetica findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Helvetica exch definefont pop
+/Helvetica-Oblique findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Helvetica-Oblique exch definefont pop
+/Helvetica-Bold findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Helvetica-Bold exch definefont pop
+/Helvetica-BoldOblique findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Helvetica-BoldOblique exch definefont pop
+/Times-Roman findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Times-Roman exch definefont pop
+/Times-Italic findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Times-Italic exch definefont pop
+/Times-Bold findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Times-Bold exch definefont pop
+/Times-BoldItalic findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Times-BoldItalic exch definefont pop
+/Courier findfont
+dup length dict begin
+  {1 index /FID ne {def} {pop pop} ifelse} forall
+  /Encoding WinAnsiEncoding def
+  currentdict
+end
+/Courier exch definefont pop
+%FOPEndFontReencode
+%%EndProlog
+%%Page: 1 1
+%%PageBoundingBox: 0 0 420 315
+%%BeginPageSetup
+N
+   25    20 M
+  406    20 L
+  406   312 L
+   25   312 L
+cp
+clip
+[1 0 0 -1 0 315] CT
+%%EndPageSetup
+GS
+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+1 GC
+N
+0 0 560 420 re
+f
+GR
+GS
+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+1 GC
+N
+0 0 560 420 re
+f
+GR
+GS
+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+1 GC
+N
+73 373.65 M
+507 373.65 L
+507 31.35 L
+73 31.35 L
+cp
+f
+GR
+GS
+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+2 setlinecap
+1 LJ
+0.667 LW
+N
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+S
+GR
+GS
+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+2 setlinecap
+1 LJ
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+S
+GR
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+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+2 setlinecap
+1 LJ
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+1 LJ
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+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+2 setlinecap
+1 LJ
+0.667 LW
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+S
+GR
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+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+2 setlinecap
+1 LJ
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+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+2 setlinecap
+1 LJ
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+GR
+GS
+[0.75 0 0 0.75 64.63485 284.23647] CT
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+GS
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+1 -1 scale
+(0.994) t 
+GR
+GR
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+1 -1 scale
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+GR
+GR
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+1 -1 scale
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+GR
+GR
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+[0.75 0 0 0.75 201.62157 284.23647] CT
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+GS
+[1 0 0 1 0 0] CT
+-4 14 moveto 
+1 -1 scale
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+GR
+GR
+GS
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+GS
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+1 -1 scale
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+GR
+GR
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+-17 14 moveto 
+1 -1 scale
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+GR
+GR
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+[0.75 0 0 0.75 338.60964 284.23647] CT
+/Helvetica 13.333 F
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+-17 14 moveto 
+1 -1 scale
+(1.006) t 
+GR
+GR
+GS
+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+2 setlinecap
+1 LJ
+0.667 LW
+N
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+S
+GR
+GS
+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+2 setlinecap
+1 LJ
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+N
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+S
+GR
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+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+2 setlinecap
+1 LJ
+0.667 LW
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+S
+GR
+GS
+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
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+1 LJ
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+N
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+GR
+GS
+[0.75 0 0 0.75 50.75015 279.31023] CT
+/Helvetica 13.333 F
+GS
+[1 0 0 1 0 0] CT
+-34 5.5 moveto 
+1 -1 scale
+(0.996) t 
+GR
+GR
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+/Helvetica 13.333 F
+GS
+[1 0 0 1 0 0] CT
+-34 5.5 moveto 
+1 -1 scale
+(0.998) t 
+GR
+GR
+GS
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+/Helvetica 13.333 F
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+1 -1 scale
+(1) t 
+GR
+GR
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+[0.75 0 0 0.75 50.75015 142.32351] CT
+/Helvetica 13.333 F
+GS
+[1 0 0 1 0 0] CT
+-34 5.5 moveto 
+1 -1 scale
+(1.002) t 
+GR
+GR
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+/Helvetica 13.333 F
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+-34 5.5 moveto 
+1 -1 scale
+(1.004) t 
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+GR
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+/Helvetica 13.333 F
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+-34 5.5 moveto 
+1 -1 scale
+(1.006) t 
+GR
+GR
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+GR
+GS
+[0.75 0 0 0.75 0 0] CT
+1 LJ
+0.667 LW
+N
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+268.829 250.647 L
+331.275 373.69 L
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+GR
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+464.271 55.204 L
+S
+GR
+%%Trailer
+%%Pages: 1
+%%EOF

Corsi/Analisi matematica 1/2023-03-17, Successioni per ricorrenza/main.tex

@@ -0,0 +1,171 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{personal_commands}
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
+\date{17 marzo 2023}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\begin{center}
+    \Large \textbf{Successioni per ricorrenza}
+\end{center}
+
+\begin{remark}
+Sia $X$ l'insieme delle successioni a valori reali che soddisfano una data
+eq.~ricorsiva lineare ed omogenea di ordine $k$ (ossia che coinvolge
+$k$ precedenti elementi di una successione). \\
+
+\li $X$ è uno spazio vettoriale su $\RR$. \\
+\li $T : X \to \RR^n$, $(x_n) \mapsto (x_0, ..., x_{k-1})^\top$ è
+un isomorfismo, e quindi $\dim X = k$. \\
+\li Si può facilmente individuare una base naturale di $X$, costituita dagli
+elementi della forma $\vec{x_i} = T\inv(\vec{e_ {i + 1}})$ con $i = 0, ..., k - 1$,
+dove $\vec{x_i}$ rappresenta una successione di $X$ dove l'$i$-esimo elemento
+è pari a $1$ e gli altri, tra $0$ e $k-1$, sono nulli.
+\end{remark}
+
+\begin{remark}
+Le eq.~differenziali ordinarie si possono approssimare
+ad eq.~su differenze finite (e questa considerazione è
+alla base della grande somiglianza tra i concetti sviluppati
+sia per queste che per quelle).
+\end{remark}
+
+\begin{example} (ricondursi a un caso discreto) 
+Si consideri un'eq.~differenziale omogenea lineare del primo
+ordine su $x(t)$. Si può approssimare $t$ con $nh$, dato
+$h$ piccolo, e così scrivere $x_n = x(nh) \approx x(t)$.
+Così, allora, $x_{n+1} = x((n+1)h) = x(t + h)$. Conseguentemente $h
+x'(t) \approx x(t + h) - x(t) \approx x_{n+1} - x_n$. \\
+
+Si provi a risolvere, per esempio, l'eq.~ differenziale $x'(t) = x(t)$.
+Sostituendo, si ottiene $x_{n+1} - x_n = h x_n$, da cui
+si ricava l'eq.~ricorsiva $x_{n+1} = (1 + h) x_n$. Allora
+$x(nh) = x_n = (1 + h)^n \underbrace{x(0)}_c = (1 + h)^n c$. \\
+
+In effetti $x(t) = \displaystyle \lim_{h \to 0} (1 + h)^n c =
+\lim_{h \to 0} \left[(1 + h)^{\frac{1}{h}}\right]^t c = c e^t$,
+la famiglia di soluzioni dell'eq.~differenziale originale.
+\end{example}
+
+\begin{example} (metodo delle bisettrici)
+Sia data la sequente successione:
+
+\[ (x_n) = \begin{cases} x_n = x_{n-1}^4, \\ x_0 = \frac12. \end{cases} \]
+
+Si consideri allora il sistema di funzioni:
+
+\[ \begin{cases}
+    f(x) = x^4, \\ y = x,
+\end{cases} \]
+
+ossia i punti fissi di $f(x)$. Si può disegnare facilmente
+la successione mediante il seguente algoritmo: si prenda
+$x_0$ sull'asse delle ascisse, e si valuti $f(x_0) = x_1$ collegando
+il punto $(x_0, 0)$ a $(x_0, x_1)$,
+alla fine ricollegato sulla bisettrice al punto $(x_1, x_1)$;
+si colleghi $(x_1, x_1)$ a $(x_1, x_2 = f(x_1))$ e quest'ultimo a
+$(x_2, x_2)$, etc. Si sarà allora
+disegnato in modo grafico la successione, e considerando
+i blocchi che connettono $(x_{n-1}, x_{n-1})$, $(x_{n-1}, x_n)$
+e $(x_n, x_n)$, si potrà facilmente intuire che $x_n \tendston \infty$ per $x_0 > 1$, che $x_n \tendston 1$ per $x_0 = 1$,
+e che $x_n \tendston 0$ per $x_0 < 1$. Quindi nel caso
+dell'esempio, $x_n \tendston 0$.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{esempio.eps}
+    \caption{Applicazione dell'algoritmo con $x_0 = 1,0001$.}
+    \label{fig:my_label}
+\end{figure}
+
+\end{example}
+
+\begin{example}
+    Riprendendo l'esempio precedente, si può ora provare
+    a dimostrare formalmente i risultati ottenuti.
+    Sempre graficamente, si intuisce che $(x_n)$ sarà
+    decrescente, e quindi che ammetterà limite (che,
+    in particolare, coinciderà con il suo estremo inferiore). \\
+
+    Si dimostra quindi, per prima cosa, che $(x_n)$ è
+    decrescente, e che vale $0 \leq x_n \leq \frac{1}{2}$.
+    Si procede per induzione: se $n=0$, la tesi è già
+    verificata; se la tesi è vera fino a $n-1$, allora
+    $x_n = \underbrace{x_{n-1}^4}_{\geq 0} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} \leq \frac{1}{2}$. Quindi
+    $(x_n)$ è decrescente, e poiché $0$ ne è minorante,
+    varrà in particolare che $\ell = \lim_{n \to \infty} x_n \in [0, \frac{1}{2}]$. \\
+
+    Si mostra che $\ell$ deve essere un punto fisso di
+    $f$: poiché $x_n \tendston \ell$, anche $x_{n+1} \tendston
+    \ell$ (essendone una sottosuccessione); inoltre, poiché
+    $x_{n+1} = x_n^4$, $x_{n+1} \tendston \ell^4$. Poiché il limite è unico, deve allora valere $\ell = \ell^4 = f(\ell)$. Poiché gli unici punti di fissi di $f$ sono
+    $0$ e $1$, e $1$ non è
+    minorante di $(x_n)$,
+    deve valere che $\ell = 0$. \\
+
+    Se invece $x_0$ fosse stato
+    maggiore di $1$, si sarebbe
+    dimostrato che $(x_n)$ era
+    strettamente crescente, e
+    dunque avrebbe ammesso comunque
+    limite; tale limite non sarebbe
+    potuto essere né $0$ né $1$,
+    dacché non sarebbero stati maggioranti
+    di $(x_n)$, né tantomeno
+    $-\infty$. Allora tale limite
+    avrebbe dovuto essere,
+    forzatamente, $\infty$.
+\end{example}
+
+\begin{example}
+    Si consideri adesso la
+    successione:
+
+    \[ \begin{cases}
+        x_0 = 2, \\
+        x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{1}{x_n}.
+    \end{cases} \]
+
+    Applicando lo stesso ragionamento
+    di prima, si considera $f(x) = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$. È sufficiente
+    dimostrare che $(x_n)$ è tale che
+    $\sqrt{2} \leq x_n \leq 2$
+    $\forall n \in \NN$ (dove $\sqrt{2}$
+    è l'unico punto fisso di $f(x)$) per
+    concludere immediatamente che
+    il limite di tale successione è
+    proprio $\sqrt{2}$.
+\end{example}
+
+\begin{example}
+    Si consideri l'eq.~ricorsiva $x_n = \frac{1}{x_{n-1}^2}$,
+    con $x_0 > 1$.
+    Qualsiasi disegno si faccia, si osserverà una "spirale"
+    nella configurazione della successione: si ipotizzerà
+    dunque che $x_n$ non ammetterà limite. Si distinguono
+    dal disegno due sottosuccessioni: $x_{2n}$ e $x_{2n+1}$,
+    che, rispettivamente, obbediranno a due eq.~ricorsive,
+    $x_{2(n+1)} = x_{2n}^4$ e $x_{2(n+1) + 1} = x_{2n + 1}^4$,
+    ossia la successione analizzata in uno scorso esempio. \\
+
+    \begin{figure}[H]
+        \centering
+        \includegraphics[width=0.6\textwidth]{esempio2.eps}
+        \caption{Applicazione del metodo della bisettrice con $x_0 = 1,0001$.}
+        \label{fig:my_label}
+    \end{figure}
+
+    Poiché $x_0 > 1$, $x_1 = \frac{1}{x_0^2} < 1$. Allora
+    $x_{2n} \tendston \infty$, mentre $x_{2n+1} \tendston
+    0$: poiché una sottosuccessione deve tendere allo
+    stesso limite della successione da cui deriva, ed il
+    limite è unico, si conclude che $(x_n)$ non ammette
+    limite.
+\end{example}
+
+\end{document}

Corsi/Analisi matematica 1/2023-03-22, Limiti di funzioni e funzioni continue/main.tex

@@ -0,0 +1,137 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{personal_commands}
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
+\date{21 marzo 2023}
+
+\begin{document}
+	
+	\maketitle
+	
+	\begin{center}
+		\Large \textbf{Limiti di funzioni e funzioni continue}
+	\end{center}
+	
+	\begin{note} Nel corso del documento, per un insieme $X$, qualora non
+		specificato, si intenderà sempre un sottoinsieme generico dell'insieme
+		dei numeri reali esteso $\RRbar$. Analogamente per $f$ si intenderà
+		sempre una funzione $f : X \to \RRbar$.
+	\end{note}
+	
+	\begin{definition} (continuità in un punto) Sia
+		$\xbar \in X$. Allora $f$ si dice \textit{continua} su $\xbar$ se e solo
+		se $\forall I$ intorno di $f(\xbar)$ $\exists J$ intorno di $\xbar$ tale
+		che $f(J \cap X) \subseteq I$. Conseguentemente $f$ si dirà \textit{discontinua}
+		su $\xbar$ se non è continua su $\xbar$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition} (continuità di una funzione) Si dice che $f$ è una \textit{funzione 
+			continua} se e solo se $f$ è continua su $\xbar$ $\forall \xbar \in X$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition} (punti di accumulazione e punti isolati) Si dice che $\xbar \in \RRbar$ è un \textit{punto
+			di accumulazione} di $X$ se $\forall I$ intorno di $x$ $\exists x \in X$, $x \neq \xbar \mid
+		x \in I$, o equivalentemente se $I \cap X \setminus \{\xbar\} \neq \emptyset$. Analogamente
+		un punto che non è di accumulazione e che appartiene a $X$ si dice \textit{punto isolato}.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}
+		(derivato di un insieme) Si definisce derivato di $X$ l'insieme dei punti di
+		accumulazione di $X$, e si denota con $D(X)$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}
+		(chiusura di un insieme) Si definisce chiusura di $X$ l'unione di $X$ ai suoi
+		punti di accumulazione, ossia $\bar{X} = X \cup D(X)$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{proposition}
+		Sono equivalenti i seguenti fatti:
+		
+		\begin{enumerate}
+			\item $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$,
+			\item esiste una successione $(x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ tale
+			che $x_n \tendston \xbar$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+		
+		\rightproof Se $\xbar \in \RR$, per ogni $n$ si consideri l'intorno $I_n = [\xbar - \frac{1}{n}, \xbar + \frac{1}{n}]$, e si estragga un elemento $k \in I_n \cap X \setminus \{\xbar\}$ (che per ipotesi esiste, dacché
+		$\xbar$ è un punto di accumulazione). Si ponga dunque $x_n = k$. Poiché $\liminftyn \xbar - \frac{1}{n} = \liminftyn \xbar + \frac{1}{n} = \xbar$ e $x_n \in I_n$ $\forall n \in \NN$, allora $x_n \tendston \xbar$. \\
+		
+		Altrimenti, se $\xbar$ non è finito, si consideri il caso $\xbar = +\infty$. Per ogni $n$ si consideri allora l'intorno $I_n = [n, \infty]$, e si
+		estragga, come prima, $k \in I_n \cap X \setminus \{\xbar\}$, ponendo infine $x_n = k$. Poiché $I_n \tendston \{\infty\}$, $x_n \tendston \xbar$. Analogamente si dimostra il caso $\xbar = -\infty$. \\
+		
+		\leftproof Se esiste una tale successione, allora $\forall I$ intorno di $\xbar$ $\exists n_k \in \NN \mid n \geq n_k \implies x_n \in I$, ed in particolare, poiché per ipotesi
+		$x_n \neq \xbar$, $x_n \in X \forall n \in \NN$, $I$ contiene sempre un punto diverso
+		da $\xbar$ ed appartenente ad $X$, ossia $I \cap X \setminus \{\xbar\}$.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{remark} Negando la definizione di punto di accumulazione, si ricava che $\xbar \in X$ è un
+		punto isolato $\iff$ $\exists I$ intorno di $\xbar$ $\mid I \cap X = \{\xbar\}$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{definition} (limite di una funzione) Sia $\xbar \in D(X)$. Allora $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L 
+		\defiff \forall I$ intorno di $L$, $\exists J$ intorno di $\xbar$ $\mid f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) 
+		\subseteq I$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark} La definizione di limite di una funzione richiede che $\xbar$ sia un punto di
+		accumulazione di $X$ per due principali motivi, uno teorico e uno strettamente pratico:
+		
+		\begin{enumerate}
+			\item se $\xbar$ fosse un punto isolato, allora esisterebbe sicuramente un suo intorno $J$ tale
+			che $J \cap X \setminus \{\xbar\} = \emptyset$, e quindi $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) = f(\emptyset) = \emptyset \in I$, per qualsiasi intorno $I$ scelto, a prescindere da $L$; si
+			perderebbe dunque una proprietà fondamentale del limite, ovverosia la sua unicità.
+			\item se $\xbar$ fosse un punto isolato, non vi sarebbe alcun modo di ``predirre'' il
+			comportamento di $f$ nel momento in cui tende a $\xbar$, dacché non si potrebbero
+			computare valori per $x$ ``vicine'' a $\xbar$.
+		\end{enumerate}
+		
+	\end{remark}
+	
+	\begin{proposition}
+		Se $\xbar \in D(X)$, sono equivalenti i seguenti fatti:
+		
+		\begin{enumerate}
+			\item $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$,
+			\item $\forall$ successione $(x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ tale che
+			$x_n \tendston \xbar$, $f(x_n) \tendston L$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+		
+		\rightproof Sia $(x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ una successione tale che
+		$x_n \tendston \xbar$. Poiché $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$, $\forall I$ intorno di
+		$L$, $\exists J$ intorno di $\xbar$ tale che $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$.
+		Allo stesso tempo, poiché $x_n \tendston \xbar$ e $J$ è un intorno di $\xbar$, esiste un $n_k \in \NN$
+		tale che $n \geq n_k \implies x_n \in J \implies f(x_n) \in I$ (infatti $x_n$ per definizione
+		appartiene a $X$ ed è sempre diverso da $\xbar$). Allora $\forall I$ intorno di $L$, $\exists n_k$
+		tale che $n \geq n_k \implies f(x_n) \in I$, ossia $f(x_n) \tendston L$. \\
+		
+		\leftproof Si ponga per assurdo che $\lim_{x \to \xbar} f(x) \neq L$. Allora esiste almeno
+		un intorno $I$ di $L$ tale per cui non esista alcun intorno $J$ di $\xbar \mid f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. Si consideri adesso il caso $\xbar \in \RR$ ed il suo intorno $J_n = [\xbar - \frac{1}{n}, \xbar + \frac{1}{n}]$: da ogni $J_n$ si può estrarre un $k \in X \setminus \{\xbar\}$
+		(infatti $\xbar$ è un punto di accumulazione), tale che $f(k) \notin I$. Si ponga allora $x_n = k$.
+		Dal momento che $J_n \tendston \{\xbar\}$, $x_n \tendston \xbar$. Allo stesso tempo, per $n \to \infty$, $f(x_n)$ non può tendere a $L$, dacché per costruzione $f(x_n)$ non appartiene all'intorno
+		$I$. Tuttavia ciò contraddice l'ipotesi, e quindi $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$. \\
+		
+		Altrimenti, se $\xbar = \infty$, si consideri per ogni $n$ l'intorno $J_n = [n, \infty]$, e se ne
+		estragga $k \in X \setminus \{\xbar\}$ tale che $f(k) \notin I$ (come prima, questo deve esistere
+		dacché $\xbar$ è un punto di accumulazione). Si ponga dunque $x_n = k$. Poiché $J_n \tendston \{\infty\}$, $x_n \tendston \xbar$. Tuttavia $f(x_n)$ non può tendere a $L$ per $n \to \infty$,
+		dal momento che $f(x_n)$ per costruzione non appartiene mai all'intorno $I$. Questo contraddice
+		nuovamente l'ipotesi, e quindi $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L$.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{exercise} Si dimostri che $\overline{\overline{X}} = \overline{X}$.
+	\end{exercise}
+	
+	\begin{exercise} Si mostri che l'ipotesi che la successione $(x_n)$ non abbia elementi uguali
+		a $\xbar$ sia necessaria, riportando un controesempio.
+	\end{exercise}
+
+\end{document}

Corsi/Analisi matematica 1/2023-03-23, 24, 28, Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione/main.tex

