feat(eti): aggiunge le prime note di Combinatoria algebrica

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/1. Azione di un gruppo su un insieme/main.tex

@@ -0,0 +1,152 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Azione di un gruppo su un insieme}
+	\maketitle
+
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
+		Si scriverà $gh$ per indicare $g \cdot h$, omettendo il punto. Analogamente
+		con $X$ si indicherà un insieme generico qualsiasi.
+	\end{note}
+
+	\begin{definition}[azione di un gruppo su un insieme] Sia $X$ un insieme. Allora
+		un'applicazione $\varphi : G \to S(X)$ tale che $g \xmapsto{\varphi} \left[ x \mapsto g \cdot x \right]$ si dice \textbf{azione di $G$ su $X$}
+		se è un omomorfismo di gruppi. 
+	\end{definition} \medskip
+	
+	
+	Se $G$ agisce tramite $\varphi$ su $X$, si dice allora che $X$ è un $G$-insieme. Si dice inoltre che l'azione $\varphi$ è \textbf{fedele} se $\varphi$ è iniettiva,
+	ossia se e solo se $\varphi(g) = \Id \implies g = e$.
+	
+	\begin{definition}[stabilizzatore] Sia $x \in X$. Allora si definisce lo
+		\textbf{stabilizzatore di $x$}, denotato come $\Stab(x)$, come il sottogruppo di $G$ 
+		tale per cui:
+		\[ \Stab(x) = \{ g \in G \mid g \cdot x = x \}. \]
+	\end{definition} \medskip
+
+
+	Si può allora constatare che $\varphi$ è fedele se e solo se:
+	\[ \Ker \varphi = \bigcap_{x \in X} \Stab(x) = \{e\}. \] \medskip
+	
+	
+	Si costruisce adesso una relazione di equivalenza $\sim$ su $X$, data dalla
+	seguente definizione:
+	\[ x \sim y \defiff \exists g \in G \mid g \cdot x = y. \]
+	Le classi di equivalenza di $\sim$ vengono dette $\textbf{orbite}$ e si
+	pone $\Orb(x) := \left[ x \right]_\sim$. \medskip
+	
+	\begin{definition}[azione libera]
+		Si dice che $\varphi$ è un'azione libera (o che $G$ agisce liberamente
+		su $X$) se $\Stab(x) = \{e\}$ per ogni scelta di $x \in X$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}[azione transitiva]
+		Si dice che $\varphi$ è un'azione transitiva (o che $G$ agisce transitivamente
+		su $X$) se esiste un'unica classe di equivalenza di $\sim$ (ossia se
+		$\forall x$, $y \in X$, $\exists g \in G \mid g \cdot x = y$). In tal
+		caso si dice che $X$ è un $G$-insieme omogeneo.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}[azione semplicemente transitiva]
+		Si dice che $\varphi$ è un'azione semplicemente transitiva (o che $G$ agisce in
+		maniera semplicemente transitiva su $X$) se $\varphi$ è un'azione libera e
+		transitiva. In tal caso si dice che $X$ è un $G$-insieme omogeneo principale.
+	\end{definition} \medskip
+	
+	In generale, un'azione può essere solamente libera o solamente transitiva. Chiaramente
+	però la libertà di un'azione ne implica la fedeltà, e non il contrario. Tuttavia
+	nel caso particolare dei gruppi abeliani, la fedeltà e la transitività di un'azione
+	ne implicano anche la libertà, come enunciato dalla:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ abeliano. Allora, se $\varphi$ è fedele e transitiva, $\varphi$ è
+		semplicemente transitiva.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		È sufficiente dimostrare che $\varphi$ è anche libera, ossia che $\Stab(x) = \{e\}$
+		per ogni scelta di $x \in X$. Sia allora $g \in \Stab(x)$. Si mostra che
+		$g \in \Ker \varphi$, da cui si dedurrà che $g = e$. \medskip
+		
+		
+		Sia $y \in X$. Poiché $\varphi$ è transitiva, $x \sim y$, e quindi esiste
+		$h \in G$ tale per cui $h \cdot x = y$. Pertanto, sfruttando la commutatività
+		di $G$, $g \cdot y = g \cdot (h \cdot x) =
+		h \cdot (g \cdot x) = h \cdot x = y$, da cui si deduce che $\varphi(g) = \Id$,
+		concludendo la dimostrazione.
+	\end{proof} \bigskip
+	
+	Si dimostra adesso il teorema più importante sulle azioni di gruppi sugli insiemi: il
+	Teorema orbita-stabilizzatore, un ``analogo'' del Primo teorema di isomorfismo per
+	le azioni\footnote{Si lascia al lettore la gioia di dimostrare il Primo teorema di isomorfismo proprio a partire dal Teorema orbita-stabilizzatore (indizio: se $f \in \Hom(G,H)$, si può considerare l'azione $\varphi : G \to S(H)$ tale che $g \xmapsto{\varphi} \left[ h \mapsto g \cdot h = f(g)h \right]$). Si noterà infatti
+	che la dimostrazione del Teorema orbita-stabilizzatore ricalca totalmente la
+	stessa idea della dimostrazione del Primo teorema di isomorfismo.}\footnote{
+		Infatti $g \Stab(x)$ individua ancora tutti gli elementi di $G$ la cui immagine
+		è $g \cdot x$.
+	}.
+	
+	\begin{theorem}[orbita-stabilizzatore]
+		Sia $x \in X$. Allora la mappa $\alpha : G \quot \Stab(x) \to \Orb(x)$ tale
+		che $g \Stab(x) \xmapsto{\alpha} g \cdot x$ è una bigezione.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si mostra che la mappa $\alpha$ è ben definita. Se $g \in G$ e $s \in \Stab(x)$,
+		allora $\alpha(gs \Stab(x)) = (gs) \cdot x = g \cdot x = \alpha(g \Stab(x))$. \medskip
+
+
+		Si dimostra allora l'iniettività di $\alpha$. Siano $g$ e $h \in G$ tali
+		che $\alpha(g \Stab(x)) = \alpha(h \Stab(x))$. Allora $g \cdot x = h \cdot x \implies
+		(h\inv g) \cdot x = x \implies h \inv g \in \Stab(x)$; pertanto $h \in g \Stab(x) \implies g \Stab(x) = h \Stab(x)$, da cui l'iniettività. \medskip
+		
+		
+		Infine si mostra la surgettività di $\alpha$. Se $y \in \Orb(x)$, allora esiste
+		$g \in G$ tale per cui $g \cdot x = y$, e quindi $\alpha(g \Stab(x)) = g \cdot x = y$,
+		da cui la surgettività.
+	\end{proof} \bigskip
+	
+
+	Se $G$ è finito, il Teorema orbita-stabilizzatore implica anche un'identità aritmetica
+	riguardante le cardinalità di $\Stab(x)$ e $\Orb(x)$:
+	\[ \abs G = \abs{\Stab(x)} \abs{\Orb(x)}. \]
+	Da questa identità si può estrarre un'ulteriore uguaglianza:
+	\[ \abs X = \sum_{x \in \mathcal{R}} \abs{\Orb(x)} =  \sum_{x \in \mathcal{R}} \frac{\abs G}{\abs{\Stab(x)}}, \]
+	dove $\mathcal{R}$ è un insieme dei rappresentanti delle orbite dell'azione. Questo
+	fatto è un'immediata conseguenza del fatto che la relazione $\sim$ è di equivalenza,
+	e che, in quanto tale, induce una partizione dell'insieme $X$ mediante i suoi
+	rappresentanti:
+	\[ X = \bigsqcup_{x \in \mathcal{R}} \Orb(x). \] \bigskip
+
+
+	Si introduce adesso il concetto di \textit{punti fissi} di un dato $g \in G$, a cui
+	seguirà il \textit{lemma di Burnside}, un risultato utile per contare il numero
+	di orbite di un'azione.
+	
+	\begin{definition}[punti fissi di $g$]
+		Si definisce l'insieme $\Fix(g)$ come il sottoinsieme di $X$ dei punti
+		lasciati fissi da $g$, ossia:
+		\[ \Fix(g) = \{ x \in X \mid g \cdot x = x \}. \]
+	\end{definition}
+	
+	\begin{proposition}[lemma di Burnside]
+		$\abs{X \quot \sim} = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \abs{\Fix(g)}$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		L'idea chiave risiede nell'osservare che $\sum_{g \in G} \abs{\Fix(g)}$ conta
+		gli elementi dell'insieme $S$, dove:
+		\[ S = \{ (g, x) \in G \times X \mid g \cdot x = x \} \subseteq G \times X. \]
+		Infatti, gli stessi elementi sono contati da $\sum_{x \in X} \abs{\Stab(x)}$.
+		Applicando allora il Teorema orbita-stabilizzatore, ed indicando
+		con $\mathcal{R}$ un insieme dei rappresentanti delle orbite, la
+		somma si riscrive come:
+		\[ \sum_{g \in G} \abs{\Fix(g)} = \sum_{x \in X} \abs{\Stab(x)} =
+		\sum_{r \in \mathcal{R}} \sum_{x \in \Orb(r)} \abs{\Stab(x)} = (*),
+		 \]
+		 a sua volta riscritta come:
+		 \[ (*) = \sum_{r \in \mathcal{R}} \sum_{x \in \Orb(r)} \frac{\abs{G}}{\abs{\Orb(x)}} = \sum_{r \in \mathcal{R}} \sum_{x \in \Orb(r)} \frac{\abs{G}}{\abs{\Orb(r)}} = \abs{G} \abs{X \quot \sim}, \]
+		 dove è stato cruciale osservare che, per $x \in \Orb(r)$, $\Orb(x) = \Orb(r)$.
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/2. Azione di coniugio e p-gruppi/main.tex

@@ -0,0 +1,188 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Azione di coniugio e $p$-gruppi}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+	
+	Si consideri l'omomorfismo $\zeta$ che associa ad ogni $g \in G$ l'automorfismo interno
+	che induce. Questo omomorfismo induce la cosiddetta:
+	
+	\begin{definition}[azione di coniugio]
+		Si definisce \textbf{azione di coniugio} l'azione di $G$ su sé stesso indotta da $\zeta : G \to \Aut(G)$ dove:
+		\[ g \xmapsto{\zeta} \varphi_g = \left[ h \mapsto g h g\inv \right]. \]
+	\end{definition}
+	
+	L'orbita di un elemento $g \in G$ prende in questo particolare caso il nome
+	di \textbf{classe di coniugio} (e si indica come $\Cl(g)$), mentre il suo stabilizzatore viene detto \textbf{centralizzatore} (indicato con $Z_G(g)$). Si verifica facilmente
+	che $Z_G(g)$ è composto da tutti gli elementi $h \in G$ che commutano con $g$, ossia
+	tali che $gh = hg$. Allora vale in particolare che:
+	\[ Z(G) = \Ker \zeta = \bigcap_{g \in G} Z_G(g). \] \medskip
+	
+	
+	Si osserva inoltre che se $g \in Z(G)$, allora $\Cl(g) = \{g\}$ (infatti, per $h \in G$, si avrebbe $h g h\inv = h h\inv g = g$). Si può dunque riscrivere la somma data dal
+	Teorema orbita-stabilizzatore nel seguente modo:
+	\[ \abs{G} = \sum_{g \in \mathcal{R}} \frac{\abs{G}}{\abs{Z_G(g)}} = \sum_{g \in Z(G)} \underbrace{\abs{\Cl(g)}}_{=1} + \sum_{g \in \mathcal{R} \setminus Z(G)} \frac{\abs{G}}{\abs{Z_G(g)}} = (*), \]
+	che riscritta ancora si risolve nella \textbf{formula delle classi di coniugio}:
+	\[ (*) = \abs{Z(G)} + \sum_{g \in \mathcal{R} \setminus Z(G)} \frac{\abs{G}}{\abs{Z_G(g)}}, \]
+	dove $\mathcal{R}$ è un insieme di rappresentanti delle orbite dell'azione di coniugio
+	(si osserva che ogni elemento di $Z(G)$ è un rappresentante dacché l'orbita di un
+	elemento del centro è banale). \medskip
+	
+	
+	Utilizzando la nozione di centralizzatore, si può contare ``facilmente'' il numero
+	di classi di coniugio di un gruppo. Infatti, si osserva crucialmente che
+	$\Fix(g)$ (il numero di elementi di $G$ lasciati invariati sotto il coniugio di $g$)
+	è lo stesso insieme $Z_G(g)$. Infatti vale che:
+	\[ \Fix(g) = \{ h \in G \mid gh = hg \} = Z_G(g). \]
+	Allora, per il lemma di Burnside, se $k(G)$ è il numero di classi di coniugio di $G$, vale che:
+	\[ k(G) = \frac{1}{\abs{G}} \sum_{g \in G} \abs{Z_G(g)}. \] \bigskip
+	
+	
+	La formula delle classi di coniugio risulta in particolare utile nella discussione
+	dei $p$-gruppi, definiti di seguito.
+	
+	\begin{definition}[$p$-gruppo]
+		Sia $G$ un gruppo finito. $G$ si dice allora \textbf{$p$-gruppo} se
+		$\abs{G} = p^n$ per $n \in \NN^+$ e un numero primo $p \in \NN$.
+	\end{definition}
+	
+	Infatti, grazie alla formula delle classi di coniugio, si osserva facilmente che il centro di un $p$-gruppo non è mai banale (ossia composto dalla sola identità), come mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ un $p$-gruppo. Allora $\abs{Z(G)} > 1$. 
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Dalla formula delle classi di coniugio si ha che:
+		\[ \abs{G} = \abs{Z(G)} + \sum_{g \in \mathcal{R} \setminus Z(G)} \frac{\abs G}{\abs{Z_G(g)}}. \]
+		Si osserva in particolare che il secondo termine della somma a destra è divisibile
+		per $p$. Infatti, poiché $g \notin Z(G)$ per ipotesi, $Z_G(g) \neq Z(G)$; da cui
+		si deduce che $\abs{Z_G(g)}$ deve essere un divisore stretto di $p^n$, e dunque
+		che $p \mid \nicefrac{\abs G}{\abs{Z_G(g)}}$. Prendendo l'identità di sopra modulo
+		$p$, si deduce allora che:
+		\[ \abs{Z(G)} \equiv 0 \pod p. \]
+		Combinando questo risultato col fatto che $\abs{Z(G)} \geq 1$ (infatti $Z(G) \leq G$),
+		si conclude che deve valere necessariamente la tesi.
+	\end{proof} \medskip
+	
+	
+	Quest'ultima proposizione spiana il terreno per un risultato interessante sui
+	gruppi di ordine $p^2$, come mostra il:
+	
+	\begin{theorem}
+		Ogni gruppo $G$ di ordine $p^2$ è abeliano.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Dal momento che $G$ è un $p$-gruppo, per la precedente proposizione
+		$\abs{Z(G)} > 1$. Allora $\abs{Z(G)}$ è pari a $p$ o $p^2$, per il
+		Teorema di Lagrange. Se $\abs{Z(G)}$ fosse pari a $p$, allora
+		$\abs{G \quot Z(G)} = \nicefrac{\abs G}{\abs{Z(G)}} = p$. Pertanto
+		$G \quot Z(G)$ sarebbe ciclico, e dunque $G$ sarebbe abeliano; assurdo,
+		dal momento che si era presupposto che $Z(G)$ fosse un sottogruppo proprio
+		di $G$, \Lightning. Allora $Z(G)$ ha ordine $p^2$,
+		e dunque $Z(G) = G$.
+	\end{proof} \medskip
+	
+	
+	\begin{example}
+		Si mostra che\footnote{
+			Il risultato è facilmente dimostrabile attraverso
+			il Teorema di struttura dei gruppi abeliani
+			finitamente generati.
+		} $G$ è obbligatoriamente isomorfo a
+		$\ZZ_{p^2}$ o a $\ZZ_p \times \ZZ_p$ se
+		$\abs{G} = p^2$. \vskip 0.1in
+		
+
+		Se $G$ ammette un generatore,
+		allora $G$ è ciclico e quindi isomorfo a $\ZZ_{p^2}$.
+		Altrimenti, sia $g \in G$ un elemento di ordine\footnote{
+			Questo elemento deve esistere obbligatoriamente, non
+			solo per il Teorema di Cauchy, ma anche perché solo
+			l'identità ammette ordine $1$ e perché si è supposto
+			che nessun elemento abbia ordine $p^2$ (altrimenti
+			il gruppo sarebbe ciclico).
+		} $p$ e sia\footnote{
+			Tale $h$ deve esistere, altrimenti $G$ sarebbe ciclico.
+		} $h \in G$ tale che $h \notin \gen{g}$. Per il teorema
+		precedente $G$ è abeliano, e quindi $\gen{g}\gen{h}$ è
+		un sottogruppo di $G$. \medskip
+		
+		
+		Inoltre $\gen{g} \cap \gen{h}$ è
+		banale: se non lo fosse avrebbe ordine $p$, e quindi
+		$\gen{g}$ e $\gen{h}$ coinciderebbero insiemisticamente,
+		\Lightning. Pertanto $\gen{g}\gen{h} \cong \gen{g}
+		\times \gen{h} \cong \ZZ_p \times \ZZ_p$. Infine, poiché
+		$\abs{\gen{g} \gen{h}} = p^2$, vale anche che
+		$G = \gen{g} \gen{h}$, da cui la tesi.
+	\end{example} \medskip
+	
+	
+	La formula delle classi di coniugio permette di dimostrare
+	agevolmente un'altra proposizione sui $p$-gruppi, come la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ un $p$-gruppo di ordine $p^n$ con $\abs{Z(G)} = p$
+		con $n \geq 2$. Allora esiste un elemento $x \in G$ tale
+		per cui $\abs{Z_G(x)} = p^{n-1}$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Si consideri la formula delle classi di coniugio:
+		\[ \abs{G} = \abs{Z(G)} + \sum_{g \in \rotations \setminus Z(G)} \frac{\abs G}{\abs{Z_G(g)}}, \]
+		dove $\rotations$ è un insieme dei rappresentanti delle
+		classi di coniugio. Allora vale che:
+		\[ p^n = p + \sum_{g \in \rotations \setminus Z(G)} \frac{\abs G}{\abs{Z_G(g)}}. \]
+		Se non esistesse $x \in G$ (e quindi, equivalentemente,
+		in $\rotations$) tale per cui $\abs{Z_G(x)} = p^{n-1}$, la somma a destra
+		sarebbe divisibile almeno per $p^2$, e quindi, poiché
+		$n \geq 2$, $p^2$ dovrebbe dividere $p$, \Lightning. Pertanto
+		tale elemento $x$ esiste e la tesi è dimostrata.
+	\end{proof} \medskip
+	
+	
+	Si mostra infine una proposizione riguardante il normalizzatore
+	di un sottogruppo proprio di un $p$-gruppo:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ un $p$-gruppo. Allora $H \lneq G \implies
+		H \lneq N_G(H)$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $\abs{G} = p^n$. Si dimostra la tesi per induzione
+		su $n$. Se $n = 1$, la tesi è banale. Sia ora $n > 1$.
+		Si distinguono due casi, in base a se $Z(G) \leq H$ o
+		meno. \medskip
+		
+		
+		Se $Z(G) \nleq H$, allora esiste sicuramente un elemento
+		$x \in Z(G) \setminus H$, e quindi un elemento $x$
+		appartenente a $N_G(H)$, ma non ad $H$. In tal caso,
+		si deduce facilmente che $H \lneq N_G(H)$. \medskip
+		
+		
+		Se invece $Z(G) \leq H$, si può applicare il Teorema
+		di corrispondenza. Poiché $G \quot Z(G)$ è un $p$-gruppo
+		di ordine strettamente minore di $p^n$ (infatti il
+		centro di un $p$-gruppo è sempre non banale), per
+		induzione $H \quot Z(G) \lneq N_{G \quot Z(G)}(H \quot Z(G))$.
+		Allora, per il Teorema di corrispondenza,
+		$H = \pi_{Z(G)}\inv(H \quot Z(G)) \lneq \pi_{Z(G)}\inv(
+		N_{G \quot Z(G)}(H \quot Z(G)))$. È sufficiente mostrare
+		che $\pi_{Z(G)}\inv(
+		N_{G \quot Z(G)}(H \quot Z(G))) \subseteq N_G(H)$ per
+		dedurre la tesi. Sia allora $g \in \pi_{Z(G)}\inv(
+		N_{G \quot Z(G)}(H \quot Z(G)))$. Allora, per ipotesi,
+		vale che:
+		\[ \pi_{Z(G)}(gHg\inv) = g Z(G) \pi_{Z(G)}(H) g\inv Z(G) \subseteq \pi_{Z(G)}(H), \]
+		per cui $gHg\inv \subseteq H$.
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Azioni di gruppo e p-gruppi/3. Normalizzatore e teorema di Cayley/main.tex

@@ -0,0 +1,302 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Normalizzatore e teorema di Cayley}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+	
+	Sia $X = \{ H \subseteq G \mid H \leq G \}$ l'insieme dei sottogruppi di $G$.
+	Allora si può costruire un'azione $\varphi : G \to S(X)$ in modo tale che:
+	\[ g \xmapsto{\varphi} \left[ H \mapsto gHg\inv \right]. \]
+	Si definisce \textbf{normalizzatore} lo stabilizzatore di un sottogruppo
+	$H$ (e si indica con $N_G(H)$), mentre $\Orb(H)$ è l'insieme dei \textbf{coniugati}
+	di $H$. In particolare $N_G(H)$ è il massimo sottogruppo per inclusione in cui $H$
+	è normale. \medskip
+	
+	
+	Si osserva ora in modo cruciale che $H \nsgeq G$ se e solo se
+	$\Orb(H) = \{H\}$, e quindi se e solo se $N_G(H) = G$. Analogamente si
+	osserva che $H$ è normale se e solo se:
+	\[ H = \bigcup_{h \in H} \Cl(h). \]
+	Tramite la stessa azione $\varphi$ possiamo illustrare un importante relazione
+	tra gli stabilizzatori, dettata dalla:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $x \in X$ e sia $g \in G$. Allora vale che $\Stab(g \cdot x) = g \Stab(x) g\inv$,
+		e i coniugati di $\Stab(x)$ sono esattamente altri stabilizzatori.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Si osserva che se $ghg\inv \in g\Stab(x)g\inv$, allora:
+		\[ (ghg\inv) \cdot (g \cdot x) = gh \cdot x = g \cdot x \implies ghg\inv \in \Stab(g \cdot x), \]
+		e viceversa che se $h \in \Stab(g \cdot x)$:
+		\[ (g\inv h g) \cdot x = g\inv \cdot (h \cdot (g \cdot x)) = (g\inv g) \cdot x = x \implies g\inv h g \in \Stab(x) \implies h \in g \Stab(x) g\inv, \]
+		da cui si deduce che $\Stab(g \cdot x) = g \Stab(x) g\inv$.
+	\end{proof}
+	
+	Da questa proposizione segue immediatamente il seguente:
+	
+	\begin{corollary}
+		Sia $\varphi$ un'azione transitiva. Allora tutti gli stabilizzatori sono
+		coniugati tra loro.
+	\end{corollary}
+	
+	\begin{proof}
+		Siano $x$ e $y \in X$. Poiché $\varphi$ è transitiva, esiste un'unica orbita
+		e dunque esiste $g \in G$ tale per cui $g \cdot y = x$. Allora
+		$\Stab(x) = \Stab(g \cdot y) = g \Stab(y) g\inv$.
+	\end{proof}
+	
+	Infine, si verifica una proprietà dei sottogruppi coniugati:
+	
+	\begin{proposition}
+		Se $H$ e $K$ sono coniugati, allora sono in particolare anche isomorfi.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Poiché $H$ e $K$ sono coniugati, esiste un $g \in G$ tale per cui
+		$K = gHg\inv$.
+		Un isomorfismo tra i due gruppi è allora naturalmente dato dall'azione di
+		coniugio tramite $g$, ossia dall'omomorfismo $\zeta : H \to K$
+		tale per cui $h \xmapsto{\zeta} ghg\inv$. Tale mappa è sicuramente un omomorfismo;
+		è ben definita e surgettiva perché i gruppi sono coniugati ed è iniettiva
+		perché $ghg\inv = e \implies h = e$ (e quindi $\Ker \zeta = \{e\}$).
+	\end{proof}
+	
+	\bigskip
+	
+	Si illustra adesso un risultato principale della teoria dei gruppi che mette in
+	relazione ogni gruppo con il proprio gruppo di bigezioni, ed ogni gruppo finito con i
+	sottogruppi dei gruppi simmetrici.
+	
+	\begin{theorem}[di Cayley]
+		Ogni gruppo è isomorfo a un sottogruppo del suo gruppo di bigezioni.
+		In particolare, ogni gruppo finito $G$ è isomorfo a un sottogruppo di un gruppo
+		simmetrico.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si consideri l'azione\footnote{Tale azione prende il nome di \textbf{rappresentazione regolare a sinistra} o \textbf{\textit{embedding} di Cayley}.
+		Si può definire un'azione analoga a destra ponendo $g \mapsto \left[ h \mapsto hg\inv \right]$,
+		costruendo dunque una \textit{rappresentazione regolare a destra}.} $\varphi : G \to S(G)$ tale per cui:
+		\[ g \xmapsto{\varphi} \left[ h \mapsto gh \right]. \]
+		Si mostra che $\varphi$ è fedele\footnote{L'azione $\varphi$ è molto
+		più che fedele; è infatti innanzitutto libera.}. Sia infatti $\varphi(g) = \Id$; allora
+		vale che $ge = e \implies g = e$. Quindi $\Ker \varphi$ è banale, e per il
+		Primo teorema di isomorfismo vale che:
+		\[ G \cong \Im \varphi \leq S(G). \]
+		Se $G$ è finito, $S(G)$ è isomorfo a $S_n$, dove $n := \abs{G}$, e quindi
+		$\Im \varphi$ è a sua volta isomorfo a un sottogruppo di $S_n$, da cui
+		la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	A partire dall'\textit{embedding} di Cayley si può dimostrare un risultato
+	sui gruppi di ordine $2d$ con $d$ dispari:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ un gruppo di ordine $2d$ con $d$ dispari. Allora $G$ ammette
+		un sottogruppo $H$ di ordine $d$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Consideriamo l'\textit{embedding} di Cayley di $G$. In particolare,
+		poiché $S(G) \cong S_{2d}$, possiamo identificare $S(G)$ con
+		$S_{2d}$, studiando tale \textit{embedding} direttamente su quest'ultimo
+		sottogruppo. \medskip
+		
+		
+		Sia allora $\varphi : G \to S_{2d}$ la composizione $\xi \circ \lambda$ dove
+		$\xi$ è un isomorfismo tra $S(G)$ e $S_{2d}$ e $\lambda : G \to S(G)$ è l'\textit{embedding} di Cayley associato a $G$.
+		Si osserva che $\varphi\inv(\Ad{2d}) = \{ g \in G \mid \varphi(g) \in \Ad{2d} \} =
+		\Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)$. Per il Primo teorema di isomorfismo vale
+		che:
+		\[ G \quot \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi) \cong \Im (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi) \leq
+		S_{2d} \quot {\Ad{2d}} \cong \{\pm 1\}, \]
+		e quindi\footnote{
+			Si può arrivare alla stessa conclusione mediante un ragionamento leggermente
+			diverso. Se si considera $K = \varphi(G)$, $K \cap \Ad{2d} = \varphi(G) \cap \Ad{2d}$ è esattamente $\Ker(\restr{\sgn}{\varphi(G)})$, e quindi
+			$[K : (K \cap \Ad{2d})] \in \{1, 2\}$. Pertanto, dal momento che $\varphi$
+			è un isomorfismo tra $G$ e $\Im \varphi = \varphi(G)$, $\varphi\inv(\Ad{2d}) =
+			\varphi\inv(\Ad{2d} \cap \varphi(G))$ può avere solo indice $1$ o $2$, ed
+			ha indice $1$ se e solo se $\varphi(G) \subseteq \Ad{2d}$.
+		} $[G : \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)]$ vale $1$ o $2$. \medskip
+		
+		
+		Se
+		$[G : \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)]$ fosse uguale a $1$,
+		varrebbe che $G = \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi) = \varphi\inv(\Ad{2d})$, e quindi che
+		$\varphi(G) \subseteq \Ad{2d}$. Si mostra che ciò è impossibile esibendo un elemento
+		$g \in G$ tale per cui $\varphi(g)$ sia dispari. Dacché $2 \mid \abs{G}$,
+		esiste $g \in G$ con $\ord(g) = 2$ per il teorema di Cauchy. Allora la
+		decomposizione in cicli di $\varphi(g)$ sarà la stessa di $\lambda(g)$, ossia\footnote{
+			In generale, se $\ord(g) = k$, la sua decomposizione tramite $\lambda$ sarà:
+			\[ (g_1, g g_1, \ldots, g^{k-1} g_1)  (g_2, g g_2, \ldots, g^{k-1} g_2) \cdots (g_s, g g_s, \ldots, g^{k-1} g_s), \]
+			con $s = 2d/k$, ossia $\lambda(g)$ sarà prodotto di $2d/k$ $k$-cicli.
+		}:
+		\[ \lambda(g) = (g_1, g g_1) (g_2, g g_2) \cdots (g_d, g g_d). \]
+		Poiché $\lambda(g)$ è allora prodotto di $d$ trasposizioni, $\lambda(g)$ è dispari,
+		e così pure $\varphi(g)$. Pertanto $\varphi(g) \notin \Ad{2d} \implies
+		[G : \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)] = 2$, e quindi
+		$\abs{ \Ker (\pi_{\Ad{2d}} \circ \varphi)} = d$, concludendo la dimostrazione.
+	\end{proof} \bigskip
+	
+	Si presentano adesso due risultati interessanti legati ai sottogruppi normali di
+	un gruppo $G$.
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia\footnote{
+			Si osserva che questa proposizione risulta superflua se si dimostra,
+			come succede sul finire di questo documento, che per il più piccolo
+			primo $p$ che divide $\abs{G}$, i sottogruppi corrispondenti di
+			indice $p$ sono normali. Vista tuttavia la semplicità della dimostrazione,
+			si è preferito lasciarla per motivi didattici.
+		} $H \leq G$. Allora, se $[G : H] = 2$, $H$ è normale in $G$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Poiché $[G : H] = 2$, le uniche classi laterali sinistre rispetto ad $H$ in
+		$G$ sono $H$ e $gH = G \setminus H$, dove $g \notin H$. Analogamente esistono
+		due sole classi laterali destre, $H$ e $Hg = G \setminus H$. In particolare
+		$gH$ deve obbligatoriamente essere uguale a $Hg$, e quindi $gHg\inv = H$, da
+		cui la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $K \leq H \leq G$. Allora, se $H$ è normale in $G$ e $K$ è caratteristico
+		in $H$, $K$ è normale in $G$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $\varphi_g \in \Inn(G)$. Poiché $H$ è normale in $G$, $\varphi_g(H) = H$. Pertanto
+		si può considerare la restrizione di $\varphi_g$ su $H$, $\restr{\varphi_g}{H}$.
+		In particolare $\restr{\varphi_g}{H}$ è un automorfismo di $\Aut(H)$, e quindi,
+		poiché $K$ è caratteristico in $H$, $\restr{\varphi_g}{H}(K) = K$, da cui si
+		deduce che $gKg\inv = K$ per ogni $g \in G$.
+	\end{proof}
+	
+	Si illustra adesso un risultato riguardante l'esistenza di sottogruppi normali in $G$:
+	\begin{theorem}[di Poincaré]
+		Sia $H$ un sottogruppo di $G$ di indice $n$. Allora esiste sempre un sottogruppo
+		$N$ di $G$ tale per cui:
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $N$ è normale in $G$,
+			\item $N$ è contenuto in $H$,
+			\item $n \mid [G : N] \mid n!$.
+		\end{enumerate}
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si consideri l'azione $\varphi : G \to S(G \quot H)$ tale per cui
+		$g \xmapsto{\varphi} [kH \mapsto gkK]$. Tale azione è sicuramente
+		ben definita dal momento che $kH = k'H \implies gkH = gk'H$. Si
+		studia $N := \Ker \varphi$. Chiaramente $N$ è normale in $G$, e si
+		verifica facilmente che $N$ è contenuto anche in $H$, infatti, se
+		$n \in N$, allora:
+		\[ H = \varphi(n)(H) = nH \implies n \in H. \]
+		Poiché $G \quot N$ è isomorfo a $\Im \varphi \leq S(G \quot H)$,
+		$[G : N] \mid \abs{S(G \quot H)} = \abs{S_n} = n!$ considerando che
+		$S(G \quot H) \cong S_n$. Dal momento allora che $N$ è un sottogruppo
+		di $H$, vale che:
+		\[ [G : N] = [G : H] [H : N] = n [H : N], \]
+		e quindi $n \mid [G : N]$. Si è dunque esibito un sottogruppo $N$ con
+		le proprietà indicate nella tesi.
+	\end{proof}
+	
+	Dal precedente teorema sono immediati i seguenti due risultati:
+	
+	\begin{corollary}
+		Sia $H$ un sottogruppo di $G$ con indice $n$. Se $n! < \abs{G}$ e
+		$n>1$, allora $G$ non è semplice.
+	\end{corollary}
+	
+	\begin{corollary}
+		Sia $H$ un sottogruppo di $G$ con indice $p$, dove $p$ è il più piccolo
+		primo che divide $n = \abs{G}$. Allora $H$ è normale.
+	\end{corollary}
+	
+	\begin{proof}
+		Per il Teorema di Poincaré, esiste un sottogruppo $N$ di $H$ tale per cui
+		$N$ sia normale e $p \mid [G : N] \mid p!$ con $p = [G : H]$. In particolare
+		$[G : N]$ deve dividere anche $n$, e quindi $[G : N]$ deve dunque
+		dividere $\MCD(p!, n)$, che è, per ipotesi, $p$ stesso. Si conclude dunque
+		che $[G : N] = p = [G : H]$, e quindi che $N = H$, ossia che $H$ stesso
+		è normale.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{example} [Tutti i gruppi di ordine $15$ sono ciclici]
+		Sia\footnote{
+			In realtà $15$ è un numero molto speciale, in quanto è prodotto
+			di due primi distinti ($3$ e $5$) tali per cui $3$ non divida
+			$5-1 = 4$. In generale, ogni gruppo di ordine $pq$ con
+			$p$ e $q$ primi tali per cui $p<q$ e $p \nmid q-1$ è ciclico.
+		} $G$ un gruppo di ordine $15$. Per il teorema di Cauchy esistono
+		due elementi $h$ ed $k$, uno di ordine $3$ e l'altro di ordine $5$.
+		In particolare, si consideri $K = \gen{k}$; poiché $\abs{K} = 5$,
+		$[G : K] = 3$, il più piccolo primo che divide $15$. Pertanto
+		$K$ è normale per il corollario di sopra. \medskip
+		
+		
+		Poiché $K$ è normale, si può considerare la restrizione $\iota :
+		\Inn(G) \to \Aut(K)$ tale per cui $\varphi_g \xmapsto{\iota} \restr{\varphi_g}{K}$.
+		Dal momento che $K$ è ciclico, $\Aut(K) \cong \Aut(\ZZ \quot 5 \ZZ) \cong
+		(\ZZ \quot 5 \ZZ)^* \cong \ZZ \quot 4 \ZZ$. Quindi $[G : \Ker \iota]$ deve
+		dividere sia $4$ che $15$; dal momento che $\MCD(4, 15) = 1$, $[G : \Ker \iota] = 1$,
+		e quindi che $\iota$ è l'omomorfismo banale. Poiché $\iota$ è banale, $K$ è
+		un sottogruppo di $Z(G)$. \medskip
+		
+		
+		In particolare $[G : Z(G)] \mid [G : K] = 3$, e quindi in particolare
+		$G \quot Z(G)$ è ciclico, da cui si deduce che $G$ è abeliano. Infine,
+		dal momento che $\MCD(3, 5) = 1$ e $h$ e $k$ commutano,
+		$hk$ è un elemento di ordine $15$, e dunque $G$ è ciclico.
+	\end{example}
+	
+	Si illustrano infine due risultati interessanti sui coniugati di $G$:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $H \leq G$. Allora
+		\[ \bigcup_{g \in G} gHg\inv = G \iff H = G. \]
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Se $H = G$, allora $gGg\inv = G$ e quindi l'identità è vera. Viceversa,
+		$gHg\inv = kHk\inv \iff g N_G(H) = k N_G(H)$. Preso dunque un'insieme
+		$\rotations$ di rappresentanti per ogni classe in $G \quot N_G(H)$,
+		vale che:
+		\[ \bigcup_{g \in \rotations} gHg\inv = G. \]
+		In ogni $gHg\inv$ ci sono $\abs{H}$ elementi distinti, e quindi, poiché
+		$\abs{\rotations} = \abs{G \quot N_G(H)}$, deve valere la seguente
+		disuguaglianza:
+		\[ \abs{\bigcup_{g \in \rotations} gHg\inv} \leq \abs{G \quot N_G(H)} \abs{H} \leq
+			\frac{\abs{G}}{\abs{N_G(H)}} \abs{H} \leq \abs{G}, \]
+		dove si è usato che $H \leq N_G(H)$.
+		Se $\abs{G \quot N_G(H)}$ non valesse $1$, ci sarebbe più ripetizioni di $e$
+		all'interno dell'unione, e quindi la prima disuguaglianza sarebbe stretta,
+		\Lightning. Quindi $N_G(H) = G \implies H \nsgeq G$. Allora la disuguaglianza
+		si riscrive come:
+		\[ \abs{G} = \abs{\bigcup_{g \in \rotations} gHg\inv} \leq \abs{H} \leq \abs{G}, \]
+		da cui si ricava che necessariamente $\abs{H} = \abs{G} \implies H = G$.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $\varphi$ un'azione transitiva di $G$ su $X$.
+		Allora esiste sempre un $g \in G$ tale per cui $\Fix(g) = \emptyset$,
+		se $\abs{X} \geq 2$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}		
+		Se $g$ non fissa alcun punto di $X$, allora $g \notin \bigcup_{x \in X} \Stab(x)$; pertanto tale $g$ esiste se e solo se $\bigcup_{x \in X} \Stab(x) \neq G$. Poiché tali sottogruppi sono tutti coniugati, scelto $u \in U$ vale
+		che:
+		\[ \bigcup_{x \in X} \Stab(x) = \bigcup_{g \in G} g \Stab(u) g\inv. \]
+		Si conclude dunque che tale $g$ esiste se e solo se $\Stab(u) \neq G$.
+		Se $\Stab(u)$ fosse uguale a $G$, allora, per il Teorema orbita-stabilizzatore,
+		varrebbe che $\abs{\Orb(u)} = 1$; tuttavia $\varphi$ è transitiva e quindi
+		$X = \Orb(u) \implies \abs{X} = \abs{\Orb(u)} = 1$, \Lightning. Pertanto
+		$\Stab(u) \neq G$, e dunque l'unione non ricopre tutto $G$, concludendo
+		la dimostrazione.
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/1. Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani/main.tex