@@ -0,0 +1,572 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{personal_commands}
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\title{\textbf{Note del corso di Analisi matematica 1}}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
+\date{23, 24 e 28 marzo 2023}
+
+\begin{document}
+	
+	\maketitle
+	
+	\begin{center}
+		\Large \textbf{Proprietà principali della continuità e dei limiti di funzione}
+	\end{center}
+	
+	\begin{note} Nel corso del documento, per un insieme $X$, qualora non
+		specificato, si intenderà sempre un sottoinsieme generico dell'insieme
+		dei numeri reali esteso $\RRbar$. Analogamente per $f$ si intenderà
+		sempre una funzione $f : X \to \RRbar$.
+	\end{note}
+	
+	\begin{proposition}
+		Dati $f : X \to \RRbar$, $\xbar$ punto di accumulazione di $X$
+		tale che $\forall \, (x_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\} \mid x_n \tendston \xbar$ vale che
+		$f(x_n)$ converge. Allora il limite di $f(x_n)$ è sempre lo stesso, indipendentemente
+		dalla scelta di $(x_n)$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Siano per assurdo $(x_n), (y_n) \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ due successioni tali che
+		$x_n, y_n \tendston \xbar$ e che $f(x_n) \tendston L$ e $f(y_n) \tendston G$ con $L \neq G$. Si
+		costruisce allora la successione $(z_n)_{n \in \NN} \subseteq X \setminus \{\xbar\}$ nel seguente modo:
+		
+		\[ z_n = \system{x_n & \se n \epari, \\ y_n & \altrimenti,} \]
+		
+		\vskip 0.05in
+		
+		ossia unendo le due successioni $(x_n)$ e $(y_n)$ in modo tale che agli indici pari corrispondano gli
+		elementi di $x_{2n}$ e a quelli dispari quelli di $y_{2n+1}$. \\
+		
+		Si mostra che $z_n \tendston \xbar$. Sia $I$ un intorno di $\xbar$. Allora, dal momento che le due sottosuccessioni
+		$(x_{2n}), (y_{2n+1}) \tendston \xbar$, esistono sicuramente due
+		$n_x, n_y \in \NN$ tali che $n \geq n_x \implies x_{2n} \in I$ e $n \geq n_y \implies y_{2n+1} \in I$. Pertanto,
+		detto $n_k = \max\{n_x, n_y\}$, $n \geq n_k \implies x_{2n}, y_{2n+1} \in I$, ossia che per $n \geq 2 n_k$,
+		$z_n \in I$. Si conclude allora che $(z_n) \tendston \xbar$. \\
+		
+		Tuttavia $f(z_n)$ non può convergere a nessun limite, dal momento che le due sottosuccessioni
+		$f(x_{2n})$ e $f(y_{2n+1})$ convergono per ipotesi a valori distinti ed il limite deve essere unico. L'esistenza di
+		tale successione contraddice allora l'ipotesi, \Lightning.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Data $(x_n) \subseteq \RR$, sia $f : \NN \to \RRbar$ tale
+		che $f(n) := x_n$, $\forall n \in \NN$. Allora $f(n) \tendston L \iff x_n \tendston L$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+		
+		\rightproof Sia $I$ un intorno di $L$. Allora, poiché $f(n) \tendston L$,
+		esiste un intorno $J = [a, \infty]$ tale che $f(J \cap \NN \setminus \{\infty\}) \subseteq I$.
+		Poiché $\infty$ è un punto di accumulazione di $\NN$, $A = J \cap \NN \setminus \{\infty\}$ non è mai
+		vuoto. Inoltre, poiché $A \subseteq \NN$, $A$ ammette un minimo\footnote{Non è in realtà necessario che
+		si consideri il minimo di tale insieme, occorre semplicemente che $A$ sia non vuoto e che sia infinito.}, detto $m$.
+		Vale in particolare che
+		$f(n) \in I$, $\forall n \geq m$, e quindi che $x_n \in I$, ossia che $x_n \tendston L$. \\
+		
+		\leftproof Sia $I$ un intorno di $L$. Dal momento che $x_n \tendston L$, $\exists n_k \in \NN \mid n \geq n_k \implies
+		x_n \in I$. Allora, detto $J = [n_k, \infty]$, vale che $f(J \cap \NN \setminus \{\infty\}) \subseteq I$, ossia
+		che $f(n) \tendston L$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Siano $f : X \to \RRbar$, $\xbar \in X$ punto di accumulazione
+		di $X$. Allora sono fatti equivalenti i seguenti:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $f(x) \tendsto{\xbar} f(\xbar)$,
+			\item $f$ è continua in $\xbar$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Sia $I$ un intorno di $f(\xbar)$. Dal momento che $\xbar$ è un punto di accumulazione, si ricava allora da
+		entrambe le ipotesi che esiste un intorno $J$ di $\xbar$ tale che
+		$f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$, e quindi, per definizione, la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}
+		Se $\xbar$ è un punto isolato di $X$, allora $f$ è continua
+		in $\xbar$. Pertanto per rendere la proposizione precedente
+		vera, è necessario ipotizzare che $\xbar$ sia un punto
+		di accumulazione (infatti il limite in un punto isolato
+		non esiste per definizione).
+	\end{remark}
+
+	\begin{proposition}
+		Siano $f : X \to \RR$  e $\xbar$ punto di accumulazione di $X$.
+		Siano $L \in \RRbar$ e $\tilde{f} : X \cup \{\xbar\} \to \RRbar$ tale
+		che\footnote{Tale costruzione si chiama \textbf{estensione continua} di $f$, nel caso in cui $L$ sia proprio
+			$\lim_{x \to \xbar} f(x)$.}:
+		
+		\[ \tilde{f}(x) = \begin{cases}
+			L & \text{se } x = \xbar, \\
+			f(x) & \text{altrimenti}.
+		\end{cases} \]
+	
+		\vskip 0.05in
+	
+		Allora $f(x) \tendsto{\xbar} L \iff \tilde{f}$ è continua in $\xbar$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+		
+		\rightproof Sia $I$ un intorno di $L$. Si ricava allora dalle ipotesi che esiste sempre un intorno
+		$J$ di $\xbar$ tale che $f(\underbrace{J \cap X \setminus \{\xbar\}}_{A}) \subseteq I$. Dal momento che $\xbar
+		\notin A$, si deduce che $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) = \tilde{f}(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$,
+		ossia che $\tilde{f}$ è continua in $\xbar$. \\
+		
+		\leftproof Sia $I$ un intorno di $L$. Poiché $\tilde{f}$ è continua in $\xbar$, esiste un intorno $J$ di $\xbar$
+		tale che $\tilde{f}(\underbrace{J \cap (X \cup \{\xbar\}) \setminus \{\xbar\}}_{A}) \subseteq I$. Poiché $\xbar \notin A$ e $\xbar$ è punto di accumulazione, si deduce che $I \supseteq \tilde{f}(J \cap (X \cup \{\xbar\}) \setminus \{\xbar\})
+		= f(J \cap (X \cup \{\xbar\}) \setminus \{\xbar\}) \supseteq f(J \cap X \setminus \{\xbar\})$, e quindi che
+		$f(x) \tendsto{\xbar} L$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}
+		Tutte le funzioni elementari (e.g.~$\sin(x)$, $\cos(x)$, $\exp(x)$, $\ln(x)$, $\abs{x}$, $x^a$) sono funzioni continue nel loro insieme
+		di definizione\footnote{Tale fatto è una mera conseguenza della
+		derivabilità delle funzioni elementari nel proprio insieme di
+		definizione.}.
+	\end{remark}
+
+	\begin{proposition}
+		Siano $f : X \to Y \subseteq \RRbar$ e $g : Y \to \RRbar$ e sia $\xbar \in X$. Sia
+		$f$ continua in $\xbar$ e sia $g$ continua in $f(\xbar)$. Allora
+		$g \circ f$ è continua in $\xbar$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Sia $I$ un intorno di $z = g(f(\xbar))$. Allora, poiché $g$ è continua
+		in $f(\xbar)$, $\exists J$ intorno di $f(\xbar)$ $\mid g(J \cap Y \setminus \{f(\xbar)\}) \subseteq
+		I$. Tuttavia, poiché $f$ è continua in $\xbar$, $\exists K$ intorno
+		di $\xbar$ $\mid f(K \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq J$, da cui si conclude che
+		$g(f(K \cap X \setminus \{\xbar\})) \subseteq I$, dacché $\forall x \in K \cap X \setminus \{\xbar\}$,
+		o $f(x) = f(\xbar)$, e quindi $g(f(x)) = z$ chiaramente appartiene a $I$, o altrimenti
+		$f(x) \in J \cap Y \setminus \{f(\xbar)\} \implies g(f(x)) \in g(J \cap Y \setminus \{f(\xbar)\}) \subseteq I$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{theorem} (di sostituzione nel limite)
+		Sia $f : X \to Y \subseteq \RRbar$, sia $\xbar$ punto di
+		accumulazione di $X$ tale che $f(x) \tendsto{\xbar} \ybar$.
+		Se $\ybar$ è un punto di accumulazione di $Y$ e $g : Y \to \RRbar$
+		è tale che $\ybar \in Y \implies
+		g$ continua in $\ybar$ e $g(y) \tendstoy{\ybar} \zbar$, allora
+		$g(f(x)) \tendsto{\xbar} \zbar$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Siano $\tilde{f} : X \cup \{\xbar\}$, $\tilde{g} : Y \cup \{\ybar\}$ due funzioni costruite nel seguente
+		modo:
+		
+		\[ \tilde{f}(x) = \begin{cases}
+			\ybar & \text{se } x = \xbar, \\
+			f(x) & \text{altrimenti},
+		\end{cases} \qquad
+			\tilde{g}(y) = \begin{cases}
+				\zbar & \text{se } y = \ybar, \\
+				g(y) & \text{altrimenti}.
+			\end{cases} \]
+		
+		Poiché $f(x) \tendsto{\xbar} \ybar$ e $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$, per una proposizione precedente, $\tilde{f}$ è continua in $\xbar$. Analogamente $\tilde{g}$ è continua in $\ybar$. Dal momento che
+		vale che $\tilde{f}(\xbar) = \ybar$, per la proposizione precedente $\tilde{g} \circ \tilde{f}$ è continua in
+		$\xbar$, e dunque $\lim_{x \to \xbar} \tilde{g}(\tilde{f}(x)) = \tilde{g}(\tilde{f}(\xbar)) = \zbar$. \\
+		
+		Si consideri adesso la funzione $\widetilde{g \circ f} : X \to \RRbar$ definita nel seguente modo:
+		
+		\[ \widetilde{g \circ f}(x) = \begin{cases}
+			\zbar & \text{se } x = \xbar, \\
+			g(f(x)) & \text{altrimenti}.
+		\end{cases} \]
+	
+		Si mostra che $\widetilde{g \circ f} = \tilde{g} \circ \tilde{f}$. Se $x = \xbar$, chiaramente
+		$\widetilde{g \circ f}(x) = \zbar = \tilde{g}(\tilde{f}(\xbar))$. Se $x \neq \xbar$, si
+		considera il caso in cui $\tilde{f}(x) = f(x)$ è uguale a $\ybar$ ed il caso in cui non vi è
+		uguale. \\
+		
+		Se $\tilde{f}(x) \neq \ybar$, $\tilde{g}(\tilde{f}(x)) = \tilde{g}(f(x)) \overbrace{=}^{f(x) \neq \ybar} g(f(x)) = \widetilde{g \circ f}(x)$. Se invece
+		$\tilde{f}(x) = \ybar$, $\ybar \in Y$, e quindi $g$ è continua in $\ybar$, da cui necessariamente
+		deriva che $g(\ybar) = \zbar$. Allora $\widetilde{g \circ f}(x) = g(f(x)) = g(\ybar) = \zbar = \tilde{g}(\tilde{f}(\xbar))$. \\ 
+		
+		Si conclude allora che $\widetilde{g \circ f} = \tilde{g} \circ \tilde{f}$, e
+		quindi che $\widetilde{g \circ f}$ è continua in $\xbar$. Pertanto,
+		dalla proposizione precedente, $g(f(x)) \tendsto{\xbar} \zbar$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{exercise}
+		Si mostri che tutte le ipotesi della proposizione precedente sono necessarie, fornendo un controesempio.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution}
+		Chiaramente $\xbar$ e $\ybar$ devono essere punti di
+		accumulazione dei propri insiemi di appartenenza, altrimenti
+		non sarebbe possibile calcolarne il limite. \\
+		
+		Inoltre, se $\ybar \in Y$ è necessario che $g$ sia anche continua in
+		$\ybar$ (nella dimostrazione della proposizione si è infatti
+		utilizzato il fatto che $g(\ybar) = \zbar$). Se così non dovesse
+		essere, si potrebbero definire
+		due funzioni $f$ e $g$ in modo tale che:
+		
+		\[ f(x) = 0, \qquad  g(y) = \system{ 0 & \se y = 0, \\ 1 & \altrimenti.} \]
+		
+		\vskip 0.05in
+		
+		Si osserva subito che $g(y)$ non è continua in $0$. Inoltre
+		$f(x) \tendsto{0} 0$ e $g(y) \tends{y \to 0} 1$. Tuttavia
+		$g(f(x)) = g(0) = 0 \tendsto{0} 0 \neq 1$, da cui il controesempio. 
+	\end{solution}
+
+	\begin{proposition}
+		Date $f_1, f_2 : X \to \RR$ continue in $\xbar$. Allora:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $f_1 + f_2$ è continua in $\xbar$,
+			\item $f_1 f_2$ è continua in $\xbar$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si dimostrano i due punti separatamente.
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item Sia $f := f_1 + f_2$. Poiché $f_1, f_2$ sono continue in $\xbar$,
+			$\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0 \mid \abs{x - \xbar} < \delta
+			\implies \abs{f_1(x) - f_1(\xbar)}$, $\abs{f_2(x) - f_2(\xbar)} \leq \eps$ (per ogni $\eps > 0$, è infatti sufficiente considerare $\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}$, ossia il minimo delle semilunghezze degli intorni
+			di $\xbar$ rispetto a $f_1$ ed $f_2$). Allora, per la
+			disuguaglianza triangolare, $\abs{f(x) - f(\xbar)} \leq
+			\abs{f_1(x) - f_1(\xbar)} + \abs{f_2(x) - f_2(\xbar)} \leq 2\eps$.
+			Si ricava dunque che $\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0
+			\mid \abs{f(x) - f(\xbar)} \leq 2\eps$, e quindi, poiché
+			$2\eps \tends{\eps \to 0^+} 0$, si conclude anche che $f$ è continua in $\xbar$.
+			
+			\item Dal momento che $f_1, f_2$ sono continue in $\xbar$,
+			$\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0$ tale che $\abs{x - \xbar} < \delta \implies \abs{f_1(x) - f_1(\xbar)}$, $\abs{f_2(x)
+			- f_2(\xbar)} < \eps$ (vale lo stesso ragionamento del punto
+			precedente). Allora $f_1(x) = f_1(\xbar) + e_1$ e
+			$f_2(x) = f_2(\xbar) + e_2$, con $\abs{e_1}, \abs{e_2} < \eps$
+			e $\abs{x - \xbar} < \delta$.
+			Dunque $f_1(x)f_2(x) = f_1(\xbar)f_2(\xbar) + \underbrace{e_1 f_2(\xbar) +
+			e_2 f_1(\xbar) + e_1 e_2}_e$. In particolare, per la
+			disuguaglianza triangolare, $\abs{e} \leq \abs{e_1 f_2(\xbar)} +
+			\abs{e_2 f_1(\xbar)} + \abs{e_1 e_2} \leq \underbrace{\eps \abs{f_2(\xbar)} +
+			\eps \abs{f_1(\xbar)} + \eps^2}_{\eps'}$. Poiché $\eps' \tends{\eps \to 0^+} 0$, si ricava che $\forall \eps > 0$, $\exists \delta > 0 \mid \abs{x - \xbar} < \delta \implies \abs{f_1(x) f_2(x) - f_1(\xbar) f_2(\xbar)} = \abs{e} \leq \eps'$, ossia si conclude che $f_1 f_2$ è continua
+			in $\xbar$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Date $f_1, f_2 : X \to \RRbar$, $\xbar$ punto di accumulazione
+		di $X$. Se $\lim_{x \to \xbar} f_1(x) = L_1 \in \RR$ e
+		$\lim_{x \to \xbar} f_2(x) = L_2 \in \RR$, allora valgono
+		i seguenti risultati:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $f_1(x) + f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 + L_2$,
+			\item $f_1(x) f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 L_2$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si definiscono preliminarmente le funzioni $\tilde{f_1}$, $\tilde{f_2} : X \cup \{\xbar\} \to \RRbar$ in modo tale che:
+		
+		\[ \tilde{f_1}(x) = \begin{cases}
+			L_1 & \text{se } x = \xbar, \\
+			f_1(x) & \text{altrimenti},
+		\end{cases} \qquad
+		\tilde{f_2}(x) = \begin{cases}
+			L_2 & \text{se } x = \xbar, \\
+			f_2(x) & \text{altrimenti}.
+		\end{cases} \]
+		
+		\vskip 0.1in
+	
+		Si dimostrano ora i due risultati separatamente. \\
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item Si definisce $\widetilde{f_1 + f_2} : X \cup \{\xbar\} \to \RRbar$ nel seguente modo:
+			
+			\[ \widetilde{f_1 + f_2}(x) = \system{L_1 + L_2 & \text{se } x = \xbar, \\ f_1(x) + f_2(x) & \text{altrimenti}.} \]
+			
+			Si osserva che la somma $L_1 + L_2$ è ben definita dacché sia $L_1$ che $L_2$ sono elementi di $\RR$.
+			Poiché da una proposizione precedente $\tilde{f_1}$ e $\tilde{f_2}$ sono continue in $\xbar$, $\tilde{f_1} + \tilde{f_2}$ è continua anch'essa in $\xbar$. È sufficiente allora dimostrare che $\widetilde{f_1 + f_2} =
+			\tilde{f_1} + \tilde{f_2}$. Se $x \neq \xbar$, $\widetilde{f_1 + f_2}(x) = f_1(x) + f_2(x) = \tilde{f_1}(x) + \tilde{f_2}(x) = (\tilde{f_1} + \tilde{f_2})(x)$. Se invece $x = \xbar$, $\widetilde{f_1 + f_2}(x) = L_1 + L_2 =
+			\tilde{f_1}(x) + \tilde{f_2}(x) = (\tilde{f_1} + \tilde{f_2})(x)$. Quindi $\widetilde{f_1 + f_2} =
+			\tilde{f_1} + \tilde{f_2}$, e dunque si conclude che $\widetilde{f_1 + f_2}$ è continua in $\xbar$, ossia
+			che $(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 + L_2$.
+			
+			\item Si definisce, analogamente a prima, $\widetilde{f_1 f_2} : X \cup \{\xbar\} \to \RRbar$ nel seguente modo:
+			
+			\[ \widetilde{f_1 f_2}(x) = \system{L_1 L_2 & \text{se } x = \xbar, \\ f_1(x) f_2(x) & \text{altrimenti}.} \]
+			
+			Come prima, si osserva che il prodotto $L_1 L_2$ è ben definito dacché sia $L_1$ che $L_2$ sono elementi di $\RR$.
+			Poiché da una proposizione precedente $\tilde{f_1}$ e $\tilde{f_2}$ sono continue in $\xbar$, $\tilde{f_1} \tilde{f_2}$ è continua anch'essa in $\xbar$. È sufficiente allora dimostrare che $\widetilde{f_1 f_2} =
+			\tilde{f_1}\tilde{f_2}$. Se $x \neq \xbar$, $\widetilde{f_1 f_2}(x) = f_1(x) f_2(x) = \tilde{f_1}(x) 	\tilde{f_2}(x) = (\tilde{f_1}\tilde{f_2})(x)$. Se invece $x = \xbar$, $\widetilde{f_1 f_2}(x) = L_1 L_2 =
+			\tilde{f_1}(x) \tilde{f_2}(x) = (\tilde{f_1} \tilde{f_2})(x)$. Quindi $\widetilde{f_1 f_2} =
+			\tilde{f_1} \tilde{f_2}$, da cui si conclude che $\widetilde{f_1 f_2}$ è anch'essa continua in $\xbar$, ossia
+			che $(f_1 f_2)(x) = f_1(x) f_2(x) \tendsto{\xbar} L_1 L_2$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proof}
+
+	\begin{definition}
+		(intorno destro e sinistro) Se $\xbar \in \RR$, si dicono
+		\textbf{intorni destri} di $\xbar$ gli intervalli della forma $[\xbar, \xbar + \eps]$ con
+		$\eps > 0$. Analogamente, gli \textbf{intorni sinistri} sono gli
+		intervalli della forma $[\xbar - \eps, \xbar]$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition}
+		(punto di accumulazione destro e sinistro) Sia $\xbar \in X$.
+		Si dice che $\xbar$ è un \textbf{punto di accumulazione destro}
+		di $X$ se $\forall I$ intorno destro di $\xbar$, $I \cap X \setminus \{\xbar\} \neq \emptyset$. Analogamente si dice \textbf{punto di
+		accumulazione sinistro} di $X$ se è tale per gli intorni sinistri.
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition}
+		(limite destro e sinistro) Sia $\xbar$ un punto di accumulazione
+		destro di $X$. Allora si dice che $f$ ammette un \textbf{limite destro} $L$ in $\xbar$, $\lim_{x \to \xbar^+} f(x) = L$, se e solo se $\forall I$
+		intorno di $L$, $\exists J$ intorno destro di $\xbar$ tale che
+		$f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. Analogamente si definisce
+		il \textbf{limite sinistro}: $\lim_{x \to \xbar^-} f(x) = L \defiff \forall I$
+		intorno di $L$, $\exists J$ intorno sinistro di $\xbar$ tale che
+		$f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition}
+		(continuità destra e sinistra) Sia $\xbar \in X$. Allora $f$ è \textbf{continua
+		a destra} in $\xbar$ se e solo se $\forall I$ intorno di $f(\xbar)$,
+		$\exists J$ intorno destro di $\xbar$ tale che $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. Analogamente si dice che $f$ è \textbf{continua a sinistra} su $\xbar$ se e solo se $\forall I$ intorno
+		di $f(\xbar)$, $\exists J$ intorno sinistro di $\xbar$ tale che
+		$f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}
+		Vi sono chiaramente alcuni collegamenti tra la continuità destra e sinistra e la continuità classica,
+		così come ve ne sono tra il limite destro e sinistro ed il limite classico. \\
+		
+		\li $\xbar$ punto di accumulazione destro o sinistro di $X$ $\iff$ $\xbar$ punto di accumulazione di $X$, \\
+		\li $\xbar$ punto di accumulazione destro e sinistro di $X$ $\implies$ $\xbar$ punto di accumulazione di $X$ (non
+		è però per forza vero il contrario, è sufficiente considerare $(0, \infty)$, dove $0$ è solo un punto di
+		accumulazione destro), \\
+		\li $f$ è continua in $\xbar$ $\iff$ $f$ è continua sinistra e destra in $\xbar$, \\
+		\li Se $\xbar$ è un punto di accumulazione destro e sinistro, $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L \iff \lim_{x \to \xbar^+} f(x) = L$ e $\lim_{x \to \xbar^-} f(x) = L$, \\
+		\li Se $\xbar$ è un punto di accumulazione solo destro, $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L \iff \lim_{x \to \xbar^+} f(x) = L$, \\
+		\li Se $\xbar$ è un punto di accumulazione solo sinistro, $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L \iff \lim_{x \to \xbar^-} f(x) = L$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $f : X \to \RRbar$ monotona e sia $\xbar$ un punto di
+		accumulazione destro di $X$. Allora esiste $\lim_{x \to \xbar^+} f(x)$.
+		Analogamente esiste il limite sinistro se $\xbar$ è invece un punto di
+		accumulazione sinistro di $X$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Senza perdità di generalità, si assuma $f$ crescente (per il caso decrescente è sufficiente considerare
+		$g = -f$). Si consideri allora l'insieme:
+		
+		\[E = \{ f(x) \mid x > \xbar \E x \in X \}.\]
+		
+		\vskip 0.05in
+		
+		Si consideri adesso $L = \inf E$ e un suo intorno $I$. Se non
+		esistesse $x > \xbar$ tale che $f(x) \in I$, $\sup I$ sarebbe
+		un minorante di $E$ maggiore\footnote{Infatti $f(x) \geq L$ dacché è $L$ è un minorante di $E$, da cui $f(x) \notin I \implies
+		f(x) > \sup I$.} di $L$, \Lightning. Quindi esiste
+		$x > \xbar \mid f(x) \in I$, e dal momento che $f$ è
+		crescente, l'intorno destro $J$ di $\xbar$ di raggio $x - \xbar$ sarebbe
+		tale che $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{example} (funzione discontinua in ogni punto di $\RR$) Si consideri la funzione\footnote{Tale funzione è detta \textit{funzione di Dirichlet},
+			in onore al matematico tedesco Peter Dirichlet (1805 -- 1859).} $f : \RR \to \RR$ definita
+		nel seguente modo:
+	
+		\[ f(x) = \system{ 1 & \text{se }x \in \QQ, \\ 0 & \text{altrimenti}, } \]
+		
+		\vskip 0.05in
+		
+		ossia la funzione indicatrice dell'insieme $\QQ$ in $\RR$. Si dimostra che $f$ non è continua
+		in nessun punto di $\RR$. Sia infatti $\xbar \in \RR \setminus \QQ$. Dal momento che $\QQ$ è denso
+		in $\RR$, $\xbar$ è un punto di accumulazione di $\QQ$, e quindi esiste una successione $(x_n) \subseteq \QQ$
+		tale che $x_n \tendston \xbar$. Se $f$ fosse continua in $\xbar$, $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0$,
+		ma per l'intorno $I = [0-\frac{1}{2}, 0+\frac{1}{2}]$ di $0$ non esiste alcun $n_k$ tale per cui $f(x_n) \in I$ $\forall n
+		\geq n_k$, dal momento che, per definizione di $f$, $f(x_n) = 1$ $\forall n \in \NN$. Quindi $f$ non è continua
+		in nessun $\xbar \in \RR \setminus \QQ$. \\
+		
+		Sia ora $\xbar \in \QQ$. $\xbar$ è un punto di accumulazione di $\RR \setminus \QQ$ (si può infatti
+		considerare la successione $(x_n) \subseteq \RR \setminus \QQ$ definita da $x_n = \xbar + \frac{\sqrt{2}}{n}$,
+		che è tale che $x_n \tendston \xbar$). Analogamente a come visto prima, allora, per l'intorno $I = [1-\frac{1}{2}, 1+\frac{1}{2}]$ di $1$, $f(x_n) \notin I$ $\forall n \in \NN$, e quindi $f$ non è continua neanche su $\xbar \in \QQ$, ossia è discontinua ovunque.
+	\end{example}
+
+	\begin{exercise}
+		Mostrare\footnote{La tesi altro non è che un caso particolare del cosiddetto \textit{teorema di Froda}.} che l'insieme dei punti di discontinuità di una funzione $f : I \to \RR$ monotona è al più
+		numerabile, dove $I$ è un intervallo.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution}
+		Si assuma $f$ crescente, senza perdita di generalità (altrimenti è sufficiente considerare $g = -f$).
+		Sia $E$ l'insieme dei punti di discontinuità di $f$. $\forall \xbar \in E$, $\xbar$ è un punto di accumulazione
+		destro e sinistro di $I$ (infatti $I$ è un intervallo), ed in particolare, per la proposizione precedente, esistono sempre il limite sinistro $L^-(\xbar)$
+		ed il limite destro $L^+(\xbar)$ in $\xbar$ (dal momento che $f$ è monotona), e sono tali che\footnote{Detti
+		$A = \{f(x) \mid x < \xbar \E x \in X\}$ e $B = \{f(x) \mid x > \xbar \E x \in X\}$, vale che $L^-(\xbar) = \sup A$ e $L^+(\xbar) = \inf B$. Dal momento che $f$ è crescente, vale che $B \geq A$. Se $\inf B < \sup A$, esisterebbe un $b \in B$ tale che $\sup A > b$, da cui ancora
+		esisterebbe un $a \in A$ tale che $a > b$, \Lightning. Quindi
+		$\inf B = L^+(\xbar) \geq \sup A = L^-(\xbar)$.}  $L^+(\xbar) > L^-(\xbar)$ (infatti
+		sono sicuramente diversi, altrimenti
+		$f$ sarebbe continua in $\xbar$; inoltre $f$ è crescente). Allora sia $f : E \to \QQ$ tale che $\xbar \mapsto c$, dove $c \in \QQ$ è
+		un punto razionale in $(L^-(\xbar), L^+(\xbar))$ (tale $c$ esiste sempre, per la densità di $\QQ$ in $\RR$).
+		Inoltre\footnote{Sia $C = \{f(a) \mid x < a < y \}$. Allora $L^+(x) = \inf C$ e $L^-(y) = \sup C$.
+		Dal momento che $\sup C \geq \inf C$, deve allora valere anche
+		che $L^+(x) \leq L^-(y)$.}, $x < y \implies L^+(x) \leq L^-(y)$, e quindi ogni intervallo da cui $c$ è estratto è distinto al variare
+		di $\xbar \in E$. Pertanto $f$ è iniettiva, e vale che $\abs{E} \leq \abs{\QQ} = \abs{\NN}$. Si conclude allora
+		che $E$ è al più numerabile.
+	\end{solution}
+	
+	\begin{theorem} (della permanenza del segno, per le successioni)
+		Data $(x_n) \subseteq \RR$ tale che $x_n \tendston L > 0$, allora
+		$(x_n)$ è strettamente positiva definitivamente. Analogamente, se $L < 0$,
+		$(x_n)$ è negativa definitivamente.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Senza perdita di generalità si pone $L > 0$. Allora esiste sicuramente un intorno $I$ di $L$ tale che ogni suo elemento è positivo (e.g.~$I = \left[L - \frac{L}{2}, L + \frac{L}{2}\right]$, se $L \in \RR$, altrimenti $[a, \infty]$ con $a > 0$ se $L = +\infty$). Dal momento che $x_n \tendston L$, $\exists n_k \mid n \geq n_k \implies x_n \in I$,
+		ossia, in particolare, $n \geq n_k \implies x_n > 0$, da cui la tesi. Analogamente per il caso di $L < 0$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{theorem} (della permanenza del segno, per le funzioni)
+		Sia $f : X \to \RRbar$ e sia $\xbar$ un punto di accumulazione di $X$. Se $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L > 0$,
+		allora $\exists J$ intorno non vuoto di $\xbar$ tale che $f(x) > 0$ $\forall x \in J \cap X \setminus \{\xbar\}$.
+		Analogamente se $L < 0$, $\exists J$ intorno non vuoto di $\xbar$ tale che $f(x) < 0$ $\forall x \in J \cap X \setminus \{\xbar\}$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Senza perdita di generalità si pone $L > 0$.
+		Similmente a come visto per l'analogo teorema per le successioni, deve esiste sicuramente un intorno $I$ di $L$ tale che ogni suo elemento è positivo. Poiché $\lim_{x \to \xbar} f(x) = L > 0$, deve in particolare esistere un intorno $J$ di
+		$\xbar$ tale che $f(J \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. Inoltre, $J \cap X \setminus \{\xbar\}$ non può
+		essere mai vuoto, dal momento che $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$. Infine vale anche che $f(x) > 0$ $\forall x \in J \cap X \setminus \{\xbar\}$ (dal momento che $f(x) \in I$, che ha tutti elementi positivi).
+		Si conclude allora che $J$ è l'intorno desiderato, da cui la tesi. Analogamente per il caso di $L < 0$.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{theorem} (degli zeri) Sia $I = [a, b]$ e sia
+		$f : I \to \RRbar$ continua tale che $f(a) f(b) < 0$ (i.e.~$f(a)$ e $f(b)$ sono discordi). Allora $\exists c \in (a, b) \mid f(c) = 0$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Senza alcuna perdita di generalità si pone $f(a) < 0 < f(b)$ (il caso $f(a) > 0 > f(b)$ si dimostra
+		considerando $g = -f$). Si definisce allora l'insieme $E$ in modo tale che:
+		
+		\[ E = \{ x \in I \mid f(x) < 0 \}. \]
+		
+		\vskip 0.05in
+		
+		Si osserva che $E \neq \emptyset$, dacché $a \in E$. Allora, per la completezza dei numeri reali,
+		$E$ ammette un estremo superiore $\xbar := \sup E$. Sia dunque $(x_n) \subseteq E \setminus \{\xbar\}$ una successione
+		tale che $x_n \tendston \xbar$: poiché $f$ è continua in $\xbar$, $\lim_{x \to \xbar} f(x) = f(\xbar) \implies
+		f(x_n) \tendston f(\xbar)$. Dal momento che $f(x_n) < 0$ $\forall n \in \NN$, $f(\xbar) \leq 0$ (se così non fosse
+		$f(x_n)$ dovrebbe essere definitivamente positiva per il teorema della permanenza del segno, ma questo
+		è assurdo dacché $x_n \in E$ $\forall n \in \NN$, \Lightning). \\
+		
+		Sia ora $(y_n) \in I$ una successione tale che $y_n \tendston \xbar$ e che $y_n > \xbar$ $\forall n \in \NN$ (questo
+		è sempre possibile dal momento che $\xbar \neq b \impliedby f(\xbar) \leq 0$). Allora,
+		poiché $y_n > \xbar = \sup E$, $y_n$ non appartiene ad $E$, e quindi deve valere che $f(y_n) > 0$. Si conclude
+		allora, per il teorema della permanenza del segno, che $f(\xbar) \geq 0$. Pertanto $f(\xbar) \leq 0$ e $f(\xbar) \geq 0$ $\implies f(\xbar) = 0$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proof}[Dimostrazione alternativa] (metodo di bisezione per la ricerca degli zeri)
+		Come prima, senza alcuna perdita di generalità, si pone $f(a) < 0 < f(b)$. Si ponga $x_0 = \frac{a+b}{2} \in I$ e
+		$I_0 = (a, b)$.
+		Se $f(x_0) = 0$, allora il teorema è dimostrato. Altrimenti, $f(x_0) > 0$ o $f(x_0) < 0$. Nel primo caso,
+		si consideri $I_1 = (a, x_0)$, altrimenti si ponga $I_1 = (x_0, b)$. Si riapplichi allora l'algoritmo con $a := \inf I_1$ e $b := \sup I_1$, definendo le due successioni $(x_n)$ e $I_n$ per ogni passo $n$ dell'algoritmo. \\
+		
+		Se la successione $(x_n)$ è finita, allora $\exists n \mid f(x_n) = 0$, e quindi il teorema è dimostrato. Altrimenti,
+		si osservi che la successione degli intervalli è decrescente, e che $\abs{I_n} = \frac{b-a}{2^n} \tendston 0$:
+		allora, poiché $x_n \in I_n$ $\forall n \in \NN$, $(x_n)$ ammette limite. In particolare, $I_n \tendston \{c\}$,
+		e quindi $x_n \tendston c \in I_0$. Siano $a_n$, $b_n$ le successioni di numeri reali tali che $I_n = (a_n, b_n)$ $\forall n \in \NN$.
+		Vale in particolare che $a_n$, $b_n \tendston c$. Allora, per la continuità di $f$ su $(a, b)$, vale che
+		$\lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(c)$ e che $\lim_{n \to \infty} f(b_n) = f(c)$: poiché ogni elemento di $(a_n)$ è
+		per costruzione tale che $f(a_n) < 0$, deve valere che $f(x) \leq 0$ per il teorema della permanenza del segno; analogamente deve valere per costruzione di $(b_n)$ che $f(c) \geq 0$. Si conclude allora che $f(c) = 0$, da cui
+		la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{theorem} (dei valori intermedi) Dati $I = (a, b)$ e
+		$f : I \to \RRbar$ continua, allora $y_1$, $y_2 \in f(I) \implies
+		[y_1, y_2] \subseteq f(I)$ (ossia $f$ assume tutti i valori
+		compresi tra $y_1$ e $y_2$; e quindi $f(I)$ è un insieme convesso di $\RR$).
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Supponiamo $y_1 < y_2$: poiché $y_1$, $y_2$ appartengono già a $f(I)$, è sufficiente mostrare che anche ogni $y \in (y_1, y_2)$ appartiene a $f(I)$. Dal momento che $y_1$, $y_2 \in f(I)$, $\exists x_1$, $x_2 \in I \mid f(x_1) = y_1$ e $f(x_2) = y_2$. Si consideri allora $g : I \to \RRbar$ tale che
+		$g(x) = f(x) - y$. Allora $g(x_1) = y_1 - y < 0$, mentre $g(x_2) = y_2 - y > 0$. Pertanto, per il teorema
+		degli zeri, $\exists \xbar \in (x_1, x_2) \mid g(\xbar) = 0 \implies f(\xbar) = y$. Si conclude allora che anche
+		$y \in f(I)$, da cui la tesi. 
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Gli unici insiemi convessi di $\RR$ sono gli intervalli.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		La dimostrazione del fatto che gli intervalli siano insiemi convessi è banale. Si dimostra piuttosto
+		che ogni insieme convesso di $\RR$ è un intervallo. Sia $A$ dunque un insieme convesso di $\RR$,
+		e si considerino $a := \inf A$ e $b := \sup A$. Sia $x \in (a, b)$. Se non esistesse un punto $c \in A$
+		tale che $a < c < x$, $x$ sarebbe un estremo inferiore di $A$, \Lightning. Pertanto tale punto $c$ esiste.
+		Analogamente si può dire per un punto $d \in A$ tale che $x < d < b$. Allora, poiché $A$ è convesso,
+		$[c, d] \subseteq A$, e in particolare $x \in A$. Pertanto vale che $(a, b) \subseteq A$. Poiché
+		$a$ e $b$ sono, rispettivamente, estremo inferiore e superiore di $A$, non possono esistere altri punti
+		non appartenenti a $[a, b]$, ma appartenenti ad $A$. Quindi $A$ può variare a seconda dell'appartenenza
+		o meno di questi estremi nei seguenti modi:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $A = (a, b)$, se $a$, $b \notin A$,
+			\item $A = [a, b)$, se $a \in A$, ma $b \notin A$,
+			\item $A = (a, b]$, se $b \in A$, ma $a \notin A$,
+			\item $A = [a, b]$, se $a$, $b \in A$.
+		\end{enumerate}
+	
+		In ognuno di questi casi $A$ è un intervallo, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}
+		Una delle principali conseguenze del teorema dei valori intermedi è allora che $f(I)$ stesso è un intervallo,
+		dal momento che è un insieme convesso di $\RR$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{theorem} (di Weierstrass) Sia $I$ un intervallo chiuso\footnote{In realtà è sufficiente che $I$ sia chiuso, ossia che contenga i suoi punti
+	di accumulazione.} e sia
+		$f : I \to \RRbar$ continua. Allora esistono $x_m$ e $x_M$ punti
+		di massimo e minimo assoluti.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Ci si limita a dimostrare l'esistenza del minimo, dacché l'esistenza
+		del massimo segue dal considerare $g = -f$. Sia $m := \inf f(I)$. Esiste
+		allora una successione $(y_n) \subseteq f(I)$ tale che
+		$y_n \tendston m$. Poiché $y_n \in f(I)$, $\exists x_n \in I \mid
+		y_n = f(x_n)$. Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, $\exists \, (x_{n_k})
+		\subseteq I$ sottosuccessione convergente, ossia tale che
+		$x_{n_k} \to \xbar \in \RRbar$. In particolare vale che
+		$\xbar \in I$, dal momento che $I$ è un intervallo chiuso. %TODO: approfondire
+		Per la continuità di $f$ (in particolare in $\xbar$), allora $f(x_{n_k}) \tendston f(\xbar)$.
+		Essendo $f(x_{n_k})$ una sottosuccessione di $(y_n)$, che è
+		convergente, deve valere che $f(\xbar) = m$, ossia
+		$m \in f(I)$, da cui si ricava che $f(I)$ ammette un minimo,
+		ovvverosia la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}
+		In particolare, una conseguenza del teorema di Weierstrass è che, nel caso di $I$ chiuso,
+		considerando $f : I \to \RRbar$ continua, non solo $f(I)$ è un intervallo, ma è anche un
+		intervallo chiuso.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{remark} (algoritmo di ricerca dei massimi e dei minimi) Sia $f : I \to \RRbar$ la funzione continua di cui si
+		ricerca i massimi e i minimi. Si ipotizzi\footnote{Non è infatti sempre possibile considerarne un'estensione continua (e.g.~$\sin\left(\frac1{x}\right)$, il seno del topologo); ciò accade qualora non esista almeno uno dei limiti negli estremi dell'intervallo di $I$.} di poter considerare $\tilde{f} : \overline{I} \to \RRbar$, ossia l'estensione
+		continua di $f$. Allora, poiché $\tilde{f}$ è continua ed è definita su
+		un intervallo chiuso, per Weierstrass ammette un massimo e un
+		minimo. Preso per esempio il minimo, esso potrebbe essere un
+		estremo di $\tilde{I}$, oppure un punto stazionario di $f$, o infine un punto dell'intervallo $I$ in cui
+		la funzione $f$ non è derivabile. Analogamente l'algoritmo di ricerca funziona per i massimi di $f$.
+	\end{remark}
+	
+\end{document}