@@ -0,0 +1,306 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Prodotto di sottogruppi e ordini di gruppi abeliani}
+	\maketitle
+
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+
+	Si introduce in questo documento la nozione di prodotto
+	di sottogruppi, ripresa poi nella dimostrazione di un
+	lemma fondamentale per lo studio dei gruppi abeliani.
+	
+	\begin{definition}[prodotto di sottogruppi]
+		Siano $H$ e $K$ due sottogruppi di $G$. Si definisce
+		il loro prodotto $HK$ come:
+		\[ HK = \{ hk \mid h \in H, k \in K \} \subseteq G. \]
+	\end{definition}
+
+	In realtà, il concetto di ``prodotto di sottogruppi'' non
+	è del tutto nuovo nello studio dell'Algebra per uno
+	studente che ha già seguito con successo un corso di
+	Algebra lineare. Infatti, la somma di due sottospazi
+	vettoriali è un prodotto di sottogruppi, per quanto
+	la scrittura $V+W$ possa trarre in inganno (infatti uno
+	spazio vettoriale è in particolare un gruppo abeliano).
+	L'unica, cruciale, differenza sta nel fatto che una
+	somma di sottospazi è sempre un sottospazio, mentre
+	$HK$ potrebbe non esserlo, come mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $H$ e $K$ due sottogruppi di $G$. Allora
+		$HK$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se $HK=KH$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Se $HK$ è un sottogruppo di $G$, si verifica
+		facilmente che $HK=KH$. Infatti, se $k \in K$ e
+		$h \in H$, $kh$, che appartiene chiaramente
+		a $KH$, deve appartenere anche ad $HK$ dal momento
+		che è l'inverso dell'elemento $h\inv k\inv \in HK$
+		(infatti $HK$ è un gruppo); pertanto $KH \subseteq HK$.
+		Analogamente, sia $x$ un elemento di $HK$. Allora
+		$x$ ammette un inverso in $HK$, e quindi $x\inv = hk$,
+		con $h \in H$, $k \in K$. Allora $x = k\inv h\inv \in KH$,
+		da cui $HK \subseteq KH$ e quindi $HK=KH$. \bigskip
+		
+		
+		Sia ora $HK=KH$. Chiaramente $e \in HK$. Siano $x=h_1 k_1$ e $y=h_2 k_2$ elementi
+		di $HK$ con $h_1$, $h_2 \in H$ e $k_1$, $k_2 \in K$.
+		Allora $xy = h_1 k_1 h_2 k_2$; tuttavia $k_1 h_2$ si può
+		riscrivere per ipotesi (essendo $KH \subseteq HK$) come
+		$hk$ con $h \in H$ e $k \in K$. Allora $xy = h_1 h k k_2 \in HK$, e quindi $HK$ è chiuso per l'operazione di gruppo di $G$.
+		Inoltre $x\inv = k_1 \inv h_1 \inv \in KH$, e quindi,
+		per ipotesi, $x\inv \in HK$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	Quindi, se un gruppo è abeliano, vale sempre la relazione
+	$HK=KH$, e dunque $HK$ è sempre un sottogruppo (e quindi
+	si sostituisce con più tranquillità alla notazione $HK$ la più familiare $H+K$). In realtà, però, si può indebolire questa
+	ipotesi richiedendo la normalità di $H$ o $K$ (come suggerisce
+	la notazione $H = KHK\inv$), come mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $H$ e $K$ due sottogruppi di $G$. Allora, se $H \nsgeq G$, $HK = KH$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Siano $h \in H$ e $k \in K$. Si consideri l'elemento
+		$hk \in HK$. Poiché $H$ è normale, $k\inv h k \in H$,
+		e quindi $k\inv h k = h'$ con $h' \in H$, da cui
+		$HK \subseteq KH$. Analogamente si mostra anche
+		l'altra inclusione.
+	\end{proof} \bigskip
+
+	Come studiato nell'ambito dell'Algebra lineare, l'intersezione dei
+	sottogruppi $H$ e $K$ gioca un ruolo fondamentale nel
+	considerare l'insieme $HK$. In particolare, ci si chiede
+	quando il prodotto $hk$ è univocamente rappresentato
+	(ossia $hk=h'k' \implies h=h'$ e $k=k'$). Si può
+	rispondere a questa domanda in due modi: mostrando
+	sotto quali ipotesi si trova un isomorfismo tra $HK$ e
+	$H \times K$ (che dunque codifica l'unicità tramite
+	l'uguaglianza delle coordinate), o determinando
+	la cardinalità di $HK$ per $G$ finito (e dunque l'unicità dipende
+	dall'uguaglianza $\abs{HK} = \abs H \abs K$, dal momento
+	che se le scritture sono uniche, tutti i prodotti tra elementi
+	di $H$ e di $K$ sono distinti). In entrambi i casi si giungerà
+	alla conclusione secondo cui $H \cap K$ deve essere
+	banale\footnote{Mantenendo l'analogia con l'Algebra lineare,
+	vale infatti che $V + W = V \oplus W$
+	se e solo se $V \cap W = \zerovecset$. Si mostrerà che
+	sotto le stesse ipotesi anche un prodotto di sottogruppi è
+	un prodotto diretto (tramite isomorfismo).} \bigskip
+
+
+	\begin{proposition}[cardinalità di $HK$]
+		Sia $G$ un gruppo finito.
+		Siano $H$ e $K$ due sottogruppi di $G$. Allora vale
+		che $\abs{HK} = \frac{\abs{H} \abs{K}}{\abs{H \cap K}}$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si costruisca la relazione di equivalenza $\sim$
+		su $H \times K$ in modo tale che:
+		\[ (h,k) \sim (h',k') \defiff hk=h'k'. \]
+		Allora chiaramente $\abs{H \times K \quot \sim} = \abs{HK}$
+		(infatti ad ogni classe di equivalenza corrisponde esattamente un unico elemento di $HK$). \bigskip
+		
+		Si esamini la classe di equivalenza di $(h,k) \in H \times K$. Si
+		mostra che ogni elemento di tale classe è della forma
+		$(ht,t\inv k)$ con $t \in H \cap K$. Sia infatti $(h_1,k_2) \in
+		[(h,k)]_\sim$. Allora:
+		\[
+			h_1k_1=hk \implies h\inv h_1 = k k_1\inv \in H \cap K.
+		\]
+		Pertanto, se $h\inv h_1 = k k_1\inv = t$, vale che $h_1=ht$ e che $k_1 = t\inv k$.
+		Quindi ogni classe di equivalenza contiene esattamente $\abs{H \cap K}$ elementi.
+		Poiché $\sim$ induce una partizione di $H \times K$ in classi
+		di equivalenza, vale dunque che:
+		\[
+			\abs{H} \abs{K} = \abs{H \times K} = \abs{H \times K \quot \sim} \abs{H \cap K} = \abs{HK} \abs{H \cap K},
+		\]
+		da cui la tesi. 
+	\end{proof}
+	
+	\begin{proof}[Dimostrazione alternativa]
+		Si osserva che vale la seguente identità:
+		\[ HK = \bigcup_{h \in H} hK. \]
+		Poiché gli $hK$ rappresentano delle classi laterali sinistre
+		di $G$, se $h' \in H$, o $hK = h'K$ o $hK \cap h'K = \emptyset$. Se $hK = h'K$, allora $h h\inv \in K$, e quindi
+		$h h\inv \in H \cap K$. Vi sono dunque esattamente
+		$\abs{H \cap K}$ istanze della classe $hK$ nell'unione
+		considerata all'inizio della dimostrazione. Allora:
+		\[ \abs{HK} = \frac{\abs{H} \abs{K}}{\abs{H \cap K}}, \]
+		dove $\abs{K}$ è il numero di elementi di ogni classe
+		$hK$.
+	\end{proof}
+
+	Pertanto, se le scritture sono uniche, $H \cap K$ deve essere
+	per forza banale (infatti deve valere $\abs{H \cap K} = 1$).
+	Questo risultato può essere rafforzato dalla:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $H$ e $K$ due sottogruppi normali di $G$ tali che
+		$H \cap K = \{e\}$. Allora $HK \cong H \times K$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si costruisce la mappa $\rho : H \times K \to HK$
+		in modo tale che:
+		\[ (h,k) \xmapsto{\rho} hk. \]
+		
+		Si osserva che ogni elemento $h$ di $H$ commuta con
+		ogni elemento $k$ di $K$. Se infatti si considera il
+		commutatore $g = [h, k]$, vale che:
+		\[
+			g = \underbrace{(hkh\inv)}_{\in K} k \in K, \qquad g = h\inv \underbrace{(kh\inv k\inv)}_{\in H} \in H.
+		\]
+		Pertanto $g \in H \cap K \implies [h, k] = e \implies
+		hk=kh$. Allora $\rho$
+		è un omomorfismo, infatti:
+		\[
+			\rho((hh',kk')) = hh'kk' = hkh'k' = \rho((h,k)) \rho((h',k')).
+		\]
+		Chiaramente $\rho$ è surgettiva. Inoltre $\rho((h,k)) = e \implies h = k\inv \in H \cap K$,
+		e dunque $h = k = e$, da cui l'iniettività di $\rho$
+		e la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	
+	Inoltre, se $G = G_1 \times G_2$ con $G_1$ e $G_2$ gruppi, si possono trovare
+	facilmente due copie isomorfe di $G_1$ e $G_2$ in $G$, ossia $G_1' = G_1 \times \{e\}$ e $G_2' = \{e\} \times G_2$.
+	Vale inoltre che $G_1'$, $G_2' \nsgeq G$ e dunque,
+	per la proposizione precedente\footnote{Infatti $G_1' \cap G_2' = \{(e,e)\}$.}, che
+	$G \cong G_1' \times G_2'$. \medskip
+	
+	
+	In particolare vale il seguente risultato, considerando
+	$\gen{x} \cap \gen{y} = \{e\}$:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $x$ e $y$ due elementi di $G$ che commutano con
+		$\MCD(\ord(x), \ord(y)) = 1$. Allora $\ord(xy) = \ord(x) \ord(y)$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Chiaramente $\ord(xy) \mid \ord(x) \ord(y)$, dal momento
+		che $(xy)^{\ord(x) \ord(y)} = x^{\ord(x) \ord(y)} y^{\ord(x) \ord(y)} = e$, dove si è usato che $x$ e $y$ commutano.
+		Sia allora $k = \ord(xy)$. Vale allora che
+		$x^k y^k = e \implies x^k = y^{-k} \in \gen{x} \cap \gen{y}$.
+		Tuttavia $\abs{\gen{x} \cap \gen{y}} \mid
+		\MCD(\abs{\gen{x}}, \abs{\gen{y}}) = \MCD(\ord(x), \ord(y)) =
+		1$, e quindi $\gen{x} \cap \gen{y} = \{e\}$. Allora
+		deve valere che $x^k = y^{-k} = e \implies
+		\ord(x), \ord(y) \mid k$, da cui si deduce che
+		$\ord(x) \ord(y) \mid k = \ord(xy)$. Si conclude dunque che
+		$\ord(xy) = \ord(x) \ord(y)$.
+	\end{proof}
+	
+	Se $\ord(x)$ e $\ord(y)$ non sono coprimi, non vale in generale
+	che $\ord(xy)$ è uguale a $\mcm(\ord(x), \ord(y))$,
+	benché sicuramente $\ord(xy) \mid \mcm(\ord(x), \ord(y))$,
+	sempre a patto che $x$ e $y$ commutino.
+	È sufficiente considerare in $\ZZmod6$ gli elementi
+	$\cleq 1$ e $\cleq 2$: infatti $\ord(\cleq 1) = 6$ e
+	$\ord(\cleq 2) = 3$, ma $\ord(\cleq 1 + \cleq 2) =
+	\ord(\cleq 3) = 2 \neq 6$. \medskip
+	
+	
+	A prescindere da quanto valga $\MCD(\ord(x), \ord(y))$,
+	se $x$ e $y$ commutano, esiste però sempre un elemento
+	$g \in G$ tale per cui $\ord(g) = \mcm(\ord(x), \ord(y))$, come
+	mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $x$ e $y$ due elementi di $G$ che commutano. Allora
+		esiste un elemento $g$ di $G$ tale per cui $\ord(g) = \mcm(\ord(x), \ord(y))$. 
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Siano $m = \ord(x)$ ed $n = \ord(y)$. Siano $m = \prod_{i = 1}^\infty p_i^{m_i}$
+		ed $n = \prod_{i = 1}^\infty p_i^{n_i}$ le due fattorizzazioni in numeri primi
+		di $m$ ed $n$. Allora $\mcm(m, n) = \prod_{i = 1}^\infty p_i^{c_i}$,
+		dove si pone $c_i = \max(m_i, n_i)$. Chiaramente esiste un numero finito di
+		$i$ per cui $c_i \neq 0$; per ogni tale $i$, se $c_i = m_i$, si considera
+		$z_i = x^{\nicefrac{m}{p_i^{m_i}}}$, altrimenti si considera
+		$z_i = y^{\nicefrac{n}{p_i^{n_i}}}$. \medskip
+		
+		
+		Si osserva che tali $z_i$ hanno esattamente ordine $p_i^{c_i}$.
+		Sia allora $z = \prod_{i \mid c_i \neq 0} z_i$. Poiché $\ord(z_i)$ è coprimo
+		con $\ord(z_j)$ per $j \neq i$, $z$ ha come ordine, per la precedente proposizione,
+		esattamente $\prod_{i \mid c_i \neq 0} p_i^{c_i} = \prod_{i = 1}^\infty p_i^{c_i} =
+		\mcm(m, n)$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	Da questa proposizione si deduce facilmente che esiste un
+	elemento $g$ in $G$ tale per cui $\ord(g)$ è il minimo
+	comune multiplo di tutti gli ordini realizzati in $G$. \medskip
+
+
+	Si può adesso dimostrare il seguente fondamentale
+	teorema per i gruppi abeliani:
+	
+	\begin{theorem}
+		Sia\footnote{
+			In realtà questo teorema diventa di facile
+			dimostrazione una
+			volta che si dimostra il Teorema di struttura
+			per gruppi abeliani finiti. È sufficiente
+			infatti dividere $G$ nel prodotto delle sue
+			$p$-componenti ed estrarre da ogni $p$-componente
+			un sottogruppo affinché il prodotto dei sottogruppi
+			scelti abbia ordine $m$.
+		} $G$ un gruppo abeliano finito di ordine $n$.
+		Allora, se $m$ divide $n$, esiste un sottogruppo di
+		$G$ di ordine $m$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Si\footnote{
+			Questa parte della dimostrazione è già implicata
+			dal Primo teorema di Sylow.
+		} dimostra preliminarmente che se $p^k$ divide $n$,
+		dove $p$ è un numero primo e $k \in \NN^+$, allora
+		$G$ ammette un sottogruppo di ordine $p^k$. Si
+		mostra la tesi per induzione su $k$. \medskip
+		
+		
+		Se $k=1$ la tesi è valida per il Teorema di Cauchy, completando il passo base. Si ipotizzi adesso
+		che per ogni $t < k$ valga la tesi. Si consideri
+		un sottogruppo $H$ di $G$ di ordine $p$
+		(ancora una volta questo sottogruppo esiste per il
+		Teorema di Cauchy). Poiché $G$ è abeliano, $H$ è
+		normale in $G$, e quindi si può considerare il
+		gruppo quoziente $G \quot H$. Per il Teorema di
+		Lagrange, $p^{k-1}$ divide $\abs{G \quot H}$, e
+		quindi, per l'ipotesi induttiva, esiste un sottogruppo
+		$T$ di $G \quot H$ di ordine $p^{k-1}$. \medskip
+		
+		
+		Si consideri la proiezione al quoziente $\pi_H : G \to G \quot H$. Poiché $\pi_H$ è un omomorfismo,
+		$\pi_H\inv(T)$ è un sottogruppo. Inoltre, questo sottogruppo di $G$ ha ordine $p^k$, dal momento che $H$ ha ordine $p$
+		(e quindi ogni elemento di $T$ corrisponde tramite
+		la controimmagine a $p$ elementi), completando il passo
+		induttivo. \medskip
+		
+		
+		Sia ora $m$ scomposto nella sua fattorizzazione in primi
+		$p_1^{k_1} \cdots p_s^{k_s}$. Per il risultato precedente,
+		$G$ ammette dei sottogruppi $H_1$, ..., $H_s$ di ordine
+		$p_1^{k_1}$, ..., $p_s^{k_s}$. Poiché $G$ è abeliano,
+		tutti questi sottogruppi sono normali e si può dunque
+		considerare il prodotto dei sottogruppi $H_1 \cdots H_s$
+		(che è dunque un sottogruppo). Poiché
+		$\MCD(p_1^{k_1}, p_2^{k_2})=1$, $H_1 \cap H_2$ è banale e vale
+		che $\abs{H_1 H_2} = \abs{H_1} \abs{H_2} = p_1^{k_1} p_2^{k_2}$.
+		Allora, poiché $\MCD(p_1^{k_1} p_2^{k_2}, p_3^{k_3}) = 1$, anche $(H_1H_2) \cap H_3$ è banale e dunque $\abs{H_1 H_2 H_3} =
+		p_1^{k_1} p_2^{k_2} p_3^{k_3}$. Proseguendo induttivamente
+		si mostra dunque che $H_1 \cdots H_s$ è un sottogruppo
+		di $G$ di ordine $m$.
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/2. Il prodotto semidiretto/main.tex

@@ -0,0 +1,209 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il prodotto semidiretto}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento con $G$ un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+
+	Siano $H$ e $K$ due gruppi. Allora, dato un omomorfismo $\varphi : K \to \Aut(H)$ e
+	detto $\varphi_k := \varphi(k)$,
+	si può costruire un gruppo su $H \times K$ detto \textbf{prodotto semidiretto} tra $H$ e $K$,
+	indicato con $H \rtimes_\varphi K$, dove l'operazione è data da:
+	\[ (h,k)(h',k') = (h \, \varphi_k(h'), k k'). \]
+	
+	In questo gruppo l'inverso di $(h, k)$ è dato da $(\varphi_k\inv(h\inv), k\inv)$,
+	infatti:
+	\[ (h, k) (\varphi_k\inv(h\inv), k\inv) = (h \, \varphi_k(\varphi_k\inv(h\inv)), kk\inv) = (e, e). \]
+	In particolare, se $\varphi$ è banale, e quindi $k \xmapsto{\varphi} \Id_H$,
+	$H \rtimes_\varphi K$ ha la stessa struttura usuale del prodotto diretto. Nel
+	prodotto semidiretto $H \rtimes_\varphi K$ si possono identificare facilmente
+	$H$ e $K$ nei sottogruppi $H \times \{e\}$ e $\{e\} \times K$. \medskip
+	
+	
+	Detto $\alpha: H \rtimes_\varphi K \to K$ la mappa che associa $(h, k)$ a
+	$k$, si verifica che $\alpha$ è un omomorfismo con $\Ker \alpha = H \times \{e\}$.
+	Pertanto $H \times \{e\}$ è un sottogruppo normale di $H \rtimes_\varphi K$,
+	mentre in generale $K \times \{e\}$ non lo è. \medskip
+	
+	
+	Si illustra adesso un teorema che permette di decomporre, sotto opportune ipotesi,
+	un gruppo in un prodotto semidiretto di due suoi sottogruppi:
+	
+	\begin{theorem}[di decomposizione in prodotto semidiretto]
+		Siano\footnote{
+			Si osserva che questo teorema richiede \textit{quasi} le stesse ipotesi
+			del Teorema di decomposizione in prodotto diretto. L'unica ipotesi che
+			manca è quella della normalità di $K$. Ciononostante, questo teorema
+			copre anche il teorema analogo sul prodotto diretto: se $K$ fosse normale,
+			$\varphi$ sarebbe l'identità ($h$ e $k$ commuterebbero), e quindi
+			$H \rtimes_\varphi K$ sarebbe esattamente $H \times K$.
+		} $H$ e $K$ due sottogruppi di $G$ con $H \cap K = \{e\}$ e
+		$H \nsgeq G$. Allora vale che $HK \cong H \rtimes_\varphi K$ con
+		$\varphi : K \to \Aut(H)$ tale per cui\footnote{
+			Tale mappa è ben definita dal momento che $H$ è normale in $G$.
+		} $k \xmapsto{\varphi} [h \mapsto k h k\inv]$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si costruisce un isomorfismo tra $H \rtimes_\varphi K$ e $HK$. Sia
+		$\alpha : H \rtimes_\varphi K \to HK$ tale per cui
+		$(h, k) \xmapsto{\alpha} hk$. Si verifica che $\alpha$ è un
+		omomorfismo:
+		\[ \alpha((h,k)(h',k')) = \alpha(h k h' k\inv, k k') =
+			h k h' k\inv k k' = hkh'k' = \alpha(h,k)\alpha(h',k'). \]
+		Chiaramente $\alpha$ è iniettivo dal momento che $hk=e \implies h = k\inv \in H \cap K \implies h = k = e$. Infine $\alpha$ è surgettiva dal momento che $hk = \alpha(h, k)$,
+		e quindi $\alpha$ è un isomorfismo.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{example}[$\Sn \cong \An \rtimes_\varphi \gen{\tau}$]
+		Sia $\tau$ una trasposizione di $\Sn$. Allora $\An$ è normale in $\Sn$,
+		$\An \cap \gen{\tau} = \{e\}$ e $\abs{\An} \abs{\gen{\tau}} = \abs{\Sn} \implies
+		\Sn = \An \gen{\tau}$. Allora, per il Teorema di decomposizione in prodotto
+		semidiretto, vale che:
+		\[ \Sn \cong \An \rtimes_\varphi \gen{\tau}, \]
+		con $\varphi : \gen{\tau} \to \Aut(\An)$ tale per cui
+		$\tau \xmapsto{\varphi} [h \mapsto \tau h \tau\inv]$.
+	\end{example}
+	
+	\begin{example}[$\Dn \cong \rotations \rtimes_\varphi \gen{sr^k}$]
+		Sia $sr^k$ una qualsiasi simmetria di $\Dn$. Allora $\rotations$ è normale in $\Dn$,
+		$\rotations \cap \gen{sr^k} = \{e\}$ e $\abs{\rotations} \abs{\gen{s r^k}} = \abs{\Dn} \implies
+		\Dn = \rotations \gen{s r^k}$. Allora, come prima, vale che:
+		\[ \Dn \cong \rotations \rtimes_\varphi \gen{sr^k}, \]
+		con $\varphi : \gen{s r^k} \to \Aut(\rotations)$ tale per cui
+		$s r^k \xmapsto{\varphi} [h \mapsto sr^k h (sr^k)\inv]$.
+	\end{example}
+	
+	Si illustrano adesso due lemmi che verranno riutilizzati successivamente per classificare
+	i gruppi di ordine $pq$.
+	
+	\begin{lemma}
+		Siano $\varphi$, $\psi : K \to \Aut(H)$ tali per cui esistono
+		$\alpha \in \Aut(H)$ e $\beta \in \Aut(K)$ che soddisfano la seguente
+		identità:
+		\[ \alpha \circ \varphi_k \circ \alpha\inv = \psi_{\beta(k)}, \qquad \forall k \in K. \]
+		Allora vale che $H \rtimes_\varphi K \cong H \rtimes_\psi K$.
+	\end{lemma}
+	
+	\begin{proof}
+		Si costruisce la mappa $F : H \rtimes_\varphi K \to H \rtimes_\psi K$ tale
+		per cui $(h, k) \xmapsto{F} (\alpha(h), \beta(k))$. Si verifica che $F$ è un omomorfismo:
+		\[ F(h \varphi_k(h'), k k') = (\alpha(h) \alpha(\varphi_k(h')), \beta(k) \beta(k')), \]
+		e quindi, poiché $\alpha \circ \varphi_k = \psi_{\beta(k)} \circ \alpha$:
+		\[ F(h \varphi_k(h'), k k') = (\alpha(h)\psi_{\beta(k)}(\alpha(h')), \beta(k) \beta(k')) = F(h, k) F(h', k'). \]
+		Chiaramente $F$ è anche iniettiva e surgettiva, e quindi $F$ è l'isomorfismo
+		desiderato dalla tesi.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{lemma}
+		Siano $\ZZmod q \rtimes_\varphi \ZZmod p$ e
+		$\ZZmod q \rtimes_\psi \ZZmod p$ due prodotti
+		semidiretti con $p$, $q$ primi tali per cui
+		$p$ è minore di $q$ e $p \mid q-1$. Allora,
+		se $\varphi$ e $\psi$ sono entrambi omomorfismi non banali,
+		$\ZZmod q \rtimes_\varphi \ZZmod p$ è isomorfo
+		a $\ZZmod q \rtimes_\psi \ZZmod p$.
+	\end{lemma}
+	
+	\begin{proof}
+		Poiché $\ZZmod p$ è ciclico, sia $\varphi$ che
+		$\psi$ sono univocamente determinati come
+		omomorfismi da $\varphi_{\cleq 1}$ e
+		$\psi_{\cleq 1}$. In particolare, affinché i due
+		omomorfismi non siano banali, gli ordini di
+		queste valutazioni devono entrambi essere $p$,
+		dato che $\ord(\varphi_{\cleq 1})$, $\ord(\psi_{\cleq 1})
+		\mid \ord(\cleq 1) = p$. \medskip
+		
+		
+		Poiché $\Aut(\ZZmod q) \cong \ZZmod{(q-1)}$ è ciclico,
+		$\ord(\varphi_{\cleq 1}) = \ord(\psi_{\cleq 1}) \implies \gen{\varphi_{\cleq 1}} = \gen{\psi_{\cleq 1}}$, e quindi
+		esiste\footnote{
+			Si scarta la possibilità in cui $\ell = 0$ dal
+			momento che altrimenti $\varphi_{\cleq 1}$ sarebbe
+			l'identità di $\Aut(\ZZmod q)$.
+		} $\ell \in \{1, \ldots, p-1\}$ tale per cui $\varphi_{\cleq 1} = \psi_{\cleq 1}^\ell$. Si osserva inoltre
+		che $\psi_{\cleq 1}^\ell = \psi_{\cleq \ell}$. \medskip
+		
+		
+		Sia $\beta \in \Aut(\ZZmod p)$ l'automorfismo\footnote{
+			$\beta$ è in effetti un automorfismo dal momento
+			che $\ell \neq 0$, e quindi $\cleq \ell$ è un altro
+			generatore di $\ZZmod p$.
+		} di $\ZZmod p$ univocamente
+		determinato da $\beta(\cleq 1) = \cleq \ell$. Allora
+		vale che:
+		\[ \varphi_{\cleq n} = \varphi_{\cleq 1}^n =
+			\psi_{\cleq \ell}^n = \psi_{n \cleq \ell} = \psi_{\beta(\cleq n)}, \qquad \forall \cleq n \in \ZZmod p. \]
+		Si conclude allora per il \textit{Lemma 1} che
+		$\ZZmod q \rtimes_\varphi \ZZmod p$ è isomorfo
+		a $\ZZmod q \rtimes_\psi \ZZmod p$.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ un gruppo di ordine $pq$ con $p$ e $q$ primi tali per cui $p < q$. Allora $G$ è
+		isomorfo a $\ZZ_{pq}$ se $p \nmid q-1$. Altrimenti $G$ è isomorfo a $\ZZmod{pq}$ o
+		a $\ZZmod q \rtimes_\varphi \ZZmod p$ con $\varphi : \ZZmod p \to \Aut(\ZZmod q)$
+		univocamente determinata dalla relazione
+		$\cleq 1 \xmapsto{\varphi} f$ con $f$ un qualsiasi elemento
+		di ordine $p$ di $\Aut(\ZZmod q)$ (ossia $\varphi$ non è banale). In particolare esiste un solo gruppo non abeliano
+		di ordine $pq$ a meno di isomorfismo.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Per il Teorema di Cauchy, esistono due elementi $x$ e $y$ di $G$ con $\ord(x)=q$
+		e $\ord(y)=p$. Siano $H = \gen{x}$ e $K = \gen{y}$. Allora, poiché $[G : H] = p$
+		è il più piccolo primo che divide $\abs{G} = pq$, $H$ è normale. Inoltre
+		$H \cap K = \{e\}$, dacché $\abs{H \cap K} \mid \MCD(p, q) = 1$. Pertanto
+		$\abs{HK} = \abs{H} \abs{K} = pq \implies G = HK$. \medskip
+		
+		
+		Per il Teorema di decomposizione di un gruppo in un prodotto semidiretto,
+		$G$ è isomorfo al prodotto semidiretto $H \rtimes_\varphi K$ con
+		$\varphi : K \to \Aut(H)$ tale per cui $k \xmapsto{\varphi} [h \mapsto k h k\inv]$.
+		Si osserva che $H \cong \ZZmod q$, $\Aut(H) \cong \ZZmod{(q-1)}$ e analogamente che
+		$K \cong \ZZmod p$. \medskip
+		
+		
+		Deve inoltre valere anche che $\abs{\Im \varphi} \mid \MCD(\abs{K},
+		\abs{\Aut(H)}) = \MCD(p, q-1)$. Pertanto, se $p \nmid q-1$, $\MCD(p, q-1) = 1$,
+		e quindi $\Im \varphi$ è banale. In tal caso $\varphi$ è la mappa che associa
+		ogni $k$ all'identità di $\Aut(H)$, e quindi $G \cong H \times K \cong \ZZmod p \times \ZZmod q \cong \ZZmod{pq}$, dove si è usato il Teorema cinese del resto. \medskip
+		
+		
+		Altrimenti $\MCD(p, q-1) = p$, e quindi $\Im \varphi$ può essere banale (riconducendoci
+		al caso di prima, in cui $G \cong \ZZmod{pq}$), oppure $\abs{\Im \varphi} = p$, e in tal caso $G$ è isomorfo,
+		per\footnote{
+			Infatti $H \cong \ZZmod q$ e $K \cong \ZZmod p$, e
+			quindi i prodotti semidiretti tra $H$ e $K$
+			sono gli stessi di $\ZZmod q$ e $\ZZmod p$.
+		} il \textit{Lemma 2}, a tutti i prodotti semidiretti
+		non banali (e quindi, a meno di isomorfismo, ne esiste
+		soltanto uno). Tale prodotto semidiretto dà luogo ad
+		un gruppo non abeliano\footnote{
+			Se $H \rtimes_\varphi K$ con
+			$\varphi$ non banale fosse un gruppo abeliano, allora
+			$\{e\} \times K$ sarebbe normale. Pertanto,
+			$(h',k')(e,k)(h',k')\inv$ dovrebbe appartenere
+			a $\{e\} \times K$. Tuttavia vale che:
+			\[ (h',k')(e,k)(h',k')\inv =
+				(h', k' k)(\varphi_{{k'}\inv}({h'}\inv), {k'}\inv) =
+				(h' \varphi_{k}({h'}\inv), k), \]
+			e quindi dovrebbe valere $\varphi_k(h') = h'$
+			per ogni $h' \in H$. In tal caso però
+			$\varphi_k$ sarebbe l'identità per ogni $k \in K$,
+			e $\varphi$ sarebbe quindi in particolare banale.
+		}, e pertanto non può essere
+		isomorfo a $\ZZmod{pq}$.
+	\end{proof}
+	
+	In particolare, si osserva che se $G$ non abeliano ha ordine $pq$,
+	allora $Z(G)$ è banale. Infatti $\abs{Z(G)} \neq p$, $q$
+	(altrimenti $G \quot{Z(G)}$ sarebbe ciclico, e quindi
+	$G$ sarebbe abeliano), né tantomeno $\abs{Z(G)} = pq$.
+	
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Costruzioni di gruppo (prodotti di sottogruppi, semidiretti e presentazioni)/3. Gruppi liberi e presentazioni/main.tex

@@ -0,0 +1,91 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Gruppi liberi e presentazioni}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento con $G$ un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+
+	Si definisce il \textbf{gruppo libero} su $n$ generatori
+	il gruppo $F_n$ tale per cui:
+	\[ F_n = \gen{x_1, \ldots, x_n} = \{ x_{i_1}^{\pm 1} \cdots x_{i_k}^{\pm 1} \mid i_j \in \{1, \ldots, n\} \} \quot \sim, \]
+	dove\footnote{
+		Chiaramente la relazione $\sim$ è di equivalenza.
+	} $a \sim b$ se e solo se sostituendo i vari $x_i x_i\inv$ 
+	o $x_i\inv x_i$ si ottengono le stesse scritture in
+	funzione dei simboli $x_1$, ..., $x_n$. L'operazione di
+	questo gruppo è la concatenazione (ossia il prodotto tra
+	$x_i$ e $x_j$ è per definizione $x_i x_j$) e la stringa
+	vuota è per definizione l'identità, indicata con $e$.
+	Per convenzione si denota $x \cdots x$ ripetuto $k$ volte come $x^k$ e si pone $x^{-k} := (x\inv)^k$, facendo
+	valere le usuali proprietà delle potenze. \medskip
+	
+	
+	In generale, dato un insieme $S$, si definisce
+	il gruppo libero $F(S)$ come il gruppo libero ottenuto
+	dalle scritture finite di $S$ a meno di equivalenza per
+	$\sim$. Se $S$ è finito e $\abs{S} = n$, allora
+	$F(S) \cong F_n$, dove l'isomorfismo è costruito mandando
+	ordinatamente i generatori di $F(S)$ in
+	$x_1$, \ldots, $x_n$. \medskip
+
+
+	Per i gruppi liberi vale la \textbf{proprietà universale},
+	ossia $\Hom(F_n, G)$ è in bigezione con $G^n$ tramite
+	la mappa che associa un omomorfismo $\varphi$ alla $n$-upla
+	$(\varphi(x_1), \ldots, \varphi(x_n))$, la cui inversa associa
+	una $n$-upla $(g_1, \ldots, g_n)$ ad un unico omomorfismo
+	tale per cui $\varphi(x_i) = g_i$. Questi gruppi, infatti,
+	non presentano alcuna relazione tra i propri generatori,
+	e dunque gli omomorfismi presentati sono sempre ben definiti. \medskip
+	
+	
+	Si dice che un gruppo $G$ ammette una \textbf{presentazione} se esiste un insieme $S$ di generatori di $G$ e un sottoinsieme $R$ di $F(S)$ tale per cui:
+	\[ G \cong F(S) \quot N, \]
+	dove $N$ è il più piccolo sottogruppo normale di
+	$F(S)$ contenente $R$ (ossia la \textit{chiusura normale}
+	di $R$). In particolare $G$ ammette una \textbf{presentazione finita} se $S$ e $R$ sono finiti. \medskip
+	
+	
+	Se $G$ ammette una presentazione, allora esiste un
+	omomorfismo surgettivo $\varphi : F(S) \to G$ tale
+	per cui $\varphi$ ristretto a $S$ sia l'identità\footnote{
+		A livello astratto $S$ in $F(S)$ è solo una scrittura
+		simbolica, quello che si intende è che si associa
+		al simbolo $s \in S$ l'effettivo elemento $s$ in
+		$G$.
+	} e per cui $\Ker \varphi = N$. \medskip
+	
+	
+	In tal caso, è decisamente più facile descrivere gli
+	omomorfismi da $G$ a un qualsiasi altro gruppo $H$.
+	Infatti, poiché $G \cong F(S) \quot N$, esiste una bigezione,
+	secondo il Primo teorema di omomorfismo, tra
+	$\Hom(G, H)$ e gli omomorfismi di $\Hom(F(S), H)$ tali
+	per cui $N$ sia contenuto nel nucleo; affinché $N$
+	sia contenuto nel nucleo è però sufficiente
+	vi sia contenuto $R$, dacché $N$ è la chiusura normale
+	di $R$. Pertanto $R$ rappresenta in un certo senso un
+	insieme di ``relazioni tra i generatori'' che devono
+	essere rispettate affinché l'omomorfismo sia ben definito.
+	Si scrive allora la presentazione di $G$ come:
+	\[ G \cong F(S) \quot N = \gen{S \mid R}. \]
+	Talvolta per $R$ si scrive un insieme di identità
+	$a_1 = b_1$, sottintendendo che
+	$a_1 b_1\inv \in R$.
+	
+	\begin{example}
+		Si illustrano le presentazioni dei gruppi
+		più importanti:
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $\ZZ \cong \gen{x}$,
+			\item $\ZZmod n \cong \gen{x \mid x^n}$,
+			\item $\ZZmod 2 \times \ZZmod 2 \cong \gen{x, y \mid x^2, y^2, [x, y]}$,
+			\item $D_n \cong \gen{r, s \mid r^n, s^2, (sr)^2}$.
+		\end{itemize}
+	\end{example}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/1. Il gruppo degli automorfismi/main.tex

@@ -0,0 +1,359 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il gruppo degli automorfismi}
+	\maketitle
+
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
+		Si scriverà $gh$ per indicare $g \cdot h$, omettendo il punto.
+	\end{note}
+
+	\begin{definition}[gruppo degli automorfismi]
+		Si definisce \textbf{gruppo degli automorfismi} di un gruppo $G$ il
+		gruppo $(\Aut(G), \circ)$ dotato dell'operazione di composizione.
+	\end{definition} \smallskip
+
+	
+	Si può associare ad ogni elemento $g \in G$ un automorfismo particolare $\varphi_g$
+	determinato dalla seguente associazione:
+	\[ h \xmapsto{\varphi_g} ghg\inv. \]
+	
+	\begin{definition}[gruppo degli automorfismi interni] Si definisce \textbf{gruppo
+		degli automorfismi interni} di un gruppo $G$ il gruppo $(\Inn(G), \circ)$
+		dotato dell'operazione di composizione, dove:
+		
+		\[ \Inn(G) = \{ \varphi_g \mid g \in G \}. \]
+	\end{definition}
+	
+	Gli automorfismi interni soddisfano alcune proprietà. Per esempio vale che:
+	\[ \varphi_g \circ \varphi_h = \varphi_{gh}, \]
+	così come vale anche che:
+	\[ \varphi_g \inv = \varphi_{g\inv}. \] \smallskip
+
+
+	Chiaramente $\Inn(G) \leq \Aut(G)$. Tuttavia vale anche che $\Inn(G)$ è un sottogruppo
+	normale di $\Aut(G)$. Infatti, se $f \in \Aut(G)$, vale che:
+	\[ f \circ \varphi_g \circ f\inv = \varphi_{f(g)} \in \Inn(G). \]
+	
+	Inoltre, se $G$ è abeliano, $\varphi_g$ coincide con la sola identità $\Id$
+	(infatti, in tal caso, $\varphi_g(h) = ghg\inv = gg\inv h = h$). \bigskip
+	
+
+	Si dimostra adesso un teorema fondamentale che mette in relazione $\Inn(G)$
+	con un gruppo quoziente particolare di $G$, $G \quot Z(G)$. Preliminarmente,
+	si osserva che $Z(G)$ è un sottogruppo normale di $G$, e quindi
+	$G \quot Z(G)$ è effettivamente un gruppo. Allora si può enunciare la:
+	
+	\begin{proposition}
+		$\Inn(G) \cong G \quot Z(G)$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $\zeta : G \to \Inn(G)$ la mappa che associa $g$ al proprio
+		automorfismo interno associato $\varphi_g$. Si osserva che $\zeta$
+		è un omomorfismo tra gruppi:
+		\[ \zeta(gh) = \varphi_{gh} = \varphi_g \circ \varphi_h = \zeta(g) \circ \zeta(h). \]
+		
+		Chiaramente $\zeta$ è una mappa surgettiva, e quindi $\Im \zeta = \Inn(G)$.
+		Si osserva inoltre che $\Ker \zeta$ è esattamente il centro di $G$, $Z(G)$. Infatti,
+		se $g \in \Ker \zeta$, vale che $\zeta(g) = \Id$, e quindi che:
+		\[ ghg\inv = h \implies gh=hg \quad \forall h \in G. \]
+		
+		Allora, per il Primo teorema di isomorfismo, $G \quot {\Ker \zeta} = G \quot Z(G) \cong \Inn(G)$.
+	\end{proof} \bigskip
+
+
+	Il gruppo $G \quot Z(G)$ risulta particolarmente utile nello studio della commutatività
+	del gruppo. Infatti vale la:
+	
+	\begin{proposition}
+		$G \quot Z(G)$ è ciclico se e solo se $G$ è abeliano (e quindi se e solo se $G \quot Z(G)$ è banale).
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Se $G$ è abeliano, $G \quot Z(G)$ contiene solo l'identità, ed è dunque ciclico.
+		Viceversa, sia $g Z(G)$ un generatore di $G \quot Z(G)$.
+		Se $h$, $k \in G$, vale in particolare che esistono $m$, $n \in \NN$ tali per cui
+		$h Z(G) = g^m Z(G)$ e $k Z(G) = g^n Z(G)$. Allora esistono
+		$z_1$, $z_2 \in Z(G)$ per cui $h = g^m z_1$ e $k = g^n z_2$. \bigskip
+
+
+		Si conclude allora che:
+		\[ hk = g^m z_1 g^n z_2 = g^n z_2 g^m z_1 = kh, \]
+		e quindi $G$ è abeliano (da cui si deduce che $G \quot Z(G)$ è in realtà banale).
+	\end{proof} \bigskip
+	
+
+	Allora, poiché $\Inn(G) \cong G \quot Z(G)$, $\Inn(G)$ è ciclico se e solo se
+	$G$ è abeliano (e dunque se e solo se è banale). Inoltre, il gruppo $\Inn(G)$
+	risulta utile per definire in modo alternativo (ma equivalente) la nozione
+	di \textit{sottogruppo normale}. Infatti vale che:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $H \leq G$. Allora $H \nsgeq G$ se e solo se $H$ è $\varphi_g$-invariante
+		per ogni $g \in G$ (ossia se $\varphi_g(H) \subseteq H$).
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Se $H$ è normale, allora $\varphi_g(h) = g h g\inv$ appartiene ad $H$ per
+		definizione. Allo stesso modo dire che $H$ è $\varphi_g$-invariante
+		equivale a dire che $gHg\inv \subseteq H$ per ogni $g \in G$.
+	\end{proof} \bigskip
+
+
+	In generale, se $H \nsgeq G$, vale che la restrizione $\restr{\varphi_g}{H}$ è
+	ancora un omomorfismo ed è in particolare un elemento di $\Aut(H)$. Infatti
+	$\restr{\varphi_g}{H}$ è ancora iniettiva, e per ogni $h \in H$ vale che:
+	\[ \varphi_g(g\inv h g) = h, \]
+	mostrando la surgettività di $\restr{\varphi_g}{H}$ (infatti $g\inv h g \in H$). \bigskip
+
+
+	Si può estendere questa idea considerando i sottogruppi di $G$ che sono $f$-invarianti
+	per ogni scelta di $f \in \Aut(G)$.
+	
+	\begin{definition}[sottogruppo caratteristico]
+		$H \leq G$ si dice \textbf{sottogruppo caratteristico} di $G$ se $H$
+		è $f$-invariante per ogni $f \in \Aut(G)$.
+	\end{definition} \smallskip
+	
+	In particolare, $H \leq G$ è un sottogruppo caratteristico di $G$ se ogni
+	automorfismo di $G$ si riduce, restringendolo su $H$, ad un automorfismo
+	di $H$. Infatti, se $f(H) \subseteq H$, vale anche che $f\inv(H) \subseteq H \implies
+	H \subseteq f(H)$, e quindi $f(H) = H$ (da cui la surgettività dell'omomorfismo
+	in $H$). \bigskip
+	
+
+	Chiaramente ogni sottogruppo caratteristico è un sottogruppo normale (infatti è
+	in particolare $\varphi_g$-invariante per ogni scelta di $g \in G$), ma non è
+	vero il contrario. Per esempio, si definisca l'automorfismo $\eta$ per $(\QQ, +)$
+	tale per cui:
+	\[ x \xmapsto{\eta} \nicefrac{x}2. \]
+	Si osserva facilmente che $\eta$ è un automorfismo. Dal momento che $(\QQ, +)$ è
+	abeliano, ogni suo sottogruppo è normale. In particolare $(\ZZ, +) \nsg (\QQ, +)$.
+	Tuttavia $\eta(\ZZ) \not\subseteq \ZZ$ (e quindi $\ZZ$ non è caratteristico in $\QQ$). \bigskip
+	
+	
+	Esiste tuttavia, per qualsiasi scelta di gruppo $G$, un sottogruppo che è caratteristico,
+	$Z(G)$ (oltre che $G$ stesso ed il sottogruppo banale). Infatti, se $z \in Z(G)$ e
+	$g \in G$, vale che:
+	\[ f(z)g = f(z)f(f\inv(g)) = f(z f\inv(g)) = f(f\inv(g) z) = g f(z) \quad \forall f \in \Aut(G), \]
+	e quindi $f(Z(G)) \subseteq Z(G)$ per ogni scelta di $f \in \Aut(G)$. \bigskip
+	
+	
+	Inoltre, se $H \leq G$ è l'unico sottogruppo di un certo ordine (o è comunque
+	caratterizzato univocamente da una proprietà invariante per automorfismi),
+	$H$ è anche caratteristico (infatti gli automorfismi preservano le cardinalità essendo
+	bigezioni). \bigskip
+	
+	
+	\begin{example}[$\Aut(S_3) \cong S_3$]
+		Si\footnote{
+			Vale un fatto molto più generale: $\Aut(S_n) \cong S_n$
+			per ogni $n \geq 3$ con $n \neq 6$.
+		} osserva che $Z(S_3)$ deve essere obbligatoriamente
+		banale\footnote{
+			In generale $Z(S_n)$ è banale per $n \geq 3$.
+		}. Infatti, se non lo fosse, $Z(S_3)$ potrebbe
+		avere come cardinalità gli unici divisori positivi di
+		$\abs{S_3} = 6$, ossia $2$, $3$ e $6$ stesso. In tutti
+		e tre i casi $S_3 \quot Z(S_3)$ sarebbe ciclico, e quindi
+		$S_3$ sarebbe abeliano, \Lightning. \medskip
+		
+		
+		Poiché allora $Z(S_3)$ è banale, $S_3$ è isomorfo a
+		$\Inn(S_3) \leq \Aut(S_3)$. Pertanto $\abs{\Aut(S_3)} \geq \abs{S_3} = 6$. Ogni automorfismo è
+		determinato dalle immagini dei propri generatori, e quindi
+		ci sono al più $3 \cdot 2 = 6$ scelte dal momento che
+		$S_3 = \gen{(1,2), (1,2,3)}$. Allora
+		$\abs{\Aut(S_3)} \leq 6$, da cui si deduce che
+		$\abs{\Aut(S_3)} = 6$. \medskip
+		
+		
+		Dacché $\Aut(S_3)$ ha lo stesso numero di elementi
+		del suo sottogruppo $\Inn(S_3)$, deve valere l'uguaglianza
+		tra i due insiemi, e quindi $\Aut(S_3) = \Inn(S_3)$. Si
+		conclude dunque che $\Aut(S_3) \cong S_3$.
+	\end{example}
+	
+	
+	\begin{example}[$\Aut(\ZZ \quot n \ZZ) \cong (\ZZ \quot n \ZZ)^*$]
+		Sia $f$ un automorfismo di $\Aut(\ZZ \quot n \ZZ)$. Allora,
+		necessariamente, $f(\cleq1)$ deve essere un
+		generatore di $\Aut(\ZZ \quot n \ZZ)$. Si può quindi costruire
+		un isomorfismo $\zeta : \Aut(\ZZ \quot n \ZZ) \to
+		(\ZZ \quot n \ZZ)^*$ tale per cui
+		$f \xmapsto{\zeta} f(\cleq1)$. \medskip
+		
+		
+		Chiaramente $\zeta$ è un omomorfismo, infatti\footnote{
+			Potrebbe non risultare completamente ovvio che
+			valga $f(g(\cleq 1)) = f(\cleq 1) g(\cleq 1)$.
+			È necessario però ricordarsi che $\ZZ\quot n \ZZ$ è
+			un gruppo definito sulla somma, e quindi vale sempre
+			che $f(\cleq a) = a f(\cleq 1) = \cleq{a} f(\cleq 1)$.
+		}:
+		\[ \zeta(f \circ g) = f(g(\cleq 1)) = f(\cleq 1) g(\cleq 1) = \zeta(f) \zeta(g). \]
+		Inoltre $f(\cleq 1) = \cleq 1 \implies f = \Id$, e quindi
+		$\zeta$ è iniettiva. Infine, per ogni $\cleq a \in (\ZZ \quot n \ZZ)^*$, si può costruire $f_a \in \Aut(\ZZ \quot n \ZZ)$
+		di cui è immagine ponendo semplicemente che valga\footnote{
+			L'automorfismo è ben determinato dal momento che manda
+			un generatore in un altro generatore.
+		}
+		$f_a(\cleq 1) = \cleq a$. Si conclude quindi che
+		$\zeta$ è un isomorfismo e dunque che vale il seguente
+		isomorfismo:
+		\[ \Aut(\ZZ \quot n \ZZ) \cong (\ZZ \quot n \ZZ)^* \]
+		Il risultato è valido anche con $n = 0$, da cui si
+		ricava che:
+		\[ \Aut(\ZZ) \cong \ZZ^* \cong \{\pm 1\}. \]
+	\end{example}
+	
+	
+	Si illustrano adesso dei risultati molto interessanti sui gruppi di automorfismi
+	dei prodotti diretti, a partire dalla:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $H$ e $K$ due gruppi finiti di cardinalità coprime tra loro. Allora
+		$H \times \{e\}$ e $\{e\} \times K$ sono caratteristici in $H \times K$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $\varphi \in \Aut(H \times K)$. Si deve dimostrare che se
+		$\varphi(h, e) = (h', k')$, allora $k' = e$. Chiaramente
+		$\ord(h, e) = \ord(h) \mid \abs{H}$. Allo stesso tempo
+		$\ord(h', k') = \mcm(\ord(h'), \ord(k'))$. In particolare, dal momento
+		che $\MCD(\abs{H}, \abs{K}) = 1$, $\ord(h', k') = \ord(h') \ord(k')$.
+		Dacché $\varphi$ è un automorfismo, $\ord(h', k') = \ord(h, e) = \ord(h)$, e
+		quindi $\ord(h') \ord(k') = \ord(h)$. Allora $\ord(k')$ deve dividere
+		$\abs{H}$, e quindi può valere soltanto $1$, essendo $\abs{H}$ e
+		$\abs{K}$ coprimi. Pertanto $k' = e$, e quindi $H \times \{e\}$ è caratteristico
+		in $H \times K$. Analogamente si dimostra la tesi per $\{e\} \times K$.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $H$ e $K$ due gruppi con $H \times \{e\}$ e $\{e\} \times K$ caratteristici
+		in $H \times K$. Allora $\Aut(H \times K) \cong \Aut(H) \times \Aut(K)$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Nel corso della dimostrazione, se $\varphi \in \Aut(H \times K)$, si
+		denota con $\varphi_H = \iota_{H \xhookrightarrow{} H \times \{e\}}\inv \circ \restr{\varphi}{H \times \{e\}} \circ \iota_{H \xhookrightarrow{} H \times \{e\}}$ la proiezione di $\varphi$ su
+		$H$ a partire da $H$, e analogamente si fa lo stesso con $\varphi_K$. Tale
+		notazione è ben definita dal momento che $\varphi$ può sempre essere ristretta
+		ad $H \times \{e\}$ (infatti è un sottogruppo caratteristico). \medskip
+		
+		
+		Sia allora
+		$\alpha : \Aut(H \times K) \to \Aut(H) \times \Aut(K)$ tale per cui
+		$\varphi \xmapsto{\alpha} (\varphi_H, \varphi_K)$. La mappa è ben
+		definita dal momento che $\varphi_H$ e $\varphi_K$ sono due automorfismi
+		di $\Aut(H)$ e $\Aut(K)$. Analogamente si definisce la mappa
+		$\beta : \Aut(H) \times \Aut(K) \to \Aut(H \times K)$ tale per cui
+		$(\varphi_H, \varphi_K) \xmapsto{\beta} [(h, k) \mapsto (\varphi_H(h), \varphi_K(k))]$.
+		\medskip
+		
+		
+		Si verifica facilmente che $\alpha$ è un omomorfismo di gruppi, che
+		$\alpha \circ \beta = \Id_{\Aut(H) \times \Aut(K)}$ e che
+		$\beta \circ \alpha = \Id_{\Aut(H \times K)}$, da cui segue la tesi.
+		%TODO: scrivere le verifiche
+	\end{proof}
+	
+	
+	Allo stesso modo si verifica che se $\alpha$ è un isomorfismo, allora
+	$H \times \{e\}$ e $\{e\} \times K$ sono caratteristici in $H \times K$. \medskip
+	
+	
+	A partire dal precedente risultato, si dimostra facilmente che se $\MCD(m, n) = 1$,
+	allora:
+	\[ \Aut(\ZZ \quot m \ZZ \times \ZZ \quot n \ZZ) \cong \Aut(\ZZ \quot m \ZZ) \times \Aut(\ZZ \quot n \ZZ), \]
+	e quindi, ricordando che $\ZZ \quot m \ZZ \times \ZZ \quot n \ZZ \cong \ZZ \quot mn \ZZ$
+	per il Teorema cinese del resto e che $\Aut(\ZZ \quot m \ZZ) \cong (\ZZ \quot m \ZZ)^*$,
+	vale che:
+	\[ (\ZZ \quot m \ZZ)^* \times (\ZZ \quot n \ZZ)^* \cong (\ZZ \quot mn \ZZ)^* \]
+	
+	\begin{example}($\Aut((\ZZ \quot p \ZZ)^n)$)
+		Il gruppo $(\ZZ \quot p \ZZ)^n$ ha una più facile
+		visualizzazione se lo si pensa come spazio vettoriale su
+		$\ZZ \quot p \ZZ$ (che per $p$ primo è, per l'appunto,
+		un campo). In tal caso, gli automorfismi di
+		$(\ZZ \quot p \ZZ)^n$ coincidono esattamente con gli
+		endomorfismi invertibili di $\End((\ZZ \quot p \ZZ)^n)$,
+		e quindi vale in particolare che:
+		\[ \Aut((\ZZ \quot p \ZZ)^n) \cong \GL_n(\ZZ \quot p \ZZ). \]
+		In questo modo è estremamente più facile contare il
+		numero di automorfismi di questo gruppo. È infatti
+		sufficiente contare le possibili matrici invertibili con
+		elementi in $\ZZ \quot p \ZZ$. Nella prima colonna di una
+		matrice $A \in \GL_n(\ZZ \quot p \ZZ)$ possono
+		essere effettuate $p^n - 1$ scelte (si esclude il vettore
+		nullo); nella seconda è sufficiente scegliere un vettore
+		che non stia in $(\ZZ \quot p \ZZ)^n \setminus
+		\Span(A^1)$, e quindi si hanno $p^n - p$ scelte; per la
+		terza colonna se ne hanno $p^n - p^2$, ... \medskip
+		
+		
+		Si conclude dunque che vale la seguente identità:
+		\[ \abs{\Aut((\ZZ \quot p \ZZ)^n)} = \prod_{i=0}^{n-1} (p^n - p^i). \] \medskip
+		
+		
+		Se si prende $m$ \textit{square-free}\footnote{
+			Ossia $m$ non è diviso da alcun quadrato; equivalentemente
+			un primo che compare nella fattorizzazione di $m$
+			compare con esponente unitario.
+		}, il risultato si può estendere facilmente
+		su $\Aut((\ZZ \quot m)^n)$. Se infatti
+		$m = p_1 \cdots p_k$, vale che:
+		\[
+			\Aut((\ZZ \quot m \ZZ)^n) \cong
+			\Aut((\ZZ \quot p_1 \ZZ)^n \times \cdots \times (\ZZ \quot p_k \ZZ)^n)
+			\cong \Aut((\ZZ \quot p_1 \ZZ)^n) \times
+			\cdots \times \Aut((\ZZ \quot p_k \ZZ)^n,
+		\]
+		dove si è usato sia il Teorema cinese del resto, sia
+		il fatto per cui $\MCD(p_i, p_j) = 1$ per $i \neq j$.
+	\end{example}
+	
+	\begin{example}[$\Aut(\ZZ \quot 2 \ZZ \times \ZZ \quot 2 \ZZ) \cong S_3$ e altre proprietà]
+		Ora che è chiara la visualizzazione in senso vettoriale
+		di $(\ZZ \quot p \ZZ)^n$, si possono elencare alcune
+		proprietà di $\ZZmod2 \times \ZZmod2$. \medskip
+		
+		
+		Innanzitutto, benché $\ZZmod2 \times \ZZmod2$ sia abeliano,
+		$\Aut(\ZZmod2 \times \ZZmod2) \cong \GL_2(\ZZmod2)$ non
+		lo è. Inoltre, ogni sottogruppo proprio e non banale di
+		$\ZZmod2 \times \ZZmod2$ non è caratteristico: ogni
+		tale sottogruppo è vettorialmente una retta (infatti
+		$\ZZmod2 \times \ZZmod2$ ha dimensione due), e quindi
+		è sufficiente costruire un automorfismo che manda tale
+		retta in un'altra. \medskip
+		
+		
+		Infine, sempre perché $\Aut(\ZZmod2 \times \ZZmod2) \cong \GL_2(\ZZmod2)$, si può visualizzare facilmente l'isomorfismo
+		tra $\Aut(\ZZmod2 \times \ZZmod2)$ e $S_3$. Infatti,
+		$\GL_2(\ZZmod2)$ si compone di $6$ matrici, nella
+		seguente bigezione con $S_3$:
+		
+		\[
+			\Matrix{1 & 0 \\ 0 & 1} \bij e, \quad
+			\Matrix{0 & 1 \\ 1 & 0} \bij (1, 2), \quad
+			\Matrix{1 & 1 \\ 0 & 1} \bij (2, 3),
+		\]
+		
+		\[
+			\Matrix{1 & 0 \\ 1 & 1} \bij (1, 3), \quad
+			\Matrix{0 & 1 \\ 1 & 1} \bij (1, 2, 3) \quad
+			\Matrix{1 & 1 \\ 1 & 0} \bij (1, 3, 2).
+		\]
+		\vskip 0.1in
+
+		Infine, poiché $\Aut(\ZZmod2 \times \ZZmod2) \cong
+		S_3 \cong \Aut(S_3)$, $\ZZmod2 \times \ZZmod2$ e
+		$S_3$ formano un esempio di gruppi non isomorfi
+		(in particolare uno è abeliano e l'altro no) i cui
+		gruppi di automorfismo sono isomorfi.
+	\end{example}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/2. Il gruppo delle permutazioni/main.tex

@@ -0,0 +1,245 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il gruppo delle permutazioni}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento con $X_n$ si indicherà l'insieme
+		$\{1, \ldots, n\}$ e con $G$ un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+
+	Si definisce brevemente il \textbf{gruppo delle permutazioni} $S_n$ come il gruppo
+	delle bigezioni su $G$, ossia $S(X_n)$. Si deduce facilmente che
+	$\abs{S_n} = n!$ dal momento che vi sono esattamente $n!$ scelte possibili
+	per costruire una bigezione da $X_n$ in $X_n$ stesso. \medskip
+	
+	
+	Si definisce
+	l'\textbf{azione naturale} di $S_n$ su $X_n$ come l'azione $\varphi : S_n \to S(X_n)$
+	tale per cui $\sigma \xmapsto{\varphi} [n \mapsto \sigma(n)]$. In particolare,
+	per $H \leq S_n$, si definisce la sua azione naturale come la restrizione dell'azione
+	naturale di $S_n$ su $H$. Un sottogruppo $H$ si dice \textit{transitivo} se la
+	sua azione naturale è transitiva. Si osserva che ogni tale azione naturale è fedele
+	(infatti $\sigma \in S_n$ fissa tutto $X_n$ solo se è l'identità di $S_n$). Si illustra allora subito un risultato sui
+	sottogruppi abeliani transitivi di $S_n$:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $H$ un sottogruppo abeliano transitivo di $S_n$. Allora
+		$\abs{H} = n$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Dal Teorema orbita-stabilizzatore, $\abs{H} = \abs{\Stab(i)} \abs{\Orb(i)}$. Poiché
+		$H$ è un sottogruppo transitivo, $\abs{\Orb(i)} = n$, e quindi è sufficiente
+		verificare che $\Stab(i)$ sia banale. \medskip
+		
+		
+		Ogni $\Stab(i)$ è coniugato
+		ad ogni altro $\Stab(j)$, sempre per la transitività dell'azione; poiché allora $H$ è abeliano, in particolare $\Stab(i)$ coincide con
+		ogni altro stabilizzatore. Pertanto $\sigma \in \Stab(i)$ se e solo se
+		$\sigma$ appartiene al nucleo dell'azione naturale di $H$, ossia
+		a $\cap_{x=1}^n \Stab(x)$, e quindi se e solo se $\sigma = e$. Si conclude dunque
+		che $\Stab(i)$ è banale e quindi che $\abs{H} = n$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proof}[Dimostrazione alternativa]
+		Se $H$ è un sottogruppo transitivo di $S_n$,
+		allora la sua azione naturale agisce fedelmente e
+		transitivamente su $X_n$. Poiché però $H$ è anche
+		abeliano, l'azione è anche libera, e dunque ogni
+		stabilizzatore è banale. Pertanto, per il
+		Teorema orbita-stabilizzatore, $\abs{H} =
+		\abs{\Stab(1)} \abs{\Orb(1)} = n$.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{example}[Il gruppo di Klein $V_4$]
+		In $S_4$, e in particolare in $A_4$, esiste un sottogruppo normale non banale
+		molto particolare\footnote{
+			Pertanto $A_4$ non è semplice.
+		}, il cosiddetto\footnote{
+			La lettere $V$ è dovuta al termine \textit{vier}, che in tedesco
+			significa ``quattro''.
+		} \textbf{gruppo di Klein} $V_4$, dove:
+		\[ V_4 = \{ e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3) \}. \]
+		Tale sottogruppo è abeliano e transitivo (e quindi, per il risultato di prima,
+		$\abs{V_4} = 4$, come si osserva facilmente). Poiché ogni suo elemento ha
+		ordine $2$ (e in particolare $V_4$ non è ciclico), $V_4$ deve necessariamente
+		essere isomorfo a $\ZZmod2 \times \ZZmod2$. Pertanto $V_4$ è il più piccolo
+		gruppo non ciclico per ordine (a meno di isomorfismo).
+	\end{example}
+	
+	Come è noto, ogni $\sigma \in S_n$ può scriversi come prodotto di cicli
+	disgiunti. Di seguito si introduce un modo formale per descrivere questi
+	cicli. \medskip
+	
+	
+	Si consideri l'azione naturale di $\gen{\sigma}$. Allora i cicli di $\sigma$ sono esattamente
+	le orbite di $\sigma$ ordinate nel seguente modo:
+	\[ \Orb(x) = \{ x, \sigma(x), \dots, \sigma^m(x) \}. \]
+
+	
+	Si osserva che in effetti tutti gli elementi di $X$ sono considerati nella
+	scrittura delle orbite dal momento che tali orbite inducono una partizione
+	di $X$ (infatti sono classi di equivalenza). Si definisce inoltre una
+	permutazione \textit{ciclo} se esiste al più un'unica orbita di cardinalità diversa
+	da $1$ e si dice \textit{lunghezza del ciclo} la cardinalità di tale orbita (o se non esiste, si dice che ha lunghezza unitaria). Due cicli si dicono disgiunti se almeno uno dei due è l'identità o se le loro uniche orbite non banali hanno intersezione nulla (e in entrambi i casi, commutano). Per ogni $k$-ciclo esistono esattamente $k$ scritture
+	distinte (in funzione dell'elemento iniziale del ciclo). \medskip
+	
+	
+	Pertanto si deduce facilmente che ogni permutazione $\sigma$ è prodotto
+	di cicli disgiunti in modo unico (a meno della scelta del primo elemento
+	dell'orbita). Poiché allora ogni $n$-ciclo è generato dalla composizione
+	di $n-1$ trasposizioni ($2$-cicli) e ogni permutazione è prodotto di cicli,
+	$S_n$ è generato dalle trasposizioni. Infatti:
+	\[ (a_1, \dots, a_i) = (a_1, a_i) \circ (a_1, a_{i-1}) \circ \cdots \circ (a_1, a_2), \]
+	o altrimenti:
+	\[ (a_1, \dots, a_i) = (a_1, a_2) \circ (a_2, a_3) \circ \cdots \circ (a_{i-1}, a_i), \]
+	da cui si deduce che la scrittura come prodotto di
+	trasposizioni non è unica. Ciononostante viene sempre mantenuta la parità
+	del numero di trasposizioni impiegate. \medskip
+	
+
+	Per questo motivo la mappa $\sgn : S_n \to \{\pm 1\}$ che vale $1$ sulle
+	permutazioni con numero pari di trasposizioni impiegabili e $-1$ sul resto
+	è ben definita. Inoltre questa mappa è un omomorfismo di gruppi, e si
+	definisce $\An := \Ker \sgn$ come il sottogruppo di $S_n$ delle permutazioni
+	pari, detto anche \textit{gruppo alterno}. La classe laterale $(1, 2) \An$
+	rappresenta invece le permutazioni dispari. \medskip
+	
+	
+	In particolare, se $\sigma_k$ è un $k$-ciclo, $\sgn(\sigma_k) = (-1)^{k-1}$ e $\ord(\sigma_k) = k$. Si osserva inoltre che vi sono esattamente $\binom{n}{k} \frac{k!}{k} =
+	\binom{n}{k} (k-1)!$ $k$-cicli in $S_n$ e che in generale l'ordine
+	di una permutazione è il minimo comune multiplo degli
+	ordini dei suoi cicli. In particolare vale la seguente identità\footnote{
+		Si verifica facilmente che il prodotto a destra fornisce un omomorfismo. Allora
+		è sufficiente mostrare che è ben definito e che vale $-1$ sulle trasposizioni.
+		Se si considera $\sigma = (a, b)$, per $i$ e $j$ tali per cui
+		$\{i, j\} \cap \{a, b\} = \emptyset$ il termine della produttoria è unitario;
+		per $\{i, j\} = \{a, b\}$ il termine è $-1$ e per un'intersezione di un solo
+		termine si osserva che vi sono due termini del prodotto che valgono $-1$ e
+		che moltiplicati si annullano nell'unità. Poiché $\sgn$ vale anch'esso $-1$ sulle trasposizioni, i due omomorfismi coincidono (infatti le trasposizioni generano $S_n$).
+	}:
+	\[ \sgn(\sigma) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} \frac{\sigma(i) - \sigma(j)}{i - j}. \]
+
+	Si definisce \textit{tipo} di una permutazione $\sigma$ la sua decomposizione
+	in cicli disgiunti a meno degli elementi presenti nei cicli. Sia $\sigma$
+	tale per cui:
+	\[ \sigma = (a_1, a_2, \ldots, a_{k_1}) (b_1, \ldots, b_{k_2}) \cdots (c_1, \ldots, c_{k_i}), \]
+	allora vale la seguente relazione sul coniugio:
+	\[ \tau \sigma \tau\inv = (\tau(a_1), \tau(a_2), \ldots, \tau(a_{k-1})) (\tau(b_1), \ldots, \tau(b_{k_2})) \cdots (\tau(c_1), \ldots, \tau(c_{k_i})). \]
+	
+	A partire da ciò vale il seguente risultato:
+	\begin{proposition}
+		Due permutazioni $\sigma_1$, $\sigma_2$ sono \textit{coniugabili}
+		(ossia appartengono alla stessa classe di coniugio) se e solo se
+		hanno lo stesso tipo.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Dalla seguente identità, se $\sigma_1$ è coniugata rispetto a
+		$\sigma_2$, sicuramente le due permutazioni dovranno avere lo stesso
+		tipo. Analogamente, se le due permutazioni hanno lo stesso tipo,
+		si può costruire $\tau$ che associ ogni elemento di
+		un ciclo di $\sigma_1$ a un elemento nella stessa posizione in un ciclo
+		di $\sigma_2$ della stessa lunghezza in modo tale che $\tau$ rimanga
+		una permutazione di $S_n$ e che valga $\sigma_2 = \tau \sigma_1 \tau\inv$.
+	\end{proof}
+	
+	Come corollario di questo risultato, se $m_1$ rappresenta il numero di $1$-cicli di $\sigma$, $m_2$ quello dei suoi $2$-cicli, fino a $m_k$, vale il seguente risultato:
+	\[ \abs{\Cl(\sigma)} = \frac{n!}{m_1! \, 1^{m_1} \, m_2! \, 2^{m_2} \cdots m_k! \, k^{m_k}}, \]
+	e in particolare esistono tante classi di coniugio quante partizioni di $n$.
+	Come conseguenza di questo risultato, per il Teorema orbita-stabilizzatore,
+	vale che:
+	\[ \abs{Z_{S_n}(\sigma)} = m_1! \, 1^{m_1} \, m_2! \, 2^{m_2} \cdots m_k! \, k^{m_k}, \]
+	dove si ricorda\footnote{
+		Infatti $Z_{S_n}(\sigma)$ è lo stabilizzatore di $\sigma$ nell'azione di coniugio.
+	} che due permutazioni coniugano $\sigma$ nella stessa permutazione
+	$\rho$ se queste due permutazioni fanno parte della stessa classe in $G \quot Z_{S_n}(\sigma)$. Infine,
+	sempre come corollario dello stesso risultato,
+	se $H \leq S_n$, $H$ è normale in $S_n$ se e solo se per ogni tipo di
+	permutazione $H$ contiene
+	tutte le permutazioni di quel tipo o nessuna. \medskip
+	
+	
+	Per calcolare il centralizzatore di una permutazione $\sigma \in S_n$, la
+	strategia generale si compone di due passi fondamentali: computare il
+	numero di elementi del centralizzatore tramite il Teorema orbita-stabilizzatore
+	(come visto precedentemente) e poi ``indovinare'' dei sottogruppi con
+	cui $\sigma$ commuta che, combinati tramite il prodotto di sottogruppi,
+	danno esattamente il numero calcolato inizialmente.
+	
+	\begin{example}
+		Sia $\sigma = \overbrace{(1,2,3,4)}^{\sigma_1}\overbrace{(5,6,7)}^{\sigma_2}\overbrace{(8,9)}^{\sigma_3} \in S_9$. Si calcola $Z_{S_9}(\sigma)$.
+		Tramite il Teorema orbita-stabilizzatore, vale che:
+		\[ Z_{S_9}(\sigma) = 1! \cdot 4 \cdot 1! \cdot 3 \cdot 1! \cdot 2 = 4! = 24. \]
+		Si osserva facilmente che $\sigma$ commuta con $\sigma_1$, $\sigma_2$ e
+		$\sigma_3$, e quindi $\gen{\sigma_i} \leq Z_{S_9}(\sigma)$ $\forall i \in \{1,2,3\}$.
+		In particolare $\gen{\sigma_i}$ commuta sempre con $\gen{\sigma_j}$ per $i \neq j$,
+		dal momento che questi cicli sono tutti disgiunti. Si considera\footnote{
+			Poiché $\sigma_i$ commuta con $\sigma_j$, questo sottogruppo è ben definito.
+		} il
+		sottogruppo $H = \gen{\sigma_1}\gen{\sigma_2}\gen{\sigma_3}$: ogni suo elemento
+		è esprimibile in modo unico come prodotto di una potenza di $\sigma_1$, di
+		$\sigma_2$ e di $\sigma_3$, e quindi $\abs{H} = \abs{\gen{\sigma_1}} \abs{\gen{\sigma_2}} \abs{\gen{\sigma_3}} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$; poiché
+		allora $H \leq Z_{S_9}(\sigma)$ ha lo stesso numero di elementi del centralizzatore,
+		$Z_{S_9}(\sigma) = H$. Infine, dal
+		momento che $\gen{\sigma_i} \cap (\gen{\sigma_j} \gen{\sigma_k})$ per ogni
+		$i$, $j$, $k$ distinti in $\{1, 2, 3\}$, $H \cong \gen{\sigma_1} \times \gen{\sigma_2} \times \gen{\sigma_3}$, e dunque:
+		\[ Z_{S_9}(\sigma) \cong \ZZmod4 \times \ZZmod3 \times \ZZmod2 \cong \ZZmod{12} \times \ZZmod2. \]
+	\end{example} \bigskip
+
+	
+	Si osserva adesso che $\An$ può scriversi come il sottogruppo generato dai
+	$2-2$-cicli, infatti ogni permutazione pari è prodotto di un numero pari di trasposizioni,
+	che possono dunque essere ridotte a $2-2$-cicli. Allo stesso tempo allora
+	$\An$ è generato dai $3$-cicli se $n \geq 3$. Si consideri infatti $(i, j)(k, l)$. Se
+	$\{i, j\} \cap \{k, l\} = 2$, $(i, j) = (k, l)$, e quindi $(i, j)(k, l) = e$;
+	se $\{i, j\} \cap \{k, l\} = 1$, si può assumere senza perdita di generalità che
+	$k = i$, da cui $(i, j)(i, l) = (i, l, j)$, un $3$-ciclo; se invece $\{i, j\} \cap \{k, l\} = 0$,
+	$(i, j)(k, l) = (i, j)(j, k)(j, k)(k, l) = (i, j, k)(j, k, l)$, e quindi
+	$(i, j)(k, l)$ è prodotto di due $3$-cicli. Pertanto si è dimostrato
+	che $\An = \gen{(i, j)(k, l) \mid i, j, k, l \in X_n} \subseteq \gen{(i, j, k) \mid i, j, k \in X_n}$; allo stesso tempo ogni $3$-ciclo è una permutazione
+	pari, e quindi vale anche l'inclusione inversa. \medskip
+	
+	
+	
+	Si consideri adesso $S_n'$, il sottogruppo derivato di $S_n$. Poiché $S_n$ è abeliano
+	per $n \in \{ 1, 2 \}$, in tal caso $S_n' = \{e\}$; in tutti gli altri casi
+	$S_n'$ non può essere uguale a $\{e\}$, altrimenti $S_n$ sarebbe abeliano. Si osserva
+	che $[(i,j), (j,k)]$ con $i$, $j$ e $k$ distinti si scrive come:
+	\[ [(i,j), (j,k)] = (i, j) (j, k) (i, j)\inv (j, k)\inv = (i, k) (j, k) = (i, k, j), \]
+	e quindi si deduce che $\gen{(i, j, k) \mid \abs{\{i, j, k\}} = 3} = \An$ è un sottogruppo
+	di $S_n'$. Inoltre\footnote{
+		Alternativamente $[S_n : S_n']$ deve dividere $[S_n : \An] = 2$, e quindi,
+		poiché $S_n \neq S_n'$, è necessario che $S_n'$ sia esattamente $\An$.
+	} l'omomorfismo $\sgn$ ha come codominio un gruppo abeliano isomorfo
+	a $\ZZmod2$, e quindi $S_n' \subseteq \Ker \sgn = \An$. Si conclude dunque che
+	$S_n' = \An$ e che ${S_n}_{\,ab} = S_n \quot \An \cong \{\pm 1\} \cong \ZZmod2$ per $n \geq 3$. Pertanto adesso è immediato il seguente risultato:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $H$ un gruppo abeliano. Allora $\Hom(S_n, H) \bij \Hom(\ZZmod2, H)$.
+	\end{proposition}
+
+	In particolare, vi sono tanti omomorfismi non banali in $\Hom(S_n, H) \bij \Hom(\ZZmod2, H)$ quanti elementi di ordine $2$ vi sono in $H$. \bigskip
+	
+	
+	Si ricercano adesso le classi di coniugio in $\An$. Si osserva innanzitutto che,
+	se $\sigma \in \An$, $\Cl_{\An}(\sigma) \subseteq \Cl_{\Sn}(\sigma)$. Inoltre,
+	per il Teorema orbita-stabilizzatore, vale che:
+	\[ \abs{\Cl_{\An}(\sigma)}(\sigma) = \frac{\abs{\An}}{\abs{Z_{\An}(\sigma)}} =
+	\frac{\abs{S_n}/2}{\abs{Z_{\Sn}(\sigma) \cap \An}}. \]
+	Poiché\footnote{
+		È sufficiente osservare che $Z_{\Sn}(\sigma) \cap \An = \Ker(\restr{\sgn}{\An})$,
+		e dunque che $Z_{\Sn}(\sigma) \quot{(Z_{\Sn}(\sigma) \cap \An)}$ può essere
+		isomorfo tramite il Primo teorema di isomorfismo soltanto a $\{1\}$ o
+		a $\{\pm1\}$.
+	} $Z_{\Sn}(\sigma) \cap \An$ in $Z_{\Sn}(\sigma)$ ha indice $1$ se
+	$Z_{\Sn}(\sigma) \subseteq \An$ e $2$ altrimenti, vale che:
+	
+	\begin{itemize}
+		\item $\abs{\Cl_{\An}(\sigma)}(\sigma) = \frac{1}{2} \abs{\Cl_{\Sn}(\sigma)}$, se $Z_{\Sn}(\sigma) \subseteq \An$,
+		\item $\abs{\Cl_{\An}(\sigma)}(\sigma) = \abs{\Cl_{\Sn}(\sigma)}$, altrimenti.
+	\end{itemize}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/3. Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi/main.tex