Corsi/Analisi matematica 1/2023-03-30, Es. applicazione dei teoremi sulla continuità/main.tex

@@ -0,0 +1,217 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{personal_commands}
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
+\date{30 marzo 2023}
+
+\begin{document}
+	
+	\maketitle
+	
+	\wip
+	
+	\begin{center}
+		\Large \textbf{Esercitazioni: applicazione dei teoremi sulla continuità}
+	\end{center}
+
+	\begin{exercise}
+		Siano $I = [a, b] \in \RRbar$, $f : I \to \RRbar$ continua strettamente
+		crescente. Allora l'eq.~$f(x)=y$ ha una sola soluzione se 
+		$f(a) \leq y \leq f(b)$ e nessuna soluzione se $y < f(a)$ o
+		se $y > f(b)$.
+	\end{exercise}
+	
+	\begin{solution}
+		Poiché $f$ è strettamente crescente, $f$ è iniettiva. Allora,
+		se $y$ è tale che $f(a) \leq y \leq f(b)$, per il teorema
+		dei valori intermedi, $\exists x \mid f(x) = y$; e tale $x$
+		è unica dal momento che $f$ è iniettiva. In particolare, poiché $f$ è crescente,
+		$f(a)$ e $f(b)$ sono rispettivamente $\inf f(I)$ e $\sup f(I)$, e
+		quindi sono anche
+		$\min f(I)$ e $\max f(I)$, da cui, se $y < f(a)$ o $y > f(b)$,
+		$y=f(x)$ non ammette soluzione.
+	\end{solution}
+
+	\begin{exercise}
+		Si consideri l'eq.~$xe^x = 4$ (*).
+		
+		\begin{enumerate}[(a)]
+			\item Mostrare che (*) ammette un'unica soluzione $\xbar \in \RRbar$, e trovare $x_0$, $x_1$ tali che $x_0 < \xbar < x_1$.
+			\item Calcolare $\xbar$ con errore minore a $10^{-2}$.
+		\end{enumerate}		
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution}
+		Si studia la funzione $f(x) = xe^x - 4$. $f$ è continua, e vale che
+		$f(0) = -4$ e che $f(2) = 2e^2 - 4 \geq 4$. Quindi, per il teorema
+		degli zeri su $[0, 2]$, $f$ ammette uno zero $\xbar$ in $(0, 2)$. \\
+		
+		Si studia adesso la derivata $f'(x) = e^x + xe^x = (1+x)e^x$.
+		$f'(x) > 0 \iff x > -1$, ossia $f$ è crescente per $x > -1$.
+		Al contrario, $f$ decresce per $x < -1$; poiché allora
+		$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -4$, $\sup f((-\infty), -1)) = -4$,
+		e quindi $f$ non ha zeri per $x < -1$, tantomeno per $x = -1$
+		(infatti $f(-1) = -1 e^{-1} - 4 \neq 0$). \\
+		
+		Poiché per $x > -1$ $f$ è allora strettamente crescente,
+		$f$ può ammette un solo zero, ossia quello trovato all'inizio
+		della soluzione.
+		
+		Per ricavare $\xbar$ con errore minore a $10^{-2}$, si applica
+		il metodo di bisezione per $7$ volte (infatti $\eps(n) = \frac{1}{2^n}$
+		per ogni passaggio $n$-esimo dell'algoritmo, e $\eps(7) \approx 0.0079 < 0.01$), ricavando $\xbar = 1.2031$.
+	\end{solution}
+
+	\begin{exercise}
+		Si consideri l'eq~$x^5+x=10$ (*).
+		
+		\begin{enumerate}[(a)]
+			\item Mostrare che $\exists\, \xbar$ soluzione di (*) e che
+			tale $\xbar$ è unica.
+			\item Mostrare che $\xbar \in (0, 2)$.
+			\item Trovare $\xbar$ con errore minore a $10^{-2}$.
+		\end{enumerate}
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution}
+		Si consideri la funzione $f(x) = x^5 + x - 10$. Si osserva che
+		tale funzione è sempre continua. Si osserva che $f(0) = -10$ e che
+		$f(2) = 24$. Quindi $f$ ammette una soluzione $\xbar$ in
+		$(0, 2)$. \\
+		
+		Si studia la derivata di $f$, ossia $f'(x) = 5x^4+1$. Poiché
+		$f'(x) > 0$ $\forall x \in \RR$, $f$ è strettamente crescente,
+		e quindi $f$ ammette un'unica soluzione, $\xbar$. \\
+		
+		Per trovare la soluzione $\xbar$ con errore minore a $10^{-2}$,
+		come nell'esercizio precedente, è necessario applicare
+		il metodo di bisezione per $7$ volte, ricavando
+		$\xbar = 1.5469$.
+	\end{solution}
+
+	\begin{remark}
+		La scelta del punto medio nell'algoritmo di bisezione è (quasi)
+		forza. Nella costruzione degli intervalli è infatti
+		necessario che l'intervallo, all'infinito, tenda ad un solo
+		punto; qualora non venga scelto il punto medio degli intervalli,
+		questo non è assolutamente garantito.
+	\end{remark}
+
+	\begin{exercise}
+		Sia $I = [a, b]$. Siano $f_1$, $f_2 : I \to \RR$ continue tali che
+		$f_1(a) < f_2(a)$ e che $f_1(b) > f_2(b)$. Dimostrare che $\exists \xbar \in I$ tale che $f_1(\xbar) = f_2(\xbar)$.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution}
+		Si consideri $g(x) = f_1(x) - f_2(x)$. $g$ è continua in $I$, e
+		$g(a) < 0$ e $g(b) > 0$ per ipotesi. Allora, per il teorema degli
+		zeri, $\exists x \in (a, b)$ tale che $g(x) = 0$, ossia
+		che $f_1(x) = f_2(x)$, da cui la tesi.
+	\end{solution}
+	
+	\begin{exercise}
+		Sia $I = [a, b]$ e sia $f: I \to \RR$ continua. Sia $P$ un punto che si muove in modo continuo nella striscia $I \times \RR$. Sia in
+		particolare $P : [0, 1] \to I \times \RR$ tale che
+		$t \mapsto (x(t), y(t))$ con $a \leq x(t) \leq b$ $\forall t \in [0, 1]$, con $y(0) > f(a)$, $y(1) < f(b)$, $x(0) = a$ e $x(1) = b$. Dimostrare che $\exists t \in
+		[0, 1]$ tale che $(x(t), y(t)) = (x(t), f(x(t)))$, ossia che tale
+		curva si interseca con la funzione $f$.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution}
+		Si consideri la funzione $g(t) = f(x(t)) - y(t)$. Poiché $x$ ed
+		$f$ sono continue, lo è anche la loro composizione, e così,
+		poiché anche $y$ è continua, lo è in particolare $g$. Dal momento
+		che $g(0) = f(x(0)) - y(0) = f(a) - y(0) < 0$ e $g(1) =
+		f(x(1)) - y(1) = f(b) - y(1) > 0$, per il teorema dei valori
+		intermedi, esiste $\tbar \in (0, 1)$ tale che $g(0) = 0$,
+		ossia tale che $f(x(\tbar)) = y(\tbar)$, da cui la tesi.
+	\end{solution}
+	
+	\begin{exercise}
+		Sia $I = (a, b)$ e sia $f : (a, b) \to \RRbar$ continua tale che
+		$\exists \ell_a = \lim_{x \to a} f(x)$, $\ell_b = \lim_{x \to b} f(x)$.
+		Si consideri allora l'estensione continua $\tilde f$:
+		
+		\[ \tilde f = \system{ f(x) & \text{se } x \neq a, b, \\ \ell_a & \text{se } x = a, \\ \ell_b & \text{se } x = b.} \]
+		
+		Allora\footnote{Come
+			già riscontrato, vale un risultato ancora più forte:
+			data un'estensione $\tilde f$ di $f$ in $\overline I$, $\tilde f$
+			è continua se e solo se i valori estesi sono esattamente i limiti
+			della funzione nei punti di $I \setminus \overline I$; e quindi
+			l'estensione continua è ben definita, e unica del suo genere.} vale che $\tilde f$ è continua in $\overline I$.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution}
+		Sicuramente $\tilde f$ è continua in $I$, dacché vale quanto
+		$f$ in questa porzione di intervallo. Poiché $\ell_a = \lim_{x \to a} f(x)$, per ogni intorno $I$ di $\ell_a$ esiste un intorno $J$ di $a$
+		tale che $f(J \cap I \setminus \{a\}) = f(J \cap I) = \tilde f(J \cap I) \subseteq I$, ossia, per definizione, $\tilde f$ è continua
+		anche in $a$, e, analogamente, anche in $b$.
+	\end{solution}
+
+	\begin{remark} Come mostrato nella traccia dell'esercizio precedente,
+		si possono estendere continuamente alcune funzioni elementari.
+		Per esempio, detta $f(x) = \frac{1}{x^2}$, si può estendere $f$
+		a $\tilde f : \RRbar \to \RRbar$ in modo tale che:
+		
+		\[ \tilde f(x) = \system {0 & \text{se } x = \pm \infty, \\ +\infty & \text{se } x = 0, \\ f(x) & \text{altrimenti.}} \]
+	\end{remark}
+
+	%TODO: dimostrare che se limite sinistro e destro coincidono, allora esiste il limite ed è lo stesso del limite sinistro e destro.
+	
+	\begin{exercise}
+		Si trovi un esempio di funzione $f : X \to \RRbar$, dove, dato $\xbar$ punto
+		di accumulazione di $X$, $f(x) \tendsto{\xbar} \ell$, ma
+		$\exists \, (x_n) \subseteq X$ tale che $x_n \tendston \xbar$, ma
+		$f(x_n)$ non tende a $\ell$ per $n \to \infty$.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution}
+		Sia $f : \RR \to \RR$ tale che:
+		
+		\[ f(x) = \system{0 & \text{se } x = 0, \\ 1 & \text{altrimenti}.}\]
+		
+		Si consideri allora la successione $(x_n) \subseteq X$ tale che:
+		
+		\[ x_n = \system{ 0 & \text{se } n \text{ è pari}, \\ \frac{1}{n} & \text{altrimenti}. } \]
+		
+		Si mostra che $x_n \tendston 0$. Infatti, sia $I = [-\eps, \eps]$, con $\eps > 0$, un intorno di $0$.
+		Allora per $n > \frac{1}{\eps}$ vale che $x_n \in I$ (infatti $0$ vi appartiene sempre, e $0 < \frac{1}{n} < \eps$);
+		da cui si ricava proprio che $x_n \tendston 0$. \\
+		
+		Chiaramente $f(x) \tendsto{0} 1$. È sufficiente mostrare allora che $f(x_n)$ non tende a $1$ per
+		$n \to \infty$. Si consideri la sottosuccessione $f(x_{2n})$: poiché $f(x_{2n}) = f(0) = 0$, la
+		sottosuccessione presa in considerazione è costante, e quindi $f(x_{2n}) \tendston 0$.
+		Anche la sottosuccessione $f(x_{2n + 1})$ è costante, e vale che $f(x_{2n + 1}) = f(\frac{1}{n}) = 1$,
+		e quindi $f(x_{2n+1}) \tendston 1$. Poiché allora il limite di $f(x_n)$, se esistesse, dovrebbe essere
+		uguale a quello di ambo le sottosuccessioni considerate, ed il limite è unico, $f(x_n)$ non ammette
+		limite, proprio come volevasi dimostrare.
+	\end{solution}
+
+	\begin{exercise}
+		Sia $X \subseteq \RRbar$ tale che ogni punto di $X$ sia isolato.
+		Dimostrare allora che $X$ è al più numerabile.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution}
+		Sia $\xbar \in X$. Poiché $\xbar$ è per ipotesi isolato, esiste
+		un intorno $I(\xbar)$ di $\xbar$ tale che $I \cap X = \{\xbar\}$. Si può
+		sempre trovare un intorno $J(\xbar)$ più piccolo di $I(\xbar)$ tale
+		che $J(\xbar) \cap I(x) = \emptyset$ $\forall x \in X \setminus \{\xbar\}$.
+		Se infatti non si potesse, esisterebbe un $x \in X \setminus \{\xbar\}$ tale che $J \cap I(x) \neq \emptyset$ per ogni
+		intorno $J \subseteq I(\xbar)$ di $\xbar$: sicuramente tale $x \notin J$,
+		altrimenti $I(\xbar)$ conterrebbe un elemento di $X$ diverso
+		da $\xbar$, assurdo dal momento che $I(\xbar)$ non ne contiene uno
+		per costruzione; ma $x$ non può neanche appartenere a $X \setminus J$,
+		dacché in tal modo si può sempre costruire con errore a piacimento
+		un intorno più piccolo di $J$ tale che sia disgiunto con $I(x)$,
+		\Lightning. Dal momento che $\QQ$ è denso in $\RRbar$, si può allora
+		sempre associare a $J(\xbar)$ un numero razionale $q$ al suo interno.
+		In questo modo si può costruire una funzione $f : X \to \QQ$,
+		tale che $f(\xbar) = q$. Poiché i $J(x)$ sono digiunti per costruzione,
+		$f$ è iniettiva, e quindi $\abs X \leq \abs \QQ = \abs \NN$, e quindi
+		$X$ è al più numerabile. %TODO: approfondire
+	\end{solution}
+\end{document}