@@ -0,0 +1,240 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il gruppo diedrale e i suoi sottogruppi}
+	\maketitle
+
+	In questo documento si definisce il gruppo diedrale e si illustrano
+	le sue proprietà principali, a partire da come sono costruiti i suoi
+	sottogruppi. \medskip
+	
+	
+	Sia $n \geq 3$. Si definisce \textbf{gruppo diedrale}, denotato\footnote{
+		Alcuni testi denotano il gruppo diedrale come $D_{2n}$, dal
+		momento che vale $\abs{D_n} = 2n$.
+	} come $D_n$, il gruppo delle isometrie del piano $\RR^2$ che mappano i vertici di
+	un poligono regolare centrato nell'origine con $n$ lati in sé stessi. \medskip
+	
+	
+	Si verifica facilmente che $D_n$ è un gruppo:
+	\begin{itemize}
+		\item Ammette un'identità, che coincide con l'identità delle isometrie,
+		\item La composizione di due isometrie che mappano i vertici del poligono in
+			sé stessi è ancora un'isometria che lascia fissi i vertici del poligono,
+		\item Ogni isometria per cui i vertici del poligono rimangono fissi ammette
+			un'inversa con la stessa proprietà\footnote{
+				Si ricorda che ogni isometria è invertibile a prescindere.
+			}\footnote{
+				Dal momento che $D_n$ ha cardinalità $2n$, come mostrato dopo, questa
+				condizione è automaticamente verificata come conseguenza della finitezza
+				di $D_n$.
+			}.
+	\end{itemize}
+	
+	In particolare, se $\sigma \in D_n$, $\sigma$ permuta i vertici del poligono (pertanto
+	si può visualizzare $D_n$ come un sottogruppo naturale di $S_n$). Denotando con
+	$r$ la rotazione primitiva del gruppo (ossia una rotazione di $\frac{2\pi}{n}$ gradi in
+	senso antiorario) e con $s$ la simmetria rispetto all'asse $y$, si osserva che
+	ogni elemento della forma $s r^k$ con $k \in \ZZ$ è ancora una simmetria, benché non
+	per forza rispetto all'asse $y$\footnote{
+		La matrice associata di $s$ nella base canonica è $-1 E_{11} + E_{22}$, e quindi deve valere $\det(s) = -1$. Al contrario $r \in \SOO(2)$, e quindi $\det(r) = 1$. Si conclude pertanto che
+		$\det(s r^k) = \det(s) \det(r)^k = -1$, e dunque che $s r^k$ deve obbligatoriamente
+		appartenere alla classe laterale $s \SOO(2)$ delle riflessioni.
+	}. In particolare, per $n$ pari, le riflessioni di $D_n$ sono esattamente le riflessioni
+	rispetto alle rette passanti per i vertici o per i punti medi del poligono. \medskip
+	
+	
+	Dal momento che $\sigma \in D_n$ è in particolare una isometria, e quindi
+	un'applicazione lineare, $\sigma$ è completamente determinata da
+	$\sigma(V_1)$ e $\sigma(V_2)$, dove $V_i$ sono i vertici del poligono numerati
+	in senso antiorario. In particolare, se $\sigma(V_1) = V_k$, allora
+	$\sigma(V_2)$, affinché venga preservata la distanza, può valere\footnote{
+		Per semplicità si pone $V_0 := V_n$ e $V_{n+1} := V_1$.
+	} o
+	$V_{k-1}$ o $V_{k+1}$. Pertanto vi sono al più $2n$ scelte possibili di
+	$\sigma(V_1)$ e $\sigma(V_2)$ (e quindi $\abs{D_n} \leq 2n$). D'altra parte
+	si osserva che tutti gli elementi $1$, $r$, ..., $r^{n-1}$, $s$, $sr$, ..., $s r^{n-1}$
+	sono distinti:
+	\begin{itemize}
+		\item Gli $r^k$ con $0 \leq k \leq \ord(r) - 1$ sono tutti distinti e $\ord(r)$ vale
+			esattamente\footnote{
+				Infatti $r$ è rappresentato in $\SOO(2)$ dalla matrice $\SMatrix{
+					\cos(\frac{2\pi}{n}) & -\sin(\frac{2\pi}{n}) \\
+					\sin(\frac{2\pi}{n}) & \cos(\frac{2\pi}{n})
+				}$, che ha ordine esattamente $n$.
+			} $n$,
+		\item Gli $sr^k$ con $0 \leq k \leq n - 1$ sono tutti distinti, altrimenti
+			la precedente osservazione sarebbe contraddetta,
+		\item Nessun $r^i$ coincide con un $s r^j$, dal momento che i loro determinanti
+			sono diversi ($\det(r^i) = 1$, mentre $\det(s r^j) = -1$). In particolare
+			$r^i \in \SOO(2)$, mentre $s r^j \in s \SOO(2)$.
+	\end{itemize}
+	
+	Pertanto $\abs{D_n} \geq 2n$, e quindi $\abs{D_n} = 2n$. Si conclude inoltre
+	che $D_n$ è generato da $r$ e da $s$, e quindi che $D_n = \gen{r, s}$. Esistono
+	dunque due sottogruppi naturali di $D_n$:
+	\[ \rotations := \gen{r} \cong \ZZ \quot n\ZZ, \quad \gen{s} \cong \ZZ \quot 2\ZZ. \]
+	
+	
+	\begin{proposition}
+		Vale l'identità $s r s\inv = r\inv$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si sviluppa $s r s\inv$ in termini matriciali, considerando
+		$s = \SMatrix{
+			-1 & 0 \\
+			0 & 1
+		}$ e $r = \SMatrix{
+			\cos(\frac{2\pi}{n}) & -\sin(\frac{2\pi}{n}) \\
+			\sin(\frac{2\pi}{n}) & \cos(\frac{2\pi}{n})
+		}$:
+		\[ s r s\inv = \Matrix{
+			\cos(\frac{2\pi}{n}) & \sin(\frac{2\pi}{n}) \\
+			-\sin(\frac{2\pi}{n}) & \cos(\frac{2\pi}{n})
+		}, \]
+		ottenendo la matrice associata a $r\inv$ nella base canonica.
+	\end{proof}
+	
+	
+	In generale vale dunque che $s r^k s\inv = r^{-k}$. Si deduce allora la presentazione del gruppo $D_n$:
+	\[ D_n = \gen{r,s \mid r^n = 1, s^2 = 1, s r s\inv = r\inv}. \]
+	
+	\begin{example}[Sottogruppi di $S_n$ isomorfi al gruppo diedrale]
+		Si consideri il sottogruppo $H$ di $S_5$ generato da
+		$r = (1, 2, 3, 4, 5)$ e $s = (2, 3)(4, 5)$. L'ordine di $r$ è
+		esattamente $5$, mentre $s^2 = 1$. Allo stesso tempo vale che
+		$s r s\inv = r\inv$, e quindi tale sottogruppo è isomorfo a $D_5$.
+		Tale identificazione si può verificare più facilmente osservando
+		come $r$ ed $s$ agiscono sul seguente pentagono:
+		\[\begin{tikzcd}[cramped,column sep=small,row sep=scriptsize]
+			&& 1 \\
+			\\
+			2 &&&& 5 \\
+			\\
+			& 3 && 4
+			\arrow["r", tail reversed, no head, from=3-5, to=5-4]
+			\arrow["r"', from=3-5, to=1-3]
+			\arrow["r"', from=1-3, to=3-1]
+			\arrow["r"', from=3-1, to=5-2]
+			\arrow["s", tail reversed, from=5-2, to=5-4]
+			\arrow["s"', tail reversed, from=3-5, to=3-1]
+			\arrow["r"', curve={height=12pt}, from=5-2, to=5-4]
+		\end{tikzcd}\]
+	\end{example}
+	
+	\smallskip
+
+	Si descrivono adesso tutti i sottogruppi di $D_n$. Innanzitutto, in $\rotations$
+	per ogni $d \mid n$ esiste un unico sottogruppo di ordine $d$ dal momento che
+	$\rotations$ è ciclico. Pertanto ogni tale sottogruppo assume la forma
+	$\gen{r^{\frac{n}{d}}}$. Inoltre, dal momento che\footnote{
+		Infatti ogni elemento di $D_n$, come visto prima, è della forma $r^k$ o $s r^k$.
+	} $[D_n : \rotations] = 2$, $\rotations$ è un sottogruppo normale di
+	$D_n$. Allora, poiché $\rotations$ è normale in $D_n$ e ogni sottogruppo
+	$H \leq \rotations$ è caratteristico\footnote{
+		Per ogni ordine di $\rotations$ esiste un unico sottogruppo $H \leq \rotations$,
+		e quindi tale sottogruppo deve essere caratteristico.
+	} in $D_n$, ogni sottogruppo di $\rotations$ è normale anche in $D_n$. \medskip
+	
+	
+	Sia ora $H$ un sottogruppo di $D_n$ con $H \not\subseteq \rotations$. Si consideri
+	la proiezione al quoziente mediante $\rotations$, ossia $\pi_\rotations : D_n \to D_n /
+	\rotations$. Chiaramente deve valere che $\pi_\rotations(H) = D_n / \rotations$: l'unica
+	altra possibilità è che $\pi_\rotations(H)$ sia $\{\rotations\}$, e quindi che
+	$H \subseteq \Ker \pi_\rotations = \rotations$, \Lightning. \medskip
+	
+	
+	Si consideri adesso
+	la restrizione di $\pi_\rotations$ ad $H$, $\restr{\pi_\rotations}{H} : H \to D_n / \rotations$. Vale in particolare che $\Ker \restr{\pi_\rotations}{H} = H \cap \Ker \pi_\rotations = H \cap \rotations$ e che $\Im \restr{\pi_\rotations}{H} = D_n / \rotations$
+	(da prima vale infatti che $\pi_\rotations(H) = D_n / \rotations$). Allora, per il Primo
+	teorema di isomorfismo, vale che:
+	\[ \frac{H}{H \cap \rotations} \cong D_n \quot \rotations, \]
+	da cui si deduce che $\abs{H} = 2 \abs{H \cap \rotations}$. In particolare $H \cap \rotations$ è un sottogruppo di $\rotations$, e quindi esiste $d \mid n$ tale per cui
+	$H \cap \rotations = \gen{r^d}$, con $\abs{H \cap \rotations} = \frac{n}{d}$. \medskip
+	
+	
+	Sia ora $s r^k$ una simmetria di $H$.
+	Innanzitutto si osserva che $\gen{r^d}$ è normale in $D_n$ e quindi
+	$\gen{ r^d }\gen{ s r^k }$ è effettivamente un sottogruppo di $D_n$. Dal momento che\footnote{
+		Infatti l'unica rotazione che è anche una simmetria è l'identità.
+	}
+	$\gen{ r^d } \cap \gen{ s r^k } = \{ e \}$, allora $\abs{\gen{ r^d } \gen{ s r^k }} = \abs{\gen{r^d}} \abs{\gen{s r^k}} = \frac{2n}{d}$. Anche $\abs{H} = \frac{2n}{d}$ e
+	quindi, per questioni di cardinalità, $H = \gen{ r^d } \gen{ s r^k } = \gen{ r^d, s r^k }$.
+	\medskip
+	
+	
+	In conclusione, ogni sottogruppo di $D_n$ è della forma $\gen{r^d}$ o della forma
+	$\gen{r^d, sr^k}$. Si mostra adesso che per $0 \leq k < d < n$ e $d \mid n$ la
+	classificazione è unica e completa. Chiaramente è completa, dal momento che
+	$d$ si può sempre ridurre in modulo $n$ e che per $k>d$ si può moltiplicare
+	$sr^k$ per riottenere una riflessione con esponente minore di $d$. \medskip
+	
+	
+	Si verifica adesso che è vi è un solo modo di esprimere un sottogruppo in queste
+	condizioni. Se $H_1 := \gen{r^{d_1}, s r^{k_1}} = \gen{r^{d_1}, s r^{k_1}} =: H_2$, allora
+	in particolare $H_1 \cap \rotations = \gen{r^{d_1}} = \gen{r^{d_2}} = H_2 \cap \rotations$,
+	da cui si deduce facilmente che $d_1 = d_2$. Sia ora $s r^{k_1} r^{t d_1} =
+	s r^{k_2} r^{t' d_2}$ con $t$, $t' \in \ZZ$. Allora deve valere che:
+	\[ r^{k_1 + t d_1} =r^{k_2 + t' d_2} \iff k_1 + t d_1 \equiv k_2 + t' d_2 \pod n, \]
+	e quindi, se $d := d_1 = d_2$, questo implica che:
+	\[ k_1 \equiv k_2 \pod d \implies k_1 = k_2 \impliedby 0 \leq k_1, k_2 < d. \]
+	Pertanto esistono esattamente\footnote{
+		La scrittura $d(n)$ indica il numero di divisori di $n$, mentre $\sigma(n)$ indica la 
+		somma dei divisori di $n$. Infatti per ogni divisore $d$ di $n$ si conta un
+		sottogruppo ciclico $\gen{r^d}$ e un sottogruppo della forma $\gen{r^d, sr^h}$
+		con $0 \leq h < d$ (e quindi $d$ sottogruppi di questo tipo).
+	} $d(n) + \sigma(n)$ sottogruppi di $D_n$. \bigskip
+	
+	
+	
+	Si studiano adesso i sottogruppi normali di $D_n$. Come già visto, i sottogruppi di
+	$\rotations$ sono tutti normali in $D_n$. Si studiano dunque soltanto i gruppi
+	della forma $\gen{r^d, s r^h}$. Si ricorda che il sottogruppo
+	$H = \gen{r^d, s r^h}$ è normale se e solo se $N_G(H) = G$, ossia se il suo
+	normalizzatore è tutto $G$. In particolare questo è vero se i generatori di $G$
+	appartengono a $N_G(H) = G$ e quindi se $r H r\inv = H$ e se $s H s\inv = H$.
+	In particolare\footnote{
+		Si è utilizzata la relazione $g \gen{g_1, \ldots, g_i} g\inv = \gen{g g_1 g\inv, \ldots, g g_i g\inv}$.
+	} si deve studiare quando valgono le seguenti identità:
+	\[
+		\gen{r^d, s r^h} = \underbrace{\gen{r^d, s r^{h-2}}}_{r H r\inv},
+		\qquad \gen{r^d, s r^h} = \underbrace{\gen{r^{-d}, r^h s\inv}}_{s H s\inv} =
+		\gen{r^d, s r^{-h}}.
+	\]
+	La prima identità è vera se e solo se $h \equiv h-2 \pod d$, e quindi se e solo
+	se $d \mid 2$. Pertanto $d$ può valere solo $1$ o $2$: se $d = 1$, $H$ è
+	esattamente $\gen{r, s} = D_n$; se invece $d = 2$, $H$ può essere soltanto
+	$\gen{r^2, s}$ o $\gen{r^2, s r}$. Ciononostante, nel caso $d = 2$, dal momento
+	che $d \mid n$, $n$ deve essere pari (e quindi se $n$ è dispari, $D_n$ non ammette
+	sottogruppi normali non banali, ed è in particolare semplice). \medskip
+	
+	
+	Si consideri dunque $n$ pari. È sufficiente controllare che per $d = 2$ valga
+	anche la seconda identità, ossia che valga $h \equiv -h \pod 2$, sempre verificata.
+	Si conclude dunque con la seguente classificazione:
+	
+	\begin{itemize}
+		\item se $n$ è dispari, $D_n$ ammette come sottogruppi normali soltanto
+		$D_n$, $\{ e \}$ e i sottogruppi di $\rotations$,
+		\item se $n$ è pari, $D_n$ ammette come sottogruppi normali tutti quelli
+			del caso dispari insieme a $\gen{r^2, s}$ e $\gen{r^2, s r}$.
+	\end{itemize}
+	
+	
+	Si illustrano adesso le classi di coniugio più importanti in $D_n$. Si consideri
+	per esempio $\Cl(r)$. Dal momento che $D_n \supseteq Z_{D_n}(r) \subseteq \rotations$
+	e che $[D_n : \rotations] = 2$, allora $Z_{D_n}(r)$ può essere o tutto $D_n$ o
+	soltanto $\rotations$. Infatti, poiché $\rotations \leq Z_{D_n}(r)$,
+	$n \mid Z_{D_n}(r)$, e quindi:
+	\[ 2 = \abs{D_n/\rotations} = \abs{D_n \quot Z_{D_n}(r)} \abs{Z_{D_n} \quot \rotations}, \]
+	da cui si ricava che un fattore tra $\abs{D_n \quot Z_{D_n}(r)}$ e
+	$\abs{Z_{D_n} \quot \rotations}$ deve valere $1$. Se $Z_{D_n}(r)$ fosse uguale a
+	$D_n$, allora $r$ apparterrebbe a $Z(D_n)$, e quindi deve valere la seguente identità:
+	\[ sr = rs \implies r\inv = r, \]
+	mai verificata in $D_n$ (per $n \geq 3$), \Lightning. Quindi $Z_{D_n}(r) = \rotations$,
+	e allora, per il Teorema orbita-stabilizzatore, $\abs{\Cl(r)} = \abs{D_n} \quot {\left\lvert \mathcal{R} \right\rvert} = 2$. In particolare sia $r$ che $s r s\inv = r\inv$ sono distinti,
+	e quindi:
+	\[ \Cl(r) = \{r, r\inv\}. \] %TODO: mostrare il fatto in generale
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/4. Commutatore e gruppo derivato/main.tex

@@ -0,0 +1,78 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Commutatore e gruppo derivato}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento con $G$ si indicherà un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+
+	Siano $g$ e $h$ due elementi di $G$. Si definisce allora il loro \textbf{commutatore}
+	come l'elemento $[g, h] = ghg\inv h\inv$. Tale elemento formalizza il concetto di
+	``misura di commutatività'', ossia identifica formalmente quanto $g$ e $h$ commutano.
+	Infatti vale che:
+	\[ [g,h] = e \iff gh=hg. \]
+	Si definisce allora il \textbf{gruppo derivato} di $G$, indicato con $G'$, come
+	il sottogruppo di $G$ generato dai commutatori:
+	\[ G' = \gen{[g, h] \mid g, h \in G}. \]
+	Si osserva che $[g, h] [h, g] = ghg\inv h\inv hg h\inv g\inv = e$, e quindi
+	che $[g, h]\inv = [h, g]$. In particolare valgono alcune proprietà particolari
+	per $G'$, riassunte dalla:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $N$ un sottogruppo normale di $G$ e sia $H$ un gruppo abeliano. Allora:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $G'$ è un gruppo caratteristico,
+			\item $G \quot G'$ è un gruppo abeliano, ed è indicato come
+			$G_{ab}$, \textbf{l'abelianizzato di $G$},
+			\item Se $G \quot N$ è abeliano, $G' \leq N$\footnote{
+				In un certo senso, questo punto dimostra che la scelta di definire
+				$G_{ab}$ è tutt'altro che data al caso. $G_{ab}$ è infatti il ``più stretto
+				parente'' abeliano di $G$. Si osservi anche che $G$ abeliano
+				$\implies$ $G' = \{e\}$ $\implies$ $G_{ab} \cong G$. 
+			},,
+			\item Se $H$ è abeliano, ogni omomorfismo $\varphi \in \Hom(G, H)$ è
+				tale per cui $G' \leq \Ker \varphi$, e quindi
+				$\Hom(G, H)$ può identificarsi con $\Hom(G/G', H) =
+				\Hom(G_{ab}, H)$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Si dimostrano le tesi punto per punto.
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item Se si pone $S = \{ [x, y] \mid x, y \in G \}$ (ossia $S$ è l'insieme dei
+				generatori di $G'$ dacché $S\inv = S$), è sufficiente mostrare che per $\varphi \in \Aut(G)$
+				vale che $\varphi(S) = S$. Allora $\varphi([x, y]) = \varphi(x) \varphi(y)
+				\varphi(x)\inv \varphi(y)\inv = [\varphi(x), \varphi(y)] \in S$, mostrando
+				dunque che $G'$ è caratteristico.
+			\item $G \quot G'$ è un gruppo perché $G'$, in quanto caratteristico, è
+				normale. Siano $x$, $y \in X$, allora $xyG' = yxG'$ perché
+				$xy(yx)\inv = xyx\inv y \inv = [x, y] \in G'$ per definizione, e quindi
+				$G_{ab}$ è abeliano.
+			\item Se $G \quot N$ è abeliano, $xyN = yxN \implies xy(yx)\inv \in N \implies
+				[x, y] \in N$. Poiché allora $S \subseteq N$, vale che $G' = \gen{S} \leq N$.
+			\item È sufficiente mostrare che $S \subseteq \Ker \varphi$. Si verifica dunque
+				che:
+				\[ \varphi([x, y]) = \varphi(x) \varphi(y) \varphi(x)\inv \varphi(y)\inv
+				= e \implies [x, y] \in \Ker \varphi. \]
+				Poiché allora $G' \subseteq \Ker \varphi$, per il Primo teorema di isomorfismo,
+				ogni omomorfismo $\varphi \in \Hom(G, H)$ ammette un unico omomorfismo
+				$\varphi' \in \Hom(G \quot G', H) = \Hom(G_{ab}, H)$ tale per cui il seguente
+				diagramma commuti:
+				\[\begin{tikzcd}[cramped]
+					G && H \\
+					\\
+					{G_{ab}}
+					\arrow["\varphi", from=1-1, to=1-3]
+					\arrow["{\pi_{G_{ab}}}"', two heads, from=1-1, to=3-1]
+					\arrow["{\varphi'}"', from=3-1, to=1-3]
+				\end{tikzcd}\]
+				Pertanto $\Hom(G, H) \bij \Hom(G_{ab}, H)$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Gruppi classici (Aut(G), Sn, Dn, G_ab, Q8)/5. Il gruppo dei quaternioni/main.tex

@@ -0,0 +1,54 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il gruppo dei quaternioni}
+	\maketitle
+	
+	Si illustra in questo documento il \textbf{gruppo dei quaternioni}, spesso
+	e volentieri impiegato in teoria dei gruppi per fornire controesempi. Storicamente
+	si definisce tale gruppo, indicato con $Q_8$, come il gruppo formato dai
+	quaternioni $\pm 1$, $\pm i$, $\pm j$ e $\pm k$ sotto le usuali regole
+	dei moltiplicazione di $\HH$. In particolare, si può definire $Q_8$ mediante
+	la seguente presentazione:
+	\[ Q_8 = \gen{i, j \mid i^2 = j^2, i^4 = j^4 = e, ij = j^3 i}, \]
+	dove $1 := e$, $k := ij$ e $-1 := i^2$. In particolare $-i := i^3$ è l'inverso
+	di $i$, $-j := j^3$ quello di $j$ e
+	$-k := j^3 i$ quello di $k$. Si osserva che $Q_8$ ha otto elementi, sei di ordine
+	$4$ ($\pm i$, $\pm j$ e $\pm k$), uno di ordine $2$ ($-1$)
+	e, ovviamente, uno di ordine $1$ ($1$). \medskip
+	
+	
+	Le moltiplicazioni tra $i$, $j$ e $k$ si possono riassumere col seguente
+	diagramma:
+	\[  \begin{tikzpicture}[->,scale=.7] % rubato a Diego Monaco -- dispense di Algebra 1, p. 52
+		\foreach \a/\t in {90/i,-30/j,210/k}{
+			\node (\t) at (\a:1cm) {$\t$};
+			\draw (\a-20:1cm)  arc (\a-20:\a-100:1cm);
+		} 
+		\end{tikzpicture}
+	\]
+	
+	Moltiplicando in senso orario viene restituito il terzo termine, in senso
+	antiorario viene restituita la terza potenza del terzo termine rimanente
+	(per esempio, $ik=j^3=-j$, si ``aggiunge'' in pratica il segno meno). \medskip
+
+	
+	Si possono classificare molto facilmente i sottogruppi di $Q_8$, che sono:
+	
+	\begin{itemize}
+		\item $Q_8$ stesso, di ordine $8$, banalmente normale,
+		\item $\gen{i}$, $\gen{j}$ e $\gen{k}$, di ordine $4$, normali perché
+			di indice $2$,
+		\item $\gen{-1}$ di ordine $2$, normale perché caratteristico (è l'unico sottogruppo
+			di ordine $2$ ed è anche il centro $Z(Q_8)$ di $Q_8$),
+		\item $\{1\}$, di ordine $1$, banalmente normale.
+	\end{itemize}
+	
+	Pertanto $Q_8$ è un esempio di gruppo non abeliano i cui sottogruppi sono tutti normali
+	(e in particolare anche ciclici).
+	Inoltre $Q_8$ non può essere decomposto non banalmente in un prodotto semidiretto
+	tra i suoi sottogruppi: andrebbero infatti scelti due sottogruppi di ordine $4$, che,
+	essendo normali, indurrebbero obbligatoriamente un prodotto diretto tra gruppi ciclici;
+	poiché questo prodotto è abeliano, $Q_8$ non può essergli isomorfo.
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/1. Il teorema di Cauchy/main.tex

@@ -0,0 +1,121 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il teorema di Cauchy}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo.
+	\end{note}
+	
+	Si dimostra in questo documento, per ben due volte, un inverso parziale
+	del teorema di Lagrange, il celebre teorema di Cauchy. Tale teorema
+	asserisce che se $p$ è un numero primo che divide l'ordine di $G$,
+	allora esiste un elemento di $G$ di ordine $p$. \medskip
+	
+	
+	Si mostra innanzitutto che il teorema vale per gruppi abeliani.
+	
+	\begin{theorem}[di Cauchy per gruppi abeliani]
+		Sia $G$ un gruppo abeliano finito. Se un numero primo $p$ divide $\abs{G}$, allora
+		esiste $g \in G$ tale per cui $o(g) = p$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $\abs{G} = pn$ con $n \in \NN^+$. Si dimostra per induzione su $n$ la
+		validità della tesi. Se $n = 1$, allora $G$ è ciclico, e quindi ammette un
+		elemento di ordine $p$, completando il passo base. \medskip
+		
+		
+		Sia allora $n > 1$ e si ipotizzi allora che tutti i gruppi tali che $\abs{G} = pk$ con $k < n$, $k \in \NN^+$ ammettano un elemento di ordine $p$. Sia $h \in G$, $h \neq e$ (questo $h$ sicuramente esiste, dal momento che $p > 1$). Se $p \mid o(h)$, allora
+		$h^{\nicefrac{o(h)}{p}}$ è un elemento di $G$ di ordine $p$. Altrimenti,
+		si consideri $H = \Cyc{h}$. \medskip
+		
+		
+		Dal momento che $G$ è abeliano, $H$ è normale, e dunque si può considerare il gruppo quoziente $G \quot H$. Poiché $p \nmid o(h) = \abs H$ e $p$ divide $\abs G$,
+		$p$ divide anche $\abs{G \quot H}$ per il teorema di Lagrange. Inoltre, poiché
+		$o(h) > 1$ (infatti $h \neq e$), $\abs{G \quot H} < \abs{G}$. Per l'ipotesi
+		induttiva, allora, esiste un elemento $tH$ di ordine $p$ in $G \quot H$. \medskip
+		
+		
+		Si mostra adesso che $p \mid o(t)$. Si consideri la proiezione al quoziente $\pi : G \to G \quot H$ tale per cui:
+		\[ g \xmapsto{\pi} gH. \]
+		Allora $p = o(tH) \mid o(t)$, dal momento che $eH=\pi(t^{o(t)})=(tH)^{o(t)}$.
+		Pertanto, come prima, $t^{\nicefrac{o(t)}{p}}$ è un elemento di ordine $p$,
+		concludendo il passo induttivo.
+	\end{proof} \bigskip
+	
+	Di seguito si dimostra il teorema di Cauchy in generale.
+	
+	\begin{theorem}[di Cauchy]
+		Sia $G$ un gruppo finito. Se un numero primo $p$ divide $\abs{G}$, allora
+		esiste $g \in G$ tale per cui $o(g) = p$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $\abs{G} = pn$ con $n \in \NN^+$. Si dimostra la tesi per induzione.
+		Se $n = 1$, $G$ è ciclico e dunque ammette un generatore di ordine $p$,
+		completando il passo base. Sia ora $n > 1$ e si assuma che ogni gruppo di ordine $pk$ con
+		$k < n$ ammetta un elemento di ordine $p$. \medskip
+		
+		
+		Sia $\mathcal{R}$ è un insieme dei rappresentanti delle classi di coniugio
+		di $G$. Se esiste $g \in \mathcal{R}$ tale per cui $p$ divida
+		$\abs{Z_G(g)}$, allora esiste un elemento di ordine $p$ in
+		$Z_G(g)$ per ipotesi induttiva (infatti $Z_G(g) \neq G$, altrimenti
+		$g$ apparterrebbe al centro di $G$). Altrimenti si consideri la formula delle classi
+		di coniugio:
+		\[
+			\abs G = \abs{Z(G)} + \sum_{g \in \mathcal{R} \setminus Z(G)} \frac{\abs G}{\abs{Z_G(g)}}.
+		\]
+		Poiché $p$ non divide $\abs{Z_G(g)}$ per ogni $g \in \mathcal{R} \setminus Z(G)$,
+		$p$ divide ancora $\nicefrac{\abs{G}}{\abs{Z_G(g)}}$ (e quindi il secondo termine
+		del secondo membro). Allora, prendendo
+		l'identità modulo $p$, si deduce che:
+		\[ \abs{Z(G)} \equiv 0 \pod p. \]		
+		Poiché allora $p$ divide $\abs{Z(G)}$ e $Z(G)$ è un gruppo abeliano,
+		il passo induttivo segue dal Teorema di Cauchy per gruppi abeliani,
+		da cui la tesi.
+	\end{proof} \smallskip
+	
+	
+	Si mostra infine una dimostrazione alternativa del teorema di Cauchy (più immediata
+	e facile da ricordare), basata su una particolare costruzione.
+	
+	\begin{proof}[Dimostrazione alternativa]
+		Si\footnote{
+			Riadattando opportunamente questa dimostrazione, si può fornire un'ulteriore dimostrazione del Teorema di Eulero di teoria dei numeri.
+		} consideri l'insieme $S$, dove:
+		\[ S = \{ (a_1, \ldots, a_p) \in G^p \mid a_1 \cdots a_p = e \}. \]
+		Dimostrando che esiste un elemento $h \in G$ diverso dall'identità tale
+		per cui $(h, \ldots, h) \in S$, si mostra che $h^p = e$, e dunque che
+		$o(h) = p$ (infatti $h \neq e$), dimostrando la tesi. \medskip
+		
+		
+		Si consideri l'azione $\varphi$
+		di $\ZZ \quot p\ZZ$ su $S$ univocamente determinata\footnote{$\ZZ \quot p\ZZ$ è infatti generato da $1$.} dalla relazione:
+		\[ 1 \xmapsto{\varphi} \left[ (a_1, a_2, \ldots, a_p) \mapsto (a_2, \ldots, a_p, a_1) \right]. \]
+		In particolare $m \cdot (a_1, \ldots, a_p)$ restituisce una $p$-upla ottenuta
+		``ciclando a sinistra'' la $p$-upla iniziale di $m$ posizioni. Si consideri la
+		somma data dal teorema orbita-stabilizzatore:
+		\[ \abs{S} = \sum_{x \in S} \frac{p}{\abs{\Stab(x)}} = 1 + N + \sum_{x \in S \setminus (\{(e,\ldots,e)\} \cup H)} \frac{p}{\abs{\Stab(x)}}, \]
+		dove $H$ è l'insieme degli elementi $h \neq e$ tali per cui $h^p = e$ (ossia
+		le $p$-uple con coordinate identiche tra loro) e $N = \abs H$.
+		Poiché $\Stab(x) \leq \ZZ \quot p\ZZ$, gli unici ordini di $\Stab(x)$ possono
+		essere $1$ e $p$. Se tuttavia, per $x \in S \setminus (\{(e,\ldots,e)\} \cup H)$,
+		valesse $\Stab(x) = \ZZ \quot p\ZZ$, $x$ avrebbe coordinate tutte uguali,
+		e quindi, per ipotesi, $x$ apparterrebbe ad $H$ o sarebbe l'identità, \Lightning. Quindi la somma del secondo membro vale esattamente $pk$, dove $k = \abs{S \setminus (\{(e,\ldots,e)\} \cup H)}$. \medskip
+		
+		
+		Si osserva adesso che $\abs S = n^{p-1}$, dove $n = \abs G$. Infatti è sufficiente
+		determinare le prime $p-1$ coordinate, per le quali vi sono $n$ scelte, per determinare
+		anche l'ultima coordinata tramite la relazione $a_1 \cdots a_n = e$. Prendendo
+		allora la precedente identità modulo $p$, si ottiene che\footnote{
+			Questa dimostrazione fornisce quindi anche un risultato sul numero di elementi
+			con ordine primo in $G$, ossia esso è congruo a $-1$ in modulo $p$.
+		}:
+		\[ N \equiv -1 \pod p, \]
+		e quindi in particolare esiste almeno un elemento di ordine $p$ diverso dall'identità.
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/2. I teoremi di isomorfismo/main.tex

@@ -0,0 +1,135 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{I teoremi di isomorfismo}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento per $(G, \cdot)$ si intenderà un qualsiasi gruppo. Analogamente si intenderà lo stesso per
+		$G'$.
+	\end{note}
+	
+	Si illustrano i tre teoremi di isomorfismo (o omomorfismo)
+	nella loro forma più generale.
+	
+	\begin{theorem}[Primo teorema di isomorfismo]
+		Sia $\varphi$ un omomorfismo da $G$ in $G'$. Allora,
+		se $N \leq \Ker \varphi$, esiste un unico omomorfismo
+		$f$ da $G \quot N$ in $G'$ che faccia commutare il
+		seguente diagramma commutativo:
+		\[\begin{tikzcd}
+			G &&& {G'} \\
+			\\
+			{G/N}
+			\arrow["{\pi_N}"', two heads, from=1-1, to=3-1]
+			\arrow["\varphi", from=1-1, to=1-4]
+			\arrow["f"', from=3-1, to=1-4]
+		\end{tikzcd}\]
+		Inoltre, tale $f$ è iniettiva se e solo se $N = \Ker \varphi$
+		e in tal caso induce il seguente isomorfismo:
+		\[ G \quot {\Ker \varphi} \cong \Im \varphi. \]
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Affinché il diagramma commuti, deve valere la seguente
+		relazione:
+		\[ \varphi(g) = f(\pi_N(g)) = f(gN). \]
+		Pertanto l'unica possibilità è che valga $f(gN) = \varphi(g)$.
+		Chiaramente tale mappa è ben definita, infatti se $n \in N$,
+		$\varphi(gn) = \varphi(g) \varphi(n) = \varphi(g)$, dacché
+		$n$ in particolare è anche un elemento di $\Ker \varphi$.
+		Inoltre $f$ è un omomorfismo, dal momento che
+		$f(gN hN) = f(ghN) = \varphi(gh) = \varphi(g) \varphi(h) =
+		f(gN) f(hN)$. \medskip
+		
+		
+		Sia $k \in \Ker \varphi$. Se $f$ è iniettiva, allora $f(gN) = \varphi(g) = e \implies gN = N$. Dal momento che
+		$f(kN) = \varphi(k) = e$, $kN = N$, e quindi $k \in N$,
+		da cui si deduce che $N = \Ker \varphi$. Se invece
+		$N = \Ker \varphi$, $f(gN) = e \implies \varphi(g) = e \implies g \in N$, e quindi $gN = N$, l'identità di
+		$G \quot N$, da cui si deduce che $f$ è iniettiva. In tal
+		caso la restrizione sull'immagine di $f$ a
+		$\Im f$, coincidente con $\Im f \circ \pi_N = \Im \varphi$
+		dacché $\pi_N$ è surgettiva, fornisce l'isomorfismo
+		ricercato. 
+	\end{proof}
+	
+	In particolare si osserva che $\Ker f = \Ker \varphi \quot N$,
+	infatti:
+	\[ \Ker f = \{ gN \mid \varphi(g) = e \} = \{ gN \mid g \in \Ker \varphi \} = \Ker \varphi \quot N.
+	 \]
+	
+	\begin{theorem}[Secondo teorema di isomorfismo]
+		Siano $H$ e $N$ due sottogruppi normali di $G$ e sia
+		$N \leq H$. Allora\footnote{
+			Ci sono più modi per vedere che $H \quot N$ è
+			normale in $G \quot N$. Un modo di vederlo si
+			ottiene dalla dimostrazione stessa del teorema,
+			dal momento che si ottiene che $H \quot N$ è
+			il kernel dell'omomorfismo $\varphi$. Altrimenti,
+			se $hN \in H \quot N$, $gN hN g\inv N = (ghg\inv)N$,
+			e poiché $H$ è normale in $G$, $ghg\inv \in H$, da
+			cui $(ghg\inv)N \in H \quot N$.
+		}:
+		\[ \frac{G \quot N}{H \quot N} \cong G \quot H. \]
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si costruisce l'omomorfismo $\varphi : G \quot N \to G \quot H$ tale per cui $gN \mapsto gH$. Si verifica innanzitutto
+		che la mappa $\varphi$ è ben definita:
+		\[ gnH = gH \impliedby N \subseteq H. \]
+		Inoltre $\varphi$ è effettivamente un omomorfismo dal momento
+		che:
+		\[ \varphi(gkN) = gkH = gH \, kH = \varphi(gN) \varphi(kN).  \]
+		Chiaramente $\varphi$ è una mappa surgettiva e quindi
+		$\Im \varphi = G \quot H$.
+		Allora, se $g \in \Ker \varphi$, $\varphi(gN) = gH = H$, e quindi $g \in H$. Pertanto $\Ker \varphi = \{ 
+		gN \mid g \in H 
+		\} = H \quot N$. Si conclude allora, per il Primo teorema
+		di isomorfismo, che:
+		\[ \frac{G \quot N}{H \quot N} \cong G \quot H. \]
+	\end{proof}
+	
+	\begin{theorem}[Terzo teorema di isomorfismo, o teorema del diamante]
+		Siano $H$, $N \leq G$ con $N \nsgeq G$. Allora\footnote{
+			Si osserva che effettivamente $H \cap N$ è normale in
+			$H$. Infatti se $g \in H \cap N$, allora, se
+			$h \in H$, $h g h\inv$ appartiene sempre a $N$
+			perché $N$ è normale in $G$ e appartiene anche
+			ad $H$ poiché è prodotto di elementi in $H$.	
+		}\footnote{
+			Analogamente $N$ è normale in $HN$, essendo
+			normale in $G$.
+		}:
+		\[ H \quot (H \cap N) \cong HN \quot N. \]
+		Pertanto se si considera il seguente diagramma:
+		\[\begin{tikzcd}[column sep=0em,row sep=3em]
+			& HN \arrow[dl,dash] \arrow[dr,dash] \\
+			H \arrow[dr,dash] && N \arrow[dl,dash] \\
+			& H\cap N
+		\end{tikzcd}\]
+		i lati paralleli del parallelogramma (``diamante'')
+		forniscono gli isomorfismi dell'enunciato se anche
+		$H$ è normale in $G$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si costruisce l'omomorfismo $\varphi : H \to HN \quot N$
+		tale per cui $h \mapsto hN$. Si osserva che $\varphi$ è
+		effettivamente un omomorfismo, infatti:
+		\[ \varphi(hh') = (hh')N = (hN) (h'N) = \varphi(h) \varphi(h'). \]
+		
+		Sia $hnN \in HN \quot N$. Allora $hnN = hN$, e quindi
+		$\varphi(h) = hN = hnN$, da cui si deduce che
+		$\varphi$ è surgettiva (e quindi $\Im \varphi = HN \quot N$).
+		\medskip
+
+		
+		Sia $\varphi(h) = e$. Allora $hN = N \implies h \in H \cap N$.
+		Si deduce dunque che $\Ker \varphi = H \cap N$, da cui,
+		applicando il Primo teorema di isomorfismo, si ottiene
+		la tesi:
+		\[ H \quot (H \cap N) \cong HN \quot N. \]
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/3. Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali/main.tex

@@ -0,0 +1,167 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il teorema di corrispondenza e catene di sottogruppi normali}
+	\maketitle
+
+	Si illustra adesso un teorema che mette in corrispondenza
+	i sottogruppi di $G \quot H$ con i sottogruppi di $G$
+	che contengono $H$. Benché questo teorema possa sembrare
+	a prima vista di poca utilità, in realtà svela alcune
+	proprietà che hanno portato allo sviluppo della celebre
+	teoria di Galois. Non solo, guardando anche nelle piccole
+	applicazioni, il teorema di corrispondenza permette di
+	contare molto facilmente i sottogruppi di $G \quot H$,
+	nonché di dimostrare l'esistenza di una catena di
+	$p$-sottogruppi normali contenente tutti gli ordini
+	possibili per un $p$-gruppo.
+	
+	\begin{theorem}[di corrispondenza]
+		Sia $H$ un sottogruppo normale di $G$. Allora
+		la proiezione al quoziente $\pi_H : G \to G \quot H$
+		induce una bigezione tra l'insieme
+		\[ X = \{ K \leq G \mid H \subseteq K \} \]
+		dei sottogruppi di $G$ che contengono $H$ e l'insieme
+		\[ Y = \{ K' \leq G \quot H \} \]
+		dei sottogruppi di $G \quot H$. Tale bigezione preserva
+		la normalità di un gruppo e il suo indice, ossia:
+		\begin{itemize}
+			\item $K \nsgeq G \iff K' \nsgeq G \quot H$,
+			\item $\left[ G : K \right] = \left[ G \quot H : K' \right]$,
+		\end{itemize}
+		dove $K \in X$ e $K' \in Y$ sono in corrispondenza biunivoca
+		mediante $\pi_H$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Sia $\alpha : X \to Y$ definita nel seguente modo:
+		\[ K \xmapsto{\alpha} \pi_H(K), \]
+		dove si osserva che $\pi_H(K) = \{ kH \mid k \in K \} = K \quot H \leq G \quot H$.
+		Si definisce analogamente $\beta : Y \to X$ in modo tale che:
+		\[ K' \xmapsto{\beta} \pi_H\inv(K'). \]
+		Le due mappe sono entrambe ben definite (infatti $\pi_H\inv(K')$ è sempre un sottogruppo di $G$ e contiene
+		sempre $H$, dacché $H \in K'$, essendo l'identità di $G \quot H$).
+		È dunque sufficiente mostrare che vale $\beta \circ \alpha = \Id_X$ e che $\alpha \circ \beta = \Id_Y$. \bigskip
+		
+		
+		Siano quindi $K \in X$ e $K' \in Y$. Chiaramente
+		$\pi_H(\pi_H\inv(K')) = K'$, dal momento che $\pi_H$ è
+		surgettiva; dunque $\alpha \circ \beta = \Id_Y$. Inoltre
+		$\pi_H \inv (\pi_H(K)) = \pi_H\inv (K \quot H) = \{ g \in G \mid gH \in K \quot H \} = K$\footnote{
+			Infatti se $gH=kH$ con $k \in K$, esiste un $h \in H$ tale per cui $g=kh$.
+			Dal momento che $H \subseteq K$, $g$ è dunque un elemento di
+		$K$.}, da cui $\beta \circ \alpha = \Id_X$. Quindi $X$ e $Y$ sono in corrispondenza biunivoca
+		tramite $\alpha$ e $\beta$. \bigskip
+		
+		
+		Rimane da dimostrare che $\alpha$ e $\beta$ preservano
+		la normalità e l'indice di sottogruppo. Se $K \nsgeq G$,
+		allora chiaramente $K' = K \quot H \nsgeq G \quot H$
+		(infatti $gH \, kH \, g\inv H = (gkg\inv) H$, dove
+		$gkg\inv \in K$ per ipotesi di normalità). Sia
+		ora $K' \nsgeq G \quot H$. Allora, se $k \in K$,
+		$gH \, kH \, g\inv H = (gkg\inv) H$, e per ipotesi
+		di normalità deve esistere $k' \in K$ tale per cui
+		$(gkg\inv) H = k'H$, e quindi deve esistere
+		$h \in H$ tale per cui $gkg\inv = k'h$. Dal momento
+		che $H \subseteq K$, $gkg\inv \in K$, e quindi
+		$K \nsgeq G$. \bigskip
+		
+		
+		Per mostrare che l'indice di sottogruppo si preserva
+		si dimostra che esiste lo stesso numero di classi
+		laterali in $G \quot K$ e $(G \quot H) \quot (K \quot H)$.
+		Pertanto è sufficiente mostrare che:
+		\[
+			xK = yK \iff xH (K \quot H) = yH (K \quot H), \qquad x, y \in G.
+		\]
+		Infatti, in tal caso vi sarebbero esattamente $[G : K]$
+		classi laterali in $(G \quot H) \quot (K \quot H)$.
+		Si consideri ora la classe laterale $xH(K \quot H)$:
+		\[
+			xH(K \quot H) = \{ xHkH \mid k \in K \} = \{ (xk) H \mid k \in K \},
+		\]
+		dove nell'ultima uguaglianza si è impiegata la normalità
+		di $H$ in $G$ (altrimenti il prodotto non sarebbe ben
+		definito).
+		Analogamente $yH(K \quot H) = \{ (yk)H \mid k \in K \}$. 
+		Quindi, se $xH (K \quot H) = yH (K \quot H)$, allora $xH = (yk)H$, con $k \in K$.
+		Allora $x = ykh$ con $h \in H$. Poiché $H \subseteq K$, si deduce
+		quindi che $xK = yK$. Infine, se $xK = yK$, esiste
+		$k \in K$ tale per cui $x=yk$. Allora:
+		\[ xH(K \quot H) = yH \, kH (K \quot H) = yH(K \quot H), \]
+		da cui la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	
+	\begin{example}[I sottogruppi di $\ZZmod n$]
+		Attraverso il teorema di corrispondenza è facile
+		contare i sottogruppi di $\ZZmod n$ senza ricorrere
+		alla teoria sui gruppi ciclici finiti. Infatti, per
+		il teorema di corrispondenza, i sottogruppi di
+		$\ZZ \quot n \ZZ$ sono in esatta corrispondenza
+		con i sottogruppi\footnote{
+			Poiché $\ZZ$ è ciclico, ogni sottogruppo è
+			della forma $m \ZZ$. In particolare, ogni sottogruppo
+			di $\ZZ$ è anche un suo ideale, se si intende
+			$\ZZ$ come anello, ed è dunque monogenerato in
+			quanto $\ZZ$, essendo un anello euclideo, è
+			anche un PID.
+		} $m\ZZ$ di $\ZZ$ tali per cui $n \ZZ \subseteq m \ZZ$.
+		In particolare, $n \ZZ \subseteq m \ZZ$ se e solo se
+		$m \mid n$, e quindi vi sono $d(n)$ possibili sottogruppi, che, tramite il teorema di corrispondenza, sono esattamente
+		i sottogruppi della forma $m\ZZ \quot n\ZZ \cong \ZZ \quot{\frac{n}{m}} \ZZ$.
+	\end{example}
+	\bigskip
+	
+	
+	Si illustra allora il seguente fondamentale risultato sui $p$-gruppi,
+	che è conseguenza del Teorema di corrispondenza e delle proprietà degli
+	ordini di gruppi abeliani.
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $G$ un $p$-gruppo di ordine $p^n$, con $n \in \NN^+$. Allora
+		esiste una successione $H_1$, ..., $H_{n-1}$ di sottogruppi normali in $G$
+		tali per cui:
+		\[ \{ e \} < H_1 < H_2 < \cdots < H_{n-1} < G, \qquad \abs{H_i} = p^i. \]
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Si dimostra la tesi per induzione su $n$. Per $n=1$, la tesi è banale. Si
+		ipotizzi allora che la tesi valga per $t<n$ con $t \in \NN^+$. Se
+		$G$ è abeliano, allora $G$ ammette un sottogruppo $H_{n-1}$ di ordine
+		$p^{n-1}$. Tale sottogruppo $H_{n-1}$ ammette per ipotesi induttiva
+		una successione $H_1$, ..., $H_{n-2}$ di sottogruppi normali in
+		$H_{n-1}$ come desiderato dalla tesi.
+		Poiché $G$ è abeliano, tali sottogruppi sono
+		normali anche in $G$, e quindi:
+		\[ \{ e \} < H_1 < \cdots < H_{n-1} < G. \] \smallskip
+		
+		
+		Sia adesso $G$ non abeliano. Allora $\abs{Z(G)} < \abs{G}$. Si può
+		dunque considerare il gruppo quoziente $G \quot Z(G)$, di ordine
+		strettamente inferiore a $p^n$. Per ipotesi induttiva
+		esiste una catena di sottogruppi $\mathcal{H}_1$, ...,
+		$\mathcal{H}_{k-1}$ normali in $G \quot Z(G)$ tale per cui:
+		\[ \{e\} < \mathcal{H}_1 < \cdots < \mathcal{H}_{k-1} < G/Z(G), \qquad \abs{\mathcal{H}_i} = p^i, \]
+		dove $\abs{Z(G)} = p^{n-k}$. \medskip
+		
+		
+		Per il Teorema di corrispondenza, $\mathcal{H}_i$ corrisponde
+		a un sottogruppo normale $H_{n-k+i}$ di $G$ contenente $Z(G)$ tale per cui
+		$[G : H_{n-k+i}] = [G \quot Z(G) : \mathcal{H}_i]$. Allora vale che:
+		\[ H_{n-k+i} = \abs{Z(G)} \abs{\mathcal{H}_i} = p^{n-k} p^i = p^{n-k+i}, \]
+		e quindi $H_{n-k+i}$ copre tutti gli esponenti di $p$ da $n-k+1$ a $n-1$.
+		Inoltre, tramite $\pi_{Z(G)} \inv$, vale anche che $H_{n-k+i} < H_{n-k+i+1}$\footnote{Segue dal fatto
+		secondo cui $T \quot H < S \quot H \implies T < S$.}. Sempre per ipotesi
+		induttiva (come nella costruzione di prima), $Z(G)$ ammette una catena
+		di sottogruppi $H_1$, ..., $H_{n-k-1}$ normali in $Z(G)$ tale per cui:
+		\[
+			\{e\} < H_1 < \cdots < H_{n-k-1} < Z(G), \qquad \abs{H_i} = p^i.
+		\]
+		Poiché $Z(G)$ è il centro di $G$, tali sottogruppi sono normali anche in $G$.
+		Ponendo allora $H_{n-k} := Z(G)$ si è costruita la catena desiderata:
+		\[ \{e\} < H_1 < \cdots < H_{n-k} = Z(G) < H_{n-k+1} < \cdots < H_{n-1} < G. \]
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/4. Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti e decomposizione di U(Zn)/main.tex