Corsi/Analisi matematica 1/2023-03-31, 04, 18, Teoria sulle derivate/main.tex

@@ -0,0 +1,477 @@
+\documentclass[11pt]{article}
+\usepackage{personal_commands}
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\title{\textbf{Note del corso di Analisi Matematica 1}}
+\author{Gabriel Antonio Videtta}
+\date{31 marzo, 4, 18 e 20 aprile 2023}
+
+\begin{document}
+	
+	\maketitle
+	
+	\begin{center}
+		\Large \textbf{Teoria sulle derivate}
+	\end{center}
+
+	\begin{definition} (derivata)
+		Sia $f : X \subseteq \RR \to \RR$. Si definisce allora \textbf{derivata}
+		di $f$ in $\xbar \in X$ punto di accumulazione, se esiste, il seguente limite:
+		
+		\[Df(\xbar) = f'(\xbar) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\]
+		
+		\vskip 0.05in
+		
+		Qualora tale limite non esista, si dirà che non esiste la derivata
+		di $f$ in $\xbar$. Si definisce anche $f' : D \subseteq X \to \RRbar$ come la funzione derivata,
+		la quale associa ogni punto $\xbar$ in cui la derivata di $f$ esiste al
+		valore del limite computato in $\xbar$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}
+		$\xbar \in X$ si dice \textbf{derivabile} se e solo se esiste la
+		derivata di $f$ in $\xbar$ e $f'(\xbar)$ è finito.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}\nl
+		\li L'insieme $D$ può essere vuoto. \\
+		\li Si definisce $f^{(n)}(\xbar)$ come la derivata $n$-esima
+		di $f$ in $\xbar$. \\
+		\li Si definisce per convenzione $f^{(0)}(x) = f(x)$. \\
+		\li L'operazione di derivata è un operatore lineare. \\
+	\end{remark}
+
+	\begin{definition} (derivata destra e sinistra)
+		Dato $\xbar$ punto di accumulazione destro di $X$, si definisce
+		allora \textbf{derivata destra} di $f$ in $\xbar \in X$, se
+		esiste, il seguente limite:
+		
+		\[D_+ f(\xbar) = f_+'(\xbar) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar^+} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\]
+		
+		\vskip 0.05in
+		
+		Qualora tale limite non esista, si dirà che non esiste la derivata destra di $f$ in $\xbar$. Analogamente, per un punto di accumulazione sinistro $\xbar \in X$, si definisce
+		la \textbf{derivata sinistra} di $f$ in $\xbar \in X$, se esiste, il seguente
+		limite:
+		
+		\[D_- f(\xbar) = f_-'(\xbar) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} = \lim_{x \to \xbar^-} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x - \xbar}.\]
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}\nl
+		\li Se esistono sia la derivata sinistra che destra di $f$ in $\xbar$
+		e coincidono, allora la derivata di $f$ in $\xbar$ esiste e
+		coincide con il valore di entrambe le due derivate. \\
+		\li Vale anche il viceversa, se $\xbar$ è un punto di accumulazione
+		sia destro che sinistro: se esiste la derivata di $f$ in $\xbar$,
+		allora sia la derivata sinistra che destra esistono e coincidono
+		con la derivata.
+	\end{remark}
+
+	\begin{definition}
+		Si dice che $f : X \to \RR$ è derivabile se è derivabile $\forall x \in X$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}
+		Si dice che $f \in \cc^1$ se è derivabile e la sua
+		funzione derivata è continua. In generale, si dice che $f \in \cc^n$ se
+		è derivabile $n$ volte e ogni sua derivata, fino alla $n$-esima,
+		è continua. Si pone $f \in \cc^\infty$ se $f$ è derivabile per un
+		numero arbitrario di volte e ogni sua derivata è continua.
+	\end{definition}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $f : X \to \RR$ e sia $\xbar \in X$ un punto di accumulazione di $X$. Allora:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $f$ derivabile in $\xbar$ $\implies$ $f(\xbar + h) = f(\xbar) + f'(\xbar) h + o(h)$.
+			\item Se esiste $a$ tale che $f(\xbar + h) = f(\xbar) + ah + o(h)$,
+			allora $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar) - f'(\xbar) h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} - f'(\xbar) = f'(\xbar) - f'(\xbar) = 0$, da cui la prima tesi. \\
+		
+		Inoltre, se esiste $a$ come nelle ipotesi, $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{ah + o(h)}{h} = a + \lim_{h \to 0} \frac{o(h)}{h} = a + 0 = a$, quindi $f$ è derivabile in $\xbar$ e $f'(\xbar) = a$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{corollary}
+		Se $f$ è derivabile in $\xbar$, allora $f$ è anche continua in $\xbar$.
+	\end{corollary}
+
+	\begin{proof}
+		Infatti, poiché $f(x) = f(\xbar) + f'(\xbar) (x - \xbar) + o(x-\xbar)$,
+		$\lim_{x \to \xbar} f(x) = \lim_{x \to \xbar} f(\xbar) + \lim_{x \to \xbar} f'(\xbar)(x-\xbar) + \lim_{x \to \xbar} o(x - \xbar) = \lim_{x \to \xbar} f(\xbar) = f(\xbar)$, e quindi $f$ è continua in $\xbar$.
+	\end{proof}
+
+	%TODO: trovare esempio di derivabilità infinita e non continuità
+
+	\begin{proposition}
+		Siano $f_1$, $f_2 : X \to \RR$ entrambe derivabili in
+		$\xbar$. Allora:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $(f_1 + f_2)'(\xbar) = f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$,
+			\item $(f_1f_2)'(\xbar)=  f_1(\xbar) f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}Poiché $f_1$ ed $f_2$ sono derivabili in $\xbar$, vale
+		che:
+		\[ f_1(\xbar + h) = f_1(\xbar) + f_1'(\xbar) h + o(h), \qquad f_2(\xbar + h) = f_2(\xbar) + f_2'(\xbar) h + o(h). \]
+
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $(f_1 + f_2)(\xbar + h) = (f_1 + f_2)(\xbar) +
+			(f_1' + f_2')(\xbar) h + o(h)$. Quindi, per la proposizione precedente, $(f_1 + f_2)'(\xbar) = (f_1' + f_2')(\xbar) =
+			f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar)$.
+			\item $(f_1 f_2)(\xbar + h) = (f_1 f_2)(\xbar) + (f_1(\xbar)f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)) h + \underbrace{(f_1(\xbar) + f_2(\xbar)) o(h) + (f_1'f_2')(\xbar) h^2 + (f_1'(\xbar) + f_2'(\xbar))h \cdot o(h) + o^2(h))}_{=o(h)} =
+			(f_1 f_2)(\xbar) + (f_1(\xbar)f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)) h + o(h)$. Quindi, per la proposizione precedente, $(f_1 f_2)'(\xbar) = f_1(\xbar)f_2'(\xbar) + f_1'(\xbar) f_2(\xbar)$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Siano $f : X \to Y$ e $g : Y \to \RR$, con $f$ derivabile in $\xbar$ e $g$ derivabile in $\ybar := f(\xbar)$. Allora $g \circ f$ è
+		derivabile in $\xbar$ e $(g \circ f)'(\xbar) = f'(\xbar) g'(\ybar)$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Poiché $f'(\xbar)$ è finito, $f(\xbar + h) = \ybar + f'(\xbar) h + o(h)$. Analogamente, $g(\ybar + h) = g(\ybar) + g'(\ybar) h + o(h)$.
+		Allora $g(f(\xbar + h)) = g(\ybar + (f'(\xbar) h + o(h))) =
+		g(\ybar) + g'(\ybar) (f'(\xbar) h + o(h)) + o(f'(\xbar) h + o(h)) =
+		g(\ybar) + g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h) + o(f'(\xbar) h + o(h))$. \\
+		
+		Si osserva che $\lim_{h \to 0} \frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{h} =
+		\lim_{h \to 0} \frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{f'(\xbar) h + o(h)} \frac{f'(\xbar) h + o(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{o(f'(\xbar) h + o(h))}{f'(\xbar) h + o(h)} \lim_{h \to 0} \frac{f'(\xbar) h + o(h)}{h} =
+		0 \cdot f'(\xbar) = 0$, e quindi che $o(f'(\xbar) h + o(h)) = o(h)$.
+		Allora $g(f(\xbar + h)) = g(\ybar) + g'(\ybar) f'(\xbar) h + o(h)$,
+		da cui si conclude che $(g \circ f)'(\xbar) = g'(\ybar) f'(\xbar)$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $f : X \to Y$ con inversa $g : Y \to X$. Sia $f$ derivabile
+		in $\xbar$ con $f'(\xbar) \neq 0$. Sia $g$ continua in $\ybar = f(\xbar)$. Allora:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $\ybar$ è un punto di accumulazione di $Y$,
+			\item $g$ è derivabile in $\ybar$ e $g'(\ybar) = \frac{1}{f'(\xbar)}$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof} Si dimostrano i due risultati separatamente.
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item Poichè $f$ è derivabile in $\xbar$, $f$ è continua
+			in $\xbar$. Quindi per ogni intorno $I$ di $\ybar$, esiste
+			un intorno $J$ di $\xbar$ tale per cui $f(I \cap X \setminus \{ \xbar \}) \subseteq J$. Inoltre, $I \cap X \setminus \{\xbar\}$ non
+			è mai vuoto, dacché, essendo $f$ derivabile in $\xbar$, $\xbar$ è un punto di accumulazione di $X$. Quindi $J$ contiene in particolare un immagine di $f$ in esso, e quindi un punto di $Y$;
+			inoltre, tale punto è diverso da $\ybar$ dal momento che $f$ è
+			iniettiva, essendo bigettiva. Quindi $\ybar$ è un punto di accumulazione.
+			\item Poiché $f$ è derivabile in $g(\ybar)$,
+			$\ybar + h = f(g(\ybar + h)) = f(g(\ybar) + (\underbrace{g(\ybar + h) - g(\ybar)}_k)) = \ybar + f'(\xbar) k +
+			o(k)$, ossia vale che:
+			
+			\[ h = f'(\xbar) k + o(k). \]
+			
+			Dal momento che $g$ è continua in $\ybar$, $k \tends{h \to 0} 0$, e
+			quindi $o(k) \tends{h \to 0} 0$. Quindi, per $h \to 0$, $k \sim \frac{h}{f'(\xbar)}$. Si conclude
+			dunque che $\lim_{h \to 0} \frac{g(\ybar + h) - g(\ybar)}{h} =
+			\lim_{h \to 0} \frac{k}{h} = \frac{1}{f'(\xbar)}$.
+ 		\end{enumerate}
+	\end{proof}
+
+	\begin{example}
+		La continuità è necessaria nelle scorse ipotesi. Si può costruire
+		infatti una funzione del tipo:
+		
+		\[ f(x) = \system{x & \se x \geq 0, \\ -(x+2) & \se -2 < x \leq -1.} \]
+		
+		\vskip 0.05in
+		
+		dove $f'(0) = 1$, $f$ è invertibile, ma la derivata di $g$ in $0$ non
+		esiste ($D_+ g(0) = 1$, ma $D_- g(0) = +\infty$).
+	\end{example}
+
+	\begin{theorem} (di Fermat)
+		Sia $I$ intervallo, $f : I \to \RR$, $\xbar$ interno a $I$ punto
+		di massimo o minimo locale con $f$ derivabile in $\xbar$, allora
+		$f'(\xbar) = 0$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Poiché $I$ è un intervallo e $\xbar$ è interno a $I$, $\xbar$ è sia punto di accumulazione
+		sinistro che punto di accumulazione destro di $I$. Dal momento che $f$ è derivabile
+		in $\xbar$, esistono sia la derivata destra che la derivata sinistra in $\xbar$. \\
+		
+		Si assuma che $\xbar$ è un punto di massimo locale (altrimenti è sufficiente considerare $g = -f$).
+		Allora esiste un intorno $J$ di $\xbar$ tale per cui $x \in J \implies f(x) - f(\xbar) \leq 0$. Sia dunque
+		$J_+$ l'intorno destro relativo a $J$, e sia $J_-$ quello sinistro. \\
+		
+		Poiché $\xbar = \inf J_+$, esiste una successione $\{x_n\} \subseteq J_+ \setminus \{\xbar\}$ tale
+		per cui $x_n \tendston \xbar$. Dal momento che allora $f$ è derivabile in $\xbar$, $f$ è anche
+		continua in $\xbar$, e quindi si ricava che $f(x_n) \tendston f(\xbar)$. Si osserva dunque
+		che $f(x_n) - f(\xbar) \leq 0$ e $x_n - \xbar > 0 \implies \frac{f(x_n) - f(\xbar)}{x_n - \xbar} \leq 0$,
+		da cui, per il teorema della permanenza del segno, si ricava che $L_+ = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_n) - f(\xbar)}{x_n - \xbar} \leq 0$. \\
+		
+		Allora, dal momento che $f$ è derivabile in $\xbar$ e che la derivata destra
+		deve coincidere con la derivata classica, $f'(\xbar) =
+		\lim_{x \to \xbar^+} \frac{f(x) - f(\xbar)}{x-\xbar} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(x_n) - f(\xbar)}{x-\xbar} = L_+ \leq 0$. \\
+		
+		Analogamente si ricava che $f'(\xbar) \geq 0$, e quindi che $f'(\xbar)$ è necessariamente pari a zero, da cui la
+		tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark} \nl
+		\li Si può facilmente generalizzare il teorema di Fermat assumendo ipotesi più deboli. Sia infatti $x_M$ un punto di massimo locale e sia $f$ continua in $x_M$,
+		allora, qualora esistano, $D_+ f(x_M) \leq 0$ e $D_- f(x_M) \geq 0$. Analogamente
+		si estende la proposizione a $x_m$ punto di minimo locale. 
+	\end{remark}
+
+	\begin{theorem} (di Rolle)
+		Sia $I = [a, b] \subset \RR$ e sia $f : I \to \RR$ tale che
+		$f$ sia continua su $I$, che $f(a) = f(b)$ e che $f$ sia derivabile
+		in $[a, b]$. Allora $\exists \xbar \in (a, b)$ tale che $f'(\xbar) = 0$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Per il teorema di Weierstrass $f$ ammette un punto di massimo $M$ e uno di minimo $m$ in $I$. Se $f(a) = M$ e $f(b) = m$ o viceversa, la
+		funzione $f$ è costante in $I$, e quindi per ogni punto in $(a, b)$
+		la derivata è nulla. Altrimenti,
+		sicuramente uno tra il punto di massimo e quello di minimo appartiene
+		a $(a, b)$. Sia $\xbar$ tale punto. Allora, per il teorema di Fermat, $f'(\xbar) = 0$, da cui
+		la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{theorem} (di Cauchy)
+		Sia $I = [a, b] \subset \RR$ e siano $f$, $g: I \to \RR$
+		continue su $I$ e derivabili in $(a, b)$, con $g'$ non nulla
+		in $(a, b)$ e $g(a) \neq g(b)$. Allora
+		$\exists \xbar \in (a, b)$ tale che $\frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b)-g(a)}$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Si consideri la funzione $h : I \to \RR$ tale che $h(x) = f(x) - \left(\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} (g(x) - g(a)) + f(a)\right)$.
+		Si osserva che $h$,
+		essendo una somma di funzioni continue su $I$ e derivabili in $(a, b)$,
+		è anch'essa continua su $I$ e derivabile in $(a, b)$. Inoltre
+		$h(a) = h(b) = 0$. Quindi, per il teorema di Rolle, $\exists \xbar \in (a, b) \mid h'(\xbar) = 0 \implies \frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)} = \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$,
+		da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{theorem} (di Lagrange)
+		Sia $I = [a, b] \subset \RR$ e sia $f: I \to \RR$ tale che $f$
+		sia continua su $I$ e che $f$ sia derivabile in $(a, b)$. Allora
+		$\exists \xbar \in (a, b)$ tale che $f'(\xbar) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$, ossia tale per cui la retta tangente a $f$ in $\xbar$ è parallela alla secante
+		che passa per $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Si consideri $g(x) = x$. $g$ è continua in $[a, b]$ e derivabile
+		in $(a, b)$, con derivata sempre non nulla in tale intervallo.
+		Allora, per il teorema di Cauchy, $\exists \xbar \in (a, b) \mid
+		f'(\xbar) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $I = [a, b] \subset \RR$ e sia $f : I \to \RR$ tale che $f$
+		sia continua su $I$ e che $f$ sia derivabile in $(a, b)$, con
+		derivata non negativa. Allora $f$ è crescente in $[a, b]$.
+		Analogamente, se la derivata è non positiva, $f$ è decrescente.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Senza perdita di generalità si dimostra il caso in cui la derivata
+		di $f$ in $(a, b)$ è non negativa (altrimenti è sufficiente considerare
+		$g = -f$).
+		Si considerino $c < d \in I$. Allora, per il teorema di Lagrange,
+		$\exists \xbar \in (c, d) \mid f'(c) = \frac{f(d) - f(c)}{d-c}
+		\implies f(d) - f(c) = \underbrace{f'(c) (d-c)}_{\geq 0} \implies
+		f(d) \geq f(c)$, e quindi $f$ è crescente in $I$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $I \subset \RR$ un intervallo e sia $f : I \to \RR$ tale che $f$
+		sia derivabile in $I$. Allora $f$ è convessa
+		se e solo se la derivata è crescente.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+
+		\rightproof Siano $x_0$, $x_1 \in I$ con $x_0 < x_1$. Sia $h$
+		positivo tale che $x_0 < x_0 + h \leq x_1$. Allora $x_0 + h = (1- \lambda) x_0 + \lambda x_1$ con $\lambda = \frac{h}{x_1 - x_0}$.
+		Allora, poiché $f$ è convessa, $f(x_0 + h) \leq (1- \lambda) f(x_0) + f(x_1) \leq f(x_0) + \frac{h}{x_1 - x_0} \left( f(x_1) - f(x_0) \right)$, da cui si ricava che:
+		
+		\[ \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \leq \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}. \]
+		
+		Quindi, passando al limite, $f'(x_0) \leq \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$. Analogamente si dimostra che $\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} \leq f'(x_1)$. Si conclude dunque che $f'(x_1) \geq f'(x_0)$, ossia
+		che $f'$ è crescente. \\
+		
+		\leftproof Siano $x_0$, $x_1 \in I$ con $x_0 < x_1$. Si considera
+		$x = (1 - \lambda) x_0 + \lambda x_1 \in (x_0, x_1)$ con $0 < \lambda < 1$. Per il teorema di Lagrange $\exists \tilde{x_0} \in (x_0, x)$ tale
+		che $f'(\tilde{x_0}) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$. Analogamente
+		$\exists \tilde{x_1} \in (x, x_1)$ tale che $f'(\tilde{x_1}) =
+		\frac{f(x_1) - f(x)}{x_1 - x}$. Poiché allora per ipotesi la
+		derivata $f'$ è crescente, si ricava che:
+		
+		\[ \frac{f(x_1) - f(x)}{x_1 - x} \geq \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, \]
+		
+		da cui si conclude che:
+		
+		\[ f(x) \leq (1-\lambda) f(x_0) + \lambda f(x_1), \]
+		
+		\vskip 0.05in
+		
+		ossia che vale la disuguaglianza di Jensen, e quindi che
+		$f$ è convessa, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}\nl
+		\li L'interpretazione geometrica del teorema di Cauchy, rispetto
+		a quella di Lagrange, è leggermente più complicata. Si consideri
+		la curva continua $\gamma : \RR \to \RR^2$ tale che
+		$\gamma(t) =(g(t), f(t))$. Si osserva che il coefficiente della
+		retta tangente in $\xbar$ per $\gamma$ è dato da $\lim_{h \to 0} \frac{f(\xbar + h) - f(\xbar)}{g(\xbar + h) - g(\xbar)}$, che,
+		sotto le ipotesi del teorema di Cauchy, può essere riscritto
+		come $\frac{f'(\xbar)}{g'(\xbar)}$. Allora, il teorema di Cauchy
+		asserisce che esiste un punto della curva $\gamma$ tale per cui
+		la retta tangente alla curva in quel punto è parallela alla secante
+		passante per $(g(a), f(a))$ e $(g(b), f(b))$. \\
+		
+		\li Inoltre $f$ è strettamente crescente in $I$ se $f' \geq 0$ e
+		non esistono intervalli di punti stazionari. Analogamente se $f' < 0$ in
+		$I$ e non esistono ancora tali intervalli, $f$ è strettamente decrescente in $I$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{exercise}
+		Si descriva un insieme $X$ tale che i suoi unici punti di accumulazione
+		siano $\pm 1$.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution}
+		Si consideri $X = \{1 + \frac{1}{n}\} \cup \{-1 - \frac{1}{n}\}$, al variare di $n \in \NN$. Sia
+		$J = [1 - \eps, 1 + \eps]$ un intorno di $1$. Allora $1 + \frac{1}{n} \in J$ per $n > \frac{1}{\eps}$,
+		da cui si ricava che $1$ è un punto di accumulazione di $X$; analogamente si verifica che $-1$ è
+		un punto di accumulazione di $X$. Si consideri adesso l'intorno $J = \left[1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right), 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right]$. Si verifica che nessun punto di $X$, oltre $1 + \frac{1}{n}$ appartiene a $J$, e quindi
+		$1 + \frac{1}{n}$ non è punto di accumulazione di $X$. Analogamente non lo è alcun numero della forma
+		$-1 - \frac{1}{n}$.
+	\end{solution}
+
+	\begin{exercise}
+		Sia $f : X \to \RRbar$ continua in $\xbar$ e sia $a < f(\xbar)$.
+		Allora esiste $J$ intorno di $\xbar$ tale che $a < f(x)$ $\forall
+		x \in J \cap X \setminus \{\xbar\}$.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution}
+		Si consideri $g : X \to \RRbar$ tale che $g(x) = f(x) - a$. Poiché $g$ è una somma di
+		funzioni continue in $\xbar$, anch'essa è continua in $g$. Allora, poiché $g(\xbar) > 0$,
+		per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno $J$ di $\xbar$ tale per cui
+		$g(x) > 0$ $\forall x \in J$, ossia tale per cui $f(x) > a$ $\forall x \in J$, da cui la tesi.
+	\end{solution}
+
+	\begin{exercise}
+		Sia $X \subseteq \RRbar$ e sia $\xbar$ punto di accumulazione di $X$. Siano
+		$f_1$, $f_2 : X \to \RRbar$. Si dimostri allora che:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item se $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$ e $f_2$ è limitata inferiormente
+			in un intorno $J$ di $\xbar$, allora $f_1(x) + f_2(x) \tendsto{\xbar} +\infty$;
+			\item se $f_1 \tendsto{\xbar} 0$ e $f_2$ è limitata in un intorno $J$
+			di $\xbar$, allora $f_1 f_2(x) \tendsto{\xbar} 0$;
+			\item se $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$ ed $f_2$ è limitata inferiormente
+			da una costante positiva $c$ in un intorno $J$ di $\xbar$, allora
+			$f_1 f_2 \tendsto{\xbar} +\infty$. 
+		\end{enumerate}
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution} Si dimostrano i tre risultati separatamente.
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item Sia $c$ la costante tale per cui $f_2(x) \geq c$ $\forall x \in J \cap X$. Sia $I = [a, \infty]$ un intorno di $+\infty$. Se $c < 0$, poiché $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$, esiste un intorno $J'$ tale per cui $f_1(J' \cap X \setminus \{ \xbar \}) \subseteq [a-c, \infty] \subseteq I$. Sia dunque $Z = J \cap J'$. Allora
+			$(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x) \geq a-c+c = a$ $\forall x \in Z$, da cui si conclude che
+			$(f_1 + f_2)(Z \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$. Se invece $c \geq 0$, è sufficiente considerare
+			un intorno $J'$ di $\xbar$ tale per cui $f_1(J' \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$, da cui
+			$(f_1 + f_2)(x) = f_1(x) + f_2(x) \geq a+c \geq a$ $\forall x \in Z \implies (f_1+f_2)(Z \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$, da cui la tesi.
+			
+			\item Poiché $f_2$ è limitata in $J$, esistono delle costanti finite $a$, $b \in \RR$ tali per cui $a \leq f_2(x) \leq b$ $\forall x \in J$. Sia
+			$I = [-\eps, \eps]$ un intorno di $0$, con $\eps > 0$. Si consideri $c := \max\{\abs a, \abs b\}$.
+			Allora vale che $-c \leq f_2(x) \leq c$ $\forall x \in J$. Poiché $f_1 \tendsto{\xbar} 0$, esiste
+			un intorno $J'$ di $\xbar$ tale per cui $f(J' \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq \left[-\frac{\eps}{c}, \frac{\eps}{c}\right]$. Si consideri ora $Z := J \cap J'$: vale allora che $\abs{(f_1 f_2)(x)} = \abs{f_1(x) f_2(x)} \leq c \frac{\eps}{c} = \eps$ $\forall x \in Z \cap X \setminus \{\xbar\}$. Si conclude
+			dunque che $(f_1f_2)(Z \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$, da cui la tesi.
+			
+			\item Sia $I = [a, \infty]$ un intorno di $+\infty$. Allora, poiché $f_1 \tendsto{\xbar} +\infty$,
+			esiste un intorno $J'$ di $\xbar$ tale per cui $f_1(J' \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq [\abs a, \infty] \subseteq I$. Si
+			consideri dunque $Z := J \cap J'$: vale dunque che $(f_1f_2)(x) = f_1(x) f_2(x) \geq \abs{a}c \geq a$ $\forall x \in Z \cap X \setminus \{\xbar\}$. Si conclude allora che $(f_1f_2)(Z \cap X \setminus \{\xbar\}) \subseteq I$, da cui la tesi.
+		\end{enumerate}
+		
+	\end{solution}
+
+	\begin{exercise}
+		Sia $f: \RR \to \RR$ tale che:
+		
+		\[ f(x) = \system{x + 2x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \se x \neq 0, \\ 0 & \altrimenti.} \]
+		
+		\vskip 0.05in
+		
+		Si mostri che $f$ è continua ovunque e che $D_+ f(0) = 1$.
+	\end{exercise}
+
+	\begin{solution}
+		Poiché somma di funzioni elementari, $f$ è continua in $(0, \infty)$. Analogamente è continua in
+		$(-\infty, 0)$ dacché è costante in tale intervallo. Affinché allora $f$ sia continua ovunque è
+		sufficiente che si dimostri che è continua anche in $0$. Dal momento che $0$ è un punto di accumulazione
+		sia destro che sinistro di $\RR$, questo equivale a mostrare che il limite destro e sinistro di $f$
+		esistono in $0$ e coincidono. \\
+		
+		Si verifica dunque che
+		\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x + \lim_{x \to 0^+} 2x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0, \]
+		
+		dove si è impiegato il fatto che $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ è limitata in ogni intorno di $0$ e che
+		$2x^2 \tendsto{0^+} 0$; quindi $f$ è continua in $0$, e lo è allora ovunque. \\
+		
+		Si computa allora la derivata destra di $f$ in $0$:
+		
+		\[ D_+ f(0) =  \lim_{h \to 0^+} \frac{h + 2h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h} = 1 + \lim_{h \to 0^+} 2 h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 1,   \]
+		
+		dove si è usato lo stesso argomento di prima per computare $\lim_{h \to 0^+} 2 h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0$.
+	\end{solution}
+
+	\begin{theorem} (di de l'Hopital) %TODO: sistemare nome
+		Siano $I$ intervallo e $x_0 \in I$. Sia detto $I' := I \setminus \{ x_0 \}$. Siano $f$, $g : I' \to \RR$ derivabili tali che:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item esiste $L := \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$,
+			\item $g' \neq 0$ in $I'$,
+			\item vale che (a) $f(x)$, $g(x) \tendsto{x_0} 0$ oppure che (b)
+			$g(x) \tendsto{x_0} \pm \infty$.
+		\end{enumerate}
+	
+		Allora $\frac{f(x)}{g(x)} \tendsto{x_0} L$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}[Dimostrazione del caso $(a)$ con $x_0$]
+		Senza perdità di generalità si ponga $f(x_0) = g(x_0) := 0$ e si
+		assuma che $I$ sia un intorno destro di $x_0$. Sia $x \in I \setminus \{x_0\}$, da cui si ricava che $x > x_0$. \\
+		
+		Si osserva che $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(x_0)}{g(x)} - g(x_0)$. Per il teorema di Cauchy, esiste allora $\tilde{x} \in (x_0, x)$,
+		in funzione di $x$, tale
+		che $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)}$. Allora
+		$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)} = \lim_{\tilde x \to x_0} \frac{f'(\tilde x)}{g'(\tilde x)} = L$, dove si è utilizzato che $\tilde x \tendsto{x_0} x_0$ per il teorema del confronto applicato sulla
+		relazione $x_0 < \tilde x < x$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}
+		È essenziale che $I$ sia un intervallo affinché il teorema di de
+		l'Hopital sia vero.
+		% TODO: scrivi esempio di unione infinita di intervalli (tra x e x^2 + x)
+	\end{remark}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $I$ un intervallo, sia $x_0 \in I$ e sia $f : I \to \RR$ continua
+		e derivabile dappertutto tranne che in $x_0$. Se esiste
+		$L := \lim_{x \to x_0} f'(x)$, allora $f'(x_0) = L$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si consideri il rapporto incrementale $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.
+		Allora, per $x \to x_0$, per il teorema di de l'Hopital, $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} f'(x)$.
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Analisi matematica 1/README.md

@@ -0,0 +1,15 @@
+# [Analisi Matematica 1](https://esami.unipi.it/programma.php?c=53660&aa=2022&cid=9&did=20)
+
+- [Programma del corso 📘](https://esami.unipi.it/programma.php?c=53660&aa=2022&cid=9&did=20)
+- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=7083962::::&ri=8292)
+- [Sito web 🔗](https://pagine.dm.unipi.it/alberti/didattica/didattica.html#corso1)
+- [Raccolta esercizi di Gobbino 🎒](http://pagine.dm.unipi.it/gobbino/Home_Page/ArchivioDidattico.html)
+
+Il corso di Analisi Matematica 1 è terminato, e quindi questa cartella non vedrà più aggiornamenti. Il
+corso è stato sin da subito suddiviso in due parti: quella di *calculus*, ossia di mera applicazione
+dei risultati pratici dell'analisi; e quella di *analysis*, ossia di rifondazione teorica dell'analisi
+moderna, e dunque di rivisitazione in chiave strettamente più formale dei concetti intravisti nella parte di *calculus*.
+Si è preferito tuttavia rendere disponibile soltanto gli appunti di questa seconda parte, dal momento che i primi appunti
+risultavano poco comprensibili e superflui.
+
+Inizialmente gli appunti sono stati presi con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it). Successivamente ho finito col prenderli in LaTeX con [TeXstudio](https://www.texstudio.org/).

Corsi/Analisi numerica/README.md

@@ -0,0 +1,8 @@
+# [Analisi numerica](https://esami.unipi.it/programma.php?c=58005&aa=2023&docente=&insegnamento=ANALISI+NUMERICA&sd=0)
+
+- [Programma del corso 📘](https://esami.unipi.it/programma.php?c=58005&aa=2023&docente=&insegnamento=ANALISI+NUMERICA&sd=0)
+- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=10336913::::&ri=9222)
+
+La cartella contiene una scheda riassuntiva, ovverosia un recap di
+tutti i risultati principali del corso. Tale scheda è opera originale di [Mario Zito](mailto:m.zito12@studenti.unipi.it),
+a cui ho personalmente contribuito.

Corsi/Analisi numerica/notes_2023.sty

@@ -0,0 +1,463 @@
+\ProvidesPackage{notes_2023}
+
+\usepackage{amsmath,amssymb}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsopn}
+\usepackage{bookmark}
+\usepackage{faktor}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{nicefrac}
+\usepackage{stmaryrd}
+\usepackage{marvosym}
+\usepackage{float}
+\usepackage{enumerate}
+\usepackage{scalerel}
+\usepackage{stackengine}
+\usepackage{wasysym}
+
+\usepackage{tikz-cd}
+
+\usepackage{quiver}
+
+\usepackage[italian]{babel}
+
+\usepackage{tabularx}
+
+% Setup preliminari
+\setlength{\extrarowheight}{4pt}
+
+\newcommand{\system}[1]{\begin{cases} #1 \end{cases}}
+
+\newcommand{\wip}{\begin{center}\textit{Questo avviso sta ad indicare che questo documento è ancora una bozza e non è
+			da intendersi né completo, né revisionato.}\end{center}}
+
+\newcommand\hr{\vskip 0.05in \par\vspace{-.5\ht\strutbox}\noindent\hrulefill\par}
+
+% Modalità matematica/fisica
+\newcommand{\SMatrix}[1]{\begin{psmallmatrix}#1\end{psmallmatrix}}
+
+\let\oldvec\vec
+\renewcommand{\vec}[1]{\underline{#1}}
+
+\newcommand{\con}{\text{con }}
+\newcommand{\dove}{\text{dove }}
+\newcommand{\E}{\text{ e }}
+\newcommand{\altrimenti}{\text{altrimenti}}
+\newcommand{\se}{\text{se }}
+\newcommand{\tc}{\text{ t.c. }\!}
+\newcommand{\epari}{\text{ è pari}}
+\newcommand{\edispari}{\text{ è dispari}}
+
+\newcommand{\nl}{\ \\}
+
+\newcommand{\bigmid}{\;\middle\vert\;}
+
+\newcommand{\lemmaref}[1]{\textit{Lemma \ref{#1}}}
+\newcommand{\thref}[1]{\textit{Teorema \ref{#1}}}
+
+\newcommand{\li}[0]{$\blacktriangleright\;\;$}
+
+\newcommand{\tends}[1]{\xrightarrow[\text{$#1$}]{}}
+\newcommand{\tendsto}[1]{\xrightarrow[\text{$x \to #1$}]{}}
+\newcommand{\tendstoy}[1]{\xrightarrow[\text{$y \to #1$}]{}}
+\newcommand{\tendston}[0]{\xrightarrow[\text{$n \to \infty$}]{}}
+
+\setlength\parindent{0pt}
+
+% Principio di induzione e setup dimostrativi.
+\newcommand{\basestep}{\mbox{(\textit{passo base})}\;}
+\newcommand{\inductivestep}{\mbox{(\textit{passo induttivo})}\;}
+
+\newcommand{\rightproof}{\mbox{($\implies$)}\;}
+\newcommand{\leftproof}{\mbox{($\impliedby$)}\;}
+
+% Spesso utilizzati al corso di Fisica 1.
+\newcommand{\dx}{\dot{x}}
+\newcommand{\ddx}{\ddot{x}}
+\newcommand{\dv}{\dot{v}}
+
+\newcommand{\del}{\partial}
+\newcommand{\tendstot}[0]{\xrightarrow[\text{$t \to \infty$}]{}}
+
+\newcommand{\grad}{\vec{\nabla}}
+\DeclareMathOperator{\rot}{rot}
+
+\newcommand{\ihat}{\hat{i}}
+\newcommand{\jhat}{\hat{j}}
+\newcommand{\khat}{\hat{k}}
+
+\newcommand{\der}[1]{\frac{d#1}{dx}}
+\newcommand{\parx}{\frac{\del}{\del x}}
+\newcommand{\pary}{\frac{\del}{\del y}}
+\newcommand{\parz}{\frac{\del}{\del z}}
+
+% Spesso utilizzati al corso di Analisi 1.
+%\newcommand{\liminf}{\lim_{x \to \infty}}
+\newcommand{\liminfty}{\lim_{x \to \infty}}
+\newcommand{\liminftym}{\lim_{x \to -\infty}}
+\newcommand{\liminftyn}{\lim_{n \to \infty}}
+\newcommand{\limzero}{\lim_{x \to 0}}
+\newcommand{\limzerop}{\lim_{x \to 0^+}}
+\newcommand{\limzerom}{\lim_{x \to 0^-}}
+
+\newcommand{\xbar}{\overline{x}}
+\newcommand{\ybar}{\overline{y}}
+\newcommand{\tbar}{\overline{t}}
+\newcommand{\zbar}{\overline{z}}
+\newcommand{\RRbar}{\overline{\RR}}
+
+% Spesso utilizzati al corso di Geometria 2
+
+\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
+\newcommand{\PPGL}{\mathbb{P}\!\GL}
+
+% Spesso utilizzati al corso di Geometria 1.
+
+\DeclareMathOperator{\OO}{O} % gruppo ortogonale
+\DeclareMathOperator{\SOO}{SO} % gruppo ortogonale speciale
+
+\newcommand{\proj}[1]{\Matrix{#1 \\[0.03in] \hline 1}}
+\newcommand{\projT}[1]{\Matrix{#1 & \rvline & 1}^\top}
+
+\newcommand{\cc}{\mathcal{C}}
+
+\let\AA\undefined
+\DeclareMathOperator{\Iso}{Iso}
+\newcommand{\AA}{\mathcal{A}}
+\newcommand{\MM}{\mathcal{M}}
+\newcommand{\KKxn}{\KK[x_1, \ldots, x_n]}
+
+\let\ext\faktor
+\newcommand{\quot}[1]{/{#1}}
+
+\newcommand{\Aa}{\mathcal{A}}
+\newcommand{\Ad}[1]{\mathcal{A}_{#1}}
+\DeclareMathOperator{\An}{\mathcal{A}_n}
+\DeclareMathOperator{\AnK}{\mathcal{A}_n(\KK)}
+\DeclareMathOperator{\Giac}{Giac}
+
+\DeclareMathOperator{\IC}{IC}
+\DeclareMathOperator{\Aff}{Aff}
+\DeclareMathOperator{\Orb}{Orb}
+\DeclareMathOperator{\Stab}{Stab}
+\DeclareMathOperator{\Gr}{Gr}
+\newcommand{\vvec}[1]{\overrightarrow{#1}}
+
+\newcommand{\conj}[1]{\overline{#1}}
+
+\DeclareMathOperator{\PH}{PH}
+\DeclareMathOperator{\PS}{PS}
+
+\let\imm\Im
+\let\Im\undefined
+\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
+\DeclareMathOperator{\Rad}{Rad}
+\newcommand{\restr}[2]{
+	#1\arrowvert_{#2}
+}
+
+\newcommand{\innprod}[1]{\langle #1 \rangle}
+
+\newcommand{\zerovecset}{\{\vec 0\}}
+\newcommand{\bigzero}{\mbox{0}}
+\newcommand{\rvline}{\hspace*{-\arraycolsep}\vline\hspace*{-\arraycolsep}}
+
+\newcommand{\Idv}{\operatorname{Id}_V}
+\newcommand{\Idw}{\operatorname{Id}_W}
+\newcommand{\IdV}[1]{\operatorname{Id}_{#1}}
+\DeclareMathOperator{\CI}{CI}
+\DeclareMathOperator{\Bil}{Bil}
+\DeclareMathOperator{\Mult}{Mult}
+\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
+\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
+\DeclareMathOperator{\adj}{adj}
+\DeclareMathOperator{\Cof}{Cof}
+\DeclareMathOperator{\pr}{pr}
+\DeclareMathOperator{\Sp}{sp}
+
+\newcommand{\dperp}{{\perp\perp}}
+
+\newcommand{\Eigsp}[0]{V_{\lambda}}
+\newcommand{\Gensp}[0]{\widetilde{V_{\lambda}}}
+\newcommand{\eigsp}[1]{V_{\lambda_{#1}}}
+\newcommand{\gensp}[1]{\widetilde{V_{\lambda_{#1}}}}
+\newcommand{\genspC}[1]{\widetilde{V_{#1}}}
+
+\DeclareMathOperator{\val}{val}
+\DeclareMathOperator{\Span}{Span}
+\newcommand{\charpoly}[1]{p_{#1}}
+\newcommand{\charpolyrestr}[2]{p_{#1\arrowvert_#2}\hspace{-1pt}(\lambda)}
+\newcommand{\minpoly}[1]{\varphi_{#1}}
+\newcommand{\valf}{\val_f}
+\newcommand{\valfv}{\val_{f,\V}}
+\newcommand{\e}[1]{\vec{e_{#1}}}
+\newcommand{\V}{\vec{v}}
+\newcommand{\VV}[1]{\vec{v_{#1}}}
+\newcommand{\basisdual}{\dual{\basis}}
+\newcommand{\vecdual}[1]{\vec{\dual{#1}}}
+\newcommand{\vecbidual}[1]{\vec{\bidual{#1}}}
+\newcommand{\NMatrix}[1]{\begin{matrix} #1 \end{matrix}}
+\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
+\newcommand{\Vector}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix}}
+
+\DeclareMathOperator{\rg}{rg}
+
+\let\v\undefined
+\newcommand{\v}{\vec{v}}
+\newcommand{\vv}[1]{\vec{v_{#1}}}
+\newcommand{\w}{\vec{w}}
+\newcommand{\U}{\vec{u}}
+\newcommand{\ww}[1]{\vec{w_{#1}}}
+\newcommand{\uu}[1]{\vec{u_{#1}}}
+\newcommand{\x}{\vec{x}}
+\newcommand{\xx}[1]{\vec{x_{#1}}}
+\newcommand{\y}{\vec{y}}
+\newcommand{\yy}[1]{\vec{y_{#1}}}
+
+\newcommand{\mapstoby}[1]{\xmapsto{#1}}
+\newcommand{\oplusperp}{\oplus^\perp}
+
+\newcommand{\tauindis}{\tau_{\text{indis}}}
+\newcommand{\taudis}{\tau_{\text{dis}}}
+
+% Spesso utilizzati durante il corso di Algebra 1
+
+\newcommand{\Det}[1]{\begin{vmatrix}
+	#1	
+\end{vmatrix}}
+\DeclareMathOperator{\disc}{disc}
+\newcommand{\Frob}{\mathcal{F}}
+
+\newcommand{\mono}{\hookrightarrow}
+
+\newcommand{\pev}{\nu_p}
+\newcommand{\exactdiv}{\mathrel\Vert}
+\newcommand{\pset}{\mathcal{P}}
+
+\newcommand{\Dn}{D_n}
+\newcommand{\Sn}{S_n}
+
+\newcommand{\mulgrp}[1]{\left(#1\right)^*}
+
+\newcommand{\ZZmulmod}[1]{\mulgrp{\ZZmod{#1}}}
+
+\newcommand{\bij}{\leftrightarrow}
+\newcommand{\ZZpmod}[1]{\ZZ \quot {\left(#1\right)} \ZZ}
+\newcommand{\ZZmod}[1]{\ZZ \quot #1 \ZZ}
+\newcommand{\cleq}[1]{\overline{#1}}
+
+\newcommand{\rotations}{\mathcal{R}}
+\newcommand{\gen}[1]{\langle #1 \rangle}
+\DeclareMathOperator{\Cl}{Cl}
+
+\newcommand{\actson}{\circlearrowleft}
+\newcommand{\Cyc}[1]{\left<#1\right>}
+
+% Comandi personali.
+
+\newcommand{\card}[1]{\left|#1\right|}
+\newcommand{\nsqrt}[2]{\!\sqrt[#1]{#2}\,}
+\newcommand{\zeroset}{\{0\}}
+\newcommand{\setminuszero}{\setminus \{0\}}
+
+\newenvironment{solution}
+{\textit{Soluzione.}\,}
+
+\theoremstyle{definition}
+
+\let\abstract\undefined
+\let\endabstract\undefined
+
+\newtheorem*{abstract}{Abstract}
+\newtheorem*{algorithm}{Algoritmo}
+\newtheorem*{corollary}{Corollario}
+\newtheorem*{definition}{Definizione}
+\newtheorem*{example}{Esempio}
+\newtheorem{exercise}{Esercizio}
+\newtheorem*{notation}{Notazione}
+\newtheorem{lemma}{Lemma}
+\newtheorem*{nlemma}{Lemma}
+\newtheorem*{note}{Nota}
+\newtheorem*{remark}{Osservazione}
+\newtheorem*{proposition}{Proposizione}
+\newtheorem*{summary}{Sommario}
+\newtheorem*{theorem}{Teorema}
+\newtheorem*{scheme}{Schema della dimostrazione}
+
+\newcommand{\basis}{\mathcal{B}}
+\newcommand{\BB}{\mathcal{B}}
+
+\newcommand{\basisC}{\mathcal{B}}
+
+\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
+
+\newcommand{\FFp}[1]{\mathbb{F}_p}
+\newcommand{\FFpx}[1]{\mathbb{F}_p[x]}
+
+\newcommand{\CCx}{\mathbb{C}[x]}
+
+\newcommand{\KK}{\mathbb{K}}
+\newcommand{\KKx}{\mathbb{K}[x]}
+
+\newcommand{\QQx}{\mathbb{Q}[x]}
+\newcommand{\RRx}{\mathbb{R}[x]}
+
+\newcommand{\ZZi}{\mathbb{Z}[i]}
+\newcommand{\ZZp}{\mathbb{Z}_p}
+\newcommand{\ZZpx}{\mathbb{Z}_p[x]}
+\newcommand{\ZZx}{\mathbb{Z}[x]}
+
+\newcommand{\ii}{\mathbf{i}}
+\newcommand{\jj}{\mathbf{j}}
+\newcommand{\kk}{\mathbf{k}}
+
+\newcommand{\bidual}[1]{#1^{**}}
+\newcommand{\dual}[1]{#1^{*}}
+\newcommand{\LL}[2]{\mathcal{L} \left(#1, \, #2\right)} % L(V, W)
+\newcommand{\Ll}{\mathcal{L}}
+
+\newcommand{\nsg}{\triangleleft} % sottogruppo normale proprio
+\newcommand{\nsgeq}{\trianglelefteqslant} % sottogruppo normale
+
+% evan.sty original commands
+\newcommand{\cbrt}[1]{\sqrt[3]{#1}}
+\newcommand{\floor}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}
+\newcommand{\ceiling}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil}
+\newcommand{\mailto}[1]{\href{mailto:#1}{\texttt{#1}}}
+\newcommand{\eps}{\varepsilon}
+\newcommand{\vocab}[1]{\textbf{\color{blue}\sffamily #1}}
+\providecommand{\alert}{\vocab}
+\newcommand{\catname}{\mathsf}
+\providecommand{\arc}[1]{\wideparen{#1}}
+
+% From H113 "Introduction to Abstract Algebra" at UC Berkeley
+\newcommand{\CC}{\mathbb C}
+\newcommand{\FF}{\mathbb F}
+\newcommand{\NN}{\mathbb N}
+\newcommand{\QQ}{\mathbb Q}
+\newcommand{\RR}{\mathbb R}
+\newcommand{\ZZ}{\mathbb Z}
+\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
+\DeclareMathOperator{\Inn}{Inn}
+\DeclareMathOperator{\Syl}{Syl}
+\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
+\DeclareMathOperator{\GL}{GL}
+\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
+
+% From Kiran Kedlaya's "Geometry Unbound"
+\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}
+\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert}
+\newcommand{\dang}{\measuredangle} %% Directed angle
+\newcommand{\ray}[1]{\overrightarrow{#1}}
+\newcommand{\seg}[1]{\overline{#1}}
+
+% From M275 "Topology" at SJSU
+\newcommand{\Id}{\mathrm{Id}}
+\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
+\newcommand{\taking}[1]{\xrightarrow{#1}}
+\newcommand{\inv}{^{-1}}
+
+\DeclareMathOperator{\ord}{ord}
+\newcommand{\defeq}{\overset{\mathrm{def}}{=}}
+\newcommand{\defiff}{\overset{\mathrm{def}}{\iff}}
+
+% From the USAMO .tex files
+\newcommand{\dg}{^\circ}
+
+\newcommand{\liff}{\leftrightarrow}
+\newcommand{\lthen}{\rightarrow}
+\newcommand{\opname}{\operatorname}
+\newcommand{\surjto}{\twoheadrightarrow}
+\newcommand{\injto}{\hookrightarrow}
+
+% Alcuni degli operatori più comunemente utilizzati.
+
+\DeclareMathOperator{\Char}{char}
+\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
+\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
+\DeclareMathOperator{\End}{End}
+\DeclareMathOperator{\existsone}{\exists !}
+\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
+\DeclareMathOperator{\Imm}{Imm}
+\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
+\DeclareMathOperator{\rank}{rank}
+\DeclareMathOperator{\MCD}{MCD}
+\DeclareMathOperator{\Mor}{Mor}
+\DeclareMathOperator{\mcm}{mcm}
+\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
+\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
+
+% Reimposta alcuni simboli presenti di default in LaTeX con degli analoghi
+% più comuni.
+
+\let\oldemptyset\emptyset
+\let\emptyset\varnothing
+
+% Trasforma alcuni simboli in operatori matematici.
+
+\let\oldcirc\circ
+\let\circ\undefined
+\DeclareMathOperator{\circ}{\oldcirc}
+
+\let\oldexists\exists
+\let\exists\undefined
+\DeclareMathOperator{\exists}{\oldexists}
+
+\let\oldforall\forall
+\let\forall\undefined
+\DeclareMathOperator{\forall}{\oldforall}
+
+\let\oldnexists\nexists
+\let\nexists\undefined
+\DeclareMathOperator{\nexists}{\oldnexists}
+
+\let\oldland\land
+\let\land\undefined
+\DeclareMathOperator{\land}{\oldland}
+
+\let\oldlnot\lnot
+\let\lnot\undefined
+\DeclareMathOperator{\lnot}{\oldlnot}
+
+\let\oldlor\lor
+\let\lor\undefined
+\DeclareMathOperator{\lor}{\oldlor}
+
+\DeclareOption{counter}{
+	\let\algorithm\@undefined
+	\let\endalgorithm\@undefined
+	\let\corollary\@undefined
+	\let\endcorollary\@undefined
+	\let\c@lemma\@undefined
+	\let\lemma\@undefined
+	\let\endlemma\@undefined
+	\let\proposition\@undefined
+	\let\endproposition\@undefined
+	\let\theorem\@undefined
+	\let\endtheorem\@undefined
+	
+	\newtheorem{algorithm}{Algoritmo}[chapter]
+	\newtheorem{corollary}{Corollario}[chapter]
+	\newtheorem{lemma}{Lemma}[chapter]
+	\newtheorem{proposition}{Proposizione}[chapter]
+	\newtheorem{theorem}{Teorema}[chapter]
+        \newtheorem{notation}{Notazione}[chapter]
+}
+
+\newcommand{\pp}{\mathtt{p}}
+\newcommand{\fl}{\mathtt{fl}}
+\newcommand{\op}{\mathtt{op}}
+\newcommand{\bop}{\mathbin{\op}}
+\DeclareMathOperator{\argmax}{argmax}
+\DeclareMathOperator{\diag}{diag}
+\DeclareMathOperator{\triu}{triu}
+\DeclareMathOperator{\tril}{tril}
+\newcommand{\innp}[1]{\langle #1 \rangle}
+
+\ProcessOptions\relax
+
+\author{di Gabriel Antonio Videtta}	
+\date{\vspace{-0.5cm}}

Corsi/Analisi numerica/quiver.sty

@@ -0,0 +1,40 @@
+% *** quiver ***
+% A package for drawing commutative diagrams exported from https://q.uiver.app.
+%
+% This package is currently a wrapper around the `tikz-cd` package, importing necessary TikZ
+% libraries, and defining a new TikZ style for curves of a fixed height.
+%
+% Version: 1.3.0
+% Authors:
+% - varkor (https://github.com/varkor)
+% - AndréC (https://tex.stackexchange.com/users/138900/andr%C3%A9c)
+
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\ProvidesPackage{quiver}[2021/01/11 quiver]
+
+% `tikz-cd` is necessary to draw commutative diagrams.
+\RequirePackage{tikz-cd}
+% `amssymb` is necessary for `\lrcorner` and `\ulcorner`.
+\RequirePackage{amssymb}
+% `calc` is necessary to draw curved arrows.
+\usetikzlibrary{calc}
+% `pathmorphing` is necessary to draw squiggly arrows.
+\usetikzlibrary{decorations.pathmorphing}
+
+% A TikZ style for curved arrows of a fixed height, due to AndréC.
+\tikzset{curve/.style={settings={#1},to path={(\tikztostart)
+    .. controls ($(\tikztostart)!\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
+    and ($(\tikztostart)!1-\pv{pos}!(\tikztotarget)!\pv{height}!270:(\tikztotarget)$)
+    .. (\tikztotarget)\tikztonodes}},
+    settings/.code={\tikzset{quiver/.cd,#1}
+        \def\pv##1{\pgfkeysvalueof{/tikz/quiver/##1}}},
+    quiver/.cd,pos/.initial=0.35,height/.initial=0}
+
+% TikZ arrowhead/tail styles.
+\tikzset{tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{tikzcd to}}}
+\tikzset{2tail/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies[reversed]}}}
+\tikzset{2tail reversed/.code={\pgfsetarrowsstart{Implies}}}
+% TikZ arrow styles.
+\tikzset{no body/.style={/tikz/dash pattern=on 0 off 1mm}}
+
+\endinput

Corsi/Aritmetica/README.md

@@ -0,0 +1,12 @@
+# [Aritmetica](https://esami.unipi.it/programma.php?c=53636&aa=2022&cid=9&did=20)
+
+- [Programma del corso 📘](https://esami.unipi.it/programma.php?c=53636&aa=2022&cid=9&did=20)
+- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=7085531::::&ri=11138)
+- [Appunti di Diego Monaco 📓](https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica)
+
+Le varie cartelle contengono alcuni estratti di quelle che sarebbero dovute essere delle dispense completamente sostitutive del corso.
+Accorgendomi tuttavia della precarietà di alcuni capitoli, e influenzato anche dall'esistenza di dispense che seguono la stessa filosofia
+(come quelle di [Diego Monaco](https://github.com/diego-unipi/Appunti-Aritmetica)), ho deciso di procedere all'abbandono del progetto. Gli
+appunti già creati -- spesso e volentieri tratti interamente da alcuni [miei scritti](https://scritti.hearot.it) -- sono stati tuttavia revisionati e integrati in una cartella unica assieme ai PDF degli appunti che ho preso durante le lezioni con [Microsoft Journal](https://apps.microsoft.com/store/detail/microsoft-journal/9N318R854RHH?hl=it-it&gl=it).
+
+In ogni caso, il corso di Aritmetica è terminato, e quindi questa cartella non vedrà più aggiornamenti.

Corsi/Aritmetica/Teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli/1. Introduzione alla teoria degli anelli.tex

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+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrbook}
+\usepackage{evan_notes}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[italian]{babel}
+\usepackage{amsfonts}
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+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\begin{document}
+
+\chapter{Introduzione alla teoria degli anelli}
+
+\section{Definizione e prime proprietà}
+
+\begin{definition}
+    Si definisce \textbf{anello}\footnote{In realtà, si parla in questo caso di anello \textit{con unità}, in cui vale l'assioma di esistenza di un'identità
+        moltiplicativa. In queste dispense si identificherà con "anello" solamente un anello con unità.} una struttura algebrica
+    costruita su un insieme $A$ e due operazioni binarie $+$
+    e $\cdot$\footnote{D'ora in avanti il punto verrà omesso.} avente le seguenti proprietà:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $\left(A,\, +\right)$ è un \textit{gruppo abeliano}, alla cui
+              identità, detta \textit{identità additiva}, ci si riferisce con il simbolo $0$,
+        \item $\forall a, b, c \in A$, $(ab)c = a(bc)$,
+        \item $\forall a, b, c \in A$, $(a+b)c=ac+bc$,
+        \item $\forall a, b, c \in A$, $a(b+c)=ab+ac$,
+        \item $\exists 1 \in A \mid \forall a \in A$, $1a=a=a1$, e tale $1$ viene
+              detto \textit{identità moltiplicativa}.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+Come accade per i gruppi, gli anelli soddisfano alcune proprietà algebriche
+particolari, tra le quali si citano le più importanti:
+
+\begin{proposition}
+    $\forall a \in A$, $0a=0=a0$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    $0a=(0+0)a=0a+0a \implies 0a=0$. Analogamente $a0=a(0+0)=a0+a0 \implies a0=0$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    $\forall a \in A$, $-(-a)=a$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    $-(-a)-a=0 \,\land\, a-a=0 \implies -(-a)=a$, per la proprietà di unicità
+    dell'inverso in un gruppo\footnote{In questo caso, il gruppo additivo dell'anello.}.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:inverso_inverso}
+    $a(-b)=(-a)b=-(ab)$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    $a(-b)+ab=a(b-b)=a0=0 \implies a(-b)=-(ab)$, per la proprietà di unicità dell'inverso in un gruppo. Analogamente $(-a)b+ab=(a-a)b=0b=0 \implies
+        (-a)b=-(ab)$.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+    $(-1)a=a(-1)=-a$.
+\end{corollary}
+
+\begin{proposition}
+    $(-a)(-b)=ab$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    $(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab$, per la \textit{Proposizione \ref{prop:inverso_inverso}}.
+\end{proof}
+
+Si enuncia invece adesso la nozione di \textbf{sottoanello}, in tutto e per
+tutto analoga a quella di \textit{sottogruppo}.
+
+\begin{definition}
+    Si definisce sottoanello rispetto all'anello $A$ un anello $B$ avente le
+    seguenti proprietà:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $B \subseteq A$,
+        \item $0, 1 \in B$,
+        \item $\forall a, b \in B,$ $a + b \in B \,\land\, ab \in B$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Un sottoanello $B$ rispetto ad $A$ si dice \textbf{proprio} se
+    $B \neq A$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Un anello si dice \textbf{commutativo} se $\forall a$, $b \in A$, $ab=ba$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    Un facile esempio di anello commutativo è $\ZZ/n\ZZ$.
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+    Un elemento $a$ di un anello $A$ si dice \textbf{invertibile} se
+    $\exists b \in A \mid ab = ba = 1$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Dato un anello $A$, si definisce $A^*$ come l'insieme degli elementi
+    invertibili di $A$, che a sua volta forma un \textit{gruppo moltiplicativo}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Un anello $A$ si dice \textbf{corpo} se $\forall a \neq 0 \in A$, $\exists b \in A \mid ab=ba=1$,
+    ossia se $A \setminus \{0\} = A^*$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    L'esempio più rilevante di corpo è quello dei \textit{quaternioni} $\HH$, definiti
+    nel seguente modo:
+
+    \[\HH = \{a+b\ii+c\jj+d\kk \mid a,\, b,\, c,\, d \in \RR\},\]
+
+    dove:
+
+    \[\ii^2 = \jj^2 = \kk^2 = -1, \quad \ii\jj = \kk,\, \jj\kk = \ii,\, \kk\ii = \jj. \]
+
+    Infatti ogni elemento non nullo di $\HH$ possiede un inverso moltiplicativo:
+
+    \[\left(a+b\ii+c\jj+d\kk\right)^{-1} = \frac{a-b\ii-c\jj-d\kk}{a^2+b^2+c^2+d^2},\]
+
+    mentre la moltiplicazione non è commutativa.
+
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+    Un anello commutativo che è anche un corpo si dice \textbf{campo}.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    Alcuni campi, tra i più importanti, sono $\QQ$, $\RR$, $\CC$ e $\ZZ/p\ZZ$ con
+    $p$ primo.
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+    Un elemento $a \neq 0$ appartenente a un anello $A$ si dice \textbf{divisore di zero} se
+    $\exists b \neq 0 \in A \mid ab = 0$ o $ba = 0$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    $2$ è un divisore di zero in $\ZZ/6\ZZ$, infatti $2 \cdot 3 \equiv 0 \pmod 6.$
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+    Un anello commutativo in cui non sono presenti divisori di zero si dice \textbf{dominio d'integrità},
+    o più semplicemente \textit{dominio}.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}[\textit{Legge di annullamento del prodotto}]
+    Sia $D$ un dominio. Allora $ab=0 \implies a=0 \,\lor\, b=0$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Siano $a$, $b \in D \mid ab = 0$. Se $a=0$, la condizione è soddisfatta.
+    Se invece $a \neq 0$, $b$ deve essere per forza nullo, altrimenti si
+    sarebbe trovato un divisore di $0$, e $D$ non sarebbe un dominio, \Lightning.
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+    L'anello dei polinomi su un campo, $\KK[x]$, è un dominio.
+\end{example}
+
+\section{Omomorfismi di anelli e ideali}
+
+\begin{definition}
+    Un \textbf{omomorfismo di anelli}\footnote{La specificazione "di anelli" è d'ora in avanti omessa.} è una mappa $\phi : A \to B$ -- con
+    $A$ e $B$ anelli -- soddisfacente alcune particolari proprietà:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $\phi$ è un \textit{omomorfismo di gruppi} rispetto all'addizione
+              di $A$ e di $B$, ossia $\forall a, b \in A, \, \phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$,
+        \item $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$,
+        \item $\phi(1_A)=1_B$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Se $\phi : A \to B$ è un omomorfismo iniettivo, si dice che
+    $\phi$ è un \textbf{monomorfismo}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Se $\phi : A \to B$ è un omomorfismo suriettivo, si dice che
+    $\phi$ è un \textbf{epimorfismo}.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Se $\phi : A \to B$ è un omomorfismo bigettivo\footnote{Ovvero se è sia un monomorfismo che un epimorfismo.}, si dice che
+    $\phi$ è un \textbf{isomorfismo}.
+\end{definition}
+
+Prima di enunciare l'analogo del \textit{Primo teorema d'isomorfismo} dei gruppi
+in relazione agli anelli, si rifletta su un esempio di omomorfismo:
+
+\begin{example}
+    Sia $\phi : \ZZ \to \ZZ, k \mapsto 2k$ un omomorfismo. Esso è un monomorfismo,
+    infatti $\phi(x)=\phi(y) \implies 2x=2y \implies x=y$. Pertanto $\Ker \phi = \{0\}$. Sebbene $\Ker \phi < \ZZ$, esso \textbf{non è un sottoanello}\footnote{Infatti $1 \notin \Ker \phi$.}.
+\end{example}
+
+Dunque, con lo scopo di definire meglio le proprietà di un \textit{kernel},
+così come si introdotto il concetto di \textit{sottogruppo normale} per i gruppi, si introduce ora il concetto di \textbf{ideale}.
+
+\begin{definition}
+    Si definisce ideale rispetto all'anello $A$ un insieme $I$ avente le seguenti proprietà:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $I \leq A$,
+        \item $\forall a \in A$, $\forall b \in I$, $ab \in I$ e $ba \in I$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    \label{exmpl:polinomi}
+    Sia $I$ l'insieme dei polinomi di $\RR[x]$ tali che $2$ ne sia radice. Esso
+    altro non è che un ideale, infatti $0 \in I \,\land\, \forall f(x), g(x) \in I, (f+g)(2)=0$ (i.e. $I<\RR[x]$) e $\forall f(x) \in A, \, g(x) \in I, \, (fg)(2) = 0$.
+\end{example}
+
+\begin{proposition}
+    Sia $I$ un ideale di $A$. $1 \in I \implies I = A$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Per le proprietà dell'ideale $I$, $\forall a \in A$, $a1 = a \in I \implies
+        A \subseteq I$. Dal momento che anche $I \subseteq A$, si deduce che $I = A$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    Sia $\phi : A \to B$ un omomorfismo. $\Ker \phi$ è allora un ideale di $A$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $\phi$ è anche un omomorfismo tra gruppi, si deduce che $\Ker \phi \leq A$.
+    Inoltre $\forall a \in A$, $\forall b \in \Ker \phi$, $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\phi(a)0=0 \implies ab \in I$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    Sia $\phi : A \to B$ un omomorfismo. $\Imm \phi$ è allora un sottoanello di $B$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Chiaramente $0, 1 \in \Imm \phi$, dal momento che $\phi(0) = 0,\, \phi(1)=1$. Inoltre, dalla teoria dei gruppi, si ricorda anche che $\Imm \phi \leq B$.
+    Infine, $\forall \phi(a),\, \phi(b) \in \Imm \phi, \, \phi(a)\phi(b) = \phi(ab) \in \Imm \phi$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Si definisce con la notazione $(a)$ l'ideale \textit{bilatero} generato da $a$ in $A$, ossia:
+
+    \[(a)=\{ba \mid b \in A\} \cup \{ab \mid b \in A\}.\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Si dice che un ideale $I$ è \textit{principale} o \textbf{monogenerato}, quando $\exists a \in I \mid I = (a)$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+    In relazione all'\textit{Esempio \ref{exmpl:polinomi}}, l'ideale $I$ è
+    monogenerato\footnote{Non è un caso: $\RR[x]$, in quanto anello euclideo, si dimostra essere un PID (\textit{principal ideal domain}), ossia un dominio che ammette \textit{solo} ideali monogenerati.}. In particolare, $I=(x-2)$.
+\end{example}
+
+\section{Quoziente per ideale e primo teorema d'isomorfismo}
+
+Si definisce invece adesso il concetto di \textbf{anello quoziente}, in modo
+completamente analogo a quello di \textit{gruppo quoziente}:
+
+\begin{definition}
+    Sia $A$ un anello e $I$ un suo ideale, si definisce $A/I$ l'anello ottenuto
+    quozientando $A$ per $I$. Gli elementi di tale anello sono le classi di equivalenza di $\sim$ (i.e. gli elementi di $A/{\sim}$), dove $\forall a$, $b \in A$, $a\sim b \iff a-b \in I$. Tali classi di equivalenza vengono indicate come
+    $a + I$, dove $a$ è un rappresentante della classe. L'anello è così dotato di due operazioni:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $\forall a$, $b \in A$, $(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$,
+        \item $\forall a$, $b \in A$, $(a+I)(b+I)=ab+I$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    L'addizione di $A/I$ è ben definita, dal momento che $I \nsg A$, in quanto sottogruppo di un gruppo abeliano.
+\end{remark*}
+
+\begin{remark*}
+    Anche la moltiplicazione di $A/I$ è ben definita. Siano $a\sim a'$, $b \sim b'$ quattro elementi di $A$ tali che $a = a' + i_1$ e $b = b' + i_2$ con $i_1$, $i_2 \in I$. Allora $ab=(a'+i_1)(b'+i_2)=a'b' + \underbrace{i_1b' + i_2a' + i_1i_2}_{\in I} \implies ab \sim a'b'$.
+\end{remark*}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:quoziente_pieno}
+    $A/\{0\} \cong A$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Sia $\pi : A \to A/\{0\}$, $a \mapsto a + \{0\}$ l'omomorfismo di proiezione
+    al quoziente. Innanzitutto, $a \sim a' \iff a-a'=0 \iff a=a'$, per cui $\pi$ è
+    un monomorfismo (altrimenti si troverebbero due $a$, $b \mid a \neq b \,\land\, a \sim b$). Infine, $\pi$ è un epimorfismo, dal momento che $\forall a + \{0\} \in A/\{0\}, \, \pi(a) = a + \{0\}$. Pertanto $\pi$ è un isomorfismo.
+\end{proof}
+
+Adesso è possibile enunciare il seguente fondamentale teorema:
+
+\begin{theorem}[\textit{Primo teorema d'isomorfismo}]
+    \label{th:primo_isomorfismo}
+    Sia $\phi : A \to B$ un omomorfismo. $A/\Ker \phi \cong \Imm \phi$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    La dimostrazione procede in modo analogo a quanto visto per il teorema correlato
+    in teoria dei gruppi. \\
+
+    Sia $\zeta : A/\Ker \phi \to \Imm \phi$, $a + \Ker \phi \mapsto \phi(a)$.
+    Si verifica che $\zeta$ è un omomorfismo: essendolo già per i
+    gruppi, è sufficiente verificare che $\zeta((a+I)(b+I))=\zeta(ab+I)=\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)=\zeta(a+I)\zeta(b+I)$. \\
+
+    $\zeta$ è chiaramente anche un epimorfismo, dal momento che $\forall \phi(a) \in \Imm \phi$, $\zeta(a + \Ker \phi) = \phi(a)$. Inoltre, dal momento che $\zeta(a + \Ker \phi) = 0 \iff \phi(a) = 0 \iff a + \Ker \phi = \Ker \phi$, ossia l'identità di $A/\Ker \phi$, si deduce anche che $\zeta$ è un monomorfismo. Pertanto $\zeta$ è un isomorfismo.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}
+    \label{cor:primo_isomorfismo_iniettivo}
+    Sia $\phi : A \to B$ un monomorfismo. $A \cong \Imm \phi$.
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $\phi$ è un monomorfismo, $\Ker \phi = \{0\}$. Allora, per il \textit{Primo teorema di isomorfismo}, $A/\{0\} \cong \Imm \phi$. Dalla
+    \textit{Proposizione \ref{prop:quoziente_pieno}}, si desume che $A \cong A/\{0\}$. Allora, per la proprietà transitiva degli isomorfismi, $A \cong \Imm \phi$.
+\end{proof}
+
+\end{document}