@@ -0,0 +1,408 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il teorema di struttura per gruppi abeliani finiti
+		e decomposizione di $\ZZmulmod{n}$}
+	\maketitle
+		
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento con $G$ si indicherà un qualsiasi gruppo abeliano finito.
+	\end{note}
+	
+	In questo documento si dimostra il celebre Teorema di
+	struttura per gruppi abeliani finiti. In realtà questo
+	teorema è un caso particolare del Teorema di struttura
+	per gruppi abeliani finitamente generati (e quindi
+	potenzialmente infiniti), a sua volta caso particolare
+	del Teorema di struttura per moduli finitamente generati
+	su un PID\footnote{
+		Ho trattato e dimostrato questo teorema in un documento
+		separato, reperibile su
+		\url{https://git.phc.dm.unipi.it/g.videtta/scritti/src/branch/main/Geometria/Articoli/3.\%20Il\%20teorema\%20di\%20struttura\%20dei\%20moduli\%20finitamente\%20generati\%20su\%20un\%20PID/main.pdf}
+	}. Per motivi didattici si riporta la dimostrazione semplificata
+	per il semplice caso dei gruppi abeliani finiti. \medskip
+	
+	
+	Il Teorema di struttura trova immediata applicazione nello
+	studio dei gruppi abeliani finiti e, dato $n \in \NN^+$, permette di classificare tutti i gruppi abeliani di ordine $n$ (a meno
+	di isomorfismo), come illustra il seguente enunciato:
+	
+	\begin{theorem}[di struttura per gruppi abeliani finiti,
+		decomposizione in fattori invarianti]
+		Sia $G$ un gruppo abeliano finito. Allora esistono unici
+		$n_1$, \ldots, $n_s \in \NN^+ \setminus \{1\}$ tali per cui:
+		\[ G \cong \ZZmod{n_1} \times \cdots \times \ZZmod{n_s}, \qquad n_s \mid n_{s-1} \mid \cdots \mid n_2 \mid n_1. \]
+		Tale fattorizzazione di $G$ viene detta
+		\textbf{decomposizione in fattori invarianti}, dove
+		i fattori invarianti sono i vari $n_i$.
+	\end{theorem}
+	
+	Equivalentemente si poteva enunciare il Teorema di struttura
+	utilizzando la \textit{decomposizione in fattori elementari}
+	mediante l'applicazione reiterata del Teorema cinese del
+	resto, come illustra il:
+	
+	\begin{theorem}[di struttura per gruppi abeliani finiti,
+		decomposizione primaria]
+		Sia $G$ un gruppo abeliano finito. Allora esistono unici
+		$p_1$, \ldots, $p_s$ numeri primi e unici $m_{i,1} \geq \cdots \geq m_{i,t_i}$ per ogni $1 \leq i \leq s$ tali per cui:
+		\[ G \cong \ZZpmod{p_1^{m_{1,1}}} \times \cdots \times \ZZpmod{p_1^{m_{1,t_1}}} \times \ZZpmod{p_2^{m_{2,1}}} \times \cdots \times \ZZpmod{p_s^{m_{s,t_s}}}. \]
+		Tale fattorizzazione di $G$ viene detta
+		\textbf{decomposizione primaria} (o in fattori
+		elementari), dove i fattori elementari sono i vari $p_i^{m_{i,j}}$.
+	\end{theorem}
+	
+	
+	Prima di dimostrare il Teorema di struttura, si definisce
+	il concetto di $p$-componente relativa a un numero $p$
+	primo.
+	
+	\begin{definition}[$p$-componente]
+		Si definisce \textbf{$p$-componente} $G(p)$ (o $p$-torsione)
+		di $G$ il sottogruppo di $G$ tale per cui:
+		\[ G(p) = \{ x \in G \mid \ord(x) = p^k \text{ per qualche } k \}. \]
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}
+		Si osserva facilmente che $G(p)$ è effettivamente
+		un sottogruppo. Infatti vale chiaramente che
+		$G(p) \subseteq G$; inoltre $e$ appartiene
+		a $G(p)$. Dati allora $x$, $y \in G(p)$, allora
+		$\ord(xy) \mid \mcm(\ord(x), \ord(y))$, e quindi
+		$\ord(xy) = p^k$ per qualche $k$. Pertanto anche
+		$xy \in G(p)$. Dal momento che $G(p)$ è finito,
+		la chiusura sull'operazione di gruppo implica anche
+		l'esistenza dell'inverso, e dunque
+		$G(p)$ è un sottogruppo di $G$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{remark}
+		Si osserva che $G(p)$ ha ordine $p^n$, dove
+		$p^n \exactdiv n = \abs{G}$ e che se $H \leq G$
+		è un sottogruppo di ordine $p^i$, $H$ è chiaramente
+		un sottogruppo di $G(p)$. Pertanto, si può definire
+		equivalentemente $G(p)$ come il $p$-sottogruppo\footnote{
+			Chiaramente $G(p)$ è un $p$-sottogruppo. Infatti,
+			se $q$ fosse un primo diverso da $p$ che divide
+			$\abs{G(p)}$, per il Teorema di Cauchy esisterebbe
+			un elemento di ordine $q$ in $G(p)$, $\Lightning$.
+		} massimo
+		per inclusione di $G$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{remark}
+		La $p$-componente $G(p)$ è anche un sottogruppo caratteristico di $G$. Infatti
+		$\varphi \in \Aut(G)$ lascia invariato l'ordine di
+		un elemento di $G(p)$, e quindi $\varphi(G(p)) = G(p)$.
+		Alternativamente si può utilizzare l'osservazione
+		precedente e notare che $G(p)$ è l'unico sottogruppo
+		del suo ordine\footnote{
+			In ogni caso $G$ è abeliano e quindi, poiché
+			tutti i $p$-Sylow sono coniugati, $G(p)$ è l'unico $p$-Sylow di $G$, e dunque
+			è caratteristico perché unico del suo ordine.
+			Più elementarmente, ogni $p$-sottogruppo di $G$
+			è contenuto in $G(p)$, e quindi è l'unico del suo
+			ordine.
+		}.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{scheme}
+		La dimostrazione del Teorema di struttura si fonda su
+		due teoremi che verranno dimostrati nel seguito e che
+		vengono ora enunciati:
+	
+		\begin{itemize}
+			\item Se $G$ è abeliano con $\abs{G} = p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$, allora $G \cong G(p_1) \times \cdots \times G(p_r)$, ossia $G$ è isomorfo al prodotto diretto tra
+			le sue $p$-componenti. Tale decomposizione di $G$
+			come prodotto di $p$-gruppi di ordini tra loro
+			coprimi è unica a meno di isomorfismi tra i vari $p$-gruppi.
+			\item Se $G$ è un $p$-gruppo abeliano. Allora esistono
+			e sono univocamente determinati degli interi
+			positivi $r_1 \geq \cdots \geq r_s$ tali che
+			$G \cong \ZZmod{p_1^{r_1}} \times \cdots
+			\times \ZZmod{p_1^{r_s}}$.
+		\end{itemize}
+	\end{scheme}
+	
+	\begin{proof}[Dimostrazione a priori]
+		Per il primo teorema, $G$ si può decomporre nelle sue
+		$p$-componenti:
+		\[ G \cong G(p_1) \times \cdots \times G(p_s). \]
+		
+		
+		Allora, per il secondo teorema, ogni $G(p_i)$ può
+		decomporsi come prodotto diretto di $\ZZmod{p_i^k}$,
+		e quindi:
+		\[ G \cong (\ZZmod{p_1}^{e_{1,1}} \times \cdots \times \ZZmod{p_1}^{e_{1,t_1}}) \times \cdots \times (\ZZmod{p_r}^{e_{r,1}} \times \cdots \times \ZZmod{p_1}^{e_{r,t_r}}). \]
+		
+		
+		Sia $t = \max\{t_1, \ldots, t_r\}$. Posso allungare le
+		fattorizzazioni di $G(p_i)$ fino ad ottenere $t$ fattori aggiungendo eventualmente dei gruppi banali nella
+		fattorizzazione. \medskip
+		
+		
+		Applicando allora il Teorema cinese del resto si ottiene
+		l'esistenza della fattorizzazione secondo il Teorema
+		di struttura per gruppi abeliani finiti. L'unicità segue
+		riapplicando prima il primo teorema e poi il
+		secondo teorema.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{example}[$\ZZmod{26} \times \ZZmod{169} \times \ZZmod{12}$]
+		Si scrive il gruppo $G = \ZZmod{26} \times \ZZmod{169} \times \ZZmod{12}$ seguendo le regole del Teorema di struttura.
+		Poiché $26 = 2 \cdot 13$, $169 = 13^2$ e $12 = 2^2 \cdot 3$,
+		applicando il Teorema cinese del resto si può scrivere $G$
+		come:
+		\[ G \cong (\ZZmod{2} \times \ZZmod{13}) \times (\ZZmod{13^2}) \times (\ZZmod{2^2} \times \ZZmod{3}). \]
+		Facendo commutare i fattori come nella dimostrazione
+		del Teorema di struttura otteniamo che:
+		\[ G \cong (\ZZmod{2^2} \times \ZZmod{13^2} \times \ZZmod{3}) \times (\ZZmod{2} \times \ZZmod{13}), \]
+		e quindi vale la seguente decomposizione in fattori
+		invarianti per $G$:
+		\[ G \cong \ZZmod{2028} \times \ZZmod{26}, \]
+		dove si osserva che $26 \mid 2028$.
+	\end{example}
+	
+	Si dimostrano adesso i due teoremi impiegati nella dimostrazione
+	del Teorema di struttura:
+	
+	\begin{theorem}
+		Se $G$ è abeliano con $\abs{G} = p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$, allora $G \cong G(p_1) \times \cdots \times G(p_r)$, ossia $G$ è isomorfo al prodotto diretto tra
+		le sue $p$-componenti. Tale decomposizione di $G$
+		come prodotto di $p$-gruppi di ordini tra loro
+		coprimi è unica a meno di isomorfismi tra i vari $p$-gruppi.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Poiché $G$ è abeliano, esiste il sottogruppo $G(p_1) G(p_2) \cdots G(p_r)$.
+		In particolare, dal momento che $\MCD(\abs{G(p_i)}, \abs{G(p_j)}) = 1$ e che
+		$G(p_i) \cap G(p_j) = \{e\}$ per
+		$i \neq j$, vale anche che $\abs{G(p_1) G(p_2) \cdots G(p_r)} = \abs{G}$.
+		Allora deve valere in particolare che $G = G(p_1) G(p_2) \cdots G(p_r)$. Per
+		il Teorema di decomposizione in prodotto diretto, si deduce che
+		$G \cong G(p_1) \times \cdots \times G(p_r)$. \medskip
+		
+		
+		Si mostra che la decomposizione di $G$ come prodotto di $p$-gruppi di ordini
+		tra loro coprimi è unica. Sia $H_1 \times H_2 \times \cdots H_r$ un'altra
+		decomposizione di $G$ in prodotto diretto in modo tale che $\abs{H_i} = p_i^{e_i}$.
+		Sia $\varphi$ un isomorfismo da $H_1 \times H_2 \times \cdots \times H_r$ in
+		$G(p_1) \times G(p_2) \times \cdots \times G(p_r)$. Allora $\varphi$ ristretto
+		all'identificazione di $H_i$ in $H_1 \times H_2 \times \cdots H_r$ (ossia
+		$\{e\} \times \cdots \times H_i \times \cdots \times \{e\}$) nell'identificazione
+		di $G(p_i)$ è ancora un isomorfismo, dal momento che entrambi sono gli unici
+		$p$-gruppi che compaiono nelle rispettive fattorizzazioni. Allora
+		$H_i \cong G(p_i)$, concludendo la dimostrazione.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{theorem}
+		Se $G$ è un $p$-gruppo abeliano. Allora esistono
+		e sono univocamente determinati degli interi
+		positivi $r_1 \geq \cdots \geq r_s$ tali che
+		$G \cong \ZZmod{p_1^{r_1}} \times \cdots
+		\times \ZZmod{p_1^{r_s}}$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		%TODO
+	\end{proof} \bigskip
+	
+	I gruppi moltiplicativi $\ZZmulmod{n}$ sono completamente classificati ed
+	è noto l'algoritmo per dedurre le loro decomposizioni in fattori invarianti,
+	come mostra il fondamentale
+	
+	\begin{theorem}
+		Sia $p$ un numero primo dispari e $k \in \NN^+$. Allora,
+		$\ZZmulmod{p^k}$ e $\ZZmulmod{2p^k}$ sono gruppi
+		ciclici. Per $k > 2$, vale inoltre che
+		$\ZZmulmod{2^k} \cong \ZZmod{2} \times \ZZmod{2^{k-2}}$,
+		mentre $\ZZmulmod{2} \cong \{e\}$ e $\ZZmulmod{4} \cong
+		\ZZmod{2}$. \medskip
+		
+		
+		In particolare per $n \geq 1$, $\ZZmulmod{n}$ è ciclico se e solo se
+		$n$ è $1$, $2$, $p^k$ o $2p^k$ con $p$ primo dispari.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Chiaramente $\ZZmulmod{2} \cong \{e\}$ e
+		$\ZZmulmod{4} \cong \ZZmod{2}$ dacché hanno uno
+		ordine $1$ e l'altro ordine $2$. \medskip
+
+		
+		Sia ora $p$ un numero primo dispari. Allora l'ordine di
+		$G = \ZZmulmod{p^k}$ è $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} =
+		p^{k-1}(p-1)$. È dunque sufficiente trovare in
+		$\ZZmulmod{p^k}$ un elemento $x$ di ordine
+		$p^{k-1}$ e uno $y$ di ordine $p-1$ per concludere
+		che $\ZZmulmod{p^k}$ è ciclico. Infatti $\MCD(p^{k-1}, p-1) = 1$ e $x$ e $y$ commutano, dunque, in tal caso, si avrebbe
+		che $\ord(xy) = \abs{G}$. \medskip
+		
+		
+		Si mostra che $1+p$ ha ordine esattamente $p^{k-1}$ in
+		$\ZZmulmod{p^k}$ mostrando per induzione che
+		\[ (1+p)^{p^{i-2}} \equiv 1 + p^{i-1} \pod{p^i}, \]
+		per $i \geq 2$. Per $i = 2$, la tesi è banale. Si
+		assuma allora l'ipotesi induttiva. \medskip
+		
+		Per l'ipotesi induttiva vale allora che
+		$(1+p)^{p^{i-3}} = 1 + p^{i-2} + \alpha p^{i-1}$ per qualche
+		$\alpha \in \ZZ$, e quindi:
+		\[ (1+p)^{p^{i-2}} \equiv ((1+p)^{p^{i-3}})^p \equiv
+		(1 + p^{i-2}(1 + \alpha p))^p \pod{p^i}. \]
+		Applicando allora il Teorema del binomio di Newton,
+		vale che:
+		\[ (1+p)^{p^{i-2}} \equiv 1 + p^{i-1}(1+\alpha p) + \sum_{j=2}^{p} \binom{p}{j} p^{j(i-2)}(1 + \alpha p)^j \pod{p^i}. \]
+		Si osserva che $\binom{p}{j}$ è sempre divisibile per $p$
+		con $2 \leq j \leq p$, e dunque ogni termine della
+		somma è divisibile per $p^i$. Infatti $j(i-2)+1 \geq i$
+		per $j \geq \lfloor 1 + \frac{1}{i-2} \rfloor = 1$. Allora
+		si conclude che:
+		\[  (1+p)^{p^{i-2}} \equiv 1 + p^{i-1}(1+\alpha p) \equiv 1  + p^{i-1} \pod{p^i}, \]
+		completando l'induzione. \medskip
+		
+		
+		Allora vale che $(1+p)^{p^{k-1}} \equiv 1 + p^k \pod{p^{k+1}}$,
+		e quindi $(1+p)^{p^{k-1}} \equiv 1 \pod{p^k}$. Pertanto
+		l'ordine di $(1+p)$ è della forma $p^i$ con $i \leq k-1$.
+		Si mostra che $\ord(1+p) \nmid p^{k-2}$. Infatti vale
+		che:
+		\[ (1+p)^{p^{k-2}} \equiv 1 + p^{k-1} \not\equiv 1 \pod{p^k}. \]
+		Si conclude dunque che $\ord(1+p) = p^{k-1}$. \bigskip
+		
+		
+		Si consideri ora l'omomorfismo $\pi : \ZZmod{p^k} \to \ZZmod{p}$ tale per cui $[x]_{p^k} \xmapsto{\pi} [x]_p$.
+		Si verifica facilmente che tale mappa è ben definita,
+		infatti $a \equiv b \pod{p^k} \implies a \equiv b \pod{p}$. \medskip
+		
+		
+		Sia $\pi^*$ la restrizione di $\pi$ a $\ZZmod{p^k} \to
+		\ZZmod{p}$. Si osserva che tale restrizione è ben definita dacché
+		$\MCD(p^k, a) = 1 \iff \MCD(p, a) = 1$. Allora anche
+		$\pi^*$ è un omomorfismo e, come $\pi$, è surgettivo.
+		Poiché $\ZZmulmod{p}$ è ciclico in quanto gruppo moltiplicativo finito del campo $\ZZmulmod{p}$, allora,
+		dacché $\abs{\ZZmulmod{p}} = \varphi(p) = p-1$,
+		esiste $x \in \ZZmulmod{p}$ tale per cui $\ord(x) = p-1$.
+		\medskip
+		
+		
+		Dal momento che $\pi^*$ è surgettivo, esiste $y \in \ZZmulmod{p^k}$ tale per cui $p-1 = \ord(x) \mid \ord(y)$.
+		Allora esiste $z \in \gen{y}$ tale per cui $\ord(z) = p-1$.
+		Pertanto $(1+p)z$ ha ordine $p^{k-1}(p-1)$, e dunque
+		$\ZZmulmod{p^k}$ è ciclico. \medskip
+		
+		
+		Dacché $p$ è dispari, vale che
+		$\ZZmulmod{2p^k} \cong \ZZmulmod{2} \times
+		\ZZmulmod{p^k} \cong \ZZmulmod{p^k}$, e quindi
+		anche $\ZZmulmod{2p^k}$ è ciclico. \medskip
+		
+		
+		Sia ora $k > 2$. Chiaramente $[5]_{2^n} \in
+		\ZZmulmod{2^k}$ dal momento che $\MCD(5, 2^k) = 1$.
+		Si mostra che $\ord([5]_{2^n})$ ha ordine
+		$2^{n-2}$ in $\ZZmulmod{2^k}$. Analogamente a prima
+		si dimostra per induzione che per $n \geq 3$:
+		\[ (1 + 4)^{2^{n-3}} \equiv 1 + 2^{n-1} \pod{2^n}. \]
+		Chiaramente per $n=3$, $(1 + 4) \equiv 1 + 4 \pod{8}$.
+		Si assuma ora l'ipotesi induttiva. Allora
+		$(1+4)^{2^{n-4}} = 1 + 2^{n-2} + \alpha 2^{n-1}$ per qualche
+		$\alpha \in \ZZ$. Vale dunque che:
+		\[ (1 + 4)^{2^{n-3}} \equiv (1 + 2^{n-2} + \alpha 2^{n-1})^2
+		\pod{2^n}, \]
+		e quindi:
+		\[ (1 + 4)^{2^{n-3}} \equiv 1 + 2^{2(n-2)} + \alpha^2 2^{2(n-1)} + 2^{n-1} + \alpha 2^n + \alpha 2^{2n-3} \pod{2^n}. \]
+		Pertanto vale che $(1 + 4)^{2^{n-3}} \equiv 1 + 2^{n-1} \pod{2^n}$, concludendo l'induzione. \medskip
+		
+		
+		Allora $(1 + 4)^{2^{k-2}} \equiv 1 + 2^k \pod{2^{k+1}}$,
+		e quindi $(1 + 4)^{2^{k-2}} \equiv 1 \pod{2^k}$. Pertanto
+		$\ord([5]_{2^k}) = 2^i$ con $i \leq k-2$. Tuttavia
+		$(1 + 4)^{2^{k-3}} \equiv 1 + 2^{k-1} \pod{2^k}$, e quindi
+		$\ord([5]_{2^k})$ vale esattamente $2^{k-2}$. \medskip
+		
+		
+		Per il Teorema di struttura, $\ZZmulmod{2^k}$ può
+		dunque essere isomorfo solo a $\ZZmod{2} \times
+		\ZZmod{2^{k-2}}$ o a $\ZZmod{2^{k-1}}$. È dunque
+		sufficiente mostrare che $\ZZmulmod{2^k}$ non può
+		essere ciclico. Si considerino i due sottogruppi
+		$H_1 = \gen{5^{2^{k-3}}}$ e $H_2 = \gen{-5^{2^{k-3}}}$.
+		Entrambi i sottogruppi sono di ordine $2$ e sono
+		distinti. Infatti, $5^{2^{k-3}} \equiv -5^{2^{k-3}} \pod{2^k}$
+		implicherebbe $2 \cdot 5^{2^{k-3}} \equiv 0 \pod{2^k}$, e
+		quindi varrebbe $2^{k-1} \mid 5^{2^{k-3}}$, \Lightning.
+		Se però $\ZZmulmod{2^k}$ fosse ciclico, esisterebbe un
+		unico sottogruppo di ordine $2$. Pertanto
+		$\ZZmulmod{2^k}$ è isomorfo a $\ZZmod{2} \times
+		\ZZmod{2^{k-2}}$, come desiderato. \bigskip
+		
+		
+		Si consideri ora $\ZZmulmod{n}$. Se $n$ è $1$, $2$,
+		$4$, $p^k$ o $2p^k$ con $p$ dispari, $\ZZmulmod{n}$ è
+		ciclico per quanto dimostrato. \medskip
+		
+		
+		Si mostra ora per induzione su $n \geq 1$ che $\ZZmulmod{n}$ è ciclico
+		se e solo se $n$ è $1$, $2$,
+		$4$, $p^k$ o $2p^k$ con $p$ dispari. Per $(\ZZ \quot \ZZ)^*$,
+		la tesi è banale. 
+		Sia ora $\ZZmulmod{n}$
+		ciclico. Allora, se $n$ fosse uguale ad $ab$ con
+		$\MCD(a, b) = 1$ e $a$, $b > 1$, varrebbe $\ZZmulmod{n} \cong
+		\ZZmulmod{a} \times \ZZmulmod{b}$. Dal momento che
+		$\ZZmulmod{a} \cong \ZZmulmod{a} \times \{e\}$,
+		che a sua volta si identifica come sottogruppo di
+		$\ZZmulmod{n}$, e quindi ciclico, $\ZZmulmod{a}$ stesso
+		è ciclico, e analogamente anche $\ZZmulmod{b}$. Pertanto
+		deve valere $\MCD(\varphi(a), \varphi(b)) = 1$. \medskip
+		
+		
+		Dal momento che $\varphi(a)$ può essere o $1$ o un
+		numero pari, così come $\varphi(b)$, si può assumere
+		senza perdita di generalità che $\varphi(a) = 1$,
+		e dunque che $a$ sia $1$ o $2$. Poiché $\ZZmulmod{b}$
+		è ciclico e $b$ è strettamente minore di
+		$n$, per il passo induttivo $b$ può essere
+		$1$, $2$, $p^k$ o $2p^k$. Dal momento che $\MCD(a, b) = 1$,
+		$b$ può essere solo $1$ o $p^k$, e quindi $n = 2$ o
+		$n = 2 p^k$. \medskip
+		
+		
+		Se invece $n = ab$ con $\MCD(a, b) = 1$ implica che
+		uno tra $a$ e $b$ sia $1$, allora $n$ è $1$ o una
+		potenza di un primo, detto $p^k$. Se $p = 2$,
+		allora, per $k \geq 3$, $\ZZmulmod{2^k}$
+		conterrebbe una copia isomorfa di $\ZZmulmod{8} \cong
+		\ZZmod{2} \times \ZZmod{2}$. In tal caso,
+		non essendo $\ZZmulmod{8}$ ciclico, nemmeno $\ZZmulmod{2^k}$
+		è ciclico, e quindi $2^k$ può essere solo $1$, $2$ o
+		$4$. Si conclude così la dimostrazione del teorema.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{remark}[La funzione $\lambda(n)$ di Carmichael]
+		Si definisce la funzione $\lambda : \NN^+ \to \NN^+$ di Carmichael in
+		modo tale che $\lambda(n)$ sia il più piccolo intero positivo $m$ tale
+		per cui $a^m \equiv 1 \pod{n}$ per ogni $a$ coprimo con $n$. \medskip
+		
+		
+		Grazie al Teorema sulla decomposizione di $\ZZmulmod{n}$, calcolare
+		$\lambda(n)$ risulta piuttosto semplice. Infatti, $\lambda(n)$ è
+		esattamente il minimo comune multiplo di tutti gli ordini di
+		$\ZZmulmod{n}$. In particolare, $\lambda(n)$ divide sempre $\varphi(n)$ e
+		vale l'uguaglianza se e solo se esiste un elemento $x$ in $\ZZmulmod{n}$ di
+		ordine $\varphi(n)$, ossia se e solo se $\ZZmulmod{n}$ è ciclico (e dunque se
+		e solo se
+		$n$ è $1$, $2$, $4$, $p^k$ o $2p^k$ per $p$ primo dispari).
+	\end{remark}
+	
+	\begin{example}[$\lambda(1000)$]
+		Si calcola $\lambda(1000)$. Dal momento che $1000 = 2^3 \cdot 5^3$, vale
+		che $\ZZmulmod{1000} \cong \ZZmulmod{2^3} \times \ZZmulmod{5^3}$.
+		Dacché $5$ è dispari e $\varphi(5^3) = 5^3 - 5^2 = 100$, $\ZZmulmod{5^3} \cong \ZZmod{100}$, mentre
+		$\ZZmulmod{2^3} \cong \ZZmod{2} \times \ZZmod{2}$. Pertanto vale che:
+		\[ \ZZmulmod{1000} \cong \ZZmod{2} \times \ZZmod{2} \times \ZZmod{100}, \]
+		e quindi $\lambda(1000) = \mcm(2,2,100) = 100$.
+	\end{example}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/1. Teoria dei gruppi/Teoremi fondamentali (Cauchy, isomorfismo, corrispondenza, struttura e Sylow)/5. I teoremi di Sylow/main.tex

@@ -0,0 +1,270 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{I teoremi di Sylow}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Nel corso del documento con $p$ si indicherà un numero
+		primo, con $G$ si indicherà un qualsiasi gruppo finito di ordine $p^n m$ tale per cui $\MCD(p, m) = 1$
+		(ossia $n$ è la valutazione $p$-adica di $\abs{G}$).
+	\end{note}
+
+	I teoremi di Sylow rappresentano, insieme al teorema di
+	struttura per gruppi abeliani finiti, lo strumento più
+	importante e avanzato della teoria dei gruppi elementare.
+	Attraverso questi teoremi, lo studio e la classificazione dei
+	gruppi finiti viene enormemente facilitata e ridotta ai suoi
+	$p$-sottogruppi. \medskip
+	
+	
+	Prima di illustrare gli enunciati e le dimostrazioni di questi
+	teoremi, si definisce preliminarmente cos'è un $p$-sottogruppo
+	di Sylow, detto poi semplicemente $p$-Sylow:
+	
+	\begin{definition}[$p$-Sylow]
+		Sia $H \leq G$. Si dice che $H$ è un \textbf{$p$-Sylow}
+		di $G$ se $\abs{H} = p^n$, ossia se $H$ è un $p$-sottogruppo
+		di $H$ con valutazione $p$-adica massima.
+	\end{definition}
+	
+	Si illustra adesso il Primo teorema di Sylow, che riguarda
+	l'esistenza di $p$-sottogruppi di tutte le cardinalità
+	possibili\footnote{
+		A dire la verità il Primo teorema di Sylow si deduce
+		anche solo mostrando l'esistenza di un $p$-Sylow. Infatti,
+		per una proposizione nota sui $p$-gruppi, che discende
+		direttamente dal Teorema di corrispondenza, in un
+		$p$-gruppo esiste sempre
+		una catena di $p$-sottogruppi normali che comprende
+		$p$-sottogruppi di tutte le cardinalità. Dal momento
+		però che la dimostrazione è molto istruttiva (e anche
+		molto generale), si è preferito lasciare la generalizzazione.
+	}\footnote{
+		Si osserva che il Primo teorema di Sylow generalizza il
+		Teorema di Cauchy alla sua massima estensione.
+	} in $G$:
+	
+	\begin{theorem}[Primo teorema di Sylow, esistenza]
+		Per ogni $i \in \NN$ tale per cui $0 \leq i \leq n$, esiste
+		un sottogruppo $H \leq G$ tale per cui $\abs{H} = p^i$.
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Si consideri il sottoinsieme $\MM$
+		di $\pset(G)$ dato da:
+		\[ \MM = \{ X \subseteq G \mid \abs{X} = p^i \}. \]
+
+
+		Allora vale che:
+		\[ \abs{\MM} = \binom{p^n m}{p^i} = \frac{(p^n m)!}{(p^i)! (p^n m - p^i)!} = \frac{p^n m (p^n m - 1) \cdots (p^n m - p^i + 1)}{p^i (p^i - 1) \cdots 1}, \]
+		ossia, equivalentemente, che:
+		\[ \abs{\MM} = p^{n-i} m \prod_{j=1}^{p^i - 1} \frac{p^n m - j}{p^i - j}. \]
+
+
+		Si osserva che $p^{n-i} \exactdiv \abs{M}$. Infatti,
+		$p \nmid m$ perché $\MCD(p, m) = 1$ per ipotesi; inoltre,
+		considerando il termine generico $a_j$ della produttoria,
+		vale che\footnote{
+			Infatti $j$ può valere al più $p^i - 1$.
+		} $\nu_p(p^n m - j) = \nu_p(j) = \nu_p(p^i - j)$,
+		e quindi che $\nu_p(a_j) = 0$. \medskip
+		
+		
+		Dal momento che, dato $X \in \MM$, $g X$ appartiene ancora
+		ad $\MM$ e $g X = h X \iff g = h$, $\forall$ $g$, $h \in G$,
+		si può considerare l'azione $\phi : G \to S(\MM)$
+		tale per cui $g \xmapsto{\phi} [X \mapsto gX]$.
+		Dacché le orbite forniscono una partizione di $\MM$,
+		vale che:
+		\[ \abs{\MM} = \sum_{X \in \rotations} \frac{\abs{G}}{\abs{\Stab(X)}}, \]
+		dove $\rotations$ è un insieme di rappresentanti delle
+		orbite e dove si è applicato il Teorema orbita-stabilizzatore.
+		Dal momento che $p^{n-i} \exactdiv \abs{M}$, esiste
+		sicuramente un $X \in \rotations$ tale per cui
+		$p^{n-i+1} \nmid \abs{\Orb(X)}$, da cui si deduce che
+		$p^i \mid \abs{\Stab(X)}$. \medskip
+		
+		
+		Sia $x \in X$ e si consideri ora la mappa $\tau : \Stab(X) \to X$ tale per cui $g \xmapsto{\tau} gx$. Tale mappa è
+		sicuramente iniettiva (infatti $gx = hx \implies g = h$),
+		e quindi $\abs{\Stab(X)} \leq \abs{X} = p^i$. Si deduce
+		dunque che $\abs{\Stab(X)} = p^i$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	
+	\begin{example}
+		Sia $G$ un $p$-gruppo di ordine $p^n$ con $n \geq 4$
+		tale per cui
+		$\abs{Z(G)} = p$. Si dimostra allora che $G$ ammette un sottogruppo abeliano di ordine $p^3$. \medskip
+		
+		
+		Per il Primo teorema di Sylow, in ogni tale gruppo $G$
+		si può estrarre un $p$-sottogruppo $H$ di ordine $p^4$.
+		Pertanto è sufficiente dimostrare la tesi per $n = 4$,
+		dacché un sottogruppo di $H$ è in particolare un sottogruppo
+		di $G$. \medskip
+		
+		
+		Poiché $G$ è un $p$-gruppo tale per cui $\abs{Z(G)} = p$,
+		esiste $x \in G$ tale per cui $Z_G(x)$ ha ordine $p^3$.
+		Chiaramente $Z(G) \leq Z(Z_G(x))$, e analogamente
+		$\gen{x} \leq Z(Z_G(x))$. Pertanto $\abs{Z(Z_G(x))}$ ha
+		almeno $p^2$ elementi. Se però valesse
+		$\abs{Z(Z_G(x))} = p^2$, $Z_G(x) \quot Z(Z_G(x))$ sarebbe
+		ciclico, e quindi $Z_G(x)$ abeliano, \Lightning. Quindi
+		$Z(Z_G(x))$ ha ordine $p^3$ e coincide con $Z_G(x)$, da
+		cui la tesi.
+	\end{example} \bigskip
+	
+
+	Si dimostra adesso il Secondo teorema di Sylow, che mostra
+	che i $p$-Sylow sono tra loro coniugati e che dimostra l'esistenza
+	di un'inclusione più generale tra i $p$-sottogruppi con
+	i $p$-sottogruppi di cardinalità maggiore. Da questo
+	teorema discenderà in particolare uno dei due risultati
+	del Terzo teorema di Sylow sul numero di $p$-Sylow di
+	un gruppo $G$.
+
+	\begin{theorem}[Secondo teorema di Sylow, coniugio e inclusione]
+		Tutti i $p$-Sylow di $G$ sono coniugati (e quindi isomorfi)
+		tra loro. Inoltre, ogni $p$-sottogruppo di ordine
+		$p^i$, se $i \neq n$, è contenuto
+		in un $p$-sottogruppo di ordine $p^{i+1}$ (in particolare
+		questi sottogruppi sono sottogruppi di un $p$-Sylow)\footnote{
+			Il Secondo teorema di Sylow implica in particolare
+			che se $H$ è un $p$-sottogruppo di ordine $p^i$,
+			esiste sempre un $p$-sottogruppo $K$ di $G$ di
+			ordine $p^j$ con $j \geq i$ tale per cui
+			$H \leq K$.
+		}.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia\footnote{
+			Tale $S$ esiste per il Primo teorema di Sylow.
+		} $S$ un $p$-Sylow di $G$. Sia $H$ un $p$-sottogruppo
+		di ordine $p^i$ e si consideri l'azione
+		$\varphi : H \to S(X)$ su $X = G \quot S$ tale per
+		cui $h \xmapsto{\varphi} [gS \mapsto hgS]$. Dal momento
+		che $\abs{X} = [G : S] = m$, per
+		il Teorema orbita-stabilizzatore vale allora che:
+		\[ m = \sum_{gS \in \rotations} \frac{p^i}{\abs{\Stab(gS)}}, \]
+		dove $\rotations$ è un insieme di rappresentanti delle
+		orbite tramite $\varphi$. \medskip
+		
+		
+		Dal momento che $p \nmid m$ per ipotesi, deve esistere
+		$gS \in \rotations$ tale per cui $\abs{\Stab(gS)} = p^i$,
+		da cui si deduce che $\Stab(gS) = H$. Pertanto vale che
+		$hgS = gS$ $\forall h \in H$, e quindi
+		$hg \in gS$, da cui si ricava infine che $h \in gSg\inv$.
+		Allora $H \subseteq gSg\inv$. Se allora $H$ è un $p$-Sylow,
+		$H = gSg\inv$ per cardinalità, e quindi tutti i
+		$p$-Sylow sono coniugati tra loro, dimostrando la prima
+		parte dell'enunciato. \medskip
+		
+		
+		Sia ora $i \neq n$. Allora $H$ è un $p$-sottogruppo proprio
+		di $P = gSg\inv$, che è un $p$-Sylow di $G$. Allora
+		vale che $H \lneq N_P(H)$ dal momento che $P$ è un $p$-gruppo.
+		Dacché $H \nsg N_P(H)$, $N_P(H) \quot H$ è un $p$-gruppo
+		non banale. Allora, per il Teorema di Cauchy, esiste
+		$x \in N_P(H)$ tale per cui $\ord(xH) = p$. Allora
+		$\pi_H\inv(\gen{xH})$ è un sottogruppo di $N_P(H)$ di ordine
+		$p \cdot p^i = p^{i+1}$ che contiene $H$, da cui
+		la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{remark}
+		In particolare, se $G$ è un gruppo abeliano finito, per il
+		Secondo teorema di Sylow vale che $G(p)$, la $p$-componente
+		di $G$, è unica in quanto $p$-Sylow di un gruppo abeliano
+		(infatti l'insieme dei coniugati di un sottogruppo in un gruppo abeliano è sempre banale). Allora $G$ è esattamente
+		il prodotto diretto dei suoi $p$-Sylow.
+	\end{remark}
+	
+	\bigskip
+	
+	
+	Si dimostra infine il Terzo teorema di Sylow, che riguarda
+	il numero di $p$-Sylow in $G$, indicato con $n_p$. Questo
+	teorema, al di là del lato meramente computazionale, risulta
+	spesso utile quando si cerca di dimostrare che un $p$-Sylow
+	è caratteristico. Infatti è sufficiente verificare che
+	$n_p$ sia esattamente $1$; in questo modo esiste un solo
+	$p$-Sylow, e tale $p$-Sylow deve essere caratteristico, e
+	quindi normale.
+	
+	\begin{theorem}[Terzo teorema di Sylow, numero]
+		Sia $n_p$ il numero di $p$-Sylow di $G$. Allora vale
+		che:
+		
+		\begin{itemize}
+			\item $n_p = [G : N_G(S_p)]$, e dunque $n_p$ divide $\abs{G}$, dove
+				$S_p$ è un $p$-Sylow,
+			\item $n_p \equiv 1 \pod p$, e quindi\footnote{
+				Poiché $n_p \mid \abs{G} = p^n m$, ma $n_p \equiv 1 \pod p$, $n_p$ è coprimo con $p^n$, e quindi
+				$n_p$ deve dividere $m$.
+			} $n_p \mid m$.
+		\end{itemize}
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Poiché i coniugati di un $p$-Sylow $S$ hanno la stessa cardinalità di $S$, tali coniugati sono ancora
+		$p$-Sylow. Similmente, per il Secondo teorema di Sylow, tutti
+		i $p$-Sylow sono a loro volta coniugati di $S$. Pertanto,
+		se $X$ è l'insieme dei $p$-Sylow di $G$, vale che
+		$X$ è esattamente l'insieme dei coniugati di $S$. Allora,
+		per il Teorema orbita-stabilizzatore, vale che:
+		\[ n_p = \abs{X} = [G : N_G(S)], \]
+		che chiaramente divide $\abs{G}$. \medskip
+		
+		
+		Sia $\varphi : S \to S(X)$ l'azione su $X$ tale per cui
+		$s \xmapsto{\varphi} [H \mapsto sHs\inv]$. Si mostra
+		che $\Orb(S) = \{S\}$ è l'unica orbita banale. Se
+		$\Orb(H)$ fosse banale, varebbe $sHs\inv = H$ $\forall s \in S$,
+		e quindi varebbe $S \leq N_G(H)$. In tal caso esisterebbe
+		il sottogruppo $HS$, che ha cardinalità:
+		\[ \abs{HS} = \frac{p^n p^n}{p^i} = p^{2n-i}, \]
+		dove $p^i$ è la cardinalità di $H \cap S$. Poiché
+		$n$ è il massimo esponente di un $p$-sottogruppo di
+		$G$, deve valere $2n-i \leq n \implies n \leq i$. Allo
+		stesso tempo, anche il massimo esponente di $p$ in
+		$H \cap S$, in quanto $p$-sottogruppo, deve essere
+		minore o uguale a $n$, e quindi $n = i$. Pertanto
+		$H = S$. \medskip
+		
+		
+		Allora, se $\rotations$ è un insieme di rappresentanti
+		delle orbite di $X$ tramite $\varphi$, vale che:
+		\[ n_p = \abs{X} = \sum_{H \in \rotations} \frac{p^n}{\abs{\Stab(H)}} = 1 + \sum_{H \in \rotations \setminus \{S\}} \frac{p^n}{\abs{\Stab(H)}}. \]
+		Poiché $p$ divide la somma del membro a destra (infatti
+		le orbite sono non banali, e quindi $\abs{\Stab(H)} \neq p^n$),
+		deve dunque valere $n_p \equiv 1 \pod 1$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{example}
+		Si mostra che in un gruppo $G$ di ordine $5 \cdot 11 \cdot 17$
+		esiste un elemento di ordine $11 \cdot 17$. \medskip
+		
+		Si consideri un $11$-Sylow $P_{11}$ e un $17$-Sylow $P_{17}$.
+		Questi sottogruppi hanno ordine $11$ e $17$, e quindi
+		sono ciclici. Pertanto esistono $x$, $y \in G$ tali per
+		cui $P_{11} = \gen{x}$ e $P_{17} = \gen{y}$. \medskip
+		
+		Si consideri $n_{11}$: $n_{11}$ deve dividere $5 \cdot 17$,
+		e quindi $n_{11} \in \{1, 5, 17, 5 \cdot 17\}$. Tuttavia
+		$n_{11} \equiv 1 \pod{11}$ solo se $n_{11} = 1$. Quindi
+		$P_{11}$ è l'unico $11$-Sylow, e pertanto è caratteristico,
+		e dunque normale. Analogamente si verifica che $n_{17} = 1$,
+		e quindi che anche $P_{17}$ è normale. \medskip
+		
+		Poiché $P_{11}$ e $P_{17}$ sono $p$-gruppi relativi a primi
+		distinti, la loro intersezione è banale. Pertanto
+		$x$ e $y$ commutano, e allora $\ord(xy) = \ord(x) \ord(y) =
+		11 \cdot 17$.
+	\end{example}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/1. Estensioni di campo ed elementi algebrici e trascendenti/main.tex