Corsi/Aritmetica/Teoria degli anelli/2. Anelli euclidei, PID e UFD/2. Anelli euclidei, PID e UFD.tex

@@ -0,0 +1,823 @@
+% !BIB TS-program = biber
+
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+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\addbibresource{bibliography.bib}
+
+\begin{document}
+
+\chapter{Anelli euclidei, PID e UFD}
+
+\section{Prime proprietà}
+
+Nel corso della storia della matematica, numerosi studiosi hanno tentato
+di generalizzare -- o meglio, accomunare a più strutture algebriche -- il
+concetto di divisione euclidea che era stato formulato per l'anello
+dei numeri interi $\ZZ$ e, successivamente, per l'anello dei polinomi
+$\KK[x]$. Lo sforzo di questi studiosi ad oggi è converso in un'unica
+definizione, quella di anello euclideo, di seguito presentata.
+
+\begin{definition}
+    Un \textbf{anello euclideo} è un dominio d'integrità $D$\footnote{Difatti, nella
+        letteratura inglese, si parla di \textit{Euclidean domain} piuttosto che di
+        anello.} sul quale è
+    definita una funzione $g$ detta \textbf{funzione grado} o \textit{norma}
+    soddisfacente le seguenti proprietà:
+
+    \begin{itemize}
+        \item $g : D \setminus \{0\} \to \NN$,
+        \item $\forall a$, $b \in D \setminus \{0\}$, $g(a) \leq g(ab)$,
+        \item $\forall a \in D$, $b \in D \setminus \{0\}$, $\exists q$, $r \in D \mid
+                  a=bq+r$ e $r=0 \,\lor\, g(r)<g(q)$.
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+Di seguito vengono presentate alcune definizioni, correlate
+alle proprietà immediate di un anello euclideo.
+
+\begin{definition}
+    Dato un anello euclideo $E$, siano $a \in E$ e $b \in E \setminus \{0\}$. Si dice che
+    $b \mid a$, ossia che $b$ \textit{divide} $a$, se $\exists c \in E \mid
+        a=bc$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    Si osserva che, per ogni anello euclideo $E$, qualsiasi $a \in E$ divide
+    $0$. Infatti, $0 = a0$.
+\end{remark*}
+
+\begin{proposition}
+    Dato un anello euclideo $E$, $a \mid b \,\land\, b \nmid a \implies g(a) < g(b)$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $b \nmid a$, esistono $q$, $r$ tali che $a = bq + r$, con
+    $g(r) < g(b)$. Dal momento però che $a \mid b$, $\exists c \mid
+        b = ac$. Pertanto $a = ac + r \implies r = a(1-c)$. Dacché $1-c \neq 0$ --
+    altrimenti $r=0$, \Lightning{} --, così come $a \neq 0$, si deduce
+    dalle proprietà della funzione grado che $g(a) \leq g(r)$.
+    Combinando le due disuguaglianze, si ottiene la
+    tesi: $g(a) < g(b)$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:g1_minimo}
+    $g(1)$ è il minimo di $\Imm g$, ossia il minimo grado assumibile
+    da un elemento di un anello euclideo $E$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Sia $a \in E \setminus \{0\}$, allora, per le proprietà della funzione
+    grado, $g(1) \leq g(1a) = g(a)$.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    Sia $a \in E \setminus \{0\}$, allora $a \in E^* \iff g(a) = g(1)$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Dividiamo la dimostrazione in due parti, ognuna corrispondente a una implicazione. \\
+
+    ($\implies$) \;Sia $a \in E^*$, allora $\exists b \in E^*$ tale che $ab=1$. Poiché
+    sia $a$ che $b$ sono diversi da $0$, dalle proprietà della funzione grado si
+    desume che $g(a) \leq g(ab) = g(1)$. Poiché, dalla \textit{Proposizione \ref{prop:g1_minimo}},
+    $g(1)$ è minimo, si conclude che $g(a) = g(1)$. \\
+
+    ($\;\Longleftarrow\;$) \;Sia $a \in E \setminus \{0\}$ con $g(a) = g(1)$. Allora
+    esistono $q$, $r$ tali che $1 = aq + r$. Vi sono due possibilità: che $r$ sia $0$, o
+    che $g(r) < g(a)$. Tuttavia, poiché $g(a)=g(1)$, dalla \textit{Proposizione \ref{prop:g1_minimo}} si desume che $g(a)$ è minimo, e quindi che
+    $r$ è nullo. Si conclude quindi che $aq = 1$, e dunque che $a \in E^*$.
+\end{proof}
+
+\section{Irriducibili e prime definizioni}
+
+Come accade nell'aritmetica dei numeri interi, anche in un dominio è possibile definire
+una nozione di \textit{primo}. In un dominio possono essere tuttavia definiti due tipi di "primi",
+gli elementi \textit{irriducibili} e gli elementi \textit{primi}.
+
+\begin{definition}
+    In un dominio $A$, si dice che $a \in A \setminus A^*$ è \textbf{irriducibile} se
+    $\exists b$, $c \mid a=bc \implies b \in A^*$ o $c \in A^*$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    Dalla definizione si escludono gli invertibili di $A$ per permettere
+    di definire meglio il concetto di fattorizzazione in seguito. Infatti,
+    se li avessimo inclusi, avremmo che ogni dominio sarebbe a fattorizzazione
+    non unica, dal momento che $a=bc$ potrebbe essere scritto anche come
+    $a=1bc$.
+\end{remark*}
+
+\begin{definition}
+    Si dice che due elementi non nulli $a$, $b$ appartenenti a un anello euclideo
+    $E$ sono \textbf{associati} se $a \mid b$ e $b \mid a$.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:associati}
+    $a$ e $b$ sono associati $\iff \exists c \in E^* \mid a=bc$ e $a$, $b$ entrambi non nulli.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+
+    ($\implies$) Se $a$ e $b$ sono associati, allora $\exists d$, $e$ tali che $a=bd$ e che $b=ae$. Combinando le due relazioni si ottiene:
+
+    \[ a=aed \implies a(1-ed)=0.\]
+
+    Poiché $a$ è diverso da zero, si ricava che $ed=1$, ossia
+    che $d$, $e \in E^*$, e quindi la tesi. \\
+
+    ($\;\Longleftarrow\;$) Se $a$ e $b$ sono entrambi non
+    nulli e $\exists c \in E^* \mid a=bc$, $b$ chiaramente
+    divide $a$. Inoltre, $a=bc \implies b=ac^{-1}$, e quindi
+    anche $a$ divide $b$. Pertanto $a$ e $b$ sono associati.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:divisione_associati}
+    Siano $a$ e $b$ due associati in $E$. Allora $a \mid c \implies b \mid c$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $a$ e $b$ sono associati, per la \textit{Proposizione \ref{prop:associati}}, $\exists d \in E^*$ tale che
+    $a = db$. Dal momento che $a \mid c$, $\exists \alpha \in E$ tale che
+    $c = \alpha a$, quindi:
+
+    \[ c = \alpha a = \alpha d b,\]
+
+    da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:associati_generatori}
+    Siano $a$ e $b$ due associati in $E$. Allora
+    $(a)=(b)$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $a$ e $b$ sono associati, $\exists d \in E^*$ tale che $a = db$. Si dimostra l'uguaglianza dei due insiemi. \\
+
+    Sia $\alpha = ak \in (a)$, allora $\alpha = dbk$ appartiene anche a $(b)$, quindi $(a) \subseteq (b)$. Sia
+    invece $\beta = bk \in (b)$, allora $\beta = d^{-1}ak$
+    appartiene anche a $(a)$, da cui $(b) \subseteq (a)$.
+    Dalla doppia inclusione si verifica la tesi, $(a)=(b)$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    In un dominio $A$, si dice che $a \in A \setminus A^*$ è \textbf{primo} se
+    $a \mid bc \implies a \mid b \,\lor\, a \mid c$.
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    Se $a \in A$ è primo, allora $a$ è anche irriducibile.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Si dimostra la tesi contronominalmente. Sia $a$ non irriducibile. Se
+    $a \in A^*$, allora $a$ non può essere primo. Altrimenti $a=bc$ con
+    $b$, $c \in A \setminus A^*$. \\
+
+    Chiaramente $a \mid bc$, ossia sé stesso. Senza perdità di generalità, se $a \mid b$, dal momento che anche $b \mid a$,
+    si dedurrebbe che $a$ e $b$ sono associati secondo la
+    \textit{Proposizione \ref{prop:associati}}. Tuttavia questo
+    implicherebbe che $c \in A^*$, \Lightning{}.
+\end{proof}
+
+\section{PID e MCD}
+
+Come accade per $\ZZ$, in ogni anello euclideo è possibile definire il
+concetto di \textit{massimo comun divisore}, sebbene con qualche accortezza
+in più. Pertanto, ancor prima di definirlo, si enuncia la definizione di
+PID e si dimostra un teorema fondamentale degli anelli euclidei, che
+si ripresenterà in seguito come ingrediente fondamentale per la fondazione
+del concetto di MCD.
+
+\begin{definition}
+    Si dice che un dominio è un \textit{principal ideal domain} (\textbf{PID})\footnote{Ossia un \textit{dominio
+            a soli ideali principali}, quindi monogenerati, proprio come da definizione.} se ogni suo ideale è monogenerato.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+    Sia $E$ un anello euclideo. Allora $E$ è un PID.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Sia $I$ un ideale di $E$. Se $I = (0)$, allora $I$ è già monogenerato.
+    Altrimenti si consideri l'insieme $g(I \setminus \{0\})$. Poiché
+    $g(I \setminus \{0\}) \subseteq \NN$,
+    esso ammette un minimo per il principio del buon ordinamento. \\
+
+    Sia $m \in I$ un valore che assume tale minimo e sia $a \in I$.
+    Poiché $E$ è euclideo, $\exists q$, $r \mid a = mq + r$ con $r=0$ o
+    $g(r)<g(m)$. Tuttavia, poiché $r = a-mg \in I$ e $g(m)$ è minimo, necessariamente $r=0$ -- altrimenti $r$ sarebbe
+    ancor più minimo di $m$, \Lightning{} --,
+    quindi $m \mid a$, $\forall a \in I$. Quindi $I \subseteq (m)$. \\
+
+    Dal momento che per le proprietà degli ideali $\forall a \in E$, $ma \in I$,
+    si conclude che $(m) \subseteq I$. Quindi $I = (m)$.
+\end{proof}
+
+Adesso è possibile definire il concetto di massimo comun divisore, basandoci
+sul fatto che ogni anello euclideo è un PID.
+
+\begin{definition}
+    Sia $D$ un dominio e siano $a$, $b \in D$. Si definisce
+    \textit{massimo comun divisore} (\textbf{MCD}) di $a$ e $b$ un
+    generatore dell'ideale $(a,b)$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    Questa definizione di MCD è una buona definizione dal momento che sicuramente
+    esiste un generatore dell'ideale $(a,b)$, dacché $D$ è un PID.
+\end{remark*}
+
+\begin{remark*}
+    Non si parla di un unico massimo comun divisore, dal momento che
+    potrebbero esservi più generatori dell'ideale $(a,b)$. Segue tuttavia che tutti questi generatori sono in realtà
+    associati\footnote{Infatti ogni generatore divide ogni
+        altro elemento di un ideale, e così i vari generatori si
+        dividono tra di loro. Pertanto sono associati.}.
+    Quando si scriverà
+    $\MCD(a,b)$ s'intenderà quindi uno qualsiasi di questi associati.
+\end{remark*}
+
+\begin{theorem}[\textit{Identità di Bézout}]
+    \label{th:bezout}
+    Sia $d$ un MCD di $a$ e $b$. Allora
+    $\exists \alpha$, $\beta$ tali che $d = \alpha a + \beta b$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Il teorema segue dalla definizione di MCD come generatore
+    dell'ideale $(a,b)$. Infatti, poiché $d \in (a,b)$, esistono
+    sicuramente, per definizione, $\alpha$ e $\beta$ tali che
+    $d = \alpha a + \beta b$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:mcd}
+    Siano $a$, $b \in D$. Allora vale la seguente equivalenza:
+
+    \[ d = \MCD(a, b) \iff \begin{cases} d \mid a \,\land\, d \mid b \\ \forall c \text{ t.c.\ } c \mid a \,\land\, c \mid b,\;c \mid d\end{cases}\]
+\end{proposition}
+
+\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+
+    ($\implies$) Poiché $d$ è generatore dell'ideale $(a, b)$, la prima proprietà segue banalmente. \\
+
+    Inoltre, per l'\nameref{th:bezout}, $\exists \alpha$, $\beta$ tali che
+    $d = \alpha a + \beta b$. Allora, se $c \mid a$ e $c \mid b$, sicuramente
+    esistono $\gamma$ e $\delta$ tali che $a=\gamma c$ e $b=\delta c$. Pertanto
+    si verifica la seconda proprietà, e quindi la tesi:
+
+    \[ d = \alpha a + \beta b = \alpha \gamma c + \beta \delta c = c(\alpha\gamma+\beta\delta). \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    ($\;\Longleftarrow\;$) Sia $m = \MCD(a,b)$. Dal momento che $d$ divide
+    sia $a$ che $b$, $d$ deve dividere, per l'implicazione scorsa, anche $m$.
+    Per la seconda proprietà, $m$ divide $d$ a sua volta. Allora $d$ è un
+    associato di $m$, e quindi, dalla \textit{Proposizione \ref{prop:associati_generatori}}, $(m)=(d)=(a,b)$, da cui $d = \MCD(a,b)$.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:divisione_gcd}
+    Se $a \mid bc$ e $d = \MCD(a, b) \in D^*$, allora $a \mid c$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Per l'\nameref{th:bezout} $\exists \alpha$, $\beta$ tali che
+    $\alpha a + \beta b = d$. Allora, poiché $a \mid bc$, $\exists
+        \gamma$ tale che $bc=a\gamma$. Si verifica quindi la tesi:
+
+    \[ \alpha a + \beta b = d \implies \alpha ac + \beta bc = dc \implies
+        a d^{-1} (\alpha c + \beta \gamma) = c.\]
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:primalità_mcd}
+    Se $a$ è un irriducibile di un PID $D$, allora $\forall b \in D$,
+    $(a,b)=D \,\lor\, (a,b)=(a)$, o equivalentemente $\MCD(a,b) \in D^*$ o
+    $\MCD(a,b) = a$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Dacché $\MCD(a,b) \mid a$, le uniche opzioni, dal momento che $a$ è irriducibile,
+    sono che $\MCD(a,b)$ sia un invertibile o che sia un associato
+    di $a$ stesso.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:irriducibili_primi}
+    Se $a$ è un irriducibile di un PID $D$, allora $a$ è anche un primo.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Siano $b$ e $c$ tali che $a \mid bc$. Per il \textit{Lemma \ref{lem:primalità_mcd}},
+    $\MCD(a,b)$ può essere solo un associato di $a$ o essere un invertibile. Se è
+    un associato di $a$, allora, per la \textit{Proposizione \ref{prop:divisione_associati}}, poiché $\MCD(a,b)$ divide $b$, anche $a$ divide $b$.
+    Altrimenti $\MCD(a,b) \in D^*$, e quindi, per la \textit{Proposizione \ref{prop:divisione_gcd}}, $a \mid c$.
+\end{proof}
+
+\section{L'algoritmo di Euclide}
+
+Per algoritmo di Euclide si intende un algoritmo che è in grado di
+produrre in un numero finito di passi un MCD tra due elementi
+$a$ e $b$ non entrambi nulli di un anello euclideo\footnote{Si richiede che l'anello sia
+    euclideo e non soltanto che sia un PID, dal momento che l'algoritmo
+    usufruisce delle proprietà della funzione grado.}. L'algoritmo
+classico è di seguito presentato:
+
+\newpage
+
+\begin{algorithm}
+    $e \gets \max(a,b)$\;
+    $d \gets \min(a,b)$\;
+    \BlankLine\BlankLine
+    \While{$d>0$}
+    {
+        $m \gets d$\;
+        $d \gets e \bmod d$\;
+        $e \gets m$\;
+    }
+\end{algorithm}
+
+dove $e$ è l'MCD ricercato e l'operazione $\mathrm{mod}$ restituisce un resto della
+divisione euclidea\footnote{Ossia $a \bmod b$ restituisce un $r$ tale che $\exists q
+        \mid a = bq+r$ con $r=0$ o $g(r)<g(q)$.}.
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:euclide_finito}
+    L'algoritmo di Euclide termina sempre in un numero finito di passi.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Se $d$ è pari a $0$, l'algoritmo termina immediatamente. \\
+
+    Altrimenti si può costruire una sequenza $(g(d_i))_{i\geq1}$ dove $d_i$ è il valore di $d$ all'inizio
+    di ogni $i$-esimo ciclo $\textbf{while}$. Ad ogni ciclo vi sono due casi: se $d_i$ si annulla dopo
+    l'operazione di $\mathrm{mod}$, il ciclo si conclude al passo successivo, altrimenti,
+    poiché $d_i$ è un resto di una divisione euclidea, segue che $g(d_i)<g(d_{i-1})$, dove
+    si pone $d_{0}=\min(a, b)$. \\
+
+    Per il principio della discesa infinita, $(g(d_i))_{i\geq1}$ non può essere
+    una sequenza infinita, essendo strettamente decrescente. Quindi la sequenza è
+    finita, e pertanto il ciclo $\textbf{while}$ s'interrompe dopo un numero finito
+    di passi.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:generatori_euclide}
+    Sia $r = a \bmod b$. Allora vale che $(a,b)=(b,r)$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $r = a \bmod b$, $\exists q$ tale che $a = qb + r$.
+    Siano $k_1$ e $k_2$ tali che $(k_1)=(a,b)$ e $(k_2)=(b,r)$. Dal
+    momento che $k_1$ divide sia $a$ che $b$, si ha che divide anche
+    $r$. Siano $\alpha$, $\beta$ tali che $a = \alpha k_1$ e
+    $b = \beta k_1$. Si verifica infatti che:
+
+    \[ r = a - qb = \alpha k_1 - q \beta k_1 = k_1 (\alpha - q \beta). \]
+
+    Poiché $k_1$ divide sia $b$ che $r$, per le proprietà del $\MCD$,
+    $k_1$ divide anche $k_2$. Analogamente, $k_2$ divide $k_1$. Pertanto
+    $k_1$ e $k_2$ sono associati, e dalla \textit{Proposizione \ref{prop:associati_generatori}} generano quindi lo stesso ideale, da
+    cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    L'algoritmo di Euclide restituisce sempre correttamente un MCD tra due elementi $a$ e $b$ non entrambi nulli in un numero finito di passi.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Per il \textit{Lemma \ref{lem:euclide_finito}}, l'algoritmo sicuramente termina.
+    Se $d$ è pari a $0$, allora l'algoritmo termina restituendo $e$. Il valore è
+    corretto, dal momento che, senza perdità di generalità, se $b$ è nullo, allora
+    $\MCD(a, b)=a$: infatti $a$ divide sia sé stesso che $0$, e ogni divisore di $a$ è
+    sempre un divisore di $0$. \\
+
+    Se invece $d$ non è pari a $0$, si scelga il $d_n$ tale che $g(d_n)$ sia l'ultimo
+    elemento della sequenza $(g(d_i))_{i\geq1}$ definita nel \textit{Lemma \ref{lem:euclide_finito}}. Per il \textit{Lemma \ref{lem:generatori_euclide}},
+    si ha la seguente uguaglianza:
+
+    \[ (e_0, d_0) = (d_0, d_1) = \cdots = (d_n, 0) = (d_n). \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Poiché quindi $d_n$ è generatore di $(e_0, d_0)=(a,b)$, $d_n = \MCD(a,b)$.
+\end{proof}
+
+\section{UFD e fattorizzazione}
+
+Si enuncia ora la definizione fondamentale di UFD, sulla
+quale costruiremo un teorema fondamentale per gli anelli
+euclidei.
+
+\begin{definition}
+    Si dice che un dominio $D$ è uno \textit{unique factorization domain} (\textbf{UFD})\footnote{Ossia
+        un \textit{dominio a fattorizzazione unica}.} se ogni $a \in D$ non nullo e non invertibile può essere scritto
+    in forma unica come prodotto di irriducibili, a meno di associati.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:fattorizzazione}
+    Sia $E$ un anello euclideo. Allora ogni elemento $a \in E$ non nullo e
+    non invertibile può essere scritto come prodotto di irriducibili.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Si definisca $A$ nel seguente modo:
+
+    \[A = \{g(a) \mid a \in E \setminus (E^* \cup \{0\}) \text{ non sia prodotto di irriducibili}\}.\]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Se $A \neq \emptyset$, allora, poiché $A \subseteq \NN$, per il principio
+    del buon ordinamento, esiste un $m \in E$ tale che $g(m)$ sia minimo.
+    Sicuramente $m$ non è irriducibile -- altrimenti $g(m) \notin A$, \Lightning{} --,
+    quindi $m=ab$ con $a$, $b \in E \setminus E^*$. \\
+
+    Poiché $a \mid m$, ma $m \nmid a$ -- altrimenti $a$ e $m$ sarebbero
+    associati, e quindi $b$ sarebbe invertibile --, si deduce che $g(a) < g(m)$, e
+    quindi che $g(a) \notin A$. Allora $a$ può scriversi come prodotto di irriducibili.
+    Analogamente anche $b$ può scriversi come prodotto di irriducibili, e quindi
+    $m$, che è il prodotto di $a$ e $b$, è prodotto di irriducibili, \Lightning{}. \\
+
+    Quindi $A = \emptyset$, e ogni $a \in E$ non nullo e non invertibile è prodotto
+    di irriducibili.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:euclidei_ufd}
+    Sia $E$ un anello euclideo. Allora $E$ è un UFD\footnote{In realtà questo teorema
+        è un caso particolare di un teorema più generale: ogni PID è un UFD. Poiché
+        la dimostrazione esula dalle intenzioni di queste dispense, si è preferito
+        dimostrare il caso più familiare. Per la dimostrazione del teorema più generale si
+        rimanda a \cite[pp.~124-126]{di2013algebra}.}.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Innanzitutto, per il \textit{Lemma \ref{lem:fattorizzazione}}, ogni
+    $a \in E$ non invertibile e non nullo ammette una fattorizzazione. \\
+
+    Sia allora $a \in E$ non invertibile e non nullo. Affinché $E$ sia un UFD,
+    deve verificarsi la seguente condizione: se
+    $a=p_1p_2 \cdots p_r=q_1q_2 \cdots q_s \in E$, allora
+    $r=s$ ed esiste una permutazione $\sigma \in S_r$ tale per cui
+    $\sigma$ associ a ogni indice $i$ di un $p_i$ un indice $j$ di
+    un $q_j$ in modo tale che $p_i$ e $q_j$ siano associati. \\
+
+    Si procede per induzione. \\
+
+    \,(\textit{passo base}) \,Se $r=1$, allora $a$ è irriducibile. Allora necessariamente
+    $s=1$, altrimenti $a$ sarebbe prodotto di irriducibili, e quindi contemporaneamente
+    anche non irriducibile. Inoltre esiste la permutazione banale $e \in S_1$ che
+    associa $p_1$ a $q_1$. \\
+
+    \,(\textit{passo induttivo}) \,Si assume che valga la tesi se $a$ è
+    prodotto di $r-1$ irriducibili.
+    Si consideri $p_1$: poiché $p_1$ divide $a$, $p_1$ divide anche
+    $q_1q_2 \cdots q_s$. Dal momento che $E$, in quanto
+    anello euclideo, è anche un dominio, dal \textit{Teorema \ref{th:irriducibili_primi}}, $p_1$ è anche primo,
+    e quindi $p_1 \mid q_1$ o $p_1 \mid q_2 \cdots q_s$. \\
+
+    Se $p_1 \nmid q_1$ si reitera il procedimento su $q_2 \cdots q_s$, trovando in
+    un numero finito di passi un $q_j$ tale per cui $p_1 \mid q_j$. Allora si procede
+    la dimostrazione scambiando $q_1$ e $q_j$. \\
+
+    Poiché $q_1$ è irriducibile, $p_1$ e $q_1$ sono associati, ossia $q_1 = kp_1$ con
+    $k \in E^*$. Allora $p_1 \cdots p_r = q_1 \cdots q_s = kp_1 \cdots q_s$, quindi,
+    dal momento che $p_1 \neq 0$ ed $E$ è un dominio:
+
+    \[p_1(p_2 \cdots p_r - kq_2 \cdots q_s)=0 \implies p_2 \cdots p_r = kq_2 \cdots q_s .\]
+
+    Tuttavia il primo membro è un prodotto $r-1$ irriducibili, pertanto $r=s$ ed
+    esiste un $\sigma \in S_{r-1}$ che associa ad ogni irriducibile $p_i$ un suo
+    associato $q_i$. Allora si estende $\sigma$ a $S_r$ mappando $p_1$ a $q_1$,
+    verificando la tesi.
+\end{proof}
+
+\section{Il teorema cinese del resto}
+
+    Il noto \nameref{th:cinese} è un risultato più generale di quanto
+    si sia visto nel contesto dell'aritmetica modulare. Difatti, esso è
+    applicabile in forma estesa a tutti gli anelli euclidei, non solo ai
+    numeri interi (che comunque rimangono un esempio classico di anello euclideo). \\
+    
+    \begin{lemma}
+        \label{lem:pre_cinese}
+
+        Sia $a$ un elemento riducibile di un anello euclideo $E$ e
+        sia $a=bc$, dove $\MCD(b, c) \in E^*$. Allora vale
+        il seguente isomorfismo:
+        
+        \[ A/(a) \cong A/(b) \times A/(c). \]
+    \end{lemma}
+    
+    \begin{proof}
+        Si consideri la funzione $\pi$ definita nel seguente
+        modo:
+        
+        \[ \pi : A/(a) \to A/(b) \times A/(c),\,e + (a) \mapsto (e + (b), e + (c)). \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        Si verifica che $\pi$ è un omomorfismo. Infatti
+        $\pi(1 + (a)) = (1 + (b), 1 + (c))$. \\
+        
+        Siano $e$, $k \in A$. Allora
+        $\pi$ soddisfa la linearità:
+        
+        \begin{multline*}
+            \pi\Bigl(\bigl(e + (a)\bigr) + \bigl(k + (a)\bigr)\Bigr) = \pi\bigl(e + k + (a)\bigr) =
+            \bigl(e + k + (b), e + k + (c)\bigr) =
+            \bigl(e + (b), e + (c)\bigr) + \\ \bigl(k + (b), k + (c)\bigr) = \pi\bigl(e + (a)\bigr) +
+            \pi\bigl(k + (a)\bigr).
+        \end{multline*}
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        e la moltiplicatività:
+        
+        \begin{multline*}
+            \pi\Bigl(\bigl(e + (a)\bigr) \cdot \bigl(k + (a)\bigr)\Bigr) = \pi\bigl(ek + (a)\bigr) =
+            \bigl(ek + (b), ek + (c)\bigr) =
+            \bigl(e + (b), e + (c)\bigr) \cdot \\ \bigl(k + (b), k + (c)\bigr) = \pi\bigl(e + (a)\bigr) \cdot
+            \pi\bigl(k + (a)\bigr).
+        \end{multline*}
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        Si studia $\Ker \pi$ per dimostrare l'iniettività di $\pi$.
+        Si pone dunque $\pi\bigl(e + (a)\bigr) = \bigl(0 + (b), 0 + (c)\bigr)$.
+        Questa condizione è equivalente ad asserire che sia $b$ che $c$ dividano
+        $e$. \\
+        
+        Sia allora $k \in E$ tale che $e=bk$. Dal momento che $c$ divide $e$, si
+        $e$ divide $bk$. Allora, dacché per ipotesi $\MCD(a, b) \in E^*$, per la
+        \propref{prop:divisione_gcd} $c$ divide $k$. Quindi esiste $j \in E$ tale che
+        $k=cj$. In particolare, unendo le due condizioni si ottiene
+        $e=bk=bcj=aj$. Pertanto $a$ divide $e$, da cui si deduce che $e + (a)$
+        è equivalente a $0 + (a)$. Allora, poiché $\Ker \pi = (0)$, $\pi$ è un
+        monomorfismo. \\
+        
+        Si studia invece adesso la surgettività di $\pi$. Siano $\alpha$,
+        $\beta \in E$. Si pone dunque $\pi\bigl(e + (a)\bigr) =
+        \bigl(\alpha + (b), \beta + (c)\bigr)$. Questa condizione è equivalente
+        al seguente sistema:
+        
+        \[ \begin{cases} e = \alpha + bk, \\ e = \beta + cj, \end{cases} \quad \text{con } k, j \in E. \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        Unendo le due condizioni si ottiene la seguente equazione:
+        
+        \[ \alpha + bk = \beta + cj \iff cj - bk = \alpha - \beta.  \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        Si consideri ora $d = \MCD(b, c)$. Per l'\nameref{th:bezout} esistono
+        $x$, $y$ tali che:
+        
+        \[ cx+by=d, \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        da cui si ricava che:
+        
+        \[ (\alpha-\beta)(cx + by) = (\alpha-\beta)d \implies cxd\inv(\alpha-\beta)+byd\inv(\alpha-\beta)=\alpha-\beta, \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        ponendo allora $j=xd\inv(\alpha-\beta)$ e $k=-yd\inv(\alpha-\beta)$
+        si ricava una possibile soluzione per $e$. Quindi
+        $\pi$ è un epimorfismo. \\
+        
+        Poiché $\pi$ è sia un monomorfismo che un epimorfismo, si conclude
+        che $\pi$ è un isomorfismo, da cui la tesi.
+        
+    \end{proof}
+
+    \begin{theorem}[\textit{Teorema cinese del resto}]
+        \label{th:cinese}
+    
+        Sia $a$ un elemento di un anello euclideo $A$ e sia
+        $p_1^{m_1}p_2^{m_2}\cdots p_n^{m_n}$ una sua fattorizzazione
+        in irriducibili non associati.
+        Allora vale il seguente isomorfismo:
+        
+        \[ A/(a) \cong A/(p_1^{m_1}) \times \cdots \times A/(p_n^{m_n}). \]
+    \end{theorem}
+    
+    \begin{proof}
+        Si dimostra il teorema applicando il principio di induzione su $n$,
+        il numero di fattori irriducibili distinti che appaiono
+        nella fattorizzazione di $a$. \\
+        
+        \,(\textit{passo base}) \, Se $a$ consta di un solo fattore irriducibile,
+        allora banalmente $A/(a) \cong A/(p_1^{m_1})$. \\
+        
+        \,(\textit{passo induttivo}) \, Possiamo riscrivere $a$ come
+        il prodotto di $(p_1^{m_1}\cdots p_{n-1}^{m_{n-1}})$ e di
+        $p_n^{m_n}$. \\
+        
+        Si nota innanzitutto che $d = \MCD(p_1^{m_1}\cdots p_{n-1}^{m_{n-1}}, p_n^{m_n})$
+        è un invertibile. Se così non fosse, infatti, si potrebbe
+        considerare un irriducibile $q$ della fattorizzazione di $d$:
+        tale $q$, in quanto primo per il \thref{th:irriducibili_primi},
+        deve dividere un $p_j$ con $1 \leq j \leq n-1$, così
+        come deve dividere $p_n$. Allora $p_j$ e $q$ sono associati,
+        così come $q$ e $p_n$. Dunque anche $p_j$ e $p_n$ sono associati.
+        Tuttavia questo è un assurdo, dal momento che per ipotesi
+        la fattorizzazione di $a$ include irriducibili distinti e
+        non associati, \Lightning{}. \\
+        
+        Allora dal \lemref{lem:pre_cinese} si ricava che:
+        
+        \[ A/(a) \cong A/(p_1^{m_1}\cdots p_{n-1}^{m_{n-1}}) \times A/(p_n^{m_n}), \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        mentre dal passo induttivo si sa già che:
+        
+        \[ A/(p_1^{m_1}\cdots p_{n-1}^{m_{n-1}}) \cong A/(p_1^{m_1}) \times \cdots \times A/(p_{n-1}^{m_{n-1}}). \]
+        
+        \vskip 0.1in
+        
+        Pertanto, unendo le due informazioni, si verifica la tesi:
+        
+            \[ A/(a) \cong
+            A/(p_1^{m_1}) \times \cdots \times A/(p_{n-1}^{m_{n-1}}) \times A/(p_n^{m_n}). \]
+        
+    \end{proof}
+
+\section{La seminorma di \texorpdfstring{$\ZZ[\sqrt{n}]$}{Z[√n]}}
+
+Si definisce innanzitutto $\ZZ[\sqrt{n}]$ nel seguente modo:
+
+\[ \ZZ[\sqrt{n}] = \{ a + b\sqrt{n} \mid a, b \in \ZZ \}. \]
+
+\begin{definition}
+    Si definisce \textbf{seminorma} di $\ZZ[\sqrt{n}]$ la seguente
+    funzione:
+    
+    \[ \ell : \ZZ[\sqrt{n}] \to \ZZ, \, a + b\sqrt{n} \mapsto a^2 - n b^2. \]
+\end{definition}
+
+\begin{proposition}
+    La seminorma di $\ZZ[\sqrt{n}]$ è una funzione moltiplicativa.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Dimostrare la tesi è equivalente al verificare la seguente identità:
+    
+    \[ (a^2-nb^2)(c^2-nd^2)=(ac+nbd)^2-n(ad+bc)^2, \]
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    come si verifica nelle seguenti righe:
+    
+    \begin{multline*}
+        (ac+nbd)^2-n(ad+bc)^2 = a^2c^2+n^2b^2d^2+\cancel{2acnbd}-na^2d^2-nb^2c^2-\cancel{2acnbd} = \\
+        a^2(c^2-nd^2) -nb^2(c^2-nd^2) = (a^2-nb^2)(c^2-nd^2).
+    \end{multline*}
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:invertibili_z_sqrtn}
+    Un elemento $a \in \ZZ[\sqrt{n}]$ è invertibile se e solo se
+    $\ell(a) \in \{1, -1\}$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+    
+    ($\implies$) \; Sia $a \in a \in \ZZ[\sqrt{n}]^*$. Allora esiste un
+    $b \in \ZZ[\sqrt{n}]^*$ tale che $ab = 1$. Applicando la seminorma
+    a entrambi i membri si ricava che:
+    
+    \[ \ell(ab) = 1 \implies \ell(a)\ell(b) = 1. \]
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    Gli unici invertibili di $\ZZ$ sono tuttavia $1$ e $-1$,
+    da cui la tesi. \\
+    
+    ($\;\Longleftarrow\;$) \; Si consideri $a+b\sqrt{n} \in \ZZ[\sqrt{n}]$.
+    Sia $d = \ell(a) \in \{1, -1\}$ si ricava che:
+    
+    \[ a^2-nb^2 = d \implies (a+b\sqrt{n})(a-b\sqrt{n})=d \implies (a+b\sqrt{n})d\inv(a-b\sqrt{n})=1, \]
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{example}[$\ZZsqrt{10}$ non è un UFD]
+    Il numero $6$ ammette due fattorizzazioni in irriducibili
+    completamente distinte in $\ZZsqrt{10}$. Dunque
+    $\ZZsqrt{10}$ non è un UFD. Conseguentemente non è né un anello
+    euclideo\footnote{Violerebbe altrimenti il \thref{th:euclidei_ufd}.}, né un
+    PID\footnote{Si usa ancora la proposizione, non dimostrata
+    in queste dispense, secondo cui un PID è sempre un UFD. Per
+    tale dimostrazione si rimanda ancora a \cite[pp.~124-126]{di2013algebra}.}.
+\end{example}    
+
+\begin{proof}
+    Dal momento che $6=16-10$,
+    possiamo fattorizzare $6$ come il prodotto
+    di $4+\sqrt{10}$ e $4-\sqrt{10}$. Tuttavia, dalla
+    fattorizzazione in $\ZZ$, sappiamo anche
+    che $6=2 \cdot 3$. \\
+    
+    Dimostriamo che sia $2$ che $3$ sono irriducibili
+    in $\ZZ[\sqrt{10}]$. Se $2$ fosse riducibile,
+    si potrebbe scrivere come prodotto
+    di due fattori non invertibili: \\
+    
+    \begin{equation}
+        \label{eq:es_z_sqrt10_fattorizzazione_2}
+        2 = (a + b\sqrt{10})(c + d\sqrt{10}) \implies 4 = (a^2 - 10b^2)(c^2 - 10d^2).
+    \end{equation}
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    Poiché nessun fattore di $2$ è invertibile per ipotesi, per il
+    \thref{th:invertibili_z_sqrtn} nessuno dei due
+    fattori in \eqref{eq:es_z_sqrt10_fattorizzazione_2} può essere uguale a $1$ o $-1$.
+    Allora l'unica possibilità è che $a^2 - 10b^2$ sia uguale a $2$ o
+    $-2$. Se però così fosse, $a^2 \equiv \pm 2 \pod{10}$, che
+    non ammette soluzione. \\
+    
+    Reiterando lo stesso ragionamento per $3$,
+    si ottiene $a^2 \equiv \pm 3 \pod{10}$, che anche
+    stavolta non ammette soluzione. Quindi sia $2$ che
+    $3$ sono irriducibili in $\ZZ[\sqrt{10}]$. \\
+    
+    Analogamente dimostriamo che sia $4+\sqrt{10}$ che
+    $4-\sqrt{10}$ sono irriducibili. Si assuma che
+    $4+\sqrt{10}$ sia riducibile, allora si ricava che:
+    
+    \[ 4+\sqrt{10} = (a + b\sqrt{10})(c + d\sqrt{10}), \]
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    da cui, passando alle seminorme si ottiene che:
+    
+    \[ 6 = (a^2 - 10b^2)(c^2 - 10d^2). \]
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    Poiché entrambi i fattori sono non invertibili per ipotesi,
+    per il \thref{th:invertibili_z_sqrtn} ognuno di essi è
+    diverso da $1$ e $-1$, come visto prima. Quindi l'unica
+    possibilità è che $a^2 - 10b^2$ sia uguale a $\pm 2$ o
+    $\pm 3$. Tuttavia, da prima sappiamo che nessuna di queste
+    equazioni ammette soluzione. Quindi $4+\sqrt{10}$ è irriducibile,
+    e allo stesso modo si dimostra che anche $4-\sqrt{10}$ lo
+    è. \\
+    
+    Ora si dimostra che $2$ non è associato né a $4 + \sqrt{10}$
+    né a $4 - \sqrt{10}$. Se fossero associati, esisterebbe
+    un invertibile $a$ tale che $2 = (4 \pm \sqrt{10})a$. \\
+    
+    Passando alle norme, si ricava che:
+    
+    \[ 4 = 6 \, \ell(a),  \]
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    dove, ricordando che $\ell(a)=\pm 1$ per il \thref{th:invertibili_z_sqrtn},
+    si ottiene:
+    
+    \[ 4 = \pm 6, \]
+    
+    \vskip 0.1in
+    
+    ossia un assurdo, \Lightning{}. \\
+    
+    Poiché $2$ non è associato né a né a $4 + \sqrt{10}$
+    né a $4 - \sqrt{10}$, le due fattorizzazioni sono due
+    fattorizzazioni in irriducibili completamente
+    distinte. Quindi $\ZZsqrt{10}$ non può essere un UFD.
+\end{proof}
+
+\chapter{Riferimenti bibliografici}
+\printbibliography[heading=none]
+
+\end{document}

Corsi/Aritmetica/Teoria degli anelli/2. Anelli euclidei, PID e UFD/bibliography.bib

@@ -0,0 +1,9 @@
+@book{di2013algebra,
+  title={Algebra},
+  author={Di Martino, P. and Dvornicich, R.},
+  isbn={9788867410958},
+  series={Didattica e Ricerca. Manuali},
+  year={2013},
+  publisher={Pisa University Press},
+  shorthand={DM}
+}

Corsi/Aritmetica/Teoria degli anelli/3. Esempi notevoli di anelli euclidei/3. Esempi notevoli di anelli euclidei.tex

@@ -0,0 +1,183 @@
+% !BIB TS-program = biber
+
+\PassOptionsToPackage{main=italian}{babel}
+\documentclass[11pt]{scrbook}
+\usepackage{evan_notes}
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+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\addbibresource{bibliography.bib}
+
+\begin{document}
+
+\chapter{Esempi notevoli di anelli euclidei}
+
+\section{I numeri interi: \texorpdfstring{$\ZZ$}{Z}}
+
+Senza ombra di dubbio l'esempio più importante di anello euclideo -- nonché
+l'esempio da cui si è generalizzata proprio la stessa nozione di anello
+euclideo -- è l'anello dei numeri interi. \\
+
+In questo dominio la funzione grado è canonicamente il valore assoluto:
+
+\[g : \ZZ \setminus \{0\} \to \NN, \, k \mapsto \left|k\right|.\]
+
+\vskip 0.1in
+
+Infatti, chiaramente $|a| \leq |ab|\, \forall a$, $b \in \ZZ \setminus \{0\}$. Inoltre
+esistono -- e sono anche unici, a meno di segno -- $q$, $r \in \ZZ \mid a = bq + r$, con $r=0 \,\lor\,
+    \left|r\right| < \left|q\right|$. \\
+
+Dal momento che così si verifica che $\ZZ$ è un anello euclideo, il \textit{Teorema
+    fondamentale dell'aritmetica} è un corollario del teorema per cui ogni anello
+    euclideo è un UFD.
+
+\section{I campi: \texorpdfstring{$\KK$}{K}}
+
+Ogni campo $\KK$ è un anello euclideo, seppur banalmente. Infatti, eccetto proprio
+per $0$, ogni elemento è "divisibile" per ogni altro elemento: siano $a$, $b \in \KK$,
+allora $a = ab^{-1}b$. \\
+
+Si definisce quindi la funzione grado come la funzione nulla:
+
+\[g : \KK^* \to \NN, \, a \mapsto 0.\]
+
+\vskip 0.1in
+
+Chiaramente $g$ soddisfa il primo assioma della funzione grado. Inoltre,
+poiché ogni elemento è "divisibile", il resto è sempre zero -- non è pertanto
+necessario verificare nessun'altra proprietà.
+
+\section{I polinomi di un campo: \texorpdfstring{$\KK[x]$}{K[x]}}
+
+I polinomi di un campo $\KK$ formano un anello euclideo rilevante
+nello studio dell'algebra astratta. Come suggerisce la
+terminologia, la funzione grado in questo dominio coincide
+proprio con il grado del polinomio, ossia si definisce come:
+
+\[g : \KK[x] \setminus \{0\} \to \NN, \, f(x) \mapsto \deg f.\]
+
+\vskip 0.1in
+
+Si verifica facilmente che $g(a(x)) \leq g(a(x)b(x)) \, \forall a(x)$, $b(x) \in \KK[x] \setminus \{0\}$, mentre la divisione euclidea -- come negli interi -- ci permette
+di concludere che effettivamente $\KK[x]$ soddisfa tutti gli assiomi di un anello
+euclideo\footnote{Curiosamente i polinomi di $\KK[x]$ e i campi $\KK$ sono gli unici anelli euclidei in cui resti
+    e quozienti sono unici, includendo la scelta di segno (vd.
+    \cite{10.2307/2315810}).}.
+
+\begin{example}
+    Sia $\alpha \in \KK$ e sia $\varphi_\alpha : \KK[x] \to \KK, \, f(x) \mapsto f(\alpha)$
+    la sua valutazione polinomiale in $\KK[x]$. $\varphi_\alpha$ è un omomorfismo, il cui
+    nucleo è rappresentato dai polinomi in $\KK[x]$ che hanno $\alpha$ come radice. Poiché
+    $\KK[x]$ è un PID, $\Ker \varphi$ deve essere monogenerato. $x-\alpha \in \Ker \varphi$
+    è irriducibile, e quindi è il generatore dell'ideale. Si deduce così che
+    $\Ker \varphi = (x-\alpha)$.
+\end{example}
+
+\section{Gli interi di Gauss: \texorpdfstring{$\ZZ[i]$}{Z[i]}}
+
+Un importante esempio di anello euclideo è il dominio degli interi di Gauss $\ZZ[i]$, definito come:
+
+\[\ZZ[i] = \{a+bi \mid a, b \in \ZZ\}.\]
+
+\vskip 0.1in
+
+La funzione grado coincide in particolare con il quadrato del modulo di un numero complesso, ossia:
+\[g(z) : \ZZ[i] \setminus \{0\} \to \NN, \, a+bi \mapsto \left| a+bi \right|^2.\]
+
+Il vantaggio di quest'ultima definizione è l'enfasi sul collegamento tra la funzione grado
+di $\ZZ$ e quella di $\ZZ[i].$ Infatti, se $a \in \ZZ$, il grado di $a$ in $\ZZ$ e in $\ZZ[i]$
+sono uno il quadrato dell'altro. In particolare, è possibile ridefinire il grado
+di $\ZZ$ proprio in modo tale da farlo coincidere con quello di $\ZZ[i]$. \\
+
+\begin{theorem}
+    $\ZZ[i]$ è un anello euclideo.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si verifica la prima proprietà della funzione grado. Siano $a$, $b \in \ZZ[i] \setminus \{0\}$,
+    allora $\left|a\right| \geq 1 \,\land\, \left|b\right| \geq 1$. Poiché
+    $\left|ab\right| = \left|a\right|\left|b\right|$\footnote{Questa interessante proprietà del modulo è alla base dell'identità di Brahmagupta-Fibonacci: $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2.$}, si verifica facilmente che
+    $\left|ab\right| \geq \left|a\right|$, ossia che $g(ab) \geq g(a)$. \\
+
+    Si verifica infine che esiste una divisione euclidea, ossia che
+    $\forall a \in \ZZ[i]$, $\forall b \in \ZZ[i] \setminus \{0\}$, $\exists q$, $r \in \ZZ[i] \mid a = bq + r$ e $r=0 \,\lor\, g(r) < g(b)$.
+    Tutti i multipli di $b$ formano un piano con basi $b$ e $ib$, dove
+    sicuramente esiste un certo $q$ tale che la distanza $\left|r\right| = \left|a-bq\right|$ sia minima. \\
+
+    Se $a$ è un multiplo di $b$, vale sicuramente che $a = bq$. Altrimenti dal momento che $r$ è sicuramente inquadrato in uno dei tasselli del piano, vale
+    sicuramente la seguente disuguaglianza, che lega il modulo di $r$ alla diagonale di
+    ogni quadrato:
+
+    \[\left|r\right| \leq \frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}}.\]
+
+    Pertanto vale la seconda e ultima proprietà della funzione grado:
+
+    \[\left|r\right| \leq \frac{\left|b\right|}{\sqrt{2}} < \left|b\right| \implies \left|r\right|^2 < \left|b\right|^2 \implies g(r) < g(b).\]
+\end{proof}
+
+\section{Gli interi di Eisenstein: \texorpdfstring{$\ZZ[\omega]$}{Z[ω]}}
+
+Sulla scia di $\ZZ[i]$ è possibile definire anche l'anello degli
+interi di Eisenstein, aggiungendo a $\ZZ$ la prima radice cubica
+primitiva dell'unità in senso antiorario, ossia:
+
+\[\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i.\]
+
+In particolare, $\omega$ è una delle due radici dell'equazione
+$z^2 + z + 1 = 0$, dove invece l'altra radice altro non è che
+$\omega^2 = \overline{\omega}$.
+
+\vskip 0.1in
+
+La funzione grado in $\ZZ[\omega]$ deriva da quella di $\ZZ[i]$ e coincide ancora
+con il quadrato del modulo del numero complesso. Si definisce quindi:
+
+\[g : \ZZ[\omega] \setminus \{0\}, \, a+b\omega \mapsto \left|a+b\omega\right|^2.\]
+
+Sviluppando il modulo è possibile ottenere una formula più concreta:
+
+\[ \left|a+b\omega\right|^2 = \left|\left(a-\frac{b}{2}\right) + \frac{b\sqrt{3}}{2}i\right|^2 =\] \\
+
+\[= \left(a-\frac{b}{2}\right)^2 + \frac{3b^2}{4} = a^2 - ab + b^2.\] \\
+
+\begin{theorem}
+    $\ZZ[\omega]$ è un anello euclideo.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Sulla scia della dimostrazione presentata per $\ZZ[i]$, si verifica facilmente
+    la prima proprietà della funzione grado. Siano $a$, $b \in \ZZ[\omega]$, allora
+    $\left|a\right| \geq 1$ e $\left|b\right| \geq 1$. Poiché dalle proprietà
+    dei numeri complessi vale ancora $\left|a\right| \left|b\right| \geq \left|a\right|$,
+    la proprietà $g(ab) \geq g(a)$ è già verificata. \\
+
+    Si verifica infine la seconda e ultima proprietà della funzione grado. Come per
+    $\ZZ[i]$, i multipli di $b \in \ZZ[\omega]$ sono visualizzati su un piano che
+    ha per basi $b$ e $\omega b$, pertanto
+    esiste sicuramente un $q$ tale che la distanza $\left|a-bq\right|$ sia minima. \\
+
+    Se $a$ è multiplo di $b$, allora chiaramente $a = bq$. Altrimenti, $a$ è certamente
+    inquadrato in uno dei triangoli del piano, per cui vale la seguente disuguaglianza:
+
+    \[\left|r\right| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \left|b\right|.\]
+
+    Dunque la tesi è verificata:
+
+    \[\left|r\right| \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \left|b\right| < \left|b\right| \implies \left|r\right|^2 < \left|b\right|^2 \implies g(r) < g(b). \]
+\end{proof}
+
+\chapter{Riferimenti bibliografici}
+\printbibliography[heading=none]
+
+\end{document}

Corsi/Aritmetica/Teoria degli anelli/3. Esempi notevoli di anelli euclidei/bibliography.bib

@@ -0,0 +1,12 @@
+@article{10.2307/2315810,
+	ISSN = {00029890, 19300972},
+	URL = {http://www.jstor.org/stable/2315810},
+	author = {M. A. Jodeit},
+	journal = {The American Mathematical Monthly},
+	number = {7},
+	pages = {835--836},
+	publisher = {Mathematical Association of America},
+	title = {Uniqueness in the Division Algorithm},
+	volume = {74},
+	year = {1967}
+}

Corsi/Aritmetica/Teoria degli anelli/4. Irriducibili e corollari di aritmetica in Z[i]/4. Irriducibili e corollari di aritmetica in Z[i].tex