@@ -0,0 +1,442 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Estensioni di campo ed elementi algebrici e trascendenti}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Una buona introduzione alle estensioni di campo
+		è già stata fatta nel corso di Aritmetica\footnote{
+			Questa parte di teoria è reperibile al
+			seguente link: \url{https://git.phc.dm.unipi.it/g.videtta/notes/src/branch/main/Primo\%20anno/Aritmetica/Teoria\%20dei\%20campi}.
+		}, e pertanto
+		l'esposizione in questo documento dell'argomento sarà
+		del tutto \textit{straightforward}. \medskip
+		
+		
+		Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi.
+		Se non espressamente detto, si sottintenderà anche
+		che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono
+		estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si
+		intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$
+		come $K$-spazio vettoriale.
+	\end{note} \bigskip
+
+	
+	Lo studio della teoria dei campi è inevitabile quando si
+	intende studiare la risolubilità delle equazioni, come
+	ben illustra la teoria di Galois. In particolare,
+	questa teoria si basa in parte sullo studio delle
+	estensioni, ossia dei ``sovracampi'', del campo di partenza
+	che si sta studiando. A questo proposito tornano utili
+	le seguenti definizioni:
+	
+	\begin{definition}[estensione di campo]
+		Si dice che $L$ è un'estensione di campo di $K$ se
+		$K \subseteq L$, e si scrive $\faktor{L}{K}$ per
+		studiare $L$ in riferimento a $K$. Si dice
+		che $L$ è un'estensione finita se $[L : K]$ è
+		finito.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}[omomorfismo di valutazione]
+		Sia $\alpha \in K$. Allora si definisce l'\textbf{omomorfismo di valutazione} $\varphi_{\alpha,K} : K[x] \to K[\alpha]$ di $\alpha$ su $K$,
+		spesso abbreviato come $\varphi_\alpha$ se è
+		sottinteso che si sta lavorando su $K$, come
+		l'omomorfismo univocamente determinato dalla
+		relazione:
+		\[ p \xmapsto{\varphi_\alpha} p(\alpha). \]
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}
+		L'omomorfismo di valutazione è sempre surgettivo e
+		la preimmagine di un elemento di $K[\alpha]$ è per
+		esempio lo stesso elemento a cui si è sostituito $x$
+		al posto di $\alpha$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{definition}
+		Sia $\alpha \in K$. Allora si definisce $K(\alpha)$
+		come la più piccola estensione di $K$ che contiene
+		$\alpha$, ossia:
+		\[ K(\alpha) = \bigcap_{\substack{\faktor{F_i}{K} \text{ campo}	\\[0.02in] \alpha \in F_i}} F_i. \]
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition}[estensione semplice]
+		Un'estensione $\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{semplice}
+		se esiste $\alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$.
+		Tale $\alpha$ si definisce \textbf{elemento primitivo}
+		di $L$ su $K$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}
+		Come suggerisce la definizione di $K(\alpha)$, se
+		$\faktor{L}{K}$ è un campo che contiene $\alpha$,
+		$K(\alpha) \subseteq L$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{definition}[elementi algebrici e trascendenti]
+		Sia $\alpha \in K$. Allora $\alpha$ si dice \textbf{algebrico su $K$} se $\exists p \in K[x]$
+		tale per cui $p(\alpha) = 0$. Se $\alpha$ non è
+		algebrico, si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendente}.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}
+		Se $\alpha \in K$, $\alpha$ è algebrico se e solo
+		se $\Ker \varphi_\alpha$ è non banale. Analogamente
+		$\alpha$ è trascendente se e solo se $\Ker \varphi_\alpha$ è banale.
+	\end{remark}
+
+	\begin{remark}
+		Se $\alpha \in K$ è algebrico, allora $\Ker \varphi_\alpha$ è generato da un irriducibile dacché
+		$K[x]$ è un PID. In particolare $K[x] \quot {\Ker \varphi_\alpha}$ è un campo, e dunque, per il Primo
+		teorema di isomorfismo, lo è anche $K[\alpha]$.
+		Dal momento che $K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$,
+		allora vale in questo caso che $K(\alpha) = K[\alpha]$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{definition}
+		Sia $\alpha \in K$ algebrico su $K$. Si definisce il \textbf{polinomio minimo}
+		$\mu_\alpha \in K[x]$ come il generatore monico di
+		$\Ker \varphi_\alpha$. Per semplicità si definisce
+		$\deg_K \alpha$ come il grado di $\mu_\alpha$. 
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}
+		Se $\alpha \in K$ è algebrico, allora $K[x] \quot{\Ker \varphi_\alpha}$ è uno spazio vettoriale su $K$ di
+		dimensione $\deg_K \alpha$. In particolare vale allora
+		che $[K(\alpha) : K] = [K[x] \quot{\Ker \varphi_\alpha} : K] = \deg_K \alpha$. Inoltre $\mu_\alpha$ è irriducibile su $K$ dal momento che $\Ker \varphi_\alpha$ è massimale.
+	\end{remark}
+
+	\begin{remark}
+		Se $\alpha \in K$ è trascendente, allora
+		$\Ker \varphi_\alpha$ è banale e dunque, per il Primo
+		teorema di isomorfismo, $K[x] \cong K[\alpha]$.
+	\end{remark}
+
+	La caratterizzazione degli elementi algebrici e trascendenti
+	si conclude mediante la seguente proposizione:
+	
+	\begin{proposition}[caratterizzazione degli elementi algebrici e trascendenti]
+		Sia $\alpha \in K$. Allora $\alpha$ è algebrico su
+		$K$ se e solo se $[K(\alpha) : K]$ è finito.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Se $\alpha$ è algebrico, allora $[K(\alpha) : K]$ 
+		è pari a $\deg_K \alpha$. Se invece $[K(\alpha) : K]$
+		è pari ad $n \in \NN^+$, si considerino $1$, $\alpha$,
+		\ldots, $\alpha^n$. Dal momento che questi sono
+		$n+1$ elementi in $K(\alpha)$, devono essere
+		necessariamente linearmente dipendenti. Pertanto
+		esistono $a_0$, $a_1$, \ldots, $a_n$ tali per
+		cui $a_n \alpha^n + \ldots + a_1 \alpha + a_0 = 0$.
+		Pertanto esiste un polinomio con coefficienti in $K$
+		che annulla $\alpha$, e dunque $\alpha$ è algebrico. 
+	\end{proof}
+
+	A partire dalla definizione di elemento algebrico si può
+	anche definire la nozione di \textit{estensione algebrica}:
+	
+	\begin{definition}[estensione algebrica]
+		Si consideri $\faktor{L}{K}$. Allora si dice che
+		$L$ è un'\textbf{estensione algebrica} se ogni
+		elemento di $L$ è algebrico su $K$.
+	\end{definition}
+
+	Le estensioni finite sono privilegiate in questo senso,
+	dal momento che sono sempre algebriche, come illustra la:
+	
+	\begin{proposition}[estensione finita $\implies$ estensione algebrica]
+		Sia $L$ un'estensione finita di $K$. Allora $L$
+		è un'estensione algebrica di $K$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Sia $\alpha \in L$. Dal momento che $K \subseteq K(\alpha) \subseteq L$, $K(\alpha)$ è un sottospazio
+		di $L$, che è spazio vettoriale su $K$. Dal momento
+		che $L$ è un'estensione finita, $[L : K]$ è finito,
+		e dunque lo è anche $[K(\alpha) : K]$, per cui
+		$\alpha$ è algebrico, e così $L$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}
+		Mentre ogni estensione finita è algebrica, non è
+		vero che ogni estensione algebrica è finita. Per
+		esempio,
+		la chiusura algebrica $\overline{\QQ}$ di $\QQ$ non
+		è finita su $\QQ$. Infatti, per ogni $n \in \NN^+$,
+		$p_n(x) = x^n - 2$ è irriducibile in $\QQ[x]$ per il criterio
+		di Eisenstein, e dunque, detta $\alpha$ una radice
+		di $p_n$, $[\QQ(\alpha) : \QQ] = n$, e quindi, dal
+		momento che $\QQ(\alpha) \subseteq \overline{\QQ}$,
+		$[\overline{\QQ} : \QQ] \geq n$. Pertanto il grado
+		di $\overline{\QQ}$ su $\QQ$ non è finito, benché
+		$\overline{\QQ}$ sia un'estensione algebrica per
+		definizione.
+	\end{remark}
+
+	\begin{remark}
+		Se $L$ è un'estensione semplice, allora $L$
+		è algebrica se e solo se $L$ è un'estensione
+		finita.
+	\end{remark}
+
+	Definiamo infine il composto di due estensione $L$, $M$ di $K$ su uno stesso campo $\Omega$:
+
+	\begin{definition}[composto di due estensioni]
+		Siano $L$, $M \subseteq \Omega$ estensioni di $K$ con
+		$\Omega$ a sua volta campo. Si definisce allora
+		il \textbf{composto} $LM$ di $L$ e $M$ come il più
+		piccolo sottocampo di $\Omega$ che contiene sia
+		$L$ che $M$. Talvolta si scrive anche $L(M) = LM$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{remark}
+		Se $L = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$ e
+		$M = K(\beta_1, \ldots, \beta_n)$, allora vale che:
+		\[ LM = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_m, \beta_1, \ldots, 
+		\beta_n). \]
+	\end{remark}
+	
+	\begin{theorem}[delle torri algebriche]
+		Siano $K \subseteq L \subseteq F$ campi. Allora $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita se e solo se
+		$\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$ sono estensioni finite. \medskip
+		
+
+		In particolare\footnote{Si può generalizzare questa formula ad $F$ spazio vettoriale su $K$ e $L$ con $K \subseteq L$, a patto che $K$ e $L$ siano campi.}, se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita,
+		vale che:
+		\[ [F : K] = [F : L] [L : K]. \]
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione finita, allora a
+		maggior ragione $\faktor{L}{K}$ è un'estensione finita
+		dal momento che $L$ è un $K$-sottospazio vettoriale di
+		$F$, che è un $K$-spazio vettoriale. Inoltre,
+		anche $\faktor{F}{L}$ è un'estensione finita, dacché
+		una base di $\faktor{F}{K}$ è un insieme di generatori
+		su $\faktor{F}{L}$, dal momento che $K \subseteq L$. \medskip
+		
+		
+		Si mostra adesso che se $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$ sono estensioni finite, allora $F$ è uno spazio
+		finito-dimensionale su $K$ e vale che:
+		\[ [F : K] = [F : L] [L : K]. \]
+		Siano $[F : L] = m$ e $[L : K] = n$. Sia
+		$\BB_F = (f_1, \ldots, f_m)$ una base
+		di $F$ su $L$, e sia $\BB_L = (l_1, \ldots, l_n)$ una
+		base di $L$ su $K$. \\
+		
+		Si dimostra che la seguente è una base di $F$ su $K$:
+		\[\BB_F \BB_L = \{ f_1 l_1, \ldots, f_1 l_n, \ldots, f_m l_n\}, \]
+		dove si osserva che $\abs{\BB_F \BB_L} = [F : L] [L : K]$.
+		Si mostra innanzitutto che $\BB_F \BB_L$ è un insieme
+		di generatori. Sia $f \in F$.
+		Allora si può scrivere $f$ come combinazione lineare
+		finita con scalari in $L$:
+		\[f = \sum_{i=1}^m \beta_i f_i.\]
+		A sua volta, allora, si può scrivere ogni $\beta_i \in L$
+		come combinazione lineare finita con scalari in $K$:
+		\[\beta_i = \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} l_j.\]
+		Combinando queste due identità, si verifica che
+		$\BB_F \BB_L$ genera $F$ come $K$-spazio vettoriale:
+		\[ f = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} \, l_j f_i. \]
+
+		
+		Infine, si verifica che $\BB_F \BB_L$ è un insieme linearmente
+		indipendente. Si consideri l'equazione:
+		
+		\[ \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} \, l_j f_i = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} l_j \right) f_i = 0. \]
+		
+		Poiché $\BB_F$ è linearmente indipendente, si deduce
+		che:
+		
+		\[ \sum_{j=1}^n \gamma_j^{(i)} l_j = 0. \]
+		
+		Tuttavia, $\BB_L$ è a sua volta linearmente indipendente,
+		e quindi $\gamma_j^{(i)} = 0$, $\forall i, j$. Dunque
+		$\BB_F \BB_L$ è linearmente indipendente, e quindi è
+		una base dacché è anche un insieme di generatori per
+		$F$ come $K$-spazio vettoriale. Pertanto $F$ è un'estensione
+		finita di $K$ e vale la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Siano $L$ e $M$ due campi tali per cui
+		$K \subseteq L$, $M$. Allora, se
+		$[L : K] = m \in \NN^+$ e $[M : K] = n \in \NN^+$,
+		$LM$ è un'estensione finita di $K$ e $\mcm(m, n) \mid [LM : K]$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si consideri il seguente diamante di estensioni:
+		\[\begin{tikzcd}[column sep=scriptsize]
+			&& LM \\
+			\\
+			L &&&& M \\
+			\\
+			&& K
+			\arrow["n", no head, from=3-5, to=5-3]
+			\arrow["m"', no head, from=3-1, to=5-3]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=3-5]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=3-1]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=5-3]
+		\end{tikzcd}\]
+		Dal momento che $LM = L(M)$ è un $L$-spazio vettoriale
+		e $M$ è un'estensione finita di $K$, il grado di $LM$
+		su $L$ è finito. Pertanto, applicando il teorema delle
+		torri algebriche, $m \mid [LM : K]$. Analogamente
+		$n \mid [LM : K]$, e quindi $\mcm(m, n) \mid [LM : K]$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $L$ un'estensione di campo di $K$. Allora
+		$A = \{ \alpha \in L \mid \alpha \text{ algebrico su } K \}$ è un campo, e quindi un'estensione algebrica
+		di $K$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Siano $\alpha$ e $\beta \in A$. Si consideri il
+		seguente diamante di estensioni:
+		\[\begin{tikzcd}[column sep=small]
+			&& {K(\alpha, \beta)} \\
+			\\
+			{K(\alpha)} &&&& {K(\beta)} \\
+			\\
+			&& K
+			\arrow[no head, from=3-5, to=5-3]
+			\arrow[no head, from=3-1, to=5-3]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=3-5]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=3-1]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=5-3]
+		\end{tikzcd}\]
+		Dal momento che $K(\alpha, \beta) = K(\alpha)K(\beta)$
+		e sia $[K(\alpha) : K]$ che $[K(\beta) : K]$ sono
+		finiti dacché $\alpha$ e $\beta$ sono algebrici,
+		$K(\alpha, \beta)$ è un'estensione finita di $K$,
+		ed è dunque un'estensione algebrica. Pertanto
+		$\alpha \pm \beta$, $\alpha\beta$, $\alpha\inv$
+		(se $\alpha \neq 0$) e $\beta\inv$ (se $\beta \neq 0$) sono elementi algebrici di $K$,
+		e quindi $A$ è un campo, e a maggior ragione un'estensione algebrica di $K$.
+	\end{proof}
+	
+	Le estensioni finite sono completamente caratterizzate
+	in qualità di estensioni finitamente generate da elementi
+	algebrici sul campo di riferimento, come mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		$\faktor{L}{K}$ è un'estensione finita se e solo se
+		è un'estensione finitamente generata da elementi algebrici.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Se $L$ è un'estensione finita su $K$, allora esiste una
+		base finita $\basis = \{l_1, \ldots, l_n\} \subseteq L$
+		tale per cui $L = K(l_1, \ldots, l_n)$. Poiché $L$ è
+		un'estensione finita, $L$ è anche algebrica, e quindi
+		$\basis$ è composta da elementi algebrici su $K$. Pertanto
+		$L$ è un'estensione finitamente generata da elementi algebrici
+		su $K$. \medskip
+		
+		Sia ora $L = K(l_1, \ldots, l_n)$ con $l_i$ elemento algebrico
+		su $K$. Allora, per il teorema delle torri algebriche,
+		$L$ è un'estensione
+		finita su $K$ dal momento che questi due campi sono
+		i due estremi della seguente torre di estensioni:
+		\[\begin{tikzcd}
+			{K(l_n, \ldots, l_0)} \\
+			{K(l_{n-1}, \ldots, l_0) } \\
+			\vdots \\
+			{K(l_0)} \\
+			K
+			\arrow[no head, from=1-1, to=2-1]
+			\arrow[no head, from=2-1, to=3-1]
+			\arrow[no head, from=3-1, to=4-1]
+			\arrow[no head, from=4-1, to=5-1]
+		\end{tikzcd}\]
+		dove ogni campo interno della torre è un'estensione
+		finita del sottocampo corrispondente dal momento
+		che $\faktor{L}{K}$ è un'estensione algebrica, da
+		cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $K \subseteq L \subseteq F$ una torre di
+		estensioni. Allora $\faktor{F}{K}$ è un'estensione 
+		algebrica se e solo se lo sono sia $\faktor{L}{K}$
+		che $\faktor{F}{L}$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Se $\faktor{F}{K}$ è un'estensione algebrica,
+		a maggior ragione $\faktor{F}{L}$ è
+		algebrica, dal momento che ogni elemento $f \in K$ è
+		radice di un polinomio a coefficienti in $K$, e
+		quindi, in particolare, di un polinomio a coefficienti in
+		$L$. Allora stesso tempo, ogni elemento di $L$ è un
+		elemento di $F$, e quindi tale elemento è ancora algebrico
+		su $K$, e così anche $\faktor{L}{K}$ è un'estensione
+		algebrica. \medskip
+		
+		
+		Siano $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{F}{L}$
+		estensioni algebriche. Sia $f \in F$. Allora, poiché $F$ è
+		algebrico su $L$, esistono $l_0$, \ldots,
+		$l_n \in L$ tali per cui, detto
+		$p(x) = l_n x^n + \ldots + l_1 x + l_0 \in L[x]$,
+		vale che $p(f) = 0$. In particolare $f$ è
+		algebrico su $K(l_n, \ldots, l_0)$, e quindi
+		$K(l_n, \ldots, l_0, f)$ è un'estensione finita
+		su $K(l_n, \ldots, l_0)$. \medskip
+		
+		
+		Chiaramente anche $K(l_n, \ldots, l_0)$ è un'estensione
+		finita su $K$ dal momento che è finitamente generata
+		da elementi algebrici su $K$, dacché $L$ è un'estensione
+		algebrica su $K$. \medskip
+		
+		
+		Per il teorema delle torri algebriche, allora
+		$K(l_n, \ldots, l_0, f)$ è un'estensione finita
+		su $K$. Dal momento allora che $K(f) \subseteq K(l_n, \ldots, l_0, f)$, anche questa è un'estensione finita,
+		e quindi $f$ è algebrico. Pertanto si conclude che
+		$\faktor{F}{K}$ è un'estensione algebrica, da cui
+		la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	Infine, si presenta un risultato interessante che lega
+	l'algebricità di $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ a quella
+	di $\faktor{LM}{K}$:
+	
+	\begin{proposition}
+		Siano $K \subseteq L$, $M$. Allora le estensioni
+		$\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ sono algebriche se
+		e solo se $\faktor{LM}{K}$ è algebrica.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Siano $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ algebriche.
+		Sia $\alpha \in LM = L(M)$. Dal momento che $L(M)$ è un
+		$L$-spazio vettoriale i cui vettori sono gli elementi di
+		$M$, allora $\alpha$ può scriversi
+		come combinazione lineare finita di elementi in $M$ con
+		coefficienti in $L$, ossia:
+		\[ \alpha = \sum_{i=1}^n \lambda_i m_i. \]
+		Poiché $L$ e $M$ sono estensioni algebriche su $K$,
+		$K' := K(\lambda_1, \ldots, \lambda_n, m_1, \ldots, m_n)$ è
+		un'estensione finitamente generata da elementi algebrici
+		ed è pertanto finita su $K$. Poiché $K(\alpha) \subseteq
+		K'$, $K(\alpha)$ è un'estensione finita su $K$ e dunque
+		$\alpha$ è algebrico su $K$. Pertanto $LM$ è un'estensione
+		algebrica su $K$. \medskip
+		
+		
+		Se $\faktor{LM}{K}$ è un'estensione algebrica, allora
+		in particolare ogni elemento di $L$, che appartiene a $L$,
+		è algebrico su $K$, e così $\faktor{L}{K}$ è un'estensione
+		algebrica. Analogamente lo è anche $\faktor{M}{K}$, da cui
+		la tesi.
+	\end{proof}
+
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/2. Chiusura algebrica di un campo e campi di spezzamento/main.tex

@@ -0,0 +1,288 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Chiusura algebrica di un campo e campi di spezzamento}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi.
+		Se non espressamente detto, si sottintenderà anche
+		che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono
+		estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si
+		intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$
+		come $K$-spazio vettoriale.
+	\end{note} \bigskip
+
+
+	Questo documento si propone di illustrare le principali
+	proprietà e caratteristiche dei campi algebricamente
+	chiusi, delle chiusure algebriche e dei campi di
+	spezzamento, col proposito di dare i mezzi necessari
+	per approcciarsi alla teoria di Galois. Per questo
+	motivo si presentano le seguenti definizioni:
+	
+	\begin{definition}[campo algebricamente chiuso]
+		Un campo $K$ si dice \textbf{algebricamente chiuso}
+		se ogni polinomio a coefficienti in $K$ ammette una
+		radice in $K$. Equivalentemente, $K$ è algebricamente
+		chiuso se ogni polinomio $p \in K[x]$ ha tutte le proprie
+		radici in $K$, e quindi se gli irriducibili di $K$ sono
+		tutti e soli i polinomi di grado unitario.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}[chiusura algebrica]
+		Un estensione $\faktor{\Omega}{K}$ si dice
+		\textbf{chiusura algebrica} di $K$, e si
+		indica usualmente con $\overline{K}$, se $\Omega$
+		è un campo algebricamente chiuso e se
+		$\Omega$ è un'estensione algebrica su $K$.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}
+		Per esempio, una chiusura algebrica di $\RR$ è $\CC$,
+		per il Teorema fondamentale dell'algebra.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $\Omega$ un campo algebricamente chiuso. Se allora
+		$K$ è un sottocampo di $\Omega$, vale che
+		$K'$, il campo degli elementi algebrici
+		su $K$, è una chiusura algebrica di $K$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Chiaramente
+		$K'$ è un'estensione algebrica su
+		$K$. Si verifica allora che $K'$ è
+		algebricamente chiuso. Sia $p \in K'[x]$.
+		Dal momento che $K$ è algebricamente chiuso, e
+		che $p$ appartiene anche a $K[x]$, allora
+		$p$ ammette una radice $\alpha \in \Omega$. Si mostra che
+		$\alpha$ è algebrico su $K$. Poiché allora
+		$\faktor{K'(\alpha)}{K'}$ è
+		un'estensione algebrica (infatti $p$ annulla $\alpha$
+		per ipotesi) e $\faktor{K'}{K}$ è algebrica
+		per ipotesi, allora $K'(\alpha)$ è algebrica
+		su $K$, e dunque $\alpha$ è algebrico su $K$, pertanto
+		$\alpha \in K'$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	\begin{remark}
+		Poiché $\QQ$ è un sottocampo di $\CC$ e $\CC$ è
+		un campo algebricamente chiuso, il campo degli
+		elementi algebrici di $\QQ$ è una chiusura algebrica di
+		$\QQ$ per la proposizione precedente.
+	\end{remark}
+	
+	Adesso si enuncia, senza dimostrarlo, un teorema su cui si baserà buona parte della prossima teoria:
+	
+	\begin{theorem}[esistenza ed unicità della chiusura algebrica]
+		Esiste ed è unica, a meno di $K$-isomorfismo\footnote{
+			Un $K$-isomorfismo è un isomorfismo tra estensioni
+			di $K$ che fissa $K$, ossia che ristretto a $K$ è
+			l'identità di $K$.
+		},
+		la chiusura algebrica di $K$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{remark}
+		Poiché il campo degli elementi algebrici di $\QQ$ è una chiusura algebrica di
+		$\QQ$ ed è un insieme numerabile, $\CC$ non può
+		essere una chiusura algebrica di $\QQ$ dacché
+		$\CC$ ha la cardinalità del continuo (e dunque non possono
+		esistere bigezioni tra $\CC$ e $\overline{\QQ}$). Poiché
+		$\CC$ è però algebricamente chiuso, può solamente
+		verificarsi che $\CC$ non sia un'estensione algebrica
+		di $\QQ$. Più facilmente, $\pi \in \RR$ non è algebrico su $\QQ$,
+		e così né $\RR$ né $\CC$ sono estensioni algebriche su $\QQ$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{definition}[campo di spezzamento]
+		Sia $\mathcal{F}$ una famiglia di polinomi di $K[x]$.
+		Si definisce allora \textbf{campo di spezzamento} di
+		$\mathcal{F}$ una estensione $F$ di $K$ tale per cui:
+		
+		\begin{itemize}
+			\item ogni $p \in \mathcal{F}$ si decompone in fattori lineari in
+				$F[x]$,
+			\item se $L$ è un'estensione su $K$ tale per cui
+				$L \subsetneq F$, allora esiste $p \in \mathcal{F}$
+				non si decompone in fattori lineari in $L[x]$.
+		\end{itemize}
+		
+		Equivalentemente $F$ è un'estensione minimale in cui
+		ogni polinomio di $\mathcal{F}$ si decompone in fattori
+		lineari.
+	\end{definition}
+	
+	Come per le chiusure algebriche, si enuncia il seguente
+	teorema senza dimostrazione\footnote{
+		L'esistenza di un campo di spezzamento è piuttosto
+		facile da dimostrare, è sufficiente considerare
+		l'estensione di $K$ a cui si aggiungono tutte le
+		radici del polinomio.
+	}:
+	
+	\begin{theorem}[esistenza ed unicità del campo di spezzamento]
+		Esiste ed è unico, a meno di $K$-isomorfismo, il
+		campo di spezzamento di $\mathcal{F}$ su $K$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{definition}[coniugati di $\alpha$]
+		Se $\alpha \in \faktor{L}{K}$ è algebrico su $K$, si definiscono \textbf{coniugati} di $\alpha$ su $K$ le
+		radici di $\mu_\alpha$ su $K$.
+	\end{definition}
+	
+	I coniugati di $\alpha$ sono speciali in quanto
+	permettono di studiare
+	le $K$-immersioni\footnote{
+		Una $K$-immersione è un monomorfismo tra estensioni di $K$
+		che fissa $K$.
+	} di $K(\alpha)$ in $\overline{K}$, ossia
+	di studiare i campi $K$-isomorfi a $K(\alpha)$ presenti in
+	$\overline{K}$, come dimostra il:
+	
+	\begin{theorem}[$K$-immersioni da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$]
+		Sia $\alpha \in \faktor{L}{K}$ algebrico su $K$. Allora,
+		se $d$ è il numero di coniugati distinti di $\alpha$,
+		esistono esattamente $d$ $K$-immersioni di $K(\alpha)$
+		in $\overline{K}$ e sono tali da mandare $\alpha$ in
+		un suo altro coniugato.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Per considerare le $K$-immersioni di $K(\alpha)$ in
+		$K$, si considera prima l'isomorfismo:
+		\[ K(\alpha) \cong K[x] \quot{(\mu_\alpha)}. \]
+		Per il Primo teorema di isomorfismo, esistono
+		allora tanti omomorfismi da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$
+		quanti sono gli omomorfismi da $K[x]$ in $\overline{K}$ che
+		annullano $(\mu_\alpha)$. Un omomorfismo $\varphi$
+		da $K[x]$ a $\overline{K}$ che fissa $K$ è completamente determinato da
+		$\beta = \varphi(x)$ ed in particolare mappa $p \in K[x]$
+		a $p(\beta)$. Affinché allora $(\mu_\alpha)$
+		appartenga a $\Ker \varphi$, $\mu_\alpha(\beta) = 0$, e quindi
+		$\beta$ deve essere un coniugato di $\alpha$. Pertanto
+		gli omomorfismi da $K(\alpha)$ a $\overline{K}$ sono
+		tali per cui $\alpha$ venga mandato in $\beta$. Questi
+		omomorfismi
+		sono $K$-immersioni dal momento che l'unità viene preservata,
+		da cui la tesi.
+	\end{proof}
+	
+	\hr
+	
+	\begin{definition}[polinomio separabile]
+		Un polinomio $p \in K[x]$ si dice \textbf{separabile}
+		se $p$ ha radici distinte in un suo campo di
+		spezzamento.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}[estensione separabile]
+		Un'estensione $\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{separabile}
+		se per ogni $\alpha \in L$, $\mu_{\alpha,K}$ è
+		un polinomio separabile.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{definition}[campo perfetto]
+		Un campo si dice \textbf{perfetto} se ogni suo
+		polinomio irriducibile è separabile.
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}
+		Le estensioni di un campo perfetto sono sempre separabili.
+		Infatti il polinomio minimo su $K$ è in particolare
+		un irriducibile, e quindi ha radici distinte.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{note}
+		Si assumerà d'ora in poi che \underline{\textit{$K$
+		è un campo perfetto}}, in modo tale da semplificare l'introduzione
+		alla teoria di Galois.
+	\end{note}
+	
+	\begin{remark}
+		Poiché $K$ è perfetto, le $K$-immersioni di $K(\alpha)$
+		sono esattamente $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{remark}
+		Se $\varphi_i : K(\alpha) \mono \overline{K}$ è un'estensione di $\varphi : K \mono \overline{K}$, allora
+		$\varphi_i(K(\alpha)) = K(\varphi_i(\alpha))$.
+	\end{remark}
+
+	Poiché i campi considerati sono perfetti, si possono
+	studiare in generale le estensioni di tutte le immersioni
+	di $K$ in $\overline{K}$, e quindi non solo le estensioni
+	dell'identità, come dimostra il:
+	
+	\begin{theorem}[estensioni di $\varphi$ da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$]
+		Sia $\alpha \in \faktor{L}{K}$ algebrico su $K$. Allora
+		per ogni $\varphi : K \mono \overline{K}$ esistono
+		esattamente $\deg_K \alpha$ estensioni $\varphi_i : K(\alpha) \mono K$ di $\varphi$, ossia monomorfismi per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$. Tali estensioni sono tali da mappare $\alpha$
+		nelle radici di $\varphi(\mu_\alpha)$.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Per considerare le estensioni di $\varphi$ da $K(\alpha)$ in
+		$K$, si considera prima l'isomorfismo:
+		\[ K(\alpha) \cong K[x] \quot{(\mu_\alpha)}. \]
+		Per il Primo teorema di isomorfismo, esistono
+		allora tanti omomorfismi da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$
+		quanti sono gli omomorfismi da $K[x]$ in $\overline{K}$ che
+		annullano $(\mu_\alpha)$. Un omomorfismo $\varphi_i$
+		da $K[x]$ a $\overline{K}$ tale per cui $K$ viene mappato
+		tramite $\varphi$ è completamente determinato da
+		$\beta = \varphi_i(x)$ ed in particolare mappa $p \in K[x]$
+		alla valutazione del polinomio $q$, ottenuto mappando i
+		coefficienti di $p$ tramite $\varphi$, in $\beta$, detto
+		$\varphi(p)(\beta)$. Affinché allora $(\mu_\alpha)$
+		appartenga a $\Ker \varphi$, deve valere $\varphi(\mu_\alpha)(\beta) = 0$, e quindi
+		$\beta$ deve essere una radice di $\varphi(\mu_\alpha)$. 
+		Pertanto gli omomorfismi da $K(\alpha)$ a $\overline{K}$ sono
+		tali per cui $\alpha$ venga mandato nelle radici di
+		$\varphi(\mu_\alpha)$. Questi omomorfismi sono
+		ancora immersioni dal momento che l'unità viene
+		preservata da $\varphi_i$. Dal momento che $\varphi$ è
+		a sua volta un'immersione, $\varphi(\mu_\alpha)$ è
+		irriducibile dacché $\mu_\alpha$ lo è, ed inoltre
+		$\deg \varphi(\mu_\alpha) = \deg \mu_\alpha$. Pertanto,
+		poiché $K$ è un campo perfetto,
+		le radici di $\varphi(\mu_\alpha)$ sono $\deg_K \alpha$,
+		e quindi le estensioni di $\varphi$ sono esattamente
+		$\deg_K \alpha$.
+	\end{proof}
+	
+	A partire da questa proposizione, si può dimostrare un
+	risultato più generale sulle estensioni finite di $K$,
+	come mostra il fondamentale:
+	
+	\begin{theorem}[estensioni di $\varphi$ da $\faktor{L}{K}$ in $\overline{K}$]
+		Sia $[L : K] = n$. Allora per ogni $\varphi : K \mono \overline{K}$ immersione esistono esattamente $n$
+		estensioni $\varphi_i : L \to \overline{K}$ di $\varphi$,
+		ossia tali per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$.	
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Se $n = 1$, la tesi è del tutto ovvia.
+		Si dimostra facilmente il teorema per $n \geq 2$ applicando il principio di induzione ed il teorema precedente.
+		Se $n = 2$, $L$ è un'estensione semplice di $K$ e quindi
+		esiste $\alpha \in L \setminus K$
+		tale per cui $L = K(\alpha)$.
+		La tesi allora segue applicando il teorema precedente. \medskip
+		
+
+		Se $n > 2$, sia $\alpha \in L \setminus K$.
+		Sia $[K(\alpha) : K] = m$. Se
+		$m = n$, allora $L = K(\alpha)$ e la tesi
+		segue ancora applicando il teorema precedente. Se invece
+		$m < n$, sia $[L : K(\alpha)] = d$. Per il teorema precedente
+		esistono esattamente $m$ estensioni $\varphi_i$ di $\varphi$ da $K(\alpha)$ in $K$. Invece, per il teorema delle torri algebriche,
+		$n = md$, e quindi $d < n$. Applicando allora l'ipotesi
+		induttiva, ogni $\varphi_i$ può essere unicamente
+		esteso in $d$ modi da $K(\alpha)$ a $L$. Pertanto esistono
+		solamente $n = md$ estensioni di $\varphi$, concludendo
+		il passo induttivo. 
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/3. Estensioni normali e gruppo di Galois/main.tex