@@ -0,0 +1,259 @@
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+\usepackage[backend=biber]{biblatex}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{csquotes}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\begin{document}
+
+\chapter{Irriducibili e corollari di aritmetica in \texorpdfstring{$\ZZi$}{Z[i]}}
+
+Come già dimostrato, $\ZZi$ è un anello euclideo con la seguente
+funzione grado:
+
+\[ g : \ZZi \setminuszero \to \ZZ,\, a+bi \mapsto  \norm{a+bi}^2.\]
+
+\vskip 0.05in
+
+A partire da questo preconcetto è possibile dimostrare un teorema
+importante in aritmetica, il \nameref{th:teorema_natale},
+che discende direttamente come corollario di un teorema più
+generale riguardante $\ZZi$.
+
+\section{Il teorema di Natale di Fermat e gli irriducibili in \texorpdfstring{$\ZZi$}{Z[i]}}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:riducibile_due_quadrati}
+    Sia $p$ un numero primo riducibile in $\ZZi$, allora $p$
+    può essere scritto come somma di due quadrati in $\ZZ$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Se $p$ è riducibile in $\ZZi$, allora esistono $a+bi$ e
+    $c+di$ appartenenti a $\ZZi \setminus \ZZi^*$ tali che $p=(a+bi)(c+di)$. \\
+
+    Impiegando le proprietà dell'operazione di coniugio si
+    ottiene la seguente equazione:
+
+    \[ \overline{p}=p=(a-bi)(c-di) \implies p^2=p \overline{p} = (a^2+b^2)(c^2+d^2). \]
+
+    Dal momento che $a+bi$ e $c+di$ non sono invertibili,
+    i valori della funzione grado calcolati in essi sono strettamente
+    maggiori del valore assunto nell'unità, ovverosia:
+
+    \[ a^2+b^2>1, \qquad c^2+d^2>1. \]
+
+    Allora devono per forza valere le seguenti equazioni:
+
+    \[ p=a^2+b^2, \qquad p=c^2+d^2, \]
+
+    da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    \label{lem:quadrato_mod_4}
+    Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv 1 \pmod4$. Allora
+    esiste un $x \in \ZZ$ tale che $p \mid x^2+1$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Per il \textit{Teorema di Wilson}, $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$.
+    Attraverso varie manipolazioni algebriche si ottiene:
+
+    \[-1 \equiv 1 \cdots \frac{p-1}{2} \cdot \frac{p+1}{2} \cdots (p-1) \equiv 1 \cdots \frac{p-1}{2} \left(-\frac{p-1}{2}\right) \cdots (-1) \equiv\]
+
+    \[ \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} \left(\left( \frac{p-1}{2} \right)!\right)^2 \equiv
+        \left(\left( \frac{p-1}{2} \right)!\right)^2 \pmod p,
+    \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    da cui con $x = \left( \frac{p-1}{2} \right)!$ si verifica la
+    tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:primo_1_mod_4_riducibile}
+    Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv 1 \pmod4$. Allora
+    $p$ è riducibile in $\ZZi$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Per il \textit{Lemma \ref{lem:quadrato_mod_4}}, si ha che esiste
+    un $x \in \ZZ$ tale che $p \mid x^2+1$. Se $p$ fosse irriducibile,
+    dacché $\ZZi$ è un PID in quanto euclideo, $p$ sarebbe anche un
+    primo di $\ZZi$. Dal momento che $x^2+1=(x+i)(x-i)$, $p$ dovrebbe
+    dividere almeno uno di questi due fattori. \\
+
+    Senza perdità di generalità, si ponga che $p \mid (x+i)$. Allora
+    $\exists a+bi \in \ZZi \mid x+i=(a+bi)p$. Uguagliando le parti
+    immaginarie si ottiene $bp=1$, che non ammette soluzioni, \Lightning{}. Pertanto $p$ è riducibile.
+\end{proof}
+
+\begin{corollary}[\textit{Teorema di Natale di Fermat}]
+    \label{th:teorema_natale}
+    Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv 1 \pmod4$. Allora
+    $p$ è somma di due quadrati in $\ZZ$.
+\end{corollary}
+
+\begin{proof}
+    Per il \textit{Teorema \ref{th:primo_1_mod_4_riducibile}},
+    $p$ è riducibile in $\ZZi$. In quanto riducibile in $\ZZi$, per
+    il \textit{Lemma \ref{lem:riducibile_due_quadrati}}, $p$ è allora
+    somma di due quadrati.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}
+    Sia $p$ un numero primo tale che $p \equiv -1 \pmod4$. Allora
+    $p$ è irriducibile in $\ZZi$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Se $p$ fosse riducibile in
+    $\ZZi$, per il \nameref{th:teorema_natale} esisterebbero $a$ e $b$
+    in $\ZZ$ tali che $p=a^2+b^2$. Dal momento che $p$ è dispari,
+    possiamo supporre, senza perdità di generalità, che
+    $a$ sia pari e che $b$ sia dispari. Pertanto $a^2 \equiv 0 \pmod 4$ e $b^2 \equiv 1 \pmod 4$, dacché sono uno pari e l'altro dispari\footnote{Infatti, $0^2 \equiv 0
+            \pmod4$, $1^2 \equiv 1 \pmod4$, $2^2 \equiv 4 \equiv 0 \pmod 4$,
+        $3^2 \equiv 9 \equiv 1 \pmod 4$.}. Tuttavia la congruenza
+    $a^2+b^2 \equiv 1 \equiv -1 \pmod4$ non è mai soddisfatta,
+    \Lightning{}. Pertanto $p$ può essere solo irriducibile.
+\end{proof}
+
+\begin{remark*}
+    Si osserva che $2=(1+i)(1-i)$. Dal momento che $\norm{1+i}^2=
+        \norm{1-i}^2=2\neq1$, si deduce che nessuno dei due fattori
+    è invertibile. Pertanto $2$ non è irriducibile.
+\end{remark*}
+
+\begin{proposition}
+    \label{prop:irriducibili_zz_zzi}
+    Gli unici primi $p \in \ZZ$ irriducibili in $\ZZi$ sono i primi $p$ tali
+    che $p \equiv -1 \pmod4$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    Per l'osservazione precedente, $2$ non è irriducibile in $\ZZi$,
+    così come i primi congrui a $1$ in modulo $4$,
+    per il \textit{Teorema \ref{th:primo_1_mod_4_riducibile}}. Al
+    contrario i primi $p$ congrui a $-1$ in modulo $4$ sono
+    irriducibili, per il \textit{Teorema \ref{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}}, da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    $z \in \ZZi$ è irriducibile se e solo se $z$ è un associato di un primo $p \in \ZZ$ tale che $p \equiv -1 \pmod 4$, o se $\norm{z}^2$ è primo.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+
+    ($\implies$)\; Sia $z \in \ZZi$ irriducibile. Chiaramente
+    $z \mid z \overline{z} = g(z)$. Dacché $\ZZ$ è un UFD,
+    $g(z)$ può decomporsi in un prodotto di primi $q_1q_2\cdots q_n$.
+    Dal momento che $\ZZi$ è un PID, in quanto anello euclideo,
+    $z$ deve dividere uno dei primi della fattorizzazione di
+    $g(z)$. Si assuma che tale primo sia $q_i$. Allora esiste
+    un $w \in \ZZi$ tale che $q_i=wz$. \\
+
+    Se $w \in \ZZi^*$, si
+    deduce che $z$ è un associato di $q_i$. Dal momento che
+    $z$ è irriducibile, $q_i$, che è suo associato, è a sua
+    volta irriducibile. Allora, per la \textit{Proposizione \ref{prop:irriducibili_zz_zzi}}, $q_i \equiv -1 \pmod4$.
+    \\
+
+    Altrimenti, se $w$ non è invertibile, si ha che $g(w)>g(1)$,
+    ossia che $\norm{w}^2>1$. Inoltre in quanto irriducibile, anche
+    $z$ non è invertibile, e quindi
+    $g(z)>g(1) \implies \norm{z}^2>1$. Dalla proprietà
+    moltiplicativa
+    del modulo si ricava $q_i^2 = \norm{q_i}^2 = \norm{w}^2 \norm{z}^2$,
+    da cui necessariamente consegue che:
+
+    \[ \norm{w}^2=q_i, \quad \norm{z}^2=q_i, \]
+
+    attraverso cui si verifica l'implicazione. \\
+
+    ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Se $p \in \ZZ$ e $p \equiv -1 \pmod4$, per
+    il \textit{Teorema \ref{th:primo_-1_mod_4_irriducibile}}, $p$ è
+    irriducibile. Allora in quanto suo associato, anche $z$ è irriducibile. \\
+
+    Altrimenti, se $\norm{z}^2$ è un primo $p$, si ponga
+    $z=ab$ con $a$ e $b \in \ZZi$. Per la proprietà moltiplicativa
+    del modulo, $p = \norm{z}^2 = \norm{ab}^2 = \norm{a}^2\norm{b}^2$.
+    Tuttavia questo implica che uno tra $\norm{a}^2$ e $\norm{b}^2$
+    sia pari a $1$, ossia che uno tra $a$ e $b$ sia invertibile,
+    dacché $g(1)=1$. Pertanto $z$ è in ogni caso irriducibile.
+\end{proof}
+
+Infine si enuncia un'ultima identità inerente all'aritmetica, ma
+strettamente collegata a $\ZZi$.
+
+\section{L'identità di Brahmagupta-Fibonacci}
+
+\begin{proposition}[\textit{Identità di Brahmagupta-Fibonacci}]
+    \label{prop:fibonacci}
+    Il prodotto di due somme di quadrati è ancora una
+    somma di quadrati. In particolare:
+
+    \[ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2. \]
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+    La dimostrazione altro non è che una banale verifica
+    algebrica. Ciononostante è possibile risalire a questa
+    identità in via alternativa mediante l'uso
+    del modulo dei numeri complessi. \\
+
+    Siano $z_1=a+bi$, $z_2=c+di \in \CC$. Allora, per le proprietà
+    del modulo dei numeri complessi:
+
+    \begin{equation}
+        \label{eq:modulo_z}
+        \norm{z_1}\norm{z_2}=\norm{z_1z_2}.
+    \end{equation}
+
+
+    Computando il prodotto tra $z_1$ e $z_2$ si ottiene:
+
+    \[ z_1z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i, \]
+
+    da cui a sua volta si ricava:
+
+    \[ \norm{z_1z_2} = \sqrt{(ac-bd)^2 + (ad+bc)^2}, \]
+
+    assieme a:
+
+    \[ \norm{z_1}=\sqrt{a^2+b^2}, \quad \norm{z_2}=\sqrt{c^2+d^2}. \]
+
+    Infine, da \eqref{eq:modulo_z}, elevando al quadrato, si deduce l'identità
+    presentata:
+
+    \begin{multline*}
+        \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{c^2+d^2}=\sqrt{(ac-bd)^2 + (ad+bc)^2} \implies (a^2+b^2)(c^2+d^2)= \\ (ac-bd)^2+(ad+bc)^2.
+    \end{multline*}
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+    Si consideri $65=5 \cdot 13$. Dal momento che sia $5$
+    che $13$ sono congrui a $1$ in modulo $4$, sappiamo
+    già si possono scrivere entrambi come somme di due
+    quadrati. Allora, dall'\nameref{prop:fibonacci},
+    anche $65$ è somma di due quadrati. \\
+
+    Infatti $5=2^2+1^2$ e $13=3^2+2^2$. Pertanto
+    $65=5\cdot 13=(2\cdot3-1\cdot2)^2 + (2\cdot2+1\cdot3)^2=4^2+7^2$.
+\end{example}
+
+\end{document}

Corsi/Aritmetica/Teoria degli anelli/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x]/5. Irriducibilità in Z[x] e Q[x].tex

@@ -0,0 +1,379 @@
+% !BIB TS-program = biber
+
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+\usepackage{evan_notes}
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+\usepackage[italian]{babel}
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+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{marvosym}
+
+\begin{document}
+
+\chapter{Irriducibilità in \texorpdfstring{$\ZZx$}{Z[x]} e in \texorpdfstring{$\QQx$}{Q[x]}}
+
+\section{Criterio di Eisenstein e proiezione in \texorpdfstring{$\ZZpx$}{Z\_p[x]}}
+
+Prima di studiare le irriducibilità in $\ZZ$, si guarda
+alle irriducibilità nei vari campi finiti $\ZZp$, con
+$p$ primo. Questo metodo presenta un vantaggio da non
+sottovalutare: in $\ZZp$ per ogni grado $n$ esiste un
+numero finito di polinomi monici\footnote{Si prendono in
+    considerazione solo i polinomi monici dal momento che vale
+    l'equivalenza degli associati: se $a$ divide $b$, allora
+    tutti gli associati di $a$ dividono $b$. $\ZZp$ è infatti
+    un campo, e quindi $\ZZpx$ è un anello euclideo.} -- in particolare, $p^n$ --
+e quindi per un polinomio di grado $d$ è sufficiente controllare
+che questo non sia prodotto di tali polinomi monici per
+$1 \leq n < d$. \\
+
+In modo preliminare, si definisce un omomorfismo fondamentale.
+
+\begin{definition}
+    Sia il seguente l'\textbf{omomorfismo di proiezione} da
+    $\ZZ$ in $\ZZp$:
+
+    \[ \hatpip : \ZZx \to \ZZpx,\, a_n x^n + \ldots + a_0 \mapsto [a_n]_p \, x^n + \ldots + [a_0]_p. \]
+\end{definition}
+
+\begin{remark*}
+    Si dimostra facilmente che $\hatpi$ è un omomorfismo di anelli.
+    Innanzitutto, $\hatpi(1) = [1]_p$. Vale chiaramente la linearità:
+
+    \begin{multline*}
+        \hatpip(a_n x^n + \ldots + a_0) + \hatpip(b_n x^n + \ldots + b_0) = [a_n]_p \, x^n + \ldots + [b_n]_p \, x^n + \ldots = \\
+        = [a_n+b_n]_p \, x^n + \ldots = \hatpip(a_n x^n + \ldots + a_0 + b_n x^n + \ldots + b_0).
+    \end{multline*}
+
+    Infine vale anche la moltiplicatività:
+
+    \begin{multline*}
+        \hatpip(a_n x^n + \ldots + a_0) \hatpip(b_n x^n + \ldots + b_0) = ([a_n]_p \, x^n + \ldots)([b_n]_p \, x^n + \ldots) = \\
+        = \sum_{i=0}^n \sum_{j+k=i} [a_j]_p \, [b_k]_p \, x^i
+        = \sum_{i=0}^n \sum_{j+k=i} [a_j b_k]_p \, x^i
+        = \hatpip\left(\sum_{i=0}^n \sum_{j+k=i} a_j b_k x^i\right) = \\
+        =\hatpip\left((a_n x^n + \ldots + a_0)(b_n x^n + \ldots + b_0)\right).
+    \end{multline*}
+\end{remark*}
+
+Prima di enunciare un teorema che si rivelerà
+importante nel determinare l'irriducibilità di un
+polinomio in $\ZZx$, si enuncia una definizione che
+verrà ripresa anche in seguito
+
+\begin{definition}
+    Un polinomio $a_n x^n + \ldots + a_0 \in \ZZx$ si dice
+    \textbf{primitivo} se $\MCD(a_n, \ldots, a_0)=1$.
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+    \label{th:proiezione_irriducibilità}
+    Sia $p$ un primo. Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots \in \ZZx$
+    primitivo. Se $p \nmid a_n$ e
+    $\hatpip(f(x))$ è irriducibile in $\ZZpx$, allora anche $f(x)$ lo
+    è in $\ZZx$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si dimostra la tesi contronominalmente. Sia $f(x) =
+        a_nx^n + \ldots \in \ZZ[x]$ primitivo e riducibile, con
+    $p \nmid a_n$. Dal momento che $f(x)$ è riducibile, esistono
+    $g(x)$, $h(x)$ non invertibili tali che $f(x)=g(x)h(x)$. \\
+
+    Si dimostra che $\deg g(x) \geq 1$. Se infatti fosse nullo,
+    $g(x)$ dovrebbe o essere uguale a $\pm 1$ -- assurdo, dal
+    momento che $g(x)$ non è invertibile, \Lightning{} -- o
+    essere una costante non invertibile. Tuttavia, nell'ultimo
+    caso, risulterebbe che $f(x)$ non è primitivo, poiché
+    $g(x)$ dividerebbe ogni coefficiente del polinomio.
+    Analogamente anche $\deg h(x) \geq 1$. \\
+
+    Si consideri ora $\hatpip(f(x))=\hatpip(g(x))\hatpip(h(x))$.
+    Dal momento che $p \nmid a_n$, il grado di $f(x)$ rimane costante
+    sotto l'operazione di omomorfismo, ossia $\deg \hatpip(f(x)) =
+        \deg f(x)$. \\
+
+    Inoltre, poiché nessuno dei fattori di $f(x)$ è nullo, $\deg f(x) = \deg g(x) +
+        \deg h(x)$. Da questa considerazione si deduce che anche i
+    gradi di $g(x)$ e $h(x)$ non devono calare, altrimenti si
+    avrebbe che $\deg \hatpip(f(x)) < \deg f(x)$, \Lightning{}.
+    Allora $\deg \hatpip(g(x)) = \deg g(x) \geq 1$,
+    $\deg \hatpip(h(x)) = \deg h(x) \geq 1$. \\
+
+    Poiché $\deg \hatpip(g(x))$ e $\deg \hatpip(h(x))$ sono
+    dunque entrambi non nulli, $\hatpip(g(x))$ e $\hatpip(h(x))$
+    non sono invertibili\footnote{Si ricorda che $\ZZpx$
+        è un anello euclideo. Pertanto, non avere lo stesso grado
+        dell'unità equivale a non essere invertibili.}. Quindi
+    $f(x)$ è prodotto di non invertibili, ed è dunque riducibile.
+
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}[\textit{Criterio di Eisenstein}]
+    \label{th:eisenstein}
+    Sia $p$ un primo.
+    Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0 \in \ZZx$ primitivo tale che:
+
+    \begin{enumerate}[ (1)]
+        \item $p \nmid a_n$,
+        \item $p \mid a_i$, $\forall i \neq n$,
+        \item $p^2 \nmid a_0$.
+    \end{enumerate}
+
+    Allora $f(x)$ è irriducibile in $\ZZx$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si ponga $f(x)$ riducibile e sia pertanto $f(x)=g(x)h(x)$ con
+    $g(x)$ e $h(x)$ non invertibili. Analogamente a come visto
+    per il \textit{Teorema \ref{th:proiezione_irriducibilità}}, si
+    desume che $\deg g(x)$, $\deg h(x) \geq 1$. \\
+
+    Si applica l'omomorfismo di proiezione in $\ZZpx$:
+
+    \[ \hatpip(f(x))=\underbrace{[a_n]_p}_{\neq 0} x_n, \]
+
+    da cui si deduce che $\deg \hatpip(f(x)) = \deg f(x)$. \\
+
+    Dal momento che $\hatpip(f(x))=\hatpip(g(x))\hatpip(h(x))$ e
+    che $\ZZpx$, in quanto campo, è un dominio,
+    necessariamente sia $\hatpip(g(x))$ che $\hatpip(h(x))$
+    sono dei monomi. \\
+
+    Inoltre, sempre in modo analogo a come visto per il \textit{Teorema
+        \ref{th:proiezione_irriducibilità}}, sia $\deg \hatpip(g(x))$
+    che $\deg \hatpip(h(x))$ sono maggiori o uguali ad $1$. \\
+
+    Combinando questo risultato col fatto che questi due fattori
+    sono monomi, si desume che
+    $\hatpip(g(x))$ e $\hatpip(h(x))$ sono monomi di grado positivo.
+    Quindi $p$ deve dividere entrambi i termini noti di $g(x)$ e
+    $h(x)$, e in particolare $p^2$ deve dividere il loro prodotto,
+    ossia $a_0$. Tuttavia questo è un assurdo, \Lightning{}.
+\end{proof}
+
+\begin{remark*}
+    Si consideri $x^k-2$, per $k \geq 1$.
+    Per il \nameref{th:eisenstein},
+    considerando come primo $p=2$, si verifica che
+    $x^k-2$ è sempre irriducibile. Pertanto, per ogni
+    grado di un polinomio esiste almeno un irriducibile --
+    a differenza di come invece avviene in $\RRx$ o in $\CCx$.
+\end{remark*}
+
+\begin{theorem}
+    Sia $f(x) \in \ZZx$ primitivo e sia $a \in \ZZ$. Allora $f(x)$ è
+    irriducibile se e solo se $f(x+a)$ è irriducibile.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Si dimostra una sola implicazione, dal momento che l'implicazione
+    contraria consegue dalle stesse considerazioni poste
+    studiando prima $f(x+a)$ e poi $f(x)$. \\
+
+    Sia $f(x)=a(x)b(x)$ riducibile, con $a(x)$, $b(x) \in \ZZx$ non
+    invertibili. Come già visto per il \textit{Teorema
+        \ref{th:proiezione_irriducibilità}}, $\deg a(x)$, $\deg b(x) \geq 1$. \\
+
+    Allora chiaramente $f(x+a)=g(x+a)h(x+a)$, con $\deg g(x+a) =
+        \deg g(x) \geq 1$, $\deg h(x+a) = \deg h(x) \geq 1$. Pertanto
+    $f(x+a)$ continua a essere riducibile, da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{example}
+    Si consideri $f(x) = x^{p-1}+\ldots+x^2+x+1 \in \ZZx$, dove
+    tutti i coefficienti del polinomio sono $1$. Si verifica che:
+
+    \[ f(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}x = p+\binom{p}{2}x+\ldots+x^{p-1}. \]
+
+    Allora, per il \nameref{th:eisenstein} con $p$, $f(x+1)$ è
+    irriducibile. Pertanto anche $f(x)$ lo è.
+\end{example}
+
+\section{Alcuni irriducibili di \texorpdfstring{$\ZZ_2[x]$}{Z\_2[x]}}
+
+Tra tutti gli anelli $\ZZpx$, $\ZZ_2[x]$ ricopre sicuramente
+un ruolo fondamentale, dal momento che è il meno costoso
+computazionalmente da analizzare, dacché $\ZZ_2$ consta
+di soli due elementi. Pertanto si computano adesso gli
+irriducibili di $\ZZ_2[x]$ fino al quarto grado incluso, a meno
+di associati. \\
+
+Sicuramente $x$ e $x+1$ sono irriducibili, dal momento che sono di
+primo grado. I polinomi di secondo grado devono dunque essere
+prodotto di questi polinomi, e pertanto devono avere o $0$ o
+$1$ come radice: si verifica quindi che $x^2+x+1$ è l'unico
+polinomio di secondo grado irriducibile. \\
+
+Per il terzo grado vale ancora lo stesso principio, per cui
+$x^3+x^2+1$ e $x^3+x+1$ sono gli unici irriducibili di tale grado.
+Infine, per il quarto grado, i polinomi riducibili soddisfano
+una qualsiasi delle seguenti proprietà:
+
+\begin{itemize}
+    \item $0$ e $1$ sono radici del polinomio,
+    \item il polinomio è prodotto di due polinomi irriducibili di
+          secondo grado.
+\end{itemize}
+
+Si escludono pertanto dagli irriducibili i polinomi non omogenei --
+che hanno sicuramente $0$ come radice --, e i polinomi con $1$ come
+radice, ossia $x^4+x^3+x+1$,\ \
+$x^4+x^3+x^2+1$, e $x^4+x^2+x+1$. Si esclude anche
+$(x^2+x+1)^2 = x^4+x^2+1$. Pertanto gli unici irriducibili di
+grado quattro sono $x^4+x^3+x^2+x+1$,\ \ $x^4+x^3+1$,\ \  $x^4+x+1$. \\
+
+Tutti questi irriducibili sono raccolti nella seguente tabella:
+
+\begin{itemize}
+    \item (grado 1) $x$, $x+1$,
+    \item (grado 2) $x^2+x+1$,
+    \item (grado 3) $x^3+x^2+1$, $x^3+x+1$,
+    \item (grado 4) $x^4+x^3+x^2+x+1$,\ \ $x^4+x^3+1$,\ \ $x^4+x+1$.
+\end{itemize}
+
+\begin{example}
+    Il polinomio $51x^3+11x^2+1 \in \ZZx$ è primitivo dal momento
+    che $\MCD(51, 11, 1)=1$. Inoltre, poiché $\hatpi_2(51x^3+11x^2+1)=
+        x^3+x+1$ è irriducibile, si deduce che anche $51x^3+11x^2+1$ lo
+    è per il \textit{Teorema \ref{th:proiezione_irriducibilità}}.
+\end{example}
+
+\section{Teorema delle radici razionali e lemma di Gauss}
+
+Si enunciano in questa sezione i teoremi più importanti per
+lo studio dell'irriducibilità dei polinomi in $\QQx$ e
+in $\ZZx$, a partire dai due teoremi più importanti: il
+classico \nameref{th:radici_razionali} e il \nameref{th:lemma_gauss},
+che si pone da ponte tra l'analisi dell'irriducibilità in $\ZZx$ e
+quella in $\QQx$.
+
+\begin{theorem}[\textit{Teorema delle radici razionali}]
+    \label{th:radici_razionali}
+    Sia $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_0 \in \ZZx$. Abbia $f(x)$
+    una radice razionale. Allora, detta tale radice $\frac{p}{q}$,  già ridotta ai minimi termini, questa è tale che:
+
+    \begin{enumerate}[ (i.)]
+        \item $p \mid a_0$,
+        \item $q \mid a_n$.
+    \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Poiché $\frac{p}{q}$ è radice, $f\left(\frac{p}{q}\right)=0$, e
+    quindi si ricava che:
+
+    \[ a_n \left( \frac{p}{q} \right)^n + \ldots + a_0 = 0 \implies
+        a_n p^n = -q( \ldots + a_0 q^{n-1}). \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Quindi $q \mid a_n p^n$. Dal momento che $\MCD(p, q)=1$, si
+    deduce che $q \mid a_n$. \\
+
+    Analogamente si ricava che:
+
+    \[ a_0 q^n = -p(a_n p^{n-1} + \ldots). \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Pertanto, per lo stesso motivo espresso in precedenza,
+    $p \mid a_0$, da cui la tesi.
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}[\textit{Lemma di Gauss}]
+    \label{th:lemma_gauss}
+    Il prodotto di due polinomi primitivi in $\ZZx$ è anch'esso primitivo.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+    Siano $g(x) = a_m x^m + \ldots + a_0$ e $h(x) = b^n x^n + \ldots + b_0$ due polinomi primitivi in $\ZZx$. Si assuma che $f(x)=g(x)h(x)$
+    non sia primitivo. Allora esiste un $p$ primo che divide tutti i
+    coefficienti di $f(x)$. \\
+
+    Siano $a_s$ e $b_t$ i più piccoli coefficienti non divisibili
+    da $p$ dei rispettivi polinomi. Questi sicuramente esistono,
+    altrimenti $p$ dividerebbe tutti i coefficienti, e quindi
+    o $g(x)$ o $h(x)$ non sarebbe primitivo, \Lightning{}. \\
+
+    Si consideri il coefficiente di $x^{s+t}$ di $f(x)$:
+
+    \[c_{s+t} = \sum_{j+k=s+t} a_j b_k = \underbrace{a_0 b_{s+t} + a_1 b_{s+t-1} + \ldots}_{\equiv \, 0 \pmod p} + a_s b_t + \underbrace{a_{s+1}b_{t-1} + \ldots}_{\equiv \, 0 \pmod p},\]
+
+    dal momento che $p \mid c_{s+t}$, si deduce che $p$ deve dividere
+    anche $a_sb_t$, ossia uno tra $a_s$ e $b_t$, che è assurdo, \Lightning{}. Quindi $f(x)$ è primitivo.
+
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}[\textit{Secondo lemma di Gauss}]
+    \label{th:lemma_gauss_2}
+    Sia $f(x) \in \ZZx$. Allora $f(x)$ è irriducibile in $\ZZx$
+    se e solo se $f(x)$ è irriducibile in $\QQx$ ed è primitivo.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof} Si dimostrano le due implicazioni separatamente. \\
+
+    ($\implies$)\; Si dimostra l'implicazione contronominalmente,
+    ossia mostrando che se $f(x)$ non è primitivo o se è
+    riducibile in $\QQx$, allora $f(x)$ è riducibile in $\ZZx$. \\
+
+    Se $f(x)$ non è primitivo, allora
+    $f(x)$ è riducibile in $\ZZx$. Sia quindi $f(x)$ primitivo
+    e riducibile in $\QQx$, con $f(x)=g(x)h(x)$,
+    $g(x)$, $h(x) \in \QQx \setminus \QQx^*$. \\
+
+    Si descrivano $g(x)$ e $h(x)$ nel seguente modo:
+
+    \[ g(x)=\frac{p_m}{q_m} x^m + \ldots + \frac{p_0}{q_0}, \quad \MCD(p_i, q_i)=1 \; \forall 0 \leq i \leq m, \]
+
+    \[ h(x)=\frac{s_n}{t_n} x^n + \ldots + \frac{s_0}{t_0}, \quad
+        \MCD(s_i, t_i)=1 \; \forall 0 \leq i \leq n. \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Si definiscano inoltre le seguenti costanti:
+
+    \[ \alpha = \frac{\mcm(q_m, \ldots, q_0)}{\MCD(p_m, \ldots, p_0)}, \quad \beta = \frac{\mcm(t_n, \ldots, t_0)}{\MCD(s_n, \ldots, s_0)}. \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Si verifica che sia $\hat{g}(x)=\alpha g(x)$ che
+    $\hat{h}(x)=\beta h(x)$ appartengono a $\ZZx$ e che entrambi
+    sono primitivi. Pertanto $\hat{g}(x) \hat{h}(x) \in \ZZx$. \\
+
+    Si descriva $f(x)$ nel seguente modo:
+
+    \[ f(x)=a_k x^k + \ldots + a_0, \quad \MCD(a_k,\ldots,a_0)=1. \]
+
+    \vskip 0.1in
+
+    Sia $\alpha \beta = \frac{p}{q}$ con $\MCD(p,q)=1$, allora:
+
+    \[\hat{g}(x) \hat{h}(x) = \alpha \beta f(x) = \frac{p}{q} (a_k x^k + \ldots + a_0), \]
+
+    da cui, per far sì che $\hat{g}(x) \hat{h}(x)$ appartenga
+    a $\ZZx$, $q$ deve necessariamente dividere tutti i
+    coefficienti di $f(x)$. Tuttavia $f(x)$ è primitivo, e quindi
+    $q=\pm 1$. Pertanto $\alpha \beta = \pm p \in \ZZ$. \\
+
+    Infine, per il \nameref{th:lemma_gauss}, $\alpha \beta f(x)$
+    è primitivo, da cui $\alpha \beta = \pm 1$. Quindi
+    $f(x) = \pm \hat{g}(x) \hat{h}(x)$ è riducibile. \\
+
+    ($\,\Longleftarrow\,\,$)\; Se $f(x)$ è irriducibile in $\QQx$
+    ed è primitivo, sicuramente $f(x)$ è irriducibile anche in
+    $\ZZx$. Infatti, se esiste una fattorizzazione in
+    irriducibili in $\ZZx$, essa non include alcuna costante
+    moltiplicativa dal momento che $f(x)$ è primitivo, e quindi
+    esisterebbe una fattorizzazione in irriducibili anche in $\QQx$.
+\end{proof}
+
+\end{document}