@@ -0,0 +1,258 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Estensioni normali e gruppo di Galois}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi.
+		Se non espressamente detto, si sottintenderà anche
+		che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono
+		estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si
+		intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$
+		come $K$-spazio vettoriale. Per scopi didattici, si
+		considerano solamente campi perfetti, e dunque estensioni che sono sempre separabili, purché
+		non esplicitamente detto diversamente.
+	\end{note} \bigskip
+
+	Si introduce adesso il fondamentale concetto di
+	\textit{estensione normale}, prerequisito per
+	introdurre a sua volta la teoria di Galois.
+	
+	\begin{definition}[estensione normale]
+		Un'estensione algebrica
+		$\faktor{L}{K}$ si dice \textbf{normale}
+		se per ogni $K$-immersione $\varphi : L \to \overline{K}$
+		vale che $\varphi(L) = L$.
+	\end{definition}
+
+	Questa definizione viene immediatamente caratterizzata
+	attraverso i coniugati dei suoi elementi, come mostra
+	la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sono equivalenti i seguenti fatti:
+		
+		\begin{enumerate}[(i)]
+			\item $\faktor{L}{K}$ è un'estensione normale,
+			\item Per ogni $\alpha \in \faktor{L}{K}$, ogni coniugato
+			di $\alpha$ appartiene a $L$,
+			\item $\faktor{L}{K}$ è il campo di spezzamento
+			di una famiglia di polinomi di $K[x]$.
+		\end{enumerate}
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si mostra l'equivalenza delle proprietà:
+
+		\begin{itemize}
+			\item[$(i)\implies (ii)\;$] Sia $\varphi : L
+			\to \overline{K}$ una $K$-immersione di $L$. Allora,
+			poiché $L$ è normale su $K$, $\varphi(L) = L$.
+			Sia $\alpha \in L \setminus K$.
+			Dal momento che $K \subseteq K(\alpha) \subseteq L$,
+			$\restr{\varphi}{K(\alpha)}$ è in particolare
+			una $K$-immersione di $K(\alpha)$, e quindi
+			deve associare ad $\alpha$ un suo coniugato.
+			Dal momento però che $\varphi(\alpha) \in L$,
+			questo significa che ogni coniugato di $\alpha$
+			appartiene ad $L$.
+			
+			\item[$(ii)\implies (iii)\;$] Sia $\mathcal{F}$
+			la famiglia dei polinomi minimi degli elementi
+			di $\faktor{L}{K}$. Si dimostra che
+			$L$ è il campo di spezzamento di $\mathcal{F}$ su
+			$K$. Chiaramente $\mathcal{F} \subseteq L$,
+			dal momento che $L$ contiene una radice per
+			ipotesi di ogni polinomio minimo, e per
+			(ii) contiene tutti i suoi coniugati (e dunque
+			tutte le radici di ogni polinomio della famiglia
+			$\mathcal{F}$). Inoltre vale anche
+			che $L \subseteq \mathcal{F}$, dal momento che
+			ogni elemento di $L$ è radice di un polinomio
+			di $\mathcal{F}$, per costruzione. Pertanto
+			$L = \mathcal{F}$.
+			
+			\item[$(iii)\implies (i)\;$] Sia $\varphi : L
+			\to \overline{K}$ una $K$-immersione di $L$. Sia
+			$\alpha \in L \setminus K$.Dal momento per che $L$
+			è campo di spezzamento di una famiglia $\mathcal{F}$ di polinomi,
+			$L$ è generato dalle radici di $\mathcal{F}$.
+			Per ogni $\alpha$ generatore di $L$, allora,
+			$\varphi$ deve mappare $\alpha$ ad un suo
+			coniugato, ancora appartenente ad $L$ dacché
+			$\mathcal{F}$ è campo di spezzamento. Pertanto
+			$\varphi(\alpha) \in L$. Allora, dal momento
+			che $L$ è generato dalle radici di $\mathcal{F}$,
+			ogni suo elemento viene ancora mappato ad un
+			elemento di $L$, e quindi $\faktor{L}{K}$ è
+			un'estensione normale.
+		\end{itemize}
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}
+		Per esempio, $\faktor{\QQ(\sqrt[3]{2})}{\QQ}$ non
+		è normale, dal momento che $\sqrt[3]{2} \zeta_3$,
+		un coniugato di $\sqrt[3]{2}$, non appartiene
+		a $\QQ(\sqrt[3]{2})$. Al contrario,
+		$\faktor{\QQ(\zeta_3)}{\QQ}$ è normale, dal
+		momento che l'unico coniugato di $\zeta_3$ è
+		$\zeta_3^2$. 
+	\end{remark}
+
+	Dimostriamo inoltre che le estensioni di grado $2$
+	sono sempre normali, come mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $\faktor{L}{K}$ un'estensione di grado $2$.
+		Allora $L$ è normale su $K$, se $\Char K \neq 2$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Chiaramente $L$ è un'estensione algebrica di $K$,
+		essendo finita. Sia\footnote{
+			$L$ è di grado $2$ su $K$, e quindi $K$ deve
+			essere un suo sottinsieme proprio.
+		} allora $\alpha \in L \setminus K$. Dal momento che
+		$\alpha \notin K$, $[K(\alpha) : K] = 2$, e quindi
+		$L = K(\alpha)$. Inoltre $\deg_K \alpha = 2$, pertanto,
+		poiché $\Char K \neq 2$,
+		esiste un polinomio irriducibile
+		$p(x) = x^2 + bx + c$ con $b$, $c \in K$
+		di cui $\alpha$ è radice. In particolare,
+		$\alpha$, $\overline{\alpha} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}$, dove
+		$\overline{\alpha}$ il coniugato di $\alpha$.
+		Allora $\alpha$, $\overline{\alpha} \in K(\sqrt{\Delta})$. Dal momento allora che
+		$L = K(\alpha) = K(\sqrt{\Delta})$, $L$ è
+		campo di spezzamento di $p \in K[x]$, e dunque,
+		per la proposizione precedente, è normale su $K$.
+	\end{proof}
+
+	Infine, si esplora la normalità su un diagramma di
+	estensioni.
+	
+	\begin{proposition}[normalità nel composto e nell'intersezione]
+		Siano $\faktor{L}{K}$ e $\faktor{M}{K}$ estensioni
+		normali. Allora $\faktor{LM}{K}$ e
+		$\faktor{L \cap M}{K}$ sono a loro volta normali.
+		
+		\[\begin{tikzcd}[column sep=small]
+			&& LM \\
+			\\
+			L &&&& M \\
+			\\
+			&& {L \cap M} \\
+			\\
+			&& K
+			\arrow[no head, from=5-3, to=7-3]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=3-5]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=3-1]
+			\arrow[no head, from=3-1, to=5-3]
+			\arrow[no head, from=5-3, to=3-5]
+			\arrow[no head, from=1-3, to=5-3]
+		\end{tikzcd}\]
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Chiaramente $LM$ e $L \cap M$ sono estensioni
+		algebriche di $K$, in quanto sia $L$ che $M$ lo sono.
+		Sia $\varphi : LM \to \overline{K}$ una $K$-immersione
+		di $LM$. Allora $\varphi(LM) = \varphi(L(M)) =
+		L(\varphi(M)) = L(M) = LM$, e quindi $LM$ è normale
+		su $K$. Analogamente, se $\varphi : L \cap M \to \overline{K}$ è una $K$-immersione di $L \cap M$,
+		$\varphi(L \cap M) = \varphi(L) \cap \varphi(M) = L \cap M$, e quindi $L \cap M$ è normale su $K$.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $K \subseteq F \subseteq L$ una torre di campi. Allora
+		$\faktor{L}{K}$ normale $\implies$ $\faktor{L}{F}$
+		normale.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Poiché $L$ è normale su $K$, $L$ è un campo di
+		spezzamento di una famiglia $\mathcal{F}$ di polinomi
+		di $K[x]$. A maggior ragione, allora,
+		$L$ è campo di spezzamento di $\mathcal{F}$ come
+		polinomi di $F[x]$, e quindi è normale anche su $F$.
+	\end{proof} \medskip
+
+	Si può adesso introdurre la teoria di Galois introducendo
+	prima l'insieme $\Aut_K L$ e poi il gruppo $\Gal(\faktor{L}{K})$.
+	
+	\begin{definition}
+		Si definisce l'insieme $\Aut_K L$ come l'insieme
+		delle $K$-immersioni di $L$, ossia delle immersioni
+		$\varphi : L \to \overline{K}$ tali per cui
+		$\restr{\varphi}{K} = \Id_K$.
+	\end{definition}
+
+	Se $L$ è normale su $K$, le immersioni di
+	$\Aut_K L$ possono essere ristrette al codominio su
+	$L$ (infatti $\varphi(L) = L$ per definizione) e sono
+	tali per cui mandano gli elementi di $L$ nei loro
+	coniugati su $K$. Inoltre, se $L$ è un'estensione finita
+	di $K$, la separabilità di $L$ garantisce che\footnote{
+		In generale, se $L$ è un'estensione finita e normale di $K$,
+		$\abs{\Aut_K L} = [L : K]$ se e solo se $L$
+		separabile su $K$.
+	}
+	$\abs{\Aut_K L} = [L : K]$. Pertanto, riducendoci a
+	considerare le estensioni normali e separabili di $K$,
+	ogni immersione, ristretta opportunamente sul codominio,
+	ammette un inverso, e quindi si può considerare
+	$\Aut_K L$ come gruppo sulla composizione, denotato
+	come $\Gal(\faktor{L}{K})$. Tali estensioni sono
+	speciali, e vengono pertanto dette \textit{di Galois}.
+	
+	\begin{definition}[estensioni di Galois]
+		Si dice che $\faktor{L}{K}$ è un'\textbf{estensione
+		di Galois} se $L$ è sia normale che separabile su $K$.
+	\end{definition}
+
+	\begin{definition}[gruppo di Galois di $\faktor{L}{K}$]
+		Si definisce il gruppo di Galois di $\faktor{L}{K}$,
+		denotato come $\Gal(\faktor{L}{K})$, il gruppo
+		rispetto alla composizione
+		delle immersioni di $\Aut_K L$ ristrette sul codominio
+		a $L$.
+	\end{definition}
+
+	La maggior parte dei teoremi della teoria di Galois si
+	fondano particolarmente sul fatto che il gruppo di Galois
+	di un campo di spezzamento di un irriducibile $f$
+	agisce sulle radici di $f$, come mostra la:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $f(x) \in K[x]$ un irriducibile. Allora,
+		se $L$ è il suo campo di spezzamento,
+		$\Gal(\faktor{L}{K})$ agisce fedelmente e transitivamente sulle
+		radici di $L$. Pertanto $\Gal(\faktor{L}{K}) \mono S_n$,
+		dove $n = [L : K] = \deg f(x)$, e quindi
+		$n \mid [L : K] \mid n!$. 
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si consideri l'azione $\Xi : \Gal(\faktor{L}{K}) \to
+		S(\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \})$ tale per cui
+		$\varphi \xmapsto{\Xi} [\alpha_i \mapsto \varphi(\alpha_i)]$, dove\footnote{
+			Si ricorda l'ipotesi di $K$ campo perfetto;
+			pertanto $f(x)$ è separabile.
+		}
+		le $\alpha_i$ sono le radici distinte di $f(x)$.
+		Allora chiaramente $n \mid [L : K]$, dal momento
+		che $[K(\alpha_1) : K] = n$ e $K(\alpha_1) \subseteq L$. \medskip
+		
+		
+		Inoltre $\Xi$ è un'azione fedele dacché $\Ker \Xi$ è banale. Infatti
+		l'unica $K$-immersione che fissa ogni radice è
+		necessariamente
+		l'identità. Allora $\Xi$ è un'immersione di
+		$\Gal(\faktor{L}{K})$ in $S(\{ \alpha_1, \ldots, \alpha_n \}) \cong S_n$, e quindi
+		$[L : K] = \abs{\Gal(\faktor{L}{K})} \mid n!$. Infine, esiste sempre una $K$-immersione di
+		$L$ che mappa un qualsiasi $\alpha_i$ ad un altro
+		$\alpha_j$, purché $i \neq j$. Pertanto $\Gal(\faktor{L}{K})$ agisce transitivamente sulle
+		radici di $f(x)$.
+	\end{proof}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/4. Il teorema dell'elemento primitivo e di corrispondenza di Galois/main.tex

@@ -0,0 +1,354 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il teorema dell'elemento primitivo e di corrispondenza di Galois}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi.
+		Se non espressamente detto, si sottintenderà anche
+		che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono
+		estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si
+		intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$
+		come $K$-spazio vettoriale. Per scopi didattici, si
+		considerano solamente campi perfetti, e dunque estensioni che sono sempre separabili, purché
+		non esplicitamente detto diversamente.
+	\end{note} \bigskip
+
+	Si dimostrano in questo documento i due teoremi più
+	importanti della teoria elementare delle estensioni di campo
+	e di Galois, il \textit{teorema dell'elemento primitivo} ed
+	il \textit{teorema di corrispondenza di Galois}.
+	
+	\begin{theorem}[dell'elemento primitivo]
+		Sia $\faktor{L}{K}$ un'estensione separabile e
+		finita. Allora $\faktor{L}{K}$ è semplice.
+	\end{theorem}
+	
+	\begin{proof}
+		Si distinguono i casi in cui $K$ è un campo finito
+		o infinito.
+		
+		\begin{itemize}
+			\item[($K$ finito)\;] Poiché $K$ è finito e
+			$L$ è un'estensione finita su $K$, a sua volta
+			$L$ è un campo finito. Pertanto $L^*$ è un
+			sottogruppo moltiplicativo finito di un campo, ed
+			è pertant ciclico. Se $\alpha \in L^*$ è allora
+			un generatore di $L^*$, vale che $L$ è uguale a
+			$K(\alpha)$. Pertanto $\faktor{L}{K}$ è un'estensione
+			semplice.
+
+			\item[($K$ infinito)\;] 
+			Si fornisce una dimostrazione costruttiva del
+			teorema, che permette di trovare algoritmicamente
+			un elemento primitivo per $L$.
+			Poiché $L$ è un'estensione
+			finita di $K$, $L$ è finitamente generato da
+			elementi algebrici su $K$. \medskip
+			
+			
+			Sia allora
+			$L = K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$, dove
+			$\{ \alpha_i \}$ è una base di
+			$\faktor{L}{K}$ come $K$-spazio. È sufficiente
+			che $K(\alpha_1, \alpha_2)$ sia semplice affinché
+			anche $L$ lo sia. Infatti
+			si dimostrerebbe che $K(\alpha_1, \alpha_2) =
+			K(\gamma)$ per qualche $\gamma \in K(\alpha_1, \alpha_2)$,
+			e quindi $K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) =
+			K(\gamma, \alpha_3, \ldots, \alpha_n)$. Reiterando
+			allora il processo su $K(\gamma, \alpha_3)$ si
+			troverà un elemento primitivo, e così, induttivamente,
+			si dimostra che in particolare $L$ è semplice. Se
+			invece $n = 1$, la tesi è ovvia. \medskip
+			
+			
+			Sia allora, senza perdita di generalità, $L = K(\alpha, \beta)$. Sia $[L : K] = n$. Allora, poiché $L$
+			è un'estensione separabile su $K$, esistono
+			esattamente $n$ distinte $K$-immersioni di $L$,
+			dette $\varphi_i$.
+			Si definisca allora $p(x) \in \overline{K}[x]$ tale per cui:
+			\[ p(x) = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x \varphi_i(\alpha) + \varphi_i(\beta) - x \varphi_j(\alpha) - \varphi_j(\beta)). \]
+			Si dimostra che $p(x)$ non è nullo. Infatti,
+			se lo fosse, almeno uno dei fattori della produttoria
+			dovrebbe essere nullo. In tal caso si avrebbe
+			$\varphi_i(\alpha) = \varphi_j(\alpha)$ e
+			$\varphi_i(\beta) = \varphi_j(\beta)$, e dunque
+			$\varphi_i \equiv \varphi_j$, benché $i \neq j$,
+			\Lightning. Allora $\deg p = \binom{n}{2} > 0$.
+			Dal momento che $K$ è infinito, esiste\footnote{
+				A livello algoritmico è sufficiente valutare
+				$p(x)$ in al più $n+1$ valori distinti in $K$
+				per ottenere un $x$ funzionale per la tesi.
+			} $t \in K$
+			tale per cui $p(t) \neq 0$. \medskip
+			
+			
+			Detto $\gamma = \alpha t + \beta$, $\gamma$
+			ha esattamente $n$ coniugati. Infatti
+			$\varphi_i(\gamma) \neq \varphi_j(\gamma)$ $\forall i < j$, altrimenti $\gamma$ annullerebbe $p(x)$. Pertanto
+			$[K(\gamma) : K] = n = [K(\alpha, \beta) : K]$,
+			da cui $K(\alpha, \beta) = K(\gamma)$, ossia la tesi.
+		\end{itemize}
+	\end{proof} \medskip
+
+
+	Si illustrano adesso i prerequisiti per dimostrare
+	il Teorema di corrispondenza di Galois:
+	
+	\begin{definition}
+		Sia $\faktor{L}{K}$ un'estensione di Galois. Allora,
+		se $H \leq \Gal(\faktor{L}{K})$, si definisce
+		$L^H = \Fix(H)$ come la sottoestensione di $L$ su
+		$K$ degli elementi fissati da ogni $\varphi \in H$,
+		ossia:
+		\[ L^H = \{ \alpha \in L \mid \varphi(\alpha) = \alpha \, \forall \varphi \in H \}. \]
+	\end{definition}
+
+	\begin{nlemma}
+		Sia $\faktor{L}{K}$ un'estensione di Galois. Allora,
+		se $H \leq \Gal(\faktor{L}{K})$ vale che:
+		\[ L^H = K \iff H = \Gal(\faktor{L}{K}). \]
+	\end{nlemma}
+
+	\begin{proof}
+		Sia $H = \Gal(\faktor{L}{K})$. Allora sicuramente
+		$K \subseteq L^H$. Si mostra che non può valere
+		$K \subsetneq L^H$. Se infatti $K \subsetneq L^H$,
+		varrebbe che $[L^H : K] > 1$, e quindi esisterebbe
+		una $K$-immersione non banale di $L^H$, detta
+		$\varphi : L^H \to \overline{K}$. In particolare
+		$\varphi$ può estendersi a una $K$-immersione di
+		$L$, detta $\tilde{\varphi}$. In particolare
+		$\tilde{\varphi} \in \Gal(\faktor{L}{K})$, e
+		quindi $\tilde{\varphi}$ deve fissare $L^H$ per
+		ipotesi. Tuttavia $\tilde{\varphi}$ ristretta
+		a $L^H$ non fissa $L^H$ per ipotesi, \Lightning.
+		Pertanto $L^H = K$. \medskip
+		
+		
+		Sia adesso $L^H = K$. Per il Teorema dell'elemento
+		primitivo, $\exists \alpha \in L^H$ tale per cui
+		$L = K(\alpha)$. Si consideri allora il
+		polinomio $p$ a coefficienti in $\overline{K}$ tale
+		per cui:
+		\[ p(x) = \prod_{\varphi \in H} (x - \varphi(\alpha)). \]
+		Poiché l'identità di $\Gal(\faktor{L}{K})$ appartiene
+		ad $H$, $(x-\alpha) \mid p(x)$, e quindi
+		$p(\alpha) = 0$. Inoltre $p$ è in realtà un polinomio
+		a coefficienti in $L^H$. Se infatti $\rho \in H$,
+		\[ \rho(p(x)) = \prod_{\varphi \in H} (x - \rho(\varphi(\alpha))) = p(x), \]
+		dove l'uguaglianza è dovuta al fatto\footnote{
+			In particolare è stato applicato l'\textit{embedding} di Cayley su $H$
+			attraverso l'elemento $\rho \in H$, e
+			quest'azione si è rivelata essere transitiva.
+		} che le
+		mappe $\{ \rho \circ \varphi \}$ sono esattamente le
+		mappe $\{ \varphi \}$. Pertanto $\abs{\Gal(\faktor{L}{K})} = [L : K] =
+		[K(\alpha) : K] \leq \deg p(x) = \abs{H}$ dal
+		momento che $\alpha$ è radice di $p(x)$. Dal momento
+		che vale anche che $\abs{\Gal(\faktor{L}{K})} \geq \abs{H}$, allora
+		$H = \Gal(\faktor{L}{K})$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{proposition}
+		Sia $\sigma \in \Gal{\faktor{L}{K}}$. Allora,
+		se $H \leq \faktor{L}{K}$, vale che
+		$\sigma(L^H) = L^{\sigma H \sigma\inv}$.
+	\end{proposition}
+
+	\begin{proof}
+		Si osserva che:
+		\[ \sigma(L^H) = \{ \sigma(\alpha) \mid \alpha \in L, \, \varphi(\alpha) = \alpha \, \forall \varphi \in H \} = \{ \beta \in L \mid \varphi(\sigma\inv(\beta)) = \sigma\inv(\beta) \, \forall \varphi \in H \}, \]
+		dove si è sfruttato in modo cruciale il fatto che $\varphi \in H$ è bigettiva. Si
+		conclude allora che:
+		\[ \varphi(L^H) = \{ \beta \in L \mid \sigma(\varphi(\sigma\inv(\beta))) = \beta \, \forall \varphi \in H \} = L^{\sigma H \sigma\inv}. \]
+	\end{proof}
+
+	Si può adesso dimostrare il Teorema di corrispondenza di
+	Galois:
+	
+	\begin{theorem}[di corrispondenza di Galois]
+		Sia $\mathcal{E}$ l'insieme delle sottoestensioni
+		di $\faktor{L}{K}$ estensione di Galois. Sia
+		$\mathcal{G}$ l'insieme dei sottogruppi di
+		$\Gal(\faktor{L}{K})$. Allora $\mathcal{E}$ è
+		in bigezione con $\mathcal{G}$ attraverso
+		la mappa $\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{G}$
+		tale per cui:
+		\[ F \xmapsto{\alpha} \Gal(\faktor{L}{F}) \leq
+			\Gal(\faktor{L}{K}), \]
+		la cui inversa $\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{E}$
+		è tale per cui:
+		\[ H \xmapsto{\beta} L^H \subseteq L. \]
+		Inoltre, una sottoestensione $\faktor{F}{K}$ di
+		$\faktor{L}{K}$ è normale su $K$ se e solo se
+		il corrispondente sottogruppo di $\Gal(\faktor{L}{K})$
+		è normale. Infine, se $\faktor{F}{K}$ è normale,
+		$F$ è in particolare di Galois\footnote{
+			Si ricorda che si considera $K$ un campo perfetto.
+		} e vale che:
+		\[ \Gal(\faktor{F}{K}) \cong \faktor{\Gal(\faktor{L}{K})}{\Gal(\faktor{L}{F})}. \]
+	\end{theorem}
+
+	\begin{proof}
+		Le mappe $\alpha$ e $\beta$ sono ovviamente ben definite. Si mostra direttamente che sono l'una
+		l'inversa dell'altra. Sia $H \leq \Gal(\faktor{L}{K})$.
+		Si osserva che:
+		\[ \alpha(\beta(H)) = \alpha(L^H) = \Gal(\faktor{L}{L^H}). \]
+		Sia $L^H = M$. Se si pone $K = \Gal(\faktor{L}{L^H})$, vale chiaramente che $H \leq K$ dal momento che $H$
+		fissa per definizione tutti gli elementi di 
+		$L^H$. Dacché allora $L^H = M$, per il lemma precedente
+		$H = K$, e quindi $\alpha(\beta(H)) = H$. \medskip
+		
+		
+		Analogamente si osserva che per $K \subseteq F \subseteq K$ vale che:
+		\[ \beta(\alpha(F)) = \beta(\Gal(\faktor{L}{F})) =
+			L^{\Gal(\faktor{L}{F})}. \]
+		Pertanto, detto $H = \Gal(\faktor{L}{F})$,
+		per il lemma precedente vale che $L^H = F$,
+		e quindi $\beta(\alpha(F)) = F$, dimostrando
+		la prima parte del teorema. \medskip
+		
+		
+		Sia ora $\faktor{F}{K}$ una sottoestensione normale
+		di $\faktor{L}{K}$. Allora, se $\varphi \in \Gal(\faktor{L}{F})$ e $\sigma \in \Gal(\faktor{L}{K})$,
+		$\tau = \sigma \circ \varphi \circ \sigma\inv$ è ancora
+		un elemento di $\faktor{L}{K}$. Pertanto,
+		$\tau$ si può restringere ad una $K$-immersione di $F$.
+		Poiché allora $F$ è normale su $K$, $\tau(F) = F$, e
+		quindi $\tau \in \Gal(\faktor{L}{F})$, e dunque
+		$\Gal(\faktor{L}{F}) \nsgeq \Gal(\faktor{L}{K})$. \medskip
+		
+		
+		Sia adesso $\Gal(\faktor{L}{F}) \nsgeq \Gal(\faktor{L}{K})$. Sia $\varphi$ una $K$-immersione
+		di $F$ su $\overline{K}$. Allora $\varphi$ può essere
+		estesa ad un elemento $\tilde{\varphi} \in \Gal(\faktor{L}{K})$. In particolare,
+		se $H = \Gal(\faktor{L}{F})$, $\varphi(F) =
+		\tilde{\varphi}(F) = L^{\varphi H \varphi\inv} = L^H = F$, dove si è sfruttata la normalità di $H$ in
+		$\Gal(\faktor{L}{K})$. Pertanto $F$ è normale su $K$,
+		e dunque, in quanto separabile per ipotesi, di Galois. \medskip
+		
+		
+		Si consideri adesso l'omomorfismo $\tau : \Gal(\faktor{L}{K}) \to \Gal(\faktor{F}{K})$ dato
+		dalla restrizione delle immersioni di $\Gal(\faktor{L}{K})$ su $F$. Chiaramente $\tau$
+		è una mappa surgettiva, dal momento che ogni $K$-immersione di $\Gal(\faktor{F}{K})$ può estendersi
+		a $K$-immersione di $\Gal(\faktor{L}{K})$. Inoltre
+		vale che $\Ker \tau$ è esattamente il sottogruppo
+		di $\Gal(\faktor{L}{K})$ che fissa $F$, ossia
+		$\Gal(\faktor{L}{F})$. Applicando allora il Primo
+		teorema di isomorfismo vale che:
+		\[ \Gal(\faktor{F}{K}) \cong \faktor{\Gal(\faktor{L}{K})}{\Gal(\faktor{L}{F})}, \]
+		da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{example}[studio dei sottocampi di $\QQ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) \quot \QQ$]
+		Dal momento che $L := \QQ(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ è
+		il campo di spezzamento dei polinomi $x^2 - 2$
+		e $x^2 - 3$, tale estensione è normale su $\QQ$,
+		e quindi di Galois. Inoltre, dal momento che
+		$\sqrt{3} \notin \QQ(\sqrt{2})$,
+		$[L : \QQ] = 2 \cdot 2 = 4$, dal Teorema delle
+		torri algebriche. Pertanto $\Gal(\faktor{L}{\QQ})$
+		è un gruppo di ordine $4$. \medskip
+		
+		
+		Si definisce $\varphi_{ij}$ con $i$, $j \in \{0, 1\}$
+		come le $\QQ$-immersioni di $L$
+		tali per cui $\sqrt{2} \xmapsto{\varphi_{ij}} (-1)^i \sqrt{2}$ e analogamente $\sqrt{3} \xmapsto{\varphi_{ij}} (-1)^j \sqrt{3}$. Dal momento
+		che le varie $\varphi_{ij}$ sono distinte,
+		che ogni $\varphi_{ij}$ ha ordine $2$ e che ogni
+		gruppo di ordine $4$ è abeliano (o, più semplicemente,
+		le varie $\varphi_{ij}$ commutano tra loro),
+		vale che $\Gal(\faktor{L}{\QQ}) \cong \ZZmod2 \times \ZZmod2$. \medskip
+		
+		
+		Ogni sottoestensione di $L$ ha
+		grado su $\QQ$ divisore di $[L : \QQ]$, e quindi
+		ha grado $1$, $2$ o $4$. Se il grado è $4$,
+		la sottoestensione considerata è proprio $L$, mentre
+		se il grado è $1$ la sottoestensione è $\QQ$ stesso.
+		Si studiano ora le sottoestensioni di grado $2$.
+		Tali sottoestensioni corrispondono ai sottogruppi
+		di $\Gal(\faktor{L}{\QQ})$ di ordine $4/2 = 2$. Inoltre,
+		a priori, essendo $\Gal(\faktor{L}{\QQ})$ abeliano, tutte
+		le sottoestensioni sono normali su $\QQ$. \medskip
+		
+		
+		Ogni sottogruppo di ordine $2$ è ciclico e generato
+		da elementi di ordine $2$, e quindi, mantenendo
+		la corrispondenza con $\ZZmod2 \times \ZZmod2$,
+		da $(1,0)$, $(0,1)$ o $(1,1)$. Pertanto esistono
+		esattamente $3$ sottoestensioni distinte di grado $2$
+		su $\QQ$. \medskip
+		
+		
+		In particolare queste sottoestensioni corrispondono
+		ai sottocampi di $L$ fissati da $\varphi_{10}$,
+		$\varphi_{01}$ e $\varphi_{11}$, ossia
+		$\QQ(\sqrt{3})$, $\QQ(\sqrt{2})$ e $\QQ(\sqrt{6})$. \medskip
+		
+		
+		Inoltre $\alpha := \sqrt{2} + \sqrt{3}$ è un elemento primitivo
+		di $L$, dal momento che non può appartenere né a
+		$\QQ(\sqrt{3})$ né a $\QQ(\sqrt{2})$ (altrimenti
+		tali sottoestensioni coinciderebbero con $L$, \Lightning), e così nemmeno a $\QQ(\sqrt{6})$ (altrimenti $\alpha$ si scriverebbe
+		come combinazione lineare di $1$ e $\sqrt{6}$,
+		\Lightning). Alternativamente $\alpha$
+		ha esattamente $4$ coniugati tramite
+		le varie\footnote{
+			Tali $4$ coniugati sono distinti dal momento
+			che $\{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\}$ è
+			una base di $L$ come $\QQ$-spazio.
+		} $\varphi_{ij}$, e quindi ha grado $4$ su
+		$\QQ$. In particolare vale che:
+		\[ \mu_\alpha(x) = \prod_{i=0}^1 \prod_{j=0}^1 (x + (-1)^i \sqrt{2} + (-1)^j \sqrt{3}) = x^4 - 10x^2 + 1. \]
+		
+		In modo analogo si ottengono i polinomi minimi
+		di $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ su $\QQ(\sqrt2)$,
+		$\QQ(\sqrt3)$ e $\QQ(\sqrt6)$, rispettivamente
+		$x^2-2\sqrt{2}x-1 = (x-\sqrt{2})^2 - 3$,
+		$x^2-2\sqrt{3}x-1 = (x-\sqrt{3})^2 - 2$ e
+		$x^2-(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = x^2 - 2\sqrt{6} - 5$.
+		Tutte le informazioni sono infine raccolte nel seguente
+		diagramma di estensioni:
+		\[\begin{tikzcd}[column sep=2.25em]
+			&& {\overbrace{\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})}^{\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt3)}} \\
+			\\
+			{\mathbb{Q}(\sqrt{2})} && {\mathbb{Q}(\sqrt6)} && {\mathbb{Q}(\sqrt3)} \\
+			\\
+			&& {\mathbb{Q}}
+			\arrow["2"{pos=0.3}, no head, from=1-3, to=3-1]
+			\arrow["2"', no head, from=1-3, to=3-3]
+			\arrow["2"', no head, from=1-3, to=3-5]
+			\arrow["2"', no head, from=3-3, to=5-3]
+			\arrow["2"{description}, no head, from=3-5, to=5-3]
+			\arrow["2"{description}, no head, from=3-1, to=5-3]
+			\arrow["{\small x^4 - 10x^2 + 1}", curve={height=-24pt}, no head, from=1-3, to=5-3]
+			\arrow["{x^2-3}", curve={height=-12pt}, no head, from=3-5, to=5-3]
+			\arrow["{x^2-2}"', curve={height=12pt}, no head, from=3-1, to=5-3]
+			\arrow["{x^2-6}"'{pos=0.3}, shift left, curve={height=12pt}, no head, from=3-3, to=5-3]
+			\arrow["{x^2-2\sqrt3\,x+1}", curve={height=-18pt}, no head, from=1-3, to=3-5]
+			\arrow["{x^2-2\sqrt2\,x-1}"', curve={height=18pt}, no head, from=1-3, to=3-1]
+			\arrow["{\small x^2-2\sqrt6-5}"'{pos=0.8}, curve={height=12pt}, no head, from=1-3, to=3-3]
+		\end{tikzcd}\]
+		Tramite la corrispondenza di Galois abbiamo fatto
+		corrispondere questo diagramma al seguente diagramma
+		di gruppi:
+		\[\begin{tikzcd}
+			& {\{ \text{Id}_L \equiv \varphi_{00} \}} \\
+			\\
+			{\{ \varphi_{00}, \varphi_{01} \}} & {\{ \varphi_{00}, \varphi_{11} \}} & {\{\varphi_{00}, \varphi_{10}\}} \\
+			\\
+			& {\{\varphi_{01}, \varphi_{10}, \varphi_{01}, \varphi_{11}\}}
+			\arrow[no head, from=1-2, to=3-2]
+			\arrow[no head, from=1-2, to=3-1]
+			\arrow[no head, from=1-2, to=3-3]
+			\arrow[no head, from=3-2, to=5-2]
+			\arrow[no head, from=3-3, to=5-2]
+			\arrow[no head, from=3-1, to=5-2]
+		\end{tikzcd}\]
+	\end{example}
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/5. Il discriminante polinomiale e la formula di Cardano/main.tex

@@ -0,0 +1,194 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{notes_2023}
+
+\begin{document}
+	\title{Il discriminante polinomiale e la formula di Cardano}
+	\maketitle
+	
+	\begin{note}
+		Per $K$, $L$ ed $F$ si intenderanno sempre dei campi.
+		Se non espressamente detto, si sottintenderà anche
+		che $K \subseteq L$, $F$, e che $L$ ed $F$ sono
+		estensioni costruite su $K$. Per $[L : K]$ si
+		intenderà $\dim_K L$, ossia la dimensione di $L$
+		come $K$-spazio vettoriale. Per scopi didattici, si
+		considerano solamente campi perfetti, e dunque estensioni che sono sempre separabili, purché
+		non esplicitamente detto diversamente.
+	\end{note} \bigskip
+	
+	In questo documento si illustra il \textit{discriminante polinomiale} e
+	le sue principali applicazioni nella teoria di Galois.
+	
+	\begin{definition}[discriminante polinomiale]
+		Sia $p \in K[x]$. Se $\deg p = n$ e $a_1$, ..., $a_n \in \overline{K}$ sono le radici
+		di $p$, si definisce il \textbf{discriminante polinomiale} $\disc p$ in modo
+		tale che:
+		\[ \disc p = \prod_{i < j} (a_i - a_j)^2 \in K[a_1, \ldots, a_n]. \]
+	\end{definition}
+	
+	\begin{remark}[radici multiple di $p$ e formule di Viète]
+		Si verifica facilmente che $p$ ha radice multiple se e solo se $\disc p = 0$.
+		Altrettanto semplicemente si verifica che $\disc p$ è un polinomio simmetrico
+		in $a_1$, ..., $a_n$. Pertanto, per il Teorema fondamentale dei polinomi simmetrici,
+		$\disc p$ può esprimersi\footnote{
+			Un algoritmo per calcolare efficacemente un'espressione di $\disc p$ in
+			questo senso è reperibile su \url{https://git.phc.dm.unipi.it/g.videtta/scritti/src/branch/main/Algebra/Notebook/1.\%20Algoritmo\%20di\%20rappresentazione\%20dei\%20polinomi\%20simmetrici}.
+		} come elemento di $K[e_1, \ldots, e_n]$,
+		dove $e_i := e_i(a_1, \ldots, a_n)$ è il polinomio simmetrico elementare
+		negli $a_i$. Per le formule di Viète, i vari $e_i$ possono esprimersi tramite
+		i coefficienti $c_i$ di $p(x)$ secondo la seguente relazione:
+		\[ c_i = (-1)^{n-i} a e_{n-i}, \]
+		dove si pone $e_0 := 1$. Inoltre, l'annullamento di $\disc p$ è indipendente
+		dal coefficiente di testa del polinomio, dal momento che polinomi associati
+		condividono le stesse radici. \medskip
+		
+
+		Per esempio, per $n = 2$, se $p(x) = a x^2 + b x + c$ con $a \neq 0$, vale
+		che:
+		\[ \disc p(x) = \prod_{i < j} (a_i - a_j)^2 = a_1^2 + a_2^2 - 2 a_i a_j = (a_1 + a_2)^2 - 4 a_i a_j = e_1^2 - 4 e_2, \]
+		e dunque, poiché $b = c_1 = (-1)^{2-1} a e_{2-1} = - a e_1$ e
+		$c = c_0 = (-1)^2 a e_2 = a e_2$, vale che\footnote{
+			In generale, compare sempre un termine $a^{2n-2}$ al denominatore
+			di $\disc p(x)$. Pertanto, in letteratura si definisce $\disc p(x)$
+			anche come il prodotto tra $a^{2n-2}$ e il discriminante qui definito.
+			In tal caso, il discriminante di un polinomio di secondo grado è
+			esattamente $\Delta$. 
+		}:
+		\[ \disc p(x) = \left( -\frac{b}a \right)^2 - 4 \frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - 4 \frac{ac}{a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2}, \]
+		dove $\Delta$ è l'usuale discriminante delle equazioni di secondo grado. Pertanto,
+		poiché\footnote{
+			Per quanto detto prima, $a$ non svolge alcun ruolo nel determinare se $p$
+			ha radici multiple.
+		} $a \neq 0$, $p$ ha radici multiple se e solo se $\disc p = 0$, e quindi
+		se e solo se $\Delta = 0$.
+	\end{remark}
+	
+	\begin{remark}[utilizzo della matrice di Vandermonde]
+		Un'espressione di $\disc p$ può anche essere calcolata attraverso le matrici
+		di Vandermonde. Infatti, se $M$ è la matrice di Vandermonde di $a_1$, ..., $a_n$
+		radici di $p$, vale che:
+		\[ M = \Matrix{1 & a_1 & a_1^2 & \cdots & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & a_2^2 & \cdots & a_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & a_n & a_n^2 & \cdots & a_n^{n-1}}, \]
+		e quindi:
+		\[ \det(M) = \prod_{i < j} (a_i - a_j). \]
+		Pertanto vale che:
+		\[ \det(M^2) = \det(M M^T) = \prod_{i < j} (a_i - a_j)^2 = \disc p(x). \]
+	\end{remark}
+	
+	\begin{remark}[invarianza di $\disc p$ e trasformazione di Tschirnhaus]
+		Si osserva facilmente che $\disc p$ è invariante per traslazioni. Infatti,
+		se si considera $p(x+a)$ con $a \in K$ e $a_1$, ..., $a_n \in \overline{K}$ sono
+		radici di $p(x)$, le radici di $p(x+a)$ sono $a_1 - a$, ..., $a_n - a$. Pertanto
+		vale che:
+		\[ \disc p(x+a) = \prod_{i<j} (a_1 - a - a_2 + a)^2 = \prod_{i<j} (a_1 - a_2)^2 = \disc p(x). \]
+		Sia ora $p(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \ldots + c_1 x + c_0$. Dalle formule
+		di Viète, se $a_1$, ..., $a_n$ sono le radici di $p(x)$, vale che:
+		\[ c_{n-1} = -c_n (a_1 + \ldots + a_n) \implies \left(a_1 + \frac{c_{n-1}}{n c_n}\right) + \ldots +  \left(a_n + \frac{c_{n-1}}{n c_n}\right) = 0. \]
+		Si può allora considerare la \textit{trasformazione di Tschirnhaus} $\tau : K[x] \to K[x]$ tale per cui $p(x) \xmapsto{\tau} p(x +  \frac{c_{n-1}}{n c_n})$,
+		$\tau(p)$ ha come radici esattamente i vari $a_i + \frac{c_{n-1}}{n c_n}$, e
+		quindi, sempre per le formule di Viète, è tale per cui il coefficiente di $x^{n-1}$
+		è nullo. Dal momento che $\disc p$ è invariante per traslazione,
+		calcolare $\disc \tau(p)$ può risultare più semplice e dunque più efficiente.
+		In letteratura, applicare la trasformazione di Tschirnhaus su un polinomio
+		si dice ``deprimerlo'', e un polinomio tale per cui $c_{n-1} = 0$ è
+		detto \textit{polinomio depresso}. Si osserva facilmente che deprimere un
+		polinomio depresso non ha alcun effetto e la mappa restituisce il polinomio
+		depresso di partenza. In particolare vale che $\tau^2 = \tau$.
+	\end{remark}
+
+	\begin{remark}
+		Sia $p \in K[x]$ di grado $n$ e siano $a_1$, \ldots, $a_n$ le sue radici.
+		Se allora $\sigma \in S(\{a_1, \ldots, a_n\})$, vale che:
+		\[ \prod_{i < j} (\sigma(a_i) - \sigma(a_j)) = \prod_{i < j} \frac{\sigma(a_i) - \sigma(a_j)}{a_i - a_j} \prod_{i < j} (a_i - a_j) = \sgn(\sigma) \prod_{i < j} (a_i - a_j),  \]
+		dove si identifica tale segno come $\sgn(\varphi(\sigma))$, dove
+		$\varphi$ è l'azione di del gruppo di Galois di $p$ sulle radici di $p$.
+		Pertanto, se $p$ è irriducibile e separabile, e $\sigma \in G := \Gal(L / K)$ dove
+		$L = K(a_1, \ldots, a_n)$, vale che:
+		\[ \sigma(\disc p) = \disc p, \]
+		e quindi $\disc p \in L^G = K$.
+	\end{remark}
+	
+	L'utilità del discriminante polinomiale per la teoria di Galois è sancita dalla
+	seguente proposizione:
+	
+	\begin{proposition}
+		Sia $p$ un polinomio irriducibile e separabile di grado $n$. Allora, se $L$ è il suo
+		campo di spezzamento su $K$, $\Gal\left(\faktor{L}{K}\right) \mono A_n$ se e
+		solo se $\disc p$ è un quadrato\footnote{
+			Questa proposizione è ancora vera utilizzando il discriminante moltiplicato
+			per $a^{2n-2}$, e quindi vale ancora per la definizione alternativa di
+			discriminante.
+		} in $K$.
+	\end{proposition}
+	
+	\begin{proof}
+		Sia $G := \Gal\left(\faktor{L}{K}\right)$ e sia $\sigma \in G$. Allora $G \mono A_n$ se e solo se
+		$\sgn(\sigma) = 1$. Si consideri la seguente identità:
+		\[ \sigma\left(\prod_{i < j} (a_i - a_j)\right) =  \sgn(\sigma) \prod_{i < j} (a_i - a_j). \]
+		Poiché gli elementi fissati da tutte le $\sigma \in G$ sono esattamente gli
+		elementi di $K$, se $G \mono A_n$, $\sgn(\sigma)$ è $1$, e quindi
+		$\left(\prod_{i < j} (a_i - a_j)\right) \in K$. Pertanto, $\disc p$ è un
+		quadrato in $K$, essendo $\left(\prod_{i < j} (a_i - a_j)\right)$ una sua
+		radice quadrata. Analogamente, se $\disc p$ è un quadrato in $K$,
+		$\left(\prod_{i < j} (a_i - a_j)\right) \in K$, e quindi
+		$\sgn(\sigma) = 1$, da cui la tesi.
+	\end{proof}
+
+	\begin{remark}[discriminanti polinomiali per $n \leq 3$]
+		Si illustrano i discriminanti polinomiali per alcune specie di polinomio:
+		\begin{itemize}
+			\item se $p(x) = x-a$, $\disc p(x) = 1$, essendo il prodotto vuoto;
+			\item se $p(x) = ax^2 + bx + c$, $\disc p = \frac{\Delta}{a^2}$;
+			\item se $p(x) = x^3 + px + q$, $\disc p = -4p^3 - 27 q^2$.
+		\end{itemize}
+	\end{remark}
+
+	\begin{remark}[classificazione dei gruppi di Galois per $\deg p = 3$]
+		Sia $p \in K[x]$ un polinomio di grado $3$ irriducibile e separabile. Sia
+		$L$ il campo di spezzamento di $p$ su $K$ e $G := \Gal\left(\faktor{L}{K}\right)$. Si osserva che $3$ divide $\abs{G}$ dal momento che, se $\alpha$ è una radice di $p$,
+		$[K(\alpha) : K] = 3 \mid [L : K] = \abs{G}$. Allora,
+		se $\disc p$ è un quadrato in $K$, $G \mono A_3$, e dunque, per cardinalità,
+		$G \cong A_3$. Se invece $\disc p$ non è quadrato in $K$, $G$ ha
+		cardinalità $6$, e dunque
+		$G$ è obbligatoriamente isomorfo a $S_3$ stesso. \medskip
+		
+		
+		Pertanto vale che:
+		\[  \Gal\left(\faktor{L}{K}\right) \cong \begin{cases}
+			A_3 & \se \disc p \text{ è quadrato in $K$}, \\
+			S_3 & \altrimenti.
+		\end{cases} \]
+	\end{remark} \bigskip
+	
+	
+	Si illustra adesso il metodo risolutivo delle equazioni di terzo grado,
+	tramite la cosiddetta \textit{formula di Cardano}. Innanzitutto, si
+	assume che $p(x)$ sia un polinomio \textit{depresso} di terzo grado
+	della forma $x^3 + px + q$ (altrimenti è sufficiente applicare la
+	trasformazione di Tschirnhaus a $p(x)$, ricavare le soluzioni e poi
+	tornare indietro). \medskip
+	
+	
+	Sia $x = u + v$. Allora $p(u + v) = u^3 + v^3 + 3 u^2 v + 3 u v^2 + p(u + v) + q =
+	(u^3 + v^3 + q) + (3uv + p)(u + v)$. Si pone allora il seguente sistema di
+	equazioni:
+	\[ \begin{cases}
+		u^3 + v^3 = -q, \\
+		uv = -\frac{p}{3} \implies u^3 v^3 = - \frac{p^3}{27}.
+	\end{cases} \]
+	Infatti, se il precedente sistema ammette soluzione, $p(x) = p(u + v)$ si annulla e
+	$u + v$ è soluzione. \medskip
+	
+	
+	Dal momento che abbiamo sia la somma che il prodotto di $u^3$ e $v^3$, è possibile
+	ricavare queste due quantità risolvendo l'equazione di secondo grado
+	associata:
+	\[ 0 = y^2 - (u^3 + v^3) y + u^3 v^3 = y^2 + q y - \frac{p^3}{27}. \]
+	Una volta ottenuti sia $u^3$ che $v^3$, prendendone la radice cubica, si
+	otterrà dunque una radice di $p(x)$. In particolare varrà che:
+	\[ y_{1,2} = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2} = -\frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}, \]
+	e quindi:
+	\[ x = u + v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}. \]
+	Le altre due soluzioni di $p(x)$ si possono poi computare facilmente riducendosi
+	a considerare il polinomio $p(x) / (x-\alpha)$, dove $\alpha$ è la soluzione
+	ottenuta.
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois/Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois/main.tex

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+\title{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}
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+	\begin{center}
+		\Large{\textbf{Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}} \\
+	\end{center}
+	\begin{multicols}{3}
+		\setlength{\premulticols}{1pt}
+		\setlength{\postmulticols}{1pt}
+		\setlength{\multicolsep}{1pt}
+		\setlength{\columnsep}{2pt}
+		
+		\section{Campi e omomorfismi}
+		
+		Si dice \textbf{campo} un anello commutativo non banale
+		$K$ che è
+		contemporaneamente anche un corpo. Si dice
+		\textbf{omomorfismo di campo} tra due campi $K$ ed $L$
+		un omomorfismo di anelli. Dal momento che un omomorfismo
+		$\varphi$ è tale per cui $\Ker \varphi$ è un ideale
+		di $K$ con $1 \notin \Ker \varphi$, deve per forza
+		valere $\Ker \varphi = \{0\}$, e quindi ogni omomorfismo
+		di campi è un'immersione. \medskip
+		
+		
+		\section{Caratteristica di un campo}
+		
+		Dato l'omomorfismo $\zeta : \ZZ \to K$ completamente
+		determinato dalla relazione $1 \xmapsto{\zeta} 1_K$,
+		si definisce \textbf{caratteristica di $K$}, detta
+		$\Char K$, il
+		generatore non negativo di $\Ker \zeta$. In particolare
+		$\Char K$ è $0$ o un numero primo. Se $\Char K$ è zero,
+		$\zeta$ è un'immersione, e quindi $K$ è un campo infinito,
+		e in particolare vi si immerge anche $\QQ$. \medskip
+		
+		
+		Tuttavia non è detto che $\Char K = p$ implichi che $K$ è
+		finito. In particolare $\ZZ_p(x)$, il campo delle funzioni
+		razionali a coefficienti in $\ZZ_p$, è un campo infinito
+		a caratteristica $p$.
+		
+		
+		\subsection{Proprietà dei campi a caratteristica $p$}
+		
+		Se $\Char K = p$, per il Primo
+		teorema di isomorfismo per anelli, $\ZZmod{p}$ si immerge
+		su $K$ tramite la proiezione di $\zeta$; pertanto
+		$K$ contiene una copia isomorfa di $\ZZmod{p}$. Per
+		campi di caratteristica $p$, vale il Teorema del
+		binomio ingenuo, ossia:
+		\[ (a + b)^p = a^p + b^p, \]
+		estendibile anche a più addendi.
+		In particolare, per un campo $K$ di caratteristica $p$,
+		la mappa $\Frob : K \to K$ tale per cui $a \xmapsto{\Frob} a^p$
+		è un omomorfismo di campi, ed in particolare è un'immersione
+		di $K$ in $K$, detta \textbf{endomorfismo di Frobenius}. Se $K$ è un campo finito, $\Frob$ è anche
+		un isomorfismo. Si osserva che per gli elementi della
+		copia $K \supseteq \FF_p \cong \ZZmod{p}$ vale
+		$\restr{\Frob}{\FF_p} = \Id_{\FF_p}$, e quindi
+		$\Frob$ è un elemento di $\Gal(K / \FF_p)$. 
+		
+		
+		\section{Campi finiti}
+		
+		
+		Per ogni $p$ primo e $n \in \NN^+$ esiste un campo finito
+		di ordine $p^n$. In particolare, tutti i campi finiti di
+		ordine $p^n$ sono isomorfi tra loro, possono essere visti
+		come spazi vettoriali di dimensione $n$ sull'immersione di $\ZZmod{p}$ che contengono,
+		e come campi di spezzamento di $x^{p^n}-x$
+		su tale immersione. Tali campi hanno obbligatoriamente
+		caratteristica $p$, dove $\abs{K} = p^n$. Esiste
+		sempre un isomorfismo tra due campi finiti che manda la copia isomorfa di $\ZZmod{p}$ di uno nell'altra. \medskip
+		
+		
+		Poiché i campi finiti di medesima cardinalità sono isomorfi,
+		si indicano con $\FF_p$ e $\FF_{p^n}$ le strutture
+		algebriche di tali campi. In particolare con
+		$\FF_{p^n} \subseteq \FF_{p^m}$ si intende che
+		esiste un'immersione di un campo con $p^n$ elementi in
+		uno con $p^m$ elementi, e analogamente si farà con
+		altre relazioni (come l'estensione di campi)
+		tenendo bene in mente di star
+		considerando tutti i campi di tale ordine. \medskip
+		
+		
+		Vale la relazione $\FF_{p^n} \subseteq \FF_{q^m}$
+		se e solo se $p=q$ e $n \mid m$. Conseguentemente,
+		l'estensione minimale per inclusione comune a
+		$\FF_{p^{n_1}}$, ..., $\FF_{p^{n_i}}$ è
+		$\FF_{p^m}$ dove $m := \mcm(n_1, \ldots, n_i)$. Pertanto
+		se $p \in \FF_{p^n}[x]$ si decompone in fattori irriducibili
+		di grado $n_1$, \ldots, $n_i$, il suo campo di spezzamento
+		è $\FF_{p^m}$. Inoltre, $x^{p^n}-x$ è in $\FF_p$ il
+		prodotto di tutti gli irriducibili di grado divisore
+		di $n$.
+		
+		\section{Proprietà dei polinomi di $K[x]$}
+		
+		Per il Teorema di Lagrange sui campi, ogni polinomio
+		di $K[x]$ ammette al più tante radici quante il suo grado.
+		Come conseguenza pratica di questo teorema, ogni sottogruppo
+		moltiplicativo finito di $K$ è ciclico. Pertanto
+		$\FF_{p^n}^* = \gen{\alpha}$ per $\alpha \in \FF_{p^n}$,
+		e quindi $\FF_{p^n} = \FF_p(\alpha)$, ossia
+		$\FF_{p^n}$ è sempre un'estensione semplice su $\FF_p$. Si dice
+		\textbf{campo di spezzamento} di una famiglia $\mathcal{F}$
+		di polinomi di $K[x]$ un sovracampo minimale per
+		inclusione di $K$ che fa sì che ogni polinomio di $\mathcal{F}$ si decomponga in fattori lineari. I campi
+		di spezzamento di $\mathcal{F}$ sono sempre
+		$K$-isomorfi tra loro. \medskip
+		
+		
+		Un polinomio irriducibile si dice separabile se ammette
+		radici distinte. Per il criterio della derivata,
+		$p \in K[x]$ ammette radici multiple se e solo se
+		$\MCD(p, p')$ non è invertibile, dove $p'$ è la derivata
+		formale di $p$. Se $p \in K[x]$ e $n := \deg p$, il campo di spezzamento $L$ di $p$ è tale per cui
+		$[L : K] \leq n!$. Se $p$ è irriducibile e separabile, vale anche che $n \mid [L : K] \mid n!$, come
+		conseguenza dell'azione del relativo gruppo di
+		Galois sulle radici. \medskip
+		
+		
+		Se $p$ è irriducibile in $K[x]$, $(p)$ è un ideale
+		massimale, e $K[x] / (p)$ è un campo che
+		ne contiene una radice, ossia $[x]$. In
+		particolare $K$ si immerge in $K[x] / (p)$,
+		e quindi tale campo può essere identificato come
+		un'estensione di $K$ che aggiunge una radice di $p$.
+		Se $K$ è finito, detta $\alpha$ la radice aggiunta
+		all'estensione, $L := K[x] / (p) \cong K(\alpha)$ contiene
+		tutte le radici di $p$ (ed è dunque il suo campo
+		di spezzamento). Infatti detto $[L : \FF_p] = n$,
+		$[x]$ annulla $x^{p^n}-x$ per il Teorema di Lagrange
+		sui gruppi, e quindi $p$ deve dividere $x^{p^n}-x$;
+		in tal modo $p$ deve spezzarsi in fattori lineari,
+		e quindi ogni radice deve già appartenere ad $L$.
+		In particolare, ogni estensione finita e semplice
+		di un campo finito è normale, e quindi di Galois. \medskip
+		
+		\section{Estensioni di campo}
+		
+		
+		Si dice che $L$ è un'estensione di $K$, e si indica
+		con $L / K$, se $L$ è un sovracampo di $K$,
+		ossia se $K \subseteq L$. Si indica con $[L : K] = \dim_K L$ la
+		dimensione di $L$ come $K$-spazio vettoriale. Si
+		dice che $L$ è un'estensione finita di $K$ se $[L : K]$
+		è finito, e infinita altrimenti. Un'\textbf{estensione finita}
+		di un campo finito è ancora un campo finito. Un'estensione
+		è finita se e solo se è finitamente generata da elementi algebrici. Una $K$-immersione è un omomorfismo di campi
+		iniettivo da un'estensione di $K$ in un'altra estensione di $K$ che
+		agisce come l'identità su $K$. Un $K$-isomorfismo è
+		una $K$-immersione che è isomorfismo. \medskip
+		
+		
+		\subsection{Composto di estensioni e teorema delle torri algebriche}
+		
+		
+		Date estensioni $L$ e $M$ su $K$, si definisce
+		$LM = L(M) = M(L)$ come il \textbf{composto} di $L$
+		ed $M$, ossia come la più piccola estensione di $K$ che
+		contiene sia $L$ che $M$. In particolare, $LM$
+		può essere visto come $L$-spazio vettoriale con
+		vettori in $M$, o analogamente come $M$-spazio con
+		vettori in $L$. \medskip
+		
+		
+		Per il Teorema delle torri algebriche, $L / K$ è
+		un'estensione finita se e solo se $L / F$ e
+		$F / K$ lo sono (ossia la finitezza vale strettamente
+		per torri). Inoltre, se $\basis_{L/F}$ e $\basis_{F/K}$
+		sono basi di $L/F$ e $F/K$, allora
+		$\basis_{L/F} \basis_{F/K}$ è una base di
+		$L / K$, dove i suoi elementi sono i prodotti tra
+		i vari elementi delle due basi. Infine
+		se $L / K$ è finita, allora
+		anche $LM / M$ è finita, e vale che $[LM : M] \leq [L : K]$ (infatti una base di $L / K$ può essere trasformata
+		in un insieme di generatori di $LM / M$), e quindi
+		la finitezza vale per \textit{shift}. Sempre per
+		il Teorema delle torri algebriche, se $L / K$ è
+		finito, allora vale che:
+		\[ [L : K] = [L : F] [F : K]. \]
+		Se $L / K$ e $M / K$ sono finite, anche $LM / K$ lo
+		è (infatti la finitezza vale sia per torri che per \textit{shift}). In particolare, vale che:
+		\[ \mcm([L : K], [M : K]) \mid [LM : K]. \]
+		Se $[L : K]$ ed $[M : K]$ sono coprimi tra loro,
+		allora vale proprio l'uguaglianza
+		$[LM : K] = [L : K] [M : K]$. Infatti, in tal caso,
+		si avrebbe $[L : K] [M : K] \leq [LM : K]$ e
+		$[LM : K] = [LM : M] [M : K] \leq [L : K] [M : K]$.
+		
+		
+		\subsection{Omomorfismo di valutazioni, elementi algebrici e trascendenti e polinomio minimo}
+		
+		
+		Dato $\alpha$, si definisce $K(\alpha)$ il più piccolo
+		sovracampo di $K$ che contiene $\alpha$. Si definisce l'\textbf{omomorfismo di
+		valutazione} $\varphi_{\alpha, K} : K[x] \to K[\alpha]$, detto
+		$\varphi_\alpha$ se $K$ è noto, l'omomorfismo completamente
+		determinato dalla relazione $p \xmapsto{\varphi_\alpha} p(\alpha)$. Si verifica che $\varphi_\alpha$ è
+		surgettivo. Se $\varphi_\alpha$ è iniettivo,
+		si dice che $\alpha$ è \textbf{trascendentale} su $K$ e
+		$K[x] \cong K[\alpha]$, da cui $[K[\alpha] : K] =
+		[K[x] : K] = \infty$. Se invece $\varphi_\alpha$ non
+		è iniettivo, si dice che $\alpha$ è \textbf{algebrico}
+		su $K$. Si definisce $\mu_\alpha$, detto il \textbf{polinomio
+		minimo} di $\alpha$ su $K$, il generatore monico
+		di $\Ker \varphi_\alpha$. IDal momento che $K$ è
+		in particolare un dominio di integrità, $\mu_\alpha$ è sempre irriducibile. \medskip
+		
+		
+		Si definisce
+		$\deg_K \alpha := \deg \mu_\alpha$. Se $\alpha$ è
+		algebrico su $K$, $K[x] / (\mu_\alpha) \cong
+		K[\alpha]$, e quindi $K[\alpha]$ è un campo. Dacché
+		$K[\alpha] \subseteq K(\alpha)$, vale allora
+		$K[\alpha] = K(\alpha)$. Inoltre, poiché $\dim_K K[x] / (\mu_\alpha) = \deg_K \alpha$, vale
+		anche che $[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$.
+		Infine, si verifica che $\alpha$ è algebrico se e solo se
+		$[K(\alpha) : K]$ è finito. \medskip
+
+
+		\subsection{Estensioni semplici, algebriche}
+
+		
+		Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione semplice} di
+		$K$ se $\exists \alpha \in L$ tale per cui $L = K(\alpha)$.
+		In tal caso si dice che $\alpha$ è un \textbf{elemento primitivo} di $K$. Si dice che $L$ è un'\textbf{estensione
+		algebrica} di $K$ se ogni suo elemento è algebrico su $K$.
+		Ogni estensione finita è algebrica. Non tutte le
+		estensioni algebriche sono finite (e.g.~$\overline{\QQ}$ su $\QQ$). \medskip
+		
+		
+		L'insieme degli elementi algebrici di un'estensione
+		di $K$ su $K$ è un estensione algebrica di $K$.
+		Pertanto se $\alpha$ e $\beta$ sono algebrici,
+		$\alpha \pm \beta$, $\alpha \beta$, $\alpha \beta\inv$
+		e $\alpha\inv \beta$ (a patto che o $\alpha \neq 0$ o
+		$\beta \neq 0$) sono algebrici.  
+		
+		
+		\subsection{Campi perfetti, estensioni separabili e coniugati}
+		
+		
+		Si dice che un'estensione algebrica $L$ è un'\textbf{estensione separabile} di
+		$K$ se per ogni elemento $\alpha \in L$,
+		$\mu_\alpha$ ammette radici distinte. Si dice
+		che $K$ è un \textbf{campo perfetto} se ogni
+		polinomio irriducibile ammette radici distinte,
+		ossia se ogni polinomio irriducibile è separabile.
+		In un campo perfetto, ogni estensione algebrica
+		è separabile. Si definiscono i coniugati di
+		$\alpha$ algebrico su $K$ come le radici
+		di $\mu_\alpha$. Se $K(\alpha)$ è separabile su $K$,
+		$\alpha$ ha esattamente $\deg_K \alpha$ coniugati,
+		altrimenti esistono al più $\deg_K \alpha$ coniugati. \medskip
+		
+		
+		Un campo è perfetto se e solo se ha caratteristica
+		$0$ o altrimenti se l'endomorfismo di
+		Frobenius è un automorfismo. Equivalentemente,
+		un campo è perfetto se le derivate dei polinomi
+		irriducibili sono sempre non nulle. Esempi di
+		campi perfetti sono allora tutti i campi di
+		caratteristica $0$ e tutti i campi finiti. 
+		
+		
+		\subsection{Campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica di $K$}
+		
+		Un campo $K$ si dice \textbf{algebricamente chiuso} se
+		ogni $p \in K[x]$ ammette una radice in $K$. Equivalentemente $K$ è algebricamente chiuso se
+		ogni $p \in K[x]$ ammette tutte le sue radici in $K$.
+		Si dice \textbf{chiusura algebrica} di $K$
+		una sua estensione algebrica e algebricamente
+		chiusa. Le chiusure algebriche di $K$ sono
+		$K$-isomorfe tra loro, e quindi si identifica
+		con $\overline{K}$ la struttura algebrica della
+		chiusura algebrica di $K$. \medskip
+		
+		
+		Se $L$ è una sottoestensione di $K$ algebricamente
+		chiuso, allora $\overline{L}$ è il campo degli
+		elementi algebrici di $K$ su $L$. Infatti se
+		$p \in L[x]$, $p$ ammette una radice $\alpha$ in $K$, essendo
+		algebricamente chiuso. Allora $\alpha$ è un elemento
+		di $K$ algebrico su $L$, e quindi $\alpha \in \overline{L}$. Per il Teorema fondamentale dell'algebra,
+		$\overline{\RR} = \CC$.
+		
+		
+		\subsection{Estensioni normali e di Galois, $K$-immersioni di un'estensione finita di $K$}
+		
+		Sia $\alpha$ un elemento algebrico su $K$. Allora
+		$[K(\alpha) : K] = \deg_K \alpha$. Le
+		$K$-immersioni da $K(\alpha)$ in $\overline{K}$
+		sono esattamente tante quanti sono i coniugati di
+		$\alpha$ e sono tali da mappare $\alpha$ ad un suo coniugato. Se $K$ è perfetto, esistono esattamente
+		$\deg_K \alpha$ $K$-immersioni da $K(\alpha)$
+		in $\overline{K}$. \medskip
+		
+		
+		Se $L / K$ è un'estensione separabile finita su $K$, allora
+		esistono esattamente $[L : K]$ $K$-immersioni
+		da $L$ in $\overline{K}$. Per quanto detto prima,
+		tali immersioni mappano gli elementi $L$ nei
+		loro coniugati. \medskip
+		
+		
+		Se $L$ è un'estensione separabile finita, allora per
+		ogni $\varphi : K \to \overline{K}$ esistono
+		esattamente $[L : K]$ estensioni $\varphi_i : L \to \overline{K}$ di $\varphi$, ossia omomorfismi
+		tali per cui $\restr{\varphi_i}{K} = \varphi$. \medskip
+		
+		
+		Per quanto detto prima, per calcolare dunque tutti
+		i coniugati di $\alpha \in L$ su $K$, è sufficiente
+		calcolare i distinti valori delle $K$-immersioni
+		di $L$ su $\alpha$. Infatti, ogni $K$-immersione
+		da $K(\alpha)$ può estendersi a $K$-immersione di
+		$L$, e viceversa ogni $K$-immersione di $L$ può
+		restringersi a $K$-immersione di $K(\alpha)$. In
+		particolare, una volta computati tutti i coniugati, è semplice trovare il polinomio minimo di $\alpha$
+		su $K$ (è sufficiente considerare il prodotto dei vari $x-\alpha_i$ dove gli $\alpha_i$ sono tutti i coniugati di $\alpha$). \medskip
+		
+		
+		Si dice che un'estensione algebrica $L / K$ è un'\textbf{estensione normale}
+		se per ogni $K$-immersione $\varphi$ da $L$ in $\overline{K}$
+		vale che $\varphi(L) = L$. Equivalentemente
+		un'estensione è normale se è il campo di spezzamento
+		di una famiglia di polinomi (in particolare è il campo
+		di spezzamento di tutti i polinomi irriducibili che
+		hanno una radice in $L$). Ancora, un'estensione $L$
+		è normale se e solo se per ogni $\alpha \in L$,
+		i coniugati di $L$ appartengono ancora ad $L$.
+		Per un'estensione normale, per ogni $K$-immersione
+		$\varphi : L \to \overline{K}$ si può restringere
+		il codominio ad un campo isomorfo a $L \subseteq \overline{K}$, e quindi considerare $\varphi$ come
+		un automorfismo di $L$ che fissa $K$. \medskip
+		
+		
+		Un'estensione finita $L/K$ di grado $2$ è sempre normale,
+		ed in particolare può sempre scriversi come
+		$L = K(\sqrt{\Delta})$, dove $\Delta$ non è un quadrato
+		in $K$.
+		
+		
+		Si indica con $\Aut_K(L) = \Aut(L / K)$ l'insieme
+		degli automorfismi di $L$ che fissano $K$. Se
+		$L$ è normale e separabile, si dice
+		\textbf{estensione di Galois}, e si definisce
+		il suo \textbf{gruppo di Galois}
+		$\Gal(L / K)$ come $(\Aut_K L, \circ)$, ossia come
+		il gruppo $\Aut_K L$ con l'operazione di
+		composizione.
+		
+		
+		\subsection{Azione di $\Gal(L / K)$ sulle radici di $L$ campo di spezzamento}
+		
+		Sia $p \in K[x]$ irriducibile e separabile.
+		Allora si definisce
+		il \textbf{gruppo di Galois di $p$} come il gruppo
+		di Galois $\Gal(L / K)$, dove $L$ è un campo di
+		spezzamento di $p$ su $K$. Se $\deg p = n$ e
+		$a_1$, ..., $a_n$ sono le radici di $p$,
+		$\Gal(L / K)$ agisce su $\{a_1, \ldots, a_n\}$
+		mediante $\Xi$, in modo tale che:
+		
+		\begin{equation*}
+		\begin{split}
+			\Xi : \Gal(&L / K) \to S(\{a_1, \ldots, a_n\}) \cong S_n, \\
+			&\varphi_i \xmapsto{\Xi} [a_j \mapsto \varphi_i(a_j)].
+		\end{split}
+		\end{equation*}
+
+		In particolare tale azione è transitiva (dunque $\Orb(a_i) = \{a_j\}_{j=1-n}$)e fedele. Poiché $\Xi$ è fedele, vale che
+		$\Gal(L / K) \mono S_n$. Se $\Gal(L / K)$ è abeliano
+		(e in tal caso si dice che $L$ è un'\textbf{estensione abeliana}), $\Xi$ è anche transitiva, e quindi
+		$\Gal(L / K)$ si identifica come un sottogruppo
+		abeliano transitivo di $S_n$, e in quanto tale deve
+		valere che $\abs{\Gal(L / K)} = n$. \medskip
+
+
+		
+		Dal momento che $\Xi$ è un'immersione, vale
+		che $\abs{\Gal(L / K)} \mid n!$. Dacché allora
+		$[K(a_1) : K] = n$, vale in particolare che:
+		\[ n \mid \abs{\Gal(L / K)} = [L : K] \mid n!. \]
+		
+		
+		\section{Diagrammi di campo e proprietà}
+		
+		
+		Si definisce \textbf{diagramma di campo} un
+		diagramma della seguente forma:
+		\[\begin{tikzcd}
+			& LM \\
+			L & {} & M \\
+			& {L \cap M} \\
+			& K
+			\arrow[no head, from=4-2, to=3-2]
+			\arrow[no head, from=3-2, to=2-1]
+			\arrow[no head, from=2-1, to=1-2]
+			\arrow[no head, from=3-2, to=2-3]
+			\arrow[no head, from=2-3, to=1-2]
+		\end{tikzcd}\]
+		In particolare il precedente diagramma rappresenta
+		lo studio dell'estensione di $LM$ su $K$, e
+		rappresenta $L$, $M$ e $L \cap M$ come sottoestensioni
+		di $LM$. Un estremo superiore di una freccia è sempre,
+		per definizione, un'estensione dell'estremo inferiore
+		della stessa freccia. \medskip
+		
+		
+		Sia $\mathcal{P}$ una proprietà. Allora si
+		studia la proprietà $\mathcal{P}$ secondo
+		le seguenti tre modalità:
+		\begin{itemize}
+			\item validità per \textbf{torri}: se $\mathcal{P}$ vale in due estensioni in $K \subseteq F \subseteq L$, allora vale anche per la terza estensione, ossia
+			vale per tutta la torre di estensioni,
+			\item validità per \textbf{\textit{shift}} (o per il \textbf{traslato}): se $\mathcal{P}$ vale
+			per $F / K$, allora vale anche per $LF / F$, ossia
+			vale sul ramo parallelo a quello di $F / K$,
+			\item validità per il \textbf{composto}: se
+			$\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$, allora
+			vale anche per $LM / K$.
+			\item validità per l'\textbf{intersezione}:
+			se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ ed $M / K$,
+			allora vale anche per $L \cap M / K$.
+		\end{itemize}
+		Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{debolmente}
+		per torri, se $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ solo
+		se vale per $L / F$ sottoestensione.
+		Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{strettamente}
+		per torri, se è $\mathcal{P}$ vale per $L / K$ se
+		e solo se vale per $L / F$ e $F / K$. Se $\mathcal{P}$ vale strettamente per torri, allora $\mathcal{P}$
+		vale anche per l'intersezione. \medskip
+		
+		
+		Si dice che
+		$\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} per
+		\textit{shift} se $\mathcal{P}$ vale su
+		$LF / F$ solo se vale su $L / K$. Si dice che
+		$\mathcal{P}$ vale \textit{inversamente} per
+		il composto se $\mathcal{P}$ vale su $LF / K$
+		implica che $\mathcal{P}$ valga anche su $L / K$
+		e $F / K$. Si dice che $\mathcal{P}$ vale \textit{completamente} per \textit{shift} o composto se $\mathcal{P}$
+		vale \textit{inversamente} e normalmente per \textit{shift} o
+		composto. Se $\mathcal{P}$ vale per torri e
+		per \textit{shift}, allora vale anche per il
+		composto.
+		
+		La seguente tabella raccoglie le proprietà
+		delle estensioni sui diagrammi di campo:
+		\begin{center}
+			\scriptsize
+			\vskip -0.1in
+			\begin{tabular}{l|l|l|l|l}
+				\hline
+				$\mathcal{P}$ & Torri        & \textit{Shift} & Composto      & Intersez. \\ \hline
+				Est. fin.            & Strett. & Normal.                     & Complet. & Sì           \\ \hline
+				Est. alg.         & Strett. & Complet.                   & Complet. & Sì           \\ \hline
+				Est. sep.        & Strett. & Normal.                     & Normal.   & Sì           \\ \hline
+				Est. nor.           & Debolm.   & Normal.                     & Normal.   & Sì           \\ \hline
+				Est. Gal.        & Debolm.   & Normal.                     & Normal.   & Sì          
+			\end{tabular}
+		\end{center}
+
+
+		\section{Teorema dell'elemento primitivo}
+		
+		Se $L / K$ è un'estensione finita e separabile,
+		$L$ è in particolare un'estensione semplice di
+		$K$, per il \textbf{Teorema dell'elemento primitivo}.
+		In campi finiti, un tale elemento primitivo è
+		un generatore di $L^*$. In campi infiniti, per
+		$L = K(a, b)$,
+		si può invece considerare il seguente polinomio:
+		\[ p(x) = \prod_{i < j} (\varphi_i(a) + x \varphi_i(b) - \varphi_j(b) - x \varphi_j(b)), \]
+		dove le varie $\varphi_i$ sono le $K$-immersioni di
+		$L$ su $\overline{K}$.
+		Si verifica che $p(x)$ è non nullo, e pertanto
+		ha supporto non vuoto. Pertanto esiste un $t \in K$ tale
+		per cui $p(t) \neq 0$, da cui si ricava che
+		$L = K(a + bt)$. Reiterando questo algoritmo su
+		tutti i generatori dell'estensione, si ottiene
+		un elemento primitivo desiderato.
+		
+		\section{Teorema di corrispondenza di Galois}
+		
+		
+		Se $L / K$ è di Galois, detto $H \leq \Gal(L / K)$,
+		si definisce $L^H$ come la sottoestensione di $L$
+		fissata da tutte le $K$-immersioni di $H$.
+		In particolare vale che $L^H = K \iff H = \Gal(L / K)$.
+		Conseguentemente, vale il \textbf{Teorema di corrispondenza di Galois}, di seguito descritto:
+		
+		\begin{theorem}
+			Sia $\mathcal{E}$ l'insieme delle sottoestensioni
+			di $L / K$ estensione di Galois. Sia
+			$\mathcal{G}$ l'insieme dei sottogruppi di
+			$\Gal(L / K)$. Allora $\mathcal{E}$ è
+			in bigezione con $\mathcal{G}$ attraverso
+			la mappa $\alpha : \mathcal{E} \to \mathcal{G}$
+			tale per cui:
+			\[ F \xmapsto{\alpha} \Gal(L / F) \leq
+			\Gal(L / K), \]
+			la cui inversa $\beta : \mathcal{G} \to \mathcal{E}$
+			è tale per cui:
+			\[ H \xmapsto{\beta} L^H \subseteq L. \]
+			Inoltre, una sottoestensione $F / K$ di
+			$L / K$ è normale su $K$ se e solo se
+			il corrispondente sottogruppo di $\Gal(L / K)$
+			è normale. Infine, se $F / K$ è normale,
+			$F$ è in particolare di Galois e vale che:
+			\[ \Gal(F / K) \cong \faktor{\Gal(L / K)}{\Gal(L / F)}. \]
+		\end{theorem}
+		
+		Pertanto, a partire dal Teorema di corrispondenza di Galois, valgono le seguenti proprietà:
+
+		\begin{itemize}
+			\item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di un certo ordine $n$ è uguale al numero di sottoestensioni di $L$ tali per cui $L$ abbia
+			grado $n$ su di esse (infatti $[L : F] = \abs{\Gal(L / F)}$),
+			\item il numero di sottogruppi di $\Gal(L / K)$ di
+			un certo indice $n$ è uguale al numero di
+			sottoestensioni di $L$ che hanno grado $n$ su
+			$K$ (infatti $[F : K] = [L : K] / [L : F] = \abs{\Gal(L / K)}) / \abs{\Gal(L : F)} =
+			[\Gal(L / K) : \Gal(L / F)]$),
+			\item $L^H \subset L^Q \iff Q < H$,
+			\item $L^H L^Q = L^H(L^Q) = L^{H \cap Q}$,
+			\item $L^{\gen{H, Q}} = L^H \cap L^Q$,
+		\end{itemize}
+	
+		In particolare, un diagramma di campi -- a patto
+		che il suo estremo superiore sia di Galois -- può
+		essere collegato ad un diagramma di gruppi,
+		``invertendo'' le inclusioni. Se
+		$G = \Gal(L / K)$ e $H \subseteq G$, allora il
+		diagramma:
+		    \[\begin{tikzcd}
+				L \\
+				{L^H} \\
+				K
+				\arrow["G", bend left, no head, from=3-1, to=1-1]
+				\arrow["{G/H}"', no head, from=3-1, to=2-1]
+				\arrow["H"', no head, from=2-1, to=1-1]
+			\end{tikzcd}\]
+		si relaziona tramite corrispondenza al
+		diagramma:
+		\[\begin{tikzcd}[row sep=small]
+			{\{e\}} \\
+			\\
+			H \\
+			\\
+			G
+			\arrow[no head, from=1-1, to=3-1]
+			\arrow[no head, from=3-1, to=5-1]
+		\end{tikzcd}\]
+		
+		\section{Gruppi di Galois noti}
+
+		\subsection{Campi finiti}
+		
+		Il campo finito $\FF_{p^n}$ è sempre normale
+		su $\FF_p$, dal momento che può essere costruito
+		come campo di spezzamento di $x^{p^n} - x$ su
+		$\FF_p$ stesso. Equivalentemente, poiché
+		un omomorfismo di campi è sempre iniettivo (e dunque
+		conserva sempre la cardinalità),
+		una $\FF_p$-immersione deve mandare $\FF_{p^n}$
+		in un campo della stessa cardinalità, e quindi
+		necessariamente un campo isomorfo a $\FF_{p^n}$. \medskip
+		
+		
+		Per un campo finito, $\Frob$ è un automorfismo che
+		fissa $\FF_p$. Allora $\Frob \in \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p)$. Inoltre $\ord \Frob = n = \abs{\Gal(\FF_{p^n} / \FF_p}$ (altrimenti $\FF_{p^n}$ non sarebbe campo di
+		spezzamento di $x^{p^n}-x$), e quindi vale che:
+		\[ \Gal(\FF_{p^n} / \FF_p) = \gen{\Frob} \cong \ZZmod{n}. \]
+			
+		
+		Pertanto se $\alpha \in \FF_{p^n} \setminus \FF_p$,
+		tutti i suoi coniugati si ottengono reiterando
+		al più $p^n$ volte $\Frob$ su $\alpha$.
+		
+		\subsection{Polinomi biquadratici}
+		
+		Sia $p(x) = x^4 + ax^2 + b$ irriducibile su $\QQ$.
+		Allora, se $L$ è un suo campo di spezzamento e $\Delta = a^2 - 4b$ è l'usuale discriminante di $p$ visto come polinomio in $x^2$, vale che:
+		
+		\[ \Gal(L / \QQ) \cong \begin{cases}
+			\ZZmod{4} & \se b \text{ è quadrato in $\QQ$}, \\
+			\ZZmod{2} \times \ZZmod{2} & \se b \Delta \text{ è quadrato in $\QQ$}, \\
+			D_4 & \altrimenti.
+		\end{cases} \]
+		
+		
+		\subsection{Radici di primi in $\QQ$}
+		
+		Siano $p_1$, ..., $p_n$ numeri primi distinti.
+		Allora
+		vale che:
+		\[ \Gal(\QQ(\sqrt{p_1}, \ldots, \sqrt{p_n})/\QQ) \cong (\ZZmod{2})^n. \]
+		
+		\subsection{I polinomi ciclotomici $\Phi_n(x)$}
+		
+		Sia $\Phi_n(x)$ l'$n$-esimo polinomio ciclotomico, così definito:
+		\[ \Phi_n(x) = \prod_{\substack{1 \leq d \leq n \\ \MCD(d, n) = 1}} (x - \zeta_n^d), \]
+		dove $\zeta_n$ è una radice primitiva $n$-esima dell'unità. \medskip
+		
+		
+		Tale polinomio è sempre a coefficienti interi ed è inoltre primitivo
+		su $\ZZ[x]$. Vale inoltre che:
+		\[ x^n - 1 = \prod_{m \mid n} \Phi_m(x). \]
+		Il campo di spezzamento di $\Phi_n(x)$ su $\QQ$ è
+		$\QQ(\zeta_n)$, che è un'estensione normale, separabile e finita,
+		e pertanto di Galois. \medskip
+		
+		
+		Inoltre vale che:
+		\[ \Gal(\QQ(\zeta_n)/\QQ) \cong (\ZZmod{n})^\times, \]
+		e dunque $\Phi_n(x)$ è sempre irriducibile su $\QQ$.
+		
+		\vfill
+		\hrule
+		~\\
+		Ad opera di Gabriel Antonio Videtta, \url{https://poisson.phc.dm.unipi.it/~videtta/}.
+		~\\Reperibile su
+		\url{https://notes.hearot.it}, nella sezione \textit{Secondo anno $\to$ Algebra 1 $\to$ 3. Teoria delle estensioni di campo e di Galois $\to$ Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois}.
+	\end{multicols}
+	
+\end{document}

Corsi/Algebra 1/README.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+# [Algebra 1](https://esami.unipi.it/programma.php?c=57995&aa=2023&docente=&insegnamento=ALGEBRA&sd=0)
+
+- [Programma del corso 📘](https://esami.unipi.it/programma.php?c=57995&aa=2023&docente=&insegnamento=ALGEBRA&sd=0)
+- [Registro del corso 📑](https://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=10336402::::&ri=8305)
+- [Appunti e complementi di Diego Monaco, Gabriel Antonio Videtta e Leonardo Migliorini 📓](https://github.com/diego-unipi/Algebra-1)
+- [Appunti di Mattia Salvadori 📒](https://poisson.phc.dm.unipi.it/~salvadori/Algebra1.pdf)
+- [Appunti e scritti di Simmaco Di Lillo 📗](https://poisson.phc.dm.unipi.it/~dilillo/Algebra/index.html)
+- [Complementi di Mirko Torresani 📓](https://poisson.phc.dm.unipi.it/~torresani/file/Complementi_Algebra.pdf)
+- [Schede di Andrea Gallese 📖](https://uz.sns.it/~Gall/Algebra.pdf)
+- [Pagina e-learning del corso 🔗](https://elearning.dm.unipi.it/course/view.php?id=548)
+
+Questa cartella raccoglie tutti gli appunti che ho preso in relazione al corso di Algebra 1. Sto basando i miei
+appunti sul corso dell'A.A. 2023-2024, prendendo molto spunto dagli
+[appunti di Algebra 1](https://github.com/diego-unipi/Algebra-1),
+che tuttavia riprendono principalmente il programma del corso dell'A.A. 2022-2023.
+
+Ho diviso gli appunti in base ai moduli del corso di Algebra 1. In particolare, per adesso è quasi completata la scrittura
+della sezione relativa a *Teoria dei gruppi*, a sua volta divisa in macrosezioni. Per il momento verrà trascurata la
+parte di *Teoria degli anelli* per completare la sezione di *Teoria dei campi*, e verrà ripresa alla fine.
+
+Dalla fine del 2022 ho iniziato a contribuire alla riscrittura dei [Complementi di Algebra 1](https://github.com/diego-unipi/Algebra-1),
+a cui sto dedicando tutte le mie energie. Una volta integrate tutte le mancanze dei _Complementi di Algebra 1_ (e riviste anche le
+_Dispense di Algebra 1_), non vi sarà motivo di aggiungere appunti in questa sede, e rimanderò direttamente al repository di
+queste due dispense, ad esclusione della *Scheda riassuntiva di Teoria dei campi e di Galois*